một số bài toán về đạo hàm

§1. MỞ ĐẦU VỀ ĐẠO HÀM
Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
1. y = f ( x ) = 2 x 2 − x + 2 t¹i x0 = 1
3. y = f ( x ) =

2. y = f ( x ) = 3 − 2 x t¹i x0 = −3

2x + 1
t¹i x0 = 2
x −1

4. y = f ( x ) = sin x t¹i x0 =

5. y = f ( x ) = 3 x t¹i x0 = 1

6. y = f ( x ) =

π
6

x2 + x + 1
t¹i x0 = 0
x −1

Bài 2. Dùng định nghĩa tính các đạo hàm của hàm số sau:
1. f ( x ) = x 2 − 3 x + 1

2. f ( x ) = x 3 − 2 x

3. f ( x ) = x + 1, ( x > −1)

4. f ( x ) =

1
2x − 3
1
6. f ( x ) =
cos x

5. f ( x ) = sin x

Bài 3. Chứng minh rằng hàm số
tục tại đó.

Bài 4. Cho hàm số

Bài 5. Cho hàm số
x=0
tại
.

( x − 1) 2 , x ≥ 0
f ( x) = 
2
( x + 1) , x < 0

3
khi x ≤ 0
 x − 2
f ( x) =  2
 x + ax + b khi x > 0

1 − 1 − x
khi x ≠ 0

x
f ( x) = 
1
khi x = 0
 2

không có đạo hàm tại

x=0

, nhưng liên

a, b
. Tìm

để hàm số có đạo hàm tại

x=0

.

. Chứng minh rằng hàm số liên tục và có đạo hàm

Bài 6. Xét tính liên tục và tính đạo hàm (nếu có) của hàm số:

 x 2 − x + 2 khi x ≤ 2

a. f ( x ) =  1
khi x > 2

 x −1
 x 2 + 1 khi x > 0
b. f ( x ) = 
3
1 − x khi x ≤ 0

tại điểm

tại điểm

3 − 2x + 9
khi x > 0

x
c. f ( x ) = 
1
khi x ≤ 0
 3

x=2

x=0

tại điểm

x=0

x2 − 2 x + 3
f ( x) =
3x − 1

f ( x)

Bài 7. Cho hàm số
. Chứng minh rằng hàm số
nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

( C)

y = 2 x 2 + x − 1,
Bài 8. Cho hàm số
−3
và
.

A, B
. Hai điểm

a. Tính hệ số góc của cắt tuyến

thuộc đồ thị có hoành độ lần lượt bằng 1

AB

, suy ra phương trình đường thẳng

A
B
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại
và .
y=
Bài 9. Cho hàm số

x+3
, ( C)
x −1

x = −3

liên tục tại điểm

AB

.

A, B
. Hai điểm

a. Tính hệ số góc của cắt tuyến

AB

thuộc đồ thị có hoành độ lần lượt bằng

, suy ra phương trình đường thẳng
A

B
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại
và .

AB

0

và

2

.

y = x3 − 4 x, ( C )
Bài 10. Cho hàm số
thị và các trục tọa độ.

. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ

.


s ( t ) = 3t 2 + 2t − 1
Bài 11. Một vật chuyển động với phương trình

s ( m) ; t ( s)
, trong đó

.

t = 2 ( s ) 
→ t = 2 + ∆t
a. Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ
0, 2
0,05
nhận giác trị lần lượt bằng
và
.
t = 3( s )
b. Tính vận tốc của vật tại thời điểm
.

khi

Bài 12. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng công thức:
1. y = ( x + 1) ( 2 x − 3 )
3. y =

2. y =

x2
− 2 x + x5
3

(

)

x + 2 ( 3 x − 1)

1

4. y = ( 2 x 2 − 1)  x3 + ÷
2

y' = 0

Bài 13. Tìm nghiệm của các phương trình
1. y = x 3 − 3 x 2 + 1

với:
2. y =

1 4
x − 2 x2 + 3
2

§2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y = ( 2 x 2 − 1) ( 3x − 2 )
1
3. y = 2 x 4 − x 3 + 2 x − 5
3
5. y = ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) ( x 2 − 9 )
7. y =

(

)

 1

x +1 
− 1÷
 x 

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2. y = ( 3x 3 + 2 x ) ( x 2 − 1)
3
2
− x+ x x
2
x
3
6. y = ( x 3 − 2 ) ( 1 − x 2 )
4. y =

