Bài toán ngược thời gian cho phương trình ginzburg landau

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI THANH DUY

BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG
TRÌNH GINZBURG-LANDAU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI THANH DUY

BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG
TRÌNH GINZBURG-LANDAU

Chuyên ngành:
TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Phản biện độc lập 1:
Phản biện độc lập 2:

PGS. TS. MAI ĐỨC THÀNH

PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY
TS. BÙI LÊ TRỌNG THANH
GS. TSKH. ĐINH NHO HÀO
TS. NGUYỄN XUÂN TRƯỜNG

Cán bộ hướng dẫn:
GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Tp. Hồ Chí Minh, năm 2015


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và các đồng nghiệp. Các kết quả trong
luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì một công trình nào khác.
Nghiên cứu sinh
Bùi Thanh Duy


Lời cảm ơn
Đầu tiên, tôi xin được tri ân Thầy hướng dẫn của tôi là GS. TS. Đặng Đức Trọng đã
nhiệt tình giảng dạy và động viên tôi trong suốt quá trình tôi làm luận án. Bên cạnh
đó, tôi xin gửi lòng biết ơn đến tất cả các quý Thầy (Cô) trong hội đồng phản biện đã
đóng góp những nhận xét quý báu cho luận án của tôi.
Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, quý Thầy (Cô) làm việc ở Phòng Sau đại học,
trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi về các thủ tục hành chính giúp tôi hoàn thành khóa học và bảo vệ luận án. Xin gửi
lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức nhân sự, Khoa Khoa học cơ
bản của trường Đại học Kiến trúc Thành phố Hồ Chí Minh đã hỗ trợ về mặt tài chính
và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và nghiên cứu của tôi.
Tôi muốn gửi những tình cảm thân thương nhất đến đại gia đình của tôi, những

người đã luôn luôn lo lắng, động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt, nhất là về mặt tinh
thần để tôi học tập tốt.
Cuối cùng, cho tôi gửi lời cám ơn đến những người bạn trong nhóm nghiên cứu đã
cùng tôi học tập, cùng tôi tháo gỡ những vướng mắc trong quá trình học và làm luận
án.
Nghiên cứu sinh
Bùi Thanh Duy


Mục lục

1

2

Lời nói đầu

1

Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa . . . . . . . . . . .

7

1.2

Hàm số Lipschitz toàn cục, địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Miền có biên Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Không gian Holder
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¨

9

1.5

Điểm bất động và nguyên lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.7

Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.8

Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.9

Toán tử compact và phổ của toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.10 Bài toán nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.11 Toán tử parabolic - Nguyên lí cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.12 Toán tử elliptic - Nguyên lí cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau trên miền
bị chặn
15
2.1

Bài toán cho lớp hàm Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Phương pháp chỉnh hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Kết quả chính cho sự chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24


3

4

5

Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau trên miền

bị chặn với hệ số bị nhiễu
38
3.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2

Kết quả chính cho sự chỉnh hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3

Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau trên miền
không bị chặn
69
4.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.2

Kết quả chính cho sự chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic loại Ginzburg-Landau với hệ số bị
nhiễu
82
5.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.2

Kết quả chính cho sự chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Phần kết luận

99

Công trình khoa học của tác giả

100

Tài liệu tham khảo

101


Danh sách các kí hiệu
Kí hiệu tập hợp
N
R
R+
C
Kí hiệu đạo hàm
u = u(t) = u( x, t)
∂u
ut = u (t) =
∂t
∂2 u
utt = u (t) = 2
∂t
∂u
ux =
∂x
∂2 u
u xx = 2
∂x

Tập hợp các số tự nhiên
Tập hợp các số thực
Tập hợp các số thực dương
Tập hợp các số phức

Lời nói đầu
Phương trình Ginzburg-Landau là một phương trình khá nổi tiếng trong lĩnh vực vật
lí. Phương trình này được dùng để mô hình hóa nhiều hiện tượng trong vật lí bao gồm
chuyển đổi trong những hệ không cân bằng, sự không ổn định trong hệ thủy động lực
học, sự hỗn loạn hóa học, nhiệt động lực học (xem [26], [33], [40]). Phương trình này
còn được dùng để mô tả trạng thái của vật chất từ trạng thái siêu dẫn đến trạng thái
không siêu dẫn (xem [10]). Nhiều nghiên cứu về phương trình loại Ginzburg-Landau
dạng thực và phương trình loại Ginzburg-Landau dạng phức tổng quát đã được công
bố (xem [22], [26], [31], [41]). Dạng thực của phương trình Ginzburg-Landau có dạng
ut = ∆u + au − bu3 ,
trong đó a ∈ R, b ∈ R+ . Trong tài liệu [3], Ames kiểm tra sự phụ thuộc liên tục trên
nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình này trong không gian ba chiều ở bài
toán thuận lẫn bài toán ngược thời gian. Để có được những kết quả về sự phụ thuộc
liên tục, tác giả sử dụng tính lồi logarit. Ngoài ra, một số nghiên cứu về kiểm tính
phụ thuộc liên tục hay cấu trúc ổn định của nghiệm cũng được giới thiệu trong các tài
liệu [6], [7], [9]. Một nghiên cứu về phương trình Ginzburg-Landau dạng thực được
giới thiệu trong [42] của Ian Melbourne và Guido Schneider năm 2003. Các tác giả xét
phương trình
ut = u xx + u − u|u|2 ,
trong đó x ∈ R, t
0, u( x, t) ∈ C. Phương trình này được xét trong mô hình hình
thành các hệ thống phản ứng phân hủy, hệ thống quang học phi tuyến, các bài toán
khí động học, ví dụ như sự đối lưu Rayleigh-Bénard, bài toán Taylor-Couette.
Trong luận án này, chúng tôi khảo sát các bài toán ngược (xem [35]) thời gian, bài
toán Cauchy cho phương trình loại Ginzburg-Landau. Các bài toán này là những bài
toán không chỉnh ở dạng phi tuyến. Thực tế cho thấy rằng, bài toán không chỉnh là bài toán
mà hiện nay đang được nhiều nhà khoa học quan tâm do tính chất quan trọng và hữu
ích của chúng. Bài toán không chỉnh theo nghĩa của Hadamard là bài toán không thỏa ít
nhất một trong ba tính chất tồn tại, duy nhất và ổn định của nghiệm của phương trình
T x = y trong đó T : X → Y là một ánh xạ có thể tuyến tính hoặc không tuyến tính

1


và X, Y là hai không gian định chuẩn. Nhiều bài toán ở trường hợp tuyến tính đã được
khảo sát và đánh giá rất tốt vì các phương pháp chỉnh hóa cho ra những sai số nhỏ trong
việc tính toán trên các số liệu đo. Tuy nhiên, ta vẫn gặp trở ngại trong việc xử lí những
trường hợp phi tuyến trong khi những tài liệu về những trường hợp này chưa nhiều.
Ở luận án này, do tính không chỉnh của loại bài toán đang xét, ta cần đưa ra một phép
chỉnh hóa thích hợp.
Chúng ta sơ lược qua lịch sử của vấn đề. Năm 1967, Lattès và Lions đã khảo sát bài
toán thuần nhất sau
ut + Au = 0,

t ∈ (0, T ),

(1)
(2)

u( T ) = ϕ,

trong đó ϕ là hàm cho trước. Các tác giả đã chỉnh hóa bài toán trên bằng cách nhiễu
toán tử A. Phương pháp này gọi là tựa khả nghịch (quasi-reversibility). Ý tưởng cốt lõi của
phương pháp là nhiễu phương trình chính trong bài toán không chỉnh để được một bài
toán chỉnh. Sau đó dùng nghiệm của bài toán chỉnh như là một xấp xỉ của nghiệm của
bài toán không chỉnh. Trong tài liệu của Lattès và Lions, các tác giả này đã chỉnh hóa bài
toán bằng cách thêm vào phương trình chính một yếu tố như sau ut + Au − αA∗ Au = 0
(α > 0) trong đó A∗ là toán tử liên hợp của toán tử A. Năm 1975, Bài toán (1)-(2) được
Ewing [18] chỉnh hóa bằng phương trình Sobolev ut + Au + αAut = 0. Tương tự, năm
1998, Alekseeva và Yurchuk [2] chỉnh hóa (1)-(2) bằng cách thay phương trình (1) bởi
ut + Au + αAut = 0 và như vậy không cần phải sử dụng toán tử A∗ . Bài toán (1)-(2)

cũng được xét bởi nhiều tác giả như Huang và Zheng [29], Lavrentiev [36], Miller [43],
Payne [45]. Năm 1981, Vabishchevish [67] lần đầu chỉnh hoá Bài toán (1)-(2) bởi bài
toán sau
ut + Au = 0,

t ∈ (0, T ),

u( T ) + αu(0) = ϕ.
Phương pháp nhiễu điều kiện u( T ) = ϕ bởi u( T ) + αu(0) = ϕ gọi là tựa giá trị biên
(quasi-boundary value). Phương pháp này cũng được Showalter sử dụng trong [49] vào
năm 1983. Từ ý tưởng này, các tác giả trong [14] đã tiến hành chỉnh hóa bài toán (1)-(2)
với
ut + Au = 0,

t ∈ (0, T ),

u( T ) + αu(0) = ϕ.
Mở rộng cho phương pháp tựa biên, Denche và Abdessemed (xem [16]) đã khảo sát và
chỉnh hóa bài toán không thuần nhất sau đây
ut + Au = f ,

t ∈ (0, T ),

u( T ) = g,
2


bằng cách dùng bài toán xấp xỉ
ut + Au = f α ,

t ∈ (0, T ),

u ( T ) = gε ,
trong đó 0 < α < 1 và
fα =

e −λk T
∑ αλ p + e−λk T f k ϕk ,
k 1
k

gε =

e −λk T
∑ p − λ k T gk ϕ k .
k 1 αλk + e

Một bài toán không thuần nhất khác cũng được công bố trong [57], [58].
Như đã nói trên, mặc dù các kết quả ở những trường hợp tuyến tính mang lại nhiều
ứng dụng khoa học, nhu cầu giải quyết những bài toán phi tuyến vẫn có sức ảnh hưởng
lớn vì tầm quan trọng của chúng trong thời điểm hiện tại và tương lai đang được chú
ý. Năm 2007, các tác giả trong bài báo [56] đã khảo sát một trường hợp phi tuyến của
bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt sau đây


 ut − u xx = f ( x, t, u( x, t)), ( x, t) ∈ (0, π ) × (0, T ),
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ (0, T ),


u( x, T ) = ϕ( x ), x ∈ (0, π ),

trong đó f là một hàm Lipschitz toàn cục theo biến thứ ba. Dưới điều kiện f Lipschitz
toàn cục, một bài toán tổng quát hơn được xét trong [63] như sau


 ut − ∆u = f ( x, t, u( x, t)), ( x, t) ∈ Ω × (0, T ),
u|∂Ω = 0, t ∈ (0, T ),


u( x, T ) = ϕ( x ), x ∈ Ω,
trong đó Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω. Hai bài toán trên là bài toán
parabolic ngược thời gian dạng phi tuyến và là bài toán không chỉnh. Các tác giả trong
hai bài báo này đã chỉnh hóa bài toán bằng sự kết hợp giữa phương pháp tựa biên [14]
và phương pháp tựa khả nghịch [37]. Đây là hai phương pháp phổ biến và hữu ích
trong nhiều phương pháp chỉnh hóa đã từng được đưa ra trong những năm qua. Có
nhiều nghiên cứu xoay quanh bài toán nói trên, chẳng hạn như bài toán được giải trên
không gian hai chiều (nhiều chiều) với toán tử Laplace, bài toán được giải bằng cách
sử dụng biến đổi Fourier hoặc phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier...(xem [61], [65]).
Năm 2008, một bài toán được xét trong [59] cho trường hợp toán tử. Thật vậy, các tác
giả đã chỉnh hoá bài toán
ut + Au = κ (u(t), t),
u( T ) = ϕ,

0 < t < T,

(3)
(4)
3


với A là là một toán tử không âm, tự liên hợp xác định trên một không gian Hilbert

H sao cho − A sinh ra một nửa nhóm compact trên H và κ cũng là một hàm Lipschitz
toàn cục theo biến u. Dựa trên những tài liệu thu thập được gần đây, ta nhận thấy rằng
trong các phương pháp được sử dụng để chỉnh hóa bài toán, một số tác giả chỉ áp dụng
cho lớp hàm Lipschitz toàn cục trong khi những bài toán gắn với lớp hàm Lipschitz địa
phương còn khá ít. Năm 2014, một nghiên cứu dựa trên bài toán (3)-(4) cho loại hàm
Lipschitz địa phương được công bố trong [60]. Bài toán được xét với t ∈ (0, 1) và hàm
κ mang những giả thiết sau
(H1 ) Với mọi p > 0, tồn tại một hằng số K ( p) sao cho hàm κ thỏa điều kiện Lipschitz
địa phương sau
κ ( v1 ( t ), t ) − κ ( v2 ( t ), t )
với mọi v1 (t), v2 (t) ∈ H thỏa v1 (t)

H,

H

K ( p ) v1 ( t ) − v2 ( t )

v2 ( t )

H

H

p.

(H2 ) Tồn tại một hằng số L sao cho
κ ( v1 ( t ), t ) − κ ( v2 ( t ), t ), v1 ( t ) − v2 ( t )

H

+ L v1 ( t ) − v2 ( t )

2
H

0.

(H3 ) κ (0, t) = 0 với mọi t ∈ (0, 1).
Bài báo này là một bước tiến cho việc tiếp cận với việc chỉnh hóa bài toán ngược thời
gian, bài toán Cauchy cho lớp hàm Lipschitz địa phương, chẳng hạn như κ (u) =
u
u||u||2H hay κ (u) =
. Tuy nhiên bài báo nêu trên vẫn còn hạn chế khi không thể
1 + u2
áp dụng cho những trường hợp cụ thể không thỏa điều kiện ( H2 ), ví dụ như trường
hợp κ (u) = u − u3 , κ (u) = ue−u ,...
Luận án tập trung khắc phục hạn chế nói trên. Chúng tôi tập trung khảo sát và
chỉnh hoá bài toán trong trường hợp hàm κ là một hàm Lipschitz địa phương không
cần điều kiện ( H2 ) như trong [60]. Một ví dụ điển hình là chỉnh hoá bài toán ngược
thời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau
ut = Au + au − bu3 + r ( x, t), x ∈ Ω, 0 < t < T,
u( T ) = g.
Ở đây Ω là một miền bị chặn trong Rn , a, b là những hằng số thỏa a ∈ R, b ∈ R+ , g, r
là những hàm được cho và A là một toán tử tự liên hợp xác định trên một không gian
con D ( A) của L2 (Ω). Ý tưởng chung của chúng tôi là xấp xỉ hàm f (u) = au − bu3 bởi
một hàm Lipschitz toàn cục f M (u) sao cho f M (u) → f (u) khi M → +∞. Với hàm f M ,
bài toán trên sẽ được chỉnh hoá theo những phương pháp đã công bố.
4

Ngoài những bài toán parabolic, nhiều bài toán Cauchy cho phương trình elliptic
cũng được nghiên cứu và nhận đăng trên những tạp chí toán học quốc tế. Ta có thể lấy
vài ví dụ điển hình, chẳng hạn như trong [27], các tác giả đã giải bài toán Cauchy cho
phương trình elliptic thuần nhất

u − Au = 0, 0 < y < T,

 yy
u(0) = ϕ,


uy (0) = 0,
trong đó A : D ( A) ⊂ H → H là một toán tử tuyến tính, tự liên hợp, xác định dương và
có miền xác định D ( A) trù mật với toán tử nghịch đảo compact trong H. Trong [64], các
tác giả Tuấn, Trọng và Quân cũng xét một bài toán Cauchy cho phương trình elliptic
như sau

u − Au = 0, 0 < y < T,

 yy
u(0) = ϕ,


uy (0) = ψ.
Họ chỉnh hoá bài toán này bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier. Hơn nữa, các tác
giả cũng đã cải tiến các đánh giá hội tụ trong [27]. Một lần nữa, phương pháp chặt cụt
chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong các kĩ thuật chỉnh hoá khi các tác giả trong
[66] tìm ra nghiệm chỉnh hoá và đánh giá sai số cho phương trình Helmholtz



