Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 6: Hình học tọa độ phẳng OXY)

1


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 3); B(−1; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm D để
a) ABCD là hình bình hành.
b) ACDB là hình bình hành.
Bài 2: [ĐVH]. Cho các điểm A(−1; 1); B(1; 3), C(−2; 0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B không thẳng hàng.
 3
Bài 3: [ĐVH]. Cho các điểm A(4; 6); B(1; 4), C  7;  , D( −2; 2) .
 2
Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng; ba điểm A, B, D thẳng hàng.

Bài 4: [ĐVH]. Cho các điểm A(0; 5); B(−2; −1), C(2; 1). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Đ/s: I(−1; 2).
Bài 5: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; −3); B(3; 4), C(0; 2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 3MA − 2 MB = 0.
Đ/s: M(0; −17).
Bài 6: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 3); B(3; 4) Tìm điểm M thuộc Ox để ba điểm A; B; M thẳng hàng.
Bài 7: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; −1); B(4; 0), C(6; 4). Tìm điểm D trên Oy để ABCD là hình thang.
Bài 8: [ĐVH]. Cho điểm A(1; 1) Tìm điểm B trên đường thẳng y = 3; điểm C trên Ox để tam giác ABC đều.
Bài 9: [ĐVH]. Tìm điểm A trên Ox, điểm B trên Oy sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2y + 3
= 0.

Đ/s: A ( 2;0 ) , B ( 0; 4 ) .
Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A ( 2;5) , B (1;1) , C ( 3;3) .
a) Tìm toạ độ điểm D sao cho AD = 3 AB − 2 AC.
b) Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm toạ độ tâm hình bình hành đó.
Đ/s: a) D ( −3; −3) .

5 
b) E ( 4;7 ) , I  ;4  .
2 

Bài 11: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A ( −1;1) , B ( 5; −3) , đỉnh C thuộc Oy và trọng tâm G thuộc Ox. Tìm toạ độ đỉnh
C.

4 
Đ/s: G  ;0  , C ( 0;2 ) .
3 

Bài 12: [ĐVH]. Cho tam giác ABC biết A ( 2; −2 ) , B ( 0;4 ) , C ( −2;2 ) . Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.

Đ/s: Tam giác vuông tại C nên H ≡ C; I (1;1) .
Bài 13: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A ( −4;1) , B ( 2;4 ) , C ( 2; −2 ) . Tìm trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O của
tam giác ABC.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

1   1 
Đ/s: H  ;1 ; O  − ;1 .
2   4 

Bài 14: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (0;5), C (2;4) .
a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AM + BM = CM
b) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
c) Tìm điểm E thuộc trục hoành để tam giác AEB cân tại E.
Đ/s: a) M (−1; 2)

b) D(3;0)

 23 
c) E  − ;0 
 2 

Bài 15: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;0), B (0;5), C (2;1) .
a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn OA + OB + OC = OM
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC . Tìm m để AG = a biết a = (m; 2 3)
c) Tính độ dài đường trung bình của ∆ABC song song với BC
Đ/s: a) M (3;6)

b) m = ±4

c) 5

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

02. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua C(−2; 5) và song song với đường thẳng d’: 4x − 5y +10 = 0.
 x = 1 − 2t
.
b) d đi qua điểm D(−5; 3) và vuông góc với đường thẳng d ' : 
 y = 4 + 9t
 x = 1 − 3t
c) d đi qua điểm M(2; 5) và song song với đường thẳng d ' : 
.
 y = 4 + 5t

d) d đi qua N(3; 4) và vuông góc với đường thẳng ∆: 4x − 7y + 3 = 0.
Bài 2: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A(−2; 1), B(2; 3) và C(1; −5).
a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác.
c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC.
Bài 3: [ĐVH]. Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; −1) và C(6; −2).
a) Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác.
b) Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM.
Bài 4: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A(−4; 5), B(6; −1), C(−1; 1).
a) Viết phương trình các đường cao của tam giác đó.
b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác đó.

c) viết phương trình đường trung trực cạnh BC.
Bài 5: [ĐVH]. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x + 3y = 0 và 2x – 5y + 6 = 0, một đỉnh của hình
bình hành là C(4; 1). Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

Bài 6: [ĐVH]. Cho hình vuông ABCD có tọa độ điểm A(2; 1); tâm I(1; 3). Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông và viết
phương trình các cạnh.

Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình một cạnh là x + y + 2 = 0; tâm I(1; 1) và diện tích của hình
chữ nhật bằng 12. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật.

Bài 8: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 2) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
1
4
+
= 1.
2
OA OB 2

a) OA = 2OB.

b)

Đ/s: b) a = b = 1

c) a = b = 3

9
c) SOAB = .
2

Bài 9: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; −3) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
2
a) OA = OB.
3

b) 4OA2 + OB 2 = 100.

c) SOAB đạt giá trị nhỏ nhất.

d)

Đ/s:

a) a = b = 2

3
2
275
+
=
.
2
2
OA OB
36

b) a = 4; b = 6

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
c) x + y – 5 = 0

Facebook: Lyhung95

2
3
d) a = ; b = .
3
2

Bài 10: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d vuông góc với đường ∆: 2x – y + 1 = 0 và cắt Ox, Oy tại A, B sao
cho
2
1
+
=1
2
OA OB 2

a) AB = 1

b) SOAB = 4.

c)

Đ/s: a) a = 2; b = 1

b) a = 4; b = 2

1
1
c) a = ; b = .
2
4

Bài 11: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; 1) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
a) OA = 2OB.

b)

1
3
13
+
=
2
2
OA OB
16

c) d ( O; d ) =

6
.
17

Đ/s: b) a = 4; b = 2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

02. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) d1 : x + 2 y − 3 = 0; d 2 : 4 x + y − 5 = 0
b) d1 : x − 2 y − 3 = 0; d 2 : 2 x − 4 y − 5 = 0
c) d1 : x + 2 y − 3 = 0; d 2 : 2 x − y − 15 = 0
Bài 2: [ĐVH]. Cho a 2 + b 2 ≠ 0 và 2 đường thẳng d1 : (a − b) x + y = 1; d 2 : (a 2 − b 2 ) x + ay = b
a) Tìm quan hệ giữa a và b để d1 và d2 cắt nhau, khi đó hãy xác định toạ độ giao điểm I của chúng.
b) Tìm điều kiện giữa a và để I thuộc trục hoành.

 1 a
Đ/s: a) b ≠ 0; I  − ; 
 b b

b) a = 0

Bài 3: [ĐVH]. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0)

b) A(5; 3), B(–2; –7)

c) A(3; 5), B(3; 8)

d) A(–2; 3), B(1; 3)

e) A(4; 0), B(3; 0)

f) A(0; 3), B(0; –2)

Bài 4: [ĐVH]. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với
đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x − 10 y + 1 = 0

b) M(–1; 2), d ≡ Ox

 x = 1 − 2t
d) M(2; –3), d: 
 y = 3 + 4t

e) M(0; 3), d:

c) M(4; 3), d ≡ Oy

x −1 y + 4
=
3
−2

Bài 5: [ĐVH]. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với
đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x − 10 y + 1 = 0
d) M(2; –3), d :

{

x = 1 − 2t
y = 3 + 4t

b) M(–1; 2), d ≡ Ox
e) M(0; 3), d :

c) M(4; 3), d ≡ Oy

x −1 y + 4
=
3
−2

Bài 6: [ĐVH]. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của
tam giác với:

a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1)

b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)

c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1)

d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)

Bài 7: [ĐVH]. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao
của tam giác, với:

a) AB : 2 x − 3 y − 1 = 0, BC : x + 3 y + 7 = 0, CA : 5 x − 2 y + 1 = 0
b) AB : 2 x + y + 2 = 0, BC : 4 x + 5 y − 8 = 0, CA : 4 x − y − 8 = 0
Bài 8: [ĐVH]. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1)

3 5
5 7
b) M  ; −  , N  ; −  , P(2; −4)
2 2
2 2

3
1


c) M  2; −  , N 1; −  , P(1; −2)


2
2

3 

7 
d) M  ; 2  , N  ;3  , P(1; 4)
2 
2 

Bài 9: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau,
với:
a) M(–4; 10)

b) M(2; 1)

c) M(–3; –2)

d) M(2; –1)

Bài 10: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một
tam giác có diện tích S, với:
a) M(–4; 10), S = 2

b) M(2; 1), S = 4

c) M(–3; –2), S = 3

d) M(2; –1), S = 4

Bài 11: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 và:
a) d1 : 3 x − 2 y + 10 = 0, d2 : 4 x + 3y − 7 = 0, d qua A(2;1)
b) d1 : 3 x − 5y + 2 = 0, d2 : 5x − 2 y + 4 = 0, d song song d3 : 2 x − y + 4 = 0
c) d1 : 3 x − 2 y + 5 = 0, d2 : 2 x + 4 y − 7 = 0, d vuoâng goùc d3 : 4 x − 3y + 5 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

03. BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Tìm góc giữa 2 đường thẳng (d1) và (d2) trong các trường hợp sau:
a) (d1 ) : 5 x + 3 y − 4 = 0;(d 2 ) : x + 2 y + 2 = 0
b) (d1 ) : 3 x − 4 y − 14 = 0; (d 2 ) : 2 x + 3 y − 1 = 0
 x = 1 − 3t
c) (d1 ) : 
; (d 2 ) : 2 x + 3 y − 2 = 0
y = 2+ t
Đ/s: a) 320
b) 710
c) 150
Bài 2: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1) và đường cao CH : x + y − 4 = 0 . Gọi d là đường trung bình của ∆ABC
song song với BC với d : x + 3 y − 8 = 0 . Tính cosin góc giữa AC và d.

