bài tập luyện thi học sinh giỏi phần con lắc lò xo

Câu 1: (1,5đ) Một khối gỗ khối lượng M=400g được
lò xo có độ cứng k=100N/m. Một viên bi khối lượng
được bắn đến với vận tốc v0= 50cm/s va chạm vào khối
va chạm hệ dao động điều hòa.
Xác định chu kì và biên độ dao động.
Biết va chạm tuyệt đối đàn hồi.

M

u
u
r
v0

m

treo vào
m=100g
gỗ. Sau

Va chạm tuyệt đối đàn hồi
mv0 = mv + MV (1)
Đinh luật bảo toàn năng lượng
1 2 1 2 1
mv0 = mv + MV 2 (2)
2
2
2
2m
Từ (1), (2) suy ra: V =
v

m+M 0
M 2π
=
(s)
k
5
Định luật bảo toàn cơ năng
1 2 1
1
2m
kA = MV 2 = M
v
2
2
2 m+M 0
Chu kì: T = 2π

A=

O

2m
M
v0
= 4(cm)
m+M
k

Câu 2: (2đ) Một quả cầu có khối lượng
m= 2kg treo ở một đầu một sợi dây có khối lượng không đáng kể và không co dãn. Bỏ qua ma sát và sức cản. Lấy

g= 10m/s2.
a) Kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng một góc α m rồi thả ra ( vận tốc ban đầu bằng không). Thiết lập biểu thức lực
căng dây của dây treo khi quả cầu ở vị trí lệch một góc α so với vị trí cân bằng. Tìm vị trí của quả cầu trên quĩ đạo
để lực căng đạt cực đại. Tinh độ lớn của lực căng cực đại nếu góc α m =600.
b) Phải kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng một góc bằng bao nhiêu để khi thả cho dao động, lực căng cực đại gấp 3
lần trọng lượng của quả cầu.
c) Thay sợi dây treo quả cầu bằng một lò xo có trọng lượng không đáng kể. Độ cứng của lò xo là k= 500N/m,
chiều dài ban đầu l0=0,6m. Lò xo có thể dao động trong mặt phẳng thẳng đứng xung quanh điểm treo O. Kéo quả
cầu khỏi vị trí cân bằng một góc β = 900 rồi thả ra. Lúc bắt đầu thả, lò xo ở trạng thái không bị nén dãn. Xác định
độ dãn của lò xo khi quả cầu đến vị trí cân bằng.

2

a
b

T = mg(3cos α − 2 cos α m )
Tmax = mg(3 − 2 cos α m ) = 40( N )
Tmax= 3mg. Từ hệ thức trên suy ra: 3 − 2 cos α m = 3


α m = 90 0
Chọn mốc thế năng tại VT thấp nhất.
Cơ năng tại A(ngang): E A = mg(l0 + ∆l) (1)
1 2 1
mv + k ∆l 2 (2)
2
2
v2
F

=
k
∆
l
=
mg
+
m
(3)
Lực đàn hồi tại VT B:
l0 + ∆l
Cơ năng tại B(thấp nhất): EB =
c

Từ (1),(2) ⇒ mv 2 = 2mg(l0 + ∆l) − k ∆l 2
Thay vào (3): k (l0 + ∆l) = mg(l0 + ∆l) + 2mg(l0 + ∆l) − k ∆l 2
∆l 2 + 0,24∆l − 0, 036 = 0
Giải ra: ∆l =0,104(m)
Câu 3(2 điểm)
1) Một vật có khối lượng m = 100( g )
hoà theo phương trình có dạng
x = Acos(ωt + ϕ) . Biết đồ thị lực
gian F(t) như hình vẽ. Lấy π2 = 10 .
trình dao động của vật.
2) Một chất điểm dao động điều hòa
biên độ 12(cm) . Biết trong một
thời gian để vận tốc có độ lớn

24π 3 (cm/s) là

, dao động điều
kéo về theo thời
Viết
phương
với chu kì T và
chu kì, khoảng
không vượt quá

2T
. Xác định
3

chu kì dao động

của chất điểm.
3) Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có k = 100 (N/m), m = 500( g ) . Đưa quả cầu đến vị trí mà lò
xo bị nén 10cm, rồi thả nhẹ. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là µ = 0,2. Lấy g = 10(m/s2).
Tính vận tốc cực đại mà vật đạt được trong quá trình dao động.
1) (1 điểm)
Từ đồ thị, ta có:

T 13 7
= − = 1(s) ⇒ T = 2s ⇒ ω = π(rad/s).
2 6 6

0,25đ

⇒ k = m.ω2 = 1(N/m).
+) Ta có: Fmax = kA ⇒ A = 0,04m = 4cm.

0,25đ

+) Lúc t = 0(s) từ đồ thị, ta có: Fk = - kx = - 2.10-2 m ⇒ x = 2cm và Fk
đang tăng dần (vật đang chuyển động về VTCB) ⇒ v < 0.

0,25đ

Vậy, phương trình dao động của vật là: x= 4cos(πt + π/3) cm.

0,25đ

 x = Acosϕ = 2cm
π
⇒
⇒ ϕ = rad
3
 v = -Asinϕ < 0

2) (0,5điểm)
Từ giả thuyết, ⇒ v ≤ 24π 3 (cm/s).

