Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 5: Nguyên hàm - Tích phân)

1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2
1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
2
x  1
1
1
xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
 2  2
2

2
 

( )

(

)

(

)

 x3  1
1
1
x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3
 3  3
3
3
 
dx
1 d ( ax + b ) 1
dx
=
= d ( ln ax + b ) 
→ = d ( ln x )
ax + b a ax + b
a
x

1
1
1
sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) ) 
→ sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) ) 
→ cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b 
→ e2 x dx = d e 2 x ...
a
a
2
dx
1 d ( ax + b )
1
dx
1
=

= d  tan ( ax + b )  
→
= d ( tan 2 x ) ...
2
2
2
cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a
cos 2 x 2

( )

(

)

(

dx
sin

2

( ax + b )

=

(

)

)

( )

1 d ( ax + b )
1
dx
1
= − d cot ( ax + b )  
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...
2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó

F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x

Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:
a) Tính chất 1:

( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Chứng minh:
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có

( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm.

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

b) Tính chất 2:
Chứng minh:

Theo tính chất 1 ta có,

( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x)

Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0

Từ đó ta có

Chứng minh:

(

)

′
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x) 
→ ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..

d) Tính chất 4:

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà không phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Công thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C

Công thức 2: ∫ x n dx =

x n +1
+C
n +1

Chứng minh:
 x n +1
′
x n +1
+ C  = x n ⇒ ∫ x n dx =
+C
Thật vậy, do 
n +1
 n +1

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du =

u n +1
+C
n +1

1
dx
dx
du
+) Với n = − ⇒ ∫
= 2∫
= 2 x + C ←

→∫
=2 u +C
2
x
2 x
u
dx
1
du
1
+) Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ←
→∫ 2 = − + C
x
x
u
u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5
1

c)

∫

3

1

2
−
x − x2
x3
x2 x 3 x2
x2
dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − =
− + C = 33 x − + C
1
x
x
2
2
2
3

( 2 x + 1) + C
1
4
u n du
d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) 
→I =
2
5
5

4

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
e) I = ∫ (1 − 3x )
f) I = ∫

Facebook: LyHung95

(1 − 3x ) + C
1
2010
u n du
dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) 
→I = −
3
2011
du
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
= ∫
→ I = − .
+C =−
+C
2
2 ( 2 x + 1)
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)

2011

2010

dx

( 2 x + 1)

2

g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫

3
3
1
1 2
3
2 +C =
2 +C
x
+
d
x
+
⇒
I
=
x
+

x
+
4
5
4
5
.
4
5
4
5
(
)
(
)
(
)
4∫
4 3
8

dx
= ln x + C
x

Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x

x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được

du

∫u

= ln u + C

1
 dx
= ln 2 x + k + C
1 d ( ax + b ) 1
dx
 ∫ 2x + k 2
+ ∫
=
= ln ax + b + C 
→
ax + b a ∫ ax + b
a
 dx = − 1 ln k − 2 x + C
2
 ∫ k − 2 x
Ví dụ:
1 1
1
dx x 4


a) ∫  x3 +
+  dx = ∫ x3 dx + ∫
dx + ∫ =
+ 2 x + ln x + C
x
4
x x
x

du
dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
= ∫
→ I = ln 3x + 2 + C
3x + 2 3
3x + 2
3
2x2 + x + 3
3
dx
3 d ( 2 x + 1)
3


c) ∫
dx = ∫  2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
 dx = ∫ 2 xdx + 3∫

2x + 1
2x + 1 
2x + 1
2
2x + 1
2


b) I = ∫

Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C
+ ∫ sin ( ax + b ) dx =

1
1
1
sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C 
→ ∫ sin 2 xdx = − cos2 x + C
∫
a
a
2

Ví dụ:
3
1 

dx
1 d ( 2 x − 1)

a) ∫  x x + s inx +
= ∫ x 2 dx − cos x + ∫
=
 dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫
2x −1 
2x −1
2 2x −1

5

2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3 
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3

= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
b) ∫  sin 2 x +
 dx = ∫ sin 2 xdx +3∫

4x − 3 
4x − 3 2
4
4x − 3
2
4

x


c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx
2


1
1
 x 1
x
Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
2
3
2 2
2
T ừ đó :
1
x
x
x  x 1



∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x 1
1
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3

Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C

Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+ ∫ cos ( ax + b ) dx =

1
1
1
cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C 
→ ∫ cos2 xdx = sin 2 x + C
∫
a

a
2

Ví dụ:
4x − 1 
5 


a) ∫  cos x − sin x +
 dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −
 dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C
x +1 
x +1


1
x2
b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C
2
2
1 − cos2 x
1
1
1
1
1 1

c) ∫ sin 2 xdx = ∫
dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C
2

2
4
2
4
2 2

Công thức 6: ∫

dx
= tan x + C
cos 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =

1
dx
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )

du

∫ cos u = tan u + C
2

1

dx
1
= tan 2 x + C
2
2x 2

∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos
2

2

Ví dụ:
dx
1
 1

a) ∫ 
+ cos x − sin 2 x  dx = ∫
+ ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C
2

2
cos x
2
 cos x


1
2 
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫ 
+
+ 2∫
= ∫
− ∫
 dx = ∫
2
2
2
cos ( 2 x − 1)
5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4
5 − 4x
 cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 
du

1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C

2
2
du
dx
1 d (3 − 2x )
1
cos 2 u
c) I = ∫
=− ∫

→ I = − tan ( 3 − 2 x ) + C
2
2
cos ( 3 − 2 x )
2 cos ( 3 − 2 x )
2

→=
cos2 u

Công thức 7: ∫

dx
= − cot x + C
sin 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cot x + C )′ =

1

dx
⇒ ∫ 2 = − cot x + C
sin 2 x
sin x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )

1

du

∫ sin u = − cot u + C
2

dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2

∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin

2

2

Ví dụ:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
dx
1
x6


a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C
sin x
sin x
2
3


du
dx
1 d (1 − 3 x )
1
1

sin 2 u
b) I = ∫ 2
=− ∫ 2

→ I = − −
cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C
sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3

 x
d 
du
dx
2
 x
sin 2 u
c) I = ∫
= 2 ∫   
→ I = −2 cot   + C
x
x




2
sin 2  
sin 2  

2
2

Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C
1
 2 x+ k
e dx = e 2 x + k + C
∫

1
1

2
→
+) ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C 
a
a
 e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C
 ∫
2
Ví dụ:
1
4 
dx
4

1
1 d ( 3x )

a) ∫  e −2 x +1 − 2 +
dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫
dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x

sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x


1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3

b)

∫ ( 4e

3 x+2

+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =

4 3x+2

1
e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )
∫
3
3

4
1
= e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C
3
3

Công thức 9: ∫ a x dx =

ax
+C
ln a

Chứng minh:
 ax
′ a x ln a
ax
Thật vậy, do 
+C =
= a x ⇒ ∫ a x dx =
+C
ln a
ln a
 ln a


Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C
+) ∫ a kx + m dx =

1 kx + m
1
a d ( kx + m ) = a kx + m + C
∫
k
k

Ví dụ:
1 3x
1 2x
23 x
32 x
a u du
2
d
3
x
+
3
d
2
x

→
I
=

+
+C
( ) ∫
( )
3∫
2
3ln 2 2ln 3
1
3
21− 2 x 3 4 x + 3
− e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = −
+ e
+C
2
4
2ln 2 4

a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx =
b)

∫ (2

1− 2 x

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• ∫ 0dx = C

• ∫ a x dx =

• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•

x

α +1

α +1

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a

• ∫ cos xdx = sin x + C

+ C,

(α ≠ −1)

• ∫ sin xdx = − cos x + C

1

∫ x dx = ln x + C

• ∫ e x dx = e x + C

•

∫

•

∫

1
cos2 x
1
sin2 x

dx = tan x + C

dx = − cot x + C

1
• ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

• ∫ eax + b dx =

1
• ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

•

1

1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a
1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Ví dụ 1: [ĐVH]. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng
 F ( x) = (4 x − 5)e x
a) 
x
 f ( x) = (4 x − 1)e

 F ( x) = tan 4 x + 3 x − 5
b) 
5
3
 f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3


 x2 + 4 
 F ( x) = ln  2



 x +3
c) 
−2 x
 f ( x) =
2

( x + 4)( x 2 + 3)


 F ( x) = ln

d) 
 f ( x) = 2


x2 − x 2 + 1
x2 + x 2 + 1
2( x 2 − 1)
x4 + 1

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các nguyên hàm sau
1

1) ∫  x 2 – 3 x +  dx = ..........................................................................
x


2) ∫
3)

2 x4 + 3
dx = ..................................................................................
x2

∫

x −1
dx = ...................................................................................
x2

( x 2 − 1)2
4) ∫
dx = ..............................................................................
x2

5) ∫

(

)

x + 3 x + 4 x dx = ......................................................................................

2 
 1
6) ∫ 
− 3  dx = ...............................................................................
x
 x

7) ∫ 2sin 2

x
dx = .............................................................
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

8) ∫ tan 2 xdx = ............................................................................
9) ∫ cos 2 xdx = ................................................................
10) ∫

1
dx = .........................................................................................
sin x.cos 2 x

11) ∫

cos 2 x
dx = ....................................................................................................................................
sin 2 x.cos 2 x

2

12) ∫ 2sin 3 x cos 2 xdx = ............................................................................................
13) ∫ e x ( e x – 1) dx = .............................................................................


e− x 
14) ∫ e x  2 +
 dx =.......................................................................................
cos 2 x 

2x 

15) ∫  e3 x +1 +
 dx = ......................................................................................................................
x −1 


Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5;
c) f ( x ) =
e) f ( x ) =

3 − 5x 2
;
x
x3 − 1
x2

;

g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;

i) f ( x ) =

F (1) = 3

b) f ( x ) = 3 − 5 cos x;

F ( e) = 1

d) f ( x ) =

F (−2) = 0

f) f ( x ) = x x +

π
F '  = 0
3

h) f ( x ) =

x3 + 3x3 + 3x − 7
( x + 1)2

;

F (0) = 8

x2 + 1
;
x

F (π) = 2

F (1) =
1

;

x

3x 4 − 2 x 3 + 5
x2

3
2

F (1) = −2
; F (1) = 2

x
π π
k) f ( x) = sin 2 ; F   =
2
2 4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;

π

F  =3
2

b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;

F (π) = 0

c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;

F (2) = −2

Bài 2: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3
a) 
. Tìm m.
2
 f ( x ) = 3 x + 10 x − 4

 F ( x ) = ln x 2 − mx + 5

b) 
. Tìm m.
2x + 3
 f (x) = 2
x + 3x + 5


Bài 3: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x
a) 
. Tìm a, b, c.
 f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x

