bài giảng căn bậc hai

Bài trình chiếu của:
Em: Lê Phương Thanh
Lớp: 9A3
Trường: THCS Trần Đăng Ninh


Chủ đề

SO SÁNH CĂN BẬC HAI


A. LÝ THUYẾT:
1. Căn bậc hai số học:
Ở lớp 7, ta đã biết:
2
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x =
a.
Số dương a có đúng
a hai căn bậc hai là haia số đối nhau:
Số dương kí hiệu là
và số âm kí hiệu là .
Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết

0

= 0.


ĐỊNH NGHĨA
Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Chú ý. Với a ≥ 0, ta có:
Nếu x = a thì x ≥ 0 và
Nếu x ≥ 0 và

2

x = a;

2

x = a thì x =

Ta viết
x = a <=> x ≥ 0 và

2

x= a

a


A. LÝ THUYẾT:
1. Căn bậc hai số học:
2. So sánh các căn bậc hai số học:
Ta đã biết:
Với hai số a và b không âm, nếu a < b thì a < b

Ta có thể chứng minh được:
Với hai số a và b không âm, nếu a < b thì a < b.

A. LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai số học:
2. So sánh các căn bậc hai số học:

Như vậy ta có định lí sau đây:

ĐỊNH LÍ

Với hai số a và b không âm, ta có:
a < b <=>
a< b


B. BÀI TẬP:
Bài 1:

So sánh:

a. 2 và 3
b. 7 và 47
c. 2+ 7 và 5

Quá dễ dàng, phải không nào?


Lời giải:
a. Có 2 =

4

mà 0<3<4 ⇒
3<2
Vậy

3<

4

b. Có 7= 49
mà 0<47<49 ⇒ 47 < 49
Vậy 47 < 7
c. Có 3= 9
0<7<9 ⇒ 7 < 9
hay 7 < 3
Vậy 2 + 7 < 5


Bài 2: So sánh:
a.

2 + 3 và 2
Giải
Có 3>2>1>0 ⇒ 3 > 2 > 1

⇒ 2 + 3 > 1+ 1
⇒ 2+ 3>2
Vậy

2+ 3>2


b.

18 + 19 và 9

Có thể thấy luôn câu này có vẻ tương tự câu a, phải
không nào ?


Giải:
Có 0<18<20,5 ⇒ 18 < 20, 25
0<19<20,5 ⇒ 19 < 20, 25
nên

18 + 19 < 2 20, 25

hay

18 + 19 < 2.4,5

Vậy

18 + 19 < 9


Cách khác:
Có:

18 + 19 < 9
⇔ ( 18 + 19) 2 < 9 2
⇔ 18 + 19 + 2 18.19 < 81
⇔ 2 18.19 < 44
⇔ 342 < 22
⇔ 342 < 484
(đúng)

Vậy 18 + 19 < 9


Có thể, cách giải trên sẽ là gợi ý cho các bài tập về sau.
Hãy cùng thử sức nào!


Bài 3:
a.

So sánh:

8+ 5

và

7+ 6

Với cách làm tương tự như trên, ta có lời giải sau:
Có:

8+ 5< 7+ 6

⇔ ( 8 + 5) 2 < ( 7 + 6)2
⇔ 8 + 5 + 2 8.5 < 7 + 6 + 2 7.6
⇔ 40 < 42
⇔ 40 < 42
(đúng)

Vậy

8+ 5< 7+ 6


b. 2 + 15 và 12 + 7

Giải:
Có:

2 + 15 < 12 + 7
⇔ (2 + 15) 2 < ( 12 + 7) 2
⇔ 4 + 15 + 4 15 < 12 + 7 + 2 12.7
⇔ 15 < 21
(đúng vì 0<15<21)

Vậy

2 + 15 < 12 + 7


c.

13 − 12 và

7− 6

Liệu rằng chúng ta có thể đưa được
về dạng trên không?
Hãy cùng thử sức nào!


Giải:
Có:

13 − 12 < 7 − 6
⇔ 13 + 6 < 12 + 7
⇔ 13 + 6 + 2 13.6 < 12 + 7 + 2 12.7
⇔ 78 < 84
(đúng vì 0<78<84)
Vậy 13 − 12 < 7 − 6

Thật dễ dàng, phải không nào?


Sau đây là một ví dụ tương tự:
2009 − 2008 và

d.

2011 − 2010

Giải:
Có:

2009 − 2008 > 2011 − 2010
⇔

2009 + 2010 > 2008 + 2011

⇔ 2009 + 2010 + 2 2009.2010 > 2008 + 2011 + 2 2008.2011
⇔

4038090 > 4038088
(đúng vì 4038090>4038088>0)
Vậy

2009 − 2008 > 2011 − 2010


e. 3 5 + 2 7

và 2 10 + 3 3

Chà! Có vẻ hơi phức tạp và rắc rối rồi đây!


Giải:
Có:

3 5 + 2 7 > 2 10 + 3 3
⇔ (3 5 + 2 7) 2 > (2 10 + 3 3) 2
⇔ 45 + 28 + 12 5.7 > 40 + 27 + 12 10.3
⇔ 73 + 12 35 > 67 + 12 30

(đúng vì 73>6 và 35>30>0)
Vậy 3 5 + 2 7 > 2 10 + 3 3


Bài 4:
a.

So sánh:

a+ b

a + b (a; b ≥ 0)

và

Giải:
Có: Với a;b

≥ 0:

a; b ≥ 0

⇒2 a b ≥0
⇒ a+b+2 a b ≥ a+b
⇒ ( a + b )2 ≥ ( a + b )2
⇒ ( a + b )2 ≥ ( a + b )2
⇒

a+ b ≥

a+b

⇒ a + b ≥ a+b
Vậy

a + b ≥ a+b

với a;b

≥

0


b.

a− b

và

a − b (a ≥ b ≥ 0)

Giải:
Có: Với

a≥b≥0

a − b ≤ a −b
⇔ ( a − b )2 ≤ ( a − b )2
⇔ a + b − 2 ab ≤ a − b

⇔ 2 ab − 2b ≥ 0
⇔ 2 b( a − b) ≥ 0
(đúng)
Vậy

a − b ≤ a − b ( a ≥ b ≥ 0)


Cách khác:
Với a ≥ b ≥ 0
Áp dụng câu a, ta có:

a −b + b ≤ a −b+b
⇒ a −b + b ≤ a
⇒ a − b ≥ a −b
Vậy

a − b ≤ a −b

(a ≥ b ≥ 0)


Bài 5:

So sánh:

a. a − 1 + a + 1

và 2 a ( a ≥ 1)

Giải:
Có: Với ( a ≥ 1)
a −1 + a +1 < 2 a
⇔ a − 1 + a + 1 + 2 (a − 1)(a + 1) < 4a
⇔ 2 a 2 − 1 < 2a
⇔ a2 −1 < a2
⇔ −1 < 0

(đúng)
Vậy

a − 1 + a + 1 < 2 a (a ≥ 1)


b.

2005 + 2007

và

2 2006

Có thể thấy ngay rằng câu này là một dạng
đặc biệt của câu a.
Như vậy cách làm cũng tương tự
Ta có lời giải sau: