Về tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ TRUNG HIẾU

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ TRUNG HIẾU

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu
Mã số chuyên ngành: 62 46 2001
Phản biện 1: GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát
Phản biện 2: GS.TSKH. Đỗ Công Khanh
Phản biện 3: TS. Nguyễn Đình Tuấn
Phản biện độc lập 1: GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát
Phản biện độc lập 2: TS. Tạ Quang Sơn

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS.TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
2. PGS.TS. NGUYỄN NGỌC HẢI

Tp. Hồ Chí Minh, 2015

1


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được
thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh,
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Phạm Hữu Anh Ngọc và PGS.TS. Nguyễn
Ngọc Hải, Trường Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí
Minh. Các kết quả trong Luận án viết chung với Thầy hướng dẫn đều đã
được sự nhất trí của Thầy khi đưa vào Luận án. Các kết quả chính nêu
trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai khác công bố trong
bất kỳ công trình nào.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015
Tác giả
Lê Trung Hiếu

2


LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Phạm Hữu
Anh Ngọc. Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc nhất đến người Thầy của
mình. Trong một thời gian dài, Thầy đã từng bước dẫn dắt tác giả tiếp
cận và thực hiện nghiên cứu các vấn đề được trình bày trong Luận án
này. Thầy không những hướng dẫn cho tác giả tích lũy kiến thức, kinh
nghiệm trong nghiên cứu khoa học mà còn truyền cảm hứng và động
viên khích lệ tác giả vượt qua những khó khăn trong chuyên môn và

trong cuộc sống. Làm việc với Thầy, tác giả còn học được một tinh thần
trách nhiệm trong công việc, niềm say mê nghiên cứu và một phong
cách làm việc khoa học, trung thực và nghiêm túc. Tác giả cũng xin bày
tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS. Nguyễn Ngọc Hải, người Thầy
hướng dẫn thứ hai của tác giả, đã giúp đỡ và luôn luôn động viên tác giả
trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin được nói lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Đại học
Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán-Tin học, Bộ môn Tối ưu và Hệ
thống đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành Luận án. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH. Phan Quốc Khánh (Trưởng Bộ
môn Tối ưu và Hệ thống), PGS.TSKH. Nguyễn Định, những người Thầy
đã giảng dạy cho tác giả những kiến thức chuyên ngành bổ ích và tạo
điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành Luận án. Tác giả cũng xin gửi
lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH. Đỗ Công Khanh và PGS.TSKH. Vũ
Hoàng Linh đã dành nhiều thời gian đọc bản thảo Luận án khi bảo vệ
cấp đơn vị chuyên môn và đã có những ý kiến bổ ích giúp tác giả cập
nhật và cải thiện chất lượng Luận án. Xin gửi lời cám ơn chân thành
đến GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát, TS. Tạ Quang Sơn đã dành nhiều thời
gian đọc phản biện độc lập cho Luận án này và cho nhiều lời khen ngợi
động viên tác giả. Xin chân thành cám ơn GS.TSKH. Nguyễn Khoa Sơn,
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát, GS.TS. Đặng Đức Trọng, PGS.TS. Nguyễn Đình
3


Phư, PGS.TS. Nguyễn Đình Huy, PGS.TS. Trần Thị Huệ Nương đã có
những lời khuyên, góp ý cho tác giả trong các lần báo cáo học thuật
hoặc tại các hội nghị khoa học. Xin cám ơn Cô Trần Thị Phượng Giang
(Phòng Đào tạo Sau đại học) đã luôn nhiệt tình giúp đỡ tác giả về các

thủ tục học tập và bảo vệ trong suốt khóa học.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Đồng
Tháp, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán-Tin đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi nhất cho tác giả tập trung học tập, nghiên cứu và hoàn thành
Luận án của mình. Đặc biệt, tác giả xin cám ơn các thành viên của Bộ
môn Giải tích-Toán ứng dụng đã luôn giúp đỡ động viên, đảm nhận thay
nhiều việc, giúp tác giả an tâm học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận
án của mình. Qua đây, tác giả cũng xin gửi lời cám ơn đến TS. Trần Giang
Nam (Viện Toán học, cựu giảng viên trẻ của Khoa Sư phạm Toán-Tin),
đã giới thiệu cho tác giả có cơ hội làm việc với các Thầy hướng dẫn hiện
nay của mình, để tác giả có cơ hội nghiên cứu khoa học và cháy bỏng
đam mê trong lĩnh vực Toán học.
Xin cám ơn các thành viên nhóm nghiên cứu Lý thuyết điều khiển
của PGS.TS. Phạm Hữu Anh Ngọc, các anh chị nghiên cứu sinh của Khoa
Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, đặc biệt là NCS Cao
Thanh Tình (cũng là người anh đồng môn thân thiết nhất), TS. Trần
Hồng Mơ, TS. Phan Tự Vượng, NCS Lê Thanh Quang đã trực tiếp giúp
đỡ và động viên tác giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân
trong gia đình của mình, đặc biệt là người Mẹ già kính yêu và người Vợ
hiền đã luôn luôn ở bên cạnh tôi, động viên, chia sẻ mọi khó khăn cùng
tôi trong thời gian qua. Đó chính là nguồn động lực lớn nhất giúp tôi có
đủ ý chí để vượt qua mọi khó khăn, tập trung tối đa cho việc nghiên cứu
và hoàn thành tốt Luận án của mình.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015
Tác giả
Lê Trung Hiếu
4

MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA .............................................................................

1

LỜI CAM ĐOAN ..............................................................................

2

LỜI CẢM ƠN ...................................................................................

3

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU ........................................

7

MỞ ĐẦU ..........................................................................................

9

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số kí hiệu và qui ước . . . . . . . . . . . .
1.2. Chuẩn của véctơ và chuẩn của ma trận . . . .
1.3. Định lý Perron-Frobenius . . . . . . . . . . . . .
1.4. Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ
CHƯƠNG 2. ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
THƯỜNG
2.1. Ổn định của các hệ phi tuyến . . . . . . . . . .
2.2. Phỏng đoán loại Aizerman . . . . . . . . . . . .

2.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

SAI PHÂN
23
. . . . . . 23
. . . . . . 36
. . . . . . 38

CHƯƠNG 3. ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
CÓ CHẬM
3.1. Điều kiện ổn định mũ tường minh cho các hệ phụ thuộc
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Ổn định mũ của các hệ chịu nhiễu . . . . . . . . . . . . .
3.3. Thảo luận về các kết quả thu được . . . . . . . . . . . . .
3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHƯƠNG 4. ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
VOLTERRA
4.1. Sơ lược về các bài toán ổn định của các hệ phương trình
sai phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra phi
tuyến với chậm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân Volterra phi
tuyến với chậm vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

16
16
17

19
22

40
42
52
60
64

65
65
67
75
90


4.5. Áp dụng kết quả thu được vào mô hình các mạng nơ ron
nhân tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .............................................................. 112
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP
ĐẾN LUẬN ÁN ........................................................................... 115
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................... 117

6


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
Ký hiệu

Ý nghĩa

AS

Asymptotically stable: ổn định tiệm cận

ES

Exponentially stable: ổn định mũ

GES

Globally exponentially stable: ổn định mũ toàn cục

UAS

Uniformly asymptotically stable: ổn định tiệm cận đều

Z

Vành các số nguyên

Z+

Tập hợp các số nguyên không âm

Z[k1 ,k2 ]

Tập hợp các số nguyên thuộc đoạn [k1 , k2 ], k1 , k2 ∈ Z

n

n := {1, 2, ..., n} = Z[1,n] , với n ∈ Z+

n0

n0 := {0, 1, 2, ..., n} = Z[0,n] , với n ∈ Z+

R

Trường các số thực

R+

Tập hợp các số thực không âm

Rm

Không gian véctơ thực m-chiều

Rl×q

Vành các ma trận thực, cỡ l × q

C

Trường các số phức

K

K = R hoặc K = C

JF (x)

Ma trận Jacobi của hàm F tại x

det(M )

Định thức của ma trận vuông M

M −1

Nghịch đảo của ma trận vuông M

|x|

|x| := (|x1 |, |x2 |, ..., |xm |), x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm

|M |

|M | := (|mij |) với M = (mij ) ∈ Rl×q

x

Chuẩn của vectơ x

M

Chuẩn của ma trận M

Im

Ma trận đơn vị cấp m

0

Số không/ vectơ không/ ma trận không

7


x≥y

xi ≥ yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm
và y = (y1 , y2 , ..., ym )T ∈ Rm

x

y

xi > yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm
và y = (y1 , y2 , ..., ym )T ∈ Rm

A≥B

aij ≥ bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q và
B = (bij ) ∈ Rl×q

A

B

aij > bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q và
B = (bij ) ∈ Rl×q

σ(M )

σ(M ) = {λ ∈ C : det(λIm − M ) = 0}, phổ của ma
trận vuông M

ρ(M )

ρ(M ) = max{|λ| : λ ∈ σ(M )}, bán kính phổ của ma
trận vuông M

lγ (Km×m )

lγ (Km×m ) := (C(n))n ⊂ Km×m :

+∞
n=0

C(n) γ n

+∞
n=0

C(n)

< +∞ , với γ ≥ 1 cho trước

l1 (Km×m )

l1 (Km×m ) := (C(n))n ⊂ Km×m :
< +∞ .

