Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
=======o0o=======

NGUYỄN HUY TUẤN

BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN
PHI TUYẾN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 62.46.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành Phố Hồ Chí Minh-2009


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả
và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong công trình nào khác.

Tác giả luận án

Nguyễn Huy Tuấn

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy,
PGS.TS. Đặng Đức Trọng. Thầy đã tận tình dạy dỗ, động viên, quan
tâm và dẫn dắt tôi rất nhiều trong học tập cũng như nghiên cứu
khoa học.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, TS.Phạm
Hoàng Quân, vì sự giúp đỡ rất tận tình của Thầy dành cho tôi trong
học tập và cuộc sống.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Quý Thầy,
Cô trong hội đồng đánh giá luận án, đã cho tôi những nhận xét và
bình luận quý giá, tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận án một cách
tốt nhất.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Quý Thầy,
Cô đã tận tình dạy dỗ tôi từ thû ấu thơ cho đến bậc đại học và
nghiên cứu sinh.
Tôi kính gửi đến các Quý Thầy, Cô ở trường Đại Học Khoa Học
Tự Nhiên Tp.HCM, trường Đại Học Sài Gòn và trường Đại Học Tôn
Đức Thắng, đã tận tình giúp cho tôi hoàn tất chương trình học tập
và bảo vệ luận án tiến só, những lời cám ơn chân thành và trân
trọng.
Tôi xin cảm ơn các anh chò và bạn bè đồng nghiệp đã quan tâm,


giúp đỡ tôi rất nhiều trong học tập và trong cuộc sống.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi đã
nuôi nấng, dạy dỗ, chăm lo và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi
học tập và luôn động viên, khích lệ tôi.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Huy Tuấn


MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU.

1

MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN .

12

CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN
PHI TUYẾN
1.1

Chỉnh hóa bài toán (1.1)-(1.3) bằng phương pháp Quasi
boundary value.

1.2

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Chỉnh hóa bài toán (1.1)-(1.3) bằng phương pháp phương
trình tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯC THỜI GIAN
PHI TUYẾN
2.1

62

Phương pháp Stabilized quasi-reversibility cho bài toán
parabolic (2.1)-(2.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

65

Phương pháp chuỗi Fourier cho bài toán parabolic ngược
thời gian phi tuyến

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHƯƠNG 3. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

76

91


3.1

Trường hợp tuyến tính không thuần nhất.

. . . . . . . . .

91

3.2

Trường hợp bài toán nhiệt phi tuyến 1 chiều. . . . . . . . .

95

KẾT LUẬN

101

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

103

TÀI LIỆU THAM KHẢO

105


1

LỜI NÓI ĐẦU
Nội dung chính của luận án này là tập trung khảo sát nghiệm của
bài toán parabolic nhiệt phi tuyến ngược thời gian. Bài toán nhiệt

ngược thời gian tức là bài toán xác đònh phân bố nhiệt độ tại thời
điểm ban đầu từ phân bố nhiệt độ tại thời điểm cuối. Hai dạng bài
toán phi tuyến ngược thời gian mà chúng ta sẽ khảo sát trong luận
án này là
1. Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến.
2. Bài toán parabolic phi tuyến .
Như chúng ta đã biết, nếu trong bài toán parabolic, ta lấy toán tử
A là toán tử Laplace trong một không gian hàm nào đó, thì bài toán
này sẽ trở thành bài toán nhiệt. Điều này cũng có nghóa là dạng bài
thứ hai tổng quát hơn so với dạng bài thứ nhất.
Các bài toán được nêu ở trên là những bài toán không chỉnh theo
nghóa của Hadamard, nghóa là ít nhất một trong ba trường hợp sau
xảy ra:
i) Bài toán không có nghiệm,
ii) Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất,
iii) Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không ổn đònh.
Việc nghiên cứu bài toán ngược bắt nguồn từ thực tế, trong các
lónh vực cơ học, vật lý,...và đã được nhiều nhà toán học quan tâm.


2

Thật vậy, trong Đòa Vật Lý, chúng ta thường gặp phải bài toán xác
đònh phân bố nhiệt độ trong trái đất hoặc một phần trái đất tại thời
điểm t0 > 0 từ nhiệt độ đo được từ thời điểm t1 > t0 . Cũng tương tự
như vậy, bài toán này cũng được phát triển trong nhiều tình huống
như: phun núi lửa, nổ hạt nhân,.., trong đó nhiệt độ tại thời điểm
ban đầu (thời điểm phun hoặc nổ) quá cao cho nên chỉ thuận lợi khi
đo nhiệt độ tại thời điểm sau đó t1 > t0 . Thông thường, bài toán
nếu có nghiệm thì nghiệm sẽ không phụ thuộc liên tục vào nhiệt độ

cuối. Trong thực tế, chúng ta không thể nào đo đạc một cách chính
xác nhiệt độ, nghóa là sự đo đạc phải có sai số. Khi có sai số rất nhỏ
của nhiệt độ tại thời điểm cuối, sẽ xảy ra sự chênh lệch nhiệt độ rất
lớn tại thời điểm ban đầu, thậm chí có thể sai lệch tới con số khá
lớn. Khi ta đo đạc dữ liệu, thì thường ít khi nhận được dữ liệu chính
xác, mà là nhận được dữ liệu tương đối gần với dữ liệu chính xác
thôi. Như sẽ chỉ ra ở mục 0.3, một sự thay đổi rất nhỏ của dữ liệu
tại thời điểm cuối sẽ dẫn đến sai số rất lớn tại thời điểm ban đầu.
Điều này gây rất nhiều khó khăn trong việc tính toán số liệu. Vì
thế, nhiệm vụ chính để khảo sát bài toán là phải chỉnh hóa nghiệm
cho bài toán đó.
Trường hợp tuyến tính thuần nhất của các bài toán không chỉnh
trên đã được nghiên cứu rất nhiều trong vài thập kỉ qua. Các phương
pháp nghiên cứu bài toán này thì có rất nhiều, được bắt đầu từ
năm 1960 với công trình [44] của F.John. Tiếp theo đó, trong nghiên
cứu của Lattes và Lions [48], các tác giả đưa ra phương pháp quasi-


3

reversibility (phương pháp QR ). Ý tưởng chính của phương pháp QR là
thay thế A bởi toán tử A = f (A). Ngay từ đầu, f (A) = A − A2, dẫn
đến bài toán chỉnh
ut + Au − A2u = 0,

t ∈ [0, T ],

(1)

u(T ) = ϕ.

Bậc ổn đònh của phương pháp này là ec

−1

.

Trong [70], bài toán được xấp xỉ bởi
ut + Au + Aut = 0,

t ∈ [0, T ],
(2)

u(T ) = ϕ.
Trong [61], dùng phương pháp stabilized quasi-reversibility (SQR),
K.Miller đã nghiên cứu bài toán xấp xỉ
ut + f (A)u = 0,

t ∈ [0, T ],

(3)

u(T ) = ϕ.
Có thể thấy (1) và (2) là trường hợp đặc biệt của (3) trong đó
f (x) = x − x2 và f (x) = x/(1 + x) theo trình tự. Chú ý rằng nghiệm
của bài toán (3) có dạng e(T −t)f(A) ϕ. Và từ hàm f bò chận bởi c/ , ta
biết rằng bậc ổn đònh là ec/ . Do đó, bậc ổn đònh trong trường hợp
này khá lớn. Để cải thiện kết quả ổn đònh của bài toán (3), Miller
đưa ra những điều kiện cho trước của toán tử f (A) và nhận được sự
ổn đònh có bậc là c

−1

. Phương pháp QR và SQR xuất hiện trong các

bài báo [1, 3, 5, 7, 12, 27, 32, 39, 43, 48, 62, 61, 70].
Năm 1983, Showalter [68] đưa ra phương pháp mới gọi là Quasiboundary value (QBV), chỉnh hóa bài toán thuần nhất. Khác với ý


4

tưởng của các phương pháp Quasi-reversibility là thay đổi phương trình
chính, phương pháp này thay đổi giá trò biên thời gian. Showalter
chỉ ra rằng phương pháp này xấp xỉ tốt hơn các loại phương pháp
Quasi-reversibility

khác. Dùng QBV, Clark-Oppenheimer [22], và

Denche-Bessila [25], đã chỉnh hóa bài toán ngược bằng cách thay giá
trò cuối lần lượt là
u(T ) + u(0) = ϕ,
và
u(T ) − u (0) = ϕ.
Phương pháp quasi-boundary value tỏ ra rất hiệu quả trong việc chỉnh
hóa các bài toán ngược thuần nhất. Gần đây nhất, chúng ta có thể tìm
được bài báo của Đinh Nho Hào và đồng tác giả trong [36]. Có thể
liệt kê thêm một số phương pháp khác như phương pháp chỉnh hóa
Tikhonov [13, 28, 51], phương pháp nửa nhóm [3, 41, 42, 46, 57, 58, 66],
các phương pháp số [29, 38, 45, 51, 59, 60].
Ta sẽ nêu lên các ý tưởng của các phương pháp chỉnh hóa. Xét
phương trình

Au = f, u ∈ D(A) ⊂ X, f ∈ Y,
trong đó X và Y là các không gian metric với metric d và

, A

là toán tử từ X vào Y. Giả sử uex (gọi là nghiệm chính xác, exact
solution) và fex ( dữ liệu chính xác, exact data) thỏa Auex = fex . Cho
W là một lân cận mở của fex trong Y. Toán tử Rα : W → X (phụ
thuộc vào tham số α và có thể không tuyến tính) gọi là toán tử chỉnh


5

hóa cho phương trình Au = f trong W nếu tồn tại số λ1 > 0 và hai
hàm α : (0, λ1 ) → R, ω : (0, λ1 ) → R thỏa α( ), ω( ) → 0 khi

→ 0 sao

cho d(u , uex ) ≤ ω( ) nếu u = Rα( ) (f ) và (fex , f ) ≤ .
Số α được gọi là tham số chỉnh hóa. Hàm u gọi là nghiệm chỉnh hóa
của bài toán, dữ liệu f gọi là dữ liệu không chính xác, thông thường
đó là dữ liệu có được do đo đạc hay tính toán. Trong nhiều trường
hợp, toán tử chỉnh hóa là toán tử tuyến tính.
Như vậy qua đònh nghóa của nghiệm chỉnh hóa ta thấy có hai bài
toán riêng. Thứ nhất là tìm toán tử chỉnh hóa Rα. Thứ hai là tìm
một phương pháp chọn tham số chỉnh hóa α( ). Đa phần các công
trình nghiên cứu đều giải quyết vấn đề thứ nhất, còn vấn đề thứ
hai được phát biểu dưới dạng "tồn tại". Khi áp dụng phương pháp
Tikhonov, chúng ta sẽ gặp khó khăn khi phải chọn tham số chỉnh
hóa α( ) nếu không sử dụng một vài điều kiện.

Theo cách thao tác xử lý trên các yếu tố bài toán, ta có thể phân
thành ba loại bài toán chỉnh hóa. Thứ nhất, ta xấp xỉ dữ kiện hay
thu hẹp không gian để bài toán trở thành chỉnh và giải bài toán như
phương pháp mollification của tác giả Đinh Nho Hào, được dùng trong
[34, 35]. Thứ hai, ta xấp xỉ phương trình để được bài toán chỉnh
và giải, ví dụ như các phương pháp quasi-reversibility, quasi-boundary
value,... Thứ ba, chỉnh hóa bằng cách xấp xỉ trực tiếp các nghiệm,
như phương pháp chỉnh hóa Fourier, phương pháp chặt cụt tích phân,...
Như chúng tôi đã nêu, phương pháp Tikhonov được dùng rất nhiều


6

trong các bài toán truyền nhiệt ngược thời gian thuần nhất. Trong
[91], các tác giả đã biến đổi bài toán tuyến tính trở thành bài toán
tìm u thỏa phương trình toán tử Au = f với A : L2(0, π) → L2 (0, π) là
toán tử tuyến tính liên tục, cụ thể
π

K(x, s)u(s)ds = f (x), 0 < x < π,

Au =
0

2
K(x, s) =
π

∞

e−k

2

T

sin(kx) sin(ks).

