Bài giảng: Căn bậc hai và hằng đẳng thức (Đại số 9)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

ĐẠI SỐ 9
CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI VÀ CĂN BẬC BA

§2 Căn thức bậc hai
và hằng đẳng thức A =  A
2



Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.
2

Đ2 căn thức bậc hai

và Hằng đẳng thức

A2

= A

bài giảng theo chơng
chơng trình chuẩn
1. căn thức bậc hai

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 8 sgk): Hình chữ nhật ABCD có đờng chéo AC = 5cm và
cạnh BC = x (cm) thì cạnh AB 25 x 2 (cm). Vì sao ?

Giải
Sử dụng định lí Pytago cho ABC vuông tại B, ta đợc:
AC2 = AB2 + BC2 AB2 = AC2  BC2 = 25  x2
 AB 25 x 2 .
Ngời ta gọi là căn bËc hai cđa 25  x2, cßn 25  x2 là biểu thức lấy căn.

Một cách tổng quát:
Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A,
còn A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn.
A chØ cã nghÜa khi vµ chØ khi A  0.
ThÝ dụ 2: (HĐ 2/tr 8 sgk): Với giá trị nào của x thì 5 2x xác định ?
Giải
Điều kiện là:
5
5 2x 0 2x 5 x .

2
5
Vậy, với x thì căn thức đà cho có nghĩa.
2
2. Hằng đẳng thức

A 2 = A

ThÝ dơ 3: (H§ 3/tr 8  sgk): §iỊn sè thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
a
0
2
3
2
1
a2
a2

Giải
Ta có bảng kết quả:
a
a2

2
4
2

a2
Định lí: Với mọi số A, ta có:

1
1
1

0
0
0

2
4
2

3
9
3
3


A 2 = A =

A nÕu A  0

 A nÕu A  0

.

ThÝ dơ 4: (Bµi 14/tr 11  Sgk): Phân tích thành nhân tử:
a. x2 3.
b. x2  6.
c. x 2  2 3x  3.

d. x 2 2 5x 5.

Giải
a. Ta biến đổi:
x2  3 x 2 

2

 3   x  3  x  3  .

b. Ta biÕn ®ỉi:
x2  6 x 2 

2

 6   x  6  x  6  .

c. Ta biÕn ®ỉi:
x 2  2 3x  3 x 2  2.x. 3 

2

2

2

2

 3   x  3 

.

d. Ta biÕn ®ỉi:
x 2  2 5x  5 x 2  2.x. 5 

 5   x  5

.

bài tập lần 1
Bài 1: Tính 16 ,
1, 44 , ( 8) 2 .
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a.

0,16

4
.
25

b.

3

1

16

0,36 .

Bài 3: Trong các số ( 3) 2 , 3 2 ,  ( 3) 2 , 3 2 số nào là căn bậc hai
số học của 9.
Bài 4: Tìm x, biết:
16
1
a. x2 =
.
b. (x 1)2 =
.
9
9
Bài 5: Tìm x, biết:
b. (2x 1)2 = 1 – 2x.
a. x2 = 4  2 3 .
Bài 6: So sánh các số x = 4 3 và y = 3 4 .
Bài 7: Tìm giá trị cña x, biÕt:
a. x2 < 25.
b. x2 + 2x  3 > 0.
Bài 8: Tìm giá trị của x, biết:
a. x2 + 2x  3 > 0.
b. 4x2 – 4x < 8.
Bài 9: Giải các phơng trình sau:
a.
b.
x 1 = 3.
x 2  3x  2 = 2 x 2  3x  1 .

4


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 450.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
1. căn bậc hai của một số
Định nghĩa: Căn bậc hai số học của một số a 0 là một số x không âm mà bình
phơng cđa nã b»ng a. KÝ hiƯu a .
x 0

x= a
, với a 0.
a
x
Tổng quát trên R:
1. Mọi số dơng a > 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau:
5
2

a > 0 gọi là căn bậc hai số học hay còn gọi là căn bậc hai dơng của
a.
a < 0 gọi là căn bậc hai âm của a.
2. Số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0.
3. Số âm không có căn bậc hai.

2. so sánh các căn bậc hai số học
Định lí: Với hai số a, b không âm, ta có:
a
B. phơng pháp giải toán
Dạng toán 1: Điều kiện để
Ví dụ 1:

A có nghĩa

(Bài 6/tr 10 Sgk): Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a.

a
.
3

b.

5a.

c.

