Chuyên đề 3 biến đổi và giải phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.15 MB, 22 trang )
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
CHUYÊN ĐỀ 3 BIẾN ĐỔI & GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
A. CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
1. Đƣờng tròn lƣợng giác và dấu của các giá trị lƣợng giác
sinx
1
π
Cung phần tư
2
I
II
III
IV
sin
+
+
–
–
cos
+
–
–
+
tan
+
–
+
–
cot
+
–
+
–
Giá trị LG
(II)
(I)
π
0 1
2π
O
-1
cosx
(IV)
(III)
3π
(Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos)
2
-1
2. Công thức lƣợng giác cơ bản
tan .cot 1
sin 2 cos2 1
1 tan 2
1
cos2
1 cot 2
1
sin 2
3. Cung liên kết
Cung đối nhau
Cung bù nhau
Cung phụ nhau
cos(a) cos a
sin( a) sin a
sin a cos a
2
sin(a) sin a
cos( a) cos a
cos a sin a
2
tan(a) tan a
tan( a) tan a
tan a cot a
2
cot(a) cot a
cot( a) cot a
cot a tan a
2
2
Cung hơn kém
Cung hơn kém
sin( a) sin a
sin a cos a
2
cos( a) cos a
cos a sin a
2
tan( a) tan a
tan a cot a
2
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 83
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
cot a tan a
2
cot( a) cot a
4. Công thức cộng cung
sin( a b) sin a cos b cos a sin b
tan( a b)
cos( a b) cos a cos b sin a sin b
tan a tan b
1 tan a.tan b
tan( a b)
tan a tan b
1 tan a.tan b
1 tan x
1 tan x
Hệ quả: tan x
, tan x
4
1 tan x
4
1 tan x
5. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Nhân đôi
Hạ bậc
sin 2 2 sin cos
sin 2
1 cos 2
2
cos2 sin 2
cos 2
2
2
2 cos 1 1 2 sin
cos2
1 cos 2
2
tan 2
2 tan
1 tan 2
tan 2
1 cos 2
1 cos 2
cot 2
cot 2 1
2 cot
cot 2
1 cos 2
1 cos 2
Nhân ba
sin 3 3sin 4 sin 3
3
cos 3 4 cos 3cos
tan 3
3 tan tan 3
1 3 tan 2
6. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a cos b 2 cos
sin a sin b 2 sin
ab
ab
cos
2
2
cos a cos b 2 sin
ab
ab
cos
2
2
sin a sin b 2 cos
ab
ab
sin
2
2
ab
ab
sin
2
2
tan a tan b
sin( a b)
cos a cos b
tan a tan b
sin( a b)
cos a cos b
cot a cot b
sin( a b)
sin a sin b
cot a cot b
sin(b a)
sin a sin b
Đặc biệt
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
7. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 84
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
cos a.cos b
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
1
cos( a b) cos( a b)
2
sin a.cos b
1
cos( a b) cos( a b)
2
sin a.sin b
1
sin( a b) sin( a b)
2
y
t
3
- 3
- 3 /3
-1
u'
2/3
3 /3
3
1
u
/3
/4
3 /2
2 /2
5/6
/2
1
3/4
x'
B
/6
3 /3
1/2
1/2
- 3 /2 - 2 /2 -1/2
-1
x
1 A (Điểm gốc)
3 /2
2 /2
O
-1/2
-/6
- 2 /2
- 3 /3
-/4
- 3 /2
-1
-/2
-1
-/3
y'
t'
- 3
Bảng lƣợng giác của một số góc đặc biệt
00
300
450
4
2
2
2
2
600
0
6
sin
0
1
2
cos
1
3
2
tan
0
3
3
1
3
kxđ
cot
kxđ
3
1
3
3
0
3
3
2
1
2
900
2
1
0
1200
3
2
1
2
1350
3
4
2
2
2
2
3
3
3
2
3
1500
1800
3600
5
6
2
1
2
0
0
3
2
1
1
1
3
3
0
0
1
3
kxđ
kxđ
Một điễm M thuộc đƣờng tròn lƣợng giác sê có tọa độ M(cosα, sinα)
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 85
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
BÀI 1. BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC
I. Tính giá trị của biểu thức lƣợng giác
BT 1.
2
3
ĐS: P
Tính P (1 3cos 2)(2 3cos 2), biết sin
14
9
Đề thi TN THPT Quốc Gia năm 2015
BT 2.
2
3
ĐS: P
Tính P sin4 cos4 , biết sin 2
7
9
Đề dự bị TN THPT Quốc Gia năm 2015
BT 3.
Cho
3
tan
và sin Tính A
2
5
1 tan 2
ĐS: A
12
25
Đề thi minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2015 – Bộ GD & ĐT
BT 4.
Cho
4
và sin Tính A sin 2( ).
5
2
ĐS: A
24
25
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Hà Tĩnh
BT 5.
Cho
4
1 cot
3
và sin Tính A
5
1 cot
2
ĐS: A 7.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – Lần 2
BT 6.
Cho
3
2
cot
2 , cos Tính A
2
3
1 cot 2
ĐS: A
2 5
9
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Bắc Bình – Bình Thuận
BT 7.
1
Cho ; có sin Tính A sin 2 cos 2.
3
2
ĐS: A
74 2
9
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Bạc Liêu
BT 8.
Cho tan 2 thỏa
2 sin 3cos
. Tính A
5cos 7 sin
2
ĐS: A
1
19
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc
BT 9.
Cho tan 2. Tính A
sin 2 cos 3
cos 2 sin 3
ĐS: A
4
7
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 2
BT 10. Cho tan 3. Tính A
3sin 2 cos
5sin 3 4 cos3
BT 11. Cho tan 2. Tính A
8 cos 2 sin 3 cos
2 cos sin 3
ĐS: A
70
139
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Trƣng Vƣơng – Bình Định
3
3
ĐS: A
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lê Q Đơn – Tây Ninh
BT 12. Cho cos
3
3
và Tính A sin
5
2
3
ĐS: A
4 3 3
10
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp. HCM – Lần 2
3
3
BT 13. Cho cos x , x Tính A sin x
5
2
6
ĐS: A
34 3
10
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Cần Thơ
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 86
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
4
BT 14. Cho 0 và cos Tính A sin cos
2
5
4
4
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
49
ĐS: A
50
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Thủ Đức – Tp. Hồ Chí Minh
BT 15. Cho 0 x
3
và x y
Tính A (1 tan x)(1 tan y).
4
4
ĐS: A 2.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Vĩnh Long
BT 16. Cho sin
2
1 sin 2 cos 2
và 0 Tính A
3
sin cos
2
ĐS: A
2 5
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quảng Xƣơng I – Thanh Hóa
BT 17. Cho
1 sin 4 x cos 4 x
3
3, 0 x Tính A 2 sin x cos x. ĐS: A
1 sin 4 x cos 4 x
2
2
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – TTLTĐH Ngoại Thƣơng – Tp. Hồ Chí Minh
5
BT 18. Cho sin cos , ; Tính A tan 2.
4
4 2
ĐS: A
9 7
35
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quang Trung – Tây Ninh
BT 19. Cho sin cos
5
và 0 Tính A sin cos .
4
2
ĐS: A
3
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Quảng Nam
BT 20. Cho
3
và sin 2cos 1. Tính A 2 tan cot .
2
1
6
ĐS: A
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – Lần 2
7
16
BT 21. Cho ; và sin 2 Tính A cos2 4 cos 4 sin 2 4 sin 4. ĐS: A
9
3
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Đại Học Vinh – Lần 3
BT 22. Cho
2, tan 1. Tính A cos sin .
2
4
6
ĐS: A
3
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hùng Vƣơng – Phú Thọ – Lần 3
1
3
BT 23. Cho sin( ) ,
7
. Tính A tan
2
2
ĐS: A 2 2.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hai Bà Trƣng – Huế – Lần 3
3
3
BT 24. Thu gọn: A cos( x) 2sin
x tan
x cot(2 x).
2
2
ĐS: A cos x.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh
2
3
x
BT 25. Chứng minh: cos2 x cos2 x cos2
3
3
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chu Văn An – Hà Nội
BÀI 2. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
I. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 87
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
a b k 2
sin a sin b
a b k 2
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
sin x 0 x k
sin x 1 x k 2
2
sin x 1 x 2 k 2
(k )
a b k 2
cos a cos b
a b k 2
(k )
tan a tan b a b k
(k )
cot a cot b a b k
(k )
cos x 1 x k 2
cos x 0 x k
2
cos
x
1
x
k 2
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
cot x 0 x 2 k
cot x 1 x k
4
(k )
(k )
(k )
(k )
II. MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
1. Sử dụng thành thạo cung liên kết
Cung đối nhau
Cung bù nhau
Cung phụ nhau
cos(a) cos a
sin( a) sin a
sin a cos a
2
sin(a) sin a
cos( a) cos a
cos a sin a
2
tan(a) tan a
tan( a) tan a
tan a cot a
2
cot(a) cot a
cot( a) cot a
cot a tan a
2
2
Cung hơn kém
Cung hơn kém
sin( a) sin a
sin a cos a
2
cos( a) cos a
cos a sin a
2
tan( a) tan a
tan a cot a
2
cot( a) cot a
cot a tan a
2
Tính chu kỳ
sin( x k 2) sin x
cos( x k 2) cos x
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 88
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
sin x ( k 2) sin x
cos x ( k 2 cos x
tan( x k) tan x.
cot( x k) cot x.
BT 26. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
2 cos2
x
cos 5x 1.
2
ĐS: x
k
k
, x
, ( k ).
6 3
4 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hùng Vƣơng – Gia Lai – Lần 1
b)
2 sin 2
x
cos 5x 1.
2
ĐS: x
k
k
x
, ( k ).
6 3
4 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Trần Phú – Thanh Hóa
c)
cos x sin 2x 0.
2
ĐS: x k x
d) sin 5x 2 cos2 x 1.
ĐS:
e)
cos 2 x cos x cos x sin 2 x sin x.
ĐS:
f)
2 cos 5x.cos 3 x sin x cos 8 x.
ĐS:
g) cot 2 x
1 tan x
1 tan x
ĐS:
2
k 2, (k ).
3
Đề thi Cao đẳng khối A, B, D năm 2013
k 2
k 2
x
, x
, ( k ).
6
3
14
7
Đề thi Đại học khối B năm 2013
k
x
, x k, ( k ).
4 2
2
k 2
x k 2, x
, ( k ).
2
6
3
x k , ( k ).
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chun Lê Q Đơn – Bình Định
h) sin 2x (1 2cos 3x)sin x 2sin 2 2 x
4
ĐS: x
k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Số 1 Phù Mỹ – Bình Định
2. Ghép cung thích hợp để áp dụng cơng thức tổng thành tích
cos a cos b 2 cos
sin a sin b 2 sin
ab
ab
cos
2
2
ab
ab
cos
2
2
cos a cos b 2 sin
sin a sin b 2 cos
ab
ab
sin
2
2
ab
ab
sin
2
2
tan a tan b
sin( a b)
cos a cos b
tan a tan b
sin( a b)
cos a cos b
cot a cot b
sin( a b)
sin a sin b
cot a cot b
sin(b a)
sin a sin b
ab ab
;
Do
2
2
đó khi sử dụng nên nhẩm hai cung mới này trước để nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện
nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử còn lại hoặc cụm ghép khác.
Khi áp dụng tổng thành tích đối với 2 hàm sin và cosin thì được hai cung mới:
BT 27. Giải các phương trình lượng giác sau:
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 89
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
a)
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
k
7
ĐS: x
, x k 2 , x
k 2.
4 2
6
6
sin 3x cos 2 x sin x 0.