k=1

Do toán tử nghòch đảo A−1 : L2(0, π) → L2 (0, π) không liên tục nên
bài toán nhiệt ngược không chỉnh. Theo đònh lý Tikhonov, nếu u(t)
thuộc không gian M biết trước, có tính compact trong L2(0, π) thì
chúng ta sẽ có A−1 : A(M) → M liên tục. Việc tìm ra không gian M
không hề đơn giản. Trong bài báo, các tác giả đã nêu ra cách chọn
không gian M và đánh giá sự ổn đònh của nghiệm. Phương pháp
này chỉ giải quyết được sự ổn đònh nghiệm mà không đưa ra cách
tính toán cụ thể trên số liệu vì các không gian quá trừu tượng và
không chọn được tham số chỉnh hóa cụ thể.
Như vậy, có lẽ khó dùng phương pháp Tikhonov để nghiên cứu bài
toán phi tuyến. Bởi vì lúc đó bài toán đưa về bài toán biến phân
hoặc bài toán cực tiểu để khảo sát. Công trình liên quan đến phương
pháp này, xuất hiện gần đây trong bài báo của Phạm Hoàng Quân
và Nguyễn Dũng [72]. Các tác giả đã dùng phương pháp chuẩn
bình phương nhỏ nhất, xét bài toán không chỉnh phi tuyến tổng quát
dưới dạng F (x) = y0 , biến đổi bài toán trở thành phương trình toán


7

tử và như vậy, chỉ mới chứng minh được sự tồn tại nghiệm chỉnh
hóa, chưa đánh giá được sai số hội tụ và cũng chưa chỉ ra thuật toán
để tính số.
Vì sự ứng dụng rất quan trọng của các loại bài toán nhiệt ngược
thời gian, nên yêu cầu quan trọng nhất là phải tính toán bằng số
liệu cụ thể. Các nhà toán học đã đưa ra nhiều loại phương pháp để
tính toán, với hai mục đích quan trọng là
Thứ nhất, đánh giá được sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm
chính xác về mặt lý thuyết, trong đó nghiệm chỉnh hóa phải tính
được cụ thể.
Thứ hai, là phải có thuật toán tính số trong những ví dụ áp dụng.
Trong khả năng tìm kiếm của chúng tôi, hiện nay có rất nhiều công
trình chỉ hướng đến mục đích thứ hai.
Theo chúng tôi được biết, có rất nhiều các bài báo và công trình
nghiên cứu giải quyết triệt để bài toán tuyến tính thuần nhất, nhưng
các bài toán tuyến tính không thuần nhất và phi tuyến thì vẫn chưa
được nghiên cứu nhiều và đầy đủ. Bài toán tuyến tính không thuần
nhất được chúng tôi nghiên cứu trong [79, 81, 85]. Ta có thể liệt
kê một số bài báo xét trường hợp phi tuyến như [62, 72, 74]. Tuy
nhiên, các bài báo này vẫn có những mặt hạn chế trong việc xấp xỉ
và đánh giá sai số.
Trong luận án này, chúng tôi dùng 4 loại phương pháp chính
để xấp xỉ nghiệm của các loại bài toán phi tuyến ngược thời gian.


8

Phương pháp Quasiboundary value (QBV) và Phương pháp phương trình
tích phân được dùng ở chương 1, để chỉnh hóa bài toán một chiều.
Phương pháp SQR, Phương pháp Fourier được sử dụng trong chương 2