0,25đ


Gọi x1 là vị trí mà

x
v = 24π 3 (cm/s)
•
•

•
•
•
x1
-A
- x1
O
A
và t1 là thời gian
vật đi từ vị trí x1
đến A.
⇒ Thời gian để vận tốc có độ lớn không vượt quá 24π 3 (cm/s) là: t
= 4t1 =

2T
T
⇒ t1 =
⇒ x1 = A/2.
3
6
0,25đ

2

v
Áp dụng công thức: A = x +  ÷ ⇒ ω = 4π ⇒ T = 0,5( s ).
ω 
2

2

3) (0,5điểm)
Gọi x0 là tọa độ của VTCB, ta có: Fdh = Fms ⇔ k.x0 = µmg
⇒ x0 =

0,25đ

µ mg
= 1cm.
k

Biên độ dao động của con lắc là: A = ∆l – x0 = 9cm.
Vận tốc cực đại là: vmax = Aω = 90 2 (cm/s).

0,25đ

Bài 4
O
Con lắc lò xo như hình vẽ. Vật nhỏ khối lượng m = 200g, lò xo lí tưởng
m
có độ cứng k = 1N/cm, góc α = 300. Lấy g = 10m/s2.
a/ Chọn trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng. Viết
phương trình dao động. Biết tại thời điểm ban đầu lò xo bị dãn 2cm và vật
có vận tốc v0 = 10 15 cm/s hướng theo chiều dương.
π
b/ Tại thời điểm t1 lò xo không biến dạng. Hỏi tại t2 = t1 +
s, vật có tọa độ bao nhiêu?
4 5
c/ Tính tốc độ trung bình của m trong khoảng thời gian Δt = t2 - t1.
Bài 4 (2,5đ)

0,25
k
g sin α
a/ Tại VTCB ω =
=
m
∆l
0,25
π
s.
=> Δl = 1cm, ω = 10 5 rad/s, T =
5 5

x

α

2

Biên độ: A =

π
v 
x +  0  => A = 2cm và ϕ = − .
3
ω
2

Vậy: x = 2cos(10 5t −

π
3

0,25

M

0,25
0,25

)cm.

b/ Tại t1 vật ở M có vận tốc v1, sau Δt =

π

4 5
- vật ở K (nếu v1 > 0) => tọa độ x2 = 3 cm.
- vật ở N (nếu v1 < 0) => tọa độ x2 = - 3 cm.

-1

= 1,25T.
N

c/ Quãng đường m đi được: - Nếu v1<0 => s1 = 11 − 3 => vtb = 26,4m/s.
- Nếu v1>0 => s2 = 9 + 3 => vtb = 30,6m/s.

O

K

0,25 K'
0,25
0,25
0,25
0,25

x


5. Một lò xo nhẹ có độ cứng K , đầu trên được gắn vào giá
trên mặt nêm nghiêng một góc α so với phương ngang, đầu
K
vào vật nhỏ có khối lượng m (hình vẽ 1). Bỏ qua ma sát ở mặt
sát giữa nêm với sàn ngang. Nêm có khối lượng M. Ban đầu nêm
m
chặt, kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ
đồng thời buông nêm. Tính chu kì dao động của vật m so với
M
Tính chu kì dao động của vật so với nêm (1điểm):
+ Trong hệ quy chiếu gắn với nêm:
Hình 1
- Tại VTCB của m trên nêm (khi m cân bằng trên nêm thì nêm cũng cân bằng
mg sin α
trên bàn): lò xo giãn một đoạn: ∆l0 =
(1)
K
- Chọn trục Ox gắn với nêm và trùng mặt nêm hướng xuống, O là VTCB của m
trên nêm.

- Tại vị trí vật có li độ x: theo định luật II Niu Tơn:
mg sin α − K ( ∆l0 + x) + ma.cosα =mx // (2) ............................................................
Fd
với a là gia tốc của nêm so với sàn.
N
+ Trong hqc gắn với bàn, với nêm ta có:
•
Q O
F
(mgcosα -ma.sinα )sinα -K(x+∆l 0 )cosα =Ma .....................................................
m q
thay (1) vào biểu thức vừa tìm ta được:
P
X
N
− Kx.cosα
a=
(3)
M + m sin 2 α
P/
2
K .x.cos α
K .( M + m)
= mx // ⇒ x // +
.x = 0
+ Thay (3) vào (2) cho ta: − Kx − m
2
M + m.sin α
m( M + m.sin 2 α )
chứng tỏ m dao động điều hoà so với nêm với chu kì: T =

cố
định
dưới gắn
nêm và ma
được giữ
vật
và
nêm.
300

2π
m( M + m.sin 2 α )
= 2π
ω
K .( M + m)

Bài 6 (6 điểm). Cho con lắc lò xo lí tưởng K = 100N/m,
1
m1 = 200gam, m2 = 50gam, m0 =
kg. Bỏ qua
12
lực cản không khí, lực ma sát giữa vật m1 và mặt sàn.
Hệ số ma sát giữa vật m1 và m2 là µ12 = 0, 6 . Cho g = 10m/s2.

K

m2

m0

m1
O

x

1) Giả sử m2 bám m1, m0 có vận tốc ban đầu v0 đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với m1, sau va chạm hệ (m1 +
m2) dao động điều hoà với biên độ A = 1 cm .
a. Tính v0.
b. Chọn gốc thời gian ngay sau va chạm, gốc toạ độ tại vị trí va chạm, chiều dương của trục toạ độ hướng từ
trái sang phải (hình vẽ). Viết phương trình dao động của hệ (m1 + m2). Tính thời điểm hệ vật đi qua vị trí x =
+ 0,5 cm lần thứ 2011 kể từ thời điểm t = 0.
2) Vận tốc v0 phải ở trong giới hạn nào để vật m 1 và m2 không trượt trên nhau (bám nhau) trong quá trình dao
động ?
1) a. Đặt m1 + m2 = 250 g = 0,25 kg, áp dụng hai ĐLBT ta tính được vận tốc hai vật sau va chạm:
2m0 v0 v0
v=
=
2 (1)
m+m
0