Đề thi Đại học khối D năm 2013
ĐS: x
b) sin x 4 cos x sin 3x 0.
k, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Cổ Loa – Hà Nội
c)
ĐS: x
cos 3x 2 sin 2 x cos x 0.
k
, x k 2, ( k ).
2
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh – Lần 1
ĐS: x k, x
d) sin 3x sin 2 x sin x.
k 2, ( k ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội
e)
3
sin x.(1 8cos x) cos 3x
2
ĐS: x
k
, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc
3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn
sin 2
1 cos 2
2
tan 2
cos2
1 cos 2
1 cos 2
1 cos 2
2
cot 2
1 cos 2
1 cos 2
Lƣu ý đối với công thức hạ bậc của sin và consin:
– Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số
1
và cung góc tăng gấp đơi.
2
– Hạ bậc để triệt tiêu hằng số khơng mong ḿn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp
dụng cơng thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài
toán đơn giản hơn.
BT 28. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
sin 2 x
1
2
2 3
4
2
2 7
sin2 3x
x
sin
3
4
b) cos2 x
c)
2
2x
d) sin2 3x
cos 0.
5
4
e)
sin 2 2 x sin 2 x 1.
f)
sin 2 2 x cos2 3x 1.
ĐS: x
k
, (k ).
4 2
k 2, (k ).
12
13 k
29 k
x
ĐS: x
48
4
24
2
ĐS: x
ĐS: x
22 k 4
38 k 4
, x
65
13
55
11
k
x k.
6 3
2
k
, (k ).
ĐS: x k x
5
ĐS: x
BT 29. Giải các phương trình lượng giác sau:
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 90
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
3
2
a)
cos2 x cos2 2 x cos2 3x cos2 4 x
b)
2 sin 2 2 x sin7 x 1 sin x.
c)
5x
9x
cos 3x sin7 x 2sin 2 2cos2
4
2
2
7
d) cos2 x cos2 2x cos2 3x
3
4
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
k
2
ĐS: x
, x k, x
k.
8 4
5
5
k 2
5 k 2
ĐS: x
x
18
3
18
3
k
k
ĐS: x
, x k, x
12 6
4
8 2
ĐS: x
k
k
k
,x
,x
6 3
6 2
12 2
4. Xác định lƣợng nhân tử chung để đƣa về phƣơng trình tích số
Đa số đề thi thường là nh ững phương trình đưa về tích số. Do đó, trước khi giải ta phải quan sát xem
chúng có những lượng nhân tử chung nào , sau đó định hướng để tách , ghép, nhóm phù hợp . Mợt sớ
lượng nhân tử thường gặp:
– Các biểu thức có nhân tử chung với cos x sin x thường gặp là:
1 sin2x; cos2x; 1 tan x; 1 cot x; sin3x cos3x; cos3 x sin3 x; cos4 x sin4 x; …
– Các biểu thức có nhân tử chung với cos x sin x thường gặp là:
1 sin2x; cos2x; 1 tan x; 1 cot x; sin3x cos3x; cos3 x sin3 x;cos4 x sin4 x; …
– Từ sin 2 x cos2 x 1 và nhìn nhận với góc độ hằng đẳng thức số 3, ta có:
+ sin2 x; tan2 x có nhân tử chung là: (1 cos x)(1 cos x) 1 cos2 x.
+ cos2 x; cot 2 x có nhân tử chung là: (1 sin x)(1 sin x) 1 sin 2 x.
Phân tích f ( X ) aX 2 bX c a.( X X1 ) ( X X2 ) với X có thể là sin x,cos x, … và X1 , X2 là 2
–
nghiệm của f ( X ) 0.
BT 30. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
cos 2 x.(cos x sin x 1) 0.
ĐS: x k 2, x
k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quỳnh Lƣu II – Nghệ An – Lần 2
ĐS: x k, x
b) sin 2x 3 sin x 0.
k 2, ( k ).
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trần Phú – Tây Ninh
c)
ĐS: x
(sin x cos x)2 1 cos x.
5
k , x k 2, x
k 2.
2
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lƣơng Ngọc Quyến – Thái Nguyên – Lần 2
d) cos 2 x 1 cos2 x.
2
ĐS: x k, x arctan( 2) k, ( k ).
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lý Tự Trọng – Nam Định – Lần 2
e)
f)
sin x 4 cos x 2 sin 2 x.
2(sin x 2cos x) 2 sin 2 x.
k 2, ( k ).
3
Đề thi Đại học khối A – A1 năm 2014
3
k 2, ( k ).
ĐS: x
4
Đề thi Đại học khối B năm 2014
ĐS: x
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 91
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
g) sin x cos x cos 2 x.
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
3
ĐS: x
k, x k 2, x k 2.
4
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Phan Bội Châu – Bình Định (đề số 1)
h) 4sin2 x cos x sin 3x sin( x).
ĐS: x
k
, x k, ( k ).
2
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dƣơng – Lần 3
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
k
, x k, ( k ).
4 2
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 1
k
ĐS: x k, x
cos 3x cos x 2 sin x cos 2 x.
, ( k ).
8 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Thuận Châu – Sơn La – Lần 2
5
ĐS: x k, x k 2, x
sin 2 x 2 sin 2 x sin x cos x.
k 2.
4
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 4
ĐS: x k, x k, ( k ).
4sin2 x 3 3 sin 2x 2cos2 x 4.
2
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Đồng Tháp
sin 2 x sin x 2 4 cos x.
ĐS: x k 2, ( k ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hậu Lộc II – Thanh Hóa – Lần 2
sin 2 x 2 cos x sin x 1 0.
ĐS: x k 2, x k 2, ( k ).
2
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Trung Thiên – Hà Tĩnh – Lần 1
sin 2 x 2 sin x 2 cos x 2 0.
ĐS: x k 2, x k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh – Lần 1
sin 2 x 1 6 sin x cos 2 x.
ĐS: x k, ( k ).
cos 3x cos x 2 3 cos 2 x sin x.
ĐS: x
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Thanh Chƣơng III – Nghệ An
q) sin 2 x cos 2 x 2 sin x 1.
ĐS: x k, x k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Tĩnh Gia 1 – Thanh Hóa – Lần 2
r) sin 2 x 2 sin x 1 cos 2 x.
ĐS: x k 2, x k, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hậu Lộc II – Thanh Hóa – Lần 1
s) 2sin2 x 3 sin x cos x cos2 x 1.
ĐS: x k, x k, ( k ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nghèn – Hà Tĩnh
t)
x
1 sin x cos x 2 sin x cos2
2
ĐS: x
k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chun Lê Q Đơn – Đà Nẵng
5
k , x
k.
u) 2(cos x sin 2x) 1 4 sin x.(1 cos 2x).
ĐS: x k 2, x
3
12
12
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Thuận Thành Số 2 – Bắc Ninh – Lần 2
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 92
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
v) cos 2 x (1 2 cos x)(sin x cos x) 0.
ĐS: x k, x k 2, x k 2.
4
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Minh Châu – Hƣng Yên – Lần 2
ĐS: x
w) sin 2 x sin x 2 cos 2 x 1.
k 2, x k 2, ( k ).
3
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Duy Trinh – Nghệ An
x)
sin 2x (sin x cos x 1)(2sin x cos x 3) 0. ĐS: x k 2, x
k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Xuân Nguyên – Thanh Hóa – Lần 4
y) cos x 2sin x.(1 cos x)2 2 2sin x.
ĐS: x
k, ( k ).
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nguyễn Hiền – Tp. Đà Nẵng
z)
tan x
ĐS: x k 2, ( k ).
2 cos 2 x cos x sin x 1 cos 3x.
1 tan 2 x
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Lạng Giang Số 1 – Bắc Giang – Lần 3
BT 31. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
2
sin 2 x sin x
4
4
2
5
ĐS: x k, x k 2, x
k 2.
4
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Đăk Nông
2
b) cos x sin 2 x
4
4
2
c)
sin x.(1 cos 2 x) sin 2 x 1 cos x.
ĐS: x
ĐS: x
k, x k 2.
4
3
2
k x
k 2, (k ).
4
3
Đề thi Đại học khối D năm 2008
d) 1 tan x 2 2 sin x
4
ĐS: x k x k 2, (k ).
4
3
Đề thi Đại học khối A năm 2013
e)
(tan x 1)sin2 x cos 2x 0
f)
(2cos x 1)(sin 2x 2sin x 2) 4cos2 x 1
g)
1 cos 2x
2 cos x
1 cot x
sin x
4
h) sin 3 x cos3 x sin x cos x.
k, ( k ).
4
2
k 2, x k, (k ).
ĐS: x
3
4
k
, ( k ).
ĐS: x
4 2
ĐS: x
ĐS: x
k
k, x
, ( k ).
4
2
BT 32. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
sin x(1 cos 2 x) sin 2 x 1 cos x.
b)
tan x cot x 2(sin 2 x cos 2 x).
c)
(1 sin2 x)cos x (1 cos2 x)sin x 1 sin 2x.
k, ( k ).
4
k
k
, x
, ( k ).
ĐS: x
4 2
8 2
ĐS: x k, x k 2, x k 2.
4
2
ĐS: x k 2, x
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 93
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
d) (2sin x 1)(2cos 2x 2sin x 1) 3 4cos2 x.
f)
7
cos 2x 3sin 2 x 5 2 sin x 3.
4
(cos x 1)(cos 2x 2cos x) 2sin2 x 0.
g)
tan x sin 2 x 2 cot 2 x.
e)
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
5
ĐS: x k 2, x
k 2, x k.
6
6
4
ĐS: x k, ( k ).
4
ĐS: x k 2, ( k ).
k
, ( k ).
4 2
ĐS: x k 2, x k 2, ( k ).
2
3
ĐS: x
h) sin 2x cos x 2 sin x 1 0.
4
k
5 k
i) x k, x
, x
2
24 2
24 2
j)
3sin 3x 2 sin x(3 8 cos x) 3cos x.
k)
2 sin x(2 cos 2 x 1 sin x) cos 2 x 2.
5
k , x
k, ( k ).
12
12
5
ĐS: x k, x k 2, x
k 2.
3
6
6
ĐS: x
III. MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP
1. Phƣơng trình lƣợng giác đƣa về bậc hai hoặc bậc cao cùng một hàm lƣợng giác
Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác với cung góc giống
nhau, chẳng hạn:
Dạng
a sin x b sin x c 0
a cos2 x b cos x c 0
Đặt ẩn phụ
t sin x
t cos x
a tan 2 x b tan x c 0
t tan x
a cot 2 x b cot x c 0
t cot x
2
Điều kiện
1 t 1
1 t 1
x k
2
x k
Nếu đặt t sin x, t cos x hoặc t sin x , t cos x thì điều kiện lúc này là 0 t 1 .
2
2
BT 33. Giải các phương trình lượng giác sau:
7
k 2, x k 2, x
k 2.
2
6
6
3
ĐS: x k 2 x
k 2, (k ).
4
ĐS: x k.
3
ĐS: x k 2, (k ).
ĐS: x
a)
2 sin 2 x sin x 1 0.
b)
2cos2 x ( 2 2)cos x 2 0.
c)
tan2 x 2 3 tan x 3 0.
d) sin 2 x cos 2 x cos x 2.
e)
4sin x 3 2(1 sin x)tan 2 x.
ĐS: x
f)
tan x cot x 2.
ĐS: x
g) 8 sin x cos x cos 4 x 3 0.
h) sin 2 8 x 3sin 4 x cos 4 x
5
0.
2
7
k 2 x
k 2.
6
6
k, (k ).
4
ĐS: x k, (k ).
4
k
, (k ).
ĐS: x
16 4
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 94
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
x
i) cos 2 x 2 cos x 2 sin 2
2
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
ĐS: x
k 2, (k ).
3
BT 34. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
ĐS: x
2 sin 2 x 3sin x 2 0.
5
k 2, x
k 2, ( k ).
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc – Lần 1
b) 10.cos2 x 7.cos x 6 0.
3
3
ĐS: x k 2, x
2
k 2, ( k ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Phan Bội Châu – Bình Định (đề số 2)
c)
ĐS: x
3sin x cos 2 x 2.
5
k 2, x k 2, x
k 2.
2
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp. Hồ Chí Minh – Lần 1
ĐS: x
d) 2 cos 2 x 8 sin x 5 0.
5
k 2, x
k 2, ( k ).
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Thanh Hóa
e)
16 sin 2
x
cos 2 x 15.
2
ĐS: x k 2, ( k ).
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Tp. Hồ Chí Minh
f)
ĐS: x
2 cos2 2 x 5sin 2 x 1 0.
7
k, x
k, ( k ).
12
12
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Măng Thít – Vĩnh Long
ĐS: x
g) cos 2x cos2 x sin x 2 0.
k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Lào Cai
ĐS: x
h) 3cos2 x 2 cos 2 x 3sin x 1.
k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nhƣ Thanh – Thanh Hóa
i)
cos x
1 sin x.
1 sin x
ĐS: x
k 2, x k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Bắc Yên Thành – Nghệ An – Lần 1
j)
4
1 cos x(2 cos x 1) 2.sin x
1.
1 cos x
ĐS: x k, x
5
k, ( k ).
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh
k)
3sin 2 x 2 sin x
2.
sin 2 x cos x
l)
2 sin x 3 2 sin x sin 2 x 1
1.
(sin x cos x)2
ĐS: x
k 2, ( k ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Lƣơng Ngọc Quyến – Thái Nguyên
2
ĐS: x
5
k 2, ( k ).
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Quảng Ngãi
m)
(1 sin x)(2 sin 2 x 6 cos x 2 sin x 3)
2.
2 cos x 1
ĐS: x
5
k 2, x k 2, x
k 2.
2
6
6
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 95
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Khánh Hòa – Lần 1
n)
3
4 2sin 2 x
2 3 2(cot x 1).
2
sin 2 x
cos x
ĐS: x
k, x k, ( k ).
3
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Tạp Chí Tốn Học & Tuổi Trẻ số 450 (đề số 3)
o)
ĐS: x
3cos x 2 3(1 cos x).cot 2 x.
2
k 2, x arccos k 2.
3
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trƣờng Xuân III – Thanh Hóa
ĐS: x k, x
p) sin 3x cos 2 x 1 2 sin x cos 2 x.
5
k 2 , x
k 2, ( k ).
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nam Yên Thành – Nghệ An – Lần 1
ĐS: x
q) 2cos 5x.cos 3x sin x cos8x.
7
k 2, x k 2 , x
k 2.
2
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh
r)
sin 6 x cos6 x
1
sin 2 x.
4
ĐS: x
k , ( k ).
4
Đề thi thử THTP Quốc Gia 2015 – THPT Đan Phƣợng – Hà Nội
s)
cos x 2 cos2
x
3 0.
3
ĐS: x k 6, ( k ).
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam
t)
ĐS: x k, x
sin 3 x cos4 x 1.
k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa – Lần 1
ĐS: x k 2, x
u) sin 4 x 2 cos 3x 4 sin x cos x.
5
k 2, x
k 2.
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 3 (Ban D)
BT 35. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
2 3(sin 2x 3sin x) cos 2 x 3cos x.
ĐS: x
k, ( k ).
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc – Lần 1
b)
cos 4x 3 sin 2 x 2
sin 4 x 3 cos 2 x
3.
ĐS: x
2
k, x k, ( k ).
3
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Tạp Chí Tốn Học & Tuổi Trẻ Số 449
BT 36. Giải các phương trình lượng giác sau:
3
2 tan x 2
4 cos2 x 2
cos 2 x 1 tan x
a)
3 tan 2 x
b)
2 cos2 x 3cos x 2 cos 3x 4 sin x sin 2 x
c)
(2 tan2 x 1)cos x 2 cos 2 x
d) cos 2 x tan 2 x
cos 2 x cos 3 x 1
cos 2 x
7
k, x
k, ( k ).
12
12
2
k 2, x k 2, ( k ).
ĐS: x
3
ĐS: x k 2, x k 2, ( k ).
3
k 2
, ( k ).
ĐS: x
3
ĐS: x
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 96
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
e)
5
5sin
x 3(1 cos x)cot 2 x 2
2
f)
4sin x 3 2(1 sin x)tan2 x
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
ĐS: x
3sin 2 x 2 sin x 3
3 2 sin 3 x 0
cot x
3sin 2 x 7 sin 3 x 2 sin 4 x 1
h) sin 3x cot 2 x
sin 2 x
g)
7
ĐS: x k 2, x
k 2, ( k ).
6
6
2
ĐS: x
k 2, ( k ).
3
5
ĐS: x k 2, x k 2, x
k 2.
2
6
6
i)
3
x
tan x 2 3 sin x 1 tan x tan
2
2
cos x
ĐS: x
j)
2sin3 x 3 (3sin2 x 2sin x 3)tan x
ĐS: x
k)
3cot 2 x 2 2 sin2 x (2 3 2)cos x
ĐS:
l)
4 3sin x sin 3 x 3cos2 x cos6 x
ĐS:
cos 3x sin 3x
3 cos 2 x
1 2 sin 2 x
3
n) cos4 x sin 4 x cos x sin 3x
4
4 2
m) 5 sin x
o)
sin 2 x sin x
1
1
2 cot 2 x.
2 sin x sin 2 x
p) cot 2 x tan 2 x 2 cot 2 x tan 2 x 9 0.
k 2, ( k ).
3
ĐS:
ĐS:
k, x k, ( k ).
3
6
2
k 2, (k ).
