Luận án tiến sĩ đa chập hartley fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Phí Thị Vân Anh

ĐA CHẬP HARTLEY-FOURIER
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo
2. TS. Nguyễn Minh Khoa

HÀ NỘI – 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và TS. Nguyễn Minh Khoa. Các kết
quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố
trong các công trình của các tác giả khác.
Tác giả

Phí Thị Vân Anh

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

−1−

TS. Nguyễn Minh Khoa


LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của các Thầy PGS.TS.
Nguyễn Xuân Thảo và TS. Nguyễn Minh Khoa. Ngoài những chỉ dẫn về mặt
khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các Thầy dành cho tác giả luôn
là động lực lớn giúp tác giả tự tin, vượt qua được nhiều khó khăn để có được
những kết quả như hôm nay. Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc
và lòng quý mến đối với các Thầy.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy và các bạn trong
xemina Toán Giải tích thuộc Viện Toán Ứng dụng và Tin học, trường Đại
học Bách khoa Hà Nội, do PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo chủ trì; xemina
Giải tích - Đại số Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, do
GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu chủ trì. Các Thầy và các bạn đã tạo một môi
trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này.
Tại đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, những góp ý quý báu cũng như
một môi trường nghiên cứu sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong
quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học
Giao thông Vận tải, các đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số-Xác suất thống
kê đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả được học tập, công tác
và hoàn thành luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ, lòng biết ơn đến GS. TSKH. Vũ Kim
Tuấn, người đã luôn có những trao đổi, những định hướng về chuyên môn
cho tác giả cũng như cho cả nhóm xemina. Thầy luôn là biểu tượng của sự

nhiệt tình, nghiêm túc và chính xác trong nghiên cứu khoa học. Qua đây,
tác giả cũng xin bày tỏ sự biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Thanh Hồng,
người đã luôn sẵn sàng, tận tình giúp đỡ về mặt chuyên môn cũng như cung
cấp cho tác giả những kinh nghiệm, những tài liệu quý báu ngay từ những
ngày đầu bước vào nghiên cứu và trong suốt thời gian nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình bố mẹ, các
anh chị em, cùng chồng, con và bạn bè. Trong quá trình hoàn thành luận án,
tác giả đã gặp sự cố về sức khỏe, nhưng tất cả các Thầy, các bạn bè, đồng
nghiệp, đặc biệt là các thành viên trong gia đình, đã luôn sát cánh, động viên
và ủng hộ tác giả. Đó là nguồn động lực to lớn giúp tác giả hoàn thành luận
án của mình. Xin chân thành cảm ơn!
Tác giả
−2−


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn .
MỤC LỤC . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN .
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

. 0
. 1
. 2
. 3
. 6
. 11

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier: . . . . . . . . . . .
1.1.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier . . . . . . .
1.1.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier . . . . . .
1.1.4 Định lý Young và bất đẳng thức Young . . . . . . . .
1.1.5 Định lý Saitoh và bất đẳng thức Saitoh . . . . . . . .
1.2 Biến đổi Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine . . . . . . .
1.2.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier cosine . . .
1.2.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier cosine . . .
1.3 Phép biến đổi Fourier sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine . . . . . . . . .
1.3.2 Một số tích chập liên quan đến biến đổi Fourier sine .
1.4 Phép biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Định nghĩa biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Một số tính chất của biến đổi Hartley . . . . . . . . .
1.4.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley . . . . . .
1.4.4 Một số tích chập có liên quan đến biến đổi Hartley .
1.5 Một số định lý và bổ đề được sử dụng . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Định lý nội suy Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
25
26
26
26
27
27
28
28
28
29
29
29
30
31
31
34
35
36
36
37

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Chương 2. ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE

3

38

2.1

2.2

Đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier
sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa đa chập H-Fc -Fs . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Một số tính chất của đa chập H-Fc -Fs . . . . . . . . .
2.1.3 Ứng dụng giải một lớp phương trình tích phân . . . . .
2.1.4 Ứng dụng giải hệ hai phương trình tích phân . . . . . .
Đa chập đối với các phép biến đổi
Hartley, Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa đa chập H-Fc . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Một số tính chất của đa chập H-Fc . . . . . . . . . . .
2.2.3 Ứng dụng giải một lớp phương trình Toeplitz-Hankel .
2.2.4 Ứng dụng giải một lớp hệ phương trình Toeplitz-Hankel
2.2.5 Đa chập H-Fc suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP
3.1 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc -Fs . . . . . .
3.1.1 Tính unita trong không gian L2 (R) . . . . .
3.1.2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R) .
3.1.3 Tính bị chặn của toán tử Tp1 ,p2 . . . . . . .
3.2 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc . . . . . . . .
3.2.1 Tính unita trong không gian L2 (R) . . . . .
3.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R) .
3.2.3 Tính bị chặn của toán tử Tq1 ,q2 . . . . . . . .
3.3

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

38
38
39
49
51
55
55

56
59
63
66
70
71
71
75
79
80
81
85
87

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1 Phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.2 Hệ hai phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . 94

Chương 4. BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP
4.1 Bất đẳng thức trong L1 . . . . . . . . . . . .
4.2 Bất đẳng thức trong Lα,β,γ
. . . . . . . . . .
s
4.3 Bất đẳng thức kiểu Young . . . . . . . . . .
4.4 Bất đẳng thức kiểu Saitoh . . . . . . . . . .
4.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Phương trình tích phân . . . . . . . .
4.5.2 Phương trình vi phân . . . . . . . . .
−4−