3
5
Bài 3: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (2;3), C (4;3) . Kẻ AH ⊥ BC tại H, gọi M là trung điểm của BC. Tính

Đ/s: cos ( AC , d ) =

góc giữa AH và AM.

Đ/s: 450
Bài 4: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (2;1), C (0;7) . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Lập phương
trình OG với O là gốc tọa độ. Tính khoảng cách từ A tới OG.
2
Đ/s: d( A;OG ) =
10
Bài 5: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1) và hai đường trung tuyến BM : x + y − 4 = 0, CN : 2 x + 5 y − 9 .Tính
khoảng cách từ A tới đường thẳng qua BC.
2
Đ/s: d A/ BC =
5
Bài 6: [ĐVH]. Cho A(1;1), B (3; −2) và đường thẳng d : 2 x − 3 y + 4 = 0 . Lập phương trình đường thẳng ∆
qua A song song d. Tính khoảng cách từ B tới ∆ .
16
Đ/s: d : 2 x − 3 y + 4, d( B;∆ ) =
13

Bài 7: [ĐVH]. Cho d1 : 2 x − y + 4 = 0, d 2 : 3 x + 4 y + 8 = 0 .Gọi ∆ qua A vuông góc d1 , E là giao điểm của ∆
với d1 . Tính khoảng cách từ E tới đường thẳng d 2 .

Đ/s: ∆ : x + 2 y − 13 = 0, d( E ;d2 ) = 7
Bài 8: [ĐVH]. Cho 2 đường thẳng (d1 ) : 2 x − 3 y + 1 = 0; (d 2 ) : −4 x + 6 y − 3 = 0
a) CMR (d1) // (d2)
b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).
1
Đ/s: d =
52
Bài 9: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (3;5), C (2;7) . Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ
điểm A tới đường thẳng CM.
Đ/s: d A/CM = 1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d1 : x + 2 y − 3 = 0, d 2 : x + 2 y − 5 = 0
và điểm A(1; 3). Viết phương trình đường d đi qua A, cắt d1; d2 tại B, C sao cho diện tích tam giác OBC
bằng 5/4.
Đ/s: d : x − 2 y + 5 = 0; d :17 x + 6 y − 35 = 0
Bài 11: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(0; −2) . Tìm tọa độ điểm B thuộc đường
thẳng d : x − y + 2 = 0 sao cho đường cao AH và trung tuyến OM của tam giác OAB có độ dài bằng nhau.

(

) (

Đ/s: B −1 − 3;1 − 3 , B −1 + 3;1 + 3

)

Bài 12: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + 5 = 0 ,

d2 : 3 x + y + 1 = 0 và điểm I (1; −2) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và
B sao cho AB = 2 2 .

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

04. BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU – TÍNH ĐỐI XỨNG
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho điểm A(1; 2) và d : x + y − 7 = 0 . Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d.
Đ/s: A ' ( 3; 4 )
Bài 2: [ĐVH]. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và xác định toạ độ điểm K đối xứng với H qua BC
a) A ( 0;3) ; B ( 3; 0 ) ; C ( −1; −1)
b) A ( −2;1) ; B ( 2; −3) ; C ( 5;0 ) .
Bài 3: [ĐVH]. Cho điểm M(1; 3) và đường thẳng d : x + 2 y + 1 = 0 .
Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua điểm M.

Đ/s: d ' : x + 2 y − 15 = 0
Bài 4: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng( ∆ ) biết:
a) (d ) : x + 2 y − 3 = 0;(∆ ) : x − y = 0
b) (d ) : x + 2 y − 1 = 0;(∆ ) : − x − 2 y + 3 = 0
Đ/s: a) x + 1 = 0

b) x + 2 y − 5 = 0

Bài 5: [ĐVH]. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng
d với:

a) M(2; 1), d : 2 x + y − 3 = 0

b) M(3; – 1), d : 2 x + 5 y − 30 = 0

c) M(4; 1), d : x − 2 y + 4 = 0

d) M(– 5; 13), d : 2 x − 3y − 3 = 0

Bài 6: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với:
a) d : 2 x − y + 1 = 0, ∆ : 3 x − 4 y + 2 = 0

b) d : x − 2 y + 4 = 0, ∆ : 2 x + y − 2 = 0

c) d : x + y − 1 = 0, ∆ : x − 3y + 3 = 0

d) d : 2 x − 3 y + 1 = 0, ∆ : 2 x − 3y − 1 = 0

Bài 7: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:
a) d : 2 x − y + 1 = 0, I (2;1)

b) d : x − 2 y + 4 = 0, I (−3; 0)

c) d : x + y − 1 = 0, I (0;3)

d) d : 2 x − 3y + 1 = 0, I ≡ O(0; 0)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

