CHUYÊN đề PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ5

Bài giảng số 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài tốn cơ bản 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M  x0 ;y0 ; z0  và có vecto pháp tuyến



n   A;B;C   0 :  P  : A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0


Kiến thức sử dụng : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG



Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A 1;0; 2  và có VTPT n   2; 1;1
Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q).





 P    Q   nP  nQ

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua

M  3;1;0  và song song với mặt phẳng

 Q  : 2 x  y  3z  10  0
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A 1;2;3 và song song với mặt phẳng  Q  : x  y  z  4  0 .
Đáp số : x  y  z  2  0
Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, vng góc với hai mặt phẳng  Q  và  R 
Bài

4.

Trong

mặt

phẳng

toạ

độ

Oxyz

,

cho

điểm

A  3; 1; 5 và

hai

mặt

phẳng

 Q  : 3x  2 y  2z  7  0,  R  : 5x  4 y  3z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, đồng thời
vng góc với hai mặt phẳng  Q  ,  R  . Đáp số :  P  : 2 x  y  4 z  15  0

Tương tự với A 1;0; 2  ;  Q  : 2 x  y  z  2  0;  R  : x  y  z  3  0. §A : 2 x  y  3z  4  0
Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, vng góc với đường thẳng d





 P   d  nP  ud

Bài 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 1;0; 1 và đường thẳng d :

x 1 y 1 z
.


2
2
1

Viết phương trình mặt phẳng qua A và vng góc với d . Tìm toạ độ giao điểm của d và (P)
Đáp số :  P  : 2 x  2 y  z  3  0

 x  1  2t

Tương tự với A  2; 3;4  ; d :  y  3t
 z  2  t

Bài 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1;2;3 , B  3;0; 1 . Viết phương trình mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Tương tự với A  2;3; 4  , B  4; 1;0  . Đáp số : x  2 y  2 x  13  0

Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với hai đường thẳng d1 , d2
Bài 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M  2;1;0  và hai đường thẳng

6|Page


x  2  t
x
y 1 z  5

d1 :  y  3  t ; d2 :


. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, song song với d1 , d2
2
3
1
z  1

Đáp số :  P  : x  y  5z  3  0
Tương tự với M 1; 3;2  ; d1 :

x  2 y 1 z  2
x5 y z3


; d2 :


3

1
2
1
3
2

Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song đường thẳng d, vng góc mặt phẳng (Q)
Bài 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 1;2;3 , mặt phẳng  P  : x  y  3  0 và đường

 x  1  2t

thẳng d :  y  2  3t . Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song d và vng góc (P).
z  t

Đáp số :  Q  : x  y  z  7  0
Tương tự với :

x  3 y 1 z  2


;  P  : 3 x  y  z  7  0
1
1
2

a)

A  0;2;0  ; d :

b)

A  2; 1;2  ; Oy;  P  : 2 x  y  3z  4  0 . Đáp số :  Q  : 3x  2 z  2  0

Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vng góc mặt phẳng (Q)    
Bài 9.a) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  1  0 và đường thẳng

d:

x 2
y z3
. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vng góc với  P 


1
2
3

Đáp số :  Q  : x  8 y  5z  13  0
Tương tự với  P  : x  y  2 z  1  0; d :

x 3 y z6
 
3
4
1

x 1 y 1 z  3
. Viết phương trình mặt



2
1
1
phẳng chứa Oy và song song với đường thẳng  . Đáp số :  P  :  x  2 z  0
b)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  :

Tương tự với  :

x
y2 z3
x  5 y 1 z  2


;d :


3
2
4
1
1
1

Bài 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A  3; 2;5 , B 1; 1;3 và mặt phẳng

 Q  : x 3y 2 z  4  0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua

A, B và vng góc với  Q 

Đáp số :  P  : 4 x  2 y  5z  9  0

Tương tự với A  8; 3;1 , B  4;7;2  ,  Q  : 3x  5y  7z  21  0
Bài 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A  2;4;1 , B  1;1;3 và đường thẳng
7|Page


:

x 1 y  3 z 1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B và song song với d


1
3
2

Đáp số :  P  : 6 x  4 y  3z  1  0

 x  1  t

Tương tự với A  2;1;3 , B 1; 2;1 ,  :  y  2t
 z  3  2t

Dạng 7. Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A,B,C

 
nP  AB
  
    nP   AB; AC 
nP  AC
Bài 12.a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A 1;1;1 , B  2;4;5 , C  4;1;2  .