Facebook: LyHung95

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
b) 
. Tìm a, b, c.
x
 f ( x ) = ( x − 3)e

Bài 4: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e−2 x
a) 
. Tìm a, b, c.
2
−2 x
 f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x
b) 
. Tìm a, b, c.
2
−x

 f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e

Bài 5: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

b
c

a)  F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.
 f ( x ) = cos x
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x − 3

b) 
. Tìm a, b, c.
20 x 2 − 30 x + 7
f
(
x
)
=

2x − 3


Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
1) I1 =

∫(x

5

)

+ 2 x dx

 1

2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx
x


 1
2 x
− 4 x 3 + 2  dx
4) I 4 = 
 5
x 
 x

∫

∫(

∫

3) I 3 =

1 

5) I 5 = ∫  x +
dx

x


6) I 6 = ∫

)

x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx

5

2 x4 + 3
dx
x2

Bài 7: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
7) I 7 = ∫

(

)

x −1

2

dx
x
3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1
10) I10 = ∫

dx
x2

8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx
2

3

11) I11 = ∫

9) I 9 = ∫

x2 − x x − x
dx
x

(x

3

16) I16 = ∫

(

x − 24 x

)( x − x ) dx

2

1 

14) I14 = ∫  x + 3  dx
x

1
17) I17 =
dx
(2 x − 3)5

∫

+ 4)

2

dx
x2
1 
 1
12) I12 = ∫ 
− 3  dx
x
 x

Bài 8: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
1 

13) I13 = ∫  x −
 dx

x


2

(

2 x − 3 3x

15) I15 =

∫

18) I18 =

∫ ( x − 3)

x
x +1

4

)

2

dx

dx

Bài 9: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
x
 x π

19) I19 = sin  +  dx
20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx
3
2 7

 
π
x +1
2 x
22) I 22 =  sin  3x +  − sin
 dx 23) I 23 = ∫ cos dx
4
2 
2
 

∫

∫

∫

x


21) I 21 = ∫  sin + x  dx

2


x
24) I 24 = ∫ sin 2 dx
2

Bài 10: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
26) I 26 = ∫

dx
cos 2 4 x

29) I 29 = ∫ tan 4 x dx

27) I 27 = ∫

dx
cos ( 2 x − 1)
2

30) I 30 = ∫ cot 2 x dx

28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx
31) I 31 = ∫

dx
sin ( 2 x + 3)
2

Bài 11: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
32) I 32 = ∫

dx
1 − cos 6 x

1 

35) I 35 = ∫  sin 2 x −
 dx
2 − 5x 


1


33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx
x


x+2
36) I 36 = ∫
dx
x−3

1 

34) I 34 = ∫  x 2 +
 dx
3x + 2 


2x −1
37) I 37 = ∫
dx
4x + 3

Bài 12: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x
dx
6 − 5x
3x 3 + 2 x 2 + x + 1
41) I 41 = ∫
dx
x+2

38) I 38 = ∫

x 2 + x + 11
dx
x+3
4 x3 + 4 x 2 − 1
42) I 42 = ∫
dx
2x + 1

39) I 39 = ∫

Bài 13: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
44) I 44 = ∫ e −2 x + 3 dx
45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx


2
47) I 47 = ∫  e− x + 2
 dx
sin (3 x + 1) 



e− x 
48) I 48 = ∫ e x  2 +
 dx
cos 2 x 


Facebook: LyHung95
2x2 − x + 5
dx
x −1
4 x2 + 6x + 1
43) I 43 = ∫
dx
2x + 1

40) I 40 = ∫

46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx
2

49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx

Bài 14: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
50) I 50 =

∫

1
dx
2x

51) I 51 =

∫

2x
dx
7x

∫

52) I 52 = 32 x +1 dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2
1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
2
x  1
1
1
xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
 2  2
2
2
 

( )

(

)

(

)

 x3  1
1
1
x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3
 3  3
3
3
 
dx
1 d ( ax + b ) 1
dx
=
= d ( ln ax + b ) 
→ = d ( ln x )
ax + b a ax + b
a
x
1
1
1

sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) ) 
→ sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) ) 
→ cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b 
→ e2 x dx = d e 2 x ...
a
a
2
dx
1 d ( ax + b )
1
dx
1
=
= d  tan ( ax + b )  
→
= d ( tan 2 x ) ...

2
2
2
cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a
cos 2 x 2

( )

(

)

(

dx
sin

2

( ax + b )

=

(

)

)

( )

1 d ( ax + b )
1
dx
1
= − d cot ( ax + b )  
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...
2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó

F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:
a) Tính chất 1:

( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Chứng minh:
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có

( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm.

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

b) Tính chất 2:
Chứng minh:

Theo tính chất 1 ta có,

( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x)

Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0

Từ đó ta có

Chứng minh:

(

)

′
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x) 
→ ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..

d) Tính chất 4:

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà không phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Công thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C

Công thức 2: ∫ x n dx =

x n +1

+C
n +1

Chứng minh:
 x n +1
′
x n +1
+ C  = x n ⇒ ∫ x n dx =
+C
Thật vậy, do 
n +1
 n +1

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du =

u n +1
+C
n +1

1
dx
dx
du
+) Với n = − ⇒ ∫
= 2∫
= 2 x + C ←
→∫
=2 u +C
2

x
2 x
u
dx
1
du
1
+) Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ←
→∫ 2 = − + C
x
x
u
u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5
1

c)

∫

3

1

2
−
x − x2
x3
x2 x 3 x2
x2
dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − =
− + C = 33 x − + C
1
x
x
2
2
2
3

( 2 x + 1) + C
1
4
u n du
d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) 
→I =
2
5
5

4

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
e) I = ∫ (1 − 3x )
f) I = ∫

Facebook: LyHung95

(1 − 3x ) + C
1
2010
u n du
dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) 
→I = −
3
2011
du
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
= ∫
→ I = − .
+C =−
+C
2
2 ( 2 x + 1)
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)
2011

2010

dx

( 2 x + 1)

2

g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫

3
3
1
1 2
3
2 +C =
2 +C
x
+
d
x
+
⇒
I
=
x
+
x
+
4

5
4
5
.
4
5
4
5
(
)
(
)
(
)
4∫
4 3
8

dx
= ln x + C
x

Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x
x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được

du

∫u

= ln u + C

1
 dx
= ln 2 x + k + C
1 d ( ax + b ) 1
dx
 ∫ 2x + k 2
+ ∫
=
= ln ax + b + C 
→
ax + b a ∫ ax + b
a
 dx = − 1 ln k − 2 x + C
2
 ∫ k − 2 x
Ví dụ:
1 1
1
dx x 4

a) ∫  x3 +
+  dx = ∫ x3 dx + ∫
dx + ∫ =

+ 2 x + ln x + C
x
4
x x
x

du
dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
= ∫
→ I = ln 3x + 2 + C
3x + 2 3
3x + 2
3
2x2 + x + 3
3
dx
3 d ( 2 x + 1)
3


c) ∫
dx = ∫  2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
 dx = ∫ 2 xdx + 3∫
2x + 1
2x + 1 
2x + 1

2
2x + 1
2


b) I = ∫

Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C
+ ∫ sin ( ax + b ) dx =

1
1
1
sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C 
→ ∫ sin 2 xdx = − cos2 x + C
∫
a
a
2

Ví dụ:
3
1 
dx
1 d ( 2 x − 1)


a) ∫  x x + s inx +
= ∫ x 2 dx − cos x + ∫
=
 dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫
2x −1 
2x −1
2 2x −1

5

2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3 
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3

= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
b) ∫  sin 2 x +
 dx = ∫ sin 2 xdx +3∫
4x − 3 
4x − 3 2
4

4x − 3
2
4

x


c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx
2


1
1
 x 1
x
Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
2
3
2 2
2
T ừ đó :
1
x
x
x  x 1


∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x 1
1
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3

Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C

Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+ ∫ cos ( ax + b ) dx =

1
1
1
cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C 
→ ∫ cos2 xdx = sin 2 x + C
∫
a
a
2

Ví dụ:
4x − 1 
5 


a) ∫  cos x − sin x +
 dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −
 dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C
x +1 
x +1


1
x2
b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C
2
2
1 − cos2 x
1
1
1
1
1 1

c) ∫ sin 2 xdx = ∫
dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C
2
2
4
2

4
2 2

Công thức 6: ∫

dx
= tan x + C
cos 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =

1
dx
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )

du

∫ cos u = tan u + C
2

1

dx
1
= tan 2 x + C
2
2x 2

∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos
2

2

Ví dụ:
dx
1
 1

a) ∫ 
+ cos x − sin 2 x  dx = ∫
+ ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C
2
2
cos x
2

 cos x


1
2 
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫ 
+
+ 2∫
= ∫
− ∫
 dx = ∫
2
2
2
cos ( 2 x − 1)
5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4
5 − 4x
 cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 
du

1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C
2
2
du

dx
1 d (3 − 2x )
1
cos 2 u
c) I = ∫
=− ∫

→ I = − tan ( 3 − 2 x ) + C
2
2
cos ( 3 − 2 x )
2 cos ( 3 − 2 x )
2

→=
cos2 u

Công thức 7: ∫

dx
= − cot x + C
sin 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cot x + C )′ =

1
dx
⇒ ∫ 2 = − cot x + C
sin 2 x

sin x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )

1

du

∫ sin u = − cot u + C
2

dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2

∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin
2

2

Ví dụ:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
dx
1
x6


a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C
sin x
sin x
2
3


du
dx
1 d (1 − 3 x )
1
1
sin 2 u
b) I = ∫ 2
=− ∫ 2


→ I = − −
cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C
sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3

 x
d 
du
dx
2
 x
sin 2 u
c) I = ∫
= 2 ∫   
→ I = −2 cot   + C
x
x




2
sin 2  
sin 2  
2
2

Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C
1
 2 x+ k
e dx = e 2 x + k + C
∫

1
1

2
→
+) ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C 
a
a
 e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C
 ∫
2
Ví dụ:
1
4 
dx
4
1
1 d ( 3x )


a) ∫  e −2 x +1 − 2 +
dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫
dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x

sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x


1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3

b)

∫ ( 4e

3 x+2

+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =

4 3x+2
1
e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )
∫

3
3

4
1
= e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C
3
3

Công thức 9: ∫ a x dx =

ax
+C
ln a

Chứng minh:
 ax
′ a x ln a
ax
Thật vậy, do 
+C =
= a x ⇒ ∫ a x dx =
+C
ln a
ln a
 ln a