∆u − k2 u = 0, ( x, y) ∈ (0, π ) × (0, 1),



 u(0, y) = u(π, y) = 0, y ∈ (0, 1),

uy (0) = f ( x ), x ∈ (0, π ),




u( x, 0) = ϕ( x ), x ∈ (0, π ).
Tuy nhiên, hầu hết các trường hợp của bài toán elliptic đều là tuyến tính trong khi
những trường hợp phi tuyến hoặc nửa tuyến tính chưa được khảo nhiều. Năm 2013,
Hongwu Zhang và Ting Wei [68] cũng dùng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để
chỉnh hoá bài toán Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến. Các tác giả này cũng
thu được một đánh giá hội tụ cho nghiệm chỉnh hoá dưới giả thiết bị chặn trên nghiệm
chính xác. Nhưng trong nghiên cứu này, bài toán được giải quyết với trường hợp hàm
f ( x, y, z) là một hàm Lipschitz toàn cục theo biến z. Trong luận án này, bài toán này sẽ
được xét với f là một hàm Lipschitz địa phương tương tự như đã nói ở trên với phương
trình chính là một phương trình loại Ginzburg-Landau. Cụ thể, bài toán được xét dưới
dạng như sau


uyy + Au = − au + bu3 + h( x, t), x ∈ Ω, 0 < y < c,



 u( x, y) = 0, x ∈ ∂Ω, 0 < y < c,


u( x, 0) = g1 ( x ), x ∈ Ω,




uy ( x, 0) = g2 ( x ), x ∈ Ω.
5


Ở đây Ω là một miền bị chặn trong Rn , g1 , g2 , h là những hàm được cho và A cũng là
một toán tử tự liên hợp xác định trên một không gian con D ( A) của L2 (Ω).
Nội dung của luận án gồm 5 chương.
1. Kiến thức chuẩn bị.
2. Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau trên miền bị
chặn. Chương này trình bày phương pháp chỉnh hoá bài toán ngược thời gian
cho lớp hàm Lipschitz địa phương trên miền bị chặn và áp dụng khi phương
trình chính có dạng Ginzburg-Landau. Các phương pháp chỉnh hoá sử dụng là
phương pháp tựa biên, tựa khả nghịch, khai triển Fourier.
3. Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau trên miền bị
chặn với hệ số bị nhiễu. Chương này chứa nội dung của bài báo khoa học [54].
Đây một bước nối tiếp cho công trình của Ames trong [3], sử dụng ý tưởng của
phương pháp tựa biên mà Ames đề cập trong [8] để chỉnh hóa cho bài ngược
thời gian đối với phương trình loại Ginzburg-Landau khi các hệ số bị nhiễu đồng
thời khảo sát tính phụ thuộc của nghiệm theo các mẫu tham số. Bài báo này được
trình bày sơ lược ở Hội nghị Toán học toàn quốc tháng 08 năm 2013.
4. Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau trên miền
không bị chặn. Chương này chứa nội dung của bài báo khoa học [55]. Đây là
một bước mở rộng cho hai nội dung ở Chương 2 và 3 khi bài toán được chỉnh hóa
bằng cách dùng biến đổi Fourier trên Rn .

5. Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic loại Ginzburg-Landau với hệ số bị
nhiễu. Nội dung chương này trình bày phép chỉnh hóa một bài toán Cauchy cho
lớp hàm Lipschitz địa phương mà cụ thể là bài toán điều kiện đầu cho phương
trình elliptic loại Ginzburg-Landau. Bài toán được chỉnh hoá bằng phương pháp
chặt cụt chuỗi Fourier.

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa

Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, T : X → Y là một ánh xạ (có thể tuyến tính
hoặc không tuyến tính). Cho y ∈ Y, xét bài toán tìm x ∈ X sao cho T x = y. Bài toán
được gọi là chỉnh (xem [35], p. 10) nếu thỏa
1. Sự tồn tại nghiệm: Với mỗi y thuộc Y, có ít nhất một x thuộc X sao cho T x = y.
2. Sự duy nhất nghiệm: Với mỗi y thuộc Y, có nhiều nhất một x sao cho T x = y.
3. Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với mọi dãy
( xn ) ⊂ X sao cho T xn → T x thì xn → x.
Bài toán không chỉnh là bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên. Trên
thực tế, dữ liệu y ∈ Y khó có thể biết chính xác được. Do đó ta giả sử rằng có một sai
số δ > 0 đủ bé và yδ ∈ Y sao cho y − yδ Y δ. Mục tiêu đặt ra là từ yδ ∈ Y, ta tìm xδ
tiến về x càng gần càng tốt khi δ → 0. Do đó, ta cần xây dựng một toán tử chỉnh hoá R
cho toán tử T −1 : T ( X ) → Y.
Giả sử T có T −1 : T ( X ) ⊂ Y → X không liên tục, y ∈ T ( X ) là dữ liệu chính xác và
x ∈ X là nghiệm chính xác tương ứng thỏa T x = y. Với yδ ∈ Y là dữ liệu không chính
xác của y, ta tìm một nghiệm "ổn định" xδ ∈ X gọi là nghiệm chỉnh hoá (nghiệm xấp xỉ)

cho bài toán. Cho δ1 > 0 và gọi O là một lân cận của y trong Y. Ta xây dựng một toán
tử liên tục R : O × (0, δ1 ] → X, gọi là toán tử chỉnh hoá sao cho
i. R liên tục trên O × (0, δ1 ].
7


ii. R( Av, δ) → v khi δ → 0+ với mọi Av ∈ O (xem [52], p. 45-46).
Từ i, ii, ta chứng minh tồn tại một hàm α := α(δ), gọi là tham số chỉnh hóa thỏa
lim α(δ) = 0,

δ →0+

R(yδ , α(δ)) − x

lim

δ →0+

X

=0

với mọi yδ ∈ Y thỏa
y − yδ

Y

δ.

