tìm hiểu về chuyển động Brown (bước ngẫu nhiên, quá trình Wiener)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
----------------------------

BÁO CÁO BÀI T P LỚN
Quá trình ng u nhiên ứng dụng – IT3061
Đề tài 6: tìm hiểu về chuyển động Brown (bước ng u
nhiên, quá trình Wiener) và áp d ng làm các bài tập
và thử nghiệm dùng phần mềm Matlab

Nhóm sinh viên:
Nguyễn Việt Anh – 20121230
Vũ Quang Đại – 20121475
Nguyễn Thế Hà – 20121622
Nguyễn Anh Quân – 20122276
Nguyễn Mạnh Tuấn – 20122695
Đào Đ c Tùng – 20122731

Hà Nội, ngày 04 tháng 11 năm 2014


Đề tài 6

M CL C
PHÂN CÔNG CÔNG VI C ........................................................................................................... 3
1

2

3

4

5

6

Định nghĩa và tính chất c a chuyển động Brown ................................................................. 4
1.1

Định nghĩa c a chuyển động Brown............................................................................... 4

1.2

Tính bất bi n c a chuyển động Brown........................................................................... 5

1.3

Tính liên t c c a chuyển động Brown ............................................................................ 5

1.4

Tính không kh vi c a chuyển động Brown .................................................................. 6

Quá trình Wiener ..................................................................................................................... 7
2.1

Khái ni m .......................................................................................................................... 7

2.2

Các tính chất cơ b n ........................................................................................................ 7

Bước ng u nhiên và chuyển động Brown............................................................................... 9
3.1

Khái ni m .......................................................................................................................... 9

3.2

Bước nh y ng u nhiên trong không gian nhiều chiều .................................................. 9

3.3

Bước nh y ng u nhiên với quá trình Wiener .............................................................. 10

3.4

Một số ng d ng c a bước nh y ng u nhiên ............................................................... 11

Một ng d ng c a quá trình ng u nhiên ậ chuyển động Brown ....................................... 12
4.1

Mở đầu ............................................................................................................................ 13

4.2

Nội dung .......................................................................................................................... 13

4.3

K t lu n ........................................................................................................................... 17

Minh họa chuyển động Brown trên Matlab......................................................................... 17
5.1

Sử d ng thư vi n c a Matlab ........................................................................................ 17

5.2

Đồ thị c a chuy n động Brown ..................................................................................... 18

5.2.1

Chuyển động Brown một chiều ............................................................................. 18

5.2.2

Chuyển động Brown hai chiều .............................................................................. 20

5.2.3

Đồ thị chuyển động Brown .................................................................................... 20

Gi i bài t p chương III .......................................................................................................... 22
6.1

Bài 1 tờ bài t p ............................................................................................................... 22

6.2

Bài 2 tờ bài t p ............................................................................................................... 23

6.3

Bài 3 tờ bài t p ............................................................................................................... 24

6.4

Bài 4 trên b ng ............................................................................................................... 24

6.5

Bài 6 trên b ng ............................................................................................................... 25

K T LU N ..................................................................................................................................... 26
TÀI LI U THAM KH O ............................................................................................................. 26

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

2


Đề tài 6

PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC
1 Định nghĩa và tính chất chuyển động Brown: Vũ Quang Đ i
2 Quá trình Wiener: Nguy n Vi t Anh
3 Bước ng u nhiên và chuyển động Brown: Nguy n Th Hà

4

ng d ng chuyển động Brown trong thực ti n: Đào Đ c Tùng

5 Minh họa trên Matlab: Nguy n Anh Quân, Nguy n M nh Tuấn
6 Gi i bài t p: Nguy n Anh Quân, Nguy n M nh Tuấn

* Mỗi thành viên tự tìm tài li u tham kh o, làm báo cáo, slide nội dung
do thành viên đó ph trách
* Tổng h p báo cáo: Nguy n Anh Quân

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

3


Đề tài 6

1 Định nghĩa và tính chất c a chuyển động Brown
1.1 Định nghĩa c a chuyển động Brown
Chuyển động Brown được liên kết chặt chẽ đến sự phân bố bình thư ng. Nhớ lại
rằng một biến ngẫu nhiên X được phân bố chuẩn với trung bình µ và phương sai �
nếu

P   X  x 



1
2

2

e



 u   2
2 2

du , với mọi x  R

x

Định nghĩa 1:
Một quá trình ngẫu nhiên giá trị thực B  t  : t  0 được gọi là ( tuyến tính) Chuyển
động Brown với sự bắt đầu x  R nếu những điều sau đây:


B(0)  x



Quá trình này có tính tăng cư ng độc lập. Ví dụ với mọi 0  t1  t2  ...  tn
các số gia B  tn   B  tn1  , B  tn1   B tn2  ,..., B t2   B t1  là các biến



ngẫu nhiên độc lập
Với mọi t  0 và h > 0, số gia B  t  h   B  t  được phân phối bình thư ng



với kì vọng bằng 0 và phương sai h
B  t  là liên tục
Gần như chắc chắn hàm số t

Chúng ta nói rằng B  t  : t  0 là một chuyển động Brown chuẩn nếu x = 0.
Chúng ta hãy quay lại và nhìn vào một số điểm về kỹ thuật. Chúng ta đã định nghĩa
chuyển động Brown là một quá trình ngẫu nghiên B  t  : t  0 mà chỉ là một họ
c a các biến ngẫu nhiên 

B  t ,   được xác định trên 1 khoảng không gian xác

suất đơn  , , P  . Đồng th i, một quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được hiểu
như là một hàm ngẫu nhiên với các hàm mẫu xác định b i t

B t,   .

Nhận xét 1.2:
Khi xem xét một quá trình ngẫu nhiên như là một hàm ngẫu nhiên đôi khi có ích để
giả định rằng ánh xạ  t ,   B  t ,   là có thể đo được trên không gian tích số

0,    

b i các bản phân phối biên c a một quá trình ngẫu nhiên B  t  : t  0

chúng ta hiểu là luật c a tất cả các vecto ngẫu nhiên hữu hạn nhiều chiều

 B t  , B t  ,..., B t  với mọi 0  t
1

2

n

1

 t2  ...  tn

Định nghĩa 2:

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

4


Đề tài 6


Chuyển động Brown chuẩn trong không gian d chiều B(t): R Rd là tập
hợp c a d các chuyển động Brown độc lập B  t    B1  t  ,..., Bd  t   trong
đó Bi  t  với i = 1,..., d, là các chuyển động Brown 1 chiều độc lập



Chuyển động Brown thư ng được dùng tham chiếu như quá trình Wiener

1.2 Tính bất bi n c a chuyển động Brown
Bổ đề: ( Mở rộng quy mô bất bi n )

B t  : t  0 là một chuyển động Brown tiêu chuẩn và giả sử a > 0. Vậy thì
 X t  : t  0 được xác định b i X  t   1a B  a t  cũng là một chuyển động Brown tiêu

Giả sử

2

chuẩn
Định lý: ( Sự đ o ngư c thời gian )
Giả sử B  t  : t  0 là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Vậy quá trình  X  t  : t  0
được đinh nghĩa b i:
{

ớ
ớ

=
>

cũng là chuyển động Brown tiêu chuẩn.

1.3 Tính liên t c c a chuyển động Brown
Định nghĩa c a chuyển động Brown đã đòi hỏi rằng các hàm mẫu là liên tục gần như chắc
chắn. Điều này có nghĩa rằng trên khoảng [0,1] (hoặc bất kỳ khoảng nhỏ khác) các hàm
mẫu được đều liên tục t c là có tồn tại 1 số (ngẫu nhiên ) hàm  với limh0   h   0 gọi là

modun liên tục c a hàm B : [0, 1] → R như vậy:
limsup sup
h0

0t 1 h

B t  h   B t 

  h

Đinh lý
Tồn tại 1 hằng số C > 0 mà hầu như với mọi h đ nhỏ h > 0 và mọi 0  t  1  h
QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

5


Đề tài 6

 h

B  t  h   B  t   C h log 1
Định lý:

Với mọi hằng số c < √ , hầu như chắc chắn, với mọi � >
t  0,1  h với

tồn tại 0  h   và

 h

B  t  h   B  t   c h log 1

Đinh lý: δ´evy’s modulus of continuity (1937): hầu như chắc chắn rằng:
limsup sup
h0

0t 1 h

B t  h   B t 
2h log 1 h 

1

1.4 Tính không kh vi c a chuyển động Brown
Mệnh đề 1:

Với mọi 0 < a < b < ∞ Chuyển động Brown không phải là đơn điệu trên đoạn [a, b]
Mệnh đề 2:

limsup
n 

B  n
n

 

B  n

liminf

và

n 

n

 

Định nghĩa
Với X1,X2,…. là một chuỗi các biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất  , ,   và xem
xét một tập A c a các trình tự như vậy mà
 X1, X 2 ,...  A 
Sự kiện  X1 , X 2 ,...  A được gọi là có thể đổi đư c nếu

 X1 , X 2 ,...  A   X  , X 
1

2



,...  A

cho tất cả các phép hoán vị hữu hạn  : N → N.
là một song ánh với  n  n cho tất cả n đ lớn

đây phép hoán vị hữu hạn có nghĩa là σ

Bổ đề (Hewitt-Savage 0-1 law):
Nếu A là 1 sự kiện có thể trao đổi được cho một dãy phân phối độc lập giống nhau thì P(A)
là 0 hoặc 1.

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

6


Đề tài 6

2 Quá trình Wiener
2.1 Khái ni m
Quá trình Wiener là một quá trình ngẫu nhiên liên tục được đặt tên theo Norbert
Wiener, nó thư ng được gọi là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Nó là một trong những
quá trình Lévy (quá trình ngẫu nhiên liên tục về bên phải, giới hạn về bên trái với
lượng gia độc lập và không ) nổi tiếng nhất và thư ng được dùng trong toán học, kinh
tế và vật lý.
Quá trình Wiener đóng một vai trò quan trọng cả trong toán học thuần túy và
ng dụng. Nó thích hợp để mô tả sự thay đổi có tính liên tục c a các biến ngẫu nhiên
cơ s như W(t), với khoảng th i gian quan sát dù nhỏ nhưng vẫn có thể quan sát được
sự thay đổi c a W(t), và điều này thích hợp với tính chất c a các biến cố thư ng.
Ta có thể nghĩ rằng quá trình Wiener tổng quát hơn chuyển động Brown vì nó
không xét đến quy luật phân phối nhưng thực chất theo định lý Lévy thì hai quá trình
này không có sự khác biệt. Định lý đó như sau: “mọi quá trình Wiener W(t) liên quan
đến tập thông tin I(t) đều là chuyển động Brown”. Như vậy hai khái niệm này là tương

đương.

2.2 Các tính chất cơ b n

Vì quá trình Wiener
là chuyển động Brownian
giống như chuyển động Brownian.
có 3 tính chất :

nên nó có tính chất

1.
=
2. Hàm →
liên tục
3.
tăng độc lập. Với
−
ℎ tuân theo luật phân phối chuẩn với kì
vọng bằng 0 và phương sai t-h. W(t) ~ � , − ℎ
Quá trình Wiener có thể được xây dựng trên độ co giới hạn (scaling limit) c a
một bước ngẫu nhiên. Hoặc một quá trình r i rạc khác có tính chất tăng độc lập.
a) Tính chất c a quá trình Wiener một chiều
- Hàm mật độ xác suất không điều kiện tại thời điểm t cố định

�

�(

=

−

/

√
-Kì vọng bằng 0
=
-Phương sai bằng t
)−�
=
-Hiệp phương sai (covariance):
,
=
,

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

7


Đề tài 6
Ch ng minh
Giả sử < ta có
] .
] ] = �[
,
= �[

− �[
− �[
.
]
Vì
=
−
+
nên ta có:
] = �[
] + �[
�[
.
.(
−
+
)] = �[
.
−
Theo tính chất 3 c a
ta có
=
−
và
−
độc lập nên:
] = �[
]. �[
] = vì �[
]=

�[
.
−
−
Từ đó suy ra:
,
= �[
]=
Tương tự ta có:
-Hệ số tương quan (correlation):
corr(

,

=

�

,

=

i

√

,

=√

b) Một số tính chất khác
-Tính co dãn c a chuyển động Brownian
Với c>0 ta có

√�

i

]

,

ax ,

cũng là một quá trình Wiener

�

-Tính chất phục hồi theo th i gian
Quá trình ′ =
− − ớ ≤ ≤ có phân phối giống như
-Tính chất đảo ngược theo th i gian
Quá trình ′ =
/ cũng là quá trình Wiener

c) Các tính chất được suy ra từ các tính chất cơ bản trên (giống như các tính chất
c a chuyển động Brownian)
*Tính chất định tính (Qualitative properties)
-Với mọi � > ,
vừa có giá trị âm vừa có giá trị dương trong khoảng

,�
-Hàm
là luôn luôn liên tục nhưng không khả vi trong mọi trường hợp
-Điểm cực đại của w là một một tập điểm dày đặc đếm được, giá trị cực đại khác
nhau từng đôi một, mỗi khoảng cực đại tuân theo đặc điểm sau: nếu w có một khoảng
cực đại tại t thì

|

−
| − |

|

→ ∞ khi

→ . Tính chất tương tự với cực tiểu và giá trị

của nó.
-Không tồn tại điểm tăng của
-Hàm W là hàm không có biên với tất cả mọi khoảng.
-Luôn tồn tại điểm 0 của W(t)
*Tính chất định lượng (Quantitative properties)
-Luật logarit lặp (Law of the iterated logarithm):
|
|
=
→∞ √
-Mô đun liên tục cục bộ (Local modulus of continuity):
| � |

=
→ +
√ �
�

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

8


Đề tài 6
-Mô đun liên tục toàn cục (Global modulus of continuity) :
| � |
=
→ +
≤ ≤ ≤ , − ≤
√ �
�

3 Bước ng u nhiên và chuyển động Brown
3.1 Khái ni m

Bước nhảy ngẫu nhiên là một hình th c toán học c a một đư ng bao gồm một
chuỗi các bước ngẫu nhiên. Ví dụ như đư ng được vẽ ra khi một phân tử di chuyển
trong chất lỏng hoặc khí, đư ng tìm kiếm th c ăn c a một con vật, giá cổ phiếu biến
động và tình hình tài chính c a một nhà đầu tư ch ng khoán đều có thể được mô hình
hóa như các bước nhảy ngẫu nhiên, mặc dù có thế chúng không ngẫu nhiên trong thực
tế. Tên gọi bước nhảy ngẫu nhiên lần đầu tiên đưa ra b i Karl Pearson vào năm 1905.

Bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như: Sinh thái, kinh tế, tâm
lý học, khoa học máy tính, vật lý, hóa học và sinh học. Bước nhảy ngẫu nhiên giải
thích những hành vi đã được quan sát c a nhiều quá trình trong các lĩnh vực này, và
do đó phục vụ như là một mô hình cơ bản cho hoạt động ngẫu nhiên được ghi lại.

Các hình th c khác nhau c a bước nhảy ngẫu nhiên được quan tâm. Thông
thư ng, bước nhảy ngẫu nhiên được giả định là chuỗi Markov hoặc các quá trình
εarkov, nhưng các bước nhảy ngẫu nhiên khác có độ ph c tạp cao hơn cũng được
quan tâm. Một số bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị, trên đư ng dây, trong máy bay,
không gian nhiều chiều, thậm chí là cả bề mặt cong, trong khi một số bước nhảy ngẫu
nhiên nằm trong một nhóm. Bước nhảy ngẫu nhiên khác nhau liên quan đến các thông
số th i gian. Thông thư ng, bước nhảy ngẫu nhiên là trong th i điểm r i rạc, và được
thống kê b i các số tự nhiên, ví dụ như X0, X1, X2, X3,...Tuy nhiên, một số bước
nhảy ngẫu nhiên thực hiện tại các th i điểm ngẫu nhiên, trong trư ng hợp đó X(t) là vị
trí được xác định cho sự liên tục c a th i gian t ≥ 0. Các trư ng hợp cụ thể hoặc giới
hạn c a bước nhảy ngẫu nhiên bao gồm “δevy flight”. Bước nhảy ngẫu nhiên liên
quan đến các mô hình phổ biến và là một ch đề cơ bản trong các cuộc thảo luận về
quá trình Markov. Một số tính chất c a bước nhảy ngẫu nhiên bao gồm phân phối
phân tán.

3.2 Bước nh y ng u nhiên trong không gian nhiều chiều
Hãy tư ng tượng có một ngư i say đi bộ ngẫu nhiên trong một thành phố lý
tư ng. Thành phố này có hiệu quả vô hạn và sắp xếp trong một ô vuông, và tại mỗi
ngã tư, ngư i này chọn một trong bốn tuyến đư ng (bao gồm cả đư ng mà ngư i này

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

9

Đề tài 6
đã đi trước đó) với xác suất bằng nhau. Rõ ràng, đây là bước nhảy ngẫu nhiên trên các
thiết lập c a tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ với số nguyên.
Liệu ngư i say rượu đó có bao gi tr về được ngôi nhà c a mình từ quán bar
không? Điều này tương đương với 2 chiều c a vấn đề thảo luận trên. Nó chỉ ra rằng
gần như chắc chắn ngư i đó sẽ thực hiện một bước nhảy ngẫu nhiên 2 chiều, nhưng
đối với 3 chiều hoặc nhiều hơn, khả năng tr lại điểm bắt đầu giảm khi kích thước
tăng lên. Trong 3 chiều, xác suất giảm xuống còn 34%.
Quỹ đạo c a một bước nhảy ngẫu nhiên là tập hợp các vị trí được đi qua. Trong
một chiều, quỹ đạo đơn giản chỉ là tất cả các điểm giữa chiều cao tối thiểu và tối đa
bước nhảy ngẫu nhiên đạt được.