K
100
=
= 20rad / s (2)
m
0, 25
Vận tốc của hai vật ngay sau va chạm chính là vận tốc cực đại của dao động. Từ công thức (1), với A = 1 cm, ta
có: v0 = 2v = 2ω A = 2.20.1 = 40cm / s

(3)
Hai vật dao động điều hoà với tần số: ω =


 x0 = A cos ϕ = 0
π
⇒ϕ =
b. Lúc t = 0, ta có: 
2
v = −ω A sin ϕ < 0
Phương trình dao động của hệ (m1 + m2) là: x = cos(20t + π / 2)cm .
+ Dùng PP véc tơ quay, ta tìm được thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = + 0,5 cm lần thứ 2011 là: t = t 1 + t2 =
7π
7π
π 12067π
+ 1005T =
+ 1005. =
≈ 315, 75s
120
120
10
120
2) Khi hai vật đứng yên với nhau thì lực làm cho vật m2 chuyển động chính là lực ma sát nghỉ giữa hai vật, lực
này gây ra gia tốp cho vật m2 :
µ g
Fmsn = m2a = −m2ω 2 x < µ12 m2 g ⇒ A < 122 (5)
ω
v
Mà: v0 = 2ω A ⇒ A = 0
(6)

2ω
2µ g
Từ (5) và (6) ta có: v0 < 12 = 0, 6m / s
ω
Câu 7 (5,0 điểm): Một sợi dây cao su nhẹ đàn hồi có độ cứng k = 25N/m đầu trên được giữ cố định, đầu dưới treo
vật m = 625g. Cho g = 10m/s2, π 2 = 10 .
1) Kéo vật rời khỏi vị trí cân bằng theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới một đoạn bằng 5cm rồi thả nhẹ
cho vật dao động điều hòa. Chọn gốc thời gian là lúc thả vật, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng
xuống.
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Tính tốc độ trung bình của vật kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vật qua vị trí có x = -2,5cm lần thứ 2.
2) Vật đang ở vị trí cân bằng, truyền cho vật vận tốc 2m/s hướng thẳng đứng xuống dưới. Xác định độ cao cực
đại của vật so với vị trí cân bằng.
- Phương trình dao động của vật có dạng: x = A cos(ωt + ϕ ) …………………………….
- Tần số góc: ω =

k
25
=
= 2π ( rad / s) ………………………………………………..
m
0,625

 x0 = A cos ϕ = 5
⇒ A = 5cm; ϕ = 0 ……………………………….
- Tại thời điểm t = 0: 
v0 = −ωA sin ϕ = 0
- Phương trình dao động là: x = 5 cos 2πt (cm). ……………………………………………..
- Từ mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều ta xác định được thời
gian kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến lúc vật qua vị trí

x = -2,5cm là:
4π
2
α=
= ωt ⇒ t = ( s) …………………………
3
3
-5 -2,5
O
5
S 12,5
= 18,75(cm / s ).
- Tốc độ trung bình:
tđtb = =
t 2/3
mg
= 0,25m = 25cm. Vì vậy vật chỉ dao động điều hòa khi A
k
< 25cm…………………………………………………………………………………..
v
- Nếu tại VTCB truyền vận tốc v = 2m/s thì biên độ có thể đạt là A = max = 31,8cm , nên khi đi lên qua vị
ω
trí 25cm thì dây bị chùng do vậy vật không dao động điều hòa………………………..
- Áp dụng định luật BTNL, chọn gốc thế năng hấp dẫn tại VTCB thì :
kx 2 mv 2
Tại VTCB: W1 = 0 + 0
Tại vị trí cao nhất: W2 = mghmax…………………………………..
2
2
W1 = W2 => hmax = 32,5cm.

- Tại vị trí cân bằng độ giãn của dây là ∆l =


Bài 7(5,0 điểm)
Vật nặng có khối lượng m nằm trên một mặt phẳng nhẵn nằm ngang, được nối với một lò xo có độ cứng k, lò
xo được gắn vào bức tường đứng tại điểm A như hình 2a. Từ một thời điểm nào đó, vật nặng bắt đầu chịu tác dụng
của một lực không đổi F hướng theo trục lò xo như hình vẽ.
A
k
F
m
a) Hãy tìm quãng đường mà vật nặng đi được và thời gian vật đi hết quãng
đường ấy kể từ khi bắt đầu tác dụng lực cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất.
b) Nếu lò xo không không gắn vào điểm A mà được nối với một vật khối
Hình
2a
k
F
M
lượng M như hình 2b, hệ số ma sát giữa M và mặt ngang là µ. Hãy xác định độ
m
lớn của lực F để sau đó vật m dao động điều hòa.
Hình 2b
Bài 7(5đ)
a) Chọn trục tọa độ hướng dọc theo trục lò xo, gốc tọa độ trùng vào vị trí cân bằng của vật sau khi đã có lực F
tác dụng như hình 1. Khi đó, vị trí ban đầu của vật có tọa độ
k
F
m
là x0. Tại vị trí cân bằng, lò xo bị biến dạng một lượng x0 và:

F
F = − kx0 ⇒ x0 = − .
x0
O
k
Hình 1
0.5đ
Tại tọa độ x bât kỳ thì độ biến dạng của lò xo là (x–x0), nên hợp lực tác dụng lên vật là:
− k ( x − x0 ) + F = ma.
0.5đ
Thay biểu thức của x0 vào, ta nhận được:
F

