Rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian cho học sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu

MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài tập toán học có vai trị quan trọng trong mơn tốn, nó có vai trị giá mang
hoạt động của học sinh. Thơng qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt
động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc,
phương pháp, những hoạt động tốn học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ
biến trong tốn học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngơn ngữ.
Vì vậy, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy
học, là một trong những mục tiêu dạy học mơn Tốn, cần phải được tiến hành có kế
hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục. Thông qua rèn luyện kĩ năng, học
sinh biết vận dụng những kiến thức được học vào luyện tập, qua đó giúp học sinh
hiểu sâu, nắm vững kiến thức, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ, những
kĩ năng cần thiết cho cuộc sống.
Trong chương trình toán phổ thông, phương pháp tọa đợ trong khơng gian
nói chung, phương trình đường thẳng trong khơng gian nói riêng là mợt trong
những nội dung quan trọng. Lớp bài tốn viết phương trình đường thẳng trong
khơng gian là lớp bài tốn hay và khơng q khó. Để làm tốt bài tốn này địi hỏi
học sinh phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian, mối quan hệ giữa đường
thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong các đề thi tốt
nghiệp THPT và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt được
dạng toán này là hết sức cần thiết.
Tuy nhiên thực tế trong quá trình dạy học cho thấy học sinh cịn gặp nhiều
khó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải toán. Các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán
dạng này với bài tốn viết phương trình mặt phẳng, nhẫm lẫn với phương trình
đường thẳng trong mặt phẳng. Hơn nữa bài học Phương trình đường thẳng trong
không gian trong sách giáo khoa Hình học lớp 12 chỉ đưa ra một cách chung chung
chưa phân dạng cụ thể tường minh. Vì vậy việc hệ thống hóa và phân dạng các dạng
bài tập cơ bản để cho số đông học sinh có thể tiếp thu tốt phương trình đường thẳng

là việc làm cần thiết.
Xuất phát từ những lí do trên mà tơi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:
1


“ Rèn luyện kĩ năng giải tốn về phương trình đường thẳng trong không
gian cho học sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu”
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Tìm ra một số biện pháp có hiệu quả nhằm rèn luyện kĩ năng giải tốn cho
học sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu khi dạy học nội dung phương trình đường thẳng trong
khơng gian, đồng thời thiết kế một số giáo án dạy học đối với chủ đề phương trình
đường thẳng trong khơng gian.
2.2. Các nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán, rèn luyện kĩ năng
giải tốn, phương pháp dạy học giải bài tập tốn.
- Tìm hiểu tình hình dạy và mơn Tốn của GV và HS tỉnh Lai Châu.
- Phân loại dạng toán – Phương pháp giải một số dạng tốn phương trình
đường thẳng trong không gian.
- Đưa ra một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải tốn phương trình đường
thẳng trong khơng gian cho học sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu.
- Thiết kế một số giáo án dạy học phần phương trình đường thẳng trong
khơng gian có hướng dẫn.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học chủ đề phương trình đường thẳng trong khơng gian ở lớp
12 tỉnh Lai Châu.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu áp dụng hợp lý một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải tốn phương
trình đường thẳng trong khơng gian thì học sinh sẽ có kĩ năng giải tốn dạng này tốt

hơn, đồng thời sẽ phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, qua
đó nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thơng.
5. Đóng góp của luận văn
- Trình bày tổng quan về kĩ năng, kĩ năng giải toán, rèn luyện kĩ năng giải
toán, dạy học giải bài tập toán học.
2


- Tìm hiểu tình hình dạy và học mơn Tốn của giáo viên, học sinh tỉnh Lai Châu.
- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán viết phương trình
đường thẳng trong khơng gian cho học sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu các tài liệu lý luận về
phương pháp dạy và học, đặc biệt là các tài liệu viết về rèn luyện kĩ năng giải toán
cho học sinh.
- Phương pháp điều tra quan sát: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến
một số đồng nghiệp có kinh nghiệm trong giảng dạy, tìm hiểu thực tiễn việc dạy và
học nội dung phương trình đường thẳng trong không gian cho HS lớp 12 tỉnh Lai
Châu. Đặc biệt là về mặt rèn luyện kĩ năng giải toán.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm giảng dạy một số giáo án
soạn theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn gồm ba
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong
khơng gian
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3

PHẦN NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về kĩ năng
1.1.1. Kĩ năng là gì?
Theo từ điển Hán Việt của Phan Huy Các hoặc từ điển Tiếng Việt của Hồng
Phê thì kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn trong đó khả
năng được hiểu là “sức đã có” (về mặt nào đó) để làm tốt cơng việc.
Theo tâm lý học, kĩ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động nào
đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tạm thời tách tri thức và
kĩ năng để xem xét riêng từng cái thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả năng
“biết”, còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết làm”.
1.1.2 Đặc điểm, sự hình thành kĩ năng
a) Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kĩ năng:
- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi
vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến hiệu quả hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng. Khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc
tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức
với tư cách của hành động ([2, tr3]).
Kĩ năng được hoàn thành và phát triển trong hoạt động. Kĩ năng và tri thức
được thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến hành hành động, độ
thành thạo của thao tác là kĩ năng, các thao tác này dưới sự kiểm tra của tri thức.
Con đường đi từ chỗ có tri thức đến có kĩ năng tương ứng là con đường luyện tập
trong hoạt động, bằng cách tiến hành những thao tác tương ứng với kĩ năng, nội
dung luyện tập rất phong phú và đa dạng ([2, tr3]).
Kĩ năng khơng có tính ổn định. Có nghĩa là nếu thường xun luyện tập thì
kĩ năng phát triển và đạt đến trình độ nhuần nhuyễn nhưng nếu khơng luyện tập thì
kĩ năng dần dần biến mất ([2, tr4]).
Trong thực tiễn giảng dạy tác giả nhận thấy có nhiều HS học thuộc lý thuyết