8


Mở đầu

MỞ ĐẦU

Lý thuyết ổn định của các hệ động lực có lịch sử hơn 100 năm và được
bắt đầu kể từ khi nhà Toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov (18571918) xuất bản những công trình tiên phong của mình: “On the stability
of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid” (năm 1884, tiếng
Nga) và “General problem of the stability of motion” (năm 1892, tiếng
Nga). Đến nay lý thuyết ổn định của các hệ động lực đã có những bước
phát triển và đạt nhiều thành tựu vượt bậc.
Do sự giao thoa giữa các ngành Tối ưu và Điều khiển ngày càng lớn,
các mối quan hệ, sự kết hợp giữa các bài toán tối ưu và các bài toán
điều khiển ngày càng trở nên rõ ràng hơn, tinh tế hơn (xem [BLO01a],
[BLO01b], [Lew03], [Lew07], [RG96], [Sha15], [XLW02]). Một số bài
toán ổn định, ổn định vững, điều khiển các hệ động lực thực chất là các
bài toán tối ưu toàn cục: chẳng hạn như các bài toán tính bán kính ổn
định hoặc bán kính điều khiển được của các hệ tuyến tính với hệ số hằng
chịu nhiễu cộng tính (xem [HP96], [HS91], [NNS06], [WH94], [Ei84]).
Một vài lớp các bài toán ổn định hóa, bài toán điều khiển của các hệ
động lực được quy về việc giải các bài toán tối ưu, các bài toán quy
hoạch tuyến tính nào đó (xem [LWYZ08], [RG96], [RHT07], [RT06],
[RTB07], [VVMV08]). Đặc biệt, vấn đề ổn định nghiệm của các hệ động

lực là một phần tất yếu trong một số bài toán điều khiển tối ưu, chẳng
hạn như các “bài toán điều khiển tối ưu loại H2 /H∞ ”1 của các hệ động lực
(xem [CC93], [HB90], [HBM91], [MP05], [MZH12], [ZDG96]). Chính
vì vậy, việc giải các bài toán ổn định nghiệm của các hệ động lực là bước
đầu tiên và bắt buộc trong một số bài toán điều khiển tối ưu.
Như một tác động ngược, một số kết quả, phương pháp từ lý thuyết
1

H2 /H∞ control problem.

9


Mở đầu

tối ưu ngày nay được dùng khá thường xuyên để giải nhiều lớp các bài
toán ổn định, các bài toán điều khiển các hệ động lực (xem [BHL06],
[BLO02], [BLO03], [Lew07], [Pa06], [RG96]), [VVMV08]). Ranh giới
giữa các ngành Tối ưu và Điều khiển ngày càng bị xóa nhòa.
Đồng hành với những thành tựu, sự phát triển của lý thuyết tối ưu
và lý thuyết điều khiển, lý thuyết ổn định của các hệ động lực nói chung
và của các hệ phương trình sai phân nói riêng cũng đã phát triển không
ngừng. Phương trình sai phân là kết quả tự nhiên thu được từ việc rời rạc
hóa các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. Lý thuyết
phương trình sai phân và lý thuyết phương trình vi phân do vậy có mối
liên quan rất chặt chẽ với nhau. Các phương pháp số nhằm tính toán
gần đúng các nghiệm của phương trình vi phân hoặc nghiên cứu các
tính chất nghiệm của chúng dẫn đến việc nghiên cứu nghiệm của các
phương trình sai phân.
Phương trình sai phân xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học khác

nhau như: Sinh học, Khoa học máy tính, Lý thuyết điều khiển, Vật lý,
Kinh tế học, ... (xem [E05], [Go58], [HCH10], [HP05], [KP01], [Lu79],
[WZFL13], [WSSC12], [YZF10]). Trong những thập niên gần đây, lý
thuyết phương trình sai phân đã có những phát triển vượt bật và là đối
tượng nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong nhiều lĩnh vực khác
nhau. Được thúc đẩy bởi nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học
và kĩ thuật, các bài toán ổn định và ổn định vững của phương trình sai
phân đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên
thế giới. Lý thuyết tổng quan về ổn định của các phương trình sai phân
tuyến tính và một số lớp phương trình sai phân phi tuyến (đặc biệt là các
hệ dừng) đã được trình bày tương đối đầy đủ trong một số sách chuyên
khảo như là [E05], [Gi07], [Go58], [HCH10], [HP05], [KP01], [Lu79],
[Sha11], ... Tuy nhiên, nhiều bài toán ổn định của các hệ phương trình

10


Mở đầu

sai phân phụ thuộc thời gian, đặc biệt là lớp các hệ phi tuyến phụ thuộc
thời gian vẫn còn là những bài toán mở cần được nghiên cứu sâu và hệ
thống hơn.
Cách tiếp cận truyền thống để nghiên cứu các bài toán ổn định của
các hệ phương trình sai phân là phương pháp hàm Lyapunov và các biến
dạng của nó như hàm Lyapunov-Krasovskii, hàm Lyapunov-Razumikhin
(xem [CKRV98], [E05], [KCT03], [Sha11], [WZFL13], [YZF10]). Suốt
hơn 100 năm qua, các hàm Lyapunov được sử dụng rộng rãi và được
xem là công cụ chính trong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các
phương trình vi phân, phương trình sai phân nói riêng và các hệ động
lực nói chung. Tuy nhiên, đối với các lớp hệ phụ thuộc thời gian, đặc biệt

là các hệ phi tuyến, rất khó để xây dựng được các hàm Lyapunov. Hơn
thế nữa, các kết quả thu được từ phương pháp hàm Lyapunov thường
được cho dưới dạng các bất đẳng thức ma trận phức tạp và khó sử dụng
(xem [BGFB94], [KLHLFL05], [WZFL13], [WSSC12], [YZF10]).
Ngoài việc sử dụng hàm Lyapunov, trong quá khứ đã xuất hiện nhiều
cách tiếp cận khác đối với các bài toán ổn định của phương trình sai
phân như: Đa thức đặc trưng, các nguyên lý ánh xạ co và các định lý
điểm bất động, các dạng bất đẳng thức Halanay rời rạc, các định lý
kiểu Bohl-Perron, phép biến đổi phức (Z-transform), phương pháp tôpô,
so sánh nghiệm, định lý Paley-Wiener dạng rời rạc, các định lý kiểu
Razumikhin, ... (xem [Aga08], [BrKa12], [Che11], [E05], [Hien14],
[KCT03], [LM07], [Liz11], [SB04], [UN09]). Tuy nhiên, mỗi phương
pháp tiếp cận nói trên đều có những hạn chế nhất định và thường chỉ
phù hợp với một số lớp phương trình cụ thể.
Khác với các bài toán ổn định của các phương trình sai phân dừng,
các bài toán ổn định của các phương trình sai phân phụ thuộc thời
gian nói chung thường khó và phức tạp ngay cả đối với loại phương

11


Mở đầu

trình tuyến tính phụ thuộc thời gian dạng đơn giản nhất: x(n + 1) =
A(n)x(n), x(n) ∈ Rm , n ∈ Z+ . Như đã nói ở trên, mỗi cách tiếp cận đã
đề cập đều có những hạn chế nhất định, các điều kiện ổn định thu được
cho các phương trình sai phân phụ thuộc thời gian thường được cho bởi
các điều kiện phức tạp và khó sử dụng. Các điều kiện ổn định tường
minh, dễ sử dụng không có nhiều và việc tìm ra những điều kiện ổn
định như thế đòi hỏi phải có những ý tưởng mới và sự đột phá về mặt

kĩ thuật. Chính vì vậy, việc phát triển các kĩ thuật mới để tìm ra các điều
kiện đủ, điều kiện cần và đủ đơn giản cho tính ổn định của các lớp hệ
phương trình sai phân phụ thuộc thời gian, đặc biệt là lớp các phương
trình phi tuyến phụ thuộc thời gian tổng quát là nhu cầu cấp thiết và có
ý nghĩa khoa học cao. Đây là một đề tài khó và thời sự, nó đòi hỏi người
nghiên cứu phải làm việc nghiêm túc và nổ lực trong công việc suốt một
thời gian dài. Đây cũng là lí do chính thúc đẩy tôi chọn đề tài “Về tính ổn
định của một số lớp phương trình sai phân” để nghiên cứu và viết luận
án Tiến sĩ cho mình.
Mục tiêu chính của Luận án này là:
- Trình bày một tiếp cận mới đối với các bài toán ổn định của các hệ
phương trình sai phân phụ thuộc thời gian.
- Nghiên cứu các điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ mới cho tính ổn
định mũ của các lớp hệ sau: Hệ phương trình sai phân thường phi
tuyến phụ thuộc thời gian, hệ phương trình sai phân có chậm, hệ
phương trình sai phân Volterra với chậm hữu hạn hoặc vô hạn.
- Tìm các biên ổn định cho các loại hệ phương trình sai phân nói trên
chịu nhiễu phụ thuộc thời gian (tuyến tính hoặc phi tuyến).
- Ứng dụng các kết quả đạt được vào mô hình các mạng nơ ron
nhân tạo.
12


Mở đầu

Bố cục của Luận án được trình bày như sau: Mục lục, danh mục chữ
viết tắt và kí hiệu, mở đầu, nội dung chính của Luận án (gồm 4 chương),
kết luận, tài liệu tham khảo, danh mục các công trình đã công bố của
tác giả liên quan đến Luận án.
Nội dung chính của Luận án gồm 4 chương:

- Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
- Chương 2. Ổn định của các hệ phương trình sai phân thường.
- Chương 3. Ổn định của các hệ phương trình sai phân có chậm.
- Chương 4. Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra.
Chương 1 được dành để trình bày một số kiến thức cơ sở được sử
dụng trong các chương sau. Chương 2 nghiên cứu bài toán ổn định mũ
của các hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian chịu
nhiễu. Kết quả chính của chương này là Định lý 2.1.7, cho biên ổn định
của các hệ ổn định chịu nhiễu phi tuyến. Kết quả của Định lý 2.1.7 mở
rộng một số kết quả cổ điển trong [HP05], [SCK97], [HS98] ra cho lớp
nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian. Xa hơn thế, nó cho câu trả lời cho
một Phỏng đoán loại Aizerman đối với các hệ phương trình sai phân.
Chương 3 trình bày một số tiêu chuẩn ổn định mũ tường minh cho
các hệ phương trình sai phân có chậm (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ
thuộc thời gian (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.6). Các kết quả
thu được trong chương này là mới ngay cả khi chúng được đặc biệt hóa
cho các hệ tuyến tính (Định lý 3.1.6). Ngoài ra các Định lý 3.2.1, Định
lý 3.2.4 cung cấp các kết quả mới về biên ổn định của các hệ chịu nhiễu.
Các bình luận sâu hơn và chi tiết hơn về các kết quả của chương này
được trình bày trong các mục Nhận xét và trong phần thảo luận về các
kết quả thu được (Mục 3.3).
13