8. y =

2x2 − 4 x + 1
x −3

∆t


1 + x − x2
2. y =
1 − x + x2

x+ x
5. y =
x+2

2 x2
1. y = 2
x − 2x − 3
x 2 − 3x + 3
4. y =
x −1
7. y = ( x 2 + x + 1)

6

 x2 + x + 3 
10. y = 
÷
 2x + 5 
13. y = ( 2 x + x + 1)

6. y = ( x + 3)

8. y = ( 3 x 2 + 4 x + 2 )

5

2

3. y = ( 2 x + 1)

(

11. y = 1 + x

)

2015

10

 2x 
9. y = 
÷
 x +1 

1998

(1+ x )
12. y =

10

12

x6

( 1− x )
14. y =

5

5

2

3

 2x + 1 
15. y = 
÷
 x −1 

2+ x

( x + 1)
17. y =
3
( x − 1)

2

16. y = x − x + 2
3

19. y =

3

4x +1

18. y = x + x

20. y = ( x − 2 ) x + 3

x2 + 2

4 + x2
22. y =
x

23. y =

25. y = 2 x 2 − 5 x + 2

26. y =

28. y = ( x 9 − x )

29. y = ( −4 x 3 + 3 x 2 − 5 x + 3)

2

31. y = ( x − 2 x 2 )

2

− 2 x + 5)

( x − 2)

24. y = 1 + 1 − 2 x

2

27. y = ( 3 − 2 x 2 )

3
2

30. y = ( 1 − 2 x 2 )

( 2 − x) ( 3 + x)
2

3

2

40. y = x 2 − 3 x − 3 − 2 x

38. y = ( 1 + 2 x ) ( 2 + 3 x 2 ) ( 3 − 4 x3 )
41. y = 2

( 2 x − 3)

3

39. y =

3

5

3

36. y =

)

3

33. y = ( x 2 + x + 1)

4

( x − 1)
35. y =
2
( x + 1)

5

1− x + x

(

1

32. y = ( x 2 + x + 1)

32

 2x + 1 
34. y = 
÷
 x −1 
37. y =

(x

x3
x −1

21. y =

2

3

(x

2

5

(x

2

− x + 1)

1. f ( x ) = x3 + x − 2, g ( x ) = 3x 2 + x + 2

5

1 7
4
x − x5 + x3
7
x

− 3 x 2 + 18 x

f '( x ) > g '( x )

Bài 3. Giải bất phương trình

− x + 1)

với:
2. f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 3, g ( x ) = x 3 +

x2
− 3
2

2


y' = 0

Bài 4. Giải phương trình

với:

1 7
4
3
x − x5 + x3
b. y = x 2 − 3x − 3 − 2 x
c. y = 2 ( 2 x − 3) − 3 x 2 + 18 x
7
3
4
d . y = x ( 12 x + 45 x 3 + 235 x 2 + 90 x + 60 )
e. y = 6 x ( x 4 + 70 ) + 25 x 2 ( x 2 + 14 x + 30 )
a. y =

§3. BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN
y = x 3 − 3x 2
Bài 1. Cho hàm số

. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị:
x0 = −1

a. Tại điểm có hoành độ
.
y0 = −4
b. Tại điểm có tung độ
.
c. Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

y=
Bài 2. Cho hàm số
với trục hoành.
y=
Bài 3. Cho hàm số

1 4
x − x2
2

x+2
x −1

. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị

. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết:
x0 = 2

a. Tại điểm có hoành độ
.
b. Tại giao điểm của đồ thị và các trục tọa độ
y = x 3 + ( 2m − 1) x 2 + ( 3 − m ) x + 1

Bài 4. Cho hàm số

. Tìm

m

A ( 1; −1)

x0 = 2
a. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
b. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
y=
Bài 5. Cho hàm số
A ( 2; −2 )
điểm

.

x +1
x − 2m

. Tìm

m

x0 = 0

để:

đi qua điểm

.

cắt các trục tọa độ tạo thành tam giác có

S =1

.

Oy
để tiếp tuyến tại giao điểm có đồ thị và trục

đi qua


y = x3 + 3x 2 + x + 1
Bài 6. Cho hàm số

. Tìm điểm

với đồ thị đi qua gốc tọa độ

O

M

.

y = x3 + ( m + 1) x 2 + 3mx + 1

Bài 7. Cho hàm số

. Tìm

a. Tại điểm có hoành độ
b. Tại điểm có hoành độ

thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại

x = −1
x=2

m

để tiếp tuyến:
d : 2x − y + 3 = 0

song song với đường thẳng

d ' : x − 3y + 3 = 0

vuông góc với đường thẳng

y = x 4 + 2 ( m − 1) x 2 − m − 3
Bài 8. Cho hàm số
thị hàm số vuông góc với nhau.

. Tìm

m

Bài 9. Cho hàm số

.
.

để tiếp tuyến tại các điểm cố định của đồ

y = x 3 − ( m + 1) x 2 + ( 2m − 3) x + 1

. Tìm

a. Tại điểm có hoành độ

M

m

để tiếp tuyến:
d : 4x − 3y +1 = 0

x=0

vuông góc với đường thẳng
.
d
'
:
2
x
−
3
y
+
2
=
0

x = −1
b. Tại điểm có hoành độ
song song với đường thẳng
.
y=
Bài 10. Cho hàm số

2x + 1
x +1

. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cách đều các điểm

A ( 2; 4 ) , B ( −4; −2 )
.
y=
Bài 11. Cho hàm số
M

2x −1
x −1

( C)
có đồ thị là

( C)
thuộc

. Gọi

( C)

sao cho tiếp tuyến của

tại

M

y = x 3 − ( m − 2 ) x 2 + mx + 3
Bài 12. Cho hàm số

.

I

( C)
là giao điểm 2 tiệm cận của

vuông góc với đường thẳng

IM

.

. Tìm điểm


a. Tìm

m

để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ

x =1

song song với đường

( d ) : y = 2x −1
.
b. Tìm

m

để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ

x=0

vuông góc với đường

( d ) : 4x − 3y = 0
.
y = 2 x3 − 3mx 2 + mx + 1
Bài 13. Cho hàm số
a. Tìm

.
∆ :4 x + y + 1 = 0

m

để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng
x = −2

b. Tìm
để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm
vuông góc với đường thẳng
∆ ' : 2x + 3y + 2 = 0
.

.

m

y=

x + 3m
x−m

Bài 14. Cho hàm số
. Tìm
d : x − 2y +1 = 0
với đường thẳng
.

Oy
tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục

( C)

y = x 3 − 3x 2
Bài 15. Cho hàm số

m

,

( C)
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

I ( 1; −2 )

tại điểm
.
( C)
I
b. Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị
không đi qua .
§4. ĐẠO HÀM CẤP CAO
Bài 1. Chứng minh rằng:
y=
a. Nếu
y=
b. Nếu

3x
4x − 3

x 2 dy + y 2 dx = 0
thì

2

3

3x
− 15 x + 3
2

y 2 dy − ( x − 5 ) dx = 0
thì

vuông góc


y = x 2 sin x + 2 x 2
c. Nếu

thì
y = 2e + 3

ydy − e x dx = 0

x

d. Nếu

e. Nếu

3x + 1
y=
x −1

(

thì

( y − 3) y " = 2 ( y ' )
thì

y = x + x2 + 1
f. Nếu

y = sin 4 2 x
g. Nếu

h. Nếu

xdy − 2 ydx − x 3 cos xdx = 0

thì

)

3

2

( 1 + x ) y "+ xy '− 9 y = 0
2

thì
5
1 ( 4)

8 y + y "+
y =3
8
128

π
π


y = 3sin  2 x + ÷+ 2cos  2 x + ÷
3
3



y ( 4) + y "'+ 4 y "+ 4 y ' = 0
thì

Bài 2. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đây đến cấp bậc được kèm theo:
π 
a. f ( x ) = x 4 − cos 2 x. f ( 4)  ÷ = ?
3
x
c. f ( x ) = 2 . f ( 100) ( 0 ) = ?
x +1

Bài 3. Tìm đạo hàm cấp
a. y =

2 − 3x

x2 −1

n

 π
b. f ( x ) = cos 2 x. f ( 5 )  − ÷ = ?
 4
d . f ( x ) = x . f ( n) ( 2 ) = ?

của các hàm số sau:
b. y =

2 x 2 + 3x + 2
x +1

c. y = cos3 2 x