Bộ đề thi giỏi tóan cấp thành phố lớp 9

MàKÍ HIỆU 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

[*****]

LỚP 9 ­ Năm học 2015­2016

MÔN: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề thi gồm 05 câu, 01trang)

Câu  1 (2 điểm):
a) Cho  x = 3 + 2 ; y = 3 − 2 . Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức 
A = x5 + y5 .
b) Cho  A =

x
xy + x + 2

+

y
yz + y + 1

+

2 z
.      Biết xyz=4, tính  A
zx + 2 z + 2

Câu 2(2 điểm):
a) Giả sử phương trình: x2+ax+b = 0 có hai nghiệm x1, x2 và phương  trình :x2+cx +d = 0 có hai 
nghiệm x3, x4.
Chứng minh rằng: 2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b­d)2­ (a2­c2)(b­d)+(a+c)2(b+d)   
b) Cho hệ phương trình: 

mx − 2 y = 2
  (với  m  là tham số).  Tìm  m  để hệ phương trình đã cho 
2 x + my = 5

có nghiệm  ( x; y )  thỏa mãn hệ thức:    x + y − 2014 =

−2015m 2 + 14m − 8056
m2 + 4

Câu 3(2điểm):

a) Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn  P = a 2 + b2 là số nguyên tố.  P − 5  chia hết cho 
8. Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn  ax 2 − by 2  chia hết cho P. Chứng minh rằng cả hai 
số x,y  đều chia hết cho P.
3

�x − 1 � 1
�3 − 2 x x �
1
b) Cho  x > 1; y > 0 , chứng minh: 
+ � �+ 3 3 �
+ �
3
( x − 1) � y � y

�x − 1 y �
Câu 4(3 điểm):
Cho đoạn thẳng  AC  có độ dài bằng  a.  Trên đoạn  AC  lấy điểm  B  sao cho  AC = 4 AB.  Tia  Cx  
vuông góc với  AC  tại điểm  C ,  gọi  D  là một điểm bất kỳ thuộc tia  Cx  ( D  không trùng với  C
). Từ điểm  B  kẻ đường thẳng vuông góc với  AD  cắt hai đường thẳng  AD  và  CD  lần lượt tại 
K ,   E.
a) Tính giá trị  DC .CE  theo  a.
b) Xác định vị trí điểm  D  để tam giác  BDE  có diện tích nhỏ nhất .
c) Chứng minh rằng khi điểm  D  thay đổi  trên tia  Cx  thì đường tròn đường kính  DE  
luôn 
có một dây cung cố định.
Câu 5(1 điểm):    
Trong một cuộc thi giải toán có 31 bạn tham gia. Mỗi bạn phải giải 5 bài. Cách cho điểm  
như sau: mỗi bài làm đúng được 2 điểm, mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị trừ 1 điểm, điểm  
thấp nhất của mỗi bạn là 0 điểm (không có điểm là số  âm). Chứng tỏ  rằng có ít nhất 7 bạn có 
số điểm bằng nhau.
                             ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

1

PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma


MàKÍ HIỆU

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH 
PHỐ

[*****]

Lớp  9 ­ Năm học 2015 ­ 2016
MÔN:Toán
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

         Chú ý:

­ Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa
­

Điểm bài thi làm tròn đến 0,25

Câu 

Đáp án

Điểm

a) (1 điểm)
Tính được x + y = 6 và xy = 7

0,25

      Tính được x2 + y2= 22

0,25

      Và x  + y  = 90

0,25

      Tính được x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686

0,25

3

Câu 1
2 đ

3

b) (1 điểm)
ĐKXĐ x,y,z 0. Kết hợp xyz=4  � x, y, z > 0; xyz = 2

0,25

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với  x , thay 2 ở mẫu của hạng 

0,25

tử thứ ba bởi  xyz  ta được.
A=

x
xy + x + 2

+

xy
2 + xy + x

+

z

2 z

(

x + 2 + xy

)

=1

0,25

Suy ra  A = 1  ( vì A>0).

Câu 2
2 đ

0,25

a) ( 1 điểm)
 VT = 2[x12+x1(x3+x4)+x3x4][ x22+x2(x3+x4)+x3x4]
      =2(x12­ cx1+d) (x22­ cx2+d)( theo Vi ét)

     0,5

      =2[x1 x1 ­ c x1x2(x1+x2)+d(x1 + x2 )+c x1x2­ cd(x1+x2)+d ]
2

2

2

2

2

2

      =2[b2+abc+d(a2­2b)+c2b+acd+ d2] =2(b­d)2+2a2d+2c2b+2abc+2abd
VP = 2(b­d)2­ a2(b­d)+c2((b­d)+ a2(b+d)+c2(b+d)+2ac(b+d)
     =2(b­d) +2a d+2c b+2abc+2abd .
2

2

2

0,5

Vậy VT = VP (đpcm)

2

PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma

b) (1 điểm)
 Dùng phương pháp thế, ta có:
mx − 2
mx − 2
y=
�y =
�
2
��
��
2
mx − 2
2 x + my = 5
�
2 x + my = 5 �
2x + m
=5
2
mx − 2 y = 2

0,25

 
2m + 10
mx − 2
x= 2
y
=
�

� m +4
2
��
��
,∀m �R
5m − 4
2
�
�
y= 2
( m + 4 ) x=2m+10
m +4
2m + 10
m2 + 4
,∀m R
Nên hệ luôn có nghiệm duy nhất:  
5m − 4
y= 2
m +4
x=

Thay vào hệ thức:  x + y − 2014 =
Ta được:      

0,25

−2015m 2 + 14m − 8056
m2 + 4

−2014m 2 + 7m − 8050 −2015m 2 + 14m − 8056

=
m2 + 4
m2 + 4

� −2014m 2 + 7 m − 8050 = −2015m 2 + 14m − 8056
                  � m − 7 m + 6 = 0 � ( m − 1) ( m − 6 ) = 0  
2

m =1
m =6

Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm  ( x; y )  thỏa mãn hệ 
thức: 

0,25

m =1
−2015m 2 + 14m − 8056
 thì 
x + y − 2014 =
m=6
m2 + 4
    0,25

Câu 3
2 đ

a) ( 1 điểm)
Đặt P=8k+5 ( k là số tự nhiên)
Ta có  �

( ax
�

)

2 4k +2

− ( by 2 )

4k +2

     0,25

�
M( ax 2 − by 2 ) � a 4 k + 2 .x8 k + 4 − b 4 k + 2 . y 8 k + 4 MP
�

3

PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma


� ( a 4 k + 2 + b 4 k + 2 ) .x8 k + 4 − b 4 k + 2 ( x8k + 4 + y 8 k + 4 ) MP

Mà  a 4 k + 2 + b 4 k + 2 = ( a 2 )
 và b < P � x

8 k +4

2 k +1

+ ( b2 )

2 k +1

0,25

Ma 2 + b 2 = P  

0,25

+ y 8 k +4 MP ( *)

­Nếu trong hai số x,y có một số chia hất cho P. thì từ (*) ta suy ra số thứ 
0,25

hai cũng chia hết cho p.
­

Nếu cả hai không chia hết cho P , theo định lý Fec­ ma ta có

x8k +4 �y 8k +4 �1( mod P ) � x 8 k +4 + y 8 k +4 �2 ( mod P )  mâu thuẫn với (*)

Vậy cả hai số x,y cùng chia hết cho P.

b) ( 1 điểm)
  x > 1; y > 0   � x − 1 > 0; y > 0 �

1
x −1

1
> 0;
> 0; 3 > 0
3
( x − 1)
y
y

0,25

Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 
1
1
+ 1+ �۳
1 −
3. 3
.1.1
3
( x − 1)
( x − 1) 3
3

1
( x − 1) 3

3

1
y3

(1)

3

�x − 1 �
�x − 1 �
1 −3 3 � �.1.1
� �+ 1+ �۳
�y �
�y �
1
1
+ 1+ �۳
1 −
3. 3 3 .1.1
3
y
y

3
2
x −1

�x − 1 � 3( x − 1)
2
� �
y
�y �
3
y

2

(2)

(3)

Từ (1); (2); (3): 

0,25
3

�x − 1 � 1
1
+ � �+ 3
3
( x − 1) � y � y
3

�

0,25

3
3( x − 1) 3
−6+
+
x −1
y
y

�x − 1 � 1 3 − 6 x + 6 3 x
1
3 − 2x x
+ � �+ 3 �
+
= 3(
+ )
3
( x − 1) � y � y
x −1
y
x −1 y

0,25

4

PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma


Hình vẽ

4
3 đ

D

K
A

B

N

C

M

E

 

a) ( 1 điểm): Tính giá trị  DC.CE  theo  a .
ﾷ
ﾷ
ﾷ
Ta có:  EBC
);  ﾷACD = ECB
= ﾷADC  (Cùng bù với góc  KBC
= 90o

0,25

� ∆ACD  và  ∆ECB  đồng dạng với nhau(g­g)

0,25

�

DC AC
=
� DC.CE = AC.BC
BC EC

Do  AB =

a
3a
; BC =
4
4

0,25

DC.EC = AC.BC =

3a 2
4

0,25

b) (1 điểm):  Xác định vị  trí điểm   D   để  tam giác   BDE   có diện tích nhỏ 
nhất.

1
S∆BDE = BC.DE
2

S ∆BDE  nhỏ nhất khi và chỉ khi  DE  nhỏ nhất.

Ta   có:   DE = DC + EC

2 DC .EC = 2

0,25

3a 2
= a 3   (   Theo   chứng 
4

minh phần a)
    Dấu  " = " � DC = EC =

a 3.
2

S( BDE )   nhỏ   nhất   bằng   3a

CD =

a 3.
2

2

8

0,5

3

  khi   D   thuộc   tia   Cx   sao   cho 

0,25

c) (1 điểm): Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi  trên tia  Cx  thì đường 
tròn đường kính  DE  luôn có một dây cung cố định.
5

PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma


Gọi giao điểm của đường tròn đường kính  DE  với đường thẳng 
AC là M, N ( M nằm giữa A và B) 

M, N đối xứng qua DE.

0,25

Ta có: Hai tam giác  ∆AKB  và  ∆ACD  đồng dạng (g­g)
            �

AK AB
=
� AK . AD = AC. AB        (1)
AC AD

           Hai tam giác  ∆AKM  và  ∆AND  đồng dạng (g­g)
            �

AK AM
=
� AK . AD = AM . AN        (2)
AN AD

T ừ (1) v à (2) suy ra  AM . AN = AC. AB =

�

0,25

a2
4

a2
= ( AC − MC )( AC + NC ) = AC 2 − MC 2 (Do MC = NC)
4

� MC 2 =

3a 2
a 3
� MC = NC =
4
2

0,25

M , N  là hai điểm cố định. 

Vậy đường tròn đường kính  DE  luôn có dây cung  MN  cố định.

5
1 đ

Số điểm của mỗi bạn có thể xếp theo 5 loại sau đây:
   ­ Làm đúng 5 bài, được 10 điểm.
   ­ Làm đúng 4 bài, được 7 điểm.
   ­ Làm đúng 3 bài, được 4 điểm.
   ­ Làm đúng 2 bài, được 1 điểm.
   ­ Loại còn lại, đều bị 0 điểm
   Vì 31 chia 5 có thương là 6 và dư 1, nên theo Nguyên lý Đi­rích­lê, có ít 
nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau.

0,25

0,5
0,5

                                   ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­
  NGƯỜI SOẠN ĐỀ                          TỔ CHUYÊN MÔN                          BAN GIÁM HIỆU

6

PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma