Đề tài tính bổ chính hai vòng

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này ngoài nỗ lực của bản thân, tôi
đã nhận được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ nhiệt tình của tập thể, cá nhân
trong và ngoài trường.
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới các thầy, cô giáo trong
khoa Vật Lý-Trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ
tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến TS Phạm
Thúc Tuyền,người thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi
để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn sâu sắc đến gia đình những người
thân và bạn bè đã động viên, cổ vũ, giúp tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 10 năm 2014


MỤC LỤC


DANH MỤC HÌNH
LỜI CẢM ƠN...................................................................................................1
Hình 1.1. Các thế hệ của vật chất....................................................................5
Hình 1.2. Giản đồ Feynman (không vòng, có vòng)........................................7
Hình 2.1. Giản đồ năng lượng riêng của electron.........................................11
Hình 2.2. Giản đồ năng lượng riêng của photon...........................................13
Hình 2.3. Giản đồ năng lượng riêng của quark.............................................17
Hình 2.4. Giản đồ biểu diễn Sự đóng góp của gluon loop vào phân cực chân
không trong QCD...........................................................................................19
Hình 2.5. Giản đồ biểu diễn sự đóng góp của Ghost loop vào phân cực chân
không trong QCD...........................................................................................25
Hình 2.6. Giản đồ biểu diễn sự đóng góp của quark loop vào phân cực chân

không trong QCD...........................................................................................28
Hình 3.1. Giản đồ biểu diễn hàm truyền của hạt không khối lượng............34
Sẽ được định nghĩa thông qua hàm hai điểm không thứ nguyên :..............34
Hình 3.2. Giản đồ năng lượng riêng của photon...........................................34
Hình 3.2a. Giản đồ năng lượng riêng của photon.........................................35
Theo quy tắc Feynman, ta có biểu thức sau đây:..........................................35
Hình 3.2c. Giản đồ năng lượng riêng của photon.........................................35
Hình 3.3. Giản đồ năng lượng riêng của electron.........................................36
Hình 3.3a. Giản đồ năng lượng riêng của electron.......................................37
Hình 3.3b. Giản đồ năng lượng riêng của electron.......................................38
Giản đồ này chứa giản đồ con một vòng năng lượng riêng của electron . Khi
đó, theo quy tắc Feynman ta có:....................................................................38
Hình 3.3c. Giản đồ năng lượng riêng của electron........................................38



MỞ ĐẦU
Mục tiêu của Vật lý hạt cơ bản là nghiên cứu các hạt sơ cấp và tương tác
giữa chúng. Ở mức độ cổ điển, hạt sơ cấp bao gồm lepton, quark và hạt
Higgs, còn tương tác giữa hạt sơ cấp bao gồm: hấp dẫn, điện từ, yếu và mạnh.
Tương tác hấp dẫn và điện từ có bán kính tương tác là vô hạn, trong khi tương
tác mạnh và yếu chỉ diễn ra trong phạm vi hạt nhân. Tương tác hấp dẫn không
nằm trong phạm vi quan tâm của luận văn này. Các tương tác điện - yếu và
mạnh của các hạt sơ cấp được mô tả bởi Mô hình tiêu chuẩn1.
Trong lý thuyết trường lượng tử, mỗi hạt và trường đều được mô tả bằng
một trường lượng tử. Trường cho hạt tự do thỏa mãn phương trình Dirac.
Trường truyền tương tác tự do, gọi là trường chuẩn, thỏa mãn phương trình
kiểu phương trình Maxwell tự do. Các trường lượng tử là toán tử, khi chúng
tác dụng lên trạng thái chân không sẽ sinh ra trạng thái một hạt, khi tác dụng
lên trạng thái một hạt sẽ sinh ra trạng thái hai hạt, hoặc chân không. Như vậy,

trường lượng tử sẽ bao gồm phần toán tử sinh và phần toán tử hủy hạt. Hạt
được sinh ra là lượng tử của trường. Lượng tử của trường chất là lepton và
quark, lượng tử của trường chuẩn truyền tương tác điện yếu là photon và các
boson W ± , Z , còn cho tương tác mạnh là gluon.
Khi trường và hạt tương tác với nhau, ta có hệ nhiều trường. Để nghiên
cứu hệ trường tương tác, người ta dùng phương pháp lượng tử hóa bằng tích
phân phiếm hàm. Các đại lượng vật lý sẽ được diễn tả thông qua tích phân
phiếm hàm của Hamiltonian tương tác trong biểu diễn tương tác. Khi khai
1

Chữ tiêu chuẩn chúng tôi dùng để dịch thuật ngữ “Standard”, chữ chuẩn được dùng

để dịch chữ gauge (gauge invariance – bất biến chuẩn) và chữ norm (renormalization – tái
chuẩn hóa) trong tiếng Anh

1


triển tích phân phiếm hàm theo hệ số tương tác, coi phần tương tác là nhiễu
loạn, ta sẽ thu được các tích phân tương ứng với các giản đồ Feynman ở gần
đúng khác nhau. Ở gần đúng bậc phấp nhất theo tham số tương tác, giản đồ
Feynman không chứa vòng kín, gọi là các giản đồ cây. Tích phân tương ứng
với các giản đồ này cho ta giá trị chính của đại lượng vật lý. Các giản đồ
Feynman có một hoặc nhiều vòng trong những gần đúng bậc tiếp theo sẽ cho
ta các bổ chính.
Việc tính đến bổ chính một vòng sẽ bổ sung vào kết quả thu được từ các
giản đồ cây. Việc làm này giúp giải thích mômen từ dị thường của electron và
dịch chuyển Lamb của quang phổ nguyên tử. Việc tính bổ chính vòng gặp rất
nhiều khó khăn do tính phân kỳ của các tích phân. Để thu được kết quả hữu
hạn, người ta tìm cách tách phần phân kỳ với phần hữu hạn. Việc làm này

được gọi là điều chỉnh hóa. Sau đó, bằng cách tái định nghĩa các tham số thực
nghiệm, phần vô hạn được loại bỏ. Việc làm này được gọi là tái chuẩn hóa.
Như vậy, sau khi tái chuẩn hóa, kết quả thu được sẽ hữu hạn và chúng được
coi là giá trị lý thuyết.
Có ba cách điều chỉnh thường dùng, tùy theo từng trường hợp cụ thể, đó
là phương pháp Pauli-Villars, phương pháp cắt xung lượng lớn và phương pháp
thứ nguyên. Trong luận văn này chúng tôi dùng cách điều chỉnh thứ nguyên,
theo đó, không-thời gian sẽ không phải là 4 chiều mà là D < 4 chiều. Khi đó
tích phân sẽ hội tụ. Nếu đặt D = 4 − ε , tích phân sẽ tách thành hai phần, phần
chứa ε và phần không chứa ε . Khi ε → 0 , phần không chứa ε chính là phần
hữu hạn, phần chứa ε sẽ tiến tới ∞ , tức là phần phân kỳ. Bằng cách tái chuẩn
khối lượng, hệ số tương tác (kiểu điện tích), hàm sóng, phần vô hạn sẽ bị khử.
Ở gần đúng một vòng ta chỉ cần tái chuẩn hóa khối lượng và hệ số tương
tác. Sang gần đúng hai vòng ta cần tái chuẩn hóa tất cả các tham số như: hàm

2


sóng của electron, photon, khối lượng, điện tích và hệ số tương tác trần. Trong
phạm vi luận văn chúng tôi sẽ đi nghiên cứu các bổ chính hai vòng trong QED
và QCD trong khuôn khổ của mô hình tiêu chuẩn, sử dụng chuẩn Feynman.
Còn một lý do nữa làm chúng tôi chọn đề tài tính bổ chính hai vòng. Đó
là, giữa tháng 7/2012 phòng thí nghiệm ATLAS và CMS tại máy Va chạm
Hadron Lớn (Large Hadron Collider - LHC) công bố khám phá sự tồn tại của
hạt Higgs. Để biết đó có đúng là hạt Higgs không, họ chọn phân rã Higgs → 2
Muon. Đây là phân rã hiếm gặp hơn, cho nên, đồ thị của độ rộng phân rã
không phân biệt được với sai số phép đo. Vì vậy, chúng tôi cho rằng, nếu tính
bổ chính tiếp theo, tức là bổ chính hai vòng, kết quả thu được sẽ góp phần làm
đồ thị khác với đồ thị sai số.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Lý thuyết trường lượng tử và vấn đề khử phân kỳ trong các
bổ chính vòng.
Chương 2: Bổ chính một vòng trong QCD và QCD.
Chương 3: Bổ chính hai vòng trong QED

3


CHƯƠNG I
LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ VÀ
VẤN ĐỀ KHỬ PHÂN KỲ TRONG CÁC BỔ CHÍNH VÒNG
1. Lý thuyết hạt cơ bản
1.1. Mô hình tiêu chuẩn cổ điển và lượng tử
Ở mức cổ điển, hạt cơ bản được coi là những cấu kiện (building block) nhỏ
bé cuối cùng tạo nên thế giới chất. Thông qua các trường tương tác, chúng sẽ tạo
nên những tổ hợp phức tạp hơn như hadron, meson, hạt nhân, nguyên tử, phân tử
và các vật thể lớn hơn mà ta gặp hàng ngày. Như vậy, thế giới vật chất sẽ bao
gồm hai hình thái tồn tại, đó là hạt chất và trường tương tác.
Cho đến nay, ta tạm vừa lòng với quan điểm cho là có 4 tương tác: hấp
dẫn, điện tử, yếu và mạnh. Tương tác hấp dẫn được mô tả bằng tính chất hình
học của không thời gian bốn chiều (Lý thuyết tương đối rộng). Ba tương tác
còn lại được mô tả bằng lý thuyết chuẩn (gauge theory).
Hạt chất sẽ bao gồm ba loại. Lepton, e− , µ − , τ − và các neutrino tương
ứng, những hạt không tham gia tương tác mạnh. Quark, u, d , c, s, t , b , những
hạt tham gia đủ cả bốn loại tương tác. Hạt Higgs, nảy sinh từ cơ chế sinh khối
của tất cả các hạt có khối lượng.
Mô hình tiêu chuẩn (Standard Model – SM) là lý thuyết hiện nay về các
hạt cơ bản và tương tác giữa chúng. Theo mô hình này, hạt chất được tách
thành hai phần, gọi là phần thuận tay trái (left-handed part) và thuận tay phải
(right-handed part) khi tham gia tương tác yếu. Chỉ có phần thuận trái mới

tham gia còn phần thuận phải thì không tham gia. Như vậy, nếu có loại tích
yếu gì đó gây nên tương tác yếu thì phần thuận phải sẽ là hạt trung hòa. Phần
thuận trái cùng với neutrino làm thành một hạt. Hạt này được mô tả bằng hàm
có hai thành phần giống như hạt có spin 1/2 nên nó được gọi là lưỡng tuyến

4


isospin. Như vậy, tương tác yếu chỉ có giữa các hạt có isospin. Hạt lepton
thuận phải sẽ là isoscalar (iso đơn tuyến). Cho đến nay, chưa có bằng chứng
quả quyết về sự tồn tại của neutrino thuận phải. Vì vậy, nội dung hạt của SM
sẽ gồm các lưỡng tuyến và đơn tuyến sau đây:
ν e   ν µ   ν τ 
−
−
−
 e − ÷ ,  µ − ÷ , τ − ÷ , eR , µ R , τ R
 L  L  L
 u  c  t 
 d ÷ ,  s ÷ ,  b ÷ , u R , d R , cR , sR , t R , bR
 L  L  L

1.1

Các hạt này sẽ chia làm ba thế hệ giống hệt nhau, chỉ khác nhau về khối lượng.

Hình 1.1. Các thế hệ của vật chất
Các trường truyền tương tác được diễn tả bằng các trường chuẩn tương
ứng với ba nhóm chuẩn là U ( 1) , SU ( 2 ) , SU ( 3) ; Khi đó, nếu trường chuẩn là Aµ
, thì tensơ cường độ trường sẽ là:

Fµνψ =  Dµ , Dν ψ ; Dµ = ∂ µ − igAµ

1.2

Trong đó ψ là trường vật chất. Với các nhóm chuẩn nói trên, ta có:
Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ
Fµνi = ∂ µWνi − ∂ν Wµi − ig Wε iklWµkWνl ; i, k , l = 1, 2,3
Fµνa = ∂ µ Gνa − ∂ν Gµa − ig S f abcGµb Gνc ; a, b, c = 1, 2,K ,8

5

1.3


Trong mô hình SM lượng tử, tất cả trường và hạt đều được mô tả bằng
trường lượng tử. Trường vật chất là trường spinơ, trường tương tác là trường
chuẩn vectơ. Phương trình trường vật chất tự do là phương trình Dirac.
Phương trình trường cho trường chuẩn tự do là phương trình dạng Maxwell
trong chân không. Trạng thái cơ bản gọi là chân không trường. Khi toán tử
trường tác động lên chân không nó sẽ cho trạng thái một hạt. Khi toán tử
trường tác động lên trạng thái một hạt sẽ sinh ra trạng thái hai hạt hoặc chân
không. Ta nói rằng trường lượng tử sẽ gồm hai phần, phần sinh hạt và phần
hủy hạt. Lượng tử của trường Dirac là các hạt chất, lượng tử của trường chất
là các hạt lực. Hạt lực truyền tương tác điện tử là photon γ , truyền tương tác
yếu là các boson W và Z , truyền tương tác mạnh là các hạt keo “gluon” g .
Trong lý thuyết bất biến chuẩn, không phải tất cả các thành phần của
trường chuẩn đều là bậc tự do độc lập. Vì vậy, ta phải khử bớt các bậc tự do
thừa bằng cách đưa thêm vào Lagrangean số hạng cố định chuẩn. Có một số
cách chọn số hạng này. Trong luận văn, chuẩn được chọn là chuẩn Feynman:

(∂
δL = −

µ

Aµ )

2ξ

2

(∂
=−

µ

Aµ )

2

2ξ

1.4

Ta dùng phương pháp lượng tử hóa bằng tích phân phiếm hàm, cho nên,
bên cạnh số hạng cố định chuẩn ta còn phải thêm vào số hạng FaddeevPopov. Số hạng này gắng liền với giả định tồn tại trường ma (ghost field).
Trường ma là trường vô hướng nhưng phản giao hoán.
Tương tác giữa các trường vật chất và trường chuẩn được mô tả bằng số
hạng tương tác. Khi tính biên độ chuyển dời giữa hai trạng thái ta dùng
phương pháp nhiễu loạn. Khi đó, các giản đồ Feynman sẽ có loại không và có

vòng. Ví dụ:

6


Hình 1.2. Giản đồ Feynman (không vòng, có vòng)
Việc nghiên cứu các bổ chính bậc cao hơn trong lý thuyết nhiễu loạn bằng
việc tính đến các giản đồ Feynman có chứa các vòng thường dẫn đến những kết
quả phân kỳ. Trong phạm vi chương này, chúng tôi chỉ giới hạn xem xét những
phân kỳ tử ngoại, loại phân kỳ có ý nghĩa quan trọng về mặt vật lý.
Những phân kỳ tử ngoại cho thấy rằng các đại lượng tính toán trong lý
thuyết trường lượng tử phụ thuộc vào thang xung lượng rất lớn nào đó, gọi là
xung lượng cắt. Hay nói cách khác, trong không gian tọa độ, các đại lượng
phân kỳ phụ thuộc vào một thang khoảng cách rất nhỏ nào đó. Sự tồn tại của
phân kỳ tử ngoại trong mối quan hệ giữa các tham số vật lý và các giá trị trần
của chúng là một dấu hiệu cho thấy rằng những tham số này được điều khiển
bởi vật lý chưa biết ở thang cực nhỏ (thang năng lượng cực lớn).
Bằng cách tách riêng phần phân kỳ trong bổ chính vòng (được gọi là quá
trình điều chỉnh các phân kỳ), và sau đó tái chuẩn hóa lại các tham số khối
lượng, hằng số tương tác cũng như hàm sóng trong lý thuyết ban đầu, những
bổ chính vòng này sẽ cho ta những đóng góp hữu hạn vào các kết quả vật lý.
2. Các phương pháp tách phân kỳ
Mục đích của việc điều chỉnh là tính toán các tích phân phân kỳ:
∞

I = ∫ d 4 kF ( k )

1.5
Việc này có thể được làm theo một số cách khác nhau. Hơn thế nữa, kết
0

quả cuối cùng không phụ thuộc vào các thức điều chỉnh ta chọn. Ý tưởng chính
của các phương pháp này là tham số hóa tích phân bằng một tham số, được gọi
là điều chỉnh tử (regulator). Sau khi biểu diễn tích phân theo cách này, chúng ta

7


lấy giới hạn trong đó kết quả thu được trở thành giá trị của tích phân ban đầu.
Việc làm này sẽ giúp ta tách riêng được phần phân kỳ và phần hữu hạn.
2.1. Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên
Đây là một trong những phương pháp tách phân kỳ phổ biến và hữu ích
nhất. Nguyên nhân là do phương pháp này bảo toàn bất biến gauge và giữ
nguyên tất cả các đối xứng trong lý thuyết ban đầu. Để tiến hành điều chỉnh
thứ nguyên, ta thay biểu thức (1.1) bằng:
∞

I → I D = ∫ d D kF ( k )

1.6
Trong đó: D là thứ nguyên của độ đo ta đang xem xét, mà giá trị vật lý
0

của nó là D = 4 . Sau khi tính tích phân trong không - thời gian D chiều,
chúng ta thay thế D → 4 − ε , và giới hạn của tham số này là ε → 0 . Kết quả
nhận được thường là hàm số gamma Euler Γ ( ε ) . Khai triển hàm này theo ε ,
ta thu được:
1
ID = A( ε ) + B + C  ÷
ε 

1.7

Bỏ qua số hạng A trong giới hạn vật lý, hai số hạng còn lại tương ứng
với các phần hữu hạn và phân kỳ của tích phân ban đầu.
2.2. Phương pháp cắt xung lượng
Do tích phân (1.1) phân kỳ tử ngoại nên sự lựa chọn rõ ràng nhất là
chúng ta điều chỉnh bằng cách không lấy tích phân đến vô cùng mà chỉ đến
một giới hạn xung lượng rất lớn nào đó, ký hiệu là Λ:
Λ

I → I Λ = ∫ d 4 kF ( k )
0

1.8

I Λ là hội tụ và tiến đến I khi ta chuyển giới hạn Λ → ∞. Bằng việc tính

tích phân, kết quả thu được sẽ có dạng:
1
IΛ = A( Λ ) + B + C  ÷
Λ

8

1.9


Trong giới hạn vật lý Λ → ∞, A là phân kỳ (theo dạng đa thức hay dạng
logarithm đối với Λ), C → 0, và B là độc lập với Λ nên nó có giá trị hữu hạn.

Bỏ qua C, biểu thức tích phân được tách thành một phần phân kỳ và một phần
hữu hạn. Mặc dù phương pháp cắt xung lượng lớn tỏ ra khá rõ ràng về mặt ý
nghĩa, không phải lúc nào đây cũng là sự lựa chọn tốt nhất. Nguyên nhân là
do sự phụ thuộc vào xung lượng cắt hầu như luôn dẫn đến sự vi phạm một đối
xứng quan trọng của lý thuyết - đối xứng chuẩn - mà nó đảm bảo một số đại
lượng tự triệt tiêu nhau một cách chính xác. Do đó, chúng ta thường chỉ dùng
phương pháp này khi muốn phân tích một cách định tính các giản đồ.
2.3. Phương pháp Pauli-Villars
Phương pháp này dựa trên giả thuyết rằng tồn tại vật lý khác ngoài
những gì ta thấy. Ở đây, bên cạnh các trường vật lý thông thường, người ta
đưa thêm vào các trường phụ tương ứng với các hạt có khối lượng M cực lớn.
Khi viết yếu tố ma trận, các hạt này được đặt song hành với một số hạt truyền
(đường trong), và do đó khiến cho hàm truyền được điều chỉnh lại:
∆ ( m ) → reg M ( m ) = ∆ ( m ) + ∑ ci ∆ ( M i )
i

1.10

Khi M hữu hạn, tích phân bổ chính vòng là hội tụ. Và khi chuyển giới
hạn M → ∞, tích phân này trở về với giá trị thực của nó và được tách làm hai
phần: phân kỳ và hữu hạn.
3. Tái chuẩn hóa
Các kỹ thuật điều chỉnh lại tích phân cho chúng ta cách thức để "tham số
hóa các phần vô hạn", qua đó thể hiện dáng điệu phân kỳ của tích phân. Việc
bổ chính bậc cao hơn trong lý thuyết nhiễu loạn cho kết quả phân kỳ (lớn hơn
rất nhiều so với gần đúng mức cây) tỏ ra không hợp lý. Do đó, các phần vô
hạn này cần phải được xử lý một các thích hợp sao cho đóng góp của bổ chính
vòng trở nên hữu hạn. Việc loại bỏ các phần vô hạn này được thực hiện nhờ
tái chuẩn hóa lại lý thuyết.

9


Gọi regulator được sử dụng là L. Biểu thức tích phân mà ta đang xem xét
được viết lại dưới dạng:
I = I ( m, α .L )

1.11
Đại lượng này trở nên phân kỳ trong giới hạn vật lý. Tuy nhiên, người ta
thấy rằng có thể xử lý các vô hạn này bằng cách dịch chuyển lại các tham số
vật lý một cách thích hợp:
m → m ( L) = m + δ ( L)

α → α ( L) = α + δ ( L)

I ( m, α , L ) → I ( m ( L ) , α ( L ) )

1.12

Điều này khiến cho các phần vô hạn được hấp thụ vào trong các tham số
vật lý trần ban đầu và biểu thức tích phân sẽ không còn các phần vô hạn
tường minh nữa mà phụ thuộc vào các tham số sau khi dịch chuyển. Nếu ta
chọn điều kiện tái chuẩn hóa là:
m ( L ) → mR , α ( L ) → α R

1.13
Trong giới hạn vật lý, thì kết quả cuối cùng I ( mR , α R ) là hữu hạn (do các
tham số đã tái chuẩn hóa mR , α R là hữu hạn và được xác định từ thực
nghiệm).
* Trong chương sau, chúng ta sẽ minh họa các phương pháp tách phân

kỳ nêu trên bằng việc thực hiện tính toán với một số giản đồ vòng trong điện
động lực học và sắc động lực học lượng tử.

10


CHƯƠNG II
BỔ CHÍNH MỘT VÒNG TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG
LƯỢNG TỬ
1. Bổ chính một vòng trong điện động lực học lượng tử (QED)
1.1. Giản đồ năng lượng riêng của electron
1.1.1. Giản đồ

Hình 2.1. Giản đồ năng lượng riêng của electron
Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng điện từ của electron.
1.1.2. Biểu thức
Dựa vào quy tắc Feynman, giản đồ trên tương ứng với biểu thức:
−i ∑ ( p ) = µ 4 − D ∫

(

i pˆ − kˆ + m

d Dk

( 2π )

−ieγ µ )
D (

( p−k)

2

) ( −ieγ

υ

)

−ig µυ
k2

− m2
Trong đó, m là khối lượng của hạt và µ là một tham số. Ta có :
i∑ ( p ) = e µ
2

4− D

d Dk

∫ ( 2π )

D

γµ

( pˆ − kˆ + m )

( p−k)

2

−m

2

γµ

1
k2

2.1

2.2

Sử dụng công thức Feynman:
1

1
dx
=∫
a1a2 0  a1 x + a2 ( 1 − x )  2



Với:
a1 = ( p − k ) 2 − m 2 ; a2 = k 2
a1 x + a2 (1 − x ) = ( p − k ) − m 2  x + k 2 ( 1 − x )



2
2
2
= k − 2 pkx − m x + p x
2

Đặt:
k1 = k − px ⇔ k = k1 + px

11

2.3


để khử bậc một theo k ở mẫu số. Do đó:
a1 x + a2 ( 1 − x ) = ( k1 + px ) − 2 px ( k1 + px ) − m 2 x + p 2
2

= k12 − m 2 x + p 2 x ( 1 − x )

Ta có:

(

)

TS = γ µ pˆ − kˆ + m γ µ = γ µ  pˆ ( 1 − x ) − kˆ1 + m  γ µ

Lưu ý:
γ µ γ µ = D; γ µ pˆ γ µ = ( 2 − D ) pˆ
TS = Dm + ( 2 − D )  pˆ ( 1 − x ) − k1 

Đổi k1 ↔ k ,ta có:

TS = Dm + ( 2 − D )  pˆ ( 1 − x ) − kˆ 

a1 x + a2 ( 1 − x ) = k 2 − m 2 x + p 2 x ( 1 − x )

2.4

Thay (2.4) vào (2.2), ta có:
i∑ ( p ) = e µ
2

4− D



 d D k Dm + ( 2 − D ) ( 1 − x ) pˆ − ( 2 − D ) kˆ 
∫0 dx ∫ ( 2π ) D × k 2 − m2 x + p 2 x ( 1 − x )  2 




1

2.5

Chú ý:

∫ k


d Dk
2

− m 2 x + p 2 ( 1 − x ) 

2

{chứa bậc 1 theo k ở tử số} = 0

Do đó:
i∑ (

µ 4− D 1
1
p) = e
 Dm + ( 2 − D ) ( 1 − x ) pˆ dx ∫ d D k ×
D ∫
2
( 2π ) 0
 k 2 − m 2 x + p 2 x ( 1 − x ) 
2

2.6

Sử dụng công thức (B-3), ta có:

D

∑ ( p) = −e ( −1)
2

D
2

1
 Dm + ( 2 − D ) ( 1 − x ) pˆ 
π2
D

µ 4− D
Γ
2
−

÷∫ dx ×
D
D
2−
( 2π )  2  0
 −m 2 x + p 2 x ( 1 − x )  2

2.7

Đặt ε = 4 − D và sử dụng khai triển sau đây của hàm gamma:
D


ε  2
Γ  2 − ÷= Γ  ÷= − γ + 0 ( ε )
2

2 ε
γ
Trong đó, là hằng số Euler, γ ≈ 0,57721. Lưu ý:
Dm + ( 2 − D ) ( 1 − x ) pˆ = −  2 pˆ ( 1 − x ) − 4m − ε { pˆ ( 1 − x ) − m} 

Ta có:

12

2.8


∑(

p ) = −e 2

µε
D

( 4π ) 2

1
2 pˆ ( 1 − x ) − 4m − ε { pˆ ( 1 − x ) − m}
ε 
Γ  ÷∫ dx ×
ε

20
2
2
 − m x + p x ( 1 − x )  2
−∈

e2
=−
16π 2

1
 −m 2 x + p 2 x ( 1 − x )  2
2

−
γ
+
0
ε
dx
( )∫ 


4πµ 2
ε
 0 


{

}

× 2 pˆ ( 1 − x ) − 4m − ε  pˆ ( 1 − x ) − m 

Áp dụng công thức: a = 1 + ε ln a , suy ra:
ε

∑(

p) = −

e2
16π 2

1
 ε −m2 x + p 2 x ( 1 − x ) 
2

−
γ
+
0
ε
dx
( )  ∫ 1 − ln


4πµ 2
ε
0  2



×  2 pˆ ( 1 − x ) − 4m − ε { pˆ ( 1 − x ) − m} 

Ta có:
1

1

1

b
c
2
∫0 adx = a; ∫0 bxdx = 2; ∫0 cx dx = 3

Suy ra:
e2
e2
ˆ
p
−
4
m
+
(
)
{ γ ( pˆ − 4m ) − ( 2m − pˆ )
8π 2ε
16π 2

1
−m 2 x + p 2 x ( 1 − x ) 
e2
+ ∫ dx  2 pˆ ( 1 − x ) − 4m  × ln
=
− pˆ + 4m ) + finite

2 (
4πµ 2
 8π ε
0

∑( p) = −

2.9a

Với:
e2
{ pˆ ( 1 + γ ) − 2m ( 1 + 2γ ) +
16π 2
1

−m 2 x + p 2 x ( 1 − x ) 
+2 ∫ dx ×  pˆ ( 1 − x ) − 2m  ln

2
4πµ

0


finite =

1.2. Giản đồ năng lượng riêng của photon
1.2.1. Giản đồ

Hình 2.2. Giản đồ năng lượng riêng của photon

13

2.9b


Giản đồ này diễn tả sự tương tác của photon với chân không của trường
electron-positron (giản đồ năng lượng riêng của photon).
1.2.2. Biểu thức
−iΠ µυ ( k ) = µ ( 4− D ) Sp ∫

dDp

( 2π )

D

( −ieγ ) pˆ −i m ( −ieγ ) pˆ − kiˆ − m
µ

2.10a

υ

Hay:
Π µυ ( k ) = ie µ
2

4− D

1

( 2π )

(

 Sp γ ( pˆ + m ) γ pˆ − kˆ + m
υ
  µ
∫ d p  p 2 − m 2 ( p − k ) 2 − m 2 
)
 (


D

D

)  




2.10b

Sử dụng công thức Feynman:
1

1
1
= ∫ dx
a1a2 0  a1 x + ( 1 − x ) a2  2



Ở đây: a1 = ( p − k ) ; a2 = p 2 − m 2 x , ta có:
2

a1 x + ( 1 − x ) a2 = ( p − k ) − m 2  x + ( 1 − x ) ( p 2 − m 2 )


2

= p 2 − 2 pkx − m 2 + k 2 x

Đặt: p1 = p − kx ⇒ p = p1 + kx để khử bậc 1 theo p ở mẫu số. Do đó:
a1 x + ( 1 − x ) a2 = ( p1 + kx ) − 2 pkx ( p1 + kx ) − m 2 + k 2 x
2

= p12 − m 2 + k 2 x ( 1 − x )

{

}

TS = Sp γ µ ( pˆ + m ) γ pˆ1 + kˆ ( x − 1) + m 



Đổi p1 ↔ p, ta có:

a1 x + ( 1 − x ) a2 = p 2 − m 2 + k 2 x ( 1 − x )

(

) {

}

TS = Sp γ µ pˆ + xkˆ + m γ υ pˆ + kˆ ( x − 1) + m 



{

}

= Sp ( p ρ γ µ γ ρ + xk ρ γ µ γ ρ + mγ µ )  pσ γ υ γ σ + ( x − 1) k σ γ υ γ σ + mγ υ 

=  p ρ pσ + ( x − 1) k σ p ρ + x ( x − 1) k ρ k σ  Sp ( γ µ γ ρ γ υ γ σ ) + m 2 Sp ( γ µ γ υ )

Lưu ý:

SpI = D , Sp ( γ µ γ υ ) = Dg µυ

14

2.11


Sp ( γ µ γ ρ γ υ γ σ ) = D ( g µρ gυσ − g µυ g ρσ + g µσ g ρυ )

Và chú ý:

∫ p


dD p
2

− m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 

2

{ chứa bậc lẻ theo p ở tử số} = 0

Do đó:

TS = D  p ρ pσ − x ( 1 − x ) k ρ k σ  ( g µρ gυσ − g µυ g ρσ + g µσ g ρυ ) + Dm 2 g µυ

2.12

= D  2 pµ pυ − 2 x ( 1 − x ) ( k µ kυ − k 2 g µυ )  − Dg µυ  p 2 − m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 

Thay (2.11) và (2.12) vào (2.10), ta có:
Πµυ ( k ) = ie 2 D

µ4−D
D
( 2π )

1

∫ dx ∫
0

{

dDp
2
2
2

 p −m +k x (1− x) 


2

}

2
2
2

× 2 pµ pυ − 2 x ( 1 − x ) ( k µkυ − k 2 g µυ ) − g µυ 
 p −m +k x (1− x ) 


2.12

1

1
2
3
= ∫ dx 
Πµυ ( k ) +Πµυ ( k ) +Πµυ ( k ) 

0

1
Tính Π µυ ( k )

Π1µυ ( k ) = ie 2 D

2µ 4− D

d
( 2π ) ∫

D

D

p

pµ pυ
 p 2 − m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 

2

Áp dụng công thức (B-5), ta có:
µ 4− D

D

Π1µυ ( k ) = − ( −1) 2 e 2 D

( 4π )

D
2

g µυ ×

2
Tính Π µυ ( k )

Π 2µυ ( k ) = −ie 2 D

1
D
1−
2

 − m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 

 D
Γ 1 − ÷
2


2.13

µ 4− D
1
g µυ ∫ d D p 2
D
 p − m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 
( 2π )

Áp dụng công thức (B-3), ta có:
D

Π 2µυ ( k ) = ( −1) 2 e 2 D
3
Tính Π µυ ( k )

µ 4− D

( 4π )

D
2

g µυ ×

1
D
1−
2

 −m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 

 D
Γ 1 − ÷
2


µ 4− D
1
Π ( k ) = −2ie D
x ( 1 − x ) ( k µ kυ − k 2 g µυ ) × ∫ d D p 2
D
2
 p − m + k 2 x ( 1 − x ) 
( 2π )
3
µυ

2

Sử dụng công thức (B-3), ta có:

15

2.14


D
2

Π 3µυ ( k ) = ( −1) 2e 2 D

µ

4− D

( 4π )

D
2

x ( 1 − x ) ( k µ kυ − k 2 g µυ ) ×

D

Γ2 − ÷
2

 − m + k x ( 1 − x ) 
2

2

2−

2.15

D
2

Thay (2.13), (2.14) và (2.15) vào (2.12), ta có:
1

Π µυ ( k ) = ∫ Π 3µυ ( k ) dx
0

Do đó, nếu chú ý rằng:
D

ε  2
ε = 4 − D; Γ  2 − ÷ = Γ  ÷ = − γ + 0 ( ε ) ; aε = 1 + ε ln a
2

2 ε

Ta sẽ có:
D

Π µυ ( k ) = ( −1) 2 2e 2 D ( k µ kυ − k 2 g µυ )

1
ε 

Γ ÷
2
16π  2 


−m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 
ε
×∫ dx  x ( 1 − x ) − x ( 1 − x ) ln

2
4πµ 2
0


1

2.16

Do:
1

1

a
b
2
∫0 axdx = 2 ; ∫0 bx dx = 3

Do đó:
1

− m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 
De 2
ε
2
  1
2
Π µυ ( k ) = 2 ( kµ kυ − k g µυ )  − γ + 0 ( ε ) ÷×  − ∫ x ( 1 − x ) ln

8π
4πµ 2
ε
  6 0 2


Khi D → 4, ta có:
e2
e2
2
k
k
−
k
g
−
(
)
( kµ kυ − k 2 g µυ )
µ υ
µυ
6π 2 ∈

2π 2
γ 1
−m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 
e2
×  + ∫ dxx ( 1 − x ) ln
⇔
Π
k
=
(
)
( kµ kυ − k 2 g µυ ) + finite

µυ
2
2
6
4
πµ
6
π
∈
0


Π µυ ( k ) =

2.17

Trong đó:

finite = −

γ 1
−m 2 + k 2 x ( 1 − x ) 
e2
2
k
k
−
k
g
+
dxx
1
−
x
ln
(
)
(
)

µ υ
µυ 
∫
2π 2
4πµ 2
6 0


2. Bổ chính một vòng trong sắc động lực học lượng tử (QCD)
2.1. Giản đồ năng lượng riêng của quark

16

2.18


2.1.1. Giản đồ

Hình 2.3. Giản đồ năng lượng riêng của quark
Giản đồ này diễn tả sự tương tác của quark với các dao động không của
các gluon. Nó diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng của quark.
2.1.2. Biểu thức
Dựa vào quy tắc Feynman, giản đồ trên tương ứng với biểu thức:
−i ∑ ab ( p ) = − g 2 µ 4 − D ∫

d Dk

( 2π )

γ
D µ

1
g µυ
γ υ 2 ( T c ) ad ( T c ) db
k
pˆ − kˆ − m

2.19

Nghĩa là:
⇔∑

ab

( p ) = −ig

2

µ

⇔ ∑ ab ( p ) = ( T cT c

d Dk

(

c

c

ab

ab

17

D

)

γ µ pˆ − kˆ + m γ µ

( T T ) ∫ 2π 
( ) ( p − k )
) ∑ ( QED )
4− D

2

− m2  k 2


2.20


Theo (2.9), ta có:

∑ ( QED ) =
g2
+
16π 2

g2
( − pˆ + 4m )
8π 2 ∈

1

−m 2 x + p 2 x ( 1 − x ) 

ˆ
ˆ
p
1
+
γ
−
2
m
1
+
2
γ
+
dx

2
p
1
−
x
−
4
m

ln
(
)

(
)
(
)



∫0 
4πµ 2



2.21

Thay (2.20), (2.21) vào (2.19), ta có:

∑ (
ab

 g2
p ) = ( T T )  2 ( − pˆ + 4m ) +
ab 8π ∈


g2
+
16π 2

(T T )
Tìm

c

•

c

c

 pˆ ( 1 + γ ) − 2m ( 1 + 2γ )

 1

−m 2 x + p 2 x ( 1 − x )  

 + ∫ 2dx  pˆ ( 1 − x ) − 2m  × ln

4πµ 2
 0


2.22

c

ab

Ta có:
Tc =

1 c

λ ; trong đó λ c là ma trận Gell-Mann 3 × 3
2

T cT c =

4
I ; trong đó I là ma trận đơn vị 3 × 3
3

Do đó:

(T T )
c

c

ab

4
= δ ab
3

2.23

Tổng quát:

(T T )
c

c

ab

Với C2 ( F ) là toán tử Casimir:
C2 ( F ) =

4
= C2 ( F )
3

N 2 −1
2N

cho nhóm SU(N)

4
=
3

cho nhóm SU(3)

2.24

2.25

Thay (2.23) vào (2.22),ta có:

18

g2

∑ ( p ) = 6π 2ε ( − pˆ + 4m ) δ ab +
ab

 pˆ ( 1 + γ ) − 2m ( 1 + 2γ )

g 2 ab  1

δ 
−m 2 x + p 2 x ( 1 − x ) 
2
12π
 +2 ∫ dx  pˆ ( 1 − x ) − 2m  × ln

4πµ 2
 0


2.26

Từ đó suy ra:

∑ (
ab

g2
p ) = 2 ( − pˆ + 4m ) δ ab + finite
6π ε

2.27a

Ở đây:

( 1 + γ ) pˆ − 2 ( 1 + 2γ ) m +

g 2 ab  1

finite =
δ 
−m 2 x + p 2 x ( 1 − x ) 
2
12π
 2∫ dx  pˆ ( 1 − x ) − 2m  × ln

4πµ 2
 0


2.27b

2.2. Giản đồ năng lượng riêng của gluon
2.2.1. Sự đóng góp của gluon loop vào phân cực chân không trong
QCD
a. Giản đồ

Hình 2.4. Giản đồ biểu diễn Sự đóng góp của gluon loop vào phân cực
chân không trong QCD
b. Biểu thức
Dựa vào quy tắc Feynman,giản đồ trên tương ứng với biểu thức

iΠ ab
µυ ( 1) =

Ở đây:

Eµυ
1 2 4− D acd bcd d D k
g µ f f ∫
D
2
2
( 2π ) ( p + k ) k 2

1
là thừa số đối xứng.
2

19

2.28


Eµυ = ( −2 p − k ) σ g µρ + ( p + 2k ) µ g ρσ + ( p − k ) ρ g µσ 
ρ
σ
× ( p − k ) gυσ + ( p + 2k ) υ g ρσ + ( −k − 2 p ) gυρ 



2.29

Ta có:
* ( −2 p − k ) σ g µρ ( p − k ) gυσ = ( −2 p − k ) υ ( p − k ) µ
ρ

= −kυ pµ − 2 pυ pµ + 2 pυ k µ + kυ k µ
* ( −2 p − k ) σ g µρ ( p + 2k ) υ g ρσ = ( p + 2k ) υ ( −2 p − k ) µ
= −k µ pυ − 2kµ kυ − 2 pµ pυ − 4 pµ kυ
* ( −2 p − k ) σ g µρ ( − k − 2 p ) gυρ = ( k + 2 p ) g µυ
σ

2

* ( p + 2k ) µ g ρσ ( p − k ) gυσ = ( p + 2k ) µ ( p − k ) υ
ρ

= pµ pυ + 2kµ pυ − pµ kυ − 2kµ kυ
* ( p + 2k ) µ g ρσ ( p + 2k ) υ g ρσ = D ( p + 2k ) µ ( p + 2k ) υ

= D ( pµ pυ + 2k µ pυ + 2 pµ kυ + 4k µ kυ )

2.30

* ( p + 2k ) µ g ρσ ( −k − 2 p ) gυρ = ( p + 2k ) µ ( − k − 2 p ) υ
σ

= − pµ kυ − 2kµ kυ − 2 pµ pυ − 4k µ pυ
* ( p − k ) ρ g µσ ( p − k ) gυσ = ( p − k ) g µυ
ρ

2

* ( p − k ) ρ g µσ ( p + 2k ) υ g ρσ = ( p − k ) µ ( p + 2k ) υ
= pµ pυ − k µ pυ + 2 pµ kυ − 2k µ kυ
* ( p − k ) ρ g µσ ( −k − 2 p ) gυρ = ( p − k ) υ ( −k − 2 p ) µ
σ

= − pυ kµ + kυ kµ − 2 pυ pµ + 2kυ pµ

Thay vào (2.29), ta có:
Eµυ = pµ pυ ( D − 6 ) + ( pµ kυ + k µ pυ ) ( 2 D − 3)
2
2
+ k µ kυ ( 4 D − 6 ) + g µυ ( 2 p + k ) + ( p − k ) 



Sử dụng công thức Feynman (B-1)
1

1
dx
=∫
a1a2 0  a1 x + a2 ( 1 − x )  2



Ở đây:

a1 = ( p + k ) ; a2 = k 2

2

a1 x + a2 ( 1 − x ) = ( p + k ) x + k 2 ( 1 − x )
2

= k 2 + 2 pkx + p 2 x

20

2.31


Đặt: k ′ = k + px ⇒ k = k ′ − px để khử bậc 1 theo k ở mẫu số, khi đó:
a1 x + a2 ( 1 − x ) = ( k ′ − px ) + 2 px ( k ′ − px ) + p 2 x
2

⇔ a1 x + a2 ( 1 − x ) = k ′2 + p 2 x ( 1 − x )

2.32

Từ (2.31), ta có:
Eµυ = pµ pυ ( D − 6 ) +  pµ ( k ′ − px ) υ + pυ ( k ′ − px ) µ  ( 2 D − 3)
2
+ ( k ′ − px ) υ ( k ′ − px ) µ ( 4 D − 6 ) + g µυ (2 p + k ′ − px) 2 + ( p − k ′ + px ) 


= pµ pυ ( D − 6 ) + ( pµ kυ′ + pυ kµ′ − 2 pµ pυ x ) ( 2 D − 3) +

( k′ k′ + p
µ υ

2
′
′
µ pυ x − kυ pµ x − k µ pυ x ) ( 4 D − 6 ) +

2.33

g µυ 5 p 2 + 2k ′2 − 2 p 2 x + 2 p 2 x 2 + 2 pk ′ − 4 pk ′x 
( 1)
( 2)
( 3)
( 4)
( 5)
= Eµυ
+ Eµυ
+ Eµυ
+ Eµυ
+ Eµυ

Ở đây ta đổi k ′ ↔ k , ta thu được:
1
Eµυ
= ( 2 D − 3) ( pµ kυ + pυ k µ ) −

( 4 D − 6 ) ( kυ pµ + kµ pυ ) x + 2 g µυ pk ( 1 − 2 x )
2
Eµυ
= k µ kυ ( 4 D − 6 )
3

Eµυ
= −5 g µυ  k 2 + p 2 x ( 1 − x ) 

2.34

4
Eµυ
= 7 k 2 g µυ
5
Eµυ
= pµ pυ ( D − 6 ) − ( 4 D − 6 ) ( x − x 2 )  + g µυ ( 5 + 3x − 3x 2 ) p 2

Từ (2.32), ta có:
ax + a ( 1 − x ) = k 2 + p 2 x ( 1 − x )

2.35

Thay (2.34), (2.35) vào (2.28), ta có:
1
2
3
4
5
1
Eµυ
+ Eµυ
+ Eµυ
+ Eµυ
+ Eµυ
1 2 acd bcd µ 4− D

D
iΠ ( 1) = g f f
dx d k
D
2
2
( 2π ) ∫0 ∫
 k 2 + p 2 x ( 1 − x ) 
ab
µυ

2.36a

Từ đó suy ra:
ab
iΠνυ
( 1) =

• Tính I1:

1 2 acd bcd
g f f { I1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 }
2

21

2.36b