Mở đầu

Chương 4 trình bày một số tiêu chuẩn ổn định mũ của các hệ phương
trình sai phân Volterra (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian
với chậm hữu hạn và cả chậm vô hạn. Các kết quả của chương này là
nguyên bản (original) và lần đầu tiên được công bố trong thời gian gần

đây (Định lý 4.3.2, Định lý 4.3.5, Định lý 4.3.8, Định lý 4.4.2, Định lý
4.4.4). Đặc biệt, Định lý 4.4.2 trả lời cho một câu hỏi mở được đặt ra
gần đây bởi E. Braverman và I.M. Karabash (2012, [BrKa12]):
Tìm các điều kiện tường minh cho tính ổn định mũ của các hệ phương
trình sai phân Volterra với chậm không bị chặn hoặc chậm vô hạn 2 .
Hơn thế nữa, các kết quả thu được có thể áp dụng vào việc nghiên
cứu các bài toán ổn định của các điểm cân bằng của các mạng nơ ron
nhân tạo (xem [NH15a], [NH15b]).
Luận án được viết dựa trên 6 bài báo khoa học [Hieu14], [NH12],
[NH13], [NH14], [NH15a], [NH15b], 5 trong số các bài báo này đã
được xuất bản trên các tạp chí Toán học Quốc tế có uy tín như: International Journal of Control, Mathematische Nachrichten, Bulletin of the
Polish Academy of Sciences, Mathematics, ... Với những ý tưởng mới và
một tiếp cận mới (dựa trên Định lý Perron-Frobenius và nguyên lý so
sánh nghiệm), Luận án trình bày một loạt các điều kiện đủ tường minh
mới cho tính ổn định tiệm cận, ổn định mũ của các hệ phương trình sai
phân thường, các hệ phương trình sai phân có chậm và các hệ phương
trình sai phân Volterra. Các kết quả của Luận án có ý nghĩa khoa học cao
và là một đóng góp có ý nghĩa đối với lý thuyết ổn định của các phương
trình sai phân. Hơn thế nữa, các kết quả thu được có thể áp dụng được
vào một số bài toán điều khiển tối ưu, chẳng hạn như các bài toán “điều
2

“Find explicit tests of exponential stability for Volterra difference systems with unbounded
or infinite delay”.

14


Mở đầu

khiển tối ưu loại H2 /H∞ ”3 của các hệ sai phân.
Các kết quả của Luận án đã được báo cáo tại các xê-mi-na của Nhóm
Lý thuyết điều khiển (Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố
Hồ Chí Minh); Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8 (Thành phố Nha
Trang, tháng 8 năm 2013); Hội nghị Khoa học Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (tháng 11 năm
2014); Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất (Thành
phố Quy Nhơn, tháng 8 năm 2015); ...

3

H2 /H∞ control problem.

15


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số qui ước và kiến thức cơ
sở được sử dụng trong các chương sau.

1.1

Một số kí hiệu và qui ước

Gọi Z, R, và C lần lượt là vành các số nguyên, trường các số thực và

trường các số phức. Kí hiệu Z+ và Z− lần lượt là tập hợp các số nguyên
không âm và các số nguyên bé hơn hoặc bằng 0. Gọi K là trường số
thực hoặc phức. Cho số nguyên dương n, ta định nghĩa các tập hợp sau:
n := {1, 2, ..., n} và n0 := {0, 1, ..., n}. Cho các số nguyên dương l và q,
tập hợp tất cả các ma trận cỡ l × q với các số hạng trong K, được kí hiệu
bởi Kl×q . Đối với hai ma trận thực cỡ l × q là A = (aij ) và B = (bij ),
bất đẳng thức A ≥ B có nghĩa là aij ≥ bij với i ∈ l, j ∈ q. Đặc biệt,
nếu aij > bij với i ∈ l, j ∈ q, khi đó ta viết A

B thay cho A ≥ B.

Ma trận A = (aij ) ∈ Rl×q được gọi là ma trận không âm nếu aij ≥ 0
với mọi i ∈ l, j ∈ q. Cách hiểu tương tự đối với véctơ không âm. Tập
hợp tất cả các ma trận thực không âm cỡ l × q được kí hiệu bởi Rl×q
+ .
Với số nguyên dương m, ta kí hiệu ma trận đơn vị cấp m bởi Im . Với
x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm và P = (pij ) ∈ Rl×q ta định nghĩa giá trị
tuyệt đối của véctơ và ma trận như sau |x| = (|xi |) và |P | = (|pij |).
Cho trước hai ma trận C, D (với cỡ phù hợp), ta dễ dàng kiểm tra được
|C + D| ≤ |C| + |D| và |CD| ≤ |C||D|.
Giả sử
M (t) = (mij (t)) ∈ Rl×q , t ∈ [a, b];
F (t) = (F1 (t), F2 (t), ..., Fm (t))T ∈ Rm , t ∈ [a, b],
16


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

trong đó mij (·), i ∈ l, j ∈ q, và Fk (·), k ∈ m là các hàm khả tích Riemann
trên [a, b], tích phân của hàm giá trị ma trận và hàm giá trị véctơ trên

đoạn [a, b] được định nghĩa như sau:
b

b

mij (t)dt) ∈ Rl×q ;

M (t)dt := (
a

a

b

b

F (t)dt := (
a

1.2

b

F1 (t)dt,
a

b

Fm (t)dt)T ∈ Rm .

F2 (t)dt, ...,
a

a

Chuẩn của véctơ và chuẩn của ma trận

Định nghĩa 1.2.1 ([E05]). Cho X là không gian vectơ trên trường K.
Ánh xạ · : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các
điều kiện sau:
i) x ≥ 0, ∀x ∈ X, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) λx = |λ| x , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;
iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X.
Giá trị x được gọi là chuẩn của véctơ x. Không gian vectơ X cùng
với chuẩn · được gọi là một không gian định chuẩn, ký hiệu (X, · ).
Một không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
Chẳng hạn như, Km là một không gian Banach với một trong các
chuẩn sau đây:
m

x

p

|xi |p

=

1
p

và

i=1

x

∞

= max

1≤i≤m

|xi | ,

với x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Km và 1 ≤ p < ∞.
Một chuẩn

·

trên Km được gọi là đơn điệu nếu |x| ≤ |y| thì x ≤

y với x, y ∈ Km . Từ định nghĩa, dễ dàng thấy rằng,
17

·

là một chuẩn

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

đơn điệu nếu và chỉ nếu x = |x| , với mọi x ∈ Rm . Chú ý rằng,

·

p

trên Km , 1 ≤ p ≤ ∞ là đơn điệu.
Giả sử ·

1

và ·
·

véctơ X. Khi đó,

2
1

là các chuẩn xác định trên cùng một không gian

và

·

2

được gọi là các chuẩn tương đương nếu

tồn tại các số dương α, β sao cho α x

1

≤ x

2

≤ β x 1 , với mọi x ∈ X.

Chú ý rằng, mọi chuẩn trên Km đều tương đương.
Định nghĩa 1.2.2. (Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M ∈ Kl×q ,
chuẩn của toán tử tuyến tính M : Kq → Kl , x → M x :
M := max
x=0

Mx
= max
x
x =1

Mx

,

được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M.
Chẳng hạn như nếu Km được trang bị bởi chuẩn ·
tử của ma trận M = (mij ) ∈ Km×m được cho bởi M

1

thì chuẩn toán
m

1

= max

1≤j≤m i=1

|mij |

(giá trị lớn nhất của tổng các cột). Nếu Km được trang bị bởi chuẩn ·

∞

m

thì chuẩn toán tử của M được cho bởi M

∞

= max

1≤i≤m j=1

|mij | (giá trị

lớn nhất của tổng các dòng) và nếu Km được trang bị bởi chuẩn ·

chuẩn toán tử của M được cho bởi M

2

=

2

thì

ρ(M T M ), xem [E05].

Giả sử Kl và Kq được trang bị các chuẩn đơn điệu. Khi đó, chuẩn
toán tử tương ứng

·

của ma trận trên Kl×q có tính chất sau:

P ∈ Kl×q , Q ∈ Rl×q
+ ,

|P | ≤ Q

⇒

P ≤ |P | ≤ Q ,

(1.1)

xem [HS98].
Trong suốt Luận án này, nếu không phát biểu gì thêm, chuẩn của các
ma trận được hiểu là chuẩn toán tử liên kết với các chuẩn véctơ đơn điệu
nào đó.
Với bất kỳ M ∈ Km×m , bán kính phổ của M được kí hiệu bởi ρ(M ) =
18


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

max{|z| : z ∈ σ(M )}, trong đó σ(M ) := {z ∈ C : det(zIm − M ) = 0} là
phổ của ma trận M , tập hợp tất cả các giá trị riêng của M . Bán kính phổ
của ma trận là hàm liên tục theo ma trận (xem [Burl88]).
Với M ∈ Rl×q , k ∈ Z+ , t ∈ R+ , ta có
ρ(M k ) = [ρ(M )]k và ρ(tM ) = tρ(M ).
Sau đây là mối quan hệ giữa chuẩn của ma trận vuông và bán kính
phổ của nó.
Định lý 1.2.3 ([HP05]). Cho ma trận M ∈ Km×m và ω ∈ R. Nếu ρ(M ) <
eω thì tồn tại K phụ thuộc vào ω sao cho
M n < Keωn ,

n ∈ Z+ .

Cho ma trận M ∈ Km×m . Từ Định lý 1.2.3 ta có nhận xét quan
trọng sau:
Nhận xét 1.2.4. Nếu ρ(M ) < 1 thì tồn tại các số dương K và β ∈ (0, 1)
sao cho
M n ≤ Kβ n ,

n ∈ Z+ .

Định lý 1.2.5 ([E05]). Cho ma trận M ∈ Km×m . Khi đó ρ(M ) ≤ M .
Tính chất sau đây được suy ra từ Nhận xét 1.2.4 và Định lý 1.2.5.
Hệ quả 1.2.6 ([HJ90]). Cho ma trận M ∈ Km×m . Khi đó ρ(M ) =
lim

n→+∞

1.3

Mn

1
n

.

Định lý Perron-Frobenius

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của
các ma trận không âm, được sử dụng trong suốt Luận án. Các ma trận
19


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

không âm được nghiên cứu từ những năm 1910 với những công trình
tiên phong của Perron và Frobenius. Những tính chất này là tiền đề cho
việc xây dựng Lý thuyết hệ động lực dương (xem [Lu79]).
Định lý Perron-Frobenius được chứng minh bởi Perron (năm 1907)

và Fobenius (năm 1912). Nó có nhiều ứng dụng trong Lý thuyết xác suất
(tính ergodic của xích Markov), Lý thuyết hệ động lực, Lý thuyết kinh tế
(Định lý Okishio’s, Mô hình đầu vào-đầu ra của Leontief), Thống kê điều
tra dân số (Mô hình Leslie về phân bố tuổi dân số), Công cụ tìm kiếm
trên mạng (Thuật toán PageRank để xếp hạng các trang web mà Google
đã sử dụng) và thậm chí có ứng dụng trong xếp hạng bóng đá. Nội dung
và chứng minh đầy đủ của Định lý Perron-Frobenius có thể tham khảo
trong [Mey00]. Định lý sau đây là một phiên bản rút gọn của Định lý
Perron-Frobenius.
Định lý 1.3.1 ([HS98]). Cho M ∈ Rm×m
, t ∈ R, khi đó
+
(i) (Perron-Frobenius) ρ(M ) là một giá trị riêng của M và tồn tại một
véctơ không âm x ∈ Rm
+ , x = 0 sao cho M x = ρ(M )x.
(ii) Cho trước α ∈ R+ , tồn tại một véctơ không âm x, x = 0, sao cho
M x ≥ αx khi và chỉ khi ρ(M ) ≥ α.
(iii) (tIm − M )−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > ρ(M ).
(iv) Cho trước B ∈ Rm×m
, C ∈ Rm×m . Khi đó
+
|C| ≤ B

⇒

ρ(M + C) ≤ ρ(M + B).

(1.2)

Các tính chất quan trọng sau đây của các ma trận không âm được

suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.1.
Định lý 1.3.2. Cho M ∈ Rm×m
. Những điều kiện sau đây là tương đương:
+
20


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(i)

ρ(M ) < 1;

(ii)

(Im − M )−1 ≥ 0;

(iii)

∃p ∈ Rm , p

0 : Mp

p.

Chứng minh. .
“(i) ⇒ (ii)”: M ∈ Rm×m
và ρ(M ) < 1 nên rõ ràng (Im − M )−1 ≥ 0, theo
+
Định lý 1.3.1 (iii). Vậy ta có (i) suy ra (ii).

“(ii) ⇒ (iii)”: Ta có (Im − M )−1 ≥ 0, lấy e := (1, 1, . . . , 1)T ∈ Rm . Đặt
p := (Im − M )−1 e.
Dễ thấy p

(1.3)

0. Nhân hai vế của (1.3) cho (Im − M ) từ bên trái, ta có

Im p − M p = e hay M p + e = p. Vì vậy M p

p với p ∈ Rm , p

0. Vậy

ta có (ii) suy ra (iii).
“(iii) ⇒ (i)”: Vì M ∈ Rm×m
nên tồn tại véctơ x ∈ Rm , x ≥ 0, x = 0 sao
+
cho M T x = ρ(M )x, theo Định lý 1.3.1 (i). Từ (iii) ta có
p − Mp

0.

(1.4)

Nhân hai vế của (1.4) với xT từ bên trái, ta được xT (p − M p) > 0. Suy ra
ρ(M )xT p = xT M p < xT p.
Vì xT p > 0, nên ρ(M ) < 1. Vậy ta có (iii) suy ra (i). Định lý được
chứng minh.

21


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.4

Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ

Định nghĩa 1.4.1. Cho F (·, ·, ..., ·) : Rl → Rm là hàm khả vi tại x =
(x1 , x2 , ..., xl )T ∈ Rl . Ma trận Jacobi của hàm F (·, ·, ..., ·) tại x là ma trận
cỡ m × l trong Rm×l , kí hiệu JF (x), được xác định như sau







JF (x) := 







trong đó

∂Fi

∂xj

:=

∂F1

∂F1

∂x1
∂F2

∂x2
∂F2

∂x1
···

∂x2
···

∂Fm

∂Fm

∂x1

∂x2

∂Fi (x1 , x2 , ..., xl )
∂xj

···
···
···
···

∂F1




∂xl 


∂F2 

∂xl 
,

··· 


∂Fm 
∂xl

với i ∈ m, j ∈ l.

Sau đây là định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ.
Định lý 1.4.2 ([Di88]). Cho U là một tập mở trong Rm , F (·, ·, ..., ·) :
U → Rm là hàm khả vi liên tục trên U và các véctơ x ∈ U, h ∈ Rm sao cho

x + th ∈ U , với mọi t ∈ [0, 1]. Khi đó,
1

F x+h −F x =

JF x + th dt h,
0

trong đó JF (·) là ma trận Jacobi của hàm F .

22


Chương 2. Ổn định của các hệ phương trình sai phân thường

CHƯƠNG 2

ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
THƯỜNG

Trong chương này chúng tôi trình bày một vài kết quả mới về tính ổn
định của các hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian
tổng quát
x(n + 1) = f n, x(n) ,

n ≥ n0 ,

(2.1)

trong đó, f (·; ·) : Z+ × Rm → Rm là hàm cho trước. Đặc biệt, chúng tôi

cho một vài kết quả mới về các biên ổn định của các hệ phương trình
sai phân thường chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian. Cuối cùng,
chúng tôi áp dụng kết quả thu được vào một Phỏng đoán loại Aizerman
cho các hệ rời rạc. Nội dung chính của chương này được trích từ bài
báo [NH12].

2.1

Ổn định của các hệ phi tuyến

Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến (2.1). Giả sử f (·; ·) : Z+ × Rm →
Rm là hàm cho trước sao cho f (n, 0) = 0 với mọi n ∈ Z+ . Cho trước
n0 ∈ Z+ và x0 ∈ Rm , xét cho hệ (2.1) một điều kiện đầu
x(n0 ) = x0 .

(2.2)

Ta gọi nghiệm của hệ phương trình sai phân (2.1) với điều kiện đầu
(2.2), kí hiệu bởi x(·, n0 , x0 ), là dãy véctơ {x(n, n0 , x0 )} trong Rm thỏa
mãn đồng thời (2.1) và (2.2). Hiển nhiên, {x(n, n0 , x0 )} tồn tại duy nhất
và được xác định bằng phép truy hồi (2.1)-(2.2). Véctơ x∗ ∈ Rm được
23


Chương 2. Ổn định của các hệ phương trình sai phân thường

gọi là điểm cân bằng của hệ (2.1) nếu f (n, x∗ ) = x∗ , với mọi n ∈ Z+ .
Trong suốt nội dung chương này, chúng tôi giả thiết rằng véctơ ξ = 0
luôn là điểm cân bằng của hệ (2.1), giả thiết này không làm mất tính
tổng quát, bởi vì nếu x∗ = 0 là một điểm cân bằng của (2.1) thì 0 là

điểm cân bằng của hệ sau đây
z(n + 1) = f n, z(n) ,

n ∈ Z+ ,

trong đó f (n, z(n)) = f n, z(n) + x∗ − x∗ .
Định nghĩa 2.1.1 ([E05]). Điểm cân bằng x∗ của (2.1) được gọi là
(i) ổn định (hay ổn định Liapunov, viết tắt là S) nếu với mọi ε > 0 và
n0 ∈ Z+ cho trước, tồn tại δ = δ(ε, n0 ) > 0 sao cho
x0 − x∗ < δ

⇒

x(n, n0 , x0 ) − x∗ < ε, ∀n ∈ Z+ , n ≥ n0 .

Nếu δ có thể chọn độc lập với n0 thì ta gọi x∗ là ổn định đều (viết tắt
là US).
(ii) ổn định tiệm cận (viết tắt là AS) nếu nó ổn định và với n0 ∈ Z+ cho
trước, tồn tại µ = µ(n0 ) > 0 sao cho
x0 − x∗ < µ

⇒

lim

n→∞

x(n, n0 , x0 ) − x∗ = 0.

Nếu µ có thể chọn độc lập với n0 và điều kiện ổn định đều được thỏa

mãn thì ta gọi x∗ là ổn định tiệm cận đều (viết tắt là UAS).
(iii) ổn định mũ (viết tắt là ES) nếu tồn tại µ > 0, M > 0 và β ∈ (0, 1)
sao cho
x0 − x∗ < µ

⇒

x(n, n0 , x0 ) − x∗ ≤ M β n−n0 x0 − x∗ ,

24