cũng cho ta nhiều kết quả thú vò về mặt lý thuyết.
Sở dó, chúng tôi chọn các phương pháp này để nghiên cứu bài
toán phi tuyến là vì các phương pháp này có điểm chung là, cho
phép biểu diễn nghiệm tường minh và chọn tham số chỉnh hóa cụ
thể. Ta đã biết, các yếu tố và thành phần phi tuyến luôn phức tạp,
nên nếu biểu diễn được nghiệm cụ thể, theo những dạng nào đó, thì
sẽ dễ tiếp cận nghiệm bài toán hơn. Ưu điểm của các phương pháp
mà chúng tôi chọn là ở chỗ, ta có thể biểu diễn được công thức cụ
thể của nghiệm chỉnh hóa, nhờ vậy mà ta có thể có nhiều hướng để
xấp xỉ. Ý tưởng quan trọng của các phương pháp nêu trên là tìm
cách đưa bài toán chỉnh hóa thành một phương trình tích phân phi
tuyến. Sau đó, chứng minh phương trình tích phân này có duy nhất
nghiệm và nghiệm này ổn đònh, và cuối cùng, dùng các kó thuật
đánh giá, để tìm ra được sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm
xấp xỉ E(u, u ).
Tuy cùng chung mục đích và ý tưởng, nhưng mỗi phương pháp
sẽ cho ra một đánh giá sai số khác nhau. Việc lựa chọn hợp lý
phương trình tích phân nào để khảo sát đòi hỏi chúng ta phải hiểu
thật rõ các yếu tố về tính trơn của nghiệm. Hơn nữa, điểm mạnh
của các phương pháp này, là ta có thể tính toán số liệu dựa trên


9

việc tìm nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến. Vì lẽ đó, mỗi
phương pháp sẽ có ưu điểm và nhược điểm riêng. Chúng tôi đưa ra
nhiều phương pháp như vậy để cải thiện bậc ổn đònh và tốc độ hội
tụ của nghiệm chỉnh hóa. Nhờ vậy, ta biết được phương pháp nào
tốt và dễ sử dụng. Các ưu điểm hay khuyết điểm của mỗi phương
pháp sẽ được thảo luận kó hơn trong mỗi chương.

Luận án được chia làm 3 chương.
Chương 1: Chúng tôi xét bài toán nhiệt phi tuyến sau
ut − uxx = f (x, t, u(x, t)),
u(0, t) = u(π, t) = 0,
u(x, T ) = ϕ(x),

(x, t) ∈ (0, π) × (0, T ),

(4)
(5)

t ∈ (0, T ),

(6)

x ∈ (0, π),

với f là hàm Lipschitz toàn cục.
Chương này được chia làm 2 phần với 2 phương pháp khác nhau để
cùng chỉnh hóa một bài toán. Trong Phần 1.1, chúng tôi dùng
Phương pháp Quasiboundary value để xấp xỉ bài toán phi tuyến
bởi bài toán chỉnh như sau
∞

ut − uxx =
p=1

2

e−tp

f (u )(t) sin px, (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ), (7)
t
2 p
T + e−tp
(8)

u (0, t) = u (π, t) = 0, t ∈ [0, T ],
u (x, 0) + u (x, T )
∞

= ϕ(x) −
p=1





T



s
T

0

+

fp(u
e−sp2

)(s)ds sin px.

(9)


10

Sai số tìm được như sau
u (., t) − u(., t) ≤ C

t/T

(10)

.

Các kết quả này đã tổng quát bài báo [N1] và được công bố trong
[N2]. Tuy nhiên, hạn chế của phương pháp này là không đánh giá
được sai số tại thời điểm ban đầu t = 0.
Trong phần 1.2, Phương pháp phương trình tích phân được dùng để cải
tiến các kết quả về sai số trong phần 1. Mục này tổng quát hóa kết
quả của bài toán tuyến tính trong bài báo của chúng tôi [81]. Chúng
tôi đánh giá được sai số như sau
u(., t) − u (., t)

≤

M1 e3L2 T (T −t)

t
T

T
1 + ln( T )

1− Tt

.

với mọi t ∈ [0, T ]. Sai số này tốt hơn nhiều so với sai số trong mục
1.1. Nội dung phần này được công bố trong bài báo [ N5],[N8],[N9],
tổng quát các kết quả của [N3].
Chương 2: Chúng tôi xét bài toán phi tuyến parabolic như sau
ut + Au = f (t, u(t)),

0
u(T ) = ϕ,
với A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H thỏa −A
sinh bởi nửa nhóm compact trên H. Trong chương này, chúng ta
dùng phương pháp SQR và phương pháp Fourier để chỉnh hóa bài toán
này.
Chương 2 được chia làm 2 mục.