4


nhưng không vận dụng được lý thuyết vào bài tập, không biết lựa chọn định lý nào
phù hợp với bài tốn mà mình cần giải. Ngun nhân của hiện tượng đó là kĩ năng
chưa được hình thành.
b) Sự hình thành kỹ năng
Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có kiến
thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực
hiện được hành động theo đúng mục đích, u cầu…
1.1.3. Kĩ năng giải tốn.
Kĩ năng giải bài tập toán (kĩ năng giải toán) là khả năng sử dụng những tri
thức toán học đã học để giải các bài tập toán học ([5, tr5]).
Do sự trừu tượng hóa trong tốn học diễn ra trên nhiều cấp độ, nên trong khi dạy
học mơn tốn cần rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên ba bình diện khác nhau:
+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn Tốn;
+ Kĩ năng vận dụng tri thức tốn học vào các môn học khác nhau;
+ Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống ([10, tr42]);
Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thơng hiểu tri thức
tốn học. Khơng thể hình dung một người hiểu tri thức tốn học mà lại khơng biết
vận dụng chúng để làm toán ([10, tr43]).
Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trị cơng cụ của tốn học đối với
những mơn học khác, điều này thể hiện mối liên môn giữa các môn học trong nhà
trường và địi hỏi người giáo viên dạy tốn cần có quan điểm tích hợp trong việc
dạy học mơn tốn ([10, tr43]).
Kĩ năng bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của mơn tốn. Nó cũng
cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống ([10, tr43]).
Lấy ví dụ minh họa khi dạy nội dung phương trình đường thẳng trong khơng
gian ở lớp 12.
Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là học sinh cần nắm vững tri thức được trình

bày trong SGK, biết vận dụng vào giải các bài toán liên quan. Sau khi học xong bài
phương trình đường thẳng trong khơng gian HS tiếp tục khai thác những ứng dụng
của phương pháp tọa độ trong việc giải những bài tốn hình học và bài toán đại số,
5


chẳng hạn như giải bài tốn hình học bằng phương pháp tọa độ, …
Kĩ năng trên bình diện thứ hai, HS hiểu được hệ tọa độ trong khơng gian có
nhiều ứng dụng trong các mơn học khác.
Kĩ năng trên bình diện thứ ba, HS biết hệ tọa độ trong không gian nói chung,
phương trình đường thẳng nói riêng có ứng dụng nhiều trong thực tiễn như là trong
xây dựng, trong việc xác định các đường, mặt song song hay vuông góc, góc,
khoảng cách,…
Có thể chia kĩ năng giải tốn thành hai loại, tương ứng với hai loại bài tập
toán học: Kĩ năng giải bài tập toán học cơ bản, kĩ năng giải bài tập tốn học tổng
hợp ([5, tr5])
Có thể chia kĩ năng theo ba mức độ khác nhau:
- Biết làm: Nắm được quy trình giải một bài tập tốn học cơ bản nào đó
tương tự như mẫu, nhưng chưa nhanh.
- Làm thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bài
làm mẫu nhưng có biến đổi.
- Làm một cách mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra những cách giải ngắn gọn,
độc đáo khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức, kĩ năng đã học khơng chỉ với
những bài tốn cơ bản mà cả với những bài tập toán học mới. ([5, tr5])
1.2. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.2.1. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh phải nhằm vào việc biến các kiến
thức và kĩ năng cơ bản trong từng chương, từng mục thành kiến thức và kĩ năng tổng
hợp và hoàn chỉnh để chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập, lao động và nghề nghiệp cho
học sinh. Do đó, rèn luyện kĩ năng tốn học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tế mà

trước hết là kĩ năng giải toán cần đạt được một số yêu cầu sau đây:
+ Giúp HS hình thành và nắm vững mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt
chương trình
+ Coi trọng việc rèn luyện kĩ năng tính tốn.
+ Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ.
+ Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ ([2, tr5]).
6


1.2.2. Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua mơn Tốn
Kĩ năng giải tốn trên cơ sở tri thức toán học bao gồm: Tri thức sự vật, tri
thức phương pháp, tri thức giá trị. Trong đó tri thức phương pháp ảnh hưởng trực
tiếp tới việc rèn luyện kĩ năng. Sau khi học sinh nắm vững lý thuyết trong q trình
thực hiện các hoạt động tốn học thì kĩ năng hình thành ([2, Tr6]).
Kĩ năng giải tốn được hình thành trong quá trình học sinh giải bài tập. Song
muốn quá trình luyện tập đạt kết quả cao thì cần phải tổ chức quá trình luyện tập
hợp lý. Có nghĩa là trước tiên giáo viên cần soạn hệ thống bài tập có chủ định, sau
đó tổ chức học sinh hoạt động một cách tích cực, tự giác trong quá trình luyện tập
([2, Tr6]).
Hệ thống bài tập thỏa mãn những yêu cầu sau:
+ Quán triệt mục tiêu dạy học. Khi thiết kế bài tập phải luôn bám sát nội
dung chương trình SGK. Cần căn cứ vào mục tiêu của bài học để lựa chọn những
bài tập nhằm rèn luyện những kĩ năng tương ứng hướng vào thực hiện mục tiêu
chung của chương trình mơn tốn ([2, Tr6]).
+ Phát huy tính tích cực của học sinh. Bài tập phù hợp với trình độ nhận thức
hiện tại của HS, khơng q khó và khơng q dễ nhằm mục đích gợi mở, kích thích
nhằm gây hứng thú để gợi ra nhu cầu nhận thức của học sinh. Bài tập phải phân bậc
từ đơn giản đến phức tạp nhằm mục đích rèn luyện những kĩ năng cơ bản và những
kĩ năng nâng cao ([2, Tr6]).
+ Đảm bảo tính chính xác, khoa học, giúp học sinh củng cố và khắc sâu kiến

thức đã học đồng thời gợi mở, đặt vấn đề cho nội dung tiếp theo ([2, Tr6]).
Trong dạy học toán, người ta thường sử dụng một số biện pháp sau đây để
rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS:
+ Biện pháp 1: Trang bị cho HS đầy đủ các tri thức (khái nhiệm, tính chất,
định lý…) chính xác về mơn Tốn.
+ Biện pháp 2: Hình thành và rèn luyện cho HS phương pháp giải toán (tri
thức phương pháp).
+ Biện pháp 3: Xác định một số kĩ năng cần thiết khi giải toán (đi kèm với
những hoạt động đối với từng dạng toán).
7


+ Biện pháp 4: Lựa chọn một số bài tập có chủ định (ý đồ sư phạm, phân tích
và dẫn dắt hoạt động) và một số bài tập luyện tập để tổ chức, hướng dẫn HS tiến
hành các bước giải bài tốn, thơng qua đó rèn luyện cho HS những kĩ năng giải toán
cần thiết và phát triển tư duy thuật giải. ([19, tr7])
Để giúp HS có kĩ năng giải bài tập về phương trình đường thẳng trong khơng
gian trước tiên cần phải trang bị hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản và đầy đủ. Trên
cơ sở lý thuyết đã được trang bị, HS cần học cách vận dụng lý tuyết đó vào giải các
bài tập cụ thể. GV cần phân loại bài tập một cách có hệ thống. Từ việc phân dạng
bài tập, xác định những kĩ năng cơ bản, GV sẽ xây dựng cho HS quy trình giải các
dạng tốn, từ đó giúp HS tích luỹ được những kinh nghiệm thơng qua q trình giải
một dạng tốn cụ thể. Vì vậy trong luận văn này, tác giả đặc biệt quan tâm đến việc
xây dựng một hệ thống bài tập theo từng chủ đề, sắp xếp hệ thống bài tập đó từ dễ
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
1.2.3. Ba bước rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS
Để rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán học cho HS ta cần xác định từng kĩ
năng cụ thể trong mỗi dạng bài tập và mức độ yêu cầu tương ứng. Một kĩ năng có
thể gồm nhiều kĩ năng riêng lẻ. Việc hình thành từng kĩ năng riêng lẻ có thể chia
thành các bước như sau:

+ Bước 1: Giải bài tập mẫu để HS nắm được các thao tác cơ bản (có thể GV
trình bày hoặc gợi ý để HS làm).
+ Bước 2: Luyện tập giải một số bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, nhằm
giúp HS thành thạo các thao tác cơ bản. Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay ở
một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở nhà.
+ Bước 3: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận
dụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải toán. Các bài tập dạng này thường được
sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và phát triển
các kĩ năng ngày một tốt hơn ([5, tr6]).
Ví dụ: Để hình thành kĩ năng xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong
khơng gian, ta có thể cho HS lần lượt giải các bài tốn sau, dựa theo 3 bước ở trên:

8


 x = −1 + t

Bài 1: Xét vị trí tương đối của d:  y = 3 − t với đường thẳng
 z = 3t


x = 2 + t'

∆1 :  y = 8 − 2t '
 z = 1 + 4t '

(Với bài này HS chỉ cần giải bài tốn theo mẫu)
Bài 2: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương
trình sau đây d :

x −1 y − 7 z − 3
x − 6 y +1 z + 2
=
=
, d ':
=
=
2
1
4
3
−2
1

(Bài này HS chỉ cần giải tương tự bài mẫu)
 x = 2t
x y z

Bài 3: Cho hai đường thẳng: d : = = ; d ' :  y = m − t Tìm m để d cắt
1 2 3
 z = 1 + mt

d’
(Bài này đòi hỏi HS phải biết vận dụng linh hoạt về kiến thức và phương
pháp giải)
1.2.4. Tổ chức quá trình hoạt động đảm bảo học sinh tham gia tích cực,
chủ động, sáng tạo trong quá trình rèn luyện kĩ năng ([2, tr7])
- Giáo viên cần khai thác nội dung để thiết kế những tình huống có vấn đề
trong giải tốn. Nhằm mục đích học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng
tạo tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để giải quyết bài tốn. Tùy vào