Đáp số:  P  : 3x  11y  9z  5  0
b. trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A  1;2;3 , B  3;0;1 , C  2;1;0  . Viết phương trình
mặt phẳng (ABC).
Bài 13. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A  2;1; 1 và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

 Q  : x  y  z  4  0,  R  : 2 x  y  3z  5  0
Dạng 8. Viết phương trình mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng d

 
nP  AM   
M  d;     nP   AM; ud 
nP  ud
Bài 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

d:

A  4;3;5

và đường thẳng

x 1 y  3 z  2
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa d


2
1
3

Đáp số  P  : x  y  z  2  0
Dạng 9. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng

 x  1  2t

Bài 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :  y  2  t và
z  t

:

x  2 y z 1
. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và 


1
1
2

 x  1  2t

Bài 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :  y  1  3t và
z  5  t

:

x  4 y 1 z  3
. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và 


6
9
3

8|Page






Bài toán cơ bản 2. Mặt phẳng (P) xác định được trước vecto pháp tuyến nP   A; B; C   0 theo các dạng
của bài toán cơ bản 1.
Giả sử (P) có dạng Ax  By  Cz  D  0 . Các em đi tìm D dựa vào dữ liệu đề bài liên quan đến khoảng
cách.
Bài 17. Cho đường thẳng d :

x 1 y  2 z  3
, mặt phẳng


2
1
3

 P : 2x  2y  z  3  0

và điểm

A  3;1; 2  , B  4;0; 2 
6

1.Viết phương trình mặt phẳng vng góc với đường thẳng d và cách A một khoảng bằng

14
2.Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) sao cho khoảng cách từ A đến (Q) bằng 2 lần khoảng
cách từ gốc toạ độ O đến (Q).
3.Viết phương trình mặt phẳng vng góc (P), song song d và cách A một khoảng bằng

3
13

4.Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song d và vng góc (xOz) và khoảng cách từ A đến (Q) bằng

5
13







5.Viết phương trình mặt phẳng (Q) vng góc (P) và (xOy) sao cho d A,  Q   2 d B,  Q 
Bài 18. Cho đường thẳng d :



x 1 y  3 z 1
và mặt phẳng  P  : x  y  z  2  0 . Viết phương trình


1

2
2

mặt phẳng song song d, vng góc (P) và cách d một khoảng bằng 1.
Bài toán cơ bản 3. Mặt phẳng (P) đi qua 1 điểm M cho trước





Giả sử VTPT nP   a; b; c   0 .sau đó đi tìm a,b,c dựa vào yếu tố khoảng cách hoặc góc
Bài 19. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 1;0  , B  2; 1; 1 . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua A,B sao cho khoảng cách từ M  2;1;3 đến (P) bằng

2
3

Bài 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A  3;1;1 , B  2;0; 1 và đường thẳng

x 1 y z  2
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d, đồng thời khoảng cách từ B đến (P) bằng 2
 
1
1
2
lần khoảng cách từ A đến (P). Đáp số:  P  : x  y  z  3  0
d:

Bài 21. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A  1;2;1 , vng góc với mặt phẳng  Oxy  đồng thời
khoảng cách từ B 1;1; 3 đến (P) bằng

3
5

Bài 22. Trong không gian cho đường thẳng d :

x  2 y z 1
và 2 điểm M 1;1;0  , N  2; 3; 1 . Viết
 
1
1
2

phương trình mặt phẳng chứa  và cách đều M,N.
Bài 23. Trong không gian cho đường thẳng d :

x 1 y 1 z
và hai điểm A 1;2;2  , B  4;3;0  . Viết


2
1 2

phương trình mặt phẳng (P) chứa d, cắt AB tai I là trung điểm AB.

