giải bài toán điện xoay chiều bằng cách dùng giản đồ vec tơ

Giải bài toán điện xoay chiều bằng cách dùng
Giản đồ véctơ
R

L

A. Cách vẽ giản đồ véc tơ:

C

I.Xét mạch R,L,C ghép nối tiếp nh hình vẽ 1.
Vì R,L,C ghép nối tiếp nên ta có: iR = iL =iC =i do vậy việc so sánh pha dao động giữa
hiệu điện thế hai đầu các phần tử với dòng điện chạy qua nó cũng chính là so sánh pha dao động
của chúng với dòng điện chạy trong mạch chính. Vì lí do đó trục pha trong giản đồ Frexnel ta
chọn là trục dòng điện. Các véc tơ biểu diễn dao động của các hiệu điện thế hai đầu các phần tử
và hai đầu mạch điện biểu diễn trên trục pha thông qua quan hệ của nó với cờng độ dòng điện.
uuur
Ta có:
uuur
+ uR cùng pha với i nên U R cùng phơng cùng chiều với

trục i(Trùng với i)
+ uL nhanh pha

UL

uuu
r
UR

uuur

so với i nên U L vuông góc với Trục i
2

và hớng lên(Chiều dơng là chiều ngợc chiều kim đồng hồ)

uuur

+uC chậm pha so với i nên U C vuông góc với trục i và
2

uuur
UC

Hình vẽ 2

uuu
r
UC

hớng xuống
uur uuur uuur uuur
Khi này hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch là: U = U R + U L + U C (hình vẽ 2)
Để thu đợc một giãn đồ véc tơ gọn và dễ nhìn nhất ta không nên dùng quy tắc hình bình
hành mà nên dùng quy tắc đa giác.
Quy tắc đó đợc hiểu
nh sau:
ur ur ur ur
Xét tổng véc tơ: D = A + B + C. Từ điểm ngọn của véc tơ
ur

ur
ur
ur
ngọn
của
A ta vẽ nối tiếp véc tơ urB (gốc của B trùng với
A
ur
). Từ ngọn của véc tơ B vẽ nối tiếp véc tơ C . Véc tơ tổng
ur
ur
là
gốc
của
D có ugốc
A và có ngọn là ngọn của véc tơ cuối
r
cùng C (Hình vẽ 3)

ur
A

ur
B

Hình 3

Vận dụng quy tắc vẽ này ta bắt đầu vẽ cho bài toán
mạch điện.

ur
ur C
. Nối gốc của Dvới ngọn của

1. Trờng hợp 1: (UL > UC)uuur
uuur
uuur
uuur
UR
- Đầu tiên vẽ véc tơ U R , tiếp đến là U R cuối cùng là U R
uuur
ta đợc véc tơ U R nh hình 4a.(Hình 4b vẽ theo cách dùng HBH nh SGK)

uuur
UR

1


uuur
UL

uuur
UL
ϕ

uuur UL - UC
UR

VÏ theo quy t¾c h×nh b×nh hµnh

VÏ theo quy t¾c ®a gi¸c

Khi cÇn biÓu diÔn

uuuur
U RL

uuur
UC

uuuur
U RL

uuur
UL

ϕ uuur

ϕ uuur

VÏ theo quy t¾c h×nh b×nh hµnh

VÏ theo quy t¾c ®a gi¸c

uuur
UC

UL - UC

UR

UR

Khi cÇn biÓu diÔn

ur
U

uuuur
U RC

ur
U

ϕ
uuur
uuur
UC

uuuur
U RL

ur uuur
U UC

ur
U
UL - UC

uuur
UL

UL - UC

uuur
UR

ϕ

uuur
UC

uuur
UC

uuur
UL

uuur
UC

uuur
UR

u
r
U

UL - UC

UR

uuuu
r
U RC
VÏ theo quy t¾c h×nh b×nh hµnh

uuur
UL

ϕuuur

UL - UC

UR
uuuu
r
uuur
U RC
UC

VÏ theo quy t¾c ®a gi¸c

2


2. Trờng hợp 2 UL < UC
Làm lầnuuu
lợt

r nh trờng hợp 1 ta đợc các giản đồ thu gọn tơng ứng là

UL



uuur
UR

ur
U

UL - UC

uuur
UC
uuur
UL



uuu
r
UR

ur
U
uuur
UC

uuuu
r
U RL
uuur
UR



ur
U

uuuu
r
U RL
uuur
UR

UL - UC



UL - UC

uuur
UL

uuur
UL

UL - UC

ur uuur
U UC

uuur
UC
uuur
UR

uuur
UR



ur
U
uuur
UC

uuuu
r
U RC

UL - UC



ur
U
uuuu

r
U RC

UL - UC

uuur
UL

uuur
UC

3


II. Trờng hợp đặc biệt - Cuộn cảm có điện trở thuần r (hình 9)
Vẽ theo đúng quy tắc và lần lợt từ

R

L,r

C

uuur
uuur
uur
uur
U R , đến Ur , đến U L , đến U C

uuur

UL

uuuur
U Rd

uuur
Ud

uuuur
U Rd uuur
uuur
Ud

ur
U

d



uur
Ur

UL

ur
U

UL - UC

d



uuur
UR

uuur
UC

uuur
UR

uur
Ur

uuur
Ud

uuur
UL

uuur
UC

uuur
UL

uuur
Ud

ur
U

d



uur
Ur
uuur
UC

UL - UC

uuur
UR
uuuur
U RC



ur
U
d
uuur
UR

UL - UC
uur

Ur

uuur
UC

uuuur
U RC

Chú ý: Thực ra không thể có một giãn đồ chuẩn cho tất cả các bài toán điện xoay chiều
nhng những giãn đồ đợc vẽ trên là những giãn đồ thờng dùng nhất. Việc sử dụng giãn đồ véc tơ
4


nào hợp lí phụ thuộc vào kinh nghiệm của ngời học. Dới đây là một số bài tập có sử dụng giãn
đồ véc tơ làm ví dụ.

B.Bài tập.
Bài số 1.Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, tụ
điện có điện dung C, điện trở có giá trị R. Hai đầu A,B duy trì một hiệu điện thế
u = 100 2 cos100t (V) . Cờng độ dòng điện chạy trong mạch có giá trị hiệu dụng là; 0,5A.
Biết hiệu điện thế giữa hai điểm A,M sớm pha hơn dòng điện một góc
thế giữa hai điểm M và B chậm pha hơn hiệu điện thế giữa A và B một góc
a. Tìm R,C?
A
b. Viết biểu thức cờng độ dòng điện trong mạch?
c. Viết biểu thức hiệu điện thế giữa hai điểm A và M?
Lời giải:
Chọn trục dòng điện làm trục pha

R

Rad; Hiệu điện
6


Rad
6

L

C

M

B



so với cờng độ dòng điện. uMB chậm pha hơn uABuuuu
mộtr góc ,
6
6
U AM


mà uMB lại chậm pha so với i một góc nên uAB chậm pha so với dòng điện.
2
3r uuuur uuuur
uuuu

Vậy ta có giản đồ vecto sau biểu diện phơng trình: U AB = U AM + U MB
uuur

Theo bài ra uAM sớm pha

Từ giãn đồ vec to ta có:

6

6

UAM = UAB.tg =100/ 3 (V)
UMB = UC = UAM/sin
UR = UAM.cos


= 200/ 3 (V)
6

=


= 50 (V)
6


3

UL - UC

uuuur 6 uuur uuuur
U AB UC = U MB

a. Tìm R,C?
R = UR/I = 50/0,5 = 100 ;
C = 1/ZC =I/U C =

UR

uuur
UL

3 -4
.10 F
4

b. Viết phơng trình i? i = I0cos(100 t + i )

3

Trong đó: I0 = I. 2 =0,5 2 (A); i =- = (Rad). Vậy i = 0,5 2 cos(100 t +
c.Viết phơng trình uAM?
UAM = U0AMcos(100 t + AM )


) (A)
3

5


Trong đó: U0AM =UAM 2 =100
Vậy: UAM = 100

2
(V);
3

AM = u AM i + i =


+ =
(Rad).
6 3 2


2
cos(100 t + )(V)
2
3

Kinh nghiệm:
1. khi vẽ giản đồ véc tơ cần chỉ rỏ: Giản đồ vẽ cho phơng trình hiệu điện thế nào? Các véc
tơ thành phần lệch pha so với trục dòng điện những góc bằng bao nhiêu?
2. Khi viết phơng trình dòng điện và hiệu điện thế cần lu ý: đợc định nghĩa là góc lệch
pha của u đối với i do vậy thực chất ta có: = u - i suy ra ta có:
u= + i(1*)
i = u - (2*)

Nếu bài toán cho phơng trình u tìm i ta sử dụng (1*). Trong bài này ý b) thuộc trờng hợp này

3

nhng có u= 0 do đó i =- =-(- ) =


3

Nếu bài toán cho phơng trình i tìm u của cả mạch hoặc một phần của mạch(Trờng hợp ý c)

bài này) thì ta sử dụng (2*). Trong ý c) bài này ta có AM = u AM i + i = + =
6 3 2

Bài tơng tự: Cho mạch điện nh hình vẽ. u =
nhanh pha hơn hiệu điện thế hai đầu A,B một góc

160 2 sin100t (V) . Ampe kế chỉ 1A và i



Rad. Vôn kế chỉ 120v và u V nhanh pha
6
3

R
so với i trong mạch.
A
A
a. Tính R, L, C, r. cho các dụng cụ đo là lí tởng.

b. Viết phơng trình hiệu điện thế hai đầu A,N và N,B.

R1

C

L

N

L,r

B

V
R2 C

B
Bài số 2: Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ. Hiệu A
điện thế hai đầu có tần số f = 100Hz và giá trị hiệu
M N
dụng U không đổi.
1./Mắc vào M,N ampe kế có điện trở rất nhỏ thì pe kế chỉ I = 0,3A. Dòng điện trong mạch
lệch pha 600 so với uAB, Công suất toả nhiệt trong mạch là P = 18W. Tìm R1, L, U
2./ Mắc vôn kế có điện trở rất lớn vào M,N thay cho Ampeke thì vôn kế chỉ 60V đồng
thời hiệu điện thế trên vôn kế chậm pha 600 so với uAB. Tìm R2, C?
L
R1
Lời giải:
A

B
1. Mắc Am pe kế vào M,N ta có mạch
áp dụng công thức tính công suất: P = UIcos suy ra: U = P/ Icos
Thay số ta đợc: U = 120V.
Lại có P = I2R1 suy ra R1 = P/I2.
Thay số ta đợc: R1 = 200
Từ i lệch pha so với uAB 600 và mạch chỉ có R,L nên i nhanh pha so với u vậy ta có
6


tg


Z
= L =
3
R
1

3 Z L =

3R 1 =200 3() L=

3

H

2.Mắc vôn kế có điện trở rất lớn vào M,N ta có mạch nh hình vẽ:
A

R1

L

R2

M

C

B

V
Vì R1, L không đổi nên góc lệch pha của uAM so với i trong mạch vẫn không đổi so với khi

3

cha mắc vôn kế vào M,N vậy: uAM nhanh pha so với i một góc AM = . Cũng từ giả thiết hiệu
điện thế hai đầu vôn kế uMB trể pha một góc
ur

ur

ur


so với uAB. Tù đó ta có giãn đồ véc tơ sau biểu
3

diễn phơng trình véc tơ: U AB = U AM + U MB

ur
U AM

ur
U AB


O

ur 3
U R2

3 ur

ur
U R1

U MB


thay số ta đợc UAM = 60 3 V. áp
3
dụng định luật ôm cho đoạn mạch AM ta có: I = UAM/ZAM = 0,15 3 A.
U MB
60
400
2
2
=

Với đoạn MB Có ZMB= R 2 +Zc = I =
(1)
0,15. 3
3
U
800
2
2
Với toàn mạch ta có: Z = (R+R 2 ) +(ZL Z C ) = AB =
(2)
I
3
2
2
2
-2U AB
U MB
. cos
Từ giãn đồ véc tơ ta có: U 2AM =U 2AB +U MB

Giải hệ phơng trình (1) và (2) ta đợc R2=200 ; ZC = 200/ 3 C=

Kinh Ngiệm:

3 -4
.10 F
4

1/Bài tập này cho thấy không phải bài tập nào cũng dùng thuần tuý duy nhất một phơng
pháp. Ngợc lại đại đa số các bài toán ta nên dùng phối hợp nhiều phơng pháp giải.

2/Trong bài này khi vẽ giãn đồ véc tơ ta sẽ bị lúng túng do không biết u AB nhanh pha hay
trể pha so với i vì cha biết rỏ sự so sánh giữa ZL và ZC. Trong trờng hợp này ta cứ vẽ ngoài giấy
nháp theo một phơng án lựa chọn bất kỳ(Đều cho phép giải bài toán đến kết quả cuối cùng).
7


Sau khi tìm đợc giá trị của ZL và ZC ta sẽ có cách vẽ đúng. Lúc này mới vẽ giãn đồ chính xác vào
bài giải.
Bài số 3.Cho mạch điện R,L,C mắc nối tiếp nh hình vẽ trong đó uAB = U 2 cos t (V) .
1

(H) thì i sớm pha so với uAB

4
2,5
+ Khi L = L2 =
(H) thì UL đạt cực đại A
R

10 4
1./ biết C =
F tính R, ZC
2

+ Khi L = L1 =

L

C

B

2./ biết hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm đạt cực đại = 200V. Xác định hđt hiệu dụng ở hai
đầu đoạn mạch .

Bài giải:

Z L Z C L 1/ C
=
(1);
R
R
R 2 + 1/ 2C 2
=
= L (2) và hiệu điện thế cực đại ha đầu
1/ C

Ta có: góc lệch pha của u đối với i là tg =
khi ULCực đại ta có: Z L =
cuộn dây là: U LMax = U

R 2 + Z 2C
ZC

R 2 + Z 2C
(3).
R

1./tính R, ZC?
Thay số giải hệ phơng trình (1),(2) với ẩn là R và .

2./ Thay ULMAX và các đại lợng đã tìm đợc ở câu 1 vào 3 ta tìm đợc U.

Phụ bài: Chứng minh (2) và (3).

uur uuuur uuur

uuur uur uuuur uuur

Ta có giãn đồ véc tơ sau biểu diễn phơng trình véc tơ: U = (U R + U C ) + U L = U = U RC + U L
Từ giãn đồ véc tơ, áp dụng định lí hàm số sin cho tam giác OMN ta đợc;
uuur
M
U
U
U

UL
=
UL =
sin =
sin sin
sin

R

sin



R 2 + ZC

Từ (4) ta thấy vì U, R, ZC = sonst nên UL biến thiên theo sin
Ta có: UL max khi sin = 1 suy ra =900.
O
Vậy khi ULMax thì ta có:
U LMax = U

R 2 + Z 2C
(đccm (3))
R

Tam giác MON vuông và vuông tại O nên
U
U
U
Z
R +Z
UL
= RC U L = RC = RC Z L = RC =
0
UC
sin 90
sin
UC
ZC
ZC
U RC
2

2

2

2
C

=

R + 1/ C
1/ C
2

2

2

ur
U UL

UL - UC

H
uuur
UR



uuuur uuur
U2)RC
UC

(đccm
N

Trên là phơng pháp dùng giãn đồ véc tơ trong việc giải các bài tập điện xoay chiều, nếu
có vấn đề gì cần trao đổi có thể liên lạc với tôi qua số điện thoại 037553045 hoặc 0977015155
Chúc các em học tốt!
8


PHƯƠNG PHÁP VÉC-TƠ TRƯỢT-MỘT PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
ĐIỆN XOAY CHIỀU RLC KHÔNG PHÂN NHÁNH.
Tóm tắt báo cáo: Đa số học sinh thường dùng phương pháp đại số để giải các bài toán điện xaoy
chiều còn phương pháp giản đồ véc tơ thì học sinh rất ngại dùng. Điều đó là thật đáng tiếc vì
phương pháp giản đồ véc tơ dùng giải các bài toán rất hay và ngắn gọn đặc biệt là các bài toán liên
quan đến độ lệch pha. Có nhiều bài toán khi giải bằng phương pháp đại số rất dài dòng và phức tạp
còn khi giải bằng phương pháp giản đồ véc tơ thì tỏ ra rất hiệu quả. Khi giải bài toán điện bằng
phương pháp giản đồ véc-tơ có thể chia thành hai phương pháp: phương pháp véc tơ buộc và
phương pháp véc tơ trượt.

Mở đầu: Trong các tài liệu hiện có, đa số các tác giả thường dùng phương pháp véc tơ buộc và ít quan
tâm đến phương pháp véc tơ trượt. Trong bài viết này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp véc-tơ trượt
với những ưu thế vượt trội khi giải các bài toán điện xoay chiều RLC nối tiếp khó.
PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ VECTƠ TRƯỢT
*Chọn ngang là trục dòng điện.
*Chọn điểm đầu mạch (A) làm gốc.
*Vẽ lần lượt các véc-tơ biểu diễn các điện áp, lần
lượt từ A sang B
nối đuôi nhau theo nguyên tắc:
+ L - lên.
+ C – xuống.

+ R – ngang.
Độ dài các véc-tơ tỉ lệ với các giá trị hiệu
dụng tương ứng.
*Nối các điểm trên giản đồ có liên quan đến dữ kiện
của bài toán.
*Biểu diễn các số liệu lên giản đồ.
*Dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác để tìm
các điện áp hoặc
góc chưa biết.
GIẢN ĐỒ L-R-C
Ví dụ 1: (CĐ-2010)Đặt điện áp u = 220√2cos100πt (V) vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn
mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn AM gồm cuộn cảm thuần L mắc nối tiếp với điện trở thuần R,
đoạn MB chỉ có tụ điện C. Biết điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AM và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch
MB có giá trị hiệu dụng bằng nhau nhưng lệch pha nhau 2π/3. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn
mạch AM bằng
C. 220 V.
D. 110 V.
A. 220√2 V.
B. 220/√3 V.

9


Hướng dẫn: Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc-tơ. HD : ∆AMB lµ tam gi¸c ®Òu ⇒ U AM = U = 220(V )

GIẢN ĐỒ R-rL
Ví dụ 2: Đoạn mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần 30 (Ω) mắc nối tiếp với cuộn dây. Điện áp
hiệu dụng ở hai đầu cuộn dây là 120 V. Dòng điện trong mạch lệch pha π/6 so với điện áp hai đầu đoạn
mạch và lệch pha π/3 so với điện áp hai đầu cuộn dây. Cường độ hiệu dụng dòng qua mạch bằng
B. 3 (A).

C. 4 (A).
A. 3√3 (A).
D. √2 (A).
Hướng dẫn: Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc-tơ.
HD : ∆AMB c©n t¹i M ⇒ U R = MB = 120(V ) ⇒ I =

UR
= 4 ( A)
R

GIẢN ĐỒ Lr-R-C
Ví dụ 3: Đặt điện áp xoay chiều u = 120√6cosωt (V) vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch
AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn AM là cuộn dây có điện trở thuần r và có độ tự cảm L, đoạn MB gồm
điện trở thuần R mắc nối tiếp với tụ điện C. Điện áp hiệu dụng trên đoạn MB gấp đôi điện áp hiệu
dụng trên R và cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là 0,5 A. Điện áp trên đoạn MB lệch pha
so với điện áp hai đầu đoạn mạch là π/2. Công suất tiêu thụ toàn mạch là
A. 150 W.
B. 20 W.
C. 90 W.
D. 100 W.
Hướng dẫn: Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc-tơ.

10


UR
π

∆MFB : sin ϕ = U = 0,5 ⇒ ϕ = 6
MB

HD : 
 P = UI cos ϕ = 120 3 .0,5 cos π = 90W

6

GIẢN ĐỒ R-C-L
Ví dụ 4: Đặt điện áp xoay chiều tần số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và
MB mắc nối tiếp. Đoạn AM gồm điện trở thuần R = 100√3 Ω mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ
tự cảm L, đoạn MB chỉ có tụ điện có điện dung C = 0,05/π (mF). Biết điện áp giữa hai đầu đoạn mạch
MB và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AB lệch pha nhau π/3. Giá trị L bằng
A. 2/π (H).
B. 1/π (H).
C. √3/π (H).
D. 3/π (H).
Hướng dẫn: Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc-tơ.
1

 Z C = ωC = 200 ( Ω )
HD : 
∆AEB : BE = AE.c o t an π = 100 ( Ω ) ⇒ Z = Z − BE = 100 ( Ω ) ⇒ L = Z L = 1 ( H )
L
C

3
ω π

GIẢN ĐỒ R-C-rL
Ví dụ 5: Trên đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh có bốn điểm theo đúng thứ tự A, M, N và B.
Giữa hai điểm A và M chỉ có điện trở thuần, giữa hai điểm M và N chỉ có tụ điện, giữa hai điểm N và
B chỉ có cuộn cảm. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều 240V – 50 Hz thì u MB và uAM

lệch pha nhau π/3, uAB và uMB lệch pha nhau π/6. Điện áp hiệu dụng trên R là
A. 80 (V).
B. 60 (V).
C. 80√3 (V).
D. 60√3 (V).
Hướng dẫn: Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc-tơ.

11


AMB là tam giác cân tại M (v ì ãABM = 600 300 = 300 )

HD :
UR
AB
=
U R = 80 3 ( V )
Theo định lí hàm số sin :
0
sin 30
sin 1200


GIN C-R-rL
Vớ d 6: Mt mch in xoay chiu ni tip gm t in cú in dung C, in tr thun R v cun dõy
cú t cm L cú in tr thun r. Dựng vụn k cú in tr rt ln ln lt o hai u in tr, hai u
cun dõy v hai u on mch thỡ s ch ln lt l 50 V, 302 V v 80 V. Bit in ỏp tc thi trờn
cun dõy sm pha hn dũng in l /4. in ỏp hiu dng trờn t l
A. 30 V.
C. 60 V.

D. 20 V.
B. 302 V.
Hng dn: V mch in v v gin vộc-t.
AMB là tam giác vuụng cân tại E NE = EB = 30V

HD : ME = MN + NE = 80V = AB
Tứ giác AMNB là h ì nh ch ữ nhật U = AM = EB = 30 V
( )
C


GIN R-rL-C
Vớ d 7: Trờn on mch xoay chiu khụng phõn nhỏnh cú bn im theo ỳng th t A, M, N v B.
Gia hai im A v M ch cú in tr thun, gia hai im M v N ch cú cun dõy, gia 2 im N v
B ch cú t in. t vo hai u on mch mt in ỏp 175 V 50 Hz thỡ in ỏp hiu dng trờn
on AM l 25 (V), trờn on MN l 25 (V) v trờn on NB l 175 (V). H s cụng sut ca ton
mch l
A. 7/25.
B. 1/25.
C. 7/25.
D. 1/7.
Hng dn: V mch in v v gin vộc-t.

12



∆MNE : NE = 252 − x 2 ⇒ EB = 60 − 252 − x 2

2


HD : ∆AEB : AB 2 = AE 2 + EB 2 ⇒ 30625 = ( 25 + x ) + 175 − 252 − x 2

⇒ x = 24 ⇒ cos ϕ = AE = 7

AB 25

(

)

2

Kinh nghiệm cho thấy khi trong bài toán có liên quan đến độ lệch pha thì nên giải bằng phương pháp
giản đồ véc tơ sẽ được lời giải ngắn gọn hơn giải bằng phương pháp đại số.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Vũ Thanh Khiết, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, môn Vật lí, tập 2 , NXB giáo dục,
H.2001.
[2] Vũ Thanh Khiết, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, môn Vật lí, tập 3, NXB giáo dục,
H.2001.
[3] Nguyễn Thế Khôi, Vật lí 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục, Việt Nam, H.2009.
[4] Nguyễn Thế Khôi, Bài tập Vật lí 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục, Việt Nam, H.2009.
[5] Lương Duyên Bình, Vật lí 12, Nhà xuất bản giáo dục, Việt Nam, H.2009.
[6] Vũ Quang, Bài tập Vật lí 12, Nhà xuất bản giáo dục, Việt Nam, H.2009.

13