Xây dựng phương pháp giải mã theo chuẩn syndrome trên cơ sở nhận dạng lỗi

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Bé Quèc phßng
ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ qu©n sù

--------------------------

VŨ SƠN HÀ

XÂY DỰNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI MÃ THEO
CHUẨN SYNDROME TRÊN CƠ SỞ NHẬN DẠNG LỖI

Chuyên ngành:
Mã số:

Kỹ thuật điện tử
62 52 02 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI - 2016


Công trình đƣợc hoàn thành tại:
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ - BỘ QUỐC PHÒNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
1.

TS PHẠM VIỆT TRUNG

2.

TS PHẠM KHẮC HOAN

Phản biện 1: PGS.TS Lê Mỹ Tú
Học viện Kỹ thuật Mật mã
Phản biện 2: PGS.TS Hoàng Mạnh Thắng
Đại học Bách khoa Hà Nội
Phản biện 3: TS Nguyễn Đông Hƣng
Cục Cơ yếu – Bộ Tổng tham mưu
Luận án đƣợc bảo vệ trƣớc Hội đồng chấm luận án Tiến
sĩ cấp Viện, họp tại Viện Khoa học và Công nghệ quân sự vào
hồi: ...... giờ ...... ngày ...... tháng ...... năm 2016.

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Viện Khoa học và Công nghệ quân sự.
- Thư viện Quốc gia Việt Nam.


1
MỞ ĐẦU
1. Tình hình nghiên cứu trong nƣớc và ngoài nƣớc
Tại Việt Nam các giáo sư Nguyễn Xuân Quỳnh, Nguyễn Bình đã
nghiên cứu về mã cyclic cục bộ từ những năm 80 của thế kỷ XX. Mã
cyclic cục bộ tiếp tục phát triển và có nhiều thành tựu đáng kể. Tuy
nhiên các công trình này chưa đi sâu vào việc nghiên cứu phương pháp
giải mã, thiết kế bộ giải mã, đặc biệt khi khoảng cách mã lớn, hay mã có
khả năng sửa đồng thời lỗi ngẫu nhiên và lỗi chùm.
Các thiết bị giải mã mã BCH, Reed-Solomon hiện nay thường sử
dụng các thuật toán Berlekamp-Massey, Euclid. Thuật toán BerlekampMassey (BMA) là một phương pháp tính để giải phương trình khóa rất
hiệu quả về số lượng của phép tính trong trường hữu hạn và là lựa chọn

phổ biến để mô phỏng hoặc thực hiện giải mã BCH và Reed-Solomon
bằng phần mềm. Thuật toán Euclid (EA) là phương pháp để giải phương
trình khóa dựa trên việc tìm ước số chung lớn nhất của hai đa thức. Đặc
điểm cơ bản của các thuật toán này là chúng ở dạng lặp, dễ thực hiện ở
dạng phần mềm, nhưng khó thực hiện khi thiết kế phần cứng, tốc độ giải
mã không cao.
2. Tính cấp thiết
Các phương pháp đại số giải mã BCH yêu cầu phải giải phương
trình khóa bậc cao trên trường Galoa. Các thuật toán lặp BMA, EA và
thủ tục tìm kiếm Chien có độ trễ xử lý lớn khi n và t tăng, điều đó hạn
chế việc ứng dụng mã BCH vào các hệ thống thông tin thời gian thực.
Mặt khác trong các hệ thống truyền tin, các hệ thống xử lý, lưu trữ thông
tin thường xảy ra lỗi ở cả dạng lỗi ngẫu nhiên và lỗi chùm. Một số mã
khối tuyến tính có khả năng đồng thời sửa được cả lỗi ngẫu nhiên và lỗi
chùm như mã tầng, mã Fire biến thể, mã có xáo trộn… tuy nhiên việc
giải mã chúng thường khá phức tạp, tốc độ mã hóa thấp hoặc khả năng
sửa lỗi không lớn.
Trên cơ sở nghiên cứu cấu trúc của mã BCH và các biến thể của
nó, xây dựng một tham số mới là chuẩn syndrome. Chuẩn syndrome là
bất biến với tác động của nhóm phép thế dịch vòng và chuẩn syndrome
của các nhóm khác nhau thì khác nhau. Khi sử dụng chuẩn syndrome,
các lỗi ngẫu nhiên và lỗi chùm có thể được sửa đồng thời do chuẩn
syndrome của các vector lỗi ngẫu nhiên và một số cấu hình lỗi chùm độ
dài nhỏ, lỗi chùm đồng pha không trùng nhau khi chọn đa thức sinh của
trường một cách thích hợp. Trên cơ sở chuẩn syndrome, quá trình nhận


2
dạng lỗi có thể thực hiện khá thuận tiện làm giảm độ phức tạp xử lý lỗi
đồng thời tăng hiệu quả giải mã.

Do đó đề tài “Xây dựng phƣơng pháp giải mã theo chuẩn
syndrome trên cơ sở nhận dạng lỗi’’ có tính cấp thiết và tính ứng dụng
thực tiễn cao.
3. Đối tƣợng nghiên cứu:
- Nhóm các phép thế dịch vòng, phép thế cyclotomic.
- Các mã BCH, Reed-Solomon và các biến thể.
4. Mục đích nghiên cứu:
- Nghiên cứu đặc điểm cấu trúc của mã BCH.
- Nghiên cứu xây dựng thuật toán, thiết bị giải mã dựa trên chuẩn
syndrome.
- Nghiên cứu xây dựng phương pháp nhận dạng vector lỗi dựa trên
chuẩn syndrome để nâng cao hiệu quả sửa lỗi của mã.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu về mã BCH, Reed-Solomon.
- Nghiên cứu nhóm các phép thế dịch vòng và tính chuẩn
syndrome cho các mã BCH, Reed-Solomon và các biến thể.
- Nghiên cứu phương pháp nhận dạng vector lỗi theo chuẩn syndrome.
- Nghiên cứu thiết bị giải mã mã BCH và các biến thể, mã ReedSolomon trên cơ sở nhận dạng lỗi theo chuẩn syndrome.
- Nghiên cứu phương pháp nén chuẩn syndrome và nhận dạng lỗi
khi sửa lỗi bội cao.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu cơ bản là kết hợp phương pháp giải tích
và phương pháp mô phỏng Monte-Carlo trên Matlab có sử dụng các
công cụ toán học của lý thuyết xác suất thống kê, lý thuyết nhóm... đồng
thời sử dụng các công nghệ thiết kế, chế tạo phần cứng như công nghệ
FPGA để thiết kế thiết bị giải mã.
7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:
Ý nghĩa khoa học: Xây dựng phương pháp thế giải mã mã BCH và
các biến thể dựa trên chuẩn syndrome, phương pháp giải mã dựa trên
việc kết hợp phép thế cyclotomic và phép thế dịch vòng khi sửa lỗi bội

cao. Xây dựng phương pháp nhận dạng vector lỗi theo chuẩn syndrome
với các dạng lỗi khác nhau, cho phép mở rộng khả năng sửa lỗi của mã.
Ý nghĩa thực tiễn: Đề xuất sơ đồ cấu trúc thiết bị giải mã mã BCH
và các biến thể, mã Reed-Solomon trên cơ sở nhận dạng lỗi theo chuẩn
syndrome. Thiết bị mã hóa, giải mã thực hiện trên thiết bị logic lập trình