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C
+) ∫ a kx + m dx =

1 kx + m
1
a d ( kx + m ) = a kx + m + C
∫
k
k

Ví dụ:
1 3x
1 2x
23 x
32 x
a u du
2
d
3
x
+
3
d
2
x

→
I
=
+
+C
( ) ∫

( )
3∫
2
3ln 2 2ln 3
1
3
21− 2 x 3 4 x + 3
− e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = −
+ e
+C
2
4
2ln 2 4

a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx =
b)

∫ (2

1− 2 x

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• ∫ 0dx = C

• ∫ a x dx =

• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•

x

α +1

α +1

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a

• ∫ cos xdx = sin x + C

+ C,

(α ≠ −1)

• ∫ sin xdx = − cos x + C

1

∫ x dx = ln x + C

• ∫ e x dx = e x + C

•

∫

•

∫

1
cos2 x
1
sin2 x

dx = tan x + C

dx = − cot x + C

1
• ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

• ∫ eax + b dx =

1
• ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

•

1

1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a
1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Ví dụ 1: [ĐVH]. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng
 F ( x) = (4 x − 5)e x
a) 
x
 f ( x) = (4 x − 1)e

 F ( x) = tan 4 x + 3 x − 5
b) 
5
3
 f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3


 x2 + 4 
 F ( x) = ln  2


 x +3
c) 

−2 x
 f ( x) =
2

( x + 4)( x 2 + 3)


 F ( x) = ln

d) 
 f ( x) = 2


x2 − x 2 + 1
x2 + x 2 + 1
2( x 2 − 1)
x4 + 1

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các nguyên hàm sau
1

1) ∫  x 2 – 3 x +  dx = ..........................................................................
x


2) ∫
3)

2 x4 + 3
dx = ..................................................................................

x2

∫

x −1
dx = ...................................................................................
x2

( x 2 − 1)2
4) ∫
dx = ..............................................................................
x2

5) ∫

(

)

x + 3 x + 4 x dx = ......................................................................................

2 
 1
6) ∫ 
− 3  dx = ...............................................................................
x
 x

7) ∫ 2sin 2

x
dx = .............................................................
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

8) ∫ tan 2 xdx = ............................................................................
9) ∫ cos 2 xdx = ................................................................
10) ∫

1
dx = .........................................................................................
sin x.cos 2 x

11) ∫

cos 2 x
dx = ....................................................................................................................................
sin 2 x.cos 2 x

2

12) ∫ 2sin 3 x cos 2 xdx = ............................................................................................
13) ∫ e x ( e x – 1) dx = .............................................................................


e− x 
14) ∫ e x  2 +
 dx =.......................................................................................
cos 2 x 

2x 

15) ∫  e3 x +1 +
 dx = ......................................................................................................................
x −1 


Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5;
c) f ( x ) =
e) f ( x ) =

3 − 5x 2
;
x
x3 − 1
x2

;

g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) =

F (1) = 3

b) f ( x ) = 3 − 5 cos x;

F ( e) = 1

d) f ( x ) =

F (−2) = 0

f) f ( x ) = x x +

π
F '  = 0
3

h) f ( x ) =

x3 + 3x3 + 3x − 7
( x + 1)2

;

F (0) = 8

x2 + 1
;
x

F (π) = 2

F (1) =
1

;

x

3x 4 − 2 x 3 + 5
x2

3
2

F (1) = −2
; F (1) = 2

x
π π
k) f ( x) = sin 2 ; F   =
2
2 4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;

π
F  =3
2

b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;

F (π) = 0

c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;

F (2) = −2

Bài 2: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3
a) 
. Tìm m.
2
 f ( x ) = 3 x + 10 x − 4

 F ( x ) = ln x 2 − mx + 5

b) 
. Tìm m.
2x + 3
 f (x) = 2
x + 3x + 5


Bài 3: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x
a) 
. Tìm a, b, c.
 f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x

Facebook: LyHung95

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
b) 
. Tìm a, b, c.
x
 f ( x ) = ( x − 3)e

Bài 4: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e−2 x
a) 
. Tìm a, b, c.
2
−2 x
 f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x
b) 
. Tìm a, b, c.
2
−x
 f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e

Bài 5: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):


b
c

a)  F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.
 f ( x ) = cos x
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x − 3

b) 
. Tìm a, b, c.
20 x 2 − 30 x + 7
f
(
x
)
=

2x − 3


Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
1) I1 =

∫(x

5

)

+ 2 x dx

 1

2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx
x


 1
2 x
− 4 x 3 + 2  dx
4) I 4 = 
 5
x 
 x

∫

∫(

∫

3) I 3 =

1 

5) I 5 = ∫  x +
dx
x


6) I 6 = ∫

)

x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx

5

2 x4 + 3
dx
x2

Bài 7: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
7) I 7 = ∫

(

)

x −1

2

dx
x
3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1
10) I10 = ∫
dx
x2

8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx
2

3

11) I11 = ∫

9) I 9 = ∫

x2 − x x − x
dx
x

(x

3

16) I16 = ∫

(

x − 24 x

)( x − x ) dx

2

1 

14) I14 = ∫  x + 3  dx

x

1
17) I17 =
dx
(2 x − 3)5

∫

+ 4)

2

dx
x2
1 
 1
12) I12 = ∫ 
− 3  dx
x
 x

Bài 8: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
1 

13) I13 = ∫  x −
 dx
x


2

(

2 x − 3 3x

15) I15 =

∫

18) I18 =

∫ ( x − 3)

x
x +1

4

)

2

dx

dx

Bài 9: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
x
 x π


19) I19 = sin  +  dx
20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx
3
2 7

 
π
x +1
2 x
22) I 22 =  sin  3x +  − sin
 dx 23) I 23 = ∫ cos dx
4
2 
2
 

∫

∫

∫

x


21) I 21 = ∫  sin + x  dx
2



x
24) I 24 = ∫ sin 2 dx
2

Bài 10: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
26) I 26 = ∫

dx
cos 2 4 x

29) I 29 = ∫ tan 4 x dx

27) I 27 = ∫

dx
cos ( 2 x − 1)
2

30) I 30 = ∫ cot 2 x dx

28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx
31) I 31 = ∫

dx
sin ( 2 x + 3)
2

Bài 11: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
32) I 32 = ∫

dx
1 − cos 6 x

1 

35) I 35 = ∫  sin 2 x −
 dx
2 − 5x 


1


33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx
x


x+2
36) I 36 = ∫
dx
x−3

1 

34) I 34 = ∫  x 2 +
 dx
3x + 2 

2x −1
37) I 37 = ∫

dx
4x + 3

Bài 12: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x
dx
6 − 5x
3x 3 + 2 x 2 + x + 1
41) I 41 = ∫
dx
x+2

38) I 38 = ∫

x 2 + x + 11
dx
x+3
4 x3 + 4 x 2 − 1
42) I 42 = ∫
dx
2x + 1

39) I 39 = ∫

Bài 13: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
44) I 44 = ∫ e −2 x + 3 dx

45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx


2
47) I 47 = ∫  e− x + 2
 dx
sin (3 x + 1) 



e− x 
48) I 48 = ∫ e x  2 +
 dx
cos 2 x 


Facebook: LyHung95
2x2 − x + 5
dx
x −1
4 x2 + 6x + 1
43) I 43 = ∫
dx
2x + 1

40) I 40 = ∫

46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx
2

49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx

Bài 14: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
50) I 50 =

∫

1
dx
2x

51) I 51 =

∫

2x
dx
7x

∫

52) I 52 = 32 x +1 dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1
1
1
1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 )
2
2
2

6.

dx
= −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x )
sin 2 x

1
1
1
2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 )
3
3
3

7.

dx
=d

2 x

3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x)

8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x )

4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x)

9.

5.

dx
= d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x )
cos 2 x

( x) = d(

)

(

x ± a = −d a − x

)

dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x )
x

10. dx =

1
1
d ( ax + b ) = − d ( b − ax )
a
a

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

x
dx
1 + x2

∫

c) I 3 = ∫

b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx

Lời giải:

x  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = d x ± a


2
2
2
 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
 u = d ( ln u )

( )

2

( )

(

(

x 2 dx
x3 + 1

)

)

2
2
du
x

1 d x
1 d x +1
∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C I = 1 ln x 2 + 1 + C.
dx
=
=
←→
1
2 1 + x2 2
2
1 + x2
1 + x2
2

x  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = d x ± a
2
2
2

 
b) Sử dụng các công thức vi phân 
 u n +1 
 n
u
du
=

d



 n +1


Ta có I1 =

∫

∫

∫

(

( )

∫ (

Ta có I 2 = x 1 + x

2

)

10

1

dx =
2

∫ (1 + x ) d ( x
2

10

2

)

+1

(

(1 + x )
=
2

)

11

22

 2
 x3  1
3
 x dx = d   = d x ± a


 3 3
c) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
2 u = d u


(

)

+ C.

)

( )

3
3
1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1
=
∫ x 3 + 1 3 ∫ 2 x3 + 1 = 3 + C.
x3 + 1 3
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx
b) I 5 = ∫
2x −1

Ta có I 3 = ∫

x 2 dx

=

c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải:
2

x  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = − d a − x
2

 2  2
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 u n +1 
 n
u
du

=
d



 n +1


( )

(

)

(1 − x )

2 3

1
1
1
1
Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
2
2
1
1

dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
b) Sử dụng các công thức vi phân 

 du = d u
 2 u
2

+ C.

3

( )

du
d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u )
dx
1 d ( 2 x − 1)
= ∫
=∫
←
→ I5 = 2 x − 1 + C.
2x −1 2
2x − 1
2 2x −1
1
1

 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )

c) Sử dụng các công thức vi phân 
 n +1 
u n du = d  u 


 n +1

Ta có I 5 = ∫

3

1
(5 − 2x)
1
1
1 2 (5 − 2x )2
⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − .
+C = −
+ C.
2
2
2
3
3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 x3
ln 3 x
dx
a) I 7 =
dx
b) I 8 = ∫
c)
I
=
9

∫ x dx
5 4
(3 − 2 x)5
x −5
3

∫

Lời giải:
 3
x  1
1
4
4
 x dx = d   = d x ± a = − d a − x
4
4
4

 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 u − n +1 
 du
=
d


 un
 −n + 1 


 x4 
4
d
4
 
5
1
3
5 5 x4 − 5
5
x
−
5
−
4
2x
1
1


4
4
5
⇒ I7 =
dx = 2
=
x −5 d x −5 = .
+C =
5 4
5 4

2
4
8
x −5
x −5 2

(

4

∫

∫(

∫

)

(

)

(

(

)

)

(

)

)

4

+ C.

( 3 − 2 x ) + C.
dx
1
5
b) Ta có I 8 = ∫
= − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = −
5
(3 − 2 x)
2
12
6

dx
ln 3 x
ln 4 x
= d ( ln x ) ta được I 9 = ∫
dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) =
+ C.
x
x

4
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
3 dx
cos x
a) I10 = ∫
b) I11 =
dx
c) I12 = cos x sin x dx
2010
x
( 4 − 2x)

c) Sử dụng công thức vi phân

∫

∫

Lời giải:
a) Ta có I10 = ∫

( 4 − 2x )

3
3 (4 − 2x)
−2010
( 4 − 2x ) d ( 4 − 2x) = −
∫
2
2 −2009

−2009

3 dx
2010

=−

cos u du = d ( sin u )

b) Sử dụng các công thức vi phân  dx
=d x

2 x

+C =

3
4018 ( 4 − 2 x )

2009

+ C.

( )

( )

cos x
cos x

dx = 2
dx = 2 cos x d x = 2sin x + C.
x
2 x
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Ta có I11 =

∫

∫

∫


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

cos u du = d ( sin u )
c) Sử dụng các công thức vi phân 
sin x dx = −d ( cos x )
3

Ta có I12 =

∫

1
2

cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = −

∫

2 ( cos x ) 2

3
Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
sin x
a) I13 = 3 sin x cos x dx
b) I14 = ∫
dx
cos5 x
Lời giải:
sin u du = −d ( cos u )
a) Sử dụng các công thức vi phân 
cos x dx = d ( sin x )

=−

2 cos3 x
+ C.
3

∫

Ta có I 3 =

∫

3

sin x cos x dx =

∫

c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx

1
4
3  
u 3 du = d  u 3 
4  
 

1
3

4

→ I13 =
( sinx ) d ( sin x ) ←

3 ( sinx ) 3
4

+C =

3 3 sin 4 x

+C
4

( cos x ) + C = 1 + C.
sin x
d (cos x)
dx = − ∫
=−
5
5
cos x
cos x
−4
4 cos 4 x
cos x dx = d ( sin x )

c) Sử dụng các công thức vi phân  n
 u n +1 
u
du
=
d



 n +1

−4

b) Ta có I14 = ∫

 u5 
u 4 du = d  
 5 
 

Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ←
→ I15 =
4

4

sin 5 x
+ C.
5

Ví dụ 6: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I16 = ∫ tanx dx

b) I17 =

∫

sin 4 x cos 4 x dx

c) I18 = ∫

sin x dx
1 + 3cos x

Lời giải:
sin x dx = −d (cos x)

a) Sử dụng các công thức  du
 ∫ u = ln u + C
d ( cos x )
sin xdx
Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫
= −∫
= − ln cos x + C.
cos x
cos x
1
1
b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx =
sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) =
4
4

∫

∫

∫

sin 4 x d ( sin 4 x )

3

1 2 ( sin 4 x ) 2

sin 3 4 x
= .
+C =
+ C.
4
3
6
d ( cos x )
sin x dx
1 d ( 3cos x + 1)
1
c) Ta có I18 = ∫
= −∫
=− ∫
= − ln 1 + 3cos x + C.
1 + 3cos x
1 + 3cos x
3
1 + 3cos x
3
Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2cos x dx
cos x dx
a) I19 = ∫
b) I 20 = ∫
c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx
2
4sin x − 3
( 2 − 5sin x )

Lời giải:
cos xdx = d (sin x)

a) Sử dụng công thức vi phân  du
 1
 u2 = d  − u 



2 d ( sin x )
2cos x dx
2 d ( 2 − 5sin x )
2
⇒ I19 = ∫
=∫
=− ∫
=
+ C.
2
2
2
5 ( 2 − 5sin x )
5 ( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )

cos xdx = d (sin x)

b) Sử dụng công thức vi phân  du
2 u = d u



( )

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Ta được I 20 = ∫

Facebook: LyHung95

d ( sin x )
cos x dx
1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1
=∫
= ∫
= ∫
=
4sin x − 3 + C.
4sin x − 3
4sin x − 3 4
4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2


d ( cos x )
sin xdx
=−
= − ln cos x + C
 tan xdx =

cos x
cos x
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản 
2
 u du = u + C

2
d ( cos x )
sin x
dx = − ∫ ln ( cos x )
= − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) =
Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x )
cos x
cos x
ln 2 (cos x)
ln 2 (cos x)
=−
+ C 
→ I 21 = −
+ C.
2
2
Ví dụ 8: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
tan x
tan 3 x
tan 2 x + 1
a) I 22 =
dx
b)
I

=
dx
c) I 24 =
dx
23
2
4
cos x
cos x
cos 2 2 x
Lời giải:
 dx
 cos 2 x = d ( tan x )
a) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
tan x
dx
tan 2 x
tan 2 x
dx
=
tan
x
.
=
tan
x

d
tan
x
=
+
C

→
I
=
+ C.
Ta có I 22 =
(
)
22
2
2
cos 2 x
cos 2 x
 dx
 cos 2 x = d ( tan x )
b) Sử dụng các công thức 
 1 = 1 + tan 2 x
 cos 2 x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

∫(

)

tan 3 x
1
dx
dx = tan 3 x. 2 .
= tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x)
4
2

cos x
cos x cos x
6
4
tan x tan x
tan 6 x tan 4 x
=
+
+ C 
→ I 23 =
+
+ C.
6
4
6
4
1 d (ax) 1
 dx
 cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )
c) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
tan 2 x + 1
tan 2 x dx
dx
1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x)
Ta có I 24 =
dx =