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

99
99
100
101
107
115
115
117

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 128

−5−


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
a. Các không gian hàm và chuẩn
• R là tập tất cả các số thực.
• R+ = {x ∈ R, x > 0}.
• C là tập tất cả các số phức.
• C0 (R) là không gian Banach gồm các hàm liên tục trên R và triệt tiêu
tại vô cùng với chuẩn sup.
• S là không gian Schwartz gồm tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên R
và các đạo hàm của nó giảm nhanh ở vô cùng.
• L∞ (R) là không gian gồm các hàm bị chặn trên R.
• Lp (R), 1 p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định trên R sao
cho
∞
|f (x)|p dx < ∞.
−∞

Nếu thay R bởi R+ và tích phân trên thay cận từ 0 đến ∞ thì ta có không
gian Lp (R+ ).
• Lp (R, ρ), 1 p < ∞ là không gian các hàm số f (x) trên R sao cho
∞

|f (x)|p ρ(x)dx < ∞,
−∞

trong đó ρ(x) là một hàm trọng dương.
• Lα,β
p (R+ ), α ∈ R, 0 < β ≤ 1, p ≥ 1 là không gian các hàm số f (x) xác
định trên R+ , sao cho
∞

xα K0 (βx)|f (x)|p dx < ∞,
0

trong đó K0 (x) là hàm Bessel loại hai.
• Lα,β,γ
(R), α > −1, β > 0, γ > 0, p > 1 là không gian các hàm số f (x)
p
trên R sao cho
∞
γ

|x|α e−β|x| |f (x)|p dx < ∞.
−∞

6


•

f

Lp (R)

là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi
∞

f

p

|f (x)| dx

=

Lp (R)

1
p

.

−∞

•

f

Lp (R,ρ)

là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R, ρ), xác định bởi
∞

f

Lp (R,ρ)

p

|f (x)| ρ(x)dx

=

1
p

.

−∞

•

f

Lα,β,γ
(R)
p

là chuẩn của hàm f trong không gian Lα,β,γ
(R), xác định bởi
p
1/p
 ∞
f

Lα,β,γ
(R)
p

γ

|x|α e−β|x| |f (x)|p dx

=

.

−∞

b. Kí hiệu các phép biến đổi tích phân
• F là phép biến đổi Fourier
∞

1
(F f )(y) := √
2π
•

f (x)e−ixy dx,

∀y ∈ R.

−∞

Fc là phép biến đổi Fourier cosine
∞

(Fc f )(y) :=

2
π

f (x) cos(yx) dx, ∀y ∈ R+ .
0

•

Fs là phép biến đổi Fourier sine
∞

(Fs f )(y) :=

2
π

f (x) sin(yx) dx, ∀y ∈ R+ .
0

•

H1 , H2 là các phép biến đổi Hartley
∞

1

(H1 f )(y) := √
2π
1
(H2 f )(y) := √
2π

f (x) cas(xy)dx, y ∈ R,
−∞
∞

f (x) cas(−xy)dx, y ∈ R.
−∞

−7−


•

L là phép biến đổi Laplace
∞

f (t)e−ts dt,

(Lf )(s) :=

∀s ∈ C.

0

•

Hν là phép biến đổi Hankel được xác định bởi công thức
∞

(Hν Φ)(t) :=

τ Jν (tτ )Φ(τ )dτ,
0

với Jν là hàm Bessel loại một.
• Mi là phép biến đổi tích phân kiểu Mellin với chỉ số i được xác định bởi
∞

(Mi f )(y) :=

y
dt
f (t) ,
t
t

ki

i = 0, 1, 2.

0

•

Kiy [f ] là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev

∞

Kiy [f ] =

Kiy (t)f (t)dt,
0

và Kiy (t) là hàm Macdonald (hay hàm Bessel loại ba).
c. Ký hiệu các hàm đặc biệt
• Γ(z) là hàm Gamma
∞

tz−1 e−t dt, Re z > 0.

Γ(z) :=
0

•

Jn (x) là hàm Bessel loại một, nó là nghiệm của phương trình vi phân
2
2d y
x
dx2

+x

dy
+ (x2 − n2 )y(x) = 0,
dx

nghiệm đó có biểu thức được xác định như sau
∞

Jn (x) =
k=0

(−1)k
x
k!Γ(n + k + 1) 2
−8−

n+2k

.


•

Kn (x) là hàm Bessel loại hai, nó là nghiệm của phương trình vi phân
x2

d2 y
dy
+
x
− (x2 + n2 )y(x) = 0.
2
dx
dx

Nghiệm này liên hệ với hàm Bessel loại một bởi công thức
Kn (x) =

Jn (x) cos (nπ) − J−n (x)
.
sin(nπ)

Trường hợp cụ thể

∞

e−wy cosh ydy.

K0 (w) :=
0

• Erfc(x) là hàm lỗi bổ sung (complementary error function), được xác
định là phần bù của hàm lỗi Erf(x) (error function), qua biểu thức sau
∞

2
Erfc(x) := 1 − Erf(x) = √
π

2

e−t dt,
x

trong đó hàm lỗi Erf(x) hay còn gọi là hàm lỗi Gauss được xác định bởi
x

2
Erf(x) := √
π

2

e−t dt.
0

d. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập
• (· ∗ ·) (xem trang 12) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier.
F

•

(· ∗ ·) (xem trang 28) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine.

•

(· ∗ ·) (xem trang 14) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi

Fc

F sF c

Fourier sine và Fourier cosine.
• (· ∗ ·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi

F cF s

Fourier cosine và Fourier sine.
γ
• (· ∗ ·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sign y
F F cF s

đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine và Fourier sine.
• (· ∗ ·) (xem trang 35) là tích chập đối với phép biến đổi Hartley.
H

•

(· ∗ ·) (xem trang 35) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley.
H12

−9−


•

(· ∗ ·) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley
HF

và biến đổi Fourier.
• (· ∗ ·) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley
HF c

và Fourier cosine.
• ∗(·, ·, ·) (xem trang 38) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier

1

cosine và Fourier sine.
• ∗(·, ·, ·) (xem trang 55) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley và Fourier
2
cosine.
• ∗(·, ·, ·) (xem trang 67) là đa chập suy biến đối với phép biến đổi Hartley
3

và Fourier cosine.

−10−


MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài
Lý thuyết biến đổi tích phân đã ra đời rất sớm, được phát triển và giữ
một vị trí quan trọng trong lịch sử Giải tích toán học. Nó được dùng làm
công cụ để giải nhiều lớp phương trình vi phân thường, phương trình đạo
hàm riêng, phương trình tích phân. Cụ thể, nó được áp dụng cho những bài
toán thuộc lĩnh vực Vật lý, Cơ học, Y học, Địa lý, Hải dương học,... (xem
[2, 7, 11, 21, 47]). Một số phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong
lý thuyết và ứng dụng như phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine,
Fourier cosine, Laplace, Mellin, Hankel, Kontorovich – Lebedev,... hầu hết
chúng đều xuất phát từ việc nghiên cứu các bài toán thực tế và được đặt tên
theo các tác giả tìm ra chúng. Chẳng hạn phép biến đổi tích phân Fourier
xuất hiện từ bài toán thực tế khi J. Fourier nghiên cứu về quá trình truyền
nhiệt (xem [2]).
Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập của các
phép biến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu Thế kỉ 20. "Tích

chập" là một từ nói chung để chỉ phép nhân chập của hai hàm, đó là cách
nhân không theo nghĩa thông thường, mà phép nhân được xác định bên ngoài
không gian, thông qua một biểu thức tích phân. Do đó, ta nói "tích chập" là
một dạng của biến đổi tích phân. Ta biết, trong một không gian hàm tuyến
tính U (X) thì không tồn tại phép nhân hai hàm f g, có nghĩa là nếu nhân
thông thường thì kết quả f g nói chung không thuộc U (X). Tuy nhiên, nếu
ta thay tích thông thường bằng tích chập f ∗ g thì điều này sẽ được cải thiện.
Một số tích chập được xây dựng, chúng còn có tính giao hoán, tính phân phối
và tính kết hợp nên khi nó được trang bị cho không gian hàm U (X) sẽ làm
cho không gian đó trở thành một vành và khi có thêm chuẩn được xác định
thì U (X) trở thành vành định chuẩn.
Tích chập lần đầu tiên xuất hiện là tích chập đối với phép biến đổi Fourier
(xuất hiện đầu Thế kỷ 20). Tích chập được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực
như Xác suất, Thống kê, Xử lý ảnh và Xử lý tín hiệu, Kỹ thuật điện,... Cũng
giống như biến đổi tích phân, tích chập được dùng như là công cụ trong việc
giải một số lớp các phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương
trình vi-tích phân, phương trình đạo hàm riêng (xem [8, 11, 12, 19]). Ta thấy
11


tích chập được chia thành nhiều loại: tích chập, tích chập có hàm trọng, tích
chập suy rộng, tích chập suy rộng có hàm trọng, đa chập. Sự phân chia này
dựa trên sự xuất hiện của hàm trọng và số lượng các phép biến đổi tích phân
trong đẳng thức nhân tử hóa của nó.
a) Tích chập
Những tích chập xuất hiện đầu tiên chỉ liên quan đến một phép biến đổi
tích phân và phép nhân chập đó có đẳng thức nhân tử hóa dạng
K(f ∗ g)(y) = (Kf )(y) · (Kg)(y),
K

trong đó K là phép biến đổi tích phân nào đó. Chẳng hạn như K là phép
biến đổi Fourier hoặc Fourier cosine hoặc Mellin hoặc Laplace,... Từ đẳng
thức nhân tử hóa, ta thấy vai trò của các hàm f và g là như nhau. Do đó,
những tích chập thuộc nhóm này có tính giao hoán, kết hợp, tính phân phối
với phép cộng. Vậy nên khi không gian hàm được trang bị thêm phép nhân
chập loại này sẽ trở thành đại số.
Một vài tích chập thuộc nhóm này như:
1. Tích chập Fourier: Đây là tích chập xuất hiện sớm nhất, từ đầu thế kỷ
XX (xem [8]). Tích chập đó được xác định như sau:
∞

1
(f ∗ g)(x) := √
F
2π

f (y)g(x − y)dy,

x ∈ R.

(0.1)

−∞

Tích chập này đóng kín trong không gian L1 (R) và thỏa mãn đẳng thức
nhân tử hóa
F (f ∗ g)(y) = (F f )(y) · (F g)(y),
F

y ∈ R.

(0.2)

2. Tích chập Laplace: Ngay sau sự xuất hiện của tích chập Fourier là tích
chập đối với phép biến đổi Laplace (xem [8]):
x

(f ∗ g)(x) :=

f (x − y)g(y)dy,

L

0

−12−

x > 0.