− k  x +  + F = ma ⇒ − kx = ma ⇒ x"+ω 2 x = 0.
k

0.5đ
Trong đó ω = k m . Nghiệm của phương trình này là:
x = A sin(ωt + ϕ ).
0.25đ
m
Như vậy vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2π
. Thời gian kể từ khi tác dụng lực F lên vật đến khi vật
k
dừng lại lần thứ nhất (tại ly độ cực đại phía bên phải) rõ ràng là bằng 1/2 chu kỳ dao động, vật thời gian đó là:
T
m
t = =π
.
2

k
0.5đ
Khi t=0 thì:
F

F
 A = k ,
x = A sin ϕ = − ,
⇒ 
k
ϕ = − π .
v = ωA cos ϕ = 0

2
0.5đ
Vậy vật dao động với biên độ F/k, thời gian từ khi vật chịu tác dụng của lực F đến khi vật dừng lại lần thứ
nhất là T/2 và nó đi được quãng đường bằng 2 lần biên độ dao động. Do đó, quãng đường vật đi được trong thời
gian này là:
2F
S = 2A =
.
k
0.5đ
F
b) Theo câu a) thì biên độ dao động là A = .
k
Để sau khi tác dụng lực, vật m dao động điều hòa thì trong quá trình chuyển động của m, M phải nằm yên.
0.5đ

Lc n hi tỏc dng lờn M t ln cc i khi bin dng ca lũ xo t cc i khi ú vt m xa M nht
(khi ú lũ xo gión nhiu nht v bng: x0 + A = 2 A ).
0.5
vt M khụng b trt thỡ lc n hi cc i khụng c vt quỏ ln ca ma sỏt ngh cc i:
F
k .2 A < àMg k .2. < àMg.
k
0.5
T ú suy ra iu kin ca ln lc F:
àmg
F<
.
2
0.25
Bài 8 (4 điểm) Hai quả cầu nhỏ m1 và m2 đợc tích điện q và -q, chúng đợc nối với nhau bởi một lò xo rất nhẹ có độ
cứng K (hình 1). Hệ nằm yên trên mặt sàn nằm ngang trơn nhẵn,
lò xo không biến
K
dạng. Ngời ta đặt đột ngột một điện trờng đều cờng độ E , hớng
theo phơng ngang,
K
m2, - q sau đó. Bỏ qua tsang phải. Tìm vận tốc cực đại của các quả cầu trong chuyển động m1,q
ơng tác điện giữa hai quả cầu, lò xo và mặt sàn đều cách điện.
Bài8 .Do tổng ngoại lực tác dụng hệ kín theo phơng ngang nên
khối
K
tâm của hệ đứng yên và tổng động lợng của hệ đợc bảo
toàn.
(Hình 1)
Chọn trục Ox có phơng ngang hớng sang phải, góc O ở

m1,q
K
m2, - q khối
tâm của hệ. Ta có:
m1v1 + m2v2 = o v2 = -

m1v1
(1)
m2

.o

x

.Vật m1 và m2 sẽ dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng của chúng, tại đó hợp lực tác dụng
lên mỗi vật bằng 0 và vận tốc của chúng đạt cực đại. Ta có:
qE = k(x1-x2) (2)
2
m1v12 + m2v22 + k ( x1 x2 ) = qE(x1-x2) (3)
2
2
2
.Từ (1) và (2) và (3) ta đợc:
qE
m1
qE
m2
V1=
, V2=
k m1 (m1 + m2 )

k m2 (m1 + m2 )
Cõu 9(4): Mt con lc lũ xo treo thng ng gm vt nh khi lng m = 250g v mt lũ xo nh cú cng k =
100 N/m. Kộo vt m xung di theo phng thng ng n v trớ lũ xo gión 7,5 cm ri th nh. Chn gc ta
v trớ cõn bng ca vt, trc ta thng ng, chiu dng hng lờn trờn, gc thi gian l lỳc th vt. Cho g =
10m/s2. Coi vt dao ng iu hũa
a. Vit phng trỡnh dao ng
b. Tớnh thi gian t lỳc th vt n thi im vt i qua v trớ lũ xo khụng bin dng ln th nht.
1
c. Thc t trong quỏ trỡnh dao ng vt luụn chu tỏc dng ca lc cn cú ln bng
trng lc tỏc dng
50
lờn vt, coi biờn dao ng ca vt gim u trong tng chu kỡ tớnh s ln vt i qua v trớ cõn bng k t
khi th.


a. Vật chịu tác dụng của 2 lực: trọng lực
và lực đàn hồi của lò xo:
mg
mg = k∆l 0 ⇒ ∆l 0 =
= 0,025m
- Tại VTCB có:
k
= 2,5cm

x

- Phương trình dao động của vât có dạng:
x = A cos(ωt + ϕ )
Với ω =

k
100
=
= 20(rad / s)
m
0,25

•

 x = −(7,5 − 2,5) = −5cm  A = 5(cm)
⇒
-Tại lúc t = 0 
v = 0
ϕ = π (rad )
Vậy pt: x = 5 cos(20t + π )(cm)

0

b. Vật bắt đầu chuyển động đến lúc x = 2,5 cm thì lò xo ko giãn lầ thư nhất. khi đó ta có bán kính véc tơ của
2π
α π
= ω.t ⇒ t = = ( s )
chuyển động tròn đều quét được một góc α =
3
ω 30
2,5

α
c.Gọi A1, A2, ….., An là biên độ dao động của vật trong những lần kế tiếp. Mỗi lần vật đi qua vị trí cân bằng
1

1
2
2
−3
năng lượng giảm: ∆w = k ( A1 − A2 ) = AFc = mg ( A1 + A2 ) ⇒ A1 − A2 = 10 m = 0,1cm
2
50
A
= 50 lần
Vậy số lần vật đi qua vị trí cân bằng là: N =
A1 − A2

Câu 10
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m = 100(g) và lò xo nhẹ có độ cứng k =
100(N/m). Nâng vật nặng lên theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo không bị biến dạng, rồi truyền cho nó vận tốc
10 30 (cm/s) thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật nặng. Chọn trục tọa độ Ox
thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O ở vị trí cân bằng.
Lấy g = 10(m/s2); π 2 ≈ 10 .
a) Nếu sức cản của môi trường không đáng kể, con lắc lò xo dao động điều hòa. Tính:
- Độ lớn của lực đàn hồi mà lò xo tác dụng vào vật lúc t = 1/3(s).
- Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian 1/6(s) đầu tiên.
b) Nếu lực cản của môi trường tác dụng lên vật nặng có độ lớn không đổi và bằng F C=0,1(N). Hãy tìm tốc độ lớn
nhất của vật sau khi truyền vận tốc.
mg
k
= 0, 01(m) = 1(cm) ω =
+ Khi vật ở VTCB ∆l 0 = x0 =
= 10π (rad/s)
k
m

2π
+ Phương trình dao động của vật: x = 2 cos(10π t + ) (cm)
3


+ t =1/3(s) => x = 2(cm). Độ lớn lực đàn hồi: Fđh=k ∆l = 3(N)
r
2π
2π
+ Biểu diễn x = 2 cos(10π t + ) bằng véc tơ quay A .
3
3
r
5π
2π
=π +
Sau t =1/6s A quay ωt =
3
3
Quãng đường vật dao động điều hòa
H M
đi được sau 1/6s là:
A
o
-A
S= 2A+ 2HM = 2A + A=3A=6cm
+ Tốc độ trùng bình :
S 6
= = 36(cm / s)
Vtb= t 1

6
Chọn mốc tính thế năng là VTCB
mv02 kx02
+ Cơ năng ban đầu W0 =
+
= 0, 02( J )
2
2
+ Vật chuyển động chậm dần đến vị trí cao nhất cách VTCB A:
kA12
= W0 − Fc ( A1 − x0 ) ⇒ A1 = 0, 0195m
2

x

π
3

Câu 11. (2,5 điểm)
Một con lắc lò xo được treo thẳng đứng gồm vật nặng khối lượng m = 1kg, lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m. Đặt
giá B nằm ngang đỡ vật m để lò xo có chiều dài tự nhiên. Cho giá B chuyển động đi xuống với gia tốc a = 2m/s2
không vận tốc ban đầu.
a. Tính thời gian từ khi giá B bắt đầu chuyển động cho đến khi vật rời giá B.
b. Chọn trục tọa độ có phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật, gốc
thời gian là lúc vật rời giá B. Viết phương trình dao động điều hòa của vật.
Câu 11 a. Tìm thời gian
(2,5 đ)
mg
= 0,1 m
• Khi vật ở VTCB lò xo giãn: Δl =

k

F
k
k
dh
Tần số của dao động: ω =
= 10 rad/s

m
r r r
r
m N
O
P
+
N
+
F
=
ma
• Vật m:
.
dh
B

Chiếu lên Ox: mg - N - k ∆l = ma
Khi vật rời giá thì N = 0, gia tốc của vật a = 2 m/s2
P
• Suy ra:

x
m(g - a)
at 2
Δl =
=
k
2
2m(g - a)
⇒ t=
= 0,283 s
ka
b. Viết phương trình
at 2
= 0,08 m
• Quãng đường vật đi được cho đến khi rời giá là S =
2
Tọa độ ban đầu của vật là: x0 = 0,08 - 0,1 = - 0,02 m = -2 cm
Vận tốc của vật khi rời giá là: v0 = at = 40 2 cm/s
v02
= 6 cm
ω2
Tại t = 0 thì 6cos ϕ = -2 và v > 0 suy ra ϕ = -1,91 rad
Phương trình dao động: x = 6cos(10t - 1,91) (cm)
• Biên độ của dao động: A = x02 +

0,5


Câu 12 (2 điểm).
Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng M = 300 g , lò xo nhẹ có độ cứng

k = 200 N / m . Khi M đang ở vị trí cân bằng thì thả vật m = 200 g rơi từ độ cao
h = 3, 75cm so với M (Hình 1). Coi va chạm giữa m và M là hoàn toàn mềm. Sau va
M và m bắt đầu dao động điều hòa. Lấy g = 10m / s 2 .
a) Tính vận tốc của m ngay trước va chạm và vận tốc của hai vật ngay sau va chạm.
b) Viết phương trình dao động của hệ (M+m). Chọn gốc thời gian là lúc va chạm,
độ Ox thẳng đứng hướng lên, gốc O là vị trí cân bằng của hệ sau va chạm.
c) Tính biên độ dao động cực đại của hệ vật để trong quá trình dao động vật m không
M

a

b

c

m
h
M
k

chạm, hệ

trục

tọa

rời

khỏi

Hình 1

Vận tốc của m ngay trước va chạm: v = 2 gh = 50 3cm / s ≈ 86, 6cm / s
Do va chạm hoàn toàn không đàn hồi nên sau va chạm hai vật có cùng vận tốc V
mv
mv = ( M + m)V → V =
= 20 3cm / s ≈ 34, 6cm / s
M +m
K
Tần số dao động của hệ: ω =
= 20rad / s . Khi có thêm m thì lò xo bị nén thêm một đoạn:
M +m
mg
x0 =
= 1cm . Vậy VTCB mới của hệ nằm dưới VTCB ban đầu một đoạn 1cm
K
V2
Tính A: A = x 20 + 2 = 2 (cm)
ω
1 = 2cosϕ
π
→ ϕ = rad
Tại t=0 ta có: 
3
 −2.20sin ϕ < 0
π

Vậy: x = 2cos  20t + ÷cm
3


uu
r
ur
r
Phản lực của M lên m là N thỏa mãn: N + mg = ma → N − mg = ma = −mω 2 x
2
2
→ N = mg − mω x → N min = mg − mω A
g
g
10
Để m không rời khỏi M thì N min ≥ 0 → A ≤ 2 Vậy Amax = 2 = 2 = 2,5cm
ω
ω
20

Câu 13 (2,5 điểm).
Cho con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 50 N / m , vật nặng kích thước nhỏ
có khối
lượng m = 500 g (Hình 2). Kích thích cho vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng.
Chọn
gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ x = 2,5cm với tốc độ 25 3 cm / s theo phương
thẳng
k
đứng hướng xuống dưới. Chọn trục tọa độ Ox theo phương thẳng đứng, chiều dương
hướng
2
lên trên, gốc O trùng với vị trí cân bằng của vật. Lấy g = 10m / s .
m
a) Viết phương trình dao động của vật.

Hình 2
b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = −2, 5cm đến vị trí có li
độ
x2 = 2,5cm .
c) Tính quãng đường đi được của vật kể từ lúc bắt đầu dao động đến khi tới vị trí có động năng bằng thế năng lần
thứ hai.


Tần số góc ω =

a

k
50
=
= 10rad / s
m
0,5

2,5

cosϕ=
π


 x = A cos ϕ = 2,5
A

 ϕ=
⇔

⇔
Tại t = 0, ta có: 
3
 v = − Aωsin ϕ = −25 3
sin ϕ = 25 3
 A = 5cm

10A
π
→ Phương trình dao động x = 5cos(10t + ) (cm)
3
Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x 1 =
-2,5cm đến vị trí có li độ x2 = 2,5cm

b

∆t =

α
π
π
=
= s ≈ 0,1s
ω 3.10 30

-5

- 2,5

2,5

O
•

5 x

α
N

M
Qng đường vật đi từ vị trí ban đầu tới vị trí có động năng bằng
thế năng lần thứ 2

Wd A 2 − x 2
A
=
=1⇔ x = ±
= ±2,5 2cm
2
Wt
x
2
c

5

M

2, 5 2 N
2,5

⇒ s = 7,5 + 5 − 2,5 2 = 12,5 − 2,5 2 ≈ 8,96cm

O

Q
(Lần 1)

-5

P
(Lần 2)

Bài 14:
Một con lắc gồm một vật nặng có khối lượng m=100g được treo vào
đầu dưới của một lò xo thẳng đứng đầu trên cố đònh. Lò xo có độ
cứng K=20N/m, vật m được đặt trên một giá đỡ nằm ngang(hình vẽ).
Ban đầu giữ giá đỡ để lò xo không bò biến dạng, rồi cho giá đỡ chuyển
động thẳng xuống nhanh dần đều với gia tốc a=2m/s2. Lấy g=10m/s2.
1- Hỏi sau bao lâu thì vật rời khỏi giá đỡ?
2- Cho rằng sau khi rời giá đỡ vật dao động điều hoà.Viết phương trình dao động của vật. Chọn gốc thời gian
lúc vật vừa rời giá đỡ, gốc tọa độ ở vò trí cân bằng, trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương hướng xuống


* Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc O là vò trí cân bằng của m. Ban đầu lò xo
không biến dạng vật ở vò trí B. Gốc thời gian lúc cho giá đỡ chuyển động. ur ur uu
r
*Khi chưa rời giá đỡ, m chòu tác dụng của:trọng lực, lực đàn hồi, phản lực P, F , N
ur ur uu
r

r
Theo đònh luật II Newton: P + F + N = ma
2
*Giả
ur sử
ur đến rC vật rời giá đỡ, khi đó N= 0, vật vẫn có gia tốc a=2m/s :
B
P + F = ma . Chiếu lên Ox: P – F = ma hay mg – k.BC = ma.
m( g − a) 0,1(10 − 2)
=
= 0, 04m = 4cm
Suy ra: BC =
m
C
k
20
*Mặt khác : gọi t là thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc rời giá đỡ, ta có
O
1
2 BC
2.0, 04
BC = at 2 ⇒ t =
=
= 0, 2 s
x
2
a
2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
k

20
ω=
=
= 10 2 rad
*Tần số góc:
s
m
0,1
mg 0,1.10
=
= 0, 05m = 5cm
*-Độ giãn của lò xo ở vò trí cân bằng: BO = ∆l =
k
20
 x = −OC = −1cm
-Vận tốc vật tại C :VC = at = 2.0,2 = 0,4 m/s.
Điều kiện đầu: t=0 
v = 40cm / s
*Giải
*

π
Phương trình x = A sin(ωt + ϕ ) = 3sin(10 2t − )cm
9

 A = 3cm

20π
π


0
ϕ ≈ −20 = − 180 = − 9 rad

•

Phương trình

π
x = A sin(ωt + ϕ ) = 3sin(10 2t − )cm
9

Câu 15:
Một con lắc lo xo gồm vật nặng M=300g,độ cứng k=200N/m như (hình vẽ 3). Khi M đang
ở vị trí cân bằng thả vật m=200g từ độ cao h=3,75cm so với M.Sau va chạm hệ M và m
bắt đầu dao động điều hòa . Bỏqua ma sát,lấy g=10m/s2 .Coi va chạm giữa m và M
là hồn tồn khơng đàn hồi.
a.Tính vận tốc của m ngay trước va chạm,và vận tốc của hai vật ngay sau va chạm
b.Viết phương trình dao động của hệ (M+m) chọn gốc thời gian là lúc va chạm ,
trục tọa độ 0x thẳng đứng hướng lên gốc 0 là vị trí cân bằng của hệ sau va chạm.
c. Tính biên độ dao động cực đại của hai vật để trong q trình dao động
vật m khơng rời khỏi M
3
a
Hình 2
0,5
(4,5đ)
Vận tốc của m ngay trước va chạm: v = 2 gh = 0,5 3 (m/s)= 50 3 (cm/s)
Do va chạm hồn tồn khơng đàn hồi nên sau va chạm vòng và đĩa có cùng vận
0,5
tốc V

