Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 3: Hàm số Mũ - Logarit)

1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên.
1
Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên.
a
m

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m =

( a)
n

m

với m, n là số tự nhiên.

1

Đặt biệt, khi m = 1 ta có a n = n a .
2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
 a 0 = 1, ∀a

Tính chất 1:  1
 a = a, ∀a
 a > 1: a m > a n ⇔ m > n
Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 
m
n
0 < a < 1: a > a ⇔ m < n
 am > bm ⇔ m > 0
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì  m
m
 a < b ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:
a .a = a
m

n

Nhóm công thức 2:

m+ n

m

am
= a m−n

n
a

(a )

m n

= a mn = ( a n )

( )

n

am = a n =

n

ab = n a . n b ,

n

a

m

1


→ a = a2 ;

1

3

∀a, b ≥ 0

n

m
n

a
a
= n , ∀a ≥, b > 0
b
b

Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau :
1
a) a 2 .  
a

( )

c) a

3

2 −1

b) a π . 4 a 2 : a 4π

3

3

d) a 2 . .a1,3 : a 3

2

Lời giải:
1
a) a 2 .  
a

2 −1

=a

2

(a )
−1

2 −1

= a 2 a1−

2

=a.

1

b) a π . 4 a 2 : a 4π

( )

c) a

3

3

=a

1
a2
= aπ π = a 2 = a
a
3. 3

= a3

2

=

a 2. .a1,3

= a1,3
a 2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức :

d) a 2 . .a1,3 : 3 a 3

1

a = a3 ; n a = an

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
a)

a2

(a

2

−b

a

c)
a

a)

− b2

2

2 5
3

a2

(a
(a
b)

a

3

)

−b

5

3

− b2

2
2

2 3

3

2 5
3

5

2 3
3

−b
3

+b

+1 =

2

a4

7

7
3

3

)
− 1)( a

−b

(a
b)

+1

2

+a 3 b

a

c)

3

7

2 7
3

(a

+a

−a

3

2

−b

(a
+ a3

3

3

2

) +1 = a

3

3

+b

3

2 7
3


a

=

)(

− 1 a2
a4

3

3

−b

3

)

5
3

−b
a

7
3

2

+b

3

3

+a 3 b

2

2

−b

3

3

3

3

7
3

+b

3

)

3

 1π 
π
π 2
a
+
b
−
(
)  4 ab 



+a

=

2 7
3

2a

π

2

−b

2

2 3

2 3

3
7
2 7
 2 5
3
3
3
3
a
+
a
b
+
b




2 5
3

+ a3

3

Lời giải:

3

3

+a

−a

a
(a − b )
) = ( a − 1)( a + 1) a ( a + 1 + a ) = a
(
a ( a − 1)( a + 1 + a )

2

3

)( a

2

3

7

+a 3 b 3 +b

d)

2 3

Facebook: LyHung95




=a

5
3

−b

3

3

)

+1

7
3

π

 1 
2
d) ( a + b ) −  4 π ab  = a 2 π + b 2 π + 2a π b π − 4a π b π = ( a π − b π ) = a π − b π


Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
π

π 2

11

a) A = 5 2 3 2 2

b) B = a a a a : a 16

c) C = 4 x 2 3 x

d) D =

5

b3 a
a b

( a > 0)

( ab > 0 )

Lời giải:

1
  1  3 
5
3

a) A = 2 2 2 =   2 2 .2  .2 


 
 




b) B = a a a a : a

11
16

1
5


1
1
31
3
  3  3   1  5



25
10
2
2
 =  2  .2  =  2 .2  = 2 = 2

    

 


 3 1
   2  2
=  a 

  



1
5

1



a




1
2

1
2
1
1
15
2


11
11
7
11
3
1
16
+1  2
+1  2


a

.a  : a 16 =   a 4  .a  : a 6 =  a 8  : a 16 = 11 = a 4


 




a 16
 



Ví dụ 4: [ĐVH]. Rút gọn biểu thức sau :
3
3
  34

 34

4
4
a
−
b
a
+
b








1
1

a −b
a −b   4





4
a) A = 3
− 1
: a −b 
b) B = 
− ab 
1
1
1 1
1  




a2 − b2
 a 4 + a 2 b 4 a 4 + b 4  





Lời giải:


1
1
1
1
1 1




1
1
1
1
2
2
2 2



a −b
a2 − b2   4
a
−
b
a
−
b

a
−
b
−
a
+
a
b
1



4
4
a) A = 3
− 1
: a − b4  = 1 1
−
:
a
−
b
=
. 1
=


1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
 




 4
  4





4
2 4
4
4
4
4
2
4
4
2
4

4
a + b 
a a + b  a + b 
a a + b  a −b 
 a + a b
 



 

1
1
1


b2  a2 − b2 
b
= 1
=
1 
 1
a
a 2  a 2 − b 2 
1
2

1
2

−1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

3
3
3
1 1
1
1
  34
  32
 34

 12
   12

4
4
2
2 2
2
2
−
+

−
−
−
−
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b

 



 
(a − b)












b) B = 
− ab  = 
= a −b
1
1
1
1
1
1
=



 

a2 − b2
a2 − b2
 a2 − b2 

 




 


Ví dụ 5: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa)
2
 3 32
1
 a b   a    14

a2 + 4

4
a) A =  3  + 
:
a
+
b
b)
B
=
 

2
b a   a b3   

 a2 − 4 


a 
 +4
 2a 

Lời giải:

a
1


+
1
1
a 2b2 + 1
 + a  :  a 4 + b 4  = b ab3 =


1
1
2
3
1
1


 ab  
 a 4 + b 4 ab3  a 4 + b 4 






2 a 2 ⇔ a ≥ 0
=
=

a
−2 ⇔ a < 0

3
2
 32 12
 3
1
 a b  2  a    14

 a b

a) A =  3  + 
 :  a + b 4  =  3 1
3  
  b 2 a 2
b a  a b   




a2 + 4

b) B =

=

a2 + 4

 a2 − 4 

( a2 + 4)
a 
 +4 a
4a 2
 2a 
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau :
2
1
 2

 1
 
a
b
a) 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab 
b)  a 3 + b 3  :  2 + 3 + 3 
b
a



 
Lời giải:
2
2
2
2
3
3



a) 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab  = 3 a + 3 b  3 a − 3 a 3 b + 3 b  = 3 a + 3 b = a + b




1
1
 13
 31 31  31
 13 13
3
3
1 1
a
+
b
a
b
a
+
b



a b
1
3 3



 13

a
b
a
b

b)  a + b 3  :  2 + 3 + 3  =  1 1 2
=
= 1
2
2
1
1
b
a
 13


 
3
3
3
2a 3 b 3 + a 3 + b 3
a
+
b
a +b 



2

(

)

(

)

2

(

)( )

( )

( ) ( )

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại)
a) A = 4 x 2 3 x .

d) D = 3

b) B = 5

23 3 2
.

3 2 3

b3 a
.
a b

c) C = 5 2 3 2 2 .

e) D = 4 3 a8 .

5

f) F =

3

b2 b

.

b b

Bài 2: [ĐVH]. Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau?
2

1

−
−
a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 .

−3
−1
b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) .

1
c)  
a

−0,2

< a2 .

1

d) (1 − a )

−

1
3

> (1 − a )

−

1
2

e) ( 2 −

.

3
a)4

> (2 − a) .
2

 1 2  1 
f)   >  
a
a

−

Bài 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 


3+ 2 −

(

3− 2



 

) (
1
2

3+ 2

)

1
2

+


3− 2


−1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

1
2

.


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x) =

4x
.
4x + 2

a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.
 1 
b) Tính tổng S = f 
+
 2011 

 2 
f
 + ... +
 2011 

 2010 
f
.
 2011 

Bài 5: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau
5

π 2
π

a)   và  
2
2

6
d)  
7

3

10
3

7
và  
8

2

π
b)  
2

2

π
và  
5

π

e)  
6

5

π
và  
5

3

 3
c)  
5

10
4

 4
và  
7

5
2

2

Bài 6: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau
30 và

5

20

b)

c) 17 và

3

28

d) 4 13 và

a)

3

4

5 và

3

7
5

23

Bài 7: [ĐVH]. Tìm x thỏa mãn các phương trình sau?

1) 4 x = 5 1024
4) ( 3 3 )

2x

2)

1
= 
9

x−2

x

(

12 ) . ( 3 ) =
x

x

x +1

=

2  8 
5)   .  
 9   27 

1
 0, 25 
7)
.322 x −8 = 

0,125
 8 

10)

5 2
 
25

1
6

−x

8
125

−x

27
=
64

8) 0, 2 = 0,008
x

11) 71− x.41− x =

3) 81 − 3 x =
3
6)  
2

1
32

x 2 −5 x + 6

3 x −7

 9 
9)  
 49 

=1

7
= 
3

1
28

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

7 x −3


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Khái niệm về Logarith
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng y = log a x ⇔ x = a y
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức logarith sau log 2 4;

log 3 81;

log

2

32; log

2

(8 2 )

Hướng dẫn giải:

• log 2 4 = y ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2 
→ log 2 4 = 2

y

• log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4 
→ log3 81 = 4
• log

• log

( 2 ) = 32 = 2 = ( 2 ) ⇔ y = 10 → log 32 = 10
(8 2 ) = y ⇔ ( 2 ) = 8 2 = 2 . 2 = ( 2 ) ⇔ y = 7 → log (8 2 ) = 7
y

32 = y ⇔
2

10

5

2

y

2

7

3

2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị của
a) log 2 2 32 = ..........................................................................................................................................................
b) log 2 128 3 2 = .....................................................................................................................................................
c) log 3 81 3 = ........................................................................................................................................................
d) log 3 3 243 3 = ......................................................................................................................................................
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là len-x)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0.
• log a 1 = 0 ;log a a = 1, ∀a
b > c ⇔ a > 1
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: log a b > log a c ⇔ 
b < c ⇔ 0 < a < 1

3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ ℝ ,(1)
Chứng minh:
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x
Ví dụ 1: [ĐVH]. log 2 32 = log 2 25 = 5;log 2 16 = log

24 = log

2

( 2)

8

2

= 8...

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) P = log 1
a

a 5 a 3 a2
a4 a

b) Q = log

.

a

a a a a.

Lời giải:

a) Ta có

b) Ta có

a 5 a 3 a2
a4 a

=

1
2
a.a 5 .a 3
1
1
a 2 .a 4

=

a a a a = a a

1 2
1+ +
a 5 3
1 1
+
a2 4
1
a.a 2

=

28
a 15
3
a4

= a

=

28 3
−
a 15 4

=

67
a 60


→ P = log 1

67
a 60

a

3
a.a 4

=

7
a.a 8

=

15
a 16


→ Q = log

67

 1 − 60
67
= log 1   = − .
 a 
60
a

a

15
a 16

= log

15
8

a

( a)

=

15

.
8

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) B = log a a 3 a 2 5 a a

a) A = log a a3 a 5 a

c) log 1
a

a 5 a3 3 a 2
a4 a

Lời giải:

a) A = log a a 3 a 5 a = log a  a



1 1 37
 = 3+ + =
2 5 10


1
1
 1+  1 + 1 + 2 3 
3


27
3


3 25
b) B = log a a a a a = log a  a  2 5   = 1 +   = 1 + 3


10
 10 


 1+ 53 + 32 
a 5 a3 3 a 2
a
91
 34 3 
= − log a  1 1  = −  −  = −
c) log 1
4
60
a a
 15 4 

a
 a2+4 


Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
1 1
3+ +
2 5

a) log 1 125 = .....................................................

b) log

2

64 = ....................................................................

5

c) log16 0,125 = ..................................................

d) log 0,125 2 2 = ..........................................................

e) log 3 3 3 3 3 = ................................................

f) log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................

Ví dụ 5: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:

(

)

a) P = log a a 3 a 5 a = ..................................................................................................................................

(

)

b) Q = log a a 3 a 2 4 a 5 a = ............................................................................................................................
Công thức 2: a log a x = x, ∀x > 0 , (2)
Chứng minh:
Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( 2 ) ⇔ at = at
Ví dụ 1: [ĐVH]. 2

log 2 3

= 3, 5

log 5 6

= 6,

( )
3

log 3 4

 1
= ( 3 ) 2 




log 3 4

1

1

log 4
= ( 3) 3  2 = ( 4 ) 2 = 2...



Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
1) 2log8 15 = .....................................................
 1 log81 5

3)  
= .....................................................
 3 

2) 2
4)

log 2

2

64

= ....................................................................

log3 4

( 9)
3

= ....................................................................

Công thức 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3)
Chứng minh:
 x = a log a x

→ x. y = a log a x .a log a y = a log a x + log a y
Áp dụng công thức (2) ta có 
log a y
 y = a
Áp dụng công thức (1) ta được : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3

b) log 3 81 = log 3 ( 27.3 ) = log 3 27 + log 3 3 = log 3 33 + log 3 3 = 3 + 1 = 4
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
4
4 10
a) log 2 4 3 16 = log 2 4 + log 2 3 16 = log 2 22 + log 2 2 3 = 2 + = .
3 3
3

b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1
3

3

c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log

3

3

−

1
1
3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1   + log 1  
 3 
 3 
3
3
3
3
5

2

−3

1
3

3

32 = log

2

23 + log

2

2 = log

6

2

( 2)

+ log

1
3

1
10
= −3 − = − .
3
3
2

2

( 2)

= 6 + 2 = 8.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho biết log a b = 2;log a c = 2 Tính giá trị của log a x với
a) x = a 3b 2 c .................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................

b) x = ab3 a 3bc ......................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................

x
Công thức 4: log a   = log a x − log a y , (4)
 y
Chứng minh:
log x
x a log a x
 x = a a
Áp dụng công thức (2) ta có 


→
= log y = a log a x −log a y
log a y
y
a a
 y = a
x
Áp dụng công thức (1) ta được : log a   = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm
 y
5

4

32
5 4 7
Ví dụ 1: [ĐVH]. Ta có log 2 3
= log 2 32 − log 2 3 16 = log 2 2 2 − log 2 2 3 = − = .
2 3 6
16
1
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho biết log a b = ;log a c = 3 Tính giá trị của log a x với
3
ab 2 c
a) x =
.................................................................................................................................................................
3
abc 2
........................................................................................................................................................................................

b) x =

a 5bc 3

.........................................................................................................................................................
a 4 abc3
.......................................................................................................................................................................................

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) y = log 1
2


x2 + 1 
b) y = log 1  log 5

x+3 
5 

x −1
x+5


x2 + 2 
f) y = log 0,3  log 3

x+5 


e) y = lg ( − x 2 + 3 x + 4 ) +

d) y = log 1
2

1
x2 − x − 6

c) y = log 2

x−3
x +1

x −1
− log 2 x 2 − x − 6
x +1

x −1
g) y = log
2x − 3

Lời giải:
x −1

 x −1
log 1
≥0
≤1
 x −1
 −2

−1 ≤ 0

≤ 0 → x ≥ −1
x −1
 2 x +1
 x + 1


a) y = log 1
. Điều kiện : 
⇔
⇔  x +1
⇔  x +1
2 x+5
 x −1 > 0
 x − 1 > 0  x < −1; x > 1  x < −1; x > 1
 x + 1
 x + 1

Vậy D = (1; +∞ )



x2 + 1 
 x2 − x − 2
log 1  log 5
≥0
≥0

x+3 
x
+

3
 3
 x2 + 1

≥1



 x 2 − 5 x − 14
x2 + 1
x2 + 1 
x+3
b) y = log 1  log 5
.
Đ
i
ề
u
ki
ệ
n
:
0
≤
log
≤
1
⇔
⇔
≤0





5
2
x+3 
x+3
x+3
5 

0 < x + 1 ≤ 5 


 x > −3
x2 + 1
x+3
0
<
≤5


x+3


 −3 < x < −1; x > 2
⇔
⇒ x ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( 2;7 )
 x < −3; −2 < x < 7
Phần còn lại các em tự giải nốt nhé!

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log a bm = m.log a b , (5)
Chứng minh:

(

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b

)

m

= a m.loga b

Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm

log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6

Ví dụ 1: [ĐVH].

1

log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 =

1
5
log 2 32 =
4
4

Ví dụ 2: [ĐVH].
−4
1
62.45
1
Ta có 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1
= log 1 81 = log 1   = −4.
2 3
3
3
3
3
3
3 20
3
3 3
1
50 3
Ví dụ 3: [ĐVH]. log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5

= log 5 25 = 2.
2
2 3
1
3
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho biết log a b = ;log a c = Tính giá trị của log a x với
2
4
3 2
ab c
a) x =
...............................................................................................................................................................
4 2
a bc 3
........................................................................................................................................................................................
b) x =

ab3 a 3bc
.....................................................................................................................................................
bc3

........................................................................................................................................................................................

Công thức 6: log a n b =
Chứng minh:

( )

Đặt log a n b = y ⇒ a n

y

1
log a b , (6)
n

= b ⇔ a ny = b

Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y =
hay log a n b =

1
log a b
n

1
log a b ⇒ dpcm
n

1
log 2 16 = 2.4 = 8.
1
22
2
Ví dụ 1: [ĐVH].
1
log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30.
1
25
5

m
Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m = log a b
n
3
1
9
Ví dụ 2: [ĐVH]. log 3 5 4 125 = log 1 ( 53 ) 4 = 4 log 5 5 = ; log 2
1
4
53
3
log 2 16 = log 1 16 =

( 32 2 ) = log( ) ( 2 )

11

2

2

3

=

11
log
3

2

2=

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

11
.
3


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị biểu thức A =

log 3 3 27 = log 3

3

(3 3 )

 27 
log 1  5  = log − 1
3 2
3  9 

log

3

 33


 52
3

 27 
log 3 3 27 + log 1  5 
9
3 
1
1
log 3 + log 1  
81
3
3  

4

Facebook: LyHung95

.

Hướng dẫn giải:
2

=2

 1
13
13
26

=
log 3 3 5 = −2. = − .
1

5
5
 −
2

1
= log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8 
→A=
81
32

 27 
log 3 3 27 + log 1  5 
3  9 

1
1
log 3 + log 1  
81
3
3 
log c b
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b =
, (7)
log c a
Chứng minh:

(

4

26
5 = 4.
=
−8 + 4 5
2−

)

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b =

log c b
⇒ dpcm
log c a

Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log a b = log a c.log c b
log b b
1
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b =
=
.
log b a log b a
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho log 2 14 = a 

→ A = log 2 49 = ?
b) Cho log15 3 = a 
→ B = log 25 15 = ?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1.
Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .

1
1− a

log 3 5 = − 1 =

1
1

a
a
b) Ta có log15 3 = a ⇔ a =
=

→
a
log 3 15 1 + log 3 5
log 3 =
5
1− a


1
1

log 3 15
1
1
B = log 25 15 =
= a = a =

→B =
.
log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a )
2 (1 − a )
a

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho log a b = 3. Tính
a) A = log

b
a

b
.
a

b) B = log

ab

b
.
a

Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a =

a) A = log

b
a

b
= log
a

b
a

b − log

b
a

1

a=

3

.

1
1

−
=
 b
 b  log
log b 
 log a 

 a 
 a 

b

1
b − log

a
b

−

log

a

1
b − log

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

a

a

=


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
=

Facebook: LyHung95

1
1
1
1
3 −1
3 −1
−
=
−
=

→A=
.
1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2
3 −2
3−2
3 −2
3

b
2
log a
 b
log a b − 1
b
3 −1
a
Cách khác: Ta có được A = log b
= log
=
=
2 
 = log b =
 b 
b
a log
log a b − 2
a
3−2

  a 
a2
a
a 2
 a 
a
b
1
1

1
1
b) B = log ab
−
=
−
. = log ab b − log ab a =
a
log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log
b

a

1
1
1
1
2 3 −1
2 3 −1
−
=
−
=

→B =
.
1
1 1 + log a b
1
1 1+ 3

3
+
1
3
+
1
log b a +
+
2
2
2 3 2
b2
2
log a
2
b
 b 
b
a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 .
Cách khác: Ta có B = log ab
= log
= log ab
=
2 

( ab )  a 
a log a ab 1 + log a b
a
1+ 3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau :

1
log 2 3 + 3 log 5 5
 14 − 12 log9 4
log125 8 
log 7 2
1+ log 4 5
2
+ 25
a)  81
b) 16
+4
 .49


1
log 7 9 − log 7 6

− log 4 
c) 72  49 2
d) 36log 6 5 + 101− lg 2 − 3log9 36
+5 3 


Hướng dẫn giải:
1 1
1
1
1
2 .3log5 2 


 − log9 4

 4 − log 4  2log 23 
3

log 4
a)  814 2
+ 25log125 8  .49log7 2 = ( 3)  4 2 9  + 5 53  72log7 2 =  31− log3 4 + 5 3
 7 7 =  + 4  4 = 19
4








=

1

log2 3+3log5 5

b) 161+log4 5 + 4 2
= 42(1+log4 5) + 2log2 3+6log5 5 = 16.25 + 3.26 = 592
 1 log7 9− log7 6
1
− log 4 
 9

c) 72  49 2
+ 5 5  = 72 7 log7 9− 2 log7 6 + 5−2 log5 4 = 72  +  = 18 + 4,5=22,5
 36 16 


log6 5
log9 36
log6 25
1−lg2
log5
d) 36 +10 −3 = 6 +10 = 25+ 5 = 30
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10
b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45
2
3
3
3

(

1
c) C = log 36 2 − log 1 3
2
6

)

d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3)

4

Hướng dẫn giải:
15.18
1
3
a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log 9
= log 9 33 = log 3 33 =
10
2
2
1
 36.45 
2
4
b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 
 = log 1 9 = − log 3 3 = −4
2
20

3
3
3
3 
3
1
1
1
1
1

c) C = log 36 2 − log 1 3 = log 6 2 + log 6 3 = log 6 2.3 =
2
2
2
2
2
6
1
1
d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) = − log 4 ( log 2 3.log 3 4 ) = − log 4 ( log 2 4 ) = − log 2 2 = −
2
2
4

Ví dụ 5: [ĐVH]. Hãy tính :
1
1
1
1
a) A =
+
+
+ .......... +
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x
b) Chứng minh :
log a b + log a x
+ log ax ( bx ) =
1 + log a x

( x = 2011!)

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

b

=


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
+

Facebook: LyHung95

k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a2 x
log ak x 2 log a x

Hướng dẫn giải:
a) A =

1
1
1

1
+
+
+ .......... +
= log x 2 + log x 3 + ... + log x 2011 = log x 1.2.3...2011 = log x 2011!
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x

Nếu x = 2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = 1

log a b + log a x
1 + log a x
log a bx log a b + log a x
Ta có log ax bx =
=
⇒ đpcm.
log a ax
1 + log a x
b) Chứng minh : log ax ( bx ) =

Chứng minh :

k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a2 x

log ak x 2 log a x

VT = log x a + log x a 2 + ...log x a k = (1 + 2 + 3 + ... + k ) log x a =

k (1 + k )
2log a x

= VP

Ví dụ 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng :
a) Nếu : a 2 + b 2 = c 2 ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ 1 , thì log c + b a + log c −b a = 2 log c + b a.log c −b a
b) Nếu 0log a N log a N − log b N
=
( a, b, c ≠ 1)
log c N log b N − log c N
2log a x.log c z
c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì log b y =
log a x + log c z
a + b ln a + ln b
d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : a 2 + b 2 = 7ab . Chứng minh : ln
=
3
2
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết a 2 = c 2 − b 2 = ( c − b )( c + b ) ⇒ 2 = log a ( c − b ) + log a ( c + b )
⇔2=

1
1

+
⇔ 2log c −b a.log c + b a = log c + b a + log c −b a
log c − b a log c + b a

b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b 2 = ac
1
1
1
1
Lấy logarith cơ số N hai vế ta được 2log N b = log N a + log N c ⇔
−
=
−
log b N log a N log c N log b N
log a N − log b N log b N − log c N
log a N log a N − log b N
. ( đpcm )
⇔
=
⇔
=
log a N .log b N
log c N .log b N
log c N log b N − log c N
c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng thì log x a + log z c = 2log y b
⇔

2log a x.log c z
1
1

2
+
=
⇔ log b y =
log a x log c z log b y
log a x + log c z

d) Nếu : a + b = 7 ab ⇒ ( a + b )
2

2

a + b ln a + ln b
a+b
= 9ab ⇔ 
=
.
 = ab ⇒ ln
3
2
 3 
2

2

Ví dụ 7: [ĐVH]. Tính
a. A = log 6 16 . Biết : log12 27 = x
b. B = log125 30 . Biết : lg 3 = a;lg 2 = b
c. C = log 3 135 . Biết: log 2 5 = a;log 2 3 = b
d. D = log 6 35 . Biết : log 27 5 = a;log 8 7 = b;log 2 3 = c

e. Tính : log 49 32 . Biết : log 2 14 = a
Hướng dẫn giải:
log 3 27
3
3
3− x
3− x
a) A = log 6 16 . Từ : log12 27 = x ⇔
(*)
=
= x ⇒ log 3 4 = − 1 =
⇔ log 3 2 =
log 3 12 1 + log 3 4
x
x
2x

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Do đó : A = log 6 16 =

Facebook: LyHung95

2 ( 3 − x ) .2 x 12 − 4 x
log 3 24
4log 3 2
=
. Thay từ (*) vào ta có : A=

=
log 3 6 1 + log 3 2
x ( x + 3)
x+3

log 2 5
a
a + 3b
+3= +3=
log 2 3
b
b
1
1
d) Ta có : a = log 27 5 = log 3 5 ⇒ log 3 5 = 3a; b = log 8 7 = log 2 7 → log 2 7 = 3b (*)
3
3
log 2 5.7 log 2 5 + log 2 7 log 2 3.log 3 5 + log 2 7 b.3a + 3b 3b ( a + 1)
Suy ra : D = log 6 35 =
=
=
=
=
log 2 2.3
1 + log 2 3
1 + log 2 3
1+ b
b +1
e) Ta có : log 2 14 = a ⇔ 1 + log 2 7 = a ⇒ log 2 7 = a − 1

c) Từ : C = log 3 135 = log 3 5.33 = log 3 5 + 3 =

Vậy : log 49 32 =

log 2 25
5
5
=
=
2
log 2 7
2log 2 7 2 ( a − 1)

Ví dụ 8: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức
a) A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1
1
b) B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log x ( log2 x +1) + log 22 x 4
2
c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p

Hướng dẫn giải:
2

 log a b + 1 
a) A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1 = 
 (1 − log ab a ) − 1 =
 log a b 
2

2

2

 log a b + 1  
 log a b + 1  

 log a b + 1   log a b 
log a a 
1

 1 −
 −1 = 
 1 −
 −1 = 
 
 −1
 log a b   log a ab 
 log a b   1 + log a b 
 log a b   1 + log a b 
log a b + 1
1
=
−1 =
= log b a
log a b
log a b
1
1
2
b) B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log x ( log 2 x +1) + log 22 x 4 = 1 + 2log 2 x + ( log 2 x )( log 2 x + 1) + ( 4log 2 x ) =

2
2
2
2
2
= 1 + 3log 2 x + ( log 2 x ) + 8 ( log 2 x ) = 9 ( log 2 x ) + 3log 2 x + 1

c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p =
=

( log a p + 1) 
log a p

log a2 p 

 log a p =
 1 + log a p 

(

log a p

)

( log a p + 1)
2
a

log p

2


log a p 
 log a p −
 log a p =
1 + log a p 


3

Ví dụ 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng
1
a) log ( a − 3b ) − log 2 = ( log a + log b ) với : a > 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab
2
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
b
c
+) log 2a = log a2
c
b
+) log a b.log b c.log c a = 1
c
a
b
+) Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
b
c
a
b

c
a
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b 2 = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab
2

2

2

Ta lấy log 2 vế : 2log ( a − 3b ) = 2log 2 + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log 2 =

2

1
( log a + log b )
2

b
c
= log a2 .
c
b
−1
2
b
c
b 
c
c

c
* Thật vậy : log a = log a   = − log a ⇒ log a2 =  − log a  = log a2
c
b
b
c
b
b
 



b) Chứng minh : log 2a

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

* log a b.log b c.log c a = 1 ⇔ log a b.log b a = log a a = 1
2

c
a
b 
b
c
a

* Từ 2 kết quả trên ta có log log 2b log 2c =  log a .log b log c  = 1
b
c c
a a
c a
a b
 bc
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
2
a
b

Ví dụ 10: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 6 3.log 3 36 = ......................................................................
b) log 3 8.log 4 81 = ......................................................................
1
.log 25 3 2 = .................................................................
5
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho log a b = 7. Tính
a
a) A = log a b
.
b3

c) log 2

b) B = log b 3 ab 2 .
a

Ví dụ 12: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:

49
a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b 
→ P = log 3 5
=?
8
b
b) Cho log ab a = 2 
→ Q = log ab
=?
a
Công thức 8: a logb c = c logb a , (8)
Chứng minh:

(

Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c

Ví dụ 1: [ĐVH]. 49log7 2 = 2log7 49 = 22 = 4;

( )
2

log 2 27

= 27 log 2

)

logb a

= c logb a ⇒ dpcm

1

2

= 27 2 = 3 3...

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 36log6 5 + 3

log3 4

− 3log9 36 = ..........................................................................................................

32 − log3 2.4 2
= .............................................................................................................................
27 log3 4
c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = .........................................................................................................
log

3

b) B =

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1. Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
2. Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1)
• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
3. Giới hạn đặc biệt của hàm mũ và logarith
1

x

ln(1 + x)
ln(1 + u )
= 1 
→ lim
=1
x →0
u →0
x
u

 1
• lim (1 + x) x = lim 1 +  = e
x →0
x →±∞ 
x

• lim

ex −1
eu − 1
= 1 
→ lim
=1
x →0 x
u →0 u

sin x
sin u ( x)
= 1 
→ lim
=1
x →0 x
x →0 u ( x )

• lim

• lim

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau:

e2 x − 1
1) lim
x →0
x
ln(1 + 3 x)
4) lim
x →0
x

−

x
3

−1
x →0
x
ln(1 + 4 x)
5) lim
x →0
2x
Hướng dẫn giải:
2) lim

e

e3 x − e 2 x
x →0
x
e−4 x − 1

6) lim
x →0
3x
3) lim

 e2 x − 1 
e2 x − 1
= lim 
.2  = 2
x →0
x →0
x
 2x


1) lim

2) lim
x →0

e

−

 −x

 e 3 − 1  −1  
−1
1
= lim 

.   = −
x →0
x
3
 −x  3  
 3


x
3

e3 x − 1) − ( e 2 x − 1)
(
e3 x − e 2 x
e3 x − 1
e2 x − 1
3) lim
= lim
= lim
− lim
= 3 − 2 = 1.
x →0
x →0
x →0
x →0
x
x
x
x
ln(1 + 3 x)

 ln(1 + 3 x) 
= lim 
.3 = 3
x →0
x →0
x
 3x


4) lim

5) lim
x →0

ln(1 + 4 x)
 ln(1 + 4 x) 
= lim 
.2  = 2
x
→
0
2x
 4x


 e −4 x − 1  −4  
e−4 x − 1
4
= lim 
.   = −

x →0
x
→
0
3x
3
 −4 x  3  

6) lim

4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith
 y = a x 
→ y′ = a x .ln a
Hàm mũ: 
 y = au 
→ y ′ = u ′.au .ln a

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 y = e x 
→ y′ = e x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có 
 y = eu 
→ y ′ = u ′.eu
1


→ y′ =
 y = log a x 
x.ln a
Hàm logarith: 
u′
 y = log u 
→ y′ =
a

u.ln a
1

→ y′ =
 y = ln x 
x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có 
u′
 y = ln u 
→ y′ =

u
Chú ý: Bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp:

Hàm sơ cấp

Hàm hợp

y = k 
→ y′ = 0

y = ku 
→ y ′ = k .u ′

1
1

→ y′ = − 2
x
x
1
y = x 
→ y′ =
2 x

y=
y = x n 
→ y′ = n.x n −1 ⇒

1
u′

→ y′ = − 2
u
u
u′
y = u 
→ y′ =
2 u
y=

y = u n 
→ y′ = n.u n −1 .u ′ ⇒

→ y′ = cos x
 y = sin x 

→ y ′ = − sin x
 y = cos x 
1

→ y′ =
 y = tan x 
cos 2 x

−1
 y = cot x 
→ y′ =

sin 2 x

→ y′ = u ′.cos u
 y = sin u 

→ y ′ = −u ′.sin u
 y = cos u 
u′

→ y′ =
 y = tan u 

cos 2 u

−u ′
 y = cot u 
→ y′ =

sin 2 u
u
uv′ − u ′v

→ y′ =
 y = 
v
v2

 y = u.v 
→ y′ = uv′ + u ′v


Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 4 x3 − 3 x + 2

2) y = 3

(

1) y = x − 3 x + 2 = x − 3x + 2
4

3

3

)

1
4

x2 − x + 1
y = 4 x3 − 3 x + 2
x+3
Hướng dẫn giải:

(

)(

1

→ y ′ = . 3 x 2 − 3 x3 − 3 x + 2
4

1

2) y = 3

)

3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1)

−3
4

3

−
′
x2 − x + 1  x2 − x + 1 3
1  x2 − x + 1  3  x2 − x + 1 
′
=

→
y
=
.
.


 
 =
x+3
3  x+3   x+3 
 x+3 
3

3

−
−

′
1  x 2 − x + 1  3  (2 x − 1)( x + 3) − x 2 + x − 1  1  x 2 − x + 1  3 x 2 + 5 x − 4
= .
 .
 = .
 .
3  x+3  
( x + 3) 2
( x + 3) 2
 3  x+3 
2
2
1
4
1
3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) = sin ( 2 x − 1)  3 
→ y′ = .
. ( sin ( 2 x − 1) )′ = .
cos ( 2 x − 1)
3 3 sin ( 2 x − 1)
3 3 sin ( 2 x − 1)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau:
ln (1 + 4 x )
1) lim
x →0
x
sin
2

2

2) lim

x →0

e x − cos x
x2

eax − ebx
x
x →0

3) lim

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
esin 2 x − esin x
4) lim
x
x →0

 x 
5) lim 

x →+∞  1 + x 

x

 1
6) lim  1 + 
x →+∞ 
x
x +1

2 x −1

 x +1 
 3x − 4  3
7) lim 
8) lim 


x →+∞  x − 2 
x →+∞  3 x + 2 
Bài 2: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1 + 3 1 + 5x
11
1) y =
2) y = 9 + 6 5 x9
1 + 2x

(

)

(

x−

7) y = x.e

1
3

8) y =

3) y = 4 sin

)

13) y = ecos x .ln ( cos x )

14) y = ln x + x 2 + 1

)

17) y =

ln

(

2

x − cot x

4x

(

11) y = 2 x.ecos x

(

x+4
3

9) y = esin 3 x −

10) y = cos x.ecot x

16) y = log 1 x 4 − cos 2 x

x

6) y = e−3 x .sin 4 x

e2 x + e x
e2 x − e x

(

x +1
x

 2x + 1 

9) lim 

x →+∞  x − 1 

5) y = x5 − x e −2 x

4) y = x 2 − 4 x + 4 e x

Facebook: LyHung95

12) y = ln x 2 + 4 x − sinx

)

15) y =

)

ln ( 2 x + 1)
x +1

18) y = (2 x − 1) ln(3x 2 + x)

3x − 4

Bài 3: [ĐVH]. Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức chỉ ra tương ứng?
1) y = x.e

−

x2
2

(

)

2) y = ( x + 1) .e x 
→ y '− y = e x


→ xy ' = 1 − x 2 y

3) y = e 4 x + 2e − x 
→ y '''− 13 y '− 12 y = 0
5) y = e − x .sin x 
→ y ''+ 2 y '+ 2 y = 0
1
7) y = x 2 .e x 
→ y ''− 2 y '+ y = e x
2

(

)(

)

→ y' =
8) y = x 2 + 1 . e x + 2011 

10) y =

6) y = esin x 
→ y '.cos x − y.sin x − y '' = 0

(

)

2 xy
+ e x x2 + 1
x2 + 1

1

→ xy ' = y ( y.ln x − 1)
1 + x + ln x

1

→ xy '+ 1 = e y
1+ x
1 + ln x
11) y =

→ 2x2 y ' = x2 y 2 + 1
x (1 − ln x )

9) y = ln

(

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình và bất phương trình sau, với các hàm số cho dưới đây?

(

)

1) f '( x) = 2 f ( x); f ( x) = e x x 2 + 3 x + 1

1
f ( x) = 0; f ( x) = x3 ln x
x
3) f '( x) = 0; f ( x) = e 2 x −1 + 2.e1−2 x + 7 x − 5
4) f '( x) > g '( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g ( x) = ln( x − 1)
1
5) f '( x) < g '( x); f ( x) = .52 x +1; g ( x) = 5 x + 4 x ln 5
2

2) f '( x) +

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

)

)


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Các ví dụ giải mẫu:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 .
Hướng dẫn giải:
1
Ta có 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 ⇔ 2 x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5 x + 2.5x.
5
x
7
 2
5
⇔ (1 + 2 + 4 ) .2 x = 1 +  .5 x ⇔ 7.2 x = .5 x ⇔   = 5 ⇔ x = log 5 5
5
 5
2
2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = log 5 5.
2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
1) 2

x2 +3 x −2

= 16

x +1

− x2 + 4 x

2) 3

1
=
243
Hướng dẫn giải:

3)

x +10
16 x −10

=

x +5
x
0,125.8 −15

x = 2
= 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 
→
 x = −3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2

2
 x = −1
1
2) 3− x + 4 x =
⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔ 
243
x = 5
Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = 5.

1) 2 x

2

+3 x −2

= 16 x +1 ⇔ 2 x

x +10

x +5

3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 ,

2

+3 x − 2

(1) .

 x − 10 ≠ 0  x ≠ 10

Điều kiện: 
⇔
 x − 15 ≠ 0
 x ≠ 15
x +10

x +5

4.
3.
1
x + 10
x+5
Do 16 = 2 ; 0,125 = = 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4.
= −3 + 3.
8
x − 10
x − 15
x
=
0

4( x + 10)
60
⇔
=
⇔ x 2 − 5 x − 150 = 15 x − 150 
→
x − 10
x − 15

 x = 20
Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
4

(

x

)

x

27
2 9
1)   .   =
64
3 8

2) 4.9

x −1

=3 2

3) (

2 x +1

5 + 2)

x −1

=(

x −1

5 − 2 ) x +1

Hướng dẫn giải:
x

x

x

3

x

3

27
2 9
2 9 3
3 3
1)   .   =
⇔  .  =   ⇔   =   
→ x = 3.
3

8
64
3
8
4
   

  
4 4
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

2) 4.9

x −1

=3 2

2 x +1

⇔

4.9x −1
3.2

2 x +1
2

2x − 3

=1 ⇔ 3

.2

2−

2 x +1
2

2x − 3

=1⇔ 3

.

( 2)

3− 2x

 3 
=1⇔ 

 2

2x − 3

0

3
 3 
=1 = 

 ⇔ x = 2.
 2

3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = .
2
x

Cách khác: 4.9 x −1 = 3 22 x +1 ⇔ 16.81x −1 = 9.22 x +1 ⇔ 16.

81x
 81  18.81  9 
= 9.2.4 x ⇔   =
⇔ 
81
16
 4
 2

2x

3

3
9
=  ⇔ x= .
2
2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x −1

3) ( 5 + 2 ) = ( 5 − 2 ) x +1 , (1) .
Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1.
x −1

(

)(

)

(

1
= 5+2
5+2
1− x
1 

x =1
⇔ ( x − 1)  1 +
(1) ⇔ x − 1 =
 = 0 ⇔  x = −2
x +1
x +1



Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2.
Do

5+2

Facebook: LyHung95

5 − 2 = 1 
→ 5−2=

)

−1

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:

1)  2 2


(

)

1

x +3 2

2
x −1


x



=4

2)

(

3+ 2

)

x 2 −5 x

=

(

3− 2

)

6

2

3) 5 x − 3x

2

+1

(

= 2 5x

2

−1

− 3x

Hướng dẫn giải:

1)  2 2


(

)

1

x +3 2

(

3

(1) ⇔ 2 (
x

)

x +1

2
x −1


x



(1) .

= 4,

x > 0
Điều kiện: 
x ≠1

) = 22 ⇔ 3 ( x + 1) = 2 ⇔ 2 x − 5 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9.

x −1

x

(

)

x −1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9.

2)

(

3+ 2

(

Do

)

3+ 2

x 2 −5 x

)(

=

(

)

( 2 ).

6

3− 2 ,

)

3 − 2 = 1 
→

(

)

3− 2 =

(

1
3+ 2

)

=

(

3+ 2

)

−1

.

x = 2
⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ 
x = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 3.
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
3) 5 x − 3x +1 = 2 5 x −1 − 3x − 2 ⇔ 5 x − 3.3x = 5 x − 3x ⇔ 5 x − 5 x = 3.3x − 3x
5
9
5
9

( 2) ⇔ (

3+ 2

)

x2 −5 x

(

=

(

3+ 2

)

−6

)

x2

x2

3

3 2 25 2

125
5
5
5
⇔ 5 x = 3x ⇔   =
⇔   =   
→ x = ± 3.
5
9
27
3
 3
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ± 3.

Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình
a) 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 342

b) 5 x + 10.5 x −1 + 18 = 3.5 x +1

c) 7.5 x − 2.5x−1 = 11

d) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình
a) 2 x

2

−1

− 3x = 3x
2

x +10

2

−1

− 2x

2

+2

b) 2 x

x +5

c) 16 x −10 = 0,125.8 x −15

d)

(

2

+3 x −2

= 16 x +1

5 + 2)

x −1

x −1

= ( 5 − 2 ) x +1

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải phương trình
a)

(

c) 2 x

x −3

x +1

10 + 3) x −1 = ( 10 − 3) x +3
3

−4

=8

2x−

8
3

b) 9

x 2 +1

= 32− 4 x

d) ( x 2 − 2 x + 2 )

9 − x2

= 3 x2 − 2 x + 2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

2

−2

)


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

(

e) 2

cos x

+ x2

)

x +1
x

= 2

cos x

Facebook: LyHung95

+ x2

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ MŨ
Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho tương đương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 .
2

Đặt t = 5 x , điều kiện t > 0.
t = 5
Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔ 
t = 25
x

+) Với t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 1 .
+) Với t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 .
Hướng dẫn giải:

3x = 1 = 30
2
x = 0
1
Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9.( 3x ) − 10.3x + 1 = 0 ⇔  x 1
⇔
−2

3
3 = =3
 x = −2

9
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = −2.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
1) 5

x

1− x

−5

+4=0

2) 3

x

x
2
− 8.3

+ 15 = 0

3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0

Hướng dẫn giải:

1) 5

x

− 51−

x

+ 4 = 0, (1) .

Điều kiện: x ≥ 0.
5 x = 1
 x =0
x = 0

− 5 = 0 
→
⇔
⇔
x
x
5
x = 1
5 = 5  x = 1
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
 3 x =3
x
2x
x
x = 2

2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0 
→
⇔
 x = log 5 = log 25
x
3
3
 3 =5 

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = log3 25.

(1) ⇔ 5

x

−

5

( )

+4=0⇔ 5

( )

x

2

+ 4.5

x

( )
( )

( )

3x + 4 = 3 ⇒ x = −3
3) 32 x +8 − 4.3x + 5 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 4.3x + 4.3 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 12.3x + 4 + 27 = 0 
→  x+4
2
3 = 9 = 3 ⇒ x = −2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = –3.

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải phương trình 2 x

2

−x

− 22+ x − x = 3.
2

Hướng dẫn giải:

Đặt 2 x

2

−x

= t (t > 0). . Phương trình trở thành t −

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải phương trình 4 x −

x2 −5

t = 4
 x = −1
4
=3⇔ 
⇒
t

t = −1 ( L)  x = 2

− 12.2 x −1−

x 2 −5

+8= 0.

Hướng dẫn giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Đặt 2 x −

Facebook: LyHung95

x = 3
2
t = 2  x − x − 5 = 1
= t (t > 0) ⇒ 
⇒
⇔
x = 9
t = 4  x − x 2 − 5 = 2

4

x 2 −5

Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ: [ĐVH]. Giải phương trình
a) 9 x

2

+1

c) 4 x +

− 3x

x2 − 2

+1

2

−6=0

− 5.2 x −1+

b) 9 x

x2 − 2

2

−1

− 36.3x

2

−3

+3=0

d) 43+ 2 cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0

−6=0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
1) ( 0, 2 )

x − x2

(

4) 9. 3
1
7)  
8

)

=5

x2 − x

3
2)  
2

6 x −10

x −1

= 81

x −1

= 16.

( )
3

5) 10

x

8) 9 x

4

x

x

x 2 − x −5

5 x 2 − 4 x −1

2

− 4 x −1

1  1 
10) 3 .  =  
11)
 3   27 
Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

(

1) ( x + 1)

x2 −6 x +

x

x −3

(

=1

)

3) x 2 − x + 1

x −1
2

(

)

(

)

5) x 2 − 2 x + 2
7) x 2 − 5 x + 4

8) x − 3

2) 2

=1

4 − x2

x2 − 4

(

(

3) 3 + 2 2
6) e

1
= 
 3

5
2

2 x +3

=1

10 − 3

)

(

= 19 + 6 10

)

x −2

)

x2 − x −5

= ( x + 2)

x +10

Đ/s: x = -1; x = 5

5 ± 13
x=
Đ/s: 
2

=
−
x
2


=1

 x = −1
Đ/s:  x = 2
 x = 4

2

1) 2 x.3x −1.5 x − 2 = 12

2) 5 4 x − 6 = 253 x − 4

Đ/s : x =

3) 9.22 x = 8. 32 x+1

4) 32 x −7 = 0.25.128 x −3

10 + 3

)

=

(

x −5

10 − 3

)

x
x+4

7) 3.4 x +1 + 3−1.9 x + 2 = 6.4 x +1 − 2−1.9 x +1
8) 9 − 2
x

9) 5

x+

1
2

x+

3
2

=2

x+

1
2

− 32 x −1

− 9 x = 32 x − 2 − 5

4 x−2

2 x 2 −1

Đ/s: x = 3

(

x2 −3

=1

x −3

5)

(

= 3− 2 2

1
9) 27 x −1 = .81 x + 2
9

9) ( x + 1)
=1
Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

x−4
x

4 x −1

1
= 
e

x +1

5 x −7

5 x −3 x3

x 2 −1

)

= 16 2

x − x2

6) ( x + 2 )

=1

= ( x − 3)

x2 − x

4)

 2
= 
 3

x−

1
2

10) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x

6)

(

5+2

7
5

x +17

)

x −3

=

(

5−2

Đ/s : x = 13

)

x −3
x +1

Đ/s: x = −

1
2

 9 
Đ/s: x = log 9 

2 2 2 
3
2
Đ/s: x = 0

Đ/s: x =

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

)

2 x +3


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1: Phương trình chia rồi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 .
Hướng dẫn giải:
 3  x 2
  = ⇒ x = −1
2x
x
3
2
3
3
Phương trình đã cho tương đương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔ 
.
x

2
2
3


  = −3 < 0
 2 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
−

1

−

1

−

1

b) 4 x + 6 x = 9 x
d) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0

a) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0
c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

a) Chia cả hai vế của (1) cho 9x ta được
 4  x 4
  =
x
x
2x
x
 12 
 16 
4
4
3
3
x =1
→   x

⇔
(1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.   − 84.  + 64 = 0 
2
 4  16  4 
x = 2
 9
9
3
3
  = =  
9 3
 3 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b) Điều kiện: x ≠ 0.
 3 t 1 + 5
  =
t
t
2t
t
1
9 6
3
3



2
t
t

t
Đặt − = t , ( 2 ) ⇔ 4 + 6 = 9 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔  2 t
 3  1 − 5
x
4 4
2
2
<0
  =
2
 2 
t
1+ 5 
1
 3  1+ 5
3
Từ đó ta được   =
⇔ t = log 3 
→ x = − = − log 1+ 5   .
 

2
2 
t
2
2
2
2

c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 ⇔ 81.9 x + 45.6 x − 36.4 x = 0

 3  x 4  3  −2
  = =  
x
x
2x
x
9 2
2
9
6
3
3
⇔ 81.   + 45.   − 36 = 0 ⇔ 81.  + 45.   − 36 = 0 ⇔ 

→ x = −2.
x

4
4
2
2
3



= −1 < 0
 2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
d) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
  3 x 3

.  =

x
x
x
3x
2x
x
2
2
 12   18 
 27 
3
3
3

⇔ 3 + 4.   −   − 2.   = 0 ⇔ 2.   +   − 4.  − 3 = 0 ⇔

→ x = 1.
x

8 8
 8 
2
2
2
3


.

= −2 < 0
  2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Dạng 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Cách giải:
Do ab = 1 ⇔ ( ab )

f ( x)

1

= 1 
→ b f ( x) =

a

f ( x)

1
t

→ b f ( x) =

Từ đó ta đặt a f ( x ) = t , (t > 0) 
Chú ý:

(
(

Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:

)(
5 + 2 )(

) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1
5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1...