11

Trong mục 2.1, chúng tôi sẽ đưa ra một số điều kiện của f (A)
để được bài toán chỉnh mà bậc ổn đònh tốt hơn nhiều so với bậc ổn

đònh trong các phương pháp QR nêu trong chương 1. Nhờ những
điều kiện như vậy mà chúng tôi mới đánh giá được sai số và tốc
độ hội tụ trong trường hợp vế phải là hàm Lipschitz toàn cục. Nội
dung của phần này được công bố trong bài báo [N4].
Trong mục 2.2, chúng tôi dùng phương pháp Fourier để chỉnh hóa
bài toán. Phương pháp này có ưu điểm là đánh giá được sai số tại
thời điểm ban đầu. Hơn nữa, chúng ta có thể chọn tham số chỉnh
hóa m , để xấp xỉ sai số tốt hơn. Các sai số này tổng quát hóa các
kết quả trong các mục trước đó. Bậc ổn đònh của phương pháp rất
tốt nếu ta chọn tham số chỉnh hóa phù hợp. Nội dung của phần này
được công bố trong [N11], tổng quát kết quả đã đăng trong [N6].
Chương 3: Chúng tôi đưa ra ví dụ minh họa để tính số. Chúng ta
sẽ xấp xỉ bài toán theo các phương pháp khác nhau và đưa ra bảng
số liệu để so sánh những ưu điểm hay nhược điểm của các phương
pháp đã nêu trên.
Ta qui ước đánh số theo thứ tự tăng dần của Đònh lý, theo thứ tự
tăng dần của Đònh nghóa, theo thứ tự tăng dần của Bổ đề...


12

MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN

Trong phần nầy chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản của
giải tích hàm và giải tích thực cần thiết cho luận án.

0.1

Không gian hàm.

Đònh nghóa 0.1.1 Không gian Hilbert X là không gian Banach có chuẩn
được tạo bởi tích vô hướng trong.

Đònh nghóa 0.1.2 Cho U mở, U ⊂ Rn . Không gian L2(U ) là không
gian Hilbert các hàm f : U → R bình phương khả tích với tích vô hướng
< f, g >=

f gdx.
U

Không gian Sobolev H 1 (U ) là không gian Hilbert các hàm f : U → R có
f,

f bình phương khả tích với tích vô hướng < f, g >=

(f g +

f.

g)dx.

U

Đònh nghóa 0.1.3 Cho X là không gian Banach với chuẩn

. Không

gian Lp(0, T ; X) gồm tất cả hàm đo được u : [0, T ] → X với chuẩn
T

||u(t)||pdt)1/p < ∞,

||u||Lp(0,T ;X) = (

∀ 1 ≤ p < ∞,

0

||u||L∞ (0,T ;X) = ess sup ||u(t)|| < ∞.
t∈[0,T ]

Đònh nghóa 0.1.4 Không gian C([0, T ]; X) gồm tất cả những hàm liên tục


13

u : [0, T ] → X với chuẩn
||u||C([0,T ];X) = max ||u(t)|| < ∞.
t∈[0,T ]

Đònh nghóa 0.1.5 Cho X là không gian Hilbert. Không gian C([0, T ]; X)
là không gian Banach. Không gian L2(0, T ; X) với chuẩn ||.||L2(0,T ;X) là
không gian Hilbert.

0.2

Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier.

Cho không gian Hilbert X với chuẩn . và tích vô hướng < ., . >.
Cho A: D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính liên tục trên không

gian Hilbert X với D(A) = X. Toán tử A∗ : D(A∗) ⊂ X → X được xác
đònh bởi:
< u, Av >=< A∗ u, v > .
Trước tiên ta nói u ∈ D(A∗) nếu u ∈ X và tồn tại f ∈ X sao cho
< u, Av >=< f, v > ∀v ∈ D(A), khi đó ta đặt A∗u = f.
Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu A = A∗. Cho {φp} là họ trực
chuẩn trong X. Với mỗi u ∈ X, ta xét tổng riêng phần của chuỗi
m

Fourier sm =

∞

< u, φp > φp và chuỗi Fourier u =
p=1

< u, φp > φp .
p=1

Đònh nghóa 0.2.1 Hệ trực chuẩn {φp} được gọi là đầy đủ trong X nếu
∞

< u, φp > φp , ∀u ∈ X.

u=
p=1

∞

∞

|cp |2

cp φp (cp ∈ R) hội tụ trong X nếu

Đònh lý 0.2.1 Chuỗi
p=1

p=1


14

hội tụ .