mv
mv = ( M + m)V → V =
= 0, 2 3 (m/s)= 20 3 (cm/s)
M +m


Viết PT dao động: ω =
một đoạn: ∆l0 =

K
= 20 (rad/s). Khi có thêm m thì lò xo bị nén thêm
M +m

mg
= 1 (cm) vậy VTCB mới của hệ nằm dưới VTCB ban đầu một
K

0,75

đoạn 1cm
b

V2
= 2 (cm)
ω2
1 = 2cosϕ
π
→ ϕ = (rad/s)
Tại t=0 ta có: 
3

 −2.20sin ϕ < 0
Tính A: A = x 20 +

0,5
0,5

π
) (cm)
3
uu
r ur
r
Lực tác dụng lên m là: N + P1 = ma → N − P = ma = − mω 2 x
Vậy: x=2cos(20t+

c

0,5
0,75

2
2
Hay N= mg − mω x → N min = mg − mω A

Để m không rời khỏi M thì N min ≥ 0 → A ≤

g
g
10
Amax = 2 = 2 = 2,5 (cm)

2 Vậy
ω
ω
20

0,5

Bài 16: (4,0 điểm)
Có một số dụng cụ gồm một quả cầu nhỏ có khối lượng m, một lò xo nhẹ có độ cứng k và
một thanh cứng nhẹ OB có chiều dài l.
1) Ghép lò xo với quả cầu để tạo thành một con lắc lò xo và treo thẳng đứng như hình vẽ
(H.1). Kích thích cho con lắc dao động điều hoà với biên độ A = 2cm. Tại thời điểm ban đầu quả
cầu có vận tốc v = 20 3cm / s và gia tốc a = - 4m/s2. Hãy tính chu kì và pha ban đầu của
dao động.
(H.1)
2) Quả cầu, lò xo và thanh OB ghép với nhau tạo thành cơ hệ như hình vẽ (H.2). Thanh nhẹ
OB treo thẳng đứng. Con lắc lò xo nằm ngang có quả cầu nối với thanh. Ở vị trí cân bằng của quả
cầu lò xo không bị biến dạng. Từ vị trí cân bằng kéo quả cầu trong mặt phẳng chứa thanh và lò xo để l
thanh OB nghiêng với phương thẳng đứng góc α0 < 100 rồi buông không vận tốc đầu.
Bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
Chứng minh quả cầu dao động điều hoà. Cho biết: l = 25cm,
B
m = 100g, g = 10m/s2 . Tính chu kỳ dao động của quả cầu
Bài 17: (4,00 điểm)
1) Chu kì và pha ban đầu của dao động (2,00 điểm):
a2
v2
- Chu kỳ: Ta có hệ thức:
+
= 1 ⇒ A2ω 4 − v 2ω 2 − a 2 = 0 (1)

A2ω 4 A2ω 2
Đặt X = ω2, thay các giá trị của v0 và a0 ta đi đến phương trình bậc hai:
4X2 – 1200X – 160000 = 0
(2)
⇔ X2 – 300X – 40000 = 0
300 ± 500
x1,2 =
Phương trình cho nghiệm:
(3)
2
Chọn nghiệm thích hợp: X = 400 ⇔ ω2 = 400 ⇔ ω = 20(rad/s)
2π 2π π
=
= ( s)
Vậy chu kì dao động: T =
(4)
ω 20 10
- Pha ban đầu:
Tại t = 0, ta có: v0 = -Aωsinφ = 20 3cm / s (2)
a0 = -Aω2coφ = - 4m/s2 = -400cm/s2.
(5)

(H.2)

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ

0,50 đ

O


a0
400
1
π
=
= ⇒ϕ = ± ;
2
Aω
2.400 2
3
π
Từ (2): chọn ϕ = − ( rad )
(6)
0,50 đ
3
2) Hệ dao động điều hòa - Chu kỳ: (2,00 điểm)
Tại thời điểm t, quả cầu có toạ độ x và vận tốc v, thanh treo OB có góc lệch α so với phương thẳng đứng.
Biểu thức cơ năng cơ năng toàn phần của hệ:
mv 2 kx 2
(7)
E = Ed + Et1 + Et 2 =
+
+ mgh
2
2

Chọn gốc thế năng tại VTCB:
α2
.
(8)
0,50 đ
Et = Et 2 = mgh = mgl (1 − cos α ) ≈ mgl
2

Từ (3): cos ϕ =

Do α =

x
mg 2
x .
nên Et 2 =
l
2l

Cơ năng toàn phần của hệ:
mv 2 kx 2 mg 2
(9)
+
+
x = co n s t
2
2
2l
Lấy đạo hàm bậc nhất của cơ năng E theo thời gian:
mg

( Et ) ' = mvv '+ kxx '+ x ' = 0
l
k g
Vì v = x’, v’ = x’’ nên : x ''+  + ÷x = 0 hay x " + ω 2 x = 0
m l 

0,50 đ

E = Et1 + Et 2 + Ed =

Vậy quả cầu dao động điều hoà với tần số góc: ω =
- Ta lại có:

k g
+
m l

k = mω2 = 0,1.400 = 40N/m.
k g
40 10
+ =
+
= 440(rad / s )
Vậy: ω =
m l
0,1 0, 25
2π
2π
T=
=

≈ 0,3s
Chu kì dao động:
ω
440

(10)

(11)

0,50 đ

(12)

0,50 đ

Câu 18: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng K = 40( N / m) , vật nhỏ khối lượng m = 100( g ) . Ban đầu giữ vật
sao cho lò xo bị nén 10(cm) rồi thả nhẹ.
1. Bỏ qua mọi ma sát, vật dao động điều hoà.
a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc O là vị trí cân bằng của vật, chiều dương là chiều chuyển động
của vật lúc thả, gốc thời gian lúc thả vật.
b) Xác định thời điểm lò xo nén 5cm lần thứ 2010 kể từ lúc thả.
2. Thực tế có ma sát giữa vật và mặt bàn với hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt bàn là µ = 0,1 . Lấy
g = 10(m / s 2 ) . Tính tốc độ của vật lúc gia tốc của nó đổi chiều lần thứ 4.
Phương trình dao động : x = A.cos(ωt + ϕ )
K
= 20( rad / s)
m
 x = −10(cm)  Acosϕ = −10(cm) ϕ = π
t = 0:
→

→
v = 0
sin ϕ = 0
 A = 10(cm)

trong đó : ω =


Vậy : x = 10.cos(20t + π )(cm)
+ Ta thấy lò xo nén 5cm các lần chẵn liên tiếp cách nhau một chu kì, do đó lò xo nén
2010 − 2
.T với t2 là thời điểm lò xo nén 5cm
lần thứ 2010 tại thời điểm : t2010 = t2 +
2
lần thứ 2.
M2
+ Ta xác định thời điểm lò xo nén 5cm lần
thứ hai, sử dụng pp vec tơ quay ta có : kể từ
thời điểm ban đầu đến lúc lò xo nén 5cm lần
thứ 2 thì vectơ quay một góc :
-10 M -5
10
1
ˆ
M 1OM
=
ω
.
t
=

2
π
−
π
/
3
=
5
π
/
3
2
2
5π
→ t2 =
( s)
60
5π
2π 6029π
+ 1004.
=
(s)
+ Do đó thời điểm lò xo nén 5cm lần thứ 2010 là : t2010 =
60
20
60
+ Lúc có ma sát, tại VTCB của vật lò
x
xo biến dạng một đoạn :
•

•
•
C
µ mg
O
C2
1
∆l =
= 0, 0025(m)
K
+ Ta thấy có hai VTCB của vật phụ thuộc vào chiều chuyển động của vật, nếu vật đisang phải lúc lò xo nén 2,5mm thì
VTCB là bên trái O(vị trí C1), lúc vật đi sang trái mà lò xo giãn 2,5mm thì VTCB là bên phải O( vị trí C2)
+ Áp dụng đinh luật bảo toàn năng lượng, ta tính được độ giảm toạ độ cực đại sau mỗi lần qua O là hằng số và bằng :
2 µ mg
∆xmax =
= 0, 005(m)
K
+ Gia tốc của vật đổi chiều lần thứ 4 ứng với vật đi qua VTCB C2 theo chiều sang trái lần thứ 2, áp dụng định luật bảo toàn
KA2
K (∆l ) 2 mv42
−(
+
)=
2
2
năng lượng ta được : 2
= µ mg [ A + 2( A − ∆xmax ) + 2( A − 2∆xmax ) + ( A − 3∆xmax ) + ( A − 3∆xmax − ∆l ) ]
→ v4 = 1, 65(m / s)
Câu 19 : Cho cơ hệ gồm có một vật nặng có khối lượng m được buộc vào sợi
dây không dãn vắt qua ròng rọc C, một đầu dây buộc cố định vào điểm A.

Ròng rọc C được treo vào một lò xo có độ cứng k. Bỏ qua hốir lượng của lò xo, ròng rọc và của dây nối. Từ một
k
k
thời điểm nào đó vật nặng bắt đầu chịu tác dụng của một lực F không đổi như hình vẽ
r
a. Tìm quãng đường mà vật m đi được và khoảng thời gian kể từ lúcvật bắt đầu chịu tác dụng của lực F đến lúc vật
dừng lại lần thứ nhất
b. Nếu dây không cố định ở A mà nối với một vật khối lượng M (M>m).Hãy xác định độ lớn của lực F để sau đó
vật dao động điều hòa
m
m r
r
∆lo
Vật cân bằng khi chưa tác dụng lực F: mg = k
F
F
2
M
A
Chọn trục Ox thẳng đứng từ trên xuống. O trùng với VTCB mới khi có lực F tác dụng.
∆lo + x o
Tại VTCB mới: F + P = 0 (với xo là khoảng cách giữa VTCB mới so với VTCB cũ)
2
k
2
Khi vật có li độ x lò xo giãn: ∆lo + x o + x
∆l o + x o + x
k
F+P= mx’’ ⇒ x’’ +
x=0

2
k
4m
2
Vậy vật DĐĐH với phương trình: x = Acos( ωt + ϕ )


Trong đó ω =

k
4m

Như vậy chu kì dao động của vật T = 2π
thứ nhất là t =

4m
. Thời gian từ lúc tác dụng lực đến khi vật dừng lại lần
k

T
4m
=π
.
2
k

Khi t = 0: x = Acos( ϕ ) = - xo = -

4F
k

V = -A ω sin ϕ = 0
4F ϕ = π
⇒ A=
,
k
8F
S = 2A =
k
Lực tác dụng lên M như hình vẽ
Để m dao động điều hoà sau khi tác dụng lực F thì M phải đứng yên ⇔ N ≥ 0 trong quá trình m chuyển
động
∆l o + x o + A
(F )
A
⇔ N = P - ®h max ≥ 0 ⇔ Mg ≥ 0
= Mg -k
2
k
2
4
2
⇒ F ≤ Mg