4  a.

 Híng dÉn: ThiÕt lËp ®iỊu kiƯn A 0 cho
Giải

d.

A.

b. Để
c. Để

a có nghĩa, điều kiện là: a 0 a 0.
3
3
có
nghĩa,
điều
kiện
là:
5a 0  a  0.
 5a
4  a cã nghÜa, ®iỊu kiƯn lµ: 4  a  0  a  4.

d. Để

3a 7 có nghĩa, điều kiện là: 3a + 7 0 a

a. Để

Ví dụ 2:

7
.
3

(Bài 12/tr 11 Sgk): Tìm x để mỗi căn thức sau cã nghÜa:
a.

2x  7.

b.

 3x  4.

 Híng dÉn: Thiết lập điều kiện A 0 cho
Giải
a. Để căn thức có nghĩa, điều kiện là:
7
2x + 7 0  2x  7  x  .
2
b. §Ĩ căn thức có nghĩa, điều kiện là:
4
3x + 4 0  3x  4  x  .
3
c. §Ĩ căn thức có nghĩa, điều kiện là:
1
0 1 + x > 0  x > 1.

 1 x
d. §Ĩ căn thức có nghĩa, điều kiện là:
1 + x2 0, luôn đúng.
Vậy, căn thức có nghĩa với mọi x.

6

3a  7.

c.
A.

1
.
 1 x

d. 1  x 2 .


Tìm các giá trị của x để biểu thức sau cã nghÜa:

VÝ dô 3:

a. A =

1
5x  10

.

b. B =

 Giải

2x 1 .
3x 5x 2
2

a. Để A có nghĩa, điều kiện là:
5x + 10 > 0 x >  2.
VËy, víi x >  2 th× A có nghĩa.
b. Để B có nghĩa, điều kiện là:
2 x  1  0

2
 5x  2  0
3x

VËy, víi x  
VÝ dơ 4:



1

x   2


x 1; x 2

3

1
2
và x 1; x
thì B có nghĩa.
2
3

a. Chứng minh bất đẳng thức a 2 + b 2
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (2006  x) 2 + (2005  x ) 2 .

(a b ) 2

.

Giải

a. Xét bất đẳng thức, vì hai vế không âm nên bình phơng hai vế ta đợc:
a2 + b2 + 2 a 2 . b 2  (a + b)2  2| a.b | 2ab, luôn đúng.
Vậy, bất đẳng thức đợc chứng minh và dấu " = " xảy ra khi:
a.b 0, tøc lµ khi a vµ b cïng dÊu.
b. Ta viÕt:
A = (2006  x) 2 + (x  2005) 2  (2006  x  x  2005) 2 = 1.
Vậy, ta đợcAMin = 1, đạt đợc khi:
(2006 x)(2005  x)  0  2005  x  2006.
 Nhận xét: Trong câu a), chúng ta đà sử dụng phép bình phơng để khử căn,

rồi từ đó nhận đợc bất đẳng thức đúng. Tuy nhiên, ta cũng có
thể chứng minh bằng cách biến đổi:
2
a 2 + b 2 (a  b )  |a| + |b| a|a| + |b| + |a| + |b| b|a| + |b|  |a| + |b| a + b|a| + |b|
Ta thấy ngay, bất đẳng thức trên luôn đúng (vì đà đợc chứng minh
trong phần bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối).

Dạng toán 2: Sử dụng hằng đẳng thức
Ví dụ 1:

A 2 = A

(Bµi 7/tr 10  Sgk): TÝnh:
a.

(0,1) 2 .

b.

(  0,3) 2 . c. 

(  1,3) 2 .

d.  0, 4 (  0, 4) 2 .

 Gi¶i
a. Ta cã ngay

(0,1) 2  0,1 0,1.

b. Ta cã ngay

(  0,3) 2   0,3 0,3.

7


c. Ta cã ngay  (  1,3)2   1,3  1,3.
d. Ta cã ngay  0, 4 ( 0, 4) 2  0, 4  0, 4  0, 4 0, 4  0,16.

(Bµi 11/tr 11  Sgk): TÝnh:

VÝ dô 2:

a. 16. 25  196 : 49.

b. 36 : 2.32.18  169.

c.

d.

81.

32  42 .

 Gi¶i

a. Ta cã:
16. 25  196 : 49  42 . 52  162 : 7 2

16
16
4.5  16 : 7 20 
20 .
7
7
b. Ta cã:

c.

36 : 2.32.18  169 36 : 22.32.32  132
36 : (2.3.3)  13 = 2  13 = 11.
Ta cã:
2
92  9  3 = 3.

81 

d. Ta cã:
32  42  9  16  25  52 = 5.

(Bµi 8/tr 10  Sgk): Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

VÝ dơ 3:

 2  3

a.

2

.

b.

c. 2 a 2 , a 0.

d. 3

3



2

11 .

 a  2

2

, a 2.

Hớng dẫn: Sử dụng định nghĩa.
Giải
a. Ta cã:

 2  3

2

2

3 2 

3 , v× 2  3.

b. Ta cã:

3

11



2

 3  11  11  3 2 

3 , v× 3  11.

c. Ta cã:
2 a 2 2 a 2a , v× a  0.

d. Ta cã 3  a  2  2 3 a  2 = 3(2  a), v× a < 2.
VÝ dơ 4:

(Bµi 10/tr 11  Sgk): Chøng minh:
a.

8





2

3  1 4  2 3.

b.

4 2 3 

3  1.


Hớng dẫn: Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng.
Giải
a. Ta có:
2



3

3 1

2

2. 3.1  12 3  2 3  1 4  2 3.

b. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Theo câu a), ta có:
4 2 3

3 





2

3 1 

3  3 1

3  3  1

3 = 1.

Cách 2: Biến đổi đẳng thức về dạng:
4 2 3  3 1 



4 2 3



2





 31

2

 4  2 3 3  2 3  1  4 2 3 4 2 3 , đúng.

(Bài 3/tr 11  Sgk): Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

VÝ dơ 5:

a. 2 a 2  5a, a  0.
c.

b.

9a 4  3a 2 .

25a 2  3a, a 0.

d. 5 4a 6  3a 3 , a  0.

 Híng dẫn: Sử dụng định nghĩa.
Giải

a. Ta có:
2 a 2  5a 2 a  5a  2a  5a = 7a.
b. Ta cã:
25a 2  3a 

 5a 

2

 3a  5a  3a = 5a + 3a = 8a.

c. Ta cã:
9a 4  3a 2 

2 2

 3a 

2
2
 3a 2  3a  3a = 3a2 + 3a2 = 6a2.

d. Ta cã:
5 4a 6  3a 3 5

3 2

 2a 

3

3
3
3
 3a 3 5 2a  3a 5   2a   3a  10a 3  3a 3

= 13a3.
VÝ dơ 6: Rót gän biĨu thøc:
C  x 2  2x  1  2 x 2  4x  4  3.

Híng dÉn: Sư dơng định nghĩa với phép chia khoảng biến đổi.
Giải
Viết lại biĨu thøc díi d¹ng:
9


C

 x  1

2

2

 x  2

2

 3 = x  1 + 2x + 2 + 3.

NhËn xÐt r»ng:

x1=0x=1
x + 2 = 0  x = 2
do ®ã, ®Ĩ bỏ đợc dấu giá trị tuyệt đối của C ta cần xét các trờng hợp:
Trờng hợp 1: Nếu x < 2, ta đợc:
C = (x 1) 2(x + 2) + 3 = 3x.
Trêng hỵp 2: NÕu 2  x 1, ta đợc:
C = (x 1) + 2(x + 2) + 3 = x + 8.
Trêng hỵp 3: Nếu x > 1, ta đợc:
C = (x 1) + 2(x + 2) + 3 = 3x + 6.
Dạng toán 3: Giải phơng trình Bất phơng trình
Ví dụ 1: (Bài 9/tr 11 Sgk): Tìm x, biết:
a.

x 2 7.

b.

x2   8 .

c.

4x 2 6.

d.

9x 2  12 .

Hớng dẫn: Sử dụng định nghĩa.
Giải
a. Ta biến đổi về dạng:

x 7 khi x 0
x 7 khi x 0
 x = 7  
 
  x 7 khi x  0
 x  7 khi x 0
Vậy, ta nhận đợc hai giá trị x = 7 và x = 7.
Chú ý: Bắt đầu từ đây, ta Sử dụng biến đổi:
A = b  0  A = b.
b. Ta biÕn ®ỉi:
x = 8  x = 8.
c. Ta biÕn ®ỉi:
2x = 6  2x = 6  x = 3.
d. Ta biÕn ®æi:
3x = 12  3x = 12  x = 4.
VÝ dơ 2: T×m x, biÕt:
a.
b.
( x  1) 2 = 9.
(x 



Híng dÉn: Tham kh¶o vÝ dơ 1.
 Gi¶i

3) 2

= 3 x.

a. Ta biến đổi về dạng:
x  1 9 nÕu x  1 0

 x 8 nÕu x  1

 x + 1 = 9  
 
.
 x   10 nÕux   1
  ( x  1) 9 nÕux  1  0
Vậy, ta nhận đợc hai giá trị x = 8 vµ x =  10.
b. Ta cã:
10


= 3 – x  x  3 = 3 – x  x – 3  0  x 3.
Vậy, nghiệm của phơng trình là x 3.
( x 3) 2

Chú ý:

Trong lời giải câu b), chóng ta ®· sư dơng tÝnh chÊt:
a =  a  a  0.
VÝ dơ 3: (Bµi 15/tr 11  Sgk): Giải các phơng trình sau:
a. x2 5 = 0
b. x 2  2 11x  11 0.

 Gi¶i
a. Biến đổi phơng trình về dạng:
x2 = 5 x 5.

Vậy, phơng trình có hai nghiệm x 5.
b. Biến đổi phơng trình về dạng:
x 2 2.x. 11 



11



2



0  x  11



2

0  x  11 0 x 11.

Vậy, phơng trình có một nghiệm x  11. x  5.
VÝ dơ 4:

T×m x, biÕt:
a.
x  2 + 2 = x.

Híng dÉn: Sư dơng phÐp biÕn đổi tơng đơng.

Giải

b.

a. Điều kiện có nghĩa:
x 2 0 x 2.
Biến đổi phơng trình về d¹ng:
2
x 2 =x 2 x 2 =( x 2) 






x  2 0







x  1 0

x  1 + 1  x.

(*)
x 2(



 x  2 0

 x  2 1

 x 2



 x  1 0

 x  1 1

 x 1

x  2 1) = 0

 
, tho¶ m·n (*).
x  2  1 0
 x 3
VËy, ph¬ng trình có hai nghiệm x = 2 và x = 3.
b. §iỊu kiƯn cã nghÜa:
x  1  0  x 1.
(*)
Biến đổi bất phơng trình về dạng:
2
x 1  x 1  x  1  ( x  1 )  x  1 ( x  1 1)  0



 
, tho¶ m·n (*).
x  1 1 0
x 2
Vậy, bất phơng trình có nghiƯm x = 1 hc x  2.
NhËn xÐt: Nh vËy:
 Víi c©u a), ta cã tỉng kÕt:
 B 0
A B  
.
2
 A B
 Víi c©u b), ta cã tæng kÕt:

11


B 0

A B A 0 .
A B2


bài tập lần 2
Bµi 1: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
2
a. (5)2.   7 .
5

Bài 2: Tìm x, biết:
a. x2 = 9.
b. x2 = ( 2)2.
Bài 3: So sánh các cặp sè sau:
a. 0,3 vµ 0, 2(5).
b. 4 1 vµ 2 1
2
3
Bµi 4:
a.
b.
Bµi 5:
a.
b.
Bµi 6:

2

b. (  0, 25)2 :  3  .
100




c. 4x2 + 1 = 8  2 6 .
d. x2 + 1 = 6  2 6 .
c. 2 3 vµ 3 2

d. 6 2 vµ 7 2
7

6
Chứng minh các bất phơng trình sau nghiệm đúng với mäi x
x2 + 1  2x.
c. x2(x2  1)  x2  1
d. 9x2 + 6ax+ a2 +8 > 0, a lµ h»ng sè.
2x2 + 2x  1   15
Tìm giá trị của x biết:
x2 25 ; x2 < 25;
c. x2  1 < 9;
x2 + 2x  5  0;
d. x2 + 6ax+ 9a2  4 > 0, a là hằng số.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc:
A = 8 + x 2  3x  4 .

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thøc:
A = 11  x 2  7x  6 .
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a. A = 5 + x 2  3x  9 .
c. C =
x 2  7x  5 .
Bµi 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
b. B =

a. A = 15 

x 2  4x  13 .
b. B = 3x2 + 6x 15.
Bài 10: Giải các phơng trình sau:
a.
2x 1 = 1.

b.

12

x 2 5 = x + 1.

x 2  7x  6  25
d. D = x  6x + 11
2

c. C = 12  x 2  2x  1 .
d. D = 17 + 10x  x2.

c.

x2  4 =

x 2  2x .