3.3 Bước nh y ng u nhiên với quá trình Wiener
Một quá trình Wiener là một quá trình ngẫu nhiên với hành vi tương tự như
chuyển động Brown, các hiện tượng vật lý c a một hạt khuếch tán trong chất lỏng.
Một quá trình Wiener là giới hạn rộng c a bước nhảy ngẫu nhiên trong không
gian 1 chiều. Điều này có nghĩa rằng nếu bạn tạo bước nhảy ngẫu nhiên với những
bước rất nhỏ, bạn nhận được xấp xỉ với một quá trình Wiener .Để được chính xác hơn,
nếu kích thước bước là ł, cần bước nhảy có chiều dài δ / ł2 xấp xỉ chiều dài Wiener
c a L. Khi kích thước bước tiến tới 0 (và số lượng các bước tăng tương ng), bước
nhảy ngẫu nhiên hội tụ thành một quá trình Wiener trong một điều kiện thích hợp.
Chính th c, nếu B là không gian c a tất cả các đư ng đi có chiều dài L với cấu trúc
liên kết tối đa, và nếu ε là không gian đo lư ng trên B với cấu trúc liên kết tiêu
chuẩn, sau đó là sự hội tụ trong không gian ε. Tương tự như vậy, một quá trình
Wiener trong một số không gian là giới hạn rộng c a bước nhảy ngẫu nhiên trong
không gian đó.
Một bước nhảy ngẫu nhiên là một phân đoạn riêng biệt (một hàm với kích thước
nguyên, 1, 2, ...), nhưng một quá trình Wiener quỹ đạo là một fractal sự thật, và có một

liên kết giữa bước nhảy ngẫu nhiên và quá trình Wiener. Ví dụ,lấy bước nhảy ngẫu
nhiên cho đến khi nó chạm một vòng tròn bán kính r lần chiều dài bước. Số lượng
trung bình các bước nó thực hiện là r2.
Trong không gian hai chiều, số lượng trung bình c a các điểm bước ngẫu nhiên
giống nhau có trên ranh giới c a quỹ đạo c a nó là r 4/3. Điều này tương ng với thực
tế là các ranh giới c a quỹ đạo c a một quá trình Wiener là một fractal c a không gian
4/3 chiều, một thực tế được dự đoán b i Mandelbrot sử dụng mô phỏng nhưng chỉ
ch ng minh vào năm 2000 b i Lawler, Schramm và Werner.
Một quá trình Wiener có nhiều tính chất đối x ng mà bước nhảy ngẫu nhiên
không có. Ví dụ, một quá trình Wiener là bất biến để quay, nhưng bước nhảy ngẫu
nhiên thì không như vậy (bước nhảy ngẫu nhiên là bất biến đối với phép quay 90 độ,
nhưng quá trình Wiener là bất biến để quay, ví dụ, 17 độ). Điều này có nghĩa rằng
trong nhiều trư ng hợp, các vấn đề về bước nhảy ngẫu nhiên sẽ dễ dàng hơn để giải
QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

10


Đề tài 6
quyết bằng cách dịch chúng vào một quá trình Wiener, giải quyết vấn đề đó, và sau đó
chuyển tr lại. Mặt khác, một số vấn đề được dễ dàng hơn để giải quyết với bước nhảy
ngẫu nhiên do tính chất riêng biệt c a nó.
Bước nhảy ngẫu nhiên và quá trình Wiener có thể được kết hợp, cụ thể là biểu
hiện trên không gian xác suất giống nhau.
Sự hội tụ c a một bước nhảy ngẫu nhiên đối với quá trình Wiener được kiểm
soát b i các định lý giới hạn trung tâm. Đối với một hạt một vị trí cố định đã biết tại
t = 0, định lý nói với chúng ta rằng sau khi một số lượng lớn các bước độc lập trong
bước nhảy ngẫu nhiên, vị trí c a bước nhảy được phân phối theo phân phối chuẩn c a

tổng phương:

trong đó t là th i gian qua kể từ khi bắt đầu bước nhảy ngẫu nhiên, ł là kích
thước c a một bước đi bộ ngẫu nhiên, và Łt là th i gian giữa hai bước kế tiếp.
Điều này tương ng với hàm Green c a phương trình khuếch tán để điều khiển
quá trình Wiener, trong đó ch ng minh rằng, sau khi một số lượng lớn các bước, bước
nhảy ngẫu nhiên hội tụ tới một quá trình Wiener.
Trong 3D, phương sai tương ng với hàm Green c a phương trình khuếch tán là:

Bằng cách cân bằng số lượng này với phương sai liên quan đến vị trí c a bước
nhảybộ ngẫu nhiên, có được một hệ số khuếch tán tương đương được xem xét quá
trình Wiener tiệm cận về phía mà bước nhảy ngẫu nhiên hội tụ sau khi một số lượng
lớn các bước.

3.4 Một số ng d ng c a bước nh y ng u nhiên





Trong kinh tế học, các "giả thuyết bước nhảy ngẫu nhiên" được sử dụng để mô
hình giá cổ phiếu và các yếu tố khác. Nghiên c u thực nghiệm tìm thấy một số
sai lệch so với mô hình lý thuyết này, đặc biệt là trong ngắn hạn v à dài hạn
tương quan
Trong di truyền học dân số, đi bộ ngẫu nhiên mô tả các tính chất thống kê
khuynh hướng di truyền
Trong vật lý, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng như mô hình đơn giản c a
chuyển động Brown vật lý và phổ biến như chuyển động ngẫu nhiên c a các
phân tử trong chất lỏng và chất khí. Xem ví dụ phổ biến hạn chế tập hợp. Cũng
trong vật lý, bước nhảy ngẫu nhiên và một số các bước nhảy tự tương tác đóng

một vai trò trong lý thuyết trư ng lượng tử.

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

11


Đề tài 6








Trong toán học hệ sinh thái, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để mô tả
chuyển động riêng biệt c a động vật, thực nghiệm quy trình hỗ trợ sinh học
phổ biến, và đôi khi để mô hình biến động dân số.
Trong vật lý polymer, bước nhảy ngẫu nhiên mô tả một chuỗi lý tư ng. Đây là
mô hình đơn giản nhất để học polyme.
Trong các lĩnh vực khác c a toán học, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để
tính toán các giải pháp cho phương trình δaplace, để ước tính các biện pháp
hài hòa, và các công trình khác nhau trong phân tích và tổ hợp.
Trong khoa học máy tính, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để ước tính
kích thước c a Web.
Trong phân tích ảnh, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để xác định các
nhãn (ví dụ, "đối tượng" hoặc "nền") liên kết với mỗi điểm ảnh.Thuật toán này

thư ng được gọi là thuật toán bước nhảy ngẫu nhiên phân tích.

Trong tất c những trường h p sau, bước nh y ng u nhiên thường đư c thay th
cho chuyển động Brown:













Trong nghiên c u não bộ, bước nhảy ngẫu nhiên và tăng cư ng bước nhảy
ngẫu nhiên được sử dụng để mô hình tầng c a tế bào thần kinh giật (neuron
firing) trong não.
Trong khoa học thị giác, cử động mắt vào một điểm cố định cũng được mô tả
b i một bước nhảy ngẫu nhiên.
Trong tâm lý học, bước nhảy ngẫu nhiên giải thích một cách chính xác mối
quan hệ giữa th i gian cần thiết để đưa ra quyết định và xác suất mà một quyết
định nào đó sẽ được thực hiện.
Bước nhảy ngẫu nhiên có thể được sử dụng để lấy mẫu từ một không gian
trạng thái chưa biết hoặc rất lớn, ví dụ như chọn một trang ngẫu nhiên trên
internet hoặc, đối với nghiên c u điều kiện làm việc, một nhân viên ngẫu nhiên
trong một quốc gia nhất định.
Bước nhảy ngẫu nhiên cũng được sử dụng để lấy mẫu đồ thị trực tuyến lớn

như mạng xã hội trực tuyến.
Trong mạng không dây, bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để mô tả chuyển
động nút.
Bước nhảy ngẫu nhiên được sử dụng để mô hình ch ng khoán.
Trong vật lý, bước nhảy ngẫu nhiên là cơ s cho phương pháp ước lượng
Fermi.
Trên trang web, trang web Twitter sử dụng bước nhảy ngẫu nhiên để tạo ra gợi
ý c a những ngư i theo dõi.

4 Một ng d ng c a quá trình ng u nhiên ậ chuyển động
Brown

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

12


Đề tài 6
Trong khoa học cũng như trong đ i sống hàng ngày chúng ta thư ng gặp các hiện
tượng “biến cố ” ngẫu nhiên.
Thị trư ng ch ng khóan (TTCK) là một minh họa rất rõ cho sự ngự trị c a ngẫu nhiên.
Tính không chắc chắn, sự r i ro, tính biến động lên xuống một cách ngẫu nhiên là thuộc
tính cố hữu c a thị trư ng ch ng khóan. Các nhà kinh tế cùng với các nhà toán học đã cố
gắng sử dụng các công cụ c a toán học, đặc biệt là các công cụ c a lý thuyết xác suất để
thống kê để mô hình hóa thị trư ng ch ng khóan.
Việc áp dụng các mô hình đó giúp các nhà đầu tư tối đa hóa các cơ hội đạt lợi nhuận
và tối thiểu hóa các nguy cơ r i ro.

4.1 Mở đầu
Ngày nay, lý thuyết xác suất & thống kẻ đã được sử dụng để nghiên c u tìm ra
các quy luật chi phối và đưa ra các phương pháp tính toán xác suất c a các hiện tượng
ngẫu nhiên.
Quá trình ngẫu nhiên là các mô hình toán học c a những hiện tượng ngẫu nhiên
theo sự phát triển c a th i gian như: vị trí c a hạt trong một hệ Vật lý, giá c a một cổ
phiếu trong một thị trư ng tài chính, lãi suất,. . .Nhiều ng dụng c a quá ninh ngẫu
nhiên đã xuất hiện trong vật lý, kỹ thuật, sinh thái học, y khoa và các lĩnh vực khác
c a “giải tích toán học.Việc ng dụng quá trình ngẫu nhiên vào lĩnh vực tài chính là
một thành công rất lớn c a toán học nói chung và lý thuyết xác suất & thống kê nói
riêng. Phái sinh tài chính là một đối tượng nghiên c u chính c a toán học tài chính.
Các quyền chọn, các hợp đồng kỳ hạn. . . là những thí dụ điển hình về phái sinh tài
chính. Sau đây là bài giới thiệu ng dụng mô hình định giá quyền chọn dựa vào quá
trình ngẫu nhiên.

4.2 Nội dung
Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown đã quan sát thấy một hiện tượng
kỳ lạ c a những hạt phấn hoa lơ lửng trong một cốc nước. Chúng liên tục lắc lư,
chuyển động một cách ngẫu nhiên và dư ng như không bao gi dùng lại ngay cả khi
cốc nước được giữ yên gần như tuyệt đối.
εãi đến năm 1905, hiện tượng này mới được Einstein giải thích đến nơi đến
chốn bằng những tính toán xác suất thống kê Sử dụng thuyết động học phân tử. Thuyết
này giải thích rằng, sự nhảy nhót c a các hạt phấn hoa được gây ra b i chuyển động
hỗn độn không ngừng c a các phân từ nước và chuyển động này gọi là chuyển động
Brown. Và Einstein đã thành lập được những định luật toán học chi phối chuyển động
c a chúng.

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

13


Đề tài 6
Vào giai đoạn mà Einstein giải thích chuyển động Brown, nhà toán học Pháp
δouis Bachelier cũng đã lần đầu tiên đề xuất rằng, các thị trư ng tài chính cũng tuân
theo một “chuyển động ngẫu nhiên” có thể được mô hình hóa bằng các phép tính xác
suất thông thư ng. Nói chung, cái “chuyển động ngẫu nhiên” c a Bachelier cũng
chính là một kiểu chuyển động Brown. Đối với sự chuyển động này, xu hướng thay
đổi giá trị c a một biến không liên hệ gì với những thay đổi c a nó trong quá kh .
đây, các phương pháp thống kê có thể được áp dụng với độ chính xác cao và đem lại
sự giải thích có thể coi là hoàn hảo. Chính vì vậy, khi gặp phải một quá hình đa chiều
kiểu như sự vận động c a một thị trư ng ch ng khóan thì các nhà phân tích vẫn có xu
hướng chuyển nó thành một bài toán tương tự như chuyển động Brown. δý thuyết
chuyển động Brown c a Einstein và mô hình “chuyển động ngẫu nhiên” c a Bachelier
trên thực tế là tương đương nhau. Chúng đã được áp dụng rộng rãi cho việc tính toán
sự vận động c a các thị trư ng.

Hình 1. Chỉ số UK FTA, 1962-1992

Hình 2. Chuyển động Brown
Vào năm 1900, δouis Bachelier đã giới thiệu mô hình giá c a các cổ phiếu như
chuyển động Brown:
St = S0 + µ.Bt

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

14


Đề tài 6
đây Bt là một chuyển động Brown chuẩn (là chuyển động Brown có kỳ vọng
bằng 0 và phương sai bằng t), còn gọi là quá trình Winner, St là giá cổ phiếu tại th i
điểm t. Vì giá cổ phiếu chịu tác động ngẫu nhiên c a thị trư ng nên ta coi S t là một
quá trình ngẫu nhiên với th i gian liên tục St = S(t,Ω), So là giá cổ phiếu được quan
sát tại th i điểm t = 0 và (µ là hằng số)
εặt hạn chê c a mô hình này là nó cho phép giá tr nên âm. Osborne (1959) đã
làm mịn mô hình c a Bachelier bằng cách đề nghị số mũ exp (Bt ) c a chuyển động
Brown như là mô hình giá c a một cổ phiếu. Năm 1965, cũng quá trình exp (Bt )
nhưng Samuelson đã trình bày một cách có hệ thống để mô tả giá c a một cổ phiếu.
đây, logarit các giá cổ phiếu được làm mô hình như một quá trình Winner. εô hình
này được gọi là chuyển động Brown hình học. Sau đó, mô hình này là nền tán c a mô
hình Black-Scholes:
=

exp [ � −

�

+ �

] với µ là hằng số

Vào năm 1973, bài báo từ Fisher Black và εyron Scholes đã làm thay đổi thế
giới c a thị trư ng tài chính và được xem như điểm bắt đầu c a sự tăng trư ng mũ c a
các thị trư ng phái sinh.
Ý tư ng chính c a mô hình này là định giá tài sản không r i ro trong một thị

trư ng với th i gian liên tục, trong đó Sử dụng các công cụ giải tích ngẫu nhiên.
Ngư i ta nhận thấy rõ sự đơn giản mà rất hiệu quả c a mô hình này để định giá ch ng
khóan và định giá hợp đồng Quyền Chọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên
thị trư ng. εô hình này được rất nhiều thị trư ng ch ng khóan trên thế giới Sử dụng.
Cho tới nay, mô hình nổi tiếng nhất cũng như phổ biến nhất trong thể giới tài
chính là mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes. Nhà kinh tế học Steve Ross
(không phải bạn Stephen Ross, ngư i kh i xướng Arbitrage pricing theory) trong cuốn
từ điền kinh tế Palgrave đã viết “. .. lý thuyết định giá quyền chọn là lý thuyết thành
công nhất không chỉ trong ngành tài chính, mà còn trong tất cả các ngành kinh tế”.
Trong công trình này, các tác giả đã đưa ra công th c nổi tiếng: mang tên BlackScholes, để tính số tiền mà ngư i mua cần phải trả cho ngư i bản để có quyền mua
hoặc bản một loại cổ phiếu với giá trị định trước trong các điều kiện bất định trên cơ
s tính toán ngẫu nhiên (stochastic calculus), trong đó giá c a loại cổ phiếu đó tuân
theo mô hình khuếch tán. Các tác giả cũng chỉ ra phương pháp hoạt động c a ngư i
bản, theo các chiến lược đảm báo tài chính (hedging strategy) để đảm bảo chi trả cho
ngư i mua khi hợp đồng được thực hiện.
Mô hình Black-Scholes cho phép chúng ta xác định giá trị tương đối c a một
option (quyền chọn). εô hình Black-Scholes cho chúng ta biết, theo một cách diệu kỳ,
làm thế nào để sản xuất ra một quyền chọn đưa trên một cổ phiếu gốc và cung cấp chi
phí ước tính để làm việc này. Theo như Black và Scholes, việc xây dựng các option
giống như việc làm món hoa quả dầm, và cổ phiếu đây đóng vai trò giống hoa quả.
Giả sử như bạn muốn bán món hoa quả dầm đóng hộp gồm táo và cam, bạn sẽ đặt giá
bán bao nhiều cho một hộp một lít? Theo lẽ thư ng, bạn cần phải tham khảo giá thị
QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

15


Đề tài 6

trư ng c a hoa quả tươi chưa chế biển, chi phí .c a việc đóng hộp cũng như chi phí
phân phối. Sau đó bạn tính ra tổng chi phí c a việc sản xuất ra hỗn hợp trên từ những
thành phần đơn giản hơn
Năm 1973, Black và Scholes đã chi cho chúng ta thấy có thể sản xuất ra một
option c a IBε bằng việc trộn một số cổ phiếu c a IBε với tiền mặt, về mặt nguyên
lý khá tương tự như việc bạn có thể làm ra món hoa quả đầm giữa táo và cam. Dĩ
nhiên, việc sản xuất ra các option ph c tạp hơn nhiều so với việc làm hoa quả đầm,
nếu không đã có ai đó khám phá ra nó từ trước đẩy. Trong khi tỷ lệ c a hoa quả ổn
định trong suốt th i gian được sản xuất ra (ví dụ như 50% là táo, 50% là cam), tỷ lệ
c a một quyền chọn lại thay đổi không ngừng. Quyền chọn yêu cầu việc điều chính
liên tiếp lượng cổ phiếu và tiền mặt trong thành phẩm tương ng với m c hay đổi giá
c a cổ phiếu. Nói theo thuật ngữ hoa quả dầm Tô Tịch, bạn có thể bắt đầu với 50% táo
và 50% cam, và sau đó, khi giá táo tăng lên, cốc hoa quả đầm c a bạn sẽ là 40% táo và
60% cam; ngược lại giá táo giám có thể đưa tới một cốc hoa quả dầm gồm 70% táo và
30% cam. Nói tóm gọn, bạn luôn cố gắng giữ m c giá c a một cốc hoa quả đầm cố
định, 7000 VND chẳng hạn, khi giá hoa quả thay đổi theo từng th i điểm khác nhau.
Công th c pha chế chính xác bạn cần áp dụng theo đã được mô hình Black-Scholes
tạo ra. Giải pháp c a công th c Black-Scholes cho bạn biết chi phí c a việc thực hiện
công th c pha chế trên. Trước Black và Scholes, không ai có thể đoán ra được bạn có
thể tạo lập lên một option từ những nguyên liệu đơn giản, và cũng không có cách nào
để xác định được giá hợp lý c a một option. Khám phá này đã đem đến một cuộc cách
mạng trong tài chính hiện đại. Với sự sáng suốt c a mình, Black & Scholes đã đưa thị
trư ng option lộn xộn trước đó vào trong một khuôn khổ chuẩn mực.
εột ví dụ tiếp theo về quyền chọn kiểu εỹ như sau : Quyền chọn mua 100 cổ
phiếu IBε với giá thực hiện 50 USD, ngày đáo hạn 1/5/200X. Ngư i mua quyền chọn
này sẽ có quyền mua 100 cổ phiếu IBε với giá 50 USD vào bất c th i điểm nào cho
đến hết ngày 1/5/200X. Gọi T là th i điểm đáo hạn,
ST là giá trị thị trư ng c a tài sản cơ s vào lúc đáo hạn, X là giá thực hiện và
VT là giá trị nhận được c a quyền chọn vào lúc đáo hạn.
+ Trong quyền chọn mua cổ phiếu IBε trên, giá thực hiện X = 50 USD. Nếu

vào ngày đáo hạn 1/5/01, giá cổ phiếu IBε là ST = 60 USD, thì ngư i mua quyền
chọn sẽ được lợi. Anh ta thực hiện quyền và mua 1 cổ phiếu IBε với giá 50 USD.
Nếu không có quyền, anh ta sẽ phải mua trên thị trư ng với giá 60 USD. Khoản lợi mà
anh ta thu được bằng ST- X = 10 USD trên 1 cổ phiếu IBε. Ngược lại, giả sử vào
ngày đáo hạn 1/5/01, giá cổ phiếu IBε là ST= 40 USD. Nếu thực hiện quyền, ngư i
nắm giữ quyền sẽ mua 1 cổ phiếu IBε với giá 50 USD, trong khi nếu mua trên thị
trư ng thì chi phí phải trả 40 USD. Như vậy, ngư i giữ quyền sẽ không thực hiện
quyền và giá trị anh ta nhận được bằng 0. Ngược lại, ngư i bản quyền sẽ bị thiệt 10
USD/cổ phiếu, do phải bán cho ngư i mua với giá x =50 USD trong khi có thể bán ra
thị trư ng với giá 60 USD. Còn nếu vào ngày đáo hạn 1/5/01, giá cổ phiếu IBε là ST
= 40 USD, thì ngư i mua sẽ không thực hiện quyền. Ngư i bản quyền nhận được giá
trị bằng 0.
QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

16


Đề tài 6
+ Trong quyền chọn bán cổ phiếu IBε có giá thực hiện X = 50 USD. Nếu vào
ngày đáo hạn 1/5/01, giá cổ phiếu IBε là ST = 60 USD, thì ngư i mua quyền chọn
bản sẽ không được lợi gì, vì nếu thực hiện quyền, anh ta sẽ bản 1 cổ phiếu IBε với giá
50 USD, trong khi có thể ra thị trư ng để bán với giá 60 USD. Như vậy, quyền sẽ
không được thực hiện và giá trị nhận được bằng 0. Ngược lại, giả sử vào ngày đáo hạn
1/5/01, giá cổ phiếu IBε là ST= 40 USD. Nếu thực hiện quyền, ngư i mua quyền
chọn bản sẽ bản 1 cổ phiếu IBε với giá 50 USD, trong khi nếu bán trên thị trư ng thì
chỉ có thể bán với giá 40 USD. Như vậy, ngư i có quyền chọn bản sẽ thực hiện quyền
và khoản lợi anh ta nhận được là 10 USD.
Ngày nay, đã có rất nhiều chương trình nghiên c u về thị trư ng cổ phiếu đã

được thực hiện và phát triển xoay quanh mô hình chuyển động Brown. Chẳng hạn,
theo một phân tích thống kê đối với thị trư ng cổ phiếu New York được thực hiện b i
R. N. Mantegna, những biến động hàng ngày c a chỉ số giá được phân bố theo một
phân bố bền Levy và mật độ phố c a chỉ số giá là gần với mật độ phố trong chuyển
động Brown. Một nghiên c u khác là công trình c a William Smith, ngư i đã sử dụng
phương pháp chuyển động Brown để phân tích các hiệu ng ổn định giá trong đầu tu
khi nhu cầu là bất định. Ông đã khảo sát các đặc điểm c a sự đầu tư khi giá là ngẫu
nhiên, ngoài sự phụ thuộc vào giá trần ngoại sinh. Với các phương trình toán học c a
chuyển động Brown, ông đã tính ra rằng, những điều khiến giá sẽ làm giảm nhẹ sự
phản ng c a việc đầu tư đối với những thay đổi về giá, thậm chí cả khi những điều
khiển là không bắt buộc. Những kết luận được rút ra có thể áp dụng cho bất c trạng
thái kinh tế nào liên quan đến những chi phí cho việc điều chỉnh các cổ phiếu khi giá
là bất định nhưng phụ thuộc vào sự điều khiển c a chính ph .

4.3 K t lu n
Những áp dụng c a lý thuyết ngẫu nhiên này thực ra là rất sâu và rộng. Trong
lĩnh vực kinh tế, các biến cố ngẫu nhiên có tác dụng thúc đẩy sự đổi mới. Đã có nhiều
công trình nghiên c u về định giá quyền chọn, nhưng hiện nay định giá quyền chọn
còn là lĩnh vực rất mới Việt Nam. Nếu chúng ta mà biết được chính xác điều gì sẽ
đến thì chúng ta chẳng cần phải học hành hay nghiên c u gì nữa.
đây không có gì đảm bảo là chúng ta sẽ thắng lớn trong một vụ buôn cổ phiếu
nh vào hiểu biết về chuyển động Brown, b i vì nó chỉ đơn giản là đem lại cho chúng
ta một cách tiếp cận để hiểu về sự vận động c a các thị trư ng cổ phiếu.
Tuy nhiên, dù sao thì lý thuyết về chuyển động Brown cũng giúp chúng ta có
khả năng tốt hơn trong việc phát triển các chiến thuật đầu tư cũng như đánh giá r i ro.

5 Minh họa chuyển động Brown trên Matlab
(tham khảo tại />QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

17


Đề tài 6

5.1 Sử d ng thư vi n c a Matlab
Hàm hỗ trợ chuyển động Brownian trong Matlab là bm
Cú pháp
BM = bm(Mu, Sigma)
BM = bm(Mu, Sigma, 'Name1', Value1, 'Name2', Value2, ...)
Hàm trên có ch c năng kh i tạo chuyển động Brownian (hoặc quá trình
Wiener). Nó cho phép chúng ta giả lập một quá trình ngẫu nhiên theo mẫu sau:
=�
+

Với là một quá trình ngẫu nhiên tuyến tính trôi.
Với Mu : là đại lượng � , Sigma là đại lượng V. Với chuyển động Brownian ta
kh i tạo μ = 0
Ví dụ: Kh i tạo một chuyển động Brownian đơn biến
= .
Code Matlab
BM = bm(0, 0.5)
Ta có kết quả :

5.2 Đồ thị c a chuy n động Brown
QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

18


Đề tài 6
5.2.1

Chuyển động Brown một chiều

Chuyển động Brownian 1 chiều mô tả một vị trí c a hạt chuyển động ngẫu
nhiên, th i gian cũng giới hạn 1 chiều. Ta sử dụng hàm randn, hàm này trả về
một ma trận ngâu nhiên với phân phối chuẩn và độ lệch chuẩn 1, tham số N là
kích thước c a ma trận 1xN.
Code Matlab :
N = 500;
displacement = randn(1,N);
plot(displacement);
Trong hình là độ d i c a hạt so với vị trí trước đó:

Sử dựng lệnh hist(displacement, 50); ta có biểu đồ histogram cho hàm phân phối c a
chuyển động

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

19


Đề tài 6

5.2.2

Chuyển động Brown hai chiều

Tương tự như chuyển động một chiều.
tổng chập c a các vector ngẫu nhiên:

đây sử dụng hàm cumsum trả về một

N = 1000;
particle = struct();
particle.x = cumsum( randn(N, 1) );
particle.y = cumsum( randn(N, 1) );
plot(particle.x, particle.y);

Kết quả :

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

20


Đề tài 6

5.2.3


Đồ thị chuyển động Brown

Đồ thị đơn chuyển động. Code Matlab:

randn('state',200)
% đặt lại trạng thái hàm randn
T = 1; N = 500; dt = T/N;
dW = sqrt(dt)*randn(1,N);
W = cumsum(dW);
plot([0:dt:T],[0,W],'r-')
xlabel('t','FontSize',16)
ylabel('W(t)','FontSize',16,'Rotation',0)
Kết quả:

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

21


Đề tài 6



Vẽ đồ thị thể hiện 5 chuyển động Brown:

Code Matlab :
m = 5;
n = 300;
t = linspace(0,1,n+1);

h = diff(t(1:2));
dw = sqrt(h)*randn(n,m);
w = cumsum([zeros(1,m);dw]);
plot(t,w)

Kết quả

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

22


Đề tài 6

6 Gi i bài t p chương III
6.1 Bài 1 t bài tập
Cho luật phân phối c a 2 biến X, Y trong bảng như sau:
X\Y
1
2
3

2
0
0.2
0.15

3

0.15
0.1
0

5
0.1
0.25
0.05

a. Tìm luật phân phối xác suất c a các hàm Z c a 2 biến ngẫu nhiên sau:
Z = X + Y và W = X.Y
b. Tính các đặc trưng thông kê c a Z và W
Gi i
b. Với Z = X + Y, Z thuộc tập {3, 4, 5, 6, 7, 8}
P(Z=3) = P(X=1,Y=2) = 0
P(Z=4) = P(X=1,P(X=2,Y=2) = 0,35
P(Z=5) = P(X=2,Y=3) + P(X=3,Y=2) = 0,25
P(Z=6) = P(X=1,Y=5) + P(X=3,Y=3) = 0,1
P(Z=7) = P(X=2,Y=5) = 0,25
P(Z=8) = P(X=3,Y=5) = 0,05
Bảng phân phối xác suất c a Z:
QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

23


Đề tài 6
Z = zi

p(zi)

3
0

4
0,35

5
0,25

6
0,1

7
0,25

8
0,05

Với W = X.Y, làm tương tự, ta có bảng phân phối xác suất c a W:
W = wi
2
3
4
5
6
9
10
p(zi)

0
0,15
0,2
0,1
0,25
0
0,25

15
0,05

c. Với Z = X + Y:
Kỳ vọng: E(Z) = ∑� � .
� = 5,4
2
Phương sai: V(Z) = E(Z ) – E2(Z) = 1,74
Moment bậc k: E(Zk) = 3k.0 + 4k.0,35 + … + 8k.0,051
Với W = X.Y:
Kỳ vọng E(W) = ∑� � .
� = 6,5
Phương sai: V(Z) = 10,05
Moment bậc k: E(Wk) = 2k.0 + 3k.0,15 + .. + 15k.0,05

6.2 Bài 2 t bài tập
Tính hệ số tương quan c a X, Y khi biết hàm mật độ đồng th i:
f(x,y) =

+

Gi i:

+

Áp dụng công th c tính hệ số tương quan:
�[ ] − � . �
=
=
� �
√ .
Ta có:
+∞

� = ∬

,

−∞

� =
�[

=

+∞

∬

−∞

(tương tự)

+∞

]= ∬
−∞

,

Hàm mật độ biên:

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

+

=

+

+∞

=

∫

+∞

∬

−∞

+∞

∫

∫

−∞

+

+

−∞

=

+

−∞

=

+∞

+

+

=

24


Đề tài 6
+∞

Đặt

= √
+∞

= ∫
Vậy:

+

−∞

= ∫

−∞

⇒

− �

,
=

=

=

=

√

−
−

+∞

+

+

=

∫

−∞

∫−

⁄
⁄

=

+

+

=

√

+

+

−

6.3 Bài 3 t bài tập
Cho X và Y là 2 biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn đồng th i, biết các tham số
c a phân phổi chuẩn đối với X và Y như sau:
� = ;� = ;� = ;� = ;
= ,
Hãy tìm các tham số phân phối chuẩn các biến ngẫu nhiên theo các quan hệ sau:
Z = X + Y; W = X – Y.
Gi i:
Với Z = X + Y, ta có:
� =�
=� +
=�
+�
=� +� =
� =
= �[ − � ] = � + −

= �[ −
+� −
+
−
= �[ − � ] + �[ − � ] + �[ − �
=� +� +
� �
= + + . , . . =7

]
−� ]

Vậy Z ~ N(� ; � ) ~ N(10;7)

Với W = X – Y, tương tự ta có W ~ N(� ; � ) ~ N(10;3)

6.4 Bài 4 trên bảng
Cho 2 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn đồng th i, không tương quan. Chúng
có độc lập không?
Gi i:
Gọi 2 biến đã cho là X, Y với
Xét các hàm mật độ biên:

QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN

NG D NG

,

~ � � ,� ,� ,� ,

25