3
được có mức tác động nhanh cao và độ phức tạp thấp hơn các bộ giải mã
đại số thông thường.
8. Bố cục luận án:
Luận án chia thành 03 chương. Chương 1: Tổng quan về mã BCH.
Chương 2: Phương pháp chuẩn syndrome giải mã mã BCH. Chương 3: Mở
rộng khả năng sửa lỗi của mã BCH sử dụng phương pháp chuẩn syndrome.
Ngoài ra luận án gồm có phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình
nghiên cứu đã công bố của tác giả, tài liệu tham khảo và phụ lục.
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MÃ BCH
1.1. Tổng quan về mã khối tuyến tính
Một mã khối có chiều dài n gồm qk từ mã được gọi là mã tuyến tính
(n,k) khi và chỉ khi qk từ mã hình thành một không gian vector con k chiều
của không gian vector gồm tất cả các vector n thành phần trên GF(q).
Đối với xác suất lỗi bit có thể sử dụng giới hạn sau:
n
n
Pb   i  t   p i 1  p ni
(1.14)
i t 1 n  i 
Với mã tuyến tính nhị phân hệ thống truyền qua kênh AWGN, xác
suất bit lỗi có giới hạn trên như sau:
n



Pb   wAw Q 2wR Eb 
(1.20)


n
N
wd
o 

1.2. Mã BCH
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản
1.2.2. Mã BCH nhị phân
Mã BCH nhị phân là mã vòng được xây dựng bởi các không
điểm của đa thức sinh. Một mã BCH nhị phân có khoảng cách cấu
trúc δ  2t + 1 là một mã vòng mà đa thức sinh g(x) có 2t lũy thừa
liên tiếp của α là nghiệm  b ,  b1 , ...,  b 2t .
1.2.3. Mã BCH không nhị phân và mã Reed–Solomon
Mã BCH nhị phân có thể được tổng quát thành mã không nhị phân.
Đa thức sinh g(x) của mã BCH q - phân sửa t lỗi là một đa thức bậc thấp
nhất với hệ số thuộc trường GF(q) và có các phần tử  b ,  b1 , ...,  b 2t là
nghiệm. Nếu q  2 thì nhận được mã BCH nhị phân.
Lớp con đặc biệt của mã BCH q phân với s  1 là lớp con quan
trọng nhất. Mã của lớp con này được gọi là mã Reed–Solomon (mã RS).
Mã RS sửa t lỗi dùng các ký hiệu thuộc trường Galoa GF(q) có những tham
số sau: độ dài khối: n  q – 1; số symbol kiểm tra: n – k  2t; khoảng
cách tối thiểu: d  2t + 1

4
1.3. Các phƣơng pháp giải mã mã BCH
+ Thuật toán Berlekamp–Massey (BMA);
+ Thuật toán Euclid (EA);
+ Phương pháp bẫy lỗi;
+ Phương pháp thế.
1.4. Đặt vấn đề nghiên cứu
1.4.1. Nghiên cứu xây dựng phƣơng pháp chuẩn syndrome giải mã
mã BCH và các biến thể trên cơ sở nhận dạng lỗi
Vấn đề nghiên cứu thứ nhất của luận án là xây dựng phương pháp
giải mã mã BCH và biến thể dựa trên chuẩn syndrome cho phép xác định
vector lỗi theo chuẩn syndrome, không cần giải phương trình khóa.
Vấn đề nghiên cứu thứ hai của luận án là xây dựng phương pháp
kết hợp phép thế cyclotomic và phép thế dịch vòng để giải mã mã BCH
cho phép rút gọn các tập vector lỗi cần xử lý.
1.4.2. Nghiên cứu mở rộng khả năng sửa lỗi của mã BCH và các biến
thể sử dụng phƣơng pháp chuẩn syndrome trên cơ sở nhận dạng lỗi
Vấn đề nghiên cứu thứ ba của luận án là mở rộng khả năng sửa lỗi
của mã BCH, Reed-Solomon và các biến thể, cho phép đồng thời sửa lỗi
ngẫu nhiên và lỗi chùm trên cơ sở nhận dạng lỗi theo chuẩn syndrome.
1.5. Kết luận chƣơng 1
Các kết quả chương 1 bao gồm:
(1) Nghiên cứu tổng quan mã khối tuyến tính, mã BCH và các phương
pháp giải mã mã BCH nhị phân và không nhị phân, mã Reed-Solomon
dựa trên thuật toán Berlekamp–Massey, thuật toán Euclid.
(2) Nghiên cứu phương pháp bẫy lỗi và phương pháp thế giải mã mã
BCH nhị phân.
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP CHUẨN SYNDROME
GIẢI MÃ MÃ BCH
2.1. Phân loại dịch vòng vector lỗi

Ký hiệu σ là phép thế dịch vòng, vector lỗi e  (e1, e2, …, en) dịch
vòng phải đi một vị trí σ(e)  (en, e1, e2, e3, …, en-1). Tập hợp tất cả các
vector khác nhau đôi một σm(e) với 0 ≤ m ≤ n – 1 của vector lỗi e tùy ý
gọi là σ-orbit của nó, mỗi σ-orbit có một vector sinh.
Với một số λ tự nhiên nhỏ nhất nào đó, 1 < λ < n, σ-orbit chứa λ
phần tử, với λ  n hoặc λ là ước của nó, σ-orbit có cấu trúc sau:


5

 (e)  e  e, (e),...,  1 (e)

(2.2)

Tất cả các vector của σ-orbit có cùng đường kính, với hai vector lỗi tùy ý
e và e’ thì các σ-orbit <e>, <e’> hoặc là trùng nhau hoặc không giao nhau. Khi
n  15, có 105 vector lỗi trọng số 2 chia thành 7 lớp với đường kính lỗi
từ 2 đến 8 như minh họa trong bảng 2-1.
Bảng 2-1. Các σ-orbit, đường kính, tọa độ vector lỗi bội 2
với chiều dài n=15
Các lớp σ-orbit
I2
I3
I4
I5
I6
I7
I8

Đường kính lỗi D

2
3
4
5
6
7
8

Tọa độ vector sinh lỗi e
1,2 (110000000000000)
1,3 (101000000000000)
1,4 (100100000000000)
1,5 (100010000000000)
1,6 (100001000000000)
1,7 (100000100000000)
1,8 (100000010000000)

2.2. Xây dựng phƣơng pháp chuẩn syndrome cho mã BCH và các biến thể
2.2.1. Phƣơng pháp chuẩn syndrome giải mã mã BCH
Ma trận kiểm tra của mã BCH với khoảng cách cấu trúc δ có dạng:
1

1
H 
...

 1



H   bi ,

b
 b1

 2b
 2( b1)

...

...

...

...

 b 2

 2 (b 2 )

...

 ( n1) b 

 ( n1)( b1) 

...