9|Page


Bài 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A  1;2; 3 , B  2; 1; 6  và mặt phẳng

 P : x  2y  z  3  0 .
cos  

Viết phương trình mặt phẳng

 Q  chứa AB

và tạo với (P) góc  thoả mãn

3
6

Bài 25. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :

:

x 1 y  1 z 1
và


1
1
3

x
y z

 . Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với  góc 30
1 2 1

x  3  t

Bài 26. Trong không gian cho mặt phẳng  P  : 5x  2 y  5z  1  0 và d :  y  4t
. Viết phương trình
 z  1  8t

mặt phẳng qua gốc toạ độ O, vng góc với (P) và tạo với d góc 45 .
Bài toán cơ bản 4. Mặt phẳng với mặt cầu

 P  : x  2 y  2z  1  0

Bài 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
2

2

 S  :  x  1   y  2    z  3

2

và mặt cầu

 16 . Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc mặt cầu

(S).

x  1

Bài 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  2  3t và mặt cầu
 z  3  4t



 S  : x 2  y2  z 2  2 x  6 y  2z  2  0 . Viết phương trình mặt phẳng thiết diện của mặt cầu (S) vng góc
với d
Bài 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x 3 y3 z

 và mặt cầu
2
2
1

 S  : x 2  y2  z 2  2 x  4 y  2 z  2  0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox đồng
thời tiếp xúc mặt cầu (S).

 P  : x  2 y  4z  1  0

Bài 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
2

 S  :  x  1   y  4 

và mặt cầu

2

 z 2  9 . Viết phương trình mặt phẳng vng góc với (P), song song với trục Oz và
cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r  2
Bài 31. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P  : 2 x  2 y  z  17  0

và mặt cầu

 S  : x 2  y2  z 2  2 x  4 y  6 z  11  0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt (S)
theo giao tuyến là đường trịn có chu vi bằng 6

x
y z 1
và mặt cầu


1 1 1
2
2
2
 S  :  x  2    y  2    z  1  6 . Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa d và tiếp xúc  S 

Bài 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :

 Q  : x  y  2 z  7  0 và mặt cầu
2
2
2
 S  :  x  1   y  1   z  1  4 . Viết phương trình tiếp diện của (S) đi qua A  3;1;0  và vuông góc
với  Q  .
Bài 33. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

10 | P a g e

Bài giảng số 5. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài tốn cơ bản 1. Phương trình đường thẳng đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  và có vecto chỉ phương

 x  x0 y  y0 z  z0
d : a  b  c

 
u   a; b; c   0 :   x  x0  at
 d :  y  y  bt t  


0
 

  z  z0  ct



 a, b, c  0 

Kiến thức sử dụng: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A,B hay phương trình đường thẳng AB

 
ud  AB
Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1;0; 2  , B  2; 1;1 . Viết phương trình đường
thẳng AB


Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với đường thẳng 

 
d    ud  u
Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  :

x  2 y 1 z

 và điểm M  3;0;1 .
1
2
2

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với 


Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, vng góc với mặt phẳng (P)

 
d   P   ud  nP

A  1;1;2 

Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

và mặt phẳng

 P  :  x  3y  2z  9  0 . Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với (P). Tìm toạ độ giao
điểm của d và (P).