trình độ học sinh mà thiết kế tình huống có vấn đề ở những cấp độ khác nhau.
- Giáo viên có tác động điều chỉnh q trình hoạt động của học sinh. Ví dụ
giúp học sinh vượt qua khó khăn, phân tích một bài toán thành một bài toán đơn
giản hơn, đưa ra câu hỏi giúp học sinh định hướng giải bài toán hoặc cung cấp cho
học sinh tri thức về phương pháp giải bài tốn.
+ Đối với những bài tốn có thuật giải. Giáo viên cần căn cứ vào yêu cầu
9


chung của chương trình cũng như tình hình thực tế để thông báo tường minh thuật
giải hoặc thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động.
+ Đối với những bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải: Giáo viên vần hướng
học sinh suy nghĩ, tìm tịi lời giải. Qua đó trang bị cho học sinh một số tri thức về
phương pháp giải tốn. Thơng qua dạy học sinh giải một số bài tốn điển hình để học
sinh nắm được cách thức, kinh nghiệm tiến tới có kĩ năng giải quyết lớp bài toán.
- Giáo viên giúp học sinh xác nhận tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt
động và đưa ra những bình luận cần thiết để học sinh hiểu tri thức đó một cách đầy
đủ hơn.
1.3. Dạy học giải bài tập tốn học
1.3.1. Vai trị của bài tập trong quá trình dạy học
Theo [10], vai trị của bài tập thể hiện ba bình diện: Mục tiêu, nội dung,
phương pháp.
Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học. Bài tập tốn học ở trường phổ
thơng góp phần thực hiện các mục tiêu mơn tốn cụ thể là:
* Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn;
* Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ;
* Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
của người lao động mới.

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập tốn học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung
để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần
lý thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập tốn học là giá mang
hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ
chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ
động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
10


1.3.2. Các yêu cầu đối với lời giải
Theo [10], để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm
vững các yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng là tốt. Nói
như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc
thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có
thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất
định trong các yêu cầu chi tiết:
(i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian
(ii) Lập luận chặt chẽ
(iii) Lời giải đầy đủ
(iv) Ngôn ngữ chính xác
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản (v) là u cầu về mặt
trình bày, cịn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.
1.3.3. Giải một bài toán theo bốn bước của Polya
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya

(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có
thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
* Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;
* Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
* Có thể dùng cơng thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Khi hướng dẫn HS tìm hiểu nội dung đề bài, GV thường đưa ra những câu
hỏi phát vấn dạng:
+ Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều
kiện cho trước hay khơng? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
+ Hãy vẽ hình. Sử dụng ký hiệu thích hợp.
+ Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện
11


đó thành cơng thức hay khơng?
Bước 2: Tìm cách giải
* Tìm tịi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn: biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc
cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ
tương tự, một trường hợp riêng, một bài tốn tổng qt hơn hay một bài tốn nào đó
có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán chứng minh
phản chứng, quy nạp toán học, tốn dựng hình, tốn quỹ tích,…
* Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được đối chiếu với một số tri thức có liên quan,…
* Tìm tịi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lý nhất.
Trong quá trình đi tìm lời giải cần đặt những câu hỏi dạng:
+ Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng
hơi khác?
+ Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài tốn quen thuộc có cùng

cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự?
+ Bạn có biết một bài tốn nào có liên quan khơng? Có thể áp dụng một định
lý nào hay khơng?
+ Thấy được một bài tốn có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử
dụng nó khơng? Có thể sử dụng kết quả của nó khơng? Hãy sử dụng phương pháp
giải bài tốn đó. Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng được bài
tốn đó hay khơng?
+ Có thể phát biểu bài tốn một cách khác hay khơng? Một cách khác nữa?
Quay về những định nghĩa.
+ Nếu bạn chưa giải được bài tốn đã đề ra thì hãy thử giải một bài tốn có
liên quan và dễ hơn hay khơng? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng?
Một bài tốn tương tự? Bạn có thể giải một phần của bài tốn hay khơng? Hãy giữ
lại một phần điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay khơng?
Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái
phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?
12


+ Bạn đã sử sụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện hay
chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toàn chưa?
+ Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bước
đều đúng không? Bạn có thể kiểm tra lại tồn bộ q trình giải bài tốn hay khơng?
+ Có thể tìm được kết quả một cách khác khơng? Có thể thấy trực tiếp ngay
kết quả khơng?
+ Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lời
giải ngắn gọn nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Để có một lời giải chặt chẽ ta cần thực hiện theo các bước sau:

+ Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ đã nêu ở bước 2.
+ Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện,
những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
* Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
* Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có
 x = 7t
x −1 y + 2

=
= z ; d 2 :  y = 4t
phương trình: d1 :
3
3
z = 2

Viết phương trình đường thẳng d cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(1; -2; 2).
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài:
GV: Bài tốn u cầu gì?
HS: Bài toán yêu cầu viết PTĐT d cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M cho trước
Bước 2: Tìm cách giải
GV: Các yếu tố để viết PTĐT?
HS: 1 điểm và 1 VTCP
13


GV: Từ giả thiết tìm các yếu tố đó
HS: + Yếu tố điểm: M
uuur

+ VTCP: Giả sử d cắt d1 và d2 lần lượt tại A, B . Ta có VTCP của d là: AB
uuur
uuuur
hoặc AM hoặc AN
GV: Nêu cách tìm VTCP của đường thẳng?
HS: Sử dụng điều kiện hai VTCP cùng phương
Bước 3: Trình bày lời giải
Lời giải
 x = 1 + 3a

Phương trình đường thẳng d1 dưới dạng tham số:  y = −2 + 3a
z = a

Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm A, B
⇒ A ( 1 + 3a; -2+3a; a ) và B ( 7t ; 4t ; 2 )
Do đường thẳng d đi qua M(1; -2; 2) nên 3 điểm A, B, M thẳng hàng ⇔
uuur uuur
MA, MB cùng phương
uuur
uuur
Ta có: MA = ( 3a; 3a; a − 2 ) , MB = ( 7t − 1; 4t + 2; 0 )
uuur uuur
a = 2
1 uuur
⇒ MA = ( 1;1;0 ) .
Từ đó ta được: MA, MB cùng phương ⇔ 
6
t = 1
x = 1+ t'


'
Phương trình đường thẳng d là:  y = −2 + t
z = 2

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
GV: Tìm cách giải khác: Xác định hai mp phân biệt cùng chứa đường thẳng d
HS: Đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng d1 nên d thuộc mp ( P ) đi
qua A và chứa d1
Đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng d 2 nên d thuộc mp ( Q ) đi qua
A và chứa d 2

14


Do đó, đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của hai mp(P) và (Q)
GV: Chú ý cho HS trong cách giải trên, ta mới lập luận d chứa trong mặt
phẳng ( P ) xác định bởi A và d1 và d chứa trong mặt phẳng (Q) xác định bởi A và
d 2 . Như vậy sẽ có khả năng d khơng cắt d1 hoặc d 2 . Do đó phải kiểm tra xem d
có cắt hai đường thẳng đó khơng.
Cách 3
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, chứa d 1
Bước 2: Tìm giao điểm N = d 2 ∩ (P)
(Nếu (P) // d 2 thì bài tốn vơ nghiệm).
Bước 3: Lập phương trình đường thẳng AN
Bước 4: Kiểm tra: Nếu AN // d1 thì bài tốn vô nghiệm, nếu MN cắt d1 suy ra
đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN
1.4. Tình hình dạy và học mơn Tốn của giáo viên, học sinh tỉnh Lai Châu
1.4.1. Những thuận lợi, khó khăn trong học tập mơn Tốn của HS tỉnh
Lai Châu
a) Thuận lợi

Trong dạy học nội dung phương trình đường thẳng trong khơng gian, HS có
nhiều thuận lợi vì:
- Phương trình tham số của đường thẳng trong khơng gian được trình bày
tương tự như phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng mà học sinh
đã học lớp 10. Do đó HS dễ tiếp thu kiến thức mới.
- Kiến thức liên quan như là khái niệm đường thẳng và các quan hệ về góc,
khoảng cách, vị trí tương đối giữa đường với đường thẳng, đường thẳng với mặt
phẳng,… HS đã được học ở hình học lớp 11 và chương đầu của hình học lớp 12 nên
HS dễ tiếp thu vì đã có cơ sở để trực quan.
- Khi giải bài tốn hình học tổng hợp thì HS cần phải vẽ hình, nhiều trường
hợp phải vẽ thêm các đường phụ. Nhưng khi giải bài toán phương pháp tọa độ thì
khơng nhất thiết phải vẽ hình vì chỉ cần dựa trên các phương trình biểu thị chúng là
có thể giải được bài tốn.

15


b) Khó khăn
Thực tiễn dạy học hình học khơng gian lớp 12 cho thấy HS ở tỉnh Lai Châu
thường gặp những khó khăn sau đây:
- Các đối tượng hình học trong phương pháp tổng hợp tuy trừu tượng nhưng
vẫn có chỗ dựa trực quan, khi phát triển từ phương pháp tổng hợp sang phương
pháp tọa độ thì các đối tượng hình học đã được tọa độ hóa nên mức độ trừu tượng
cao hơn, vì vậy HS khó thấy được ý nghĩa, bản chất của các đối tượng hình học.
- Sự mở rộng từ phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (lớp 10) sang
phương trình đường thẳng trong khơng gian (lớp 12) gây ra một số “chướng ngại”
cho HS. Ví dụ cho phương trình 2x + y – 4 = 0 nếu xét trong hệ trục Oxy là phương
trình đường thẳng nhưng nếu xét trong hệ trục Oxyz là phương trình mặt phẳng,
đường thẳng trong khơng gian khơng có vectơ pháp tuyến như trong mặt phẳng…
- Việc nhận thức khái niệm và tính chất cũng khó khăn cho HS trong giải

tốn. Nếu HS hiểu trong PTTS của đường thẳng tất cả các tham số đều ký hiệu là t
thì sẽ gây nhầm lẫn khi tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.
- Học sinh thường có biểu hiện ngộ nhận và mắc phải những sai lầm như:
+ Hai đường thẳng vuông góc thì HS cũng thừa nhận ln là vng góc tức
là cắt nhau.
+ Trong không gian, hai đường thẳng cùng vng góc với một đường thẳng
thì song song với nhau.
+ Hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với nhau thì vng góc
với nhau.
+ Nhầm lẫn góc giữa hai đường thẳng ln bằng góc giữa hai VTCP
- Quan hệ giữa các đối tượng hình học (như tính góc, khoảng cách, xét vị trí
tương đối) được mơ tả bằng các cơng thức, trong đó có những cơng thức phức tạp
như cơng thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (Chương trình nâng cao), ban
cơ bản lại đưa về tính độ dài đoạn vng góc chung. Điều này gây cho học sinh khó
nhớ và dễ nhầm khi tính tốn.
- Khó khăn bộc lộ trong định hướng giải, cách giải đối với các bài tốn
khơng gian: Khó tìm ra cách giải, nhưng xem lời giải thì thấy dễ hiểu. Để tháo gỡ
16


vấn đề này, giáo viên có thể tiến hành bằng cách xây dựng các quy trình và phương
pháp thực hiện giải toán.
- Vấn đề các dạng khác nhau của đáp số: Học sinh thường lúng túng khi viết
phương trình của đường thẳng, mặt phẳng bằng những cách khác nhau và có các kết
quả có vẻ như khác nhau. Cần làm cho học sinh nhớ lại khái niệm về sự tương
đương của hai phương trình (hoặc hai hệ phương trình). Bằng cách dùng phép biến
đổi tương đương ta có thể đưa một hệ phương trình về một hệ có vẻ rất khác, nhưng
vẫn là tương đương, nghĩa là tập nghiệm của hai hệ là như nhau. Cần lưu ý thêm
cho HS là ta có thể chọn nhiều điểm khác nhau trên đường thẳng ∆ làm điểm M 0
cho trước và nhiều VTCP (tỉ lệ với nhau) nên cùng một đường thẳng ∆ có nhiều

PTTS khác nhau.
- Vấn đề giải hệ phương trình: Hều hết các bài tốn trong chương này đều
liên quan đến việc giải hệ phương trình nhiều ẩn số, nhưng HS còn lúng túng trong
cách giải và sau khi giải hệ xong đã vội kết luận về quan hệ hình học mà quên mất
rằng phải xét thêm cả các yếu tố khác nữa. Ví dụ để tìm vị trí tương đối của hai
đường thẳng d và d’ được cho bởi phương trình tham số, ta có thể giải hệ sáu
phương trình để tìm số nghiệm của hệ đó. Nếu hệ vơ nghiệm thì ta chỉ có thể kết
luận rằng hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau mà thôi. Cần phải xét thêm
các vectơ chỉ phương của d và d’ mới có thể đi đến kết luận cuối cùng.
1.4.2. Mục tiêu, yêu cầu, nội dung dạy học phương trình đường thẳng
trong khơng gian -hình học 12-ban cơ bản
a) Nội dung phương trình đường thẳng trong khơng gian
Phương trình tham số của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo
nhau, cắt nhau, song song hoặc vng góc với nhau.
Về các nội dung đã cắt bỏ so với trương trình cũ
- Khơng trình bày phương trình tổng qt của đường thẳng, mà chỉ nói đến
phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng mà thơi. Thực ra thì trong SGK
khơng đưa thuật ngữ phương trình tổng qt của đường thẳng, nhưng về bản chất
thì vẫn gặp dạng phương trình đó. Chẳng hạn khi cho phương trình của hai mặt
phẳng cắt nhau, ta có thể địi hỏi học sinh viết phương trình tham số của đường
17


thẳng giao tuyến.
- Khơng trình bày chùm mặt phẳng và phương trình của nó. Bởi vậy nhiều
bài tốn nếu dùng chùm mặt phẳng thì rất thuận tiện, nay phải dùng cách khác.
- Từ công thức về khoảng cách giữa hai điểm và công thức về khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng, các công thức khác về khoảng cách khơng được
nêu ra. Tuy vậy, SGK có các ví dụ và bài tập, qua đó học sinh có thể biết được cách
tính các khoảng cách đó.

b) Chuẩn kiến thức, kĩ năng học sinh cần đạt được
Về kiến thức: Biết PTTS của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng
chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vng góc với nhau.
Về kĩ năng: Biết cách viết PTTS của đường thẳng. Biết cách sử dụng phương
trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.
c) Một số yêu cầu nội dung dạy học PTĐT trong không gian
- Trước tiên cần phải trang bị hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản và đầy đủ.
Phần phương pháp tọa độ trong không gian là phần củng cố và tiếp tục phát triển
những nội dung quen thuộc mà học sinh đã được học ở lớp 10, đồng thời cũng cần
có những lưu ý cần thiết để thấy được sự phát triển của phương pháp đó trong
khơng gian. Trong phần này, các khái niệm như điểm, vectơ thực hiện tương tự như
đã thực hiện trong mặt phẳng với chú ý rằng tọa độ của một điểm hay tọa độ của
một vectơ trong không gian là một bộ ba số.
- Việc trang bị thêm cho học sinh lớp 12 một công cụ mới là phương pháp
tọa độ trong không gian để nghiên cứu hình học là một việc làm cần thiết giúp học
sinh suy luận, khái quát, tập tư duy trừu tượng, đồng thời có thêm những cơng cụ
mới để làm toán và tư duy trong các lĩnh vực mới mẻ của các ngành khoa học. Tuy
nhiên chúng ta cần tập cho học sinh hiểu rõ bản chất các khái niệm, tập suy luận
một cách chính xác, tránh được các thói quen tư duy một cách hình thức, máy móc,
khơng khoa học và thiếu trách nhiệm.
- Khi dạy về phương pháp tọa độ trong khơng gian nói chung, phương trình
đường thẳng trong khơng gian nói riêng cần thường xun ơn lại những kiến thức có
liên quan đến phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, cần hết sức tránh gây ra
18


những hiểu lầm khơng đáng có. Ví dụ như phương trình Ax + By + C = 0 trong mặt
phẳng Oxy là phương trình của một đường thẳng, nhưng trong khơng gian Oxyz,
phương trình có biểu thị một mặt phẳng song song với trục Oz (hoặc chứa Oz);
- Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một công

thức quan trọng. Trong các bài tập khi cần tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song hoặc tính khoảng cách từ một đường thẳng bất kì đến một mặt phẳng
song song với đường thẳng đó, chúng ta cần phải dùng đến công thức này. Khi học
về công thức này, GV cần giúp HS nhớ lại công thức tính khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng trong hình học phẳng. Việc làm này giúp HS thấy được sự
tương tự của hai cơng thức tính khoảng cách trong mặt phẳng và trong không gian.
- Chú trọng cả hai kĩ năng “đọc” và “viết” phương trình đường thẳng. Chẳng
hạn phương trình

x
y z
= = cho ta một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có một
−1 5 3

r
VTCP là u = (−1;5;3) .
+ Khi đã biết các yếu tố xác định một đường thẳng nào đó, ta có thể viết
được PT đường thẳng đó. Khi cho biết yếu tố xác định một điểm nào đó, có thể viết
được tọa độ điểm đó. Chẳng hạn nếu cho điểm M thuộc đường thẳng
x = t

d :  y = 2 − 4t thì học sinh phải viết được tọa độ điểm đó là M(t; 2-4t; -3-3t)
 z = −3 − 3t

+ Kĩ năng viết PT đường thẳng còn thể hiện ở kĩ năng chuyển đổi giữa 2
dạng PT: PTTS và phương trình chính tắc.
- Trong chương trình hình học khơng gian, khơng đề cập đến dựng hình
trong khơng gian, vì vậy khi diễn đạt nên tránh từ “dựng”. Chẳng hạn, tránh nói
rằng: “dựng AH vng góc với BC”, ta nói: “Gọi H là hình chiếu của A trên BC”.
- Vấn đề giải hệ phương trình: Hều hết các bài tốn trong chương này đều

liên quan đến việc giải hệ phương trình nhiều ẩn số. Học sinh cần thành thạo cách
giải, có thể dùng máy tính. Tuy vậy cũng nên chú ý hai tình huống:
19


+ Cách giải hệ phương trình có ẩn số nhiều hơn số phương trình.
+ Kết luận về số nghiệm của hệ chưa đủ để kết luận về quan hệ hình học. Ví dụ
để tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’ được cho bởi PTTS, ta có thể giải
hệ gồm sáu phương trình để tìm số nghiệm của hệ đó. Nếu hệ vơ nghiệm thì ta chỉ có
thể kết luận rằng hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau mà thôi. Cần phải xét
thêm các vectơ chỉ phương của d và d’ mới có thể đi đến kết luận cuối cùng.
- Vấn đề trực quan trong giảng dạy:
+ Nên chú ý đúng mức tới yếu tố trực quan: hình vẽ, bảng biểu,…. Về
nguyên tắc, khi giải bài tốn hình học bằng phương pháp tọa độ ta khơng cần tới
hình vẽ. Nhưng nhiều khi hình vẽ có thể giúp cho học sinh đưa ra được phương
pháp giải hợp lí.
+ Để làm ví dụ, ta xét bài tốn “Viết phương trình đường thẳng d đi qua
điểm M0 có tọa độ đã cho, và cắt hai đường thẳng d1, d2 có phương trình đã cho”.
Ta làm cho học sinh thấy rằng đường thẳng d (nếu có) phải là giao tuyến của
hai mặt phẳng: mp(d1,M) và mp(d2,M). Hơn thế nữa qua hình vẽ HS cũng thấy rằng
phải kiểm tra điều kiện giao tuyến đó phải cắt d1, d2 trước khi đưa ra đáp số của bài
toán (Tất nhiên bài tốn trên có thể giải bằng cách khác)
- Để HS ôn tập tốt, GV nên cho HS làm các tóm tắt, tổng kết theo từng vấn
đề, có thể lập thành các bảng biểu, sơ đồ tư duy cho dễ nhớ. Cần hệ thống hóa các
dạng tốn và phương pháp giải tương ứng, nhằm rèn luyện kĩ năng,.. Ví dụ: tóm tắt
các vị trí tương đối của hai đường thẳng, các dạng toán viết PTĐT,…
- Giáo viên cần tạo điều kiện thuận lợi cho HS được tăng cường, thảo luận
trên lớp: Qua trao đổi, thảo luận các em sẽ hiểu bản chất của vấn đề hơn, học được
ở thầy, ở bạn cách suy nghĩ, giải quyết vấn đề, thấy được đúng, sai trong cách nghĩ,
cách làm.

1.5. Kết luận chương 1
Trong chương này, tơi đã trình bày một số vấn đề lý luận liên quan đến kĩ
năng giải toán cho học sinh nói chung, kĩ năng giải tốn phương trình đường thẳng
trong khơng gian nói riêng. Đồng thời cũng nêu ra một số thuận lợi, khó khăn của
20


HS tỉnh Lai Châu khi giải toán dạng này. Từ những lý luận trên làm cơ sở để tôi
đưa ra biện pháp rèn luyện kĩ năng trong chương 2.

21


CHƯƠNG 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN
VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Trong luận văn này chúng tơi quan tâm đến việc rèn luyện kĩ năng giải toán
phương trình đường thẳng trong khơng gian ở một số dạng sau đây (Không đặt ra
vấn đề phân chia một cách triệt để và hoàn toàn đầy đủ)
2.1. Rèn luyện kĩ năng giải tốn xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
trong khơng gian
2.1.1. Bài tốn về hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau
Hoạt động 1: Tổ chức cho học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản:
Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:
r
r
Cho a = ( x1 ; y1; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) . Khi đó:
r r y1 z1 z1 x1 x1 y1
;
;
ữ

ã a, b  = 
 y2 z2 z2 x2 x2 y2 
rr r
r r


⇔
a
• Hai vectơ a , b cùng phương
 , b = 0 .
rr r
r r
• Hai vectơ a , b không cùng phương ⇔  a, b  ≠ 0
rr r
rrr
• Ba vectơ a, b,c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0 .
rr r
rrr


⇔
a
• Ba vectơ a, b,c không đồng phẳng
 , b  .c ≠ 0 .
Chứng minh hai vectơ cùng phương
r
r
r
r r r
• a và b cùng phương ⇔ a = k .b b ≠ 0

• Cách 1:

(

• Cách 2:

• Cách 3:

)

x1 y1 z1
=
=
với ( x2 , y2 , z2 ≠ 0 )
x2 y2 z2
x2 y2 z2
r
r
=
=
• a và b cùng phương ⇔
với ( x1 , y1 , z1 ≠ 0 )
x1 y1 z1
rr r
r
r
• a và b cùng phương ⇔  a, b  = 0 .
r

r

• a và b cùng phương ⇔

Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’ cho bởi PT sau:

22


 x = x0 + at

d:  y = y0 + bt và d’:
 z = z + ct
0


 x = x '0 + a ' t '

 y = y '0 + b ' t '
 z = z ' + c 't '
0

r
ur
Đường thẳng d đi qua M có VTCP a và d ' đi qua M’ có VTCP a ' .
Từ điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau hay chéo nhau trình
bày dưới đây GV hướng dẫn HS cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian (theo các bước)
r ur uuuuur
  a, a ' .MM ' = 0



• d cắt d ' ⇔  r ur
r
  a, a ' ≠ 0
r ur uuuuur
• d chéo d ' ⇔  a, a ' .MM ' ≠ 0
r ur r
r ur
a, a ' =0
a, a ' cùng phương


ã d // d ' ⇔ 
'
 M ∉ d
 M ∉ d'
r ur r
r ur
 a, a ' =0
a, a ' cùng phương


ã d d'
'
M d
 M ∈ d '
Phương pháp:
r
ur
Cách 1: Bước 1: Xác định VTCP a của d và VTCP a ' của d’.

Bước 2: Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương
r ur r
r ur
+ Nếu a, a ' =0 thì a, a ' cïng ph­¬ng . Khi đó hai đường thẳng đã cho song
song hoặc trùng nhau
r ur r
r ur
+ Nếu a, a ' ≠ 0 thì a, a ' khơng cùng phương. Khi đó hai đường thẳng đã
cho cắt nhau hoặc chéo nhau
Bước 3:
Nếu cặp VTCP cùng phương thì lấy điểm M ∈ d và thay vào đường thẳng d’
o Nếu M ∉ d’ thì d // d’.
o Nếu M ∈ d’ thì d ≡ d’

r ur uuuuur
Nếu cặp VTCP khơng cùng phương thì tính  a, a ' .MM '
23


r ur uuuuur

o Nếu  a, a ' .MM ' ≠ 0 thì d, d’ chéo nhau.

r ur uuuuur

a
o Nếu  , a ' .MM ' = 0 thì d cắt d’
Cách 2: Xét hệ PT gồm PT hai đường thẳng d và d’:

 x0 + at = x '0 + a ' t ' (1)


 y0 + bt = y '0 + b ' t ' (2)
 z + ct = z ' + c ' t ' (3)
0
 0

(*)
Ta có mối quan hệ giữa số nghiệm của hệ PT (*) với vị trí tương đối của hai
đường thẳng cho trong bảng sau:
Hệ (*)
Vơ số nghiệm
Vơ nghiệm
Có 1 nghiệm
Vơ nghiệm

r ur
Quan hệ giữa a , a '
Cùng phương
Không cùng phương

Vị trí giữa d, d’
d ≡ d'
d / /d '
d cắt d’
d , d’ chéo nhau

Từ đó ta có thể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng theo cách 2 như sau:
Cách 2: Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng d và d’:
- Nếu hệ có một nghiệm duy nhất thì d cắt d’
- Nếu hệ có vơ số nghiệm thì d trùng với d’.

r ur
- Nếu hệ vô nghiệm và a , a ' cùng phương thì d song song với d’
r ur
- Nếu hệ vô nghiệm và a , a ' không cùng phương thì d và d’ chéo nhau
Chú ý:
- Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm PT (1) và (2) (Hoặc (1) và (3), hoặc (2) và
(3)), rồi thế t và t’ vào PT còn lại.
- Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau thì ta chỉ cần giải hệ PT (*) với 1
nghiệm duy nhất tìm được mà khơng nhất thiết phải xét mối quan hệ giữa hai VTCP.
- Cách lấy một điểm thuộc đường thẳng d:
* Ý nghĩa của tham số t:
+ Ứng với mỗi một giá trị cụ thể của tham số t cho ta tọa độ một điểm thuộc
đường thẳng.
+ Ứng với mỗi điểm thuộc đường thẳng ta tìm được một giá trị tham số t
24