( n 1)( b   2 ) 



...

5
(2.3)

 ( b1) i , ....  (b 2 ) i 

T

với 0 ≤ i ≤ n – 1,  là căn bậc n của 1.
Cho mã BCH có ma trận kiểm tra như biểu thức (2.3), với
syndrome S(e)  (s1, s2, …, sδ-1), khi đó:
S ( (e))  ( b s1 ,  b1s2 ,...,  b 2 s 1 ).

(2.4)

Tổng quát khi sử dụng (2.4) λ lần ta có:
S ( (e))  ( b s1 ,   (b1) s2 ,...,   (b 2) s 1 ),


0    n  1. (2.5)

Đối với mã BCH có ma trận kiểm tra như biểu thức (2.3) phổ
syndrome của σ-orbit J  <e> bao gồm các vector khác nhau đôi một
của không gian S(En) dạng:


6

( b s1 ,   (b1) s2 ,...,   (b 2) s 1 ), 0    n  1.

(2.6)

Định nghĩa 2.1. Chuẩn syndrome của vector lỗi e với mã C (có ma
trận kiểm tra (2.3)) là vector:
N(S(e))  (N12, N13, …, N 1(δ-1), N23, ..., N
Nij, 1≤ i < j ≤ δ - 1 tính theo công thức:

(δ-2)(δ-1))

có C21 tọa độ

Nij  s j (bi 1)/ hij / si (b j 1)/ hij , hij  USCLN (b  i  1, b  j  1) (2.7)
Trong đó:
Nij = ∞ nếu sj ≠ 0, si = 0.
Nij = - (không xác định) khi sj = si = 0.
Đối với mã nhị phân q  2, ma trận kiểm tra của mã BCH nhị phân
theo nghĩa hẹp (b = 1) với δ  2t + 1 có dạng:



H  i,

 3i , ....  ( 2t 1)i  , 0  i  n  1.
T

(2.8)

Khi đó syndrome của vector lỗi tùy ý gồm t thành phần thuộc
trường GF(2m) S(e)  (s1, s2, …, st).
Đối với BCH mã nhị phân với ma trận kiểm tra (2.8) ta có;
S ( (e))  ( s1 ,  3 s2 ,...,  2t 1st ).

(2.9)

Với mã BCH nhị phân nguyên thủy theo nghĩa hẹp, b  1,
m
    phần tử nguyên thủy của trường GF(2 ) và ma trận kiểm tra có dạng:





H   i ,  3i , ....  ( 2t 1)i , 0  i  n  1, n  2 m  1.
T

(2.10)

Trường hợp mã BCH nhị phân nguyên thủy theo nghĩa hẹp có ma
trận kiểm tra (2.10) đối với vector lỗi e, syndrome S(e)  (s1, s2, …, st)
phổ syndrome S(<e>) gồm tất cả các vector khác nhau đôi một dạng:

( i s1 , 3i s2 ,..., i ( 2t 1) st ), 0    2 m  2.

(2.11)

Định nghĩa 2.2. Gọi chuẩn (norm) của syndrome S(e)  (s1, s2, …, st)
với mã nguyên thủy theo nghĩa hẹp là vector N(S) có Ct2 tọa độ Nij,

1≤ i < j ≤ t tính theo công thức:
( 2i 1) / hij

N ij  s j

( 2 j 1) / hij

/ si

, hij  USCLN (2i  1,2 j  1) .

(2.12)

Nij = ∞ nếu sj ≠ 0, si = 0; Nij = - (không xác định) khi sj = si = 0.
Ví dụ với mã BCH nhị phân có d  7, chuẩn syndrome gồm 3
thành phần:


7
N1  s2 / s13 , N 2  s3 / s15 , N 3  s33 / s25 .

Tính chất cơ bản của chuẩn syndrome là tính bất biến của nó với
phép thế dịch vòng.
N (S ( (e)))  N (S (e)) .
(2.13)
Định nghĩa 2.3. Norm của σ-orbit J là chuẩn syndrome của một vector
tùy ý trong J và ký hiệu là N(J).
Định lý 2.1. Cho K là tập σ-orbit tùy ý các vector lỗi nhị phân có
phổ syndrome đầy đủ với mã BCH có khoảng cách mã 2t + 1 trên trường
GF(2m) và có chuẩn syndrome khác nhau đôi một. Nếu biết rằng từ mã

nhận được chứa vector lỗi thuộc tập K thì mã đã cho sửa được lỗi này.
Để thực hiện giải mã dựa trên chuẩn syndrome cần ba bộ nhớ
ROM lưu trữ các thông tin sau:
- P1 = {N(I1), N(I2), ..., N(It)}– tập chuẩn syndrome của các σorbit I1, I2, ..., It của tập cần giải mã K (ROM 1).
- P2 = {e01, e02, ..., e0t} – tập các vector sinh của các vector lỗi cho
mỗi lớp I1, I2, ..., It (ROM 2).
- P3 = {S11-1, S12-1, ..., S1t-1} – tập các phần tử của trường Galoa
(ROM 3), trong đó s1j – thành phần syndrome đầu tiên của vector lỗi ei
trong P2 (nếu s1(t) = 0, N(It) = ∞, thì thay cho s1t-1 ghi s2t-1 cho thành
phần thứ 2 là s2t của S(et)).
Thuật toán giải cho giải mã theo phương pháp chuẩn syndrome
thực hiện tính toán qua các bước như sau:
+ Tính syndrome S(e)  (s1, s2, …, st) với si là phần tử của trường
Galoa GF(2m).
+ Tính bậc của chuẩn syndrome N.
Tính degsj, degsi là bậc thành phần si, sj của syndrome
S(e)  (s1, s2, …, si, ..., sj, ..., st) với 1≤ i < j ≤ t.
Chuẩn syndrome của syndrome S(e) tính theo công thức (2.12):
( 2i 1) / hij
( 2 j 1) / hij
N ij  s j
/ si
, hij  USCLN (2i  1,2 j  1) .
DegNij  {degsj.(2i – 1)/hij – degsi.(2j – 1)/hij } mod n.
+ Theo degNij xác định vector sinh và bậc i0 của thành phần
syndrome đầu tiên s10 ứng với vector sinh.
+ Tính số thứ tự bit lỗi đầu tiên bằng Li  (degsi – degs10) mod n.
+ Tìm vector lỗi e bằng cách dịch vòng vector sinh đi Li nhịp.
+ Sửa tín hiệu nhận được bằng cách tổng tín hiệu nhận được với
vector lỗi tìm được.

8
2.2.2. Phƣơng pháp chuẩn syndrome giải mã mã thuận nghịch
Cho mã thuận nghịch C5 có ma trận kiểm tra dạng
T
i
j
H   z ,   z  , chuẩn syndrome S  (s1, s2)  (  ,  ) là tích các
m
thành phần của syndrome trong trường GF(2 ).
N  s1.s2 =   i+j   
(2.15)
Với   T  {–  , 0, 1, 2, …, n – 1}. Bậc  được gọi là
bậc của chuẩn syndrome N và được ký hiệu degN:
(2.16)
deg N  (i  j ) mod n .
Khi phân hoạch theo các σ-orbit, chuẩn syndrome tương ứng với
các lỗi ngẫu nhiên và một số dạng lỗi phụ thuộc không trùng nhau. Ví dụ
mã thuận nghịch có độ dài 31, d  5, với phần tử nguyên thủy α là
nghiệm của đa thức x5 + x2 + 1 ngoài các lỗi bội 1, 2 còn sửa được các
vector lỗi bội 3 với các vị trí lỗi thỏa mãn i2 – i1  i3 – i2.
Chuẩn syndrome N với mã thuận nghịch C trên GF(2m) chỉ nhận
các giá trị thuộc GF(2m), bậc chuẩn syndrome degN có giá trị tùy ý
trong T. Gọi ID là lớp lỗi bội 2, đường kính D chứa lỗi tại vị trí 1 và D.
Chuẩn syndrome của các lớp lỗi bội 2 và lỗi đơn không giao nhau, nên
có thể giải mã mã thuận nghịch theo phương pháp chuẩn syndrome.
Cho P1     1,  ,...,  1 tập các chuẩn
syndrome của các lớp tương đương I1, I2, ..., Iv+1 với các lỗi bội 1, 2
(ROM 1)

P2   21 , 31 ,..., v11, i  1   i 1 (ROM 2)
Thành phần đầu tiên của syndrome của các lỗi bội 2 có vị trí thứ
nhất tại i.
Thuật toán giải mã mã thuận nghịch gồm các bước sau:
+ Tính syndrome S = (si, sj) = (αi, αj)
+ Tính chuẩn syndrome N(S) = αi . αj
+ So sánh N(S) với các phần tử của ROM 1, nếu N(S) = 1 xảy ra
lỗi đơn tại vị trí i +1. Nếu N(S) thuộc P1 nghĩa là:
N S      P1 với D >1 thì xảy ra lỗi bội 2 có đường
kính D.
+ Với D tìm được và  D1  P2 tính s1.
 D1    - bộ định vị, chỉ ra lỗi ở vị trí thứ   1
+ Vị trí thứ 2 của lỗi   1 D mod n
+ Sửa lỗi bằng cách lấy tổng của vector lỗi e và vector nhận
được r.
1

D

2

v


9
2.2.3. Phƣơng pháp chuẩn syndrome giải mã mã Reed-Solomon
Mã RS có khoảng cách cấu trúc δ, ma trận kiểm tra H:

I
b

 2b
 3b

I  b1
 2b1
 3b1
H 
 



b   2
2 b   2 
3b   2 


 I 

 n1b 

 n1b1 
 
n 1b  2  
 





(2.17)

Tương tự với mã BCH tổng quát, chuẩn syndrome Nij của các
thành phần syndrome được tạo thành từ ma trận kiểm tra (2.17) sẽ được
tính theo công thức:
b i 1 / hij
Sj
(2.18)
N ij  b j 1 / hij
Si
Trong đó hij là ước số chung lớn nhất của i và j
Các tính chất cơ bản của chuẩn syndrome đối với mã BCH và mã
Reed-Solomon tương tự nhau
Với mã RS sửa 1 lỗi modul, chuẩn syndrome có thể tính như sau:
NM 

S2
.
S1

(2.26)

Chuẩn syndrome là bất biến với mọi vector lỗi trong modul, dựa
vào tham số này sẽ xác định được vị trí modul lỗi. Thuật toán giải mã
như sau:
- Tính syndrome S = (S1, S2).
- Tính chuẩn syndrome NM theo công thức (2.26).
- Theo NM xác định số hiệu modul bị lỗi k.
- Vector lỗi e trong modul k được xác định theo giá trị S1 .
- Sửa tín hiệu nhận được bằng cách lấy tổng tín hiệu nhận được
với vector lỗi tìm được: v = r + e.

Mã RS có thể ánh xạ sang mã nhị phân, ví dụ mã RS(7,3) với d = 5,
với thành phần nguyên thủy  là nghiệm của đa thức x3  x  1, có
khả năng sửa 2 lỗi modul ma trận kiểm tra dạng:
I
I  I 
I I
 I h1 h 2 h 3  h 6 
i
i
i 1
 i2  (2.27)
 , h   
H 
2
4
6
12
I h h h  h 

3
6
9
18 
I h h h  h 


10

Các thành phần chuẩn syndrome được xác định như sau:
S

S3
S4 
  ( N1 N 2 N3 )
N   2
S2
S3 
 S1

(2.28)

2.2.4. Sơ đồ cấu trúc thiết bị giải mã mã BCH theo phƣơng pháp
chuẩn syndrome
Sơ đồ cấu trúc bộ giải mã theo phương pháp chuẩn syndrome với
d = 5 trên hình 2-2 gồm 6 khối: KTS – khối tính syndrome; khối tính
chuẩn syndrome; khối tính số lượng của sự dịch vòng; khối tính toán
vector sinh trong σ-orbit; khối tính vector lỗi hiện thời; mạch sửa.

r
KTS

Khối tính N
norm

Khối tính
vector
sinh

e0

Khối tính

vector lỗi
hiện thời

e

Mạch
sửa

v

Khối tính
lượng dịch
vòng

Hình 2-2 Sơ đồ cấu trúc bộ giải mã dựa trên chuẩn syndrome
2.2.5. Sơ đồ cấu trúc thiết bị giải mã mã RS theo chuẩn syndrome
Xét mã RS nhị phân (21, 15) với ma trận kiểm tra có dạng:
I3 I3 I3 I3 I3 I3 
I
H =  30
h1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 
h
0
1
2
0
1
2
0
1

2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
H =                      
0
1
2
1
2
3
2
3
4
3
4
5
4
5
6
5

6
0
6
0
1
                     

Trên hình 2-6 trình bày sơ đồ cấu trúc của thiết bị giải mã mã RS
theo phương pháp chuẩn syndrome. Thiết bị giải mã bao gồm khối tính
syndrome (KTS), khối các mạch AND, khối mạch sửa (MS), khối xác
định số hiệu modul lỗi (KXĐML). Các đầu vào của khối tính syndrome
và các đầu vào thứ nhất của MS được nối với nhau và là đầu vào của


11
thiết bị giải mã. Các đầu ra thứ nhất của KTS được nối với đầu vào thứ
nhất của khối các mạch AND và các đầu vào thứ nhất của KXĐML, các
đầu vào thứ hai của khối được nối với các đầu ra thứ hai của KTS. Các
đầu ra của KXĐML được nối với đầu vào thứ hai của khối các mạch
AND, đầu ra của khối các mạch AND được nối với đầu vào thứ hai của
MS, đầu ra MS là đầu ra của thiết bị giải mã.

S2

Khối tính
syndrome

S1

Mạch “AND”

r

Mạch sửa

М
М
2
2М
М
2
М
2
2М
М
2
2
Hình 2-6 Sơ đồ cấu trúc thiết bị giải mã mã Reed-Solomon
&
&
&
&
&
&
&

Khối xác định số
hiệu modul lỗi

S1

DC 1
0 1 2 3 4 5 6

S2

DC 2

0
1
2
3
4
5
6

LA

degN =0
degN = 1
degN = 2
degN = 3
degN = 4
degN = 5
degN = 6

Hình 2-7 Sơ đồ chức năng khối xác định modul lỗi

v

12
Trên hình 2-7 trình bày một trong các phương án thực hiện khối
xác định số hiệu modul lỗi thực hiện trên thiết bị logic lập trình được.
Khối này bao gồm các bộ giải mã DC1, DC2 để xác định i, j và mảng
logic (LA). Các đầu vào của khối được nối đến khối KTS, trên đầu ra
của các bộ giải mã DC1, DC2 tạo ra tín hiệu tương ứng với các giá trị i,
j, chúng được đưa đến mảng logic. Trên đầu ra của mảng logic tạo ra tín
hiệu logic 1 phụ thuộc vào giá trị degN = (j-i) mod n, do đó tại đầu ra
của khối sẽ có tín hiệu tương ứng với số hiệu modul lỗi.
2.3. Kết hợp phƣơng pháp chuẩn syndrome và phép thế cyclotomic
2.3.1. Tác động của phép thế cyclotomic lên không gian vector lỗi
Phép thế cyclotomic theo modul n với trường GF(q) là tập hợp:
(2.29)
Cs  s, sq, sq2 , ..., sqm 1, sqm  s mod n
Định nghĩa 2.4. Trên tập T = {1, 2, ..., n} biến đổi υ thỏa mãn
υ(i) = 2i-1 mod n khi đánh số tọa độ vector lỗi từ 1 đến n. Với n lẻ, υ
là song ánh trên tập T. Khi đánh số tọa độ của vector lỗi từ 0 đến (n-1),
ta có υ(i) = 2i mod n. Tương tự khi áp dụng biến đổi này k lần ta có:
υk(i)= i2k mod n. Khi đó các số i, 2i, 22i, ...2m-1i tạo thành một lớp cyclotomic
theo modul n. Các phép thế υ, υ2, .. υm = 1 gọi là nhóm cyclotomic Φ.
s

s

1

2

3

4

5

6

7

0

1

1

1

0

0

0

φ(e): 0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

e =φ3(e): 0

1

1

1

0

0

0

e:

φ2(e):

Hình 2-8 Tác động của phép thế cyclotomic với vector e = 0111000
2.3.2. Giải mã theo chuẩn syndrome dựa trên phép thế cyclotomic
Với n = 31 trong trường GF(2) tồn tại 6 lớp cyclotomic như sau:
{1, 2, 4, 6, 8, 16}; {3, 6, 12, 24, 17}; {5, 10, 20, 9, 18}; {7, 14, 28, 25,
19}; {11, 22, 13, 26, 21}; {15, 30, 29, 27, 23}. Trên bảng 2-9 biểu diễn
giá trị chuẩn syndrome của các lỗi bội 2 (15 lớp vector) với mã có chiều
dài 31, với đa thức sinh của trường x5 + x3 + x2 + x + 1.


13
Bảng 2-9. Vector sinh lỗi bội 2 của các lớp dịch vòng và chuẩn syndrome
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12
13
14
15

N
3
6
14
12
30
28
19
24
23
29
27
25
15
7
17

Vector sinh e0
1100000000000000000000000000000
1010000000000000000000000000000
1001000000000000000000000000000
1000100000000000000000000000000
1000010000000000000000000000000

1000001000000000000000000000000
1000000100000000000000000000000
1000000010000000000000000000000
1000000001000000000000000000000
1000000000100000000000000000000
1000000000010000000000000000000
1000000000001000000000000000000
1000000000000100000000000000000
1000000000000010000000000000000
1000000000000001000000000000000

Chuẩn syndrome của các vector lỗi bội 2 thuộc 3 lớp cyclotomic
({3, 6, 12, 24, 17}; {7, 14, 28, 25, 19}; {15, 30, 29, 27, 23}). Với các mã
C5 có đa thức sinh khác cũng phân phối chuẩn syndrome của các lỗi bội
2 thành 3 lớp cyclotomic. Số lượng các tổ hợp chọn lọc có thể rút gọn 5
lần so với mã C5.
Ký hiệu chuẩn syndrome của vector sinh của phần tử đầu tiên
trong các lớp cyclotomic là Nao, Nbo, Nco (trong ví dụ trên Nao = 3, Nbo = 7,
Nco = 15). Phương pháp giải mã dựa trên phép thế cyclotomic với mã C5
như sau:
+ Tính syndrome S và chuẩn syndrome N của tổ hợp nhận được.
+ So sánh giá trị N với mỗi giá trị Nao, Nbo, Nco, nếu N trùng với một
trong các giá trị này sẽ xác định lớp cyclotomic mà N thuộc về lớp đó.
+ Nếu N không trùng với cả ba giá trị Nao, Nbo, Nco, thực hiện phép
dịch cyclotomic và lặp lại bước 2.
+ Xác định lớp cyclotomic mà N thuộc về lớp đó, theo số lượng
phép dịch cyclotomic, xác định giá trị N = Ndịch, vector sinh tương ứng
e 0.
+ Theo giá trị S, N, e0 tính giá trị vector lỗi tức thời.

14
Lưu đồ thuật toán giải mã biểu diễn trên hình 2-9, trong đó N0 xác
định phần tử đầu tiên của các lớp cyclotomic, F1 – hàm tính giá trị N, F2 –
hàm tính vector sinh e0, F3 – hàm tính vector lỗi tức thời.
Begin
r
Tính S

No

Nd= No?

Yes

Tính N

SL phép dịch
x=0

Dịch
cyclotomic
Nd

N = F1(Nd,x)

eo = F2(No)
Nd = N

x = x+1

e = F3(S,N,eo)
e
End

Hình 2-9 Lưu đồ thuật toán giải mã C5, dựa trên phép thế cyclotomic.
Để tiếp tục giảm độ phức tạp giải mã có thể sử dụng phương pháp
xử lý từng bước các lớp cyclotomic. Xét mã C5, n = 31, biểu thức
N co  ( N b0  ) mod n  ( N a0  2) mod n , xác định quy tắc chuyển từ
một lớp cyclotomic này sang lớp khác. Vì vậy có thể chọn 1 trong 3
phần tử của một lớp cyclotomic và ký hiệu là N0. Quy tắc giải mã theo
các bước sau:
+ Tính syndrome S và chuẩn syndrome N.
+ Chọn N 0  N a0 .
+ So sánh N và N0 (N trùng N0 chỉ ra lớp cyclotomic chứa giá trị N
tính được).


15
+ Nếu N không trùng với bất kỳ phần tử nào của lớp cyclotomic thì
giá trị phần tử sinh của lớp cyclotomic N0 tăng lên ∆ và so sánh N với N0.
+ Xác định lớp cyclotomic chứa giá trị chuẩn syndrome N, theo số
lượng phép dịch đã thực hiện xác định giá trị N0 = Ndịch theo bảng giá trị
tìm vector sinh e0 tương ứng với chuẩn syndrome.
+ Theo giá trị S, N và e0 xác định vector lỗi hiện thời, giá trị ∆
được chọn phụ thuộc vào lớp cyclotomic được sử dụng.
Lưu đồ thuật toán giải mã theo quy tắc giải mã nêu trên được minh
họa trên hình 2-10.
Begin
r
Tính S

No

No=Nd

Yes

Tính N
Yes

No
x
Số lượng dịch
x=0
Nd = N

No = Nao

Tăng số
lượng dịch
x=x+1

No = (No + ∆)mod n

Dịch
cyclotomic N

Quy không bộ đếm
x=0

N = F1(Nd, x)

eo = F2(No)
e= F3(S, N, eo)
e
End

Hình 2-10 Lưu đồ thuật toán giải mã dựa trên xử lý từng bước các
lớp cyclotomic cho mã C5 với n = 31
2.3.3. Giải mã dựa trên nén chuẩn syndrome
Khi S1 ≠ 0 theo công thức (2.7) với mã BCH nguyên thủy (b,n) = 1,
phổ syndrome của σ-orbit J = <e> chứa n syndrome khác nhau đôi một
|S(J)| = |J| = n, nghĩa là thành phần S1 nhận mỗi một giá trị khác 0 trong
trường GF(2m) đúng 1 lần. Nếu với vector e nào đó thuộc σ-orbit J có S1
= 0 thì tất cả các vector của σ-orbit đó đều có thành phần syndrome thứ
nhất bằng 0.


16
Mo,w là liên kết của các σ-orbit của các vector lỗi tạo thành G-orbit.
Trong bảng 2-12 trình bày tập hợp M0,3, M0,4 liên kết thành các lớp
dịch vòng trong không gian E15 tạo thành bởi các σ-orbit này, vector
sinh, syndrome của chúng, thành phần N3 của chuẩn syndrome của mã
C7 với đa thức sinh của trường x4 + x +1. Tập hợp 35 vector M0,3 chia
thành 3 σ-orbit, lớp cyclotomic Φ1 có các vector sinh (1, 12, 13) và
(1, 8, 10) (mỗi vector này sẽ có thêm 14 vector dịch vòng), lớp Φ2 có
vector sinh (1, 6, 11) (và 4 dịch vòng của nó). Thành phần chuẩn
syndrome thứ 3 của các vector thuộc M0,3 trùng với chuẩn syndrome của
các lỗi bội 4 thuộc tập M0,4. Các σ-orbit của tập hợp M0,3; M0,4 có chuẩn

syndrome N = (∞, ∞, α5) (gồm một σ-orbit của lỗi bội 3 và 3 σ-orbit lỗi
bội 4) có phổ syndrome như nhau. Ngoài thành phần thứ 3 của chuẩn
syndrome, khi bổ sung thêm các giá trị degs2 có thể xác định đơn trị
vector sinh của các σ-orbit này. Chú ý rằng dưới tác động của phép thế
cyclotomic giá trị degs2 sẽ được nhân đôi.
Bảng 2-12. Vector sinh, syndrome S và chuẩn syndrome N3
của tập hợp hợp M0,3; M0,4
Lớp
Số thứ tự
Vector sinh
Syndrome
N3
cyclotomic
σ-orbit
8
10
1
(1,12,13)
(0, α , α )
α5
Ф1
2
(1,8,10)
(0, α1, α5)
α10
0
Ф2
3
(1,6,11)
(0, α , 0)

0
4
(1,2,3,11)
(0, α2, α5)
α5
5
(1,3,5,6)
(0, α4, α10)
α10
Ф3
6
(1,5,9,11)
(0, α8, α5)
α5
1
10
7
(1,2,6,9)
(0, α , α )
α10
11
5
8
(1,3,10,13)
(0, α , α )
α5
Ф4
9
(1,4,5,10)
(0, α7, α10)

α10
12
Ф5
10
(1,2,4,8)
(0, α , 0)
0
Giả sử với vector lỗi e tùy ý, syndrome S(e) = (s1, s2, ..., st) có thành
phần đầu tiên s1 = αh ≠ 0, sau khi dịch vòng n – h nhịp sẽ nhận được s1* = 1.
Xét vector g là tổng của vector f nhận được sau khi dịch vòng vector e và
vector (1, 0, ...,0), g = τ(f) = f + 1, rõ ràng syndrome của g có thành phần
thứ nhất bằng 0. Vector g tạo thành tập M10,w trong M0,w. Trên hình 2-11
biểu diễn tác động của biến đổi τσn-h với các vector lỗi bội 2 trong không
gian E15, khi đó 105 vector lỗi bội 2 (7 σ-orbit) được nén thành 7 vector
bội 3 thuộc 3 σ-orbit có thành phần s1 = 0.


17

(1,3)
(8,13,5)

(1,2)
(4,14,10)

(1,5)
(1,11,10)

 14

f

(4,15)
(0,8,5)

 11

(13,12)
(0,2,5)

(1,4)
(14,7,)

(1,8)
(9,13,10)



6

(1,12,13)

 12

4

2

7

(7,14)
(0,1,10)

(2,5)
(0,10,)

(8,10)
(0,4,10)

5

(6,11)
(0,,0)

(3,9)
(0,5,)

(1,8,10)

9

(1,6)
(10,,5)

(1,7)
(13,14,)

8

(1,6,11)

5
(1,4,15)



14

(1,2,5)

(1,7,14)



13

(1,3,9)

Hình 2-11 Tác động của các phép thế τσn-h với các
vector lỗi bội 2 trong không gian E15
Như vậy nếu xác định được vector g sẽ tìm được vector e = σh(τ(g)).
Việc xác định g đơn giản hơn việc xác định e bởi vì số lượng vector g ít
hơn số lượng vector e đúng n lần; số lượng σ-orbit của g ít hơn của e
khoảng w + 1 lần; số lượng thành phần chuẩn syndrome cũng giảm đi.
Tuy nhiên cần tính đến khả năng các vector g có trọng số khác nhau có
cùng chuẩn syndrome và syndrome. Khi đó cần đánh giá trọng số của g
theo syndrome và trước tiên xác định các vector có trọng số w ≤ t, sau
đó mới xét vector trọng số t+1. Chú ý rằng trong mỗi σ-orbit của các
vector thuộc tập M0,w chỉ có w vector thuộc tập M10,w, vì vậy có thể xác
định đơn trị vector g. Quy tắc giải mã theo phương pháp nén chuẩn

syndrome như sau.
1. Tính syndrome S = (s1, s2, ..., st), nếu S = 0, không xảy ra lỗi, với
S ≠ 0, giải mã theo các bước sau.