+
=
+
2
2
2
2 cos 2 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x 2
cos 2 2 x
1
1
tan 2 2 x tan 2 x
tan 2 2 x tan 2 x
=
tan 2 x d (tan 2 x) +
d (tan 2 x) =
+
+ C 
→ I 24 =
+
+ C.
2
2
4
2
4
2
Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

cot x
tan x
cot x
a) I 25 = ∫ 2 dx
b) I 26 = ∫
dx
c) I 27 = ∫
dx
3
π
sin x
cos x

cos  x + 
2

Lời giải:
 dx
 sin 2 x = − d ( cot x )
a) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
cot x
dx
cot 2 x
cot 2 x
dx
=

cot
x
.
=
−
cot
x
d
cot
x
=
−
+
C

→
I
=
−
+ C.
Ta có I 25 =
(
)
25
2
2
sin 2 x
sin 2 x
Ta có I 23 =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

sin x dx = −d ( cos x )

b) Sử dụng các công thức  du u − n +1
+C
∫ n =
−n + 1
 u
d ( cos x )
( cos x ) + C = 1 + C 
tan x
sin xdx
1
dx = ∫
= −∫
=−
→ I 26 =
+ C.
3
4
4
cos x
cos x
cos x
−3
3cos3 x
3cos3 x


cos x dx = d ( sin x )

π
 
c) Sử dụng các công thức cos  x +  = − sin x
2
 
 du
1
∫ 2 = − + C
u
 u
cot x
cos x
cos x dx
d (sin x)
1
1
Ta có I 27 = ∫
dx = ∫
dx = − ∫
= −∫
=
+ C 
→ I 27 =
+ C.
2
2
π
sin x. ( − sin x )

sin x
sin x
sin x
sin x

cos  x + 
2

Ví dụ 10: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
−3

Ta có I 26 = ∫

a) I 28 =

∫

e tan x + 2 dx
cos 2 x
e 2 ln x + 3
e) I 32 = ∫
dx
x
Lời giải:

x

3e

x

c) I 30 = ∫ x.e1− x dx

b) I 29 = ∫

dx

d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx

2

( )

 dx
=d x

a) Sử dụng các công thức  2 x
 eu du = eu + C
∫
Ta có I 28 =

∫

3e

x

x

∫

dx = 3.2 e

x

dx
= 6 e xd
2 x

∫

( x ) = 6e

x

+ C 
→ I 28 = 6e

x

+ C.

 dx
 cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k )
b) Sử dụng các công thức 
 eu du = eu + C
∫
tan x + 2
e
dx

dx
Ta có I 29 = ∫
= ∫ e tan x + 2
= ∫ e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C 
→ I 29 = e tan x + 2 + C.
2
2
cos x
cos x
1
1

2
2
 x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x )
c) Sử dụng các công thức 
 eu du = eu + C
∫
2
2
2
2
2
1
1
1
Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C 
→ I 30 = − e1− x + C .
2
2

2
sin x dx = −d ( cos x )
d) Sử dụng các công thức  u
u
 ∫ e du = e + C
Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C 
→ I 31 = −ecos x + C .
 dx
 = d ( ln x ) = d ( ln x ± k )
e) Sử dụng các công thức  x
 eu du = eu + C
∫
2 ln x + 3
e
dx
1
1
dx = ∫ e 2 ln x + 3
= ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C.
Ta có I 32 = ∫
x
x
2
2
e2 ln x + 3
1 2 ln x + 3
Vậy I 32 = ∫
dx = e
+ C.
x

2

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
• I1 = ∫ x3 (4 − 5 x 4 )dx = ....................................................................................................................................
• I 2 = ∫ 2 x 2 3 1 + 3 x3 )dx = .................................................................................................................................

xdx

• I3 = ∫

• I4 = ∫

4

3 − 2 x2

= ...........................................................................................................................................

x5
dx = ..........................................................................................................................................
1 − 5 x6
3x3

• I5 = ∫
• I6 = ∫

2 + 3x 4

dx = ......................................................................................................................................

xdx

( 2 − 3x )

2 2

= .........................................................................................................................................

• I 7 = ∫ x cos(3 − 4 x 2 )dx = ................................................................................................................................
• I 8 = ∫ x 3 sin(1 + 5 x 4 )dx = ...............................................................................................................................
• I 9 = ∫ xe −4 x

2

+5

dx = ..........................................................................................................................................

4
x

• I10 = ∫

e dx
= ................................................................................................................................................
x2

• I11 = ∫

e3 x dx
= ..............................................................................................................................................
2 x

• I12 = ∫

dx
= ...........................................................................................................................................
x+3 x

2. Vi phân nhóm hàm lượng giác
• I1 = ∫ sin x.cos3 xdx = ...................................................................................................................................
• I 2 = ∫ cos x.sin 5 xdx = ...................................................................................................................................
• I 3 = ∫ sin x. 3cos x + 2dx = .........................................................................................................................
• I 4 = ∫ cos x. 4 5 − 2 sin xdx = ..........................................................................................................................
• I5 = ∫
• I6 = ∫
• I7 = ∫

sin xdx
= ......................................................................................................................................
2 + 5cos x
sin xdx

= ......................................................................................................................................
1 − 3cos x

cos xdx

(1 − 2 sin x )

2

= .....................................................................................................................................

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!