Đònh lý 0.2.2 Cho X là không gian Hilbert trên trường K (K = R
hay C), và {φp } là họ trực chuẩn trong X. Khi đó các điều sau là tương
đương:
i) Hệ trực chuẩn {φp} là đầy đủ ,
ii) Bao lồi tuyến tính của {φp } trù mật trong X,
∞

iii) Với mọi u ∈ X ta có đẳng thức Parseval:

||u||2 =

| < u, φp > |2 .
p=1

Cho toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X tự liên hợp trên không

gian Hilbert X và A có hệ trực chuẩn đầy đủ các vector riêng {φp}
trong X, nghóa là Aup = λp up .

Đònh lý 0.2.3 Ta có
∞

Au =

λp < u, φp > φp

∀u ∈ D(A).

p=1

Hơn nữa các điều sau là tương đương :
i) u ∈ D(A),
∞

ii)

λp < u, φp > φp hội tụ,
p=1
∞

iii)
p=1

λ2p | < u, φp > |2 < ∞.

Cho trước hàm f : R → R, ta xét toán tử f (A) : D(f (A)) ⊂ X → X

∞

thỏa công thức sau:

f (λp ) < u, φp > φp .

f (A)u =
p=1
∞

Như vậy u ∈ D(f (A)) nếu

f (λp ) < u, φp > φp hội tụ.
p=1

Đònh lý 0.2.4 Toán tử f (A) có miền xác đònh trù mật trong X là toán tử


15

tự liên hợp với mỗi hàm f : R → R.
Xét không gian H = L2 (0, π) với tích vô hướng < . > như sau
π

u(x)v(x)dx,

< u, v >=

∀u, v ∈ L2 (0, π).

0

Ta chọn hệ trực chuẩn đầy đủ φp =

2
π

sin px. Nếu u ∈ H thì

∞

up φp trong đó

u=
p=1

up =

∞
2
2
< u(x), sin px > và ||u|| =
u2p .
π
p=1

Cho toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ H → H tự liên hợp trên H trong
đó ta xây dựng hệ trực chuẩn đầy đủ φp như trên tương ứng với
các giá trò riêng {λp }. Trường hợp A = −∆ thì các giá trò riêng
∞

của A là λp = p2 . Như vậy, nếu u ∈ D(−∆) thỏa u =

up φp thì
p=1

∞

p2 up φp.

∆u = −
p=1

0.3

Khái niệm về tính chỉnh và không chỉnh

Ta đònh nghóa tính chỉnh và không chỉnh theo nghóa Hadamard.
Đònh nghóa 0.3.1 Giả sử U, V là các không gian mêtric, K : U → V là
ánh xạ. Bài toán Ku = v gọi là chỉnh, nếu có các tính chất:
i) Với mọi v ∈ V tồn tại u ∈ U sao cho Ku = v.
ii) Với mọi v ∈ V tồn tại duy nhất u ∈ U sao cho Ku = v.
iii) Nghiệm u phụ thuộc liên tục vào v, nghóa là với mọi dãy {un } ⊂ U và


16

Kun → v thì un → u.
Nếu bài toán không thỏa một trong ba tính chất trên thì bài toán
này gọi là không chỉnh. Ta có thể minh họa điều ta nói bởi bài toán

sau
ut − uxx = 2et sin(x),
u(x, 1) = g(x) = e sin(x),
trong đó nhiệt độ tại thời điểm t là u(x, t) = et sin(x). Ta để ý rằng
√
u(x, 1/2) = e sin(x) ≈ 1.648721271 sin(x).
Giả sử gn là giá trò nhiệt độ đo được tại thời điểm cuối, thỏa
gn (x) = e sin(x) +

1
sin(nx).
n

Nghiệm của bài toán trên, tương ứng giá trò cuối gn , là
1 2
un (x, t) = et sin(x) + en (1−t) sin(nx).
n
Sai số nhiệt độ tại thời điểm cuối là
F (n) =

gn − g
π

=
0

1
n

=

L2 (0,π)