18
2. Nếu s1 = 0, tính chuẩn syndrome, xác định vector lỗi theo phương
pháp chuẩn syndrome.
3. Nếu s1 = αh ≠ 0, sử dụng biến đổi g = τσn-h(e), khảo sát giá trị
S(g) = (0, N12 + 1, ..., N1t +1), nếu S(g) = 0, xảy ra lỗi đơn tại vị trí h.
4. Với S(g) ≠ 0, chuyển về bước 2 và giải mã theo phương pháp
chuẩn syndrome để xác định g.
5. Biến đổi vector g để xác định vector lỗi e = σh(τ(g)).
Mã BCH (31, 16) số lượng vector lỗi bội 1, bội 3 cần phân tích là
4991. Khi sử dụng phương pháp chuẩn syndrome yêu cầu phân tích 161
chuẩn syndrome. Với phương pháp nén chuẩn syndrome yêu cầu phân
tích 5 σ-orbit của tập M0,3 (gồm một G-orbit) hoặc phân tích 31 vector
thuộc tập M10,3, M10,4 do đó nếu tính đến cả phép dịch vòng thì chỉ cần
5 + 31 + 1 + 31 = 68 phép phân tích. Độ phức tạp giải mã giảm khoảng
73 lần so với phương pháp syndrome thông thường, giảm 3 lần so với
phương pháp chuẩn syndrome.
2.4. Kết luận chƣơng 2
Các kết quả chương 2 bao gồm:
(1) Nghiên cứu phương pháp giải mã thế mã BCH và các biến thể dựa
trên chuẩn syndrome:
- Phân loại các vector lỗi theo chuẩn syndrome, tham số đặc trưng
bởi cấu trúc của mã BCH.
- Nghiên cứu các thuật toán giải mã mã BCH và biến thể dựa trên
chuẩn syndrome.
(2) Đề xuất sơ đồ cấu trúc thiết bị giải mã theo phương pháp chuẩn

syndrome cho mã BCH và các biến thể:
- Sơ đồ cấu trúc thiết bị giải mã mã BCH sử dụng các bộ cộng
modul và các bộ nhớ ROM, thiết bị giải mã mã BCH, Reed-Solomon
trên thiết bị logic khả trình có mức tác động nhanh cao, độ phức tạp thấp.
(3) Đề xuất kết hợp phép thế cyclotomic và phương pháp chuẩn
syndrome để giải mã mã BCH:
- Phương pháp giải mã dựa trên phép thế cyclotomic cho phép rút
gọn số tổ hợp cần chọn lọc đến 5, 7, 11 lần với mã C5 có độ dài n = 31,
127, 1047 tương ứng.
- Nghiên cứu phương pháp nén chuẩn syndrome giải mã mã BCH.
Với mã BCH (31,16) phương pháp đề xuất cho phép giảm độ phức tạp 3
lần so với phương pháp chuẩn syndrome thông thường.
Nội dung của chương này đã được công bố trong các công trình
CT1, CT2, CT5.


19
CHNG 3: M RNG KH NNG SA LI CA M BCH
S DNG PHNG PHP CHUN SYNDROME
3.1. Nghiờn cu m rng kh nng sa li ca mó BCH v cỏc bin th
3.1.1. M rng kh nng sa li ca mó BCH
Trc ht xột mó BCH C5 cú chiu di n = 2m - 1, m 4. Chỳ ý
r ng vi mó ny chun syndrome cú n + 2 giỏ tr phõn bit, tng ng
n.(n+2) vetor li khỏc 0. Lựa chọn đa thức sinh của tr-ờng một cách hợp
lý, mã BCH nguyên thủy C5 sửa đ-ợc đồng thời lỗi bội 2 và mọi lỗi chùm
dài 4.
nh lý 3.1. Nu phn t nguyờn thy khụng l nghim ca a
thc x 6 x 5 x 2 x 1;
x 6 x 5 x 4 x 1 v vt ca cỏc
phn t sau bng 1

( 1) 4
( 1) 4 ( 2 1)
1
;


;
2
( 2 1) 3
( 3 1) 3
(3.1)
( 1) 4 2 ( 2 1)
3
;
( 3 1) 3
( 1) 2 ( 5 1)
4
( 3 2 1) 3
thỡ mó BCH nguyờn thy C5 sa c ng thi li bi 2 v mi
li chựm di 4.
Trong trng hp cỏc iu kin ca nh lý 3.1 tha món tr iu
kin Tr 4 0 , mó BCH C5 cú th sa c cựng vi li bi 2 l cỏc li
chựm di 4 tr li c.
Mó BCH C7 cú chiu di n = 2m 1, m 4 s cú C1n, C2n, C3n
vector li tng ng trng lng 1, 2, 3. Tng s syndrome chim mt
na tp hp tt c cỏc giỏ tr syndrome, gii mó c (n+2)2 + (n+2) J-orbit, tng ng vi n.((n+2)2 + (n+2)) = (n+1)3 1 vector li khỏc 0.
Vỡ vy cú th m rng kh nng sa li ca mó C7.
Xột mó C7 (15,5) trờn GF(24) vi a thc sinh x 4 x 1 . Ký
hiu K tp hp cỏc li bi 1, bi 2, bi 3, cha 39 -orbit (1 -orbit li
n, 7 -orbit li bi 2, 31 -orbit li bi 3). Tp K cha 38.15 + 5 =

576 vector li. B sung vo tp K cỏc -orbit ca cỏc li chựm cú vector
sinh dng <ei> = <1, 2, 3, ..., i> vi i = 4, 5, 6, 7 v cho phộp tng kh
nng sa li ca mó lờn hn 10%.


20
Bảng 3-3. Vector sinh, σ-orbit, syndrome, chuẩn syndrome của các lỗi chùm.
TT Đường kính σ-orbit Vector sinh e Syndrome S(e) Norm(S(e))
1
4
I1
(1,2,3,4)
(α12, α12, 1)
(α6, 1, 1)
6
10
2
5
I2
(1,2,3,4,5)
(α ,0, α )
(0, α10, ∞)
3
6
I3
(1,2,3,4,5,6)
(α9, 1, 0)
(α3, 0, 0)
5
14

4
7
I4
(1,2,3,4,5,6,7) (α , α , 1)
(α14, α5, α3)
Tập K mở rộng gồm tất cả các σ-orbit của các lỗi bội 1, 2, 3 và các
σ-orbit I1, I2, I3, I4 gồm 43 σ-orbit chứa tổng cộng 635 vector lỗi thỏa
mãn điều kiện định lý 2.1. Do đó mã C7 (15,5) sửa được các lỗi nói trên.
ThuËt to¸n gi¶i m· gồm các bước:
- Tính syndrome: S = r . HT = (S1, S2, S3)
- Tính chuẩn syndrome:
N = (N1, N2, N3) =  S 2 ,
 3
 S1

S3
,
S15

S 33
S 25






- Tập hợp (N1, N2, N3) chỉ ra dạng vector lỗi và kết hợp với giá trị
S1 để tìm lượng dịch vòng x để xác định vector lỗi hiện thời e.
- Đầu ra từ mã đúng v: v = r + e.