Vậy sự chỉnh hóa là sự xây dựng toán tử chỉnh hoá và tìm tham số chỉnh hoá.

1.2

Hàm số Lipschitz toàn cục, địa phương

Cho X, Y là hai không gian Banach.
i. Hàm số f : X → Y được gọi là Lipschitz toàn cục nếu tồn tại ω

|| f ( x ) − f (y)||Y

0 sao cho

ω || x − y|| X ,

với mọi x, y ∈ X.
ii. Hàm số f : X → Y được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mọi M
ω ( M) 0 sao cho

|| f ( x ) − f (y)||Y
với mọi x, y ∈ X thỏa || x || X , ||y|| X

1.3

0, tồn tại

ω ( M )|| x − y|| X ,

M.

Miền có biên Lipschitz

Cho Ω là một miền trong Rn . Gọi ∂Ω là biên của Ω. Ω gọi là có biên Lipschitz (xem
[15], p. 34) nếu với mọi điểm x ∈ ∂Ω, tồn tại r > 0 và một song ánh h x : B( x, r ) → Q
sao cho
1
ii. h x và h−
x là những hàm Lipschitz toàn cục.

iii. h x (∂Ω ∩ B( x, r )) = Q0 .
iv. h x (Ω ∩ B( x, r )) = Q+ ,
8


trong đó
B( x, r ) := {t ∈ Rn : t − x

Rn
n

< r} ,

Q := {(t1 , t2 , ..., tn ) ∈ R : |ti | < 1, i = 1, .., n} ,
Q0 := {(t1 , t2 , ..., tn ) ∈ Q : tn = 0} ,
Q+ := {(t1 , t2 , ..., tn ) ∈ Q : tn > 0} .

1.4

Không gian Holder
¨

Cho Ω là một tập mở trong Rn và 0 < γ

1. Xét hàm số f : Ω → R.

i. Nếu f bị chặn và liên tục, ta viết f ∈ C0 (Ω) và
f

C0 (Ω)

:= sup | f ( x )| .
x ∈Ω

ii. Nửa chuẩn γ- H¨older của f là

[ f ]C0,γ (Ω) := sup

x,y∈Ω,
x =y

| f ( x ) − f (y)|
γ
x − y Rn

.

và chuẩn γ- H¨older của f là
f

C0,γ (Ω)

:= f

C0 (Ω)

+ [ f ]C0,γ (Ω) .

Không gian C k,γ (Ω) là không gian các hàm f ∈ C k (Ω) sao cho
f

C k,γ (Ω)

:=

∑

∂α f

|α| k

C0 (Ω)

+

∑

|α|=k

[∂α f ]C0,γ (Ω) < ∞

(xem [1], p. 10).

1.5

Điểm bất động và nguyên lí ánh xạ co

Cho f là một ánh xạ đi từ một không gian Banach X vào chính nó. Điểm x ∈ X được
gọi là một điểm bất động của f nếu f ( x ) = x.
Định lí 1.5.1 (Nguyên lí ánh xạ co) Cho X là một không gian Banach và f : X → X là
một ánh xạ sao cho f k là một ánh xạ co với một k
1. Nghĩa là tồn tại số q ∈ [0, 1) sao cho
f k ( x ) − f k (y)
q x−y
X
(xem [34], p. 41-44).

X , ∀ x, y

∈ X. Lúc này, f có duy nhất điểm bất động x ∈ X

9


1.6

Biến đổi Fourier

Cho hàm f ∈ L1 (Rn ). Hàm f được định nghĩa bởi
f (t) =

√

1

f ( x )e−it.x dx

n

2π

( t ∈ Rn )

Rn

gọi là biến đổi Fourier của f . Ta cũng định nghĩa hàm
f (t) =

√

1
2π

f ( x )eit.x dx

n

( t ∈ Rn )

Rn

là biến đổi Fourier ngược của f (xem [19], p. 183).

Định lí (Plancherel) Giả sử f ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ). Ta có f , f ∈ L2 (Rn ) và
f

L2 (Rn )

= f

L2 (Rn )

= f

L2 (Rn )

(xem [19], p. 183).

1.7

Một số bất đẳng thức thường dùng

Định lí 1.7.1 (Bất đẳng thức Gronwall dạng 1) Cho g là một hàm khả tích, không âm trên
[0, T ] đồng thời thỏa bất đẳng thức sau
t

g(t)

g(s)ds + B

A
0

h.k.n trên [0, T ], trong đó A, B là các hằng số không âm. Khi đó, ta có
g(t)

B 1 + Ate At

h.k.n trên [0, T ] (xem [19], p. 625).
Định lí 1.7.2 (Bất đẳng thức Gronwall dạng 2) Cho g là một hàm khả tích, không âm trên
[0, T ] đồng thời thỏa bất đẳng thức sau
T

g(t)

g(s)ds + B

A
t

10


h.k.n trên [0, T ], trong đó A, B là các hằng số không âm. Khi đó, ta có
g(t)

Be A(T −t)

h.k.n trên [0, T ].
Định lí 1.7.3 (Bất đẳng thức Holder)
Cho f , g đo được trên một tập đo được Ω và hai số p,
¨
1 1

q thỏa 1 < p, q < ∞ và + = 1. Nếu f ∈ L p (Ω), g ∈ Lq (Ω) thì
p q

| f ( x ) g( x )|dx



1 



| f ( x )| p dx  

Ω

1.8

1

p

q

| g( x )|q dx  .

Ω

Ω

Toán tử liên hợp

Cho X là một không gian vectơ trên R. Ta gọi một dạng tuyến tính là một ánh xạ tuyến
tính xác định trên X hoặc trên một không gian vectơ con của X, với giá trị trong R. Giả
sử X là một không gian định chuẩn. Ta kí hiệu X là đối ngẫu của X tức là không gian
các dạng tuyến tính và liên tục trên X. X có chuẩn đối ngẫu
f

X

=

| f ( x )| .

sup
x ∈ X, x

1

Khi f ∈ X và x ∈ X, ta kí hiệu f , x thay vì f ( x ) (xem [12], p. 1-3).
Cho X, Y là các không gian Banach. Một toán tử tuyến tính không bị chặn A : D ( A) ⊂
X → Y là một ánh xạ tuyến tính xác định trên không gian vectơ con D ( A) của X. D ( A)
gọi là miền xác định của A. Giả sử A có D ( A) trù mật, ta định nghĩa toán tử liên hợp
của A như sau. Phần tử y ∈ Y gọi là thuộc về D ( A∗ ) nếu tồn tại z ∈ X sao cho
Ax, y = x, z , ∀ x ∈ D ( A).
Khi đó ta kí hiệu z = A∗ y và gọi A∗ : D ( A∗ ) ⊂ Y → X là toán tử liên hợp của A. Ta
có hệ thức cơ bản sau đây giữa A và A∗ .
Au, v = u, A∗ v
với mọi u ∈ D ( A), v ∈ D ( A∗ ). Nếu X = Y, D ( A) = D ( A∗ ), A = A∗ thì ta nói A tự liên
hợp.
11

1.9

Toán tử compact và phổ của toán tử compact

Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và A : X → Y là một toán tử tuyến tính, bị
chặn. Ta nói toán tử A là compact nếu nó biến mọi tập bị chặn S trong X thành một tập
tương đối compact A(S) trong Y. Xét A : X → X là một toán tử tuyến tính. Phổ σ( A)
được định nghĩa là tập hợp các số thực (phức) λ sao cho toán tử A − λI không có toán
tử nghịch đảo bị chặn trên X. Ở đây, I là toán tử đồng nhất. Số λ ∈ σ( A) được gọi là
giá trị riêng của A nếu A − λI không là song ánh. Nếu λ là một giá trị riêng thì nghiệm
x không tầm thường của phương trình Ax − λx = 0 gọi là vectơ riêng của A (xem [35],
p. 239).
Định lí 1.9.1 Cho X là một không gian Hilbert và A : X → X là một toán tử compact, tự liên
hợp. Lúc này ta có phổ của A bao gồm các giá trị riêng và có thể bằng 0. Mọi giá trị riêng của
A đều là số thực. A có tối thiểu một nhưng nhiều nhất một họ đếm được các giá trị riêng với 0
là điểm tụ duy nhất có thể. Giả sử các giá trị riêng được sắp xếp như sau

| λ1 |

| λ2 |

| λ3 |

... > 0

và kí hiệu Pj : X → N ( A − λ j I ) = { x ∈ X : Ax = λ j x } là phép chiếu trực giao lên không
gian các vectơ riêng ứng với λ j . Nếu A chỉ tồn tại một số hữu hạn λ1 , ..., λm các giá trị riêng
thì

m

A=

∑ λ j Pj .

j =1

Nếu A tồn tại một dãy vô hạn (λ j ) các giá trị riêng thì
+∞

A=

∑ λ j Pj ,

j =1

trong đó chuỗi trên hội tụ theo chuẩn toán tử. Hơn nữa,
m

A − ∑ λ j Pj = |λm+1 |
j =1

(xem [35], p. 239-240).

1.10

Bài toán nửa tuyến tính

Cho X = C0 (Ω) = ψ ∈ C (Ω), ψ|∂Ω = 0 và f : X → X là hàm thỏa

12


i. f (0) = 0.
ii. Với mọi M

0, tồn tại ω ( M)

0 sao cho

|| f (u) − f (v)|| X
với mọi u, v ∈ X thỏa ||u|| X , ||v|| X

ω ( M)||u − v|| X ,

M.

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn và có biên liên tục Lipschitz. Xét bài toán tìm
T > 0 hàm u thỏa


u ∈ C ([0, T ], X ) ∩ C (0, T ], H01 (Ω) ∩ C1 (0, T ], L2 (Ω) ,





∆u ∈ C (0, T ], L2 (Ω) ,




ut − ∆u = f (u), x ∈ Ω, t ∈ (0, T ),



u(0) = u0 , x ∈ Ω.
Định lí 1.10.1 Với mọi u0 ∈ X, tồn tại T (u0 ) > 0 để bài toán trên có nghiệm duy nhất với
mọi T ∈ (0, T (u0 )). Hơn nữa, nếu T (u0 ) < ∞ thì lim
u(., t) X = ∞ (xem [53], p.
t→T (u0 )

62-64).

