MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)CÓ THỂ
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI
Nhắc lại:
* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm :
(1)
- Cách viết tương đương: . (2)
Dấu xẩy ra khi và chỉ khi .
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý , ta có:
- (Vì .
* Một số kết quả thường dùng:
.
Thật vậy, vì nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
.
.
Thật vậy, vì nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta
được:
.
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi ta có: .
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số
hạng nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của . Vậy ta
phải viết lại vế trái như sau:
(*)
Vì nên .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương , ta có:
Hay . (**)
Kết hợp với (*), suy ra:

.
Vậy (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra
(do )
.
——-
Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng
Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng
tương đường của BĐT (1) là . (3)
Quay lại bài tập này, với mọi thì . Vậy áp dụng
BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
. (đpcm)
Dấu “=” xảy ra .
——————
Cc v d khc:
V d 1: Cho hai số thực không âm a,b. Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có:
đpcm.
Đẳng thức xảy ra .
V d 2: Cho . Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có:
đpcm.
Đẳng thức xảy ra .

Nhận xét: BĐT trên còn được viết lại như sau: (I) . BĐT này
có nhiều ứng dụng trong chứng minh BĐT. Ta xét một số bài toán sau:
Bài toán 2.1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, p là chu vi. Chứng
minh rằng:

.
Giải: áp dụng Bđt (I) ta có: . Tương tự ta
cũng có :
. Cộng ba BĐT này ta có đpcm.
Bài toán 2.2: Cho và . Chứng minh: .
Giải: Ta có:
Mặt khác áp dụng BĐT (I) ta có: .
Do đó: đpcm. Đẳng thức xảy ra .
Bài toán 2.3: Cho . Chứng minh BĐT sau:
.
Giải: Áp dụng BĐT (I’) ta có:
Tương tự: .
Cộng ba BĐT trên ta có được đpcm. Đẳng thức xảy ra .
Bài toán 2.4: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
.
Giải: Áp dụng BĐT (I) ta có:
.
Tương tự
.
Cộng ba BĐT trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra .
V d 3: Cho . Chứng minh: với .
Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có:
mà nên suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra .
V d 4: Cho . Cmr: .
Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có: .
Tương tự: .
Mặt khác: .
Vậy : đpcm. Đẳng thức xảy ra .

V d 5 : Cho . Chứng minh : (II).
Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có :
đpcm.
Nhận xét : * BĐT trên còn được viết lại như sau : (II)
* Tương tự ta có BĐT tổng quát của (I) và (II) như sau :
Cho n số thực dương khi đó :
(III).
Đẳng thức xảy ra .
Các BĐT (I), (II), (III) được sử dụng nhiều trong các bài toán BĐT. Ta xét
các bài toán sau
Bài toán 5.1 : Cho ba số thực dương a,b,c. Cmr :
.
Giải : Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành
Áp dụng BĐT (II) ta có :
đpcm.
Đẳng thức xảy ra .
Nhận xét : BĐT trên có tên là BĐT Nesbit cho ba số. Có nhiều cách để
chứng minh BĐT trên sau đây ta xét một cách chứng minh cho BĐT trên
Đặt
Khi đó : và .
Đây là lời giải có lẽ là hay nhất cho bài toán này. Tuy nhiên việc tìm được
lời giải như vậy không phải là việc đơn giản.
Bài toán 5.2 : Cho và .
Cmr : .
Giải : Ta có BĐT
.
Áp dụng BĐT (II) ta có : đpcm.
Đẳng thức xảy ra .
Bài toán 5.3 : Cho và . Chứng minh rằng
.

Giải : Ta có .
Áp dụng BĐT (II) ta có : đpcm.
Đẳng thức có
Bài toán 5.4 : Cho và . Chứng minh rằng
.
Giải : Áp dụng BĐT (II) ta có :

Mặt khác :
Suy ra : đpcm.
Đẳng thức xảy ra .
Bài toán 5.4 : Cho . CMR:
.
HD: Áp dụng (III) với n=4 ta có:
.
Tương tự :
và
Cộng 3 BĐT trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra .
Bài toán 5.5 : Cho n số thực dương có tổng bằng 1. Chứng
minh rằng :
Giải :
a) BĐT
(*)
Áp dụng BĐT (III) ta có : đpcm.
Đẳng thức xảy ra .
b) BĐT
(**)
Áp dụng BĐT (III) ta có : đpcm.
Đẳng thức xảy ra .

V d 6 : Cho . Cmr : .

Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có :
.
Tương tự : .
Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc :
Đẳng thức xảy ra .

Nhận xét :* Phương pháp mà chúng ta làm ở trong bài toán trên người ta
thương gọi là phương pháp tách gép cặp trong BĐT Côsi.
Vì sao chúng ta lại gép ? Mục đích của việc làm này là làm
mất các biến ở mẫu do vế phải của BĐT là một biểu thức không có biến ở
mẫu. Vì sao ta lại gép mà không phải là hay … điều này
xuất phát từ điều kiện để đẳng thức xảy ra. Vì BĐT đã cho là một BĐT đối
xứng (Tức là khi đổi vị trí hai biến bất kì cho nhau thì BĐT không thay đổi)
nên đẳng thức thường xảy ra khi các biến bằng nhau và khi đó
nên ta phải gép với .
* Nếu thì ta có : nên : .
* Phương pháp trên được sử dụng nhiều trong chứng minh BĐT

V d 7 : Cho và . Chứng minh rằng :
.
Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có:
.
Tương tự:
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được:
.
Đẳng thức xảy ra .

V d 8 : Cho . Chứng minh rằng :
.
Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho bốn số thực dương ta có :

. Tương tự cũng có :
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có đpcm. Đẳng thức có .
V d 9 : Cho và n là một số tự nhiên dương. Chứng minh
.
Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho n-1 số và 1 số ta có :
. Tương tự :
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được :
Mặt khác ta lại có :

Do đó : đpcm
Đẳng thức xảy ra .

V d 10 : Cho và . Chứng minh rằng :
.
Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực không âm ta có :
.
Tương tự :
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được :
Mặt khác : .
đpcm.
Đẳng thức xảy ra .

Nhận xét : * Xuất phát từ nên ta áp dụng BĐT Côsi cho ba số có
dạng
. Do đẳng thức xảy ra khi .
* Tương tự ta có bài toán tổng quát như sau :
V d 11 : Cho số thực không âm có tích bằng 1 . Chứng
minh
với .
Giải :Áp dụng BĐT Côsi cho m số, gồm n số và số 1 ta có :

.
Cho i=1,2,…,k rồi lấy tổng hai vế ta được:
Mà:
đpcm.
Đẳng thức xảy ra .