Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 1 - Hình học không gian)

1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

00. VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. CÁC QUY TẮC VÉC TƠ

Quy tắc véc tơ đối :
Với mọi hai điểm A, B cho trước ta luôn có AB = − BA ⇔ AB + BA = 0
Quy tắc cộng véc tơ :
Cho trước hai điểm A, B. Với mọi các điểm M1, M2...Mn ta luôn có hệ thức sau:
AB = AM1 + M1M 2 + M 2 M 3 + ... + M n B
Quy tắc trừ hai véc tơ :
Cho trước hai điểm A, B. Với mọi điểm M ta luôn có AB = MB − MA
Quy tắc hình bình hành :
AB + AD = AC
Cho hình bình hành ABCD, khi đó
AB = DC
Quy tắc trung tuyến:
Cho hai điểm A, B. Nếu M là trung điểm của AB thì ta có
 MA + MB = 0
hệ thức 
 AM + BM = 0
Quy tắc trung tuyến:
Cho tam giác ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm
của BC và AC. Khi đó

AB + AC = 2AM
BA + BC = 2BN

Quy tắc trọng tâm:
Cho tam giác ABC có trọng tâm G như hình vẽ.
GA + GB + GC = 0

Khi đó ta có 
2
 AG = AM = 2GM
3

Nhận xét:
+ Với mọi điểm I thì ta luôn có IA + IB + IC = 3IG
+ Điểm G được gọi là trọng tâm tứ diện ABCD khi
GA + GB + GC + GD = 0
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Xác định các điểm M, N thỏa mãn:
a) AM = AB + AC + AD
b) AN = AB + AC − AD
Hướng dẫn giải:

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) AM = AB + AC + AD

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AB + AC = 2AI
Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có
2AI = AJ 
→ AB + AC = AJ
Từ đó AB + AC + AD = AJ + AD = 2AE , với E là
trung điểm của DJ.
Theo bài, AM = AB + AC + AD = 2AE
Vậy M là điểm đối xứng của A qua E.
b) AN = AB + AC − AD
Theo a, ta có AB + AC = 2AI = AJ
Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có

→ AN = AB + AC − AD = AJ − AD = DJ
Vậy trong tam giác ADJ ta tạo ra hình bình hành
ADJN thì điểm N thỏa mãn yêu cầu này chính là
điểm cần tìm.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của MN và
G1 là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh các hệ thức sau:
1
1
a) AC + BD = AD + BC
b) MN = AC + BD = AD + BC
2
2
c) GA + GB + GC + GD = 0
d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N.

(

) (

)

e) AB + AC + AD = 3AG 1

Hướng dẫn giải:
a) AC + BD = AD + BC
Sử dụng quy tắc cộng véc tơ ta có
AC = AD + DC

→ AC + BD = AD + BC + DC + CD

BD = BC + CD

(

)

→ AC + BD = AD + BC.
Mà DC + CD = 0 
1
1
b) MN = AC + BD = AD + BC
2
2
1
Chứng minh: MN = AC + BD ⇔ AC + BD = 2MN
2
AC = AM + MN + NC

Theo quy tắc cộng ta có
BD = BM + MN + ND

(

) (
(

(

)

)

)

(


→ AC + BD = AM + BM + 2MN + NC + ND

)

AM + BM = 0
Theo quy tắc trung điểm ta lại có 
 NC + ND = 0
Từ đó ta được AC + BD = 2MN 
→ ( dpcm ) .

(

)

1
AD + BC
2
Ta có thể chứng minh tương tự như trên, hoặc sử dụng kêt quả câu a là AC + BD = AD + BC ta cũng được điều phải
chứng minh.

Chứng minh: MN =

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c) GA + GB + GC + GD = 0
Theo quy tắc trung điểm trong ∆GAB và ∆GCD ta có

GA + GB = 2GM

(


→ GA + GB + GC + GD = 2 GM + GN

GC + GD = 2GN

)

Mà G là trung điểm của MN nên GM + GN = 0 
→ GA + GB + GC + GD = 0.

d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N.
NA = NG + GA

Ta có

NB = NG + GB
NC = NG + GC

(

)


→ NA + NB + NC + ND = 4NG + GA + GB + GC + GD = 4NG
0

ND = NG + GD

e) AB + AC + AD = 3AG1
Sử dụng quy tắc trung tuyến cho ∆ACD ta được AC + AD = 2AN
Gọi I là điểm đối xứng của A qua N, khi đó 2AN = AI 
→ AC + AD = AI

(

)

Ta có AB + AC + AD = AB + AC + AD = AB + AI = 2AE, với E là trung điểm của BI.
Xét trong ∆ABI có BN và AE là các đường trung tuyến, giả sử BN ∩ AE = G′ thì G′ là trọng tâm ∆ABI.
2
Khi đó BG ′ = BN = BG1 
→ G ′ ≡ G1 .
3
2
2AE AB + AC + AD
Mà AG1 = AE =
=
←
→ AB + AC + AD = 3AG1
3
3
3
II. PHÉP PHÂN TÍCH, CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VÉC TƠ

Ba véc tơ đồng phẳng:
Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c. Khi đó, tồn tại duy nhất một phép phân tích c = ma + nb .
Ba véc tơ không đồng phẳng:
Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c. Khi đó, với mỗi véc tơ d thì tồn tại duy nhất một phép phân tích d = ma + nb + pc .
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hãy phân tích các véc tơ
SA, SB, SC, SD theo AB, AC, SO.
Hướng dẫn giải:
Phân tích SA :
1
1
Ta có SA = SO + OA = SO + CA = SO − AC

2
2
1

→ SA = SO − AC
2
Phân tích SB :
1
SB = SO + OB = SO + OA + AB = SO − AC + AB
2
1

→ SB = SO − AC + AB
2
Phân tích SC :
1


SA + SC = 2SO 
→ SC = 2SO − SA = 2SO −  SO − AC 
2


1

→ SC = SO + AC
2
Phân tích SD :
1



SB + SD = 2SO 
→ SD = 2SO − SB = 2SO −  SO − AC + AB 
2


1

→ SD = SO + AC − AB
2

(

)

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng ba véc
tơ MN, BC, AD đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng ta đi
kiểm tra xem có đẳng thức véc tơ nào liên quan đến ba
véc tơ trên hay không. Bằng trực quan hình học, ta thấy
MN ở giữa BC và AD nên ta sẽ xuất phát từ véc tơ MN đi

theo hai hướng là BC và AD.
MN = MA + AD + DN
Ta có 
MN = MB + BC + CN

(

) (

) (


→ 2MN = MA + MB + BC + AD + DN + CN
0

)

0

(

)

1
Từ đó ta có MN = BC + AD , tức là ba véc tơ đồng
2
phẳng.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS = −2MA và trên đoạn
1
BC lấy điểm N sao cho NB = − NC. Chứng minh rằng ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng.

2
Hướng dẫn giải:

Tương tự như ví dụ trên, chúng ta phân tích MN theo hai
hướng.
MN = MA + AB + BN, (1)
Ta có 
MN = MS + SC + CN, ( 2 )
Nhân cả hai vế của (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được

(

) (

) (

3MN = 2MA + MS + 2AB + SC + 2BN + CN

)


2MA + MS = 0
MS = −2MA
Từ giả thiết 
←→ 
1
2NB + NC = 0
 NB = − 2 NC
2
1


→ 3MN = 2AB + SC ⇔ MN = AB + SC
3
3
Vậy ba véc tơ AB, MN, SC đồng phẳng.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Cho các điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng
a) AB + DC = AC + BD
b) AB + CD + EF = AF + ED + CB
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng
a) AB + AD + AA ' = AC '
b) A ' B ' + BC + D ' D = A ' C
c) Gọi O là tâm của hình hộp. Chứng minh rằng OA + OB + OC + OD + OA ' + OB ' + OC ' + OD ' = 0
Bài 3: [ĐVH]. Cho tứ diện S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Phân tích vectơ SG theo các ba véc tơ SA, SB, SC.
b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện S.ABC. Phân tích vectơ SD theo ba vectơ SA, SB, SC.

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 4: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có AA ' = a, AB = b , AC = c .
a) Hãy phân tích các vectơ B′C , BC ′ theo các vectơ a, b, c .
b) Gọi G′ là trọng tâm tam giác A′B′C′. Biểu diễn véc tơ AG ′ qua các véc tơ a, b, c .
Bài 5: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có trung tuyến qua đỉnh A của tam giác ABC là AN. Lấy điểm M trên AN sao cho
AM 3

= . Phân tích véc tơ DM theo DA; DB; DC
MN 7

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1) Góc giữa hai véc tơ
 AB = u
Giả sử ta có 

→ u; v = AB; AC = BAC , với 0o ≤ BAC ≤ 180o.
 AC = v
2) Tích vô hướng của hai véc tơ
 AB = u
Giả sử ta có 

→ u.v = AB. AC = AB . AC .cos AB. AC
 AC = v
Nhận xét:
u = 0
+) Khi 


→ u.v = 0
v = 0

( ) (

)

(

( )
+) Khi u ↑↓ v 
→ ( u; v ) = 180

)

→ u ; v = 00
+) Khi u ↑↑ v 

0

+) Khi u ⊥ v ←→ u.v = 0

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.

(

)

a) Tính góc giữa hai véc tơ AB; BC .

(

)

b) Gọi I là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai véc tơ CI ; AC .
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ta được
AB. BC
AB. BC AB. BC
cos AB; BC =
, (1) .
=
=
AB.BC
a2
AB . BC

(

)

(

)

Xét AB. BC = AB. BA + AC = AB.BA + AB. AC

(

)

AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a 2
Mà

(

)

AB. AC = AB. AC.cos AB. AC = a.a.cos 600 =

a2
2

a2
a2
=− .
2
2
a2
−
1
→ AB; BC = 1200.
(1) ⇔ cos AB; BC = 22 = − 
2
a
Vậy AB; BC = 120o.

→ AB. BC = −a 2 +

(

(

)

)

(

(

)

b) Ta có cos CI ; AC =

CI . AC
CI . AC

=

)

CI . AC
CI . AC

Tứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên CI =

(

)

(

)

a 3
CI . AC

→ cos CI ; AC = 2
, ( 2).
2
a 3
2

Ta có CI . AC = CI . AI + IC = CI . AI + CI . IC

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Do ∆ABC đều nên CI ⊥ AI ⇔ CI . AI = 0.

(

)

a 3 a 3
3a 2
3a 2
3a 2
.
.cos1800 = −

→ CI . AC = 0 −
=−
.
2
2
4
4
4
3a 2
−
3

→ CI ; AC = 1500.
Thay vào (2) ta được ( 2 ) ⇔ cos CI ; AC = 2 4 = −
2
a 3
2
0
Vậy CI ; AC = 150 .

Đồng thời, CI . IC = CI . IC .cos CI ; IC =

(

(

)

(

)

)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ SM và BC theo các véc tơ SA; SB; SC .

(

)

b) Tính góc SM ; BC .
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
1

 SA + SB = 2SM
 SM = SA + SB
2
được 
←
→

 BC = SC − SB
 BC = BS + SC


(

(

)

b) cos SM ; BC =

SM . BC
SM . BC

=

)

SM . BC
, (1) .
SM .BC

 SA.SB = 0

Mà SA, SB, SC đôi một vuông góc nên  SA.SC = 0

 SB.SC = 0
Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên theo định lý Pitago ta
 BC = a 2


được AB = BC = a 2 
→
1
a 2
 SM = AB =

2
2

1
1
1
a2
Theo câu a, SM .BC = SA + SB . SC − SB =  SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB  = − SB 2 = −
2
2 0
2
2
0
0

2
a
−
SM . BC
1
2
Thay vào (1) ta được cos SM ; BC =
=

= − 
→ SM ; BC = 1200.
SM .BC a 2
2
.a 2
2

(

)(

(

)

)

(

)

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Một véc tơ u ≠ 0 mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
2) Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm:
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′; b′ lần lượt song song với a; b. Kí hiệu ( a;b ).
a// a ′
Từ định nghĩa ta có sơ đồ 


→ ( a;b ) = ( a ′;b′ )
 b// b′
Nhận xét:

( )

+) Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v và u; v = φ.
Khi đó,

( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o
( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

+) Nếu a // b hoặc a ≡ b thì ( a; b ) = 0o.
Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
a ′// a
Tạo ra các đường 

→ ( a, b ) = ( a ′, b′ )
 b′// b

Phương án 2
- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b 
→ ( a, b ) = ( a, ∆ )

Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A 
→ cos A =

b2 + c 2 − a 2
.
2bc

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a . Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
Hướng dẫn giải:
a) Tính góc giữa SD và BC
Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng
phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai
đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại.
Ta dễ nhận thấy AD // BC.
SDA
Khi đó ( SD; BC ) = ( SD; AD ) = 
180o − SDA

SA
3
Xét ∆SAD: tan SDA =
=

→ SDA = 30o.
AD
3
Vậy ( SD; BC ) = 30o.
b) Tính góc giữa SB và CD
SBA
Tương tự, CD//AB 
→ ( SB;CD ) = ( SB;AB ) = 
180o − SBA
SA
Xét ∆SAB: tanSBA =
= 3 
→ SDA = 60o.
AB

Vậy ( SB;CD ) = 60o.
c) Tính góc giữa SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
 IOB
Trong ∆SAC có OI // SC 
→ ( SC; BD ) = ( OI; BD ) = 
180o − IOB
2

a 3

a 7
2
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB = 
 + a =
2
 2 
2

2

ABCD là hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD 2 = a 2 + 9a 2 = a 10 
→ OB =
2

a 10
= OA
2
2

 a 3   a 10 
a 13
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO = 
 + 
 =

2
 2   2 
2

2

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

13a 2 10a 2 7a 2
+
−
OI + OB − IB
4
4 = 8
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cos IOB =
= 4
2.OI.OB
a 13 a 10
130
2.
.
2
2
 8 

→ IOB = arccos 
 = ( SC;BD ).
 130 
2

2

2

 8 
Vậy ( SC;BD ) = arccos 
.
 130 

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết AB = CD = 2a , MN = a 3 . Tính góc giữa
hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau,
để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các
đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt
nhau.
Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD
 MPN

→ ( AB,CD ) = ( MP, NP ) = 
180o − MPN
Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆MPN ta được
MP 2 + NP 2 − MN 2 2a 2 − 3a 2
1
cos MPN =
=
=−
2MP.NP
2.a.a

2

→ MPN = 120o ⇔ ( MP, NP ) = 60o
Vậy ( AB,CD ) = 60o.
Nhận xét:
Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là
trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc với
2 3a
AB và AD, SA =
. Tính góc của 2 đường thẳng
3
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) Do DC // AB 
→ ( DC,SB ) = ( AB,SB ) = α
2a 3
SA
3
= 3 =


→ α = 30o
Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó tan α =
AB
2a
3
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30o.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a 
→ DI = a 2.
mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó, ( SD, BC ) = ( SD, DI ) = β .
2

 2a 3 
7a 2
2
Tam giác SAI vuông tại A nên SI = SA + AI = 
 + a =
3
 3 
2

2

2

2

 2a 3 

7a 2
2
Tam giác SAD vuông tại A nên SD = SA + AD = 
 + a =
3
 3 
2

2

2

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI ta được cosSDI =

SD 2 + DI 2 − SI2
=
2SD.DI

2a 2
3
=
a 21
42
2.
.a 2
3

 3 
Do cosSDI > 0 nên góc SDI là góc nhọn 
→ β = SDI = arccos 

.
 42 
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu ( a; b ) = 90o ←
→ a ⊥ b.
Chú ý:
Các phương pháp chứng minh a ⊥ b:
Chứng minh ( a; b ) = 90o
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v = 0.
Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều...

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó AB = AC = AD = a, BAC = 60o , BAD = 60o , CAD = 90o . Gọi I và J lần lượt
là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường AB và CD.
b) Tính độ dài IJ.
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.
Từ đó BC = BD = a,CD = a 2 →∆BCD vuông cân tại B.
Chứng minh IJ vuông góc với AB
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân tại A, B nên
1

AJ = 2 CD

→ AJ = BJ ⇔ IJ ⊥ AB.

BJ = 1 CD


2
Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD đều nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông tại I ta được
2

 a 2  a2 a
IJ = AJ − AI = 
=
 −
4 2
 2 
Vậy IJ = a/2.
2

2

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA.
Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
Hướng dẫn giải:

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Chứng minh: SA ⊥ BC.
Xét SA.BC = SA. SC − SB = SA.SC − SA.SB

(

)

(
)
SA.SB = SA.SB.cos( SA;SB ) 
→ SA.SC = SA.SB ⇔ SA.SC − SA.SB = 0 ←
→ SA.BC = 0 ⇔ SA ⊥ BC
SA.SC = SA.SC.cos SA;SC

Mà

SA = SB = SC
ASB = BSC = CSA
Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa
BC và AM.
AC và BM.

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có

(

)

AO.CD = AM + MO .CD = AM.CD + MO.CD
Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM.CD = 0
AM ⊥ CD
⇔

→ AO.CD = 0 ⇔ AO ⊥ CD.

MO ⊥ CD
MO.CD = 0
b) Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
 AMI
Từ đó ( BC;AM ) = ( MI; AM ) = 
180 − AMI
Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆AMI ta được
AM 2 + MI 2 − AI2
cos AMI =
, (1) .
2.AM.MI
a 3
Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI = AM =
.
2
MI là đường trung bình nên MI = a/2.
2
2

2
a
3a
3a
+
−
 1 
 1 
4
4 = 1 
Từ đó (1) ⇔ cos AMI = 4
→ AMI = arccos 
 ⇔ ( BC; AM ) = arccos 
.
a a 3
2 3
2 3
2 3
2. .
2 2
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi J là trung điểm của AD → MJ // AC.
 BMJ
Khi đó ( AC;BM ) = ( MJ; BM ) = 
180 − BMJ
Các tam giác ABD, BCD là các tam giác đều cạnh a, nên các trung tuyến tương ứng BJ = BM =

a 3
2

 1 
Do đó, ∆AIM = ∆BJM 
→ AMI = BMJ = arccos 
.
2 3
 1 
Vậy ( AC;BM ) = arccos 
.
2 3

Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Đặt AB = a, AD = b, AA′ = c.
Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) Tính góc giữa các đường thẳng: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ).
b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho OI = OA + OA′ + OB + OB′ +
+ OC + OC′ + OD + OD′. Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c. Từ đó, chứng tỏ rằng AC′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:
Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 2 (nếu hình lập phương cạnh a).
Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao).

a) Tính góc giữa: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ).

Tính ( AB, B′C′ ) :
Do B′C′//BC 
→ ( AB, B′C′ ) = ( AB, BC ) = 90o.
Tính ( AC, B′C′ ) :
 ACB
Do B′C′//BC 
→ ( AC, B′C′ ) = ( AC,BC ) = 
180o − ACB

ABCD là hình vuông nên ∆ABC là tam giác vuông cân tại B 
→ ACB = 45o ⇔ ( AC, B′C′ ) = 45o.
Tính ( A′C′, B′C ) :
 ACB′
Do A′C′//AC 
→ ( A′C′, B′C ) = ( AC, B′C ) = 
180o − ACB′
Xét trong tam giác ACB′ có AC = B′C = AB′ (do đều là các đường chéo ở các mặt hình vuông của hình lập phương).
Do đó ∆ACB′ đều 
→ ACB′ = 60o ⇔ ( A′C′, B′C ) = 60o.
b) Tính độ dài OI theo a.
OA + OC = 0

→ OA + OC + OB + OD = 0
Với O là tâm của hình vuông ABCD thì 
OB + OD = 0
Khi đó OI = OA′ + OB′ + OC′ + OD′
OA′ + OC′ = 2OO′
Gọi O′ là tâm của đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có 


→ OI = 4OO′
OB′ + OD′ = 2OO′
Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO′ = 4a.
c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c.

a.b = 0

Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có a.c = 0

b.c = 0
AC′ = AB + BC + CC′ = a + b + c
Phân tích:
BD = BA + AD = b − a
Chứng minh AC′ vuông góc với BD.

(

)(

)

2

2

2

2

Xét AC′.BD = a + b + c . b − a = a.b + b + c.b − a − a.b − c.a = b − a = AD2 − AB2 = 0 ⇔ AC′.BD ⇔ AC′ ⊥ BD.
0

0

0

0

d) Chứng minh rằng AC′ vuông góc với MN.

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MN = MC + CB + BN

Ta có phân tích:

AC′ = AB + BC + CC′


 


→ MN.AC′ = MC + CB + BN . AB + BC + CC′ =  MC.AB + MC.BC + MC.CC′  +  CB.AB + CB.BC + CB.CC′  +
0

0
0

  0



+  BN.AB + BN.BC + BN.CC′  = MC.AB + CB.BC + BN.CC′
0
 0


(

)(

)

MC.AB = MC.AB.cos0o = ( a − x ) a

Mà

CB.BC = CB.BC.cos180o = −a 2


→ MN.AC′ = ( a − x ) a − a 2 + ax = 0 ⇔ MN ⊥ AC′.

BN.CC′ = BN.CC′.cos0o = ax

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2

Bài 1: [ĐVH]. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CI.
 3
Đ/s: ( AB; CI ) = arccos 
 .
 6 
Bài 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Biết
AB = 2a, CD = 2a 2, MN = a 5.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

(

)

Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2. Tính góc giữa SC , AB , từ đó
suy ra góc giữa SC và AB.
Bài 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; AD = 2a 2; SC = 5a . Hình chiếu

vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Tính góc giữa

(
)
b) ( SC ; AM ) , với M là trung điểm của CD.
a) SB; AC

Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3 , SA = 2a và vuông góc với
đáy. Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a) SB và CD

b) SD và BC

c) SB và AC

d) SC và BD

Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt
đáy là trung điểm H của AB, biết SH = a 3. Gọi I là trung điểm của SD. Tính góc giữa các đường thẳng:
a) SC và AB

b) SD và BC

c) CI và AB

d) BD và CI

Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D với AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a. Tính góc giữa

a) SB và CD

b) SB và AC

Bài 8: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH =

a) (SD; BC)

1
HB. Biết AB = 2a; AD = a 3; SH = a 2. Tính góc giữa
2

b) (SB; CD)

c) (SA; HC)

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc
với (ABCD), AB = BC = a; AD = 2a, SA = a 3. Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (SC; AB)
c) (SD; BC)
d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC tại B, AB = a; BC = 2a. I là trung
điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AI. Biết S SAI = a 2 2.
Tính góc giữa
a) (SA; BC)
b) (AI; SB)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA =
a; AB = a; BC = a 2. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)
b) Gọi J là trung điểm của SB, N thuộc đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và JN.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; AD = a 3. Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a. Tính góc giữa

a) (SB; CD)
b) (AC; SD)
Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 . Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH =
a) (SD; BC)

b) (SB; AC)

c) (SA; BD)

d) (SC; BD)

1
AB; SH = a 2. Tính góc giữa
4

Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a; AD
= 2a. Hình chiếu của S xuống (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho CH = 3AH; SH = a 3. Tính góc giữa

a) (SC; AB)
b) (SA; BD)
Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Đ/s: a ) cos ( SC ; AB ) =

66
22

b) cos ( SA; BD ) =

Facebook: LyHung95

10
50

Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của
S xuống mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho AB = 3AH. Biết S SAB = a 2 . Tính góc giữa
a) (SA; BD)
b) (SC; BM), với M là trung điểm của AD.
Đ/s: a ) ( SA; BD ) ≈ 860

b) cos ( SC ; BM ) =

38
19

Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh
S xuống (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết SH = a 3. Tính góc giữa

a) (SA; BC)
b) (SB; CD)
c) (SA; CD)

d) (SB; MN), với M và N là trung điểm của BC; CD.
e) (SC; MN), với M, N như trên.
Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S xuống
(ABC) là điểm H thuộc AB sao cho AH =

1
a2 3
AB. Biết diện tích tam giác SAB bằng
. Tính góc giữa
3
2

a) (SA; BC)
b) (SB; AC)
Đ/s: a ) cos ( SA; BC ) =

3
8 70

b) cos ( SB; AC ) =

1
31

Bài 8: [ĐVH]. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh C, CA = CB = a, SA vuông
góc với đáy ABC, SA = a 3 ; D là trung điểm của cạnh AB. Tìm góc giữa:

a) ( SD; AC )
Đ/s: a) ( SD; AC ) ≈ 105, 5o

b) ( SD; BC )
b) ( SD; BC ) = 74,5o

Bài 9: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với HI + 2 HA = 0 và SH = a 3.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)
Bài 10: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S
xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với AH =

1
AC ; SH = 2a. Tính góc giữa
4

a) (SA; CD)

b) (SC; BD)

c) (SB; AD)

d) (SA; BD)

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA = 2a 3 đáy ABCD là hình vuông
tâm O cạnh 2a.
a) Chứng minh rằng: (SCD) (SAD).
b) Tính khoảng cách từ O và từ A tới mặt phẳng (SCD).
c) Tính tan của góc giữa SB và (SAC).
d) Xác định tâm, bán kính, và tính diện diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC, có đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = a; AC = a 3 . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

a 3
. Tính thể tích khối chóp
4

S.ABCD và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA, đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB = 2a; AD = 2a 3 . Gọi O là tâm đáy, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng

a 3
.
2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy
bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán
kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.

Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD ) và
SA = a 3 . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.

a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B
cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC ) .
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm
trên mặt cầu tâm O bán kính R =

SC
.
2

b) Cho SA = BC = a và AB = a 2 . Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần
lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC.

a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Ví dụ 12: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ⊥
(ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.

a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của ∆ACD có độ dài

a 3
,
2

góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính diện tích
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC biết SA = SB = SC, ∆ABC có BAC = 600 , AB = 4, AC = 5. Góc
giữa SA và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp theo a.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) BAC = 900

b) BAC = 600 , b = c

c) BAC = 1200 , b = c.

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD = a 3 . Gọi O là
tâm đáy, biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC; khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAD) bằng

a
.
2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD) và
(BCD) vuông góc với nhau.

a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Đ/s: R =

a2
3a 2 − b 2

Ví dụ 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a. Trên
nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng qua A vuông góc với
SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.

a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. tính diện tích của mặt
cầu đó.

b) Cho SA = a 3 . Tính diện tích của tứ giác APQR.
Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC = 4a và CA = 3a. Trên
đương vuông góc với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 450 . Xác định tâm
và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho ∆ABC cân có BAC = 1200 và đường cao AH = a 2 . Trên đường thẳng ∆ ⊥ (ABC)
tại A ta lấy 2 điểm I, J ở 2 bên điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.
a) Tính các cạnh của ∆ABC
b) Tính AI, AJ và chứng minh các tam giác BIJ, CIJ là các tam giác vuông cân
c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC

( R = 2a 3)

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P3
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = a;

AA ' = a 3; ABC = 600 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ạ, góc BAD bằng 600 và SA = SB = SD.
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD biết BSD = 900.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD, AB = 2a; BC = CD = DA =
a, SA = SB = SC = SD; d ( AB; SC ) =

a 2
. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

2

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có các mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau. Biết

BC = a; BAC = 600 ; BDC = 300 . Tính bán kính và thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCD.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (ABC) và (SBC) vuông góc với nhau. Biết
AB = AC = SA = SB = a; SC = x . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho theo a và x.

Đ/s: R =

a2
3a 2 − x 2

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD =

2a 6
, mặt phẳng
3

(SAB) vuông góc với đáy và SA = SB = a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối S.ABD theo a.

Đ/s: R = a

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 450. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a.

Bài 2: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa BC’ và trục
của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có ABC = 1200 . Gọi E, F, K lần lượt là trung

điểm của BC, A’C và AB. Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
FKBE.

Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , góc BAD bằng 600,

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin
giữa hai đường thẳng SM và DN.

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ; tam giác SAB vuông cân tại S.
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD), (ABCD) đôi một vuông góc. Biết
SC = a 3 , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC).

Bài 5: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a , góc
BAC = 1200 , cạnh bên BB ' = a . Gọi I là trung điểm của CC ' . Chứng minh tam giác AB ' I vuông tại A và

tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I )

Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3 , khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 và SAB = SCB = 900 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và
góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC).

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
a ⊂ ( P )
Viết dạng mệnh đề: d // ( P ) ⇔ 
d //a

Tính chất giao tuyến song song:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b
song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt
phẳng phải song song với a và b.
Viết dạng mệnh đề:
a ⊂ ( P ) ; b ⊂ ( Q ) ; ( P ) ∩ ( Q ) = ∆

→ ∆ // a // b

a // b

Tính chất để dựng thiết diện song song:

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một
mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆
phải song song với a.
a // ( P )

Viết dạng mệnh đề: a ⊂ ( Q )

→ ∆ // a

( P ) ∩ ( Q ) = ∆

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng
(P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong
∀a ⊂ ( P )
(P). Viết dạng mệnh đề: d ⊥ ( P ) ⇔ 
d ⊥ a

+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc
với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong (P).
+ Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d1; d2 cùng
vuông góc với (P) thì d1 // d2.
+ Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P1); (P2) cùng vuông
góc với đường thẳng d thì (P1) // (P2).
+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một
đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường
thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong (P).

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 a // ( P )
d ⊥ a
Viết dạng mệnh đề: 

→
d ⊥ ( P )
 a ⊂ ( P )

+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc
xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc
với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’.

Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)
b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN ⊥ (SAD)
c) Cho SA = a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN.
Ví dụ 2. [ĐVH]: Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với AB = AC = a; BC =

6a
.
5

Gọi M là trung điểm của BC, kẻ AH ⊥ MD, với H thuộc MD.

a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD)
b) Cho AD =

4a
. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
5

c) Gọi G1 ; G2 là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng G1G2 ⊥ (ABC).
Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi
B1; C1; D1 là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC, SD.

a) Chứng minh rằng B1D1 // BD và SC ⊥ (AB1D1)
b) Chứng minh rằng các điểm A, B1, C1, D1 đồng phẳng và tứ giác AB1C1D1 nội tiếp đường tròn.
c) Cho SA = a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC1.
Ví dụ 4. [ĐVH]: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH ⊥ (ABC)
a) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
b) Chứng minh OA ⊥ BC; OB ⊥ AC; OC ⊥ AB
c) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
d) Chứng minh rằng

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2

OH
OA OB
OC 2

Ví dụ 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A.
a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông.
b) Tính SA, SB, SC biết ACB = α; ACS = β; BC = a.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. [ĐVH]: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và ∆ABC vuông ở B. Chứng minh rằng
a) BC ⊥ (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh rằng AH ⊥ (SBC).

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 2. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB,
BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng
a) SO ⊥ (ABCD).
b) IJ ⊥ (SBD).
Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H,
I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK).
c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI.
Bài 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

SC = a 2 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.

a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh rằng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.
Bài 5. [ĐVH]: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là
tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH ⊥ AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a.
a a 3
.
2 2

Đ/s: a) a; ,

c)

a 5
.
2

Bài 6. [ĐVH]: Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta
lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′.

a) Chứng minh rằng CC′ ⊥ (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆BCD.
Bài 7. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông có
đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD.
a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C.

b) Kẻ SN vuông CD tại N. Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN).

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!