3
x k 2, x k 2, (k ).
4
3
x k, x k 2, ( k ).
2
x k 2, ( k ).
3
x k, ( x ).
4
k 2, (k ).
3
k
ĐS: x
, ( k ).
8 2
ĐS: x
MỘT SỐ DẠNG KHÁC QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HOẶC BẬC CAO
Dạng 1: Phương trình có chứa R(...,tan X , cot X , sin 2X , cos 2X , tan 2X ,...), sao cho cung của
sin, cos gấp đơi cung của tan hoặc cotan. Lúc đó ta đặt t tan X và sẽ biến đổi:
sin 2X 2 sin X cos X 2
cos 2 X 2 cos 2 X 1 2
tan 2X
sin X
2 tan X
2t
cos 2 X
2
cos X
1 tan X 1 t 2
1
1 tan 2 X 1 t 2
1
1 tan 2 X
1 tan 2 X 1 t 2
sin 2 X
2t 2
1 t2
&
cot
2
X
cos 2 X 1 t 2
2t 2
Từ đó thu được phương trình bậc 2 hoặc bậc cao theo t , giải ra sẽ tìm được t x.
BT 37. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
1 3 tan x 2 sin 2 x.
b) cos 2 x tan x 1.
c)
sin 2 x 2 tan x 3.
k, (k ).
4
ĐS: x k x k, (k ).
4
ĐS: x k, ( k ).
4
ĐS: x
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 97
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
k, x k, ( k ).
4
ĐS: x
4
d) (1 tan x)(1 sin 2 x) 1 tan x
cot x
e)
ĐS: x
sin 2x cos 2x
, x ; 0
2 sin 2x
2
1 tan x
1 cot x
2 1 sin 2 x
cos 2 x
1
g) cot x 1
sin 2 x sin 2 x.
1 tan x
2
2
h) cot x tan x 4 sin 2 x
sin 2 x
1
i) 2 tan x cot x 2 sin 2 x
sin 2 x
ĐS: x k, (k ).
f)
k, ( k ).
4
ĐS: x k, (k ).
3
ĐS: x k, ( k ).
3
ĐS: x
tan( x a).tan(b x) 1 khi a b 2 k
tan a tan b
Dạng 2: Áp dụng
hoặc tan( a b)
1 tan a.tan b
cot( x a).cot(b x) 1 khi a b k
2
BT 38. Giải các phương trình lượng giác sau:
2 sin 2 x
a)
sin x cos 3x 2 cos 2 x cos x
tan x tan x
4
4
ĐS: x
11
5
k 2, x
k 2, ( k ).
12
12
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chí Linh – Hải Dƣơng – Lần 1
7
b) sin4 x cos4 x cot x cot x
8
3
6
tan x tan x sin 3x sin x sin 2x
3
6
4
4
sin 2 x cos 2 x
cos 4 4 x
d)
tan x tan x
4
4
c)
ĐS: x
k
, ( k ).
12 2
ĐS: x
k
2
, x
k 2, ( k ).
2
3
ĐS: x
k
, (k ).
2
sin 3 x sin 3 x cos 3 x cos 3 x
1
8
tan x tan x
6
3
a)
2. Phƣơng trình lƣợng giác đối với sinx và cosx (phƣơng trình cổ điển)
Dạng tổng quát: a sin x b cos x c () , a, b \0
Điều kiện có nghiệm của phương trình: a b c , (kiểm tra trước khi giải)
2
2
2
Phƣơng pháp giải:
Chia hai vế cho
Giả sử: cos
a2 b2 0, thì ()
a
a b
2
2
, sin
b
a b2
2
a
a2 b2
sin x
b
a 2 b2
cos x
c
a2 b2
()
, 0; 2 thì:
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 98
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
() sin x cos cos x sin
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
c
a b
2
2
sin( a b)
c
a b2
2
: dạng cơ bản.
sin a cos b cos a sin b sin( a b)
Lƣu ý. Hai công thức sử dụng nhiều nhất là:
cos a cos b sin a sin b cos( a b)
Các dạng có cách giải tƣơng tự:
a2 b2 cos nx
a.sin mx b.cos mx
, ( a 2 b 2 0)
PP
Chia : a2 b2 .
a2 b2 sin nx
a.sin mx b.cos mx c.sin nx d.cos nx , ( a 2 b 2 c 2 d 2 )
BT 39. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
ĐS: x k, x
1 sin 2 x cos 2 x.
k, ( k ).
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trần Cao Vân – Bình Định
b) sin x.( 3 sin x) cos x.(1 cos x) 0.
ĐS: x
k 2 , x k 2 , ( k ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Hà Nội – Lần 3
c)
sin x.(sin x 1) cos x.(1 cos x).
ĐS: x k 2, x
k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Gia Viễn A – Ninh Bình – Lần 1
ĐS: x
d) 2sin2 x 3 sin 2x 2 0.
k, x k, ( k ).
6
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dƣơng – Lần 1
BT 40. Giải các phương trình lượng giác sau đây:
e)
cos7 x cos 5x 3 sin 2x 1 sin7 x sin 5x
f)
cos x sin 3x 3 cos 2 x 3 cos 3x sin x
g)
3 sin 2x cos 2x 2cos x 1
5
h) cos x 2cos 2 x 2sin x.cos 2 x
6
k, ( k ).
3
ĐS: x k, x k, ( k ).
3
2
2
ĐS: x k, x k 2, x
k 2.
2
3
k
ĐS: x
, x k 2, (k ).
4 2
3
ĐS: x k, x
i)
2sin 2 x 4sin x 1
6
ĐS: x k, x
j)
2sin 2 x sin 2x 3sin x cos x 2 0
ĐS: x
k)
2(cos 4 x sin 4 x) 1
3 cos x sin x
x
2 cos
2 3
5
k, ( k ).
6
7
k 2, x
k 2, (k ).
6
6
2
k 4
k, x k 4, x
ĐS: x
3
9
3
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 99
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
a2 b2 cos nx
BT 41. Giải các phương trình lượng giác sau dạng: a.sin mx b.cos mx
a2 b2 sin nx
12
b) cos x 3 sin x 2cos x
3
a)
c)
3 sin x cos x 2 sin
ĐS: x
3
k 2 x
k 2.
12
4
ĐS: x k, (k ).
k 2
k 2, x
, ( k ).
4
12
3
ĐS: x
2 cos 2x sin x cos x 0.
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – Lần 3
ĐS: x
d) sin 3x 3 cos 3x 2sin x 0.
k
k , x
, ( k ).
6
6 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Trung Thiên – Hà Tĩnh – Lần 2
e)
2 cos2
x
3 sin x 1 2 sin 3x.
2
5 k
k, x
, ( k ).
12
24 2
ĐS: x
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc
f)
5 k 2
7
, x
k 2, ( k ).
18
3
6
ĐS: x
sin x 3 cos x 2 4cos2 x.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Bình Dƣơng
g)
k 2
, x k 2, ( k ).
18
3
6
ĐS: x
4sin2 x sin x 2 3 cos x.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Nam Định
h) (sin x cos x)2 3 cos 2x 1 2cos x.
4 k 2
k 2, x
, ( k ).
3
9
3
ĐS: x
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hùng Vƣơng – Phú Thọ
i)
ĐS: x
2cos x.( 3 sin x cos x 1) 1.
k 2
k 2, x
, ( k ).
3
9
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Văn Trỗi – Hà Tĩnh – Lần 1
j)
3 cos 5x 2sin 3x.cos 2x sin x 0.
ĐS: x
k
k
, x
, ( k ).
18 3
6 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Du – Bình Định
k)
3 cos 5x 2sin 3x cos 2x sin x 0
ĐS: x
k
k
, x
, (k ).
18 3
6 2
Đại học khối D năm 2009
BT 42. Giải các phương trình lượng giác sau dạng: a.sin mx b.cos mx c.sin nx d.cos nx
a)
sin 2 x cos x cos 2 x sin x.
b) cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cos x.
c)
3(cos 2x sin 3x) sin 2 x cos 3x.
k 2
, (k ).
ĐS: x k 2 x
2
3
2
k 2
k 2 x
, (k ).
ĐS: x
3
3
k 2
ĐS: x k 2 x
6
10
5
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 100
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
d) cos7 x sin 5x 3(cos 5x sin7 x).
ĐS:
e)
sin 2 x 2 cos2 x sin x cos x 1 0.
ĐS:
f)
sin x sin 2 x
3.
cos x cos 2 x
ĐS:
g) (2 cos x 1)(sin x cos x) 1
h)
i)
j)
k)
l)
m)
ĐS:
1 2 sin x 1 sin x
1 2 sin x
3 cos x
sin x sin 2 x
3.
cos x cos 2 x
cos x sin 2 x
3.
2 cos2 x sin x 1
ĐS:
3 cos2 x 2sin x cos x 3 sin 2 x 1 0.
4sin2 x tan x 2(1 tan x).sin 3x 1
3.(cos 2x sin x) cos x.(2sin x 1) 0.
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
k
x k x
, (k ).
12
8 6
k 2
x
x k 2, (k ).
6
3
2 k 2
x
, (k ).
9
3
k 2
x k 2 , x
, (k ).
6
3
k 2
x
, ( k ).
18
3
k 2
ĐS: x
, ( k ).
9
3
ĐS: x k 2, ( k ).
6
ĐS: x k, x k, ( k ).
4
12
k 2
3
ĐS: x
,x
k 2, x k.
20
5
4
4
5 k 2
ĐS: x k 2, x
, ( k ).
2
18
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trần Phú – Tp. Hồ Chí Minh
x
n) cos 2x 1 tan x.tan tan x 2sin x 1.
2
ĐS: x k 2, x
5
k 2, x
k 2.
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Tạp chí Tốn học & Tuổi Trẻ số 448
BT 43. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
ĐS: x
sin 2x 2 3 cos2 x 2cos x 0.
7
k 2, x k, ( k ).
6
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Bắc Ninh
ĐS: x
b) sin 2 x cos x sin x 1.
3
k, x k 2, x
k 2, ( k ).
4
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Mạc Đỉnh Chi – Tp. Hồ Chí Minh
c)
ĐS: x
3 sin 2x 1 cos 2x 2cos x.
2
k , x k 2, x
k 2.
2
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 1
d) cos 2 x (1 2 cos x)(sin x cos x) 0.
ĐS: x
k, x k 2, x k 2.
4
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đơng Sơn I – Thanh Hóa
e)
ĐS: x k, x
cos 2x 2sin x 1 3 sin 2x.
k 2, x k 2.
2
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – Lần 1
f)
1
sin 2 x 3 cos2 x cos x 0.
2
ĐS: x
k 2, x k 2, ( k ).
6
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nhƣ Thanh – Thanh Hóa – Lần 2
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 101
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
g)
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
ĐS: x k, x k 2, ( k ).
6
3 sin 2x cos 2x 4sin x 1.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quỳnh Lƣu III – Nghệ An – Lần 1
h) 2sin 6x 2sin 4x 3 cos 2 x 3 sin 2 x.
ĐS: x k, x
k
k
, x
12 2
18 3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Lục Ngạn Số 1 – Bắc Giang – Lần 2
i)
cos x cos 3x 1 2 sin 2 x
4
ĐS: x
k, x k, x k 2, ( k ).
2
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – Lần 2
j)
2cos6x 2cos 4x 3 cos 2 x sin 2 x 3.
ĐS: x
k
k
k, x
, x
2
24 2
36 3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 3
k) ( 3 1)sin x cos x ( 3 1)cos 2 x sin x cos x 1
ĐS: S k, k 2, k 2
6
2
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trần Quốc Tuấn – Phú Yên
BT 44. Giải các phương trình lượng giác sau dạng: m.sin 2x n.cos 2 x p.sin x q.cos x r 0
a)
sin 2 x cos 2 x sin x cos x 1.
ĐS: x
2
k 2, x k, ( k ).
3
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hùng Vƣơng – Gia Lai – Lần 2
b) cos x sin x sin 2 x cos 2 x 1.
ĐS: x k, x k 2, ( k ).
4
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Gang Thép – Thái Nguyên – Lần 1
c)
2 sin 2x 3sin x cos x 2.
4
ĐS: x
k 2, x k 2, ( k ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Số 1 Tuy Phƣớc – Bình Định
d) sin 2 x cos x 2 sin x cos 2 x 3sin 2 x.
ĐS: x k 2, x
k 2, x 2 k 2.
2
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Cơng Trứ – Tp. Hồ Chí Minh
e)
sin 2 x 2cos2 x 3sin x cos x.
7
k 2, ( k ).
ĐS: x k 2, x
6
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Huệ – Đăk Lăk – Lần 1
f)
sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0.
g) sin 2 x 2 cos 2 x 1 sin x 4 cos x.
h) sin 2x 3 cos 2x 3(sin x 3) 7 cos x.
i)
3(sin 2x 3sin x) 2cos2 x 3cos x 5
5
k 2, x
k 2, ( k ).
6
6
ĐS: x k 2, ( k ).
3
5
k 2, ( k ).
ĐS: x
6
2
k 2.
ĐS: x k 2, x k 2, x
3
3
ĐS: x
3. Phƣơng trình lƣợng giác đẳng cấp (bậc hai, bậc ba, bậc bốn)
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 102
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Dạng tổng quát: a.sin 2 X b.sin X cos X c.cos 2 X d (1) a , b, c , d
Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin
Phƣơng pháp giải:
Bước 1. Kiểm tra xem X
Bước 2. Khi X
(1) a
cos X 0
có phải là nghiệm hay khơng ?
k, ( k ) 2
2
sin x 1
cos X 0
. Chia hai vế (1) cho cos 2 X :
k , (k ) 2
2
sin
X
1
sin 2 X
sin X cos X
cos 2 X
d
b
c
a tan 2 X b tan X c d(1 tan 2 X )
2
2
2
2
cos X
cos X
cos X cos X
Bước 3. Đặt t tan X để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải.
Lƣu ý. Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn:
a sin 3 X b sin 2 X cos X c sin X cos2 X d cos3 X 0
4
3
2
2
3
4
a sin X b sin X cos X c sin X cos X d sin X cos X e cos X 0
PP
Kiểm tra và chia hai vế cho cos3 X 0 (hay cos4 X).
BT 45. Giải các phương trình lượng giác sau:
ĐS: x k x k, (k ).
3
b) 2cos2 x 3 3 sin 2 x 4sin 2 x 4.
ĐS: x k x k, (k ).
2
6
c) 2sin2 x 3 3 sin x cos x cos2 x 2.
ĐS: x k x k, ( k ).
2
6
d)
3 sin2 x (1 3)sin x cos x cos2 x 1 3. ĐS: x k, x k, ( k ).
4
3
9
k
k
e) cos2 (3 2 x) 3 cos 4 x 1 sin 2 2 x. ĐS: x
x
, ( k ).
2
6 2
2
a)
cos2 x 3 sin 2x 1 sin 2 x.
f)
9 sin 2 x 30 sin x cos x 25cos2 x 25.
g) sin 2 x 3sin x cos x 4 cos2 x 0.
h) 4 cos2 x 3sin x cos x sin 2 x 3.
i)
2 sin 2 x sin x cos x cos2 x 2.
j)
sin 2 x 3sin x cos x 1.
k) 7 cos x 4cos3 x 4sin 2x.
15
ĐS: x k, x arctan k, ( k ).
8
ĐS: x k x arctan( 4) k.
4
1
ĐS: x k x arctan k.
4
4
k x arctan( 3) k.
2
1
ĐS: x k x arctan k.
4
2
ĐS: x k x k 2, (k ).
2
3
ĐS: x
BT 46. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
sin x 2 cos 3 x.
ĐS: x
k, (k ).
4
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 103
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
b) cos3 x sin 3 x sin x cos x.
c)
sin x 4 sin 3 x cos x 0.
d) 4(sin3 x cos3 x) cos x 3sin x.
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
ĐS:
ĐS:
e)
6sin x 2cos3 x 5sin 2 x cos x.
ĐS:
f)
sin3 x 3 cos3 x sin x cos2 x 3 sin2 x cos x.
ĐS:
g)
3cos4 x 4sin 2 x cos2 x sin4 x 0.
ĐS:
h) cos3 x 4 sin 3 x 3cos x sin 2 x sin x 0
ĐS:
(1 cos 2 x)2
2 cos 2 x
2 sin 2 x
i)
sin 2 x
j)
tan x.sin2 x 2sin 2 x 3(cos 2 x sin x cos x)
ĐS:
ĐS:
k) sin3 x 3 cos3 x sin x cos2 x 3 sin2 x cos x. ĐS:
l)
4 sin 3 x 3cos3 x 3sin x sin 2 x cos x 0.
m) 3cos4 x 4sin 2 x cos2 x sin4 x 0.
ĐS:
ĐS:
n) 4sin4 x 4cos4 x 5sin 2x cos 2x cos2 2x 6. ĐS:
o)
2 2 cos3 x 3cos x sin x 0.
4
k, (k ).
2
x k, ( k ).
4
x k, x k, ( k ).
3
4
x k, ( k ).
4
x k x k.
4
3
x k x k.
4
3
x k, x k, ( k ).
4
6
x k, ( k ).
4
x k, x k, ( k ).
4
3
x k, x k.
4
3
x k, x k.
4
6
x k, x k.
4
3
k
1
1 k
x
, x arctan
8 2
2
4 2
x k, x k, ( k ).
2
4
ĐS: x
ĐS:
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 104