(0.3)


Tích chập này có đẳng thức nhân tử hóa trong không gian các hàm bậc
mũ:
L(f ∗ g)(y) = (Lf )(y) · (Lg)(y), ∀Re y > 0.
(0.4)
L

Đó là những ví dụ về tích chập không có trọng. Năm 1958, Y.Y. Vilenkin
là người đầu tiên thiết lập được công thức tích chập có hàm trọng, đó là tích

chập đối với phép biến đổi Mehler-Fox (xem [60]). Gần một thập kỷ sau, năm
1967, V.A. Kakichev đã đưa ra định nghĩa và phương pháp xây dựng tích
chập có hàm trọng γ đối với một phép biến đổi tích phân K bất kỳ (xem
γ
[54]), tích chập đó ký hiệu là f ∗ g, nó được xác định sao cho thỏa mãn đẳng
K

thức nhân tử hóa dạng:
γ

K(f ∗ g)(y) = γ(y) · (Kf )(y) · (Kg)(y).
K

(0.5)

Định nghĩa này là tổng quát cho tích chập đối với một phép biến đổi tích
phân vì khi hàm trọng bằng 1 thì tích chập có hàm trọng trở về với tích chập
thông thường. Các đẳng thức nhân tử hóa (0.2), (0.4) đều có trọng γ(y) = 1.
Việc đưa vào hàm trọng có một ý nghĩa nhất định, cho phép điều chỉnh hàm
nhân khi xây dựng tích chập, từ đó thay đổi không gian hàm đang xem xét.
Các tích chập có trọng hoặc không có trọng đối với một phép biến đổi tích
phân đều có tính giao hoán, tính phân phối.
Nhờ phương pháp của mình, V.A. Kakichev sau đó đã xây dựng thêm
được một số tích chập có trọng và không có trọng. Đó là tích chập với các
phép biến đổi tích phân Fourier sine, phép biến đổi Hankel, phép biến đổi
Kontorovich-Lebedev, Stieltjes,... Chẳng hạn hai tích chập trong số đó như
sau:
1. Tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine có hàm trọng γ(y) = sin y,
(1967, Kakichev, [54]):
∞

1
(f ∗ g)(x) := √
Fs
2 2π
γ

f (y) [sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|)+
0

+sign(x−y−1)g(|x−y−1|)−sign(x−y+1)g(|x−y+1|)−g(x+y+1)]dy,
(0.6)
với x > 0, đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1 (R+ )
γ

Fs (f ∗ g)(y) = sin y · (Fs f )(y) · (Fs g)(y), y ∈ R+ .
Fs

−13−


2. Tích chập đối với phép biến đổi Hankel Hν với hàm trọng γ = y −ν :
γ

(f ∗ g)(x) :=
Hν

x
√
2ν πΓ(ν + 12 )

∞

π

ν

sin2ν tdt
0

√
uν+1 f (u)g( x2 + u2 − 2xu cos t)
du.
ν
(x2 + u2 − 2xu cos t) 2

0

Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là
γ
1
Hν (f ∗ g)(y) = y −ν (Hν f )(y)(Hν g)(y), ∀y > 0, ν > .
Hν
2

b) Tích chập suy rộng
Tích chập suy rộng được hiểu là phép nhân chập của hai hàm bất kỳ mà
trong đẳng thức nhân tử hóa của nó xuất hiện nhiều hơn một phép biến đổi
tích phân. Tích chập dạng này đã xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1951, trong
cuốn sách của I.N. Sneddon, đó là tích chập đối với hai phép biến đổi tích

phân Fourier sine và Fourier cosine (xem [7])
∞

1
(f ∗ g)(x) := √
Fs Fc
2π

f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, ∀x > 0.

(0.7)

0

Đẳng thức nhân tử hóa của nó có dạng
Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y) · (Fc g)(y), ∀f, g ∈ L1 (R+ ).
Fs Fc

(0.8)

Lúc đó tích chập này được coi là tích chập "lạ" vì đẳng thức nhân tử hóa
của nó xuất hiện hai phép biến đổi tích phân, trong khi các tích chập trước
đó chỉ xuất hiện một.
Sau đó hơn nửa thế kỷ, vào những năm đầu của thập kỷ 90, S.B. Yakubovich
giới thiệu thêm một số các tích chập suy rộng không có trọng đối với các phép
biến đổi tích phân theo chỉ số như biến đổi Mellin, biến đổi KontorovichLebedev [44, 45, 46]. Trên cơ sở những tích chập suy rộng đã xuất hiện, đến
năm 1998, trong [56], hai tác giả V.A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã
cho định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng của hai hàm đối với ba
phép biến đổi tích phân bất kỳ và cho điều kiện cần để xác định tích chập
−14−

suy rộng. Theo đó, tích chập suy rộng của hai hàm f, g đối với ba phép biến
đổi tích phân K3 , K1 , K2 bất kỳ, với hàm trọng γ(y), ta ký hiệu hình thức
γ
(f ∗ g), là một biến đổi tích phân sao cho đẳng thức nhân tử hóa của
K3 K1 K2

nó có dạng
K3 (f

γ

∗

K3 K1 K2

g)(y) = γ(y) · (K1 f )(y) · (K2 g)(y).

Ta thấy rằng, khi các phép biến đổi K3 , K1 , K2 là như nhau thì tích chập
suy rộng trở thành tích chập đối với một phép biến đổi tích phân. Vậy có thể
nói tích chập đối với một phép biến đổi tích phân là trường hợp riêng của
tích chập suy rộng. Do các biến đổi tích phân K3 , K1 , K2 nói chung là khác
nhau, nên tích chập suy rộng không có tính giao hoán.
Công trình (1998, [56]) của V.A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã mở
ra một hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết biến đổi tích phân. Từ đó đến
nay, đã có nhiều tích chập suy rộng đối với nhiều kiểu biến đổi tích phân
khác nhau ra đời, như tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier,
Fourier cosine, Fourier sine, Laplace, Hankel, Kontorovich – Lebedev,... (xem
[18, 27, 31, 23, 24, 28, 30, 33, 35, 57, 58]).

c) Đa chập
Từ ý tưởng xây dựng tích chập suy rộng đối với 3 phép biến đổi tích phân
bất kỳ [56], chính tác giả Kakichev đã xây dựng nên định nghĩa đa chập, năm
1997. Ông thấy rằng không dừng lại ở tích chập của 2 hàm mà có thể xây
dựng phép nhân chập cho n (n ≥ 3) hàm cùng một lúc đối với n+1 phép biến
đổi tích phân bất kỳ. Điều này có ý nghĩa nhất định. Có thể hình dung một
minh họa của tích chập suy rộng với đẳng thức nhân tử hóa là K3 (f ∗ g)(y) =
(K1 f )(y) · (K2 g)(y). Vế phải của đẳng thức là tích thông thường của hai tín
hiệu (K1 f )(y) và (K2 g)(y). Tích này là ảnh của một thông tin nguồn, phát
dưới dạng f ∗ g. Để tìm thông tin nguồn này ta chỉ cần dựa vào biến đổi
ngược K3−1 , và ta có (f ∗ g)(x) = K3−1 [(K1 f )(y) · (K2 g)(y)](x). Khi K1 = K2
thì cũng giống như ta thu được tín hiệu từ nhiều nguồn khác nhau. Vậy khả
năng ứng dụng của tích chập suy rộng sẽ đa dạng và phong phú hơn. Bây giờ
nếu ta mở rộng được số lượng tín hiệu thu được đến n tín hiệu, n ≥ 3, bằng
cách lấy tích thông thường của các hàm ảnh (K1 f1 )(y).(K2 f2 )(y)...(Kn fn )(y),
−1
rồi dùng biến đổi ngược Kn+1
để tìm thông tin ban đầu đã phát, thì việc làm
này giống như chúng ta xử lý đồng thời nhiều tín hiệu cùng lúc thay cho
−15−


việc xử lý lần lượt hai tín hiệu một, như vậy sẽ giảm bớt sai số trong quá
trình tính toán trung gian. Việc nhân chập nhiều hàm cùng lúc đối với các
phép biến đổi tích phân nhất định, ta gọi là đa chập, và được ký hiệu dạng
∗(f1 , f2 , .., fn ), (n ≥ 3). Khi n = 2 thì đa chập là tích chập suy rộng của hai
hàm.
Khái niệm đa chập theo nghĩa nhân chập nhiều hàm đối với một biến
đổi tích phân dạng f1 ∗ f2 ∗ ... ∗ fn đã được đề cập và nghiên cứu với biến
đổi Fourier, tức là khi đó K1 = K2 = ... = Kn+1 . Một cách tổng quát,

K1 , K2 , ..., Kn+1 có thể khác nhau, thì đa chập ∗(f1 , f2 , .., fn ) không thể viết
thành tích chập của hai hàm một, hoặc nếu viết được thì rất phức tạp và
phải chịu nhiều sai số tính toán. Năm 1997, trong [55], V.A. Kakichev đã đưa
ra định nghĩa tổng quát về đa chập và cho điều kiện cần để xác định đa chập.
Tương tự như tích chập thì đa chập cũng có hai loại là đa chập có trọng và
đa chập không có trọng. Định nghĩa về đa chập như sau:
Định nghĩa(1997, [55]): Đa chập của n (n ≥ 3) hàm f1 , f2 , ..., fn đối với
n + 1 phép biến đổi tích phân Kn+1 , K1 , K2 , ..., Kn bất kỳ, có hàm trọng γ(x),
γ
được ký hiệu bởi ∗(f1 , f2 , ..., fn )(x), sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
dạng
γ

Kn+1 [∗(f1 , f2 , .., fn )](x) = γ(x) · (K1 f1 )(x) · (K2 f2 )(x) · · · (Kn fn )(x). (0.9)
Để tìm điều kiện cần xác định đa chập, V.A. Kakichev đã giả thiết như sau:
Gọi các toán tử tích phân tuyến tính song ánh là Kj , (j = 1, n) đi từ không
gian hàm tuyến tính Uj (Xj ) vào đại số U (X), được xác định bởi:
(Kj fj )(x) :=

kj (x, xj )fj (xj )dxj , j = 1, 2, ..., n + 1.

(0.10)

Xj

Đặt f˜j (x) = (Kj fj )(x), j = 1, 2, ..., n + 1. Giả sử Kn+1 có toán tử ngược là
−1
Kn+1
, đi từ đại số U (X) vào không gian Un+1 (Xn+1 ), xác định bởi
−1 ˜

(Kn+1
fn+1 )(xn+1 ) :=

−1
kn+1
(xn+1 , x)f˜n+1 (xn+1 )dx, xn+1 ∈ Xn+1 .
X

Cho γ(x) là một hàm cố định thuộc U (X), đóng vai trò là hàm trọng.
γ
Đa chập ∗(f1 , f2 , .., fn ) của n hàm f1 , f2 , .., fn đối với n + 1 phép biến đổi
tích phân Kn+1 , K1 , K2 , ..., Kn bất kỳ, với hàm trọng γ(x), là hàm fn+1 (xn+1 )
−16−


đi từ Xn+1 vào Un+1 (Xn+1 ), sẽ được xác định bởi:
γ

−1
γ(x) · kn+1
(xn+1 , x) · f˜1 (x) · · · f˜n (x)dx,

[∗(f1 , f2 , .., fn )](xn+1 ) =

(0.11)

X

hay
γ

−1
[∗(f1 , f2 , .., fn )](xn+1 ) = Kn+1
γ · f˜1 · · · f˜n

(xn+1 )

−1
= Kn+1
[γ · (K1 f1 ) · · · (Kn fn )] (xn+1 ).

(0.12)

Điều kiện cần để xác định đa chập: Sự hội tụ của tích phân sau
−1
γ(x)kn+1
(xn+1 , x)k1 (x, x1 ) · · · kn (x, xn )dx (0.13)

Θ(xn+1 , x1 , x2 , ..., xn ) =
X

γ

là điều kiện cần để xác định đa chập ∗(f1 , f2 , .., fn ) có dạng sau
γ

[∗(f1 , f2 , .., fn )](xn+1 ) =
···
X1 X2

Θ(xn+1 , x1 , x2 , ..., xn )f1 (x1 ) · · · fn (xn )dx1 dx2 · · · dxn .

(0.14)

Xn

Khi đó đa chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (0.9).
Tùy thuộc vào γ(x) = 1 hay γ(x) = 1, ta sẽ nói đa chập không có trọng
hoặc có trọng tương ứng. Khi n = 2, thì khái niệm đa chập trùng với khái
niệm tích chập suy rộng của 2 hàm. Khi n ≥ 3 và các Ki (i = 1, ..., n) không
đồng nhất bằng nhau, thì chưa có công trình nào về đa chập được công bố
trước công trình của Kakichev (1997, [55]). Sau đó, có một số công trình về
xây dựng đa chập:
• Công trình đầu tiên liên quan đến đa chập, với n = 3 trong tài liệu
[26], 2008, bởi Nguyễn Xuân Thảo và Nguyễn Đức Hậu. Đó là đa chập
đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine,
∞ ∞

1
∗ (f, g, h)(x) :=
2π

f (u)g(v) [h(|x + u − v|)+
0

0

+h(|x − u + v|) − h(|x − u − v|) − h(x + u + v)] dudv, x > 0,
với đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1 (R+ ) có dạng
Fc [∗(f, g, h)](y) = (Fs f )(y) · (Fs g)(y) · (Fc h)(y), y > 0.
−17−

• Tiếp theo, năm 2010, [25], các tác giả Nguyễn Xuân Thảo và N.A.
Virchenko đã xây dựng đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier
cosine, Fourier sine và Kontorovich-Lebedev:
∞ ∞ ∞

∗(f, g, h)(x) :=

θ(x, u, v, w)f (u)g(v)h(w)dudvdw, x > 0,
0

0

0

trong đó
1
e−w cosh(x+u−v) + e−w cosh(x−u+v) −
θ(x, u, v, w) = √
2 2π
−e−w cosh(x+u+v) − e−w cosh(x−u−v) .
Khi f, g ∈ L1 (R+ ), h ∈ L0,β
1 (R+ ) thì đa chập này thuộc L1 (R+ ) và có
đẳng thức nhân tử hóa:
Fc [∗(f, g, h)](y) = (Fs f )(y) · (Fs g)(y) · (Kiy h)(y), y > 0.
• Gần đây nhất, công trình năm 2011, [53], của Trịnh Tuân và Nguyễn
Xuân Thảo đã xây dựng đa chập đối với các phép biến đổi Fourier sine
và Kontorovich-Lebedev. Đây là đa chập có hàm trọng γ(y) = sin y. Nó
được xác định bởi công thức sau, với mỗi x > 0

4

1
∗ (f, g, h)(x) := √
4 2π
γ

θi (x, u, v, w) f (u)g(v)h(w)dudvdw,
3
R+

i=1

trong đó
θ1 (x, u, v, w) = e−w cosh(x+u+v+1) − e−w cosh(x+u+v−1) ,
θ2 (x, u, v, w) = e−w cosh(x−u+v−1) − e−w cosh(x−u+v+1) ,
θ3 (x, u, v, w) = e−w cosh(x+u−v−1) − e−w cosh(x+u−v+1) ,
θ4 (x, u, v, w) = e−w cosh(x−u−v+1) − e−w cosh(x−u−v−1) .
Khi f, g ∈ L1 (R+ ), h ∈ L0,β
1 (R+ ) thì đa chập này thuộc L1 (R+ ) và có
đẳng thức nhân tử hóa:
γ

Fs [∗(f, g, h)](y) = sin y · (Fs f )(y) · (Fs g)(y) · (Kiy h)(y), y > 0.

−18−


Như vậy có không nhiều các đa chập đã xuất hiện, chúng liên quan đến các
biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev. Các

công trình đã công bố mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng đa chập mới và
nghiên cứu đẳng thức nhân tử hóa của nó.
Mặt khác, khi nghiên cứu về các bài toán vật lý liên quan đến lĩnh vực
Động lực học chất lỏng, Lý thuyết lọc tuyến tính, Sóng nhiễu xạ [13, 52, 12]
người ta thấy xuất hiện phương trình có dạng sau đây
∞

f (y)[k1 (x − y) + k2 (x + y)]dy = g(x),

f (x) +

x > 0,

(0.15)

0

trong đó k1 , k2 , g là các hàm cho trước, còn f là hàm phải tìm. Phương trình
này được gọi là phương trình tích phân Toeplitz-Hankel, với k1 (x − y) là
nhân Toeplitz và k2 (x + y) là nhân Hankel. Đến nay thì phương trình (0.15)
vẫn chưa có lời giải đúng trong trường hợp tổng quát, nó vẫn là một bài
toán mở. Gần đây, có một số công trình công bố về việc giải phương trình
Toeplitz-Hankel, những công trình đó đã xem xét một số trường hợp riêng
của nhân k1 , k2 . Chẳng hạn như trong công trình [33], năm 2008, nhóm tác
giả Nguyễn Xuân Thảo, Vũ Kim Tuấn, và Nguyễn Thanh Hồng đã tìm được
nghiệm hiển của phương trình Toeplitz-Hankel (0.15) trong trường hợp nhân
Toeplitz là hàm chẵn và nhân k1 , k2 có dạng:
1
1
1

k1 (t) = √ sign(t − 1)h1 (|t − 1|) − √ h1 (t + 1) − √ h2 (t),
2 2π
2 2π
2π
1
1
1
k2 (t) = √ sign(t + 1)h1 (|t + 1|) − √ h1 (t + 1) + √ h2 (|t|),
2 2π
2 2π
2π
trong đó h1 (x) = (ϕ1 ∗ ϕ2 )(x), ϕ1 , ϕ2 , h2 ∈ L1 (R+ ).
F sF c

Tiếp theo, năm 2011, nhóm tác giả trên tiếp tục xem xét một số trường
hợp riêng của nhân k1 , k2 , mà k1 vẫn là hàm chẵn hoặc xét trường hợp nhân
bất kỳ thì vế phải lại có dạng đặc biệt, công trình này được giới thiệu trong
[34]. Năm 2013, trong tài liệu [36], các tác giả Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Minh
Tuấn, và Phan Đức Tuấn đã xem xét việc giải phương trình Toeplitz-Hankel
trong trường hợp nhân k1 , k2 là các hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, phương
trình có dạng
2π

f (y)[k1 (|x − y|) + k2 (x + y)]dy = g(x), x ∈ [0; 2π].

f (x) +
0

−19−

Thêm nữa, gần đây nhất, năm 2014, các tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Vũ
Kim Tuấn và Hoàng Thị Vân Anh, trong tài liệu [30], đã nhận được nghiệm
của phương trình Toeplitz-Hankel trong trường hợp k1 = k2 , xét trên cả trục
thực, phương trình có dạng
∞

1
f (|x|) +
2π

f (y)[k(x − y) + k(x + y)]dy = g(x), x ∈ R.
0

Từ đó, chúng tôi có những nhận xét sau đây:
- Có một phép biến đổi tích phân rất hữu ích nhưng chưa xuất hiện trong
nghiên cứu đa chập, đó là phép biến đổi Hartley. Phép biến đổi Hartley đóng
vai trò quan trọng trong Xử lý tín hiệu, Xử lý ảnh, Xử lý âm thanh (xem
[10, 40, 41, 42, 43]. Phép biến đổi tích phân Hartley có ưu điểm nhanh hơn
phép biến đổi tích phân Fourier khi tính toán số học vì biến đổi Hartley của
một hàm nhận giá trị thực là một hàm nhận giá trị thực, trong khi biến
đổi Fourier của một hàm nhận giá trị thực có thể là một hàm nhận giá trị
phức. Do đó, có thể xây dựng các đa chập có liên quan đến các phép biến đổi
Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Đồng thời theo xu hướng chung
nghiên cứu về phương trình Toeplitz-Hankel, có thể tiếp tục nghiên cứu một
lớp phương trình Toeplitz-Hankel với các điều kiện nào đó của nhân k1 , k2
hoặc của vế phải g(x) mà dùng công cụ giải là đa chập vừa xây dựng.
- Do đa chập của ba hàm f, g, h là một toán tử biến ba hàm thành hàm
∗(f, g, h)(x) qua biểu thức tích phân, nên có thể thấy rằng, nếu ta cố định
một hàm hoặc hai hàm và cho hàm còn lại thay đổi thì ta nhận được phép

biến đổi tích phân kiểu đa chập. Phép biến đổi tích phân nổi tiếng nhất được
xây dựng theo cách trên là phép biến đổi Watson, dựa vào tích chập Mellin
và phép biến đổi Mellin (xem [2])
∞

f (x) → g(x) =

k(xy)f (y)dy.
0

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu tích
chập cho những tích chập Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev,
Mellin,...(xem [4, 5, 17, 32]). Nhưng chưa có một công trình nào nghiên cứu
về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập. Chúng tôi dự kiến sẽ nghiên cứu về
vấn đề này cho những đa chập mới được xây dựng trong luận án.
- Dùng tích chập như một công cụ để giải nhiều lớp các phương trình vi
phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trong
−20−


các bài toán Toán-lý và nghiệm nhận được thường biểu diễn dưới dạng tích
chập. Vì vậy, xây dựng các bất đẳng thức tích chập để thuận tiện cho việc
đánh giá nghiệm là một hướng nghiên cứu đã được rất nhiều nhà khoa học
quan tâm trong thời gian gần đây. Bất đẳng thức điển hình là bất đẳng thức
Young đối với tích chập Fourier (xem [37]). Theo hướng này, nhiều tác giả đã
nghiên cứu bất đẳng thức kiểu Young cho các tích chập, tích chập suy rộng
khác (xem [48, 51]). Bất đẳng thức Young, mặc dù rất đẹp nhưng nó không
đúng trong không gian hàm L2 (R). Trong các công trình [20, 48, 49, 50, 51],
S. Saitoh và các cộng sự đã xây dựng một lớp bất đẳng thức đối với các tích
chập Fourier và tích chập Laplace trong không gian hàm có trọng Lp (R, ρ) và

đưa ra một số ứng dụng thú vị. Bất đẳng thức này đã đúng cả trong trường
hợp p = 2. Từ đó đã có nhiều tác giả nghiên cứu bất đẳng thức kiểu Saitoh
cho các tích chập, tích chập suy rộng khác. Như vậy nghiên cứu về bất đẳng
thức đối với tích chập đã trở thành một hướng nghiên cứu sâu về tính chất
của tích chập. Cho đến nay, chưa có một công trình nào nghiên cứu về bất
đẳng thức đối với đa chập. Chúng tôi dự kiến sẽ nghiên cứu những bất đẳng
thức này cho đa chập.
Với những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là Đa chập
Hartley-Fourier và ứng dụng.

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án là xây dựng các đa chập mới có liên quan đến các
phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine. Sau đó dùng các đa chập
mới để tiếp tục nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập và tìm ra
các bất đẳng thức có liên quan đến đa chập trong các không gian hàm khác
nhau. Mỗi vấn đề lý thuyết đều có nghiên cứu những ứng dụng liên quan đến
bài toán vật lý cho những khái niệm này.
Đối tượng nghiên cứu là đa chập của ba hàm đối với các phép biến đổi
Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine.
Phạm vi nghiên cứu là các biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy
rộng, đa chập liên quan đến biến đổi Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier
sine. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, kiểu đa chập và các bất đẳng
thức có liên quan.

−21−


3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp phép biến đổi tích
phân, phương pháp toán tử, phương pháp giải tích hàm, để đánh giá tích

phân trong các không gian hàm, sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng
thức tích phân. Bên cạnh đó, chắc chắn phải sử dụng các tính chất của các
phép biến đổi liên quan là biến đổi Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier
sine. Cách thức nghiên cứu là dựa trên những ý tưởng, những kết quả đã được
công bố của các tác giả trong và ngoài nước liên quan đến vấn đề nghiên cứu
của luận án.

4. Cấu trúc và các kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chia
thành bốn chương như sau:
Chương 1, trình bày các kiến thức đã biết liên quan các phép biến đổi tích
phân Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và những định lý, mệnh
đề có liên quan đến luận án.
Chương 2, xây dựng hai đa chập mới là đa chập ∗(., ., .) đối với phép biến
1

đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine, gọi tắt là đa chập H-Fc -Fs và đa
chập ∗(., ., .) đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, gọi tắt là đa chập
2

H-Fc . Với mỗi đa chập, đều chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng
thức Parseval, các tính chất có liên quan, định lý kiểu Titchmarch và xem
xét ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân. Riêng với đa
chập thứ hai, trong phần ứng dụng, đã chỉ ra việc dùng đa chập để giải một
lớp phương trình, hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel. Ngoài ra, khi
điều chỉnh nhân của đa chập thứ hai ∗(., ., .) sẽ nhận được đa chập thứ ba
2

∗(., ., .) cũng là đa chập đối với biến đổi Hartley và Fourier cosine, nhưng
3

đẳng thức nhân tử hóa của nó khác với đẳng thức nhân tử hóa của đa chập
∗(., ., .). Gọi đa chập ∗(., ., .) là đa chập H-Fc suy biến. Việc điều chỉnh này
2

3

đã giúp chúng tôi có thể giải được một lớp phương trình đạo hàm riêng có
dạng phương trình truyền nhiệt.
Chương 3, xây dựng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập cho hai đa chập
∗(., ., .) và ∗(., ., .). Nghiên cứu các tính chất toán tử của chúng. Chúng tôi
1

2

nhận được điều kiện cần và đủ để hai phép biến đổi mới xây dựng được là
−22−


unita trong không gian L2 (R), đó là nội dung của định lý kiểu Watson. Định
lý kiểu Plancherel cho biết có thể xấp xỉ các phép biến đổi kiểu đa chập này
bởi những dãy hàm trong L2 (R). Đồng thời, tính bị chặn trong không gian
Lr (R), (1 ≤ r ≤ 2) của hai phép biến đổi kiểu đa chập cũng được chứng
minh. Phần ứng dụng của chương cho thấy khả năng áp dụng phép biến đổi
tích phân kiểu đa chập Hartley, Fourier cosine vào việc giải một lớp phương
trình và hệ phương trình vi-tích phân.
Chương 4, nghiên cứu các bất đẳng thức về chuẩn cho hai đa chập mới
xây dựng trong các không gian hàm khác nhau. Đó là bất đẳng thức về chuẩn
trong không gian L1 , không gian Lα,β,γ
, bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng

s
thức kiểu Saitoh. Phần ứng dụng, chỉ ra việc ứng dụng bất đẳng thức để
đánh giá nghiệm của một lớp phương trình tích phân, phương trình vi phân
cấp cao, bậc chẵn.

5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Đây là hướng nghiên cứu mới. Phạm vi các phép biến đổi tích phân có
liên quan đến luận án là biến đổi Hartley, biến đổi Fourier, biến đổi Fourier
cosine, biến đổi Fourier sine. Mặc dù cùng liên quan đến một số biến đổi tích
phân quen biết, nhưng việc sắp xếp các phép biến đổi đó theo một trật tự
nhất định, lại cho ta những đa chập mới, với những tính chất, ứng dụng mới.
Như vậy, luận án không hề trùng lặp với một kết quả nào trước đó.
Những kết quả của luận án đã góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết
các phép biến đổi tích phân nói chung và lý thuyết đa chập nói riêng; phong
phú thêm về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập; phong phú thêm về bất
đẳng thức đa chập; phong phú thêm về lý thuyết phương trình tích phân,
phương trình vi-tích phân, phương trình vi phân và cả phương trình đạo hàm
riêng. Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu
các đa chập khác, các phép biến đổi tích phân kiểu đa chập khác, các bất
đẳng thức đa chập khác.
Nội dung chính của luận án dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê
ở mục "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án", trong
đó có 4 công trình được đăng trên tạp chí thuộc nhóm ISI (SCIE) và 1 công
trình đăng trên tạp chí chuyên ngành trong nước. Các kết quả này đã được
báo cáo tại:
- Hội nghị Quốc tế lần thứ 20 về giải tích phức hữu hạn hoặc vô hạn chiều
và ứng dụng, tổ chức tại Hà Nội, tháng 8 năm 2012; Hội nghị Toán học phối
−23−

hợp Việt Pháp, tại Huế, tháng 8 năm 2012; Đại hội Toán học Việt Nam lần
thứ 8, tại Nha Trang, tháng 8 năm 2013; Hội nghị Toán ứng dụng Quốc tế
tại Việt Nam, tổ chức ở Sài Gòn, tháng 12, năm 2013 (VIAMC).
- Seminar Giải tích - Đại số, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG
Hà Nội; Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

−24−