05. LẬP PT ĐƯỜNG THẲNG CÓ YẾU TỐ GÓC VÀ K/C

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua A(2; −3) và tạo với ∆: x − 2y + 3 = 0 góc φ với cos φ =

1
.
10

Đ/s: d: x + y +1 = 0
b) d đi qua A(1; −3) và tạo với ∆: x + 3y + 2 = 0 góc 450
Đ/s: d: 2x + y +1 = 0
c) d đi qua M(−3; −1) và tạo với trục Ox góc 450
Đ/s: d: x + y +4 = 0
Bài 2: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết d đi qua A(−1; −1) và tạo với ∆: 2x − 3y + 1 = 0 góc φ
với cos φ =

1
.
26

Đ/s: d: x + y +2 = 0
Bài 3: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua M(1; −1) và tạo với ∆: x − y + 1 = 0 góc φ với cos φ =

1
.
10

Đ/s: d: 2x + y −1 = 0

4
5

b) d đi qua A(3; −2) và tạo với ∆: 2x + y − 3 = 0 góc φ với cos φ = .
Đ/s: d: x + 2y +1 = 0
c) d đi qua A(2; 0) và tạo với Ox góc φ với cos φ =

3
.
10

Đ/s: d: x + 3y – 2 = 0
Bài 4: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
3
.
2

a) d đi qua M(2; −3) và khoảng cách từ A(1; 1) đến d bằng
Đ/s: d: x + y +1 = 0
b) d đi qua M(4; 2) và khoảng cách từ A(1; 0) đến d bằng

3
.
10

Đ/s: d: x – 3y +2 = 0
c) d đi qua M (1; 3) và khoảng cách từ A(1; 0) đến d bằng

3
.

2

Đ/s: d : x − 3 y + 2 = 0
Bài 5: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua O(0; 0) và cách đều hai điểm A(2; 2), B(4; 0)
Đ/s: x + y = 0 và x – 3y = 0
b) d đi qua OM(4; 2) và cách đều hai điểm A(3; 0), B(–5; 4)
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Đ/s: x + 2y – 14 = 0 và y – 2 = 0
Bài 6: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua A(1; 1) và cách B(3; 6) một khoảng bằng 2.
Đ/s: x – 1 = 0 và 21x – 20y – 1 = 0
b) cách A(1; 1) một khoảng bằng 2 và cách B(2; 3) một khoảng bằng 4.
Đ/s: y + 1 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0
Bài 7: [ĐVH]. Cho các điểm A(1;1), B (2; −1) . Lập phương trình đường thẳng d qua A sao cho khoảng cách
từ B tới d bằng

1
.
10

Đ/s: d1 : 3 x + y − 4 = 0, d 2 :13 x + 9 y − 15 = 0
Bài 8: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cách N một đoạn bằng r biết:
a) M (2;5); N (3;1); r =

7
5

b) M (3; −3); N (1;1); r = 2
Đ/s: a) x + 2 y − 12 = 0,31x − 22 y + 48 = 0

b) x − 3 = 0,3 x + 4 y + 3 = 0

Bài 9: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M ( −2;3) và cách đều 2 điểm A ( 5; −1) và B ( 3; 7 ) .
Đ/s: 4 x + y + 5 = 0, y − 3 = 0
Bài 10: [ĐVH]. Cho điểm A(3;1). Xác định 2 điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc
phần tư thứ nhất. Lập phương trình 2 đường chéo của hình vuông đó.

Đ/s: B (2; 4), C (−1;3), OB : 2 x − y = 0, AC : x + 2 y − 5 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

06. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho đường thẳng d: 2x + y + 3 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho
a) MA = 2 5 với A(3; −1)
b)

2
MA
=
, với A(0; 1) và B(3; −1).
MB
19

c) xM2 + 2 yM2 = 3.
Đ/s: a) M(1; −5)

b) M(−2; 1)

c) M(−1; −1)

Bài 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng d: x – 3y + 1 = 0. tìm điểm M trên d sao cho
a) d ( M ; ∆ ) = 3 2 với ∆: x + y + 3 = 0.
b) d ( M ; ∆1 ) = d ( M ; ∆ 2 ) , với ∆1: x + 2y – 1 = 0; ∆1: 2x + y + 4 = 0;
Đ/s: a) M(2; 1) và M(–7; –2)

b) M(–1; 0) và M(–7; –2)

 x = 1 + 2t
Bài 3: [ĐVH]. Cho 2 điểm A(–1; 0), B(2; 3), đường thẳng d : 
. Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho
 y = −3 − t
tam giác ABC vuông tại A.
x = 