2 +1

2 − 1 = 1;

( 2 ± 1)
3 = (2 ± 3)

3± 2 2 =

2

7±4

2

Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:

Ví dụ: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a)

(

2+ 3

) +(
x

2− 3

)

x

=4

b)

c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3
x

(

3

...

3+ 8

d) ( 2 + 3 )

x

) +(
x

( x −1) 2

3

3− 8

)

+ (2 − 3)

x

=6

x 2 − 2 x −1

=

4
2− 3

Hướng dẫn giải:

a)

(

Do

Đặt

2+ 3

) +(
x

(

2+ 3

(

2+ 3

2− 3

)

x

)(

2 − 3 =1⇔

)

)

= t , (t > 0) 
→

x

(1) .

= 4,

(

2+ 3

(

) .(
x

2− 3

)

x

)

2− 3

x

= 1 
→

(

2− 3

)

x

=

1

(

2+ 3

)

x

1
= .
t

t = 2 + 3
1
→
Khi đó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0 
t
t = 2 − 3

(
3⇔(

)
3) =2−

Với t = 2 + 3 ⇔

2+ 3

Với t = 2 −

2+

x

=2+ 3 =

(

(

x

) → x = 2.
3) = ( 2 + 3 )
2

2+ 3

3 = 2+

−2

−1


→ x = −2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2.

b)

(

Do

Đặt

3+ 8

3

(

3

(

3

) +(
x

3+ 8

)(

3+ 8

)

3

x

3

3− 8

)

x

( 2).

= 6,

) (

)(

(

)

3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔

= t ,(t > 0) 
→

(

3

3− 8

)

x

3

3+ 8

) .(
x

3

3− 8

)

x

= 1 
→

(

3

3− 8

)

x

=

1

(

3

3+ 8

1
= .
t

t = 3 + 8
1
Khi đó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0 
→
t
t = 3 − 8

(
8⇔(

)
8) =3−

Với t = 3 + 8 ⇔

3

3+ 8

Với t = 3 −

3

3+

x

x

(

= 3+ 8 ⇔ 3+ 8

(

8 = 3− 8

)

)

x
3

−1

= 3 + 8 

→ x = 3.

(

⇔ 3+ 8

x
3

) = (3 − 8 )

−1


→ x = −3.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

)

x


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.
c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2
x

x

x

x

x+ 3

x

 5 − 21 
 5 + 21 
⇔
 + 7.
 = 8,
 2 

2 

x

( 3) .

x

x

 5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21 
 5 − 21 

1
Ta có 
.
→
 
 = 
 = 1 
 =
x
 2  
2   2
2 
 2 
 5 + 21 



2 
x

x

 5 + 21 
 5 − 21  1
Đặt 
→
 = t ,(t > 0) 
 = .
2 
 2 


t

t = 1
1
2
Khi đó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t − 8t + 1 = 0 
→ 1
t
t =
 7
x

 5 + 21 
Với t = 1 ⇔ 
→ x = 0.
 = 1 

2 
x

 5 + 21 
1
1
Với t = ⇔ 
→ x = log 5+
 = 
7

2 

7

21
2

1
 .
7

x = 0
1
Vậy phương trình có hai nghiệm  x = log

5 + 21  
7

2

d) ( 2 + 3 )

(

( x −1)2

+ (2 − 3)

)

2 − 3 ( 2 + 3 )( 2 + 3 )

Đặt t = ( 2 + 3 )

x2 − 2 x

x 2 − 2 x −1

x2 − 2 x

=

(

)

(

)

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

x 2 − 2 x +1
x 2 − 2 x −1
4
⇔ 2 − 3 (2 + 3)
+ 2 − 3 (2 − 3)
=4
2− 3

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

, (t > 0) 
→(2 − 3)

= 4 ⇔ (2 + 3)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

= 4,

( 4 ).

1
= .
t

(
(


t = 2 + 3
 2+ 3
1
2
Khi đó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0 

→
⇔
t
t = 2 − 3
 2+ 3


)
)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

=2+ 3

 x2 − 2 x = 1
⇔ 2
 x − 2 x = −1
=2− 3

Với phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
Với phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1.
x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm 
x = 2 ± 2
Dạng 3: Phương trình đặt ẩn phụ trực tiếp bằng phép quan sát
2x
18
= x −1 1− x

x −1
x
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
Hướng dẫn giải:
8
1
18
Viết lại phương trình dưới dạng: x −1
+
=
2 + 1 21− x + 1 2 x −1 + 21− x + 2
u = 2 x −1 + 1
Đặt 
, u, v > 1
1− x
v = 2 + 1

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình:

(

)(

8

+

)

Ta có u.v = 2 x −1 + 1 . 21− x + 1 = 2 x −1 + 21− x + 2 = u + v

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

18
8 1
u = v = 2
u + 8v = 18 
 + =
⇔
Phương trình tương đương với hệ  u v u + v ⇔ 
u = 9; v = 9
u + v = uv
u + v = uv
8


2 x −1 + 1 = 2
+) Với u = v = 2, ta được:  1− x
⇔ x =1
2 + 1 = 2
 2 x −1 + 1 = 9
9

+) Với u = 9; v = , ta được:  1− x
9 ⇔ x=4

8
+
=
2
1

8

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 1 và x = 4.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình: 22 x − 2 x + 6 = 6
Hướng dẫn giải:
x
Đặt u = 2 ; u > 0.
Khi đó phương trình thành u 2 − u + 6 = 6

Đặt v = u + 6, điều kiện v ≥ 6 ⇒ v 2 = u + 6
2
u − v = 0
u = v + 6
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ  2
⇔ u 2 − v 2 = − ( u − v ) ⇔ ( u − v )( u + v ) = 0 ⇔ 
u + v + 1 = 0
v = u + 6

u = 3
+) Với u = v ta được: u 2 − u − 6 = 0 ⇔ 
⇔ 2x = 3 ⇔ x = 8
=
−

2(
)
u
L


−1 + 21
u =
21 − 1
21 − 1
2
+) Với u + v + 1 = 0 ta được u 2 + u − 5 = 0 ⇔ 
⇔ 2x =
⇔ x = log 2

2
2
−1 − 21
(1)
u =
2


Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 8 và x = log 2

21 − 1
.
2

Các ví dụ giải mẫu trong video:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình
a) 125 x + 50 x = 2 3 x +1
b) 4

−

1
x

+6

−

1
x

=9

−

1
x

c) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình

(

a) 3 + 5

) + (3 − 5 )
x

x

− 7.2x = 0

b) 4lg10 x − 6lg x = 32lg100 x
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải phương trình
a) ( 2 − 1) x + ( 2 + 1) x − 2 2 = 0

( 10 + 3) + ( 10 − 3) =
c) ( 2 + 3 )
+ (2 − 3 )
x2 − 1

x2

b)

x 2 − 2 x +1

10 + 4

x 2 − 2 x −1

=

(

101

10 2 − 3

)

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải phương trình
a)

(

(

7+4 3

b) 7 + 5 2

) (
sin x

) +(
x

+

7−4 3

)(

)

sin x

2 −5 3+ 2 2

)

=4
x

+ 3(1 + 2) x + 1 − 2 = 0

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải phương trình
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!