Phương

trình

đường


 
1 ,  2  ud  u1 ; u2 

thẳng

d

qua

điểm

M,

vuông

Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

góc

với

hai

đường

thẳng

A  1;2;0  và hai đường thẳng

 x  1  2t
x 1 y  3 z  4

1 :


;  2 :  y  5  t . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vng góc với
1
1
2
z  t

1 ,  2




 

Phương trình đường thẳng d qua điểm M, song song với  P  ,  Q   ud   nP ; nQ 



Bài 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua



A 1;2; 3 ,song song với hai mặt phẳng

 P  : x  3y  z  5  0 và mặt phẳng  xOy 


Phương trình đường thẳng d qua điểm M, vng góc với đường thẳng ,  hc   P 

  
 ud  u ; nP 

11 | P a g e


Bài 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A  2;0; 1 , B 1;1;1 , C  3;0;0  và đường thẳng

d:

x y 1 z  2
. Viết phương trình đường thẳng đi qua C, nằm trong mặt phẳng (OAB) và  d


3
2
5

Bài 7. a)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 1; 1;1 , B  1;2;3 ,  P  : 2 x  y  3z  1  0;
Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) và vng góc với AB
b) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x  y  z  1  0 và hai đường thẳng

x 1 y  2 z  3
x 1 y 1 z  2




, d2 :
. Viết phương trình đường thẳng  song song với
2
1
3
2
3
2
(P), vng góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hồnh độ bằng 3.
d1 :

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A1;1; 2 ,  P : x  y  z  6  0,   Q : 2x  y  3z  3  0

x
y 1 z  2
và mặt phẳng


1
2

1
 P  : 2 x  y  2 z  3  0 . Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P), cắt và vng góc với d

Bài 9. a) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :

b) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt có phương
x 1 y z 1
 
trình: ( P ) : x  2 y  z  0, (Q) : x  3y  3z  1  0, (d ) :
. Lập phương trình đường thẳng
2
1
1
 nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d).
c) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

x 1 y 1 z 1


;d2:
2
1
1

x 1 y  2 z 1


và mặt phẳng (P): x  y  2 z  3  0 . Viết phương trình đường thẳng  nằm trên mặt
1
1

2
phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 .
Bài tốn cơ bản 2. Viết phương trình đường thẳng cắt các đường thẳng khác


Phương pháp chung : xác định VTCP ud theo tham số t, t '

d:

x  x0 y  y0 z  z0


. M  d  M  x0  at; y0  bt; z0  ct 
a
b
c

Bài 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 1;1;1 và hai đường thẳng d1 :

, d2 :

x y 1 z 1


1
2
1

x y z
  . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A ,vng góc d1 và cắt d2

1 2 2

 x  3  2t

Bài 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A  4; 2;4  và đường thẳng  :  y  1  t
.
 z  1  4t

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , cắt và vng góc với 

x 1 y  2 z  2


và mặt phẳng (P):
3
2
2
x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng  song song với mặt phẳng (P),đi qua M(2; 2; 4) và cắt d
Bài 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Bài 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

12 | P a g e


 x  5  3t1
x  2 y  1 z 1




.
M  4; 5;3 và cắt cả hai đường thẳng: d1 :  y  7  2t1 và d2 :
2
3
5
z  t
1

Bài 14. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d2 và mặt phẳng (P) có phương trình:
x 1 y  2 z
x  2 y 1 z 1
; ( P ) : x  y  2 z  5  0 . Lập phương trình đường thẳng

 , d2 :


1
2
1
2
1
1
d song song với mặt phẳng (P) và cắt d1 , d2 .
d1 :

Bài 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P):

 x  1  t
x 1 y 1 z



 và d2 :  y  1
x  y  z  1  0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 :
2
1 1
 z  t
Bài

16.

Trong

không

gian

với

hệ

toạ

độ

Oxyz,

cho

hai

đường

thẳng

x y 1 z  5
x 1 y  2 z  2
. Viết phương trình đường thẳng song song d , cắt Oy và 
d: 

, :


3
1
1
3
4
3
Bài

17.

Trong

không

gian

với

hệ

toạ

độ

Oxyz,

cho

hai

đường

thẳng

x  3 y 1 z  4
x2 y4 z3
. Chứng minh hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau. Viết
d1 :


, d2 :


1
1
1
2
1

4
phương trình đường vng góc chung của d1 , d2 .
Bài 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x – y  2 z – 3  0 và hai đường thẳng

x  4 y 1 z
x 3 y5 z7
và d2 :
. Viết phương trình




2
2
1
2
3
2
đường thẳng  song song với mặt phẳng (P), cắt d1 và d2 tại A, B sao cho AB = 3.

d1 , d2 lần lượt có phương trình d1 :

Bài tốn cơ bản 3. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách và góc

 x  2  4t

Bài 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d:  y  3  2t và mặt phẳng (P):
 z  3  t
 x  y  2 z  5  0 . Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P), song song với d và cách d một
khoảng là 14 .

Bài 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z  1  0 và đường thẳng: d:

x  2 y 1 z 1


. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng  nằm trong (P),
1
1
3
vng góc với d sao cho khoảng cách từ I đến  bằng h  3 2 .
Bài 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x  y  2 z  9  0 và đường thẳng

d:

x  1 y 1 z  3


. Viết phương trình đường thẳng  vng góc với (P) và cắt d tại một điểm M cách
1
7
1

(P) một khoảng bằng 2
Bài 22. Viết phương trình đường thẳng đi qua A 1;1;2  , song song  P  : x  4 y  z  1  0 và khoảng cách
từ B 1;0; 1 đến d bằng

41
.
3

Bài 23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng :

x y 2 z

 và mặt
1
2
2

phẳng (P): x  y  z  5  0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp
với đường thẳng  một góc 450 .
Bài 24. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A(0;1; 2) ,
vng góc với đường thẳng d :

a  30 0 .
13 | P a g e

x 3 y2 z

 và tạo với mặt phẳng (P): 2 x  y  z  5  0 một góc
1
1 1


Bài 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng

x  1 t
x  3  t



; d2 :  y  1  t và tạo với d1 một góc 300.
( P ) : x  y – z  1  0 , cắt các đường thẳng d1 :  y  t
 z  2  2t
 z  1  2t
Bài 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng

 x  4t

3
d :  y    7t trên mặt phẳng ( P ) : x  2 y  z  5  0 .
2

 z  2t
Nâng cao. 1. Cho A 1;2; 4  , B 1;2; 2  và  P  : x  y  z  1  0 . Viết phương trình đường thẳng
d   P  sao cho d  B, d  lớn nhất? Nhỏ nhất?

x  t

2. Cho điểm A  3;1; 2  và d :  y  1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A
 z  t

đến (P) là lớn nhất.
Bài giảng số 6. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Bài tốn cơ bản 1. Viết phương trình mặt cầu dùng phương trình tổng quát :

 S  : x 2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d 0 tìm a,b,c,d là OK



Phng trỡnh mt cu i qua 4 điểm A,B,C,D cho trước ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)

Phương trình đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm I   P  cho trước

Phương pháp chung : Thay toạ độ từng điểm vào phương trình mặt cầu (S) và toạ độ tâm I vào phương trình
mặt phẳng (P). Khi đó ta lập được hệ phương trình 4 ẩn a,b,c,d.
Bài 1. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A 1;4;0  , B  4;0;0  , C  2; 2;0  , D 1;1;6  .
Viết phương trình mặt cầu  S  đi qua 4 điểm A,B,C,D.
Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A  2;0;1 , B 1;0;0  , C 1;1;1 và mặt phẳng

 P  : x  y  z  2  0 .Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng
(P).
Bài tốn cơ bản 2. Viết phương trình mặt cầu biết toạ độ tâm I
Phương pháp. Các em phải đi tìm bán kính R :
 Mặt cầu  S  đi qua điểm A  R  IA