3.1.2. Mở rộng khả năng sửa lỗi của các mã BCH biến thể
Bổ sung thêm bit kiểm tra chẵn lẻ, nhận được mã BCH mở rộng
ˆ nhận được từ H bằng cách bổ sung thêm một
Cˆ có ma trận kiểm tra H
hàng toàn các bit 1. Mở rộng thêm một bit kiểm tra chẵn lẻ cho mã C 5
nhận được mã Cˆ có khoảng cách Hamming lúc này d = 6, bit kiểm
tra chẵn (parity) của lỗi bội 2 bằng 0, của các lỗi đặc bội lẻ bằng 1,
nhờ đó phân biệt được 2 cấu hình lỗi trên. Mã BCH có khoảng cách
d = 6 cho phép sửa đồng thời lỗi bội 2 cùng với các lỗi chùm đặc bội lẻ
và phần lớn các lỗi chùm đặc độ dài chẵn, vì vậy có thể mở rộng miền
ứng dụng của nó.
Với mã thuận nghịch C  có ma trận kiểm tra
H  ( i ,   i , I )T , với 0  i  2m  2 , đây là biến thể của mã thuận
nghịch C5 loại bỏ tất cả các từ mã trọng lượng lẻ. Vì vậy mã C  cùng với
lỗi bội 2 sửa được tất cả các lỗi chùm đặc độ dài lẻ và các lỗi đặc độ dài l
chẵn (l ≥ 4) nếu Trc = 1, với c   l 1 (1   2 )(1   2l ) .
Trường hợp trên, trong phần thứ nhất H1 của ma trận kiểm tra của
mã thuận nghịch mở rộng tham số i được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Giả sử sắp xếp các cột của H1 theo một thứ tự khác và thay thế đồng bộ


21
với các cột của H2. Cột thứ i của H1 là biểu diễn m bit của số nguyên i
~
-1, 1 ≤ i ≤ n = 2m với m lẻ nhận được mã C có ma trận kiểm tra
~
~ ~
H  ( H1 , H 2 , I )T , khoảng cách mã d = 6. Các cột của nó được chia
thành các modul dài 4 ký hiệu là Mj với 0 ≤ j ≤ n/4 -1. Khảo sát khả
~

năng sửa đồng thời lỗi bội 1, bội 2 và các lỗi modul dài 4 của mã C .
~
Định lý 3.2. Mã C với m lẻ cho phép đồng thời sửa lỗi ngẫu nhiên
bội 1,2 và các lỗi modul dài 4 nếu vết của phần tử sau bằng 1.
(3.13)
c  (1     2 ) 1
Tương tự như mã C5, với mã C7, mở rộng 1 bit kiểm tra chẵn lẻ,
mã BCH C8 đồng thời sửa lỗi bội 3 trở xuống và các lỗi chùm độ dài đến 5.
3.2. Nghiên cứu mở rộng khả năng sửa lỗi của mã Reed-Solomon
3.2.1. Đồng thời sửa và nhận dạng lỗi modul nhờ mã Reed-Solomon
Xét mã RS(15,12) với d = 4, với thành phần nguyên thủy  là
nghiệm của đa thức x4  x  1, có khả năng sửa 1 lỗi modul và nhận
dạng được lỗi 2 modul ma trận kiểm tra dạng:
I I I I  I 
i
i
i 1
i 2
i 3
(3.17)
H   I h1 h 2 h 3  h14  , h     
2
4
6
28
 I h h h  h 
với I là các ma trận đơn vị 4 x 4.



 S 2 S3 

,

 S1 S 2 

Chuẩn syndrome N  ( N1 , N 2 )  



(3.18)

Với lỗi trong 1 modul thì S = (S1, S2, S3), N1 = N2 =  l (lỗi modul
thứ l, với l = 0, 1, 2,...., 14), vector lỗi e = S1 .Với N1 ≠ N2 nhận dạng
được đây là lỗi modul bội 2, có thể xử lý riêng biệt.
3.2.2. Đồng thời sửa lỗi modul và lỗi chùm nhờ mã Reed-Solomon
Xét mã RS(15,12) với d = 4, với thành phần nguyên thủy  là
nghiệm của đa thức x4  x  1, mỗi modul có độ dài 4 bit, ma trận kiểm
tra có dạng (3.17). Đối với các cấu hình vector lỗi độ dài 2, 3, 4, 5, 6 xảy
ra tại 2 modul liền kề nhau chuẩn syndrome không trùng với lỗi modul.
Quy tắc giải mã như sau:
- Tính syndrome: S = r . HT = (S1, S2, S3)
- Tính chuẩn syndrome: N = (N1, N2) = (S2/S1, S3/S2)
- Từ giá trị N, kết hợp với giá trị S1 (hoặc S2) để tìm lượng dịch
vòng x và chỉ ra được vector lỗi e.
- Đầu ra từ mã đúng v: v = r + e


22
3.3. Khảo sát hiệu quả mã BCH có mở rộng khả năng sửa lỗi

Mã được khảo sát BCH C7 (31,16) với đa thức sinh của trường
tương ứng là x5 + x4 + x2 + x + 1 (067), x5 + x4 + x3 + x2 + 1 (075) sử
dụng điều chế BPSK.
3.3.1. Khảo sát trên kênh Gauss

Hình 3-5 Hiệu quả của mã BCH trên kênh Gauss với đa thức sinh 067.

Hình 3-6 Hiệu quả của mã BCH trên kênh Gauss với đa thức sinh 075.
Độ lợi mã hóa theo phương pháp chuẩn syndrome so với phương
pháp Berlekamp-Massey khi sử dụng mã BCH với đa thức sinh 067, 075
trên kênh Gauss tương ứng là 2,8dB; 2,7dB tại BER = 10-4.


23
3.3.2. Khảo sát trên kênh Rayleigh
Trên hình 3-8, 3-10 trình bày kết quả mô phỏng hiệu quả của mã
BCH trên kênh pha đinh Rayleigh phẳng. Trong mô hình mô phỏng sử
dụng thêm khối ghép xen với độ sâu L = 5

Hình 3-8 Hiệu quả của mã BCH
trên kênh Rayleigh phẳng với đa
thức sinh 067, L = 5.

Hình 3-10 Hiệu quả của mã BCH
trên kênh Rayleigh phẳng với đa
thức sinh 075, L = 5.

Độ lợi mã hóa theo phương pháp chuẩn syndrome so với phương
pháp Berlekamp-Massey khi sử dụng mã BCH với đa thức sinh 067, 075
trên kênh pha đinh Rayleigh phẳng tương ứng 5,1dB; 5,8dB tại BER = 10-4.

3.4. Kết luận chƣơng 3
Các kết quả chương 3 đạt được bao gồm:
(1) Nghiên cứu vấn đề mở rộng khả năng sửa lỗi của mã BCH sử
dụng phương pháp chuẩn syndrome bao gồm:
- Đồng thời sửa lỗi ngẫu nhiên và lỗi chùm nhờ mã BCH.
- Đồng thời sửa lỗi ngẫu nhiên và lỗi chùm nhờ các mã BCH mở
rộng, mã thuận nghịch mở rộng.
- Kết quả mô phỏng trên cho thấy phương pháp chuẩn syndrome
so với phương pháp Berlekamp – Massey khi sử dụng mã BCH(31,16)
trên kênh Gauss và kênh pha đinh Rayleigh phẳng cải thiện khoảng
2,7dB; 5,1dB tương ứng tại BER = 10-4.
(2) Nghiên cứu vấn đề mở rộng khả năng sửa lỗi của mã ReedSolomon nhờ phương pháp chuẩn syndrome bao gồm: