Phát triển năng lực giải toán số học cho học sinh trường trung học cơ sở

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––

VŨ VIỆT BẮC

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN SỐ HỌC
CHO HỌC SINH TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––––

VŨ VIỆT BẮC

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN SỐ HỌC
CHO HỌC SINH TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. CAO THỊ HÀ

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu là của riêng tôi và chưa
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các số liệu và trích dẫn là hoàn
toàn trung thực.
Tác giả

Vũ Việt Bắc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

i

/>

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn khoa học
PGS.TS Cao Thị Hà đã tận tình hướng dẫn, hết lòng giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Lý
luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại hoc sư phạm, Đại
học Thái Nguyên đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực
hiện luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô khoa
Toán, phòng Đào tạo, trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành

luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các bạn đồng nghiệp và BGH trường
THCS Lê Quý Đôn - PGD Quảng Yên. Nhân dịp này tác giả xin chân thành
cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập và nghiên cứu.
Dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,
tác giả mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn.

Tác giả

Vũ Việt Bắc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

ii

/>

MỤC LỤC
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
Danh mục các bảng............................................................................................. iv
MỞ ĐÂU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu................................................................. 3
4. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3

7. Dự kiến đóng góp của luận văn ....................................................................... 3
8. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 5
1.1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu .................................................................. 5
1.1.1. Khái niệm năng lực ............................................................................. 5
1.1.2. Mô hình cấu trúc tổng quan về năng lực ............................................. 7
1.1.3. Tổng quan về phát triển năng lực cho HS trong quá trình DH ........... 9
1.2. Năng lực giải toán ....................................................................................... 10
1.2.1. Khái niệm năng lực giải toán ............................................................ 10
1.2.2. Cấu trúc của năng lực giải toán ......................................................... 14
1.3. Năng lực giải toán số học ........................................................................... 18
1.3.1. Năng lực dự đoán vấn đề ................................................................... 18
1.3.2. Năng lực tư duy thuật giải ................................................................. 18
1.3.3. Năng lực chọn ra con đường tối ưu ................................................... 19
1.4. Thực trạng việc dạy số học ở trường THCS ............................................... 20
1.5. Kết luận chương 1....................................................................................... 21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

iii

/>

Chƣơng 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN SỐ HỌC CHO
HỌC SINH TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ............................................. 22
2.1. Khái quát về nội dung, chương trình số học ở truòng THCS. .................... 22
2.1.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của số học trong
chương trình toán ở trường THCS .............................................................. 22
2.1.2. Một số lưu ý khi DH số học ở trường THCS ................................... 23
2.2. Một số biện pháp để phát triển năng lực giải toán số học cho học sinh
trường THCS ..................................................................................................... 28

2.2.1. Biện pháp 1: Chú trọng việc củng cố kiến thức theo chủ đề cho
HS trong quá trình DH ................................................................................ 28
2.2.2. Biện pháp 2. Xây dựng hệ thống bài tập có phân bậc nhằm gây
hứng thú cho người học trong quá trình DH .............................................. 39
2.3. Kết luận chương 2....................................................................................... 52
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ...................................................... 53
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................. 53
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................................. 53
3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................................... 58
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ..................................................................... 58
3.3.2. Tiến trình thực nghiệm ..................................................................... 58
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................... 79
3.4.1. Đánh giá định lượng ......................................................................... 79
3.4.2. Đánh giá định tính............................................................................. 83
3.5. Kết luận chương 3....................................................................................... 84
KẾT LUẬN....................................................................................................... 85
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 86

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

iv

/>

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Điểm kiểm tra đầu vào trước tác động của lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng .................................................................................. 79
Bảng 3.2.

Điểm kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng .......80

Bảng 3.3. Điểm kiểm tra trước và sau tác động của lớp đối chứng ................ 81
Bảng 3.4. Điểm kiểm tra trước và sau thực nghiệm của lớp thực nghiệm ..... 82

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

iv

/>

MỞ ĐÂU
1. Lý do chọn đề tài
Đảng và Nhà nước xác định mục tiêu của đổi mới tạo chuyển biến căn
bản, mạnh mẽ về chất lượng, hiệu quả giáo dục, đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt
hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và nhu cầu học tập của nhân dân.
Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất tiềm
năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng
bào; sống tốt và làm việc hiệu quả.
Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI
(Nghị quyết số 29-NQ/TW) với nội dung Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục
và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa - hiện đại hóa trong điều kiện
kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế.
Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại;
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của
người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập
trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự
cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ
yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã
hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học.
Luật giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã

quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê
học tập và ý chí vươn lên" (chương I, điều 4). "Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh" (chương I, điều 24). Những quy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

1

/>

định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu
thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng sự phát triển nói
chung của phương pháp giáo dục ở nước ta hiện nay. Mâu thuẫn này đã làm
nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất
cả các cấp trong ngành giáo dục với định hướng đổi mới PPDH là: PPDH
cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng
hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Định hướng này có thể gọi
tắt là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, hay ngắn gọn hơn là hoạt
động hoá người học.
Môn Toán có một vị trí rất quan trọng trong trường phổ thông, nó phối
hợp với các môn khác và các hoạt động khác trong nhà trường và góp phần
giáo dục toàn diện học sinh. Do vai trò to lớn của toán học trong đời sống khoa
học kỹ thuật hiện đại nên các kiến thức và phương pháp toán học là công cụ
thiết yếu giúp cho học sinh học tập tốt các môn học khác, giúp cho các em học
sinh phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện óc trừu
tượng, suy luận hợp logíc. Ngoài ra nó còn giúp cho học sinh tính cần cù nhẫn
nại, tự lực tự cường, tính cẩn thận, chính xác….

Số học là một lĩnh vực quan trong của Toán học, nó là cơ sở của Toán
học, đồng thời nó còn có vai trò vô cùng quan trọng trong khoa học, trong cuộc
sống và đặc biệt là trong việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh. Tuy
nhiên, trong thực tiễn DH môn Toán ở trường THCS, việc DH nội dung Số học
vẫn còn nhiều bất cập, điều này thể hiện ở việc học sinh chưa tìm thấy được
niềm vui trong học tập Số học, chưa có những kĩ năng để giải các bài toán Số
học. Do vậy, việc phát triển năng lực giải toán Số học nói riêng và năng lực giải
Toán nói chung cho HS là rất quan trọng. Bởi vậy tôi lựa chọn đề tài: “Phát
triển năng lực giải toán số học cho học sinh trường trung học cơ sở”.
2. Mục đích nghiên cứu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

2

/>

Đề xuất một số biện pháp sư phạm để phát triển năng lực giải toán số học
cho học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy và học số học ở trường THCS.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học số học cho học sinh ở trường THCS.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Các phương án phát triển năng lực giải toán số học cho học sinh
trường THCS.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được những biện pháp để phát triển năng lực giải toán số
học cho HS trong quá trình DH thì có thể nâng cao được năng lực giải toán số
học, kích thích được lòng say mê học tập đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ
năng giải toán số học nói riêng và góp phần phát triển năng lực giải toán nói
chung.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Làm rõ cơ sở lý luận của việc phát triển năng lực và năng lực giải
toán số học của học sinh trường THCS.
5.2. Khảo sát thực trạng dạy học nội dung số học và kỹ năng giải bài tập
số học của học sinh trường THCS.
5.3. Đề xuất một số biện pháp sư phạm để phát triển năng lực giải toán
số học cho học sinh ở trường THCS.
5.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kết luận tính khả thi và hiệu quả
của các nội dung đã đề xuất trong quá trình giảng dạy.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
6.2. Phương pháp điều tra, quan sát thực tiễn
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
7. Đóng góp của luận văn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

3

/>

7.1. Những đóng góp về mặt lý luận
Đề xuất được một phương pháp sư phạm mang tính khả thi nhằm phát
triển năng lực giải toán số học cho học sinh trường trung học cơ sở.
7.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn
Các biện pháp phát triển năng lực giải bài tập số học cho HS trường THCS.
Kết quả có thể là tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy toán trường
THCS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán.
8. Cấu trúc của luận văn
Gồm ba phần, phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Phát triển năng lực giải toán số học cho học sinh trường THCS
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

4

/>

Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
1.1.1. Khái niệm năng lực
Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng La tinh “competentia”.
Ngày nay khái niệm năng lực được hiểu nhiều nghĩa khác nhau, chẳng hạn
“Năng lực được hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với
một công việc”. Theo quan điểm của Tâm lý học thì “Năng lực là một thuộc tính
tâm lý phức hợp, là điểm hội tụ của nhiều yếu tố như tri thức, kỹ năng, kỹ xảo,
kinh nghiệm, sự sẵn sàng hành động và trách nhiệm” [30].
Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm
vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết
quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng
đang tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của
con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết
những yêu cầu đặt ra.
Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học cho
thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động. Qua quá
trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kĩ năng, kỹ xảo

cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với
mức độ mới cao hơn. Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong để giải
quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc
sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định. Dưới đây là một số
cách hiểu về năng lực:
+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả
năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [28].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

5

/>

+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con
người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần
thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó. [1]
+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp
ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn
thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó.[3]
Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy
sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ, và do
đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3
gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc).
Tóm lại, năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp
ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành hoạt động đó.
Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như
tính linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong
giải quyết nhiệm vụ…
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa

nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng,
tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi
cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau.
Khái niệm năng lực gắn liền với khả năng hành động, nên khi nói phát
triển năng lực người ta cũng hiểu đồng thời là phát triển năng lực hành động.
Chính vì vậy trong lĩnh vực sư phạm, năng lực còn được hiểu là: khả năng thực
hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề
trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay
cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn
sàng hành động.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

6

/>

1.1.2. Mô hình cấu trúc tổng quan về năng lực
Do năng lực được định nghĩa theo rất nhiều cách khác nhau, tuỳ thuộc
vào bối cảnh và mục đích sử dụng những năng lực đó. Các năng lực còn là
những đòi hỏi của các công việc, các nhiệm vụ, và các vai trò vị trí công việc.
Vì vậy, các năng lực được xem như là những phẩm chất tiềm tàng của một cá
nhân và những đòi hỏi của công việc. Từ hiểu biết về năng lực như vậy, ta có
thể thấy các nhà nghiên cứu trên thế giới đã sử dụng những mô hình năng lực
khác nhau trong tiếp cận của mình. [2]
+ Mô hình dựa trên cơ sở tính cách và hành vi cá nhân của cá nhân theo
đuổi cách xác định “con người cần phải như thế nào để thực hiện được các vai
trò của mình”;
+ Mô hình dựa trên cơ sở các kiến thức hiểu biết và các kỹ năng được
đòi hỏi theo đuổi việc xác định “con người cần phải có những kiến thức và kỹ
năng gì” để thực hiện tốt vai trò của mình;

+ Mô hình dựa trên các kết quả và tiêu chuẩn đầu ra theo đuổi việc xác
định con người “cần phải đạt được những gì ở nơi làm việc”.
Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu
trúc của chúng. Có nhiều loại năng lực khác nhau, nên việc mô tả cấu trúc và
các thành phần năng lực cũng khác nhau.
Theo quan điểm của các nhà sư phạm ở Đức, cấu trúc chung của năng lực
hành động được mô tả là sự kết hợp của 4 năng lực thành phần sau [2,tr.20]

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

7

/>

Năng lực chuyên môn (Professional competency): Là khả năng thực hiện
các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn
một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn. Trong đó
bao gồm cả khả năng tư duy lô gic, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khả
năng nhận biết các mối quan hệ hệ thống và quá trình. Năng lực chuyên môn
hiểu theo nghĩa hẹp là năng lực, nội dung chuyên môn, theo nghĩa rộng bao
gồm cả năng lực phương pháp chuyên môn. [2, tr.19].
Năng lực phương pháp (Methodical competency): Là khả năng đối với
những hành động có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc giải quyết các
nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực phương pháp bao gồm năng lực phương pháp
chung và phương pháp chuyên môn. Trung tâm của phương pháp nhận thức là
những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức.
Năng lực xã hội (Social competency): Là khả năng đạt được mục đích
trong những tình huống xã hội xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác
nhau trong sự phối hợp sự phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác.
Năng lực cá thể (Induvidual competency): Là khả năng xác định, đánh giá

được những cơ hội phát triển cũng như những giới hạn của cá nhân, phát triển
năng khiếu cá nhân, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triển cá nhân, những
quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các ứng xử và hành vi.
Mô hình cấu trúc năng lực trên đây có thể cụ thể hoá trong từng lĩnh vực
chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau. Mặt khác, trong mỗi lĩnh vực nghề
nghiệp người ta cũng mô tả các loại năng lực khác nhau. Ví dụ năng lực của
GV bao gồm những nhóm cơ bản sau: Năng lực dạy học, năng lực giáo dục,
năng lực chuẩn đoán và tư vấn, năng lực phát triển nghề nghiệp và phát triển
trường học [2, tr.20].
Từ cấu trúc của khái niệm năng lực cho thấy, giáo dục định hướng phát
triển năng lực không chỉ nhằm mục tiêu phát triển năng lực chuyên môn bao
gồm tri thức, kỹ năng chuyên môn mà còn phát triển năng lực phương pháp,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

8

/>

năng lực xã hội và năng lực cá thể. Những năng lực này không tách rời nhau
mà có mối quan hệ chặt chẽ. Năng lực hành động được hình thành trên cơ sở có
sự kết hợp các năng lực này.
Mô hình năng lực theo OECD: Trong các chương trình dạy học hiện nay
của các nước thuộc OECD , người ta cũng sử dụng mô hình năng lực đơn giản
hơn, phân chia năng lực thành hai nhóm chính, đó là các năng lực chung và các
năng lực chuyên môn.
Nhóm năng lực chung bao gồm:
+ Khả năng hành động độc lập thành công;
+ Khả năng sử dụng các công cụ giao tiếp và công cụ tri thức một cách
tự chủ;
+ Khả năng hành động thành công trong các nhóm xã hội không đồng nhất.

Năng lực chuyên môn liên quan đến từng môn học riêng biệt.
Trong nhóm năng lực chuyên môn trong môn Toán bao gồm các năng
lực sau đây:
+ Giải quyết các vấn đề toán học;
+ Lập luận toán học;
+ Mô hình hóa toán học;
+ Giao tiếp toán học;
+ Tranh luận về các nội dung toán học;
+ Vận dụng các cách trình bày toán học;
+ Sử dụng các ký hiệu, công thức, các yêu tố thuật toán.
1.1.3. Tổng quan về phát triển năng lực cho HS trong quá trình DH
Việc phát triển năng lực cho HS trong quá trình DH đã và đang thu hút
được nhiều quan tâm nghiên cứu. Theo tôi, để phát triển năng lực cho HS trong
quá trình DH thì:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

9

/>

Nội dung dạy học theo quan điểm phát triển năng lực không chỉ giới hạn
trong tri thức và kỹ năng chuyên sâu của môn học mà gồm những nhóm nội
dung nhằm phát triển các lĩnh vực năng lực:
Phương pháp dạy học theo quan điểm phát triển năng lực không chỉ chú
ý tích cực hoá HS về hoạt động trí tuệ mà còn chú ý rèn luyện năng lực giải
quyết vấn đề gắn với những tình huống của cuộc sống, đồng thời gắn hoạt động
trí tuệ với hoạt động thực hành, thực tiễn. Tăng cường việc học tập trong nhóm,
đổi mới quan hệ GV- HS theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát
triển năng lực xã hội. Bên cạnh việc học tập những tri thức và kỹ năng riêng lẻ

của các môn học cần bổ sung các chủ đề học tập phức hợp nhằm phát triển
năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp.
Đánh giá kết quả học tập theo quan điểm phát triển năng lực không lấy
việc kiểm tra khả năng tái hiện kiến thức đã học làm trung tâm của việc đánh
giá mà cần chú trọng khả năng vận dụng sáng tạo tri thức trong những tình
huống ứng dụng khác nhau.
1.2. Năng lực giải toán
1.2.1. Khái niệm năng lực giải toán
a) Năng lực toán học:
Theo V. A. Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức
độ [12, tr.13]
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài người.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt
đối. Nói đến năng lực học tập Toán không phải là đề cập tới năng lực sáng tạo. Có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

10

/>

nhiều em HS có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách độc lập và sáng
tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đường,
các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công
thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực…
Trong khuôn khổ của đề tài, chúng tôi chỉ chủ yếu tiếp cận NLTH

theo góc độ thứ nhất (năng lực học toán). Sau đây là định nghĩa về NLTH
(dựa trên các định nghĩa khái quát về năng lực mà chúng tôi đã trình bày
trong mục 1.1.1):
Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước
hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán
học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự
thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với tư cách là một
môn học, đặc biệt nắm tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng,
kỹ xảo trong lĩnh vực toán học.
Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minh
trong việc học Toán. Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm được
chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh này qua
học sinh khác. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: Các năng
lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá
trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng. Vì vậy, cần nghiên
cứu để nắm bắt được bản chất của năng lực và các con đường hình thành, phát
triển, hoàn thiện năng lực.
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học.
Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương
pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về
mặt năng lực toán học. Vấn đề này nhà Toán học Xôviết nối tiếng, Viện sĩ A.
N. Kôlmôgôrôv cho rằng năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

11

/>

cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học trong trường trung học với sự

hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt. [12]
b) Năng lực giải toán:
Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học. Năng lực
giải toán là một phần của năng lực toán học. Vậy năng lực giải toán là gì và thể
hiện như thế nào?
Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểm
tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán, và
là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó.
Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu, năng lực giải
toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính
hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm
đạt được kết quả sau một số bước thực hiện.
Thông thường, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó
nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả
tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến
hành hoạt động giải toán trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương.
c) Thành phần của năng lực giải toán:
Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp,
năng lực khái quá hóa, năng lực suy luận lôgic, năng lực rút gọn quá trình suy
luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tư duy
thuận nghịch, trí nhớ toán học,…
Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học
và khái niệm về năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc
của năng lực giải toán như sau [12, tr.24]
- Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu
cầu của một lời giải rõ ràng, đẹp đẽ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

12

/>

- Sự phát triển mạnh của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả
năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.
- Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí
hiệu, ngôn ngữ toán học. Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán
sang ngôn ngữ: kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa
biết và ngược lại.
- Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của
năng lực giải quyết vấn đề.
- Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao
trong lao động giải toán.
- Có khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc
vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ưu.
- Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành một số
kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫn trong
quá trình giải toán.
- Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (có
thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán để giải
bài toán đó).
- Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từ
bài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát nhờ
các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ thống
hóa, đặc biệt hóa. [7, tr.10]
Bàn về năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là do thượng
đế ban cho. Bên cạnh đó nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn
phần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi mà có[11, tr.26]. Quá trình
học tập học sinh được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp,
từ đó năng lực giải toán được nâng lên. Một phần do HS tự nâng thêm năng lực

của mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồi dưỡng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

13

/>

1.2.2. Cấu trúc của năng lực giải toán
Đã có rất nhiều các công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài
nước nghiên cứu về năng lực giải toán của học sinh. Ta có thể điểm qua một vài
công trình nghiên cứu quan trọng và nổi bật sau đây về năng lực toán học [12]
a) Quan điểm của V. A. Krutecxki
V. A. Krutecxki - nhà nghiên cứu Tâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa
học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu tâm lý năng lực toán học với
công trình đồ sộ “Tâm lý năng lực toán học”. Công trình này là kết quả của
việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thực nghiệm hết sức công
phu, được tiến hành từ năm 1955 đến 1968. Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất
là ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực toán học của học sinh bao gồm những thành
phần sau (dựa theo quan điểm của Lý thuyết thông tin) [12]:
* Về mặt thu nhận thông tin toán học
Đó là năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu
trúc hình thức của bài toán.
* Về mặt chế biến thông tin toán học
1) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không
gian, hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học;
2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học
và các phép toán;
3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép
toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;
4) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;

5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải;
6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình
tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo
(trong suy luận toán học).
* Về mặt lưu trữ thông tin toán học
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

14

/>

Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quá về các: quan hệ toán học; đặc điểm về
loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc, đường
lối giải toán).
* Về thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hướng toán học của trí tuệ.
Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng
lẫn nhau và hợp thành hệ thống ý nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lực
toán học.
Cùng với cấu trúc nói trên, V. A. Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý về
phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho HS.
Nghiên cứu quan điểm của V. A. Krutecxki về năng lực toán học, có thể
thấy một số vấn đề quan trọng sau:
+) Về mặt lý luận
Theo V. A. Krutecxki thì nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS
có trí thông minh trong việc học toán;
Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi nói về năng lực
tức là giả định rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cá nhân,
chẳng hạn về năng lực toán học. Điều quan trọng năng lực không chỉ là bẩm
sinh mà còn được phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sống của

mỗi cá nhân;
Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động
nhất định của con người. Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong hoạt
động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy được
biểu hiện của năng lực toán học;
Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường phụ
thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả học tập Toán cũng không nằm ngoài
quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn niềm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

15

/>

say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên,
của gia đình và xã hội.
* Về mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của mỗi
người trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồi
dưỡng năng lực đó.
2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái quát,
linh hoạt, ngược và hệ thống của chúng dựa trên tài liệu toán học. Các năng lực
đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinh giỏi, trung bình,
kém. Trừ các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó được tạo thành
ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốn hình thành
các mối liên tưởng phải cần cả một hệ thống bài tập và phải có sự rèn luyện.
b) Quan điểm của A. N. Kôlmôgôrôv
Trong cuốn sách “Về nghề nghiệp của nhà toán học”, A. N. K ôlmôgôrôv
đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, công
thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệ đến

năng lực toán học. Trong thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra:
Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
kiếm các cách hay để giải các phương trình không phù hợp với qui tắc giải
thông thường, hoặc như các nhà toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực
“angôrit”; Trí tưởng tượng hình học hoặc “trực giác hình học”;
Nghệ thuật suy luận logic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể nói
rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic cần thiết cho nhà toán học là hiểu
nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn.
Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực toán học
thường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và các năng lực này thường bộc lộ
rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục[12].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

16

/>

c) Quan điểm của A. I. Marcusêvich
Viện sĩ A. I. Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ và
tính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy Toán:
Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết
không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hóa);
Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ lại
những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học, đó chính là các quan
hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không gian (kỹ năng sơ đồ hóa);
Kỹ năng rút ra các hệ quả logic từ các tiên đề đã cho (tư duy suy diễn);
Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ năng
phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào chúng chỉ
là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;
Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra được từ các suy luận lý thuyết

cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ
năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của
các kết quả;
Khái quát hóa các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng
khái quát.
d) Quan điểm của UNESCO
Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của năng
lực toán học là[2, tr.20]:
Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và
khái niệm;
Năng lực tính nhanh, cẩn thận và sửu dụng các kí hiệu;
Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;
Năng lực biểu diễn các dữ kiện bằng kí hiệu;
Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
Năng lực xây dựng một chứng minh;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

17

/>

Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;
Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;
Năng lực phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng;
Năng lực tìm cách khái quát hóa toán học.
1.3. Năng lực giải toán số học
1.3.1. Năng lực dự đoán vấn đề
Theo Đào Văn Trung: “Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng
dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lý và
sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết. Hay, dự

đoán là sự nhảy vọt từ giả thiết sang kết luận”. [27]
Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,
vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G. Polia thì “…trừ
những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải
học tập để có được năng khiếu dự đoán đó. Quá trình dự đoán có kết quả khi
phán đoán mà chũng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán
của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như
vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự
đoán đúng. Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên
những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không
phải là nghĩ liều”.[19]
Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS
phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích lũy kinh nghiệm. Họ cần phải được
rèn luyện các thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng Toán học, năng lực
so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát hóa; năng lực liên tưởng
các đối tượng, quan hệ đã biết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự.
1.3.2. Năng lực tư duy thuật giải
Trong trường THCS, khi học nội dung số học có nhiều bài toán mà việc
giải quyết nó cần đi theo một trình tự nhất định. Chẳng hạn khi sinh học về tìm
ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai số tự nhiên thì các bước đi tìm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 18
/>