1.11

Toán tử parabolic - Nguyên lí cực đại

Cho Ω là một miền trong Rn+1 . Với mỗi t0 cho trước, ta định nghĩa tập ω (t0 ) là tập hợp
các điểm ( x, t0 ) ∈ Ω và I (Ω) là tập hợp các điểm t sao cho ω (t) khác rỗng. Giả sử P là
một toán tử xác định trên C2,1 (Ω) được cho bởi
Pu = −ut + aij ( X, u, Du) Dij u + a( X, u, Du),
∂u
∂2 u
và Dij u =
.
∂xi
∂xi ∂x j
Ta nói toán tử P là parabolic trên một tập con S của Ω × R × Rn nếu các hệ số của ma
trận [ aij ( X, z, p)] xác định dương với mọi ( X, z, p) ∈ S và ta dùng λ, Λ để kí hiệu giá trị
riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trận ( aij ). Do đó

trong đó X = ( x1 , ...xn , t) ∈ Ω, Du = ( D1 u, ..., Dn u) với Di u =

λ( X, z, p)|ξ |2

aij ( X, z, p)ξ i ξ j

Λ( X, z, p)|ξ |2

với mọi ξ ∈ Rn , và P parabolic trên S nếu λ > 0. Nếu
S = {( X, z, p) : z = u( X ), p = Du( X )}
với u ∈ C1 thì ta nói P parabolic tại u (xem [38], p. 198).
13


Định lí 1.11.1 Cho u ∈ C2,1 (Ω) ∩ C (Ω) và P là một toán tử parabolic tại u trên Ω. Giả sử
rằng có hằng số k và b1 sao cho
za( X, z, 0)
Nếu Pu

kz2 + b1 .

0 trên Ω và nếu I (Ω) = (0, T ) thì
sup u

e ( k +1) T

Ω

1

sup u+ +b12
PΩ

,

trong đó P Ω là tập hợp những điểm x0 ∈ ∂Ω sao cho với mọi ε > 0, { x ∈ Rn+1 : | x − x0 | <
ε, t < t0 } chứa những điểm không nằm trong Ω. Tập hợp này còn được gọi là biên parabolic
(xem [38], p. 214).

1.12

Toán tử elliptic - Nguyên lí cực đại

Cho
Qu = aij ( x, u, Du) Dij u + b( x, u, Du),

aij = a ji ,

trong đó x = ( x1 , ..., xn ) nằm trong miền Ω của Rn với n 2 và u ∈ C2 (Ω). Các hệ số
của Q, các hàm aij ( x, z, p), i, j = 1, ..., n, b( x, z, p) là các hàm xác định trên Ω × R × Rn .
Q được gọi là elliptic trên một tập con U của Ω × R × Rn nếu các hệ số của ma trận
[ aij ( x, z, p)] xác định dương với mọi ( x, z, p) ∈ U. Lúc này, ta chỉ nói đơn giản là Q
elliptic trên Ω (xem [25], p. 259).
Định lí 1.12.1 Cho Q là một toán tử elliptic trên miền Ω của Rn (n
hằng số µ1 , µ2 không âm sao cho
b( x, z, p)sign(z)
det[ aij ( x, z, p)]

2). Giả sử rằng có hai

µ1 | p| + µ2 , ∀( x, z, p) ∈ Ω × R × Rn .

Lúc này, nếu u ∈ C (Ω) ∩ C2 (Ω) thỏa Qu
sup |u|
Ω

0 trên Ω thì ta có
sup |u| + Cµ2 ,
∂Ω

trong đó C = C (µ1 , diam(Ω)) (xem [25], p. 265).

14


Chương 2
Bài toán ngược thời gian cho phương
trình loại Ginzburg - Landau trên miền
bị chặn
Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên liên tục Lipschitz. Giả sử a ∈ R, b ∈ R+
là hai tham số tuỳ ý và h ∈ L∞ (Ω × [0, T ]) là một hàm cho trước. Ta xét bài toán sau
đây

3

 ut = ∆u + au − bu + h( x, t),
u|∂Ω = 0, t ∈ (0, T ) ,


u( x, T ) = g( x ), x ∈ Ω,

x ∈ Ω,

t ∈ (0, T ) ,

(2.1)
(2.2)
(2.3)

trong đó g là hàm được cho. Bài toán trên là một bài parabolic ngược cho phương trình
loại Ginzburg - Landau. Đây là một trường hợp cụ thể của bài toán parabolic ngược
đối với lớp hàm Lipschitz địa phương. Do đó, để chỉnh hoá bài toán trên, ta cần khảo
sát một bài toán tổng quát cho lớp hàm Lipschitz địa phương.

2.1

Bài toán cho lớp hàm Lipschitz địa phương

Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn . Ta xét A : D ( A) → L2 (Ω) là một toán tử tự liên
hợp xác định trên một không gian con trù mật D ( A) của L2 (Ω). Giả sử rằng Au, u
0, ∀u ∈ D ( A) và A có một cơ sở trực chuẩn các hàm riêng { ϕn } trong L2 (Ω) ứng với
các trị riêng {λn } sao cho Aϕn = λn ϕn . Ta giả sử
0 > λ1 > λ2 > λ3 > ... > lim λn = −∞.
n→+∞

15


Xét bài toán tìm hàm u ∈ C ([0, T ] ; L2 (Ω)) ∩ C1 (0, T ] ; L2 (Ω) sao cho
ut = Au + f ( x, t, u( x, t)), x ∈ Ω, 0 < t < T,

(2.4)

u( T ) = g,

(2.5)

trong đó g là một hàm cho trước trong L2 (Ω) và hàm f := f ( x, t, z) là một hàm Lipschitz địa phương theo biến z thỏa f (., ., 0) ∈ L2 (0, T; L2 (Ω)). Như vậy, với mọi > 0,
tồn tại ω ( ) 0 sao cho
ω ( )|u − v|, ∀( x, t) ∈ Ω × [0, T ], ∀|u|, |v|

| f ( x, t, u) − f ( x, t, v)|

.

Xét
K ( ) := sup

f ( x, t, u) − f ( x, t, v)
: |u| , |v|
u−v

, u = v, ( x, t) ∈ Rn × [0, T ] .

Suy ra
K ( )|u − v|, ∀( x, t) ∈ Ω × [0, T ], ∀|u|, |v|

| f ( x, t, u) − f ( x, t, v)|

.

Ở đây, K là một hàm không giảm theo .
Lấy tích vô hướng trong L2 (Ω) với ϕn ở hai vế của (2.4), ta được
ut , ϕn

L2 ( Ω )

= Au, ϕn

L2 ( Ω )

+ f (., t, u), ϕn

L2 ( Ω ) .

Vì A tự liên hợp và Aϕn = λn ϕn nên ta suy ra
d
u, ϕn
dt

L2 ( Ω )

= λn u, ϕn

u, ϕn

L2 ( Ω )

L2 ( Ω )

+ f (., t, u), ϕn

L2 ( Ω ) .

Đặt
un (t) =

=

u( x, t) ϕn ( x )dx,
Ω

f n (u)(t) =

f (., t, u(., t)), ϕn

L2 ( Ω )

=

f ( x, t, u( x, t)) ϕn ( x )dx.
Ω

Suy ra phương trình vi phân sau
d
un (t) = λn un (t) + f n (u)(t).
dt
Giải phương trình vi phân này với un ( T ) = g, ϕn

L2 ( Ω )

= gn , ta được

T

un (t) = e

(t− T )λn

e(t−s)λn f n (u)(s)ds.

gn −
t

16


Ta có

+∞

u( x, t) =

∑ u n ( t ) ϕ n ( x ).

n =1

Giả sử Bài toán (2.4)-(2.5) có nghiệm yếu thì nghiệm yếu của Bài toán (2.4)-(2.5) thỏa
phương trình tích phân sau



T

+∞

u( x, t) =

∑ e

(t− T )λn

e(t−s)λn f n (u)(s)ds ϕn ( x ),

gn −

n =1

(2.6)

t

trong đó
gn =

g, ϕn

L2 ( Ω )

=

g( x ) ϕn ( x )dx
Ω

f n (u)(s) =

f (., s, u(., s)), ϕn

L2 ( Ω )

=

f ( x, s, u( x, s)) ϕn ( x )dx.
Ω

Ngược lại, nếu giả sử (2.6) có nghiệm với mọi t ∈ [0, T ] và u(., 0) ∈ L2 (Ω), ta có


T

+∞

u( x, 0) =

∑ e

− Tλn

e−sλn f n (u)(s)ds ϕn ( x ).

gn −

n =1

0

+∞

Vì u(., 0) ∈ L2 (Ω) nên u( x, 0) =

∑ un (0) ϕn (x), trong đó

n =1

u n (0) =

u( x, 0) ϕn ( x )dx.
Ω

Suy ra
T

un (0) = e−Tλn gn −

e−sλn f n (u)(s)ds.
0

Từ đó, ta được
t

un (0) = e−Tλn gn −

T

e−sλn f n (u)(s)ds −

e−sλn f n (u)(s)ds,
t

0

và vì vậy,
t

u n (0) e

tλn

−

T

e
0

(t−s)λn

f n (u)(s)ds = e

(t− T )λn

e(t−s)λn f n (u)(s)ds.

gn −
t

17


Suy ra
+∞





t

∑ un (0)etλn −

n =1

+∞

=

e(t−s)λn f n (u)(s)ds ϕn ( x )
0





T

∑  e ( t − T ) λ n gn −

n =1

e(t−s)λn f n (u)(s)ds ϕn ( x ).
t

Để chứng minh sự hội tụ cho chuỗi trong (2.6), ta khảo sát sự hội tụ của chuỗi chứa
un (0) và ta cần các đánh giá sau
i.

|un (0)|

|u( x, 0) ϕn ( x )|dx

u(., 0)

L2 ( Ω ) .

Ω

ii.

| f n (u)(s)|

| f ( x, s, u( x, s)) ϕn ( x )|dx

Ω

f (., s, u(., s))
sup

L2 ( Ω )

f (., z, u(., z))

0 z T

L2 ( Ω ) .

iii.
t

t

e

(t−s)λn

e(t−s)λn | f n (u)(s)| ds

f n (u)(s)ds

0

0
t

sup

f (., z, u(., z))

0 z T

=

1 − etλn

(−λn )

e(t−s)λn ds

L2 ( Ω )
0

sup

f (., z, u(., z))

0 z T

L2 ( Ω )

Để thu được các đánh giá trên, ta cần thêm giả thiết là f ∈ C ([0, T ]; L2 (Ω)) và giả sử
| ϕn ( x )|
L, ∀n (Điều này hợp lí vì trong trường hợp toán tử ∆, các hàm riêng là các
hàm lượng giác sin hoặc cos). Như vậy, từ các đánh giá trên, ta suy ra



t

e(t−s)λn f n (u)(s)ds ϕn ( x )

un (0)etλn −
0

18