1
sin2 nxdx
2
n

π
.
2

Sai số nhiệt độ tại thời điểm ban đầu là
O(n) = ||un(., 0) − u(., 0)||L2 (0,π)
π

=
0
2

=

en
n

e2n2
sin2(nx) dx
2
n
π

.
2


17

Sau đó, chúng ta chú ý rằng
lim F (n) = lim ||ϕn − ϕ0 ||L2(0,π)

n→∞

n→∞

1 π
= 0,
n→∞ n
2
lim O(n) = lim un (., 0) − u(., 0)
= lim

n→∞

n→∞

2

en
= lim
n→∞ n

0.4

L2 (0,π)

π
= ∞.
2

Nửa nhóm các toán tử

Cho H là không gian Hilbert tách được với tích vô hướng trong là
< ., . >.
Đònh nghóa 0.4.1 ( Đònh nghóa nửa nhóm các toán tử)
(a) Một tập T (t)t≥0 những toán tử tuyến tính bò chặn đi từ H vào H gọi
là nửa nhóm các toán tử nếu thoả các tính chất sau : với mọi w ∈ H và
s, t ≥ 0
(i)

T (0)w = w

(ii) T (t + s)w = T (t)T (s)w = T (s)T (t)w
(iii) ánh xạ t −→ T (t)w

là liên tục từ

[0, +∞) vào H.

(b) T gọi là nửa nhóm co các toán tử nếu
T (t) ≤ 1, ∀t ≥ 0.
(c) T gọi là nửa nhóm các toán tử compac nếu với mỗi t, T (t) là toán tử

compac.


18

Đònh nghóa 0.4.2 Ta viết
D(A) := {u ∈ H| lim+
t−→0

T (t)u − u
tồn tại trong H }
t

và
−Au = lim+
t−→0

T (t)u − u
t

(u ∈ D(A)).

Ta gọi −A : D(A) −→ H là toán tử vi phân sinh ra (hay gọi tắt là toán
tử sinh ) của nửa nhóm {T (t)}t≥0 ; D(A) là miền xác đònh của A.
Ví dụ 0.4.1 Cho H = L2 (0, 1), ta đònh nghóa toán tử K : H −→ H như
sau
1

k(x, s)u(s)ds

(Ku)(x) =
0

ở đây


 x(1 − s) ,
−k(x, s) =
 s(1 − x) ,

0 ≤ x ≤ s ≤ 1,
0 ≤ s ≤ x ≤ 1.

Dễ thấy rằng
(Ku)(0) = (Ku)(1) = 0, u = (Ku)

∈ L2 (0, 1).

Ta đặt
A = K −1 : R(K) −→ H.
Thì ta được
D(A) = {u ∈ H 2 (0, 1)|u(0) = u(1) = 0}
và
Au = −u = −∆u,

u ∈ D(A).


19

Với mọi p ∈ N∗ , ta có
λp = (πp)2 , wp (x) =

√
2 sin πpx,

x ∈ [0, 1]

là trò riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử −∆.
∞
p=1 up sin πpx,

Nếu như u ∈ D(−∆) thoả u =

thì nửa nhóm các toán

tử sinh ra bởi −∆ tác động vào u là
∞
2

e−(πp) t up sin pπx.

S(t)u =
p=1

Nửa nhóm này được kí hiệu là e−t∆ .

0.5

Một số bất đẳng thức

Mệnh đề 0.5.1 (Bất đẳng thức Young )
Cho p, q > 0 thỏa

1
p

+

1
q

= 1. Lúc đó với mọi a, b > 0 ta có
ap bq
ab ≤
+ .
p
q

Mệnh đề 0.5.2 (Bất đẳng thức Holder )
Cho p, q > 0 thỏa

1
p

+

1
q

= 1 và f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lq (Ω). Khi đó ta có
|f |pdx)1/p (

|f g|dx ≤ (
Ω

Ω

|g|q dx)1/q .
Ω

Mệnh đề 0.5.3 (Bất đẳng thức Gronwall ) Cho f (t) là hàm không âm,
liên tục trên [0, T ].