 R  d  I,  P  



Mặt cầu  S  tiếp xúc với mặt phẳng  P  hoặc đường thẳng   



Mặt cầu  S  cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến là đường trịn  C  có bán kỉnh r

 R  d  I ,  

 R  r 2  d2I , P 


Mặt cầu  S  cắt đường thẳng  tại 2 điểm A,B có độ dài AB cho trước  R 

AB 2
 d2I , 
4

Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A  3;1; 1 , I 1;2; 1 . Viết phương trình mặt cầu

 S  tâm I và đi qua A.
Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 1;2; 1 và mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  3  0 .
Viết phương trình mặt cầu  S  tâm A và tiếp xúc mặt phẳng  P 

14 | P a g e


 x  3  t

Bài 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I  3;0; 1 và đường thẳng  :  y  1  2t . Viết
z  2  t

phương trình mặt cầu  S  có tâm I và tiếp xúc với 
Bài 6. Trong không gian với hệ toạ đố Oxyz, cho điểm A 1;0; 2  và mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  6  0 .
Viết phương trình mặt cầu  S  tâm A, cắt (P) theo giao tuyến là một đường trịn có chu vi bằng 8
Bài 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I 1;1;1 và đường thẳng d :

x  14 y z  5
. Viết
 
4
1
2

phương trình mặt cầu  S  tâm I cắt d tại hai điểm A,B sao cho AB  16
Bài toán cơ bản 3. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I  d cho trước
 I  d  tham số hoá toạ độ I theo ẩn t. Sau đó đi giải phương trình tìm t.

 S  tiÕp xóc  P  t¹i M thì tâm I thuộc đường thẳng đi qua M, vuông góc với P
và R IM  d  I ,  P  
 S  ®i qua A,B  R  IA  IB
 S đi qua A và tiếp xúc P   R  IA  d  I,  P

S đi qua A và tiếp xóc   R  IA  d  I,  
 S  tiÕp xóc ®ång thêi  P  vµ  Q   R  d  I,  P    d  I ,  Q  
Bài 8. Viết phương trình mặt cầu  S  đi qua điểm A  1;0;1 và tiếp xúc mặt phẳng
 P  : x  2 y  z  2  0 tại điểm B 1; 2;3
Bài 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A  3;0; 1 , B 1;4;1 và đường thẳng


z 1 y z
  . Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I thuộc d và đi qua 2 điểm A,B.
1
1 2
Bài 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 1;0;3 và mặt phẳng  P  : x  2 y 2 z  2  0 .
d:

Viết phương trình mặt cầu  S  tâm I nằm trên d , đi qua điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng  P  .

 x  1  t

Bài 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z  2  0 và d :  y  t
.

z  1  t

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc d, đi qua A 1;0;2  và cắt  P  theo giao tuyến là đường trịn có
diện tích S  5 .
Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  2 y  2 z  10  0 , hai đường thẳng 1:

x  2 y z 1
x2 y z3
 
 
, 2:
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc 1, tiếp xúc với 2
1
1 1
1
1
4
và mặt phẳng (P).
Bài
13.
Trong

không

gian

với

hệ

toạ

độ

Oxyz,

cho

đường

thẳng

x y3 z 6
: 

,  P  : x  2 y  2 z  6  0,  Q  2 x  y  2 z  7  0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có
1
1
1
tâm thuộc  và tiếp xúc với hai mặt phẳng  P  ,  Q  .
Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x  y  2 z  2  0 và đường

x y 1 z  2


. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một khoảng
1
2
1
bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường trịn (C) có bán kính bằng 3.

thẳng d:

15 | P a g e


x  1 t

Bài 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  2  t ,  P  : x  y  z  1  0
 z  2

Viết phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc  P  tại M 1;0; 2  và cắt d tại A,B có độ dài AB  2 2 .
Bài 16. Cho  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0,  P  : x  y  2 z  4  0 . Viết phương trình đường
thẳng d tiếp xúc (S) tại A(3;-1;1) và song song với (P).
Bài toán cơ bản 4. Tìm tâm và bán kính đường trịn giao tuyến của mặt cầu  S  và  P  hoặc tìm
toạ độ tiếp điểm của mặt cầu  S  và  P 



Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) cho trước
Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Kết luận  P  và  S  cắt nhau theo giao tuyến là
đường trịn  H; r  . Khi đó bán kính đường trịn là r  R 2  d 2

 Gọi H là tâm đường trịn. Tìm H như sau :
 Viết đường thẳng d đi qua I, vng góc với (P)
 H  d   P
Bài 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 6 x  3y  2 z  1  0 và mặt cầu

 S  : x 2  y2  z 2  6 x  4 y  2 z  11  0 . Chứng minh
tuyến là một đường tròn  C  . Tìm toạ độ tâm  C  .

mặt phẳng

 P  cắt

mặt cầu

 S  theo

giao

Bài 18. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2 x  3y  z  11  0 và mặt cầu

 S  : x 2  y2  z 2  2 x  4 y  2z  8  0 . Chứng minh mặt phẳng  P  tiếp xúc mặt cầu  S  .Tìm toạ
độ tiếp điểm của  P  và  S  .
Bài toán cơ bản 5. Tìm toạ độ giao điểm của mặt cầu  S  và đường thẳng d



Tham số hoá toạ độ A, B theo t, t '  toạ độ trung điểm H của AB

 
 IH.ud  0 t 
Giải hệ phương trình 

 IA  R
t ' 

2

2

Bài 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu  S  : x 2   y  1   z  2   9 và đường thẳng

d:

x  5 y 1 z  2
. Chứng minh d cắt  S  tại hai điểm A,B. tìm toạ độ A,B.


3
1
2

Bài giảng số 7. BÀI TỐN TÌM ĐIỂM THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bài tốn 1. Tìm hình chiếu vng góc của điểm A trên đường thẳng d


Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A, vng góc với d



Gọi H là hình chiếu của A trên d  H  d   P 

Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 1;0; 1 và đường thẳng d :
Tìm toạ độ hình chiếu vng góc của A trên d .
Bài tốn 2. Tìm toạ độ hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng  P 


Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với  P 



Gọi H là hình chiếu của A trên  P   H  d   P 

 Toạ độ điểm B đối xứng với A là B  2 H  A
16 | P a g e

x 1 y 1 z
.


2
2
1


Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A  3;5;0  và mặt phẳng  P  : 2 x  3y  z  7  0 .
Tìm toạ độ điểm đối xứng với A qua mặt phẳng  P 
Bài tốn 3. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho trước thoả mãn điều kiện cho trước



M  d  Tham số hoá M theo ẩn t
Giải điều kiện đề bài cho để tìm t .

Bài 3. Trong khơng gian với hệ toạ độ oxyz, cho đường thẳng  :

x  6 y 1 z  2
và điểm A 1;7;3 .



3
2
1

Tìm toạ độ điểm M thuộc  sao cho AM  2 30
Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ oxyz, cho đường thẳng  :

x 1 y 1 z

 và điểm A 1; 1;2  ,
2
1 1

B  2; 1;0  . Tìm toạ độ điểm M thuộc  sao cho tam giác AMB vng tại M.. Tìm toạ độ điểm N thuộc
 sao cho tam giác AMB cân tại M.
x  2 y 1 z  5
và điểm A  2;1;1


1
3
2
, B  3; 1;2  . Tìm toạ độ điểm M thuộc  sao cho tam giác AMB có diện tích bằng 3 5 .
Bài 5. Trong khơng gian với hệ toạ độ oxyz, cho đường thẳng  :

Bài 6. Trong không gian với hệ toạ độ oxyz, cho đường thẳng  :

x y 1 z


 . Tìm toạ độ điểm M thuộc
2
1
2

trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến  bằng OM.

x  3  t
x  2 y 1 z

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:  y  t
,2:

 . Tìm
2
1
2
 z  t
toạ độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến  2 bằng 1.
Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x  y  2 z  2  0 và đường thẳng

d:

x
y 1 z

 . a) Tìm toạ độ M thuộc d sao cho M cách đều gốc toạ độ O và mặt phẳng  P 
2
1
1

b) Tìm điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến 1.
x  1 t
x  2 y 1 z

Bài 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1 :

 , d2  y  2t và
1
1 1
z  3  t

điểm A  2; 2;3 . Tìm toạ độ điểm M thuộc d1 , N thuộc d 2 sao cho A,M,N thẳng hàng.
 x  1  t
x 1 y z  4

Bài 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho 2 đường thẳng d1
, d2  y  1  2t và
 
1
2
1
 z  2  t


 

   

mặt phẳng P : x  2 y  z  1  0 . a)Tìm toạ độ A thuộc d1 sao cho d A, P

6
d A,  Oyz 
3

b)Tìm toạ độ điểm M thuộc d1 , N thuộc d 2 sao cho MN song song (P) và MN  11
Nâng cao
17 | P a g e






x 1 y 1 z

 và điểm A 1;1;2  ,
2
1
1
B  1;0;1 . a) Tìm toạ độ điểm M thuộc  sao cho diện tích tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 11. Trong không gian với hệ toạ độ oxyz, cho đường thẳng  :

b)Tìm N thuộc  sao cho P  MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tốn 4. Tìm điểm thuộc mặt phẳng thoả mãn điều kiện cho trước





Phương pháp : M x; y; z . Giải hệ phương trình 3 ẩn tìm được x,y,z.



 



 



 



Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;3 , B 1; 0; 5 và mặt phẳng

 P  : 2 x  y  3z  4  0 . Tìm toạ độ M thuộc  P  sao cho A,M,B thẳng hàng


Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 2; 1;1 , B 0;3;3 và mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  19  0 . Tìm toạ độ M thuộc  P  sao cho MA  MB  3

10



Bài 3. . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 5;3; 1 , B 2;3; 4 và mặt phẳng

 P  : x  2 y  z  5  0 . Tìm toạ độ C thuộc  P  sao cho tam giác ABC đều.
Nâng cao.



 



 



 



Bài 4. Cho A 2;1; 1 , B 0;3;1 và P : x  y  z  3  0 . Tìm M  P sao cho MA  2 MB



 



 

min

 

Bài 5. Cho A 0; 4; 2 , B 1;2; 1 và P : x  y  z  1  0 . Tìm M  P sao cho P  MA 2  2 MB 2
đạt giá trị lớn nhất.



 



 

 

Bài 6. Cho A 1; 0; 2 , B 2;1;3 và P : x  2 y  z  4  0 . Tìm M  P sao cho P  MA  MB đạt giá
trị nhỏ nhất



 



 

 

Bài 7. Cho A 1; 3; 0 , B 5; 1; 2 và P : x  y  z  1  0 . Tìm M  P sao cho P  MA  MB đạt

giá trị lớn nhất.
Bài toán 5. Tìm điểm M thuộc mặt cầu S cho trước thoả mãn điều kiện cho trước





Phương pháp : M x; y; z . Giải hệ phương trình 3 ẩn tìm được x,y,z.

 

Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2  y 2  z2  4 x  4 y  4 z  0 và điểm

A  4; 4; 0  . Tìm điểm B thuộc mặt cầu (S) sao cho tam giác OAB đều. Viết phương trình mặt phẳng (OAB).
Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

2

 S  :  x  2   y  4

2

 z2  26 và điểm

A 1;1; 4  , B  1;3; 4  . Tìm điểm C thuộc mặt cầu (S) sao cho tam giác ABC vuông tại A và BC 
. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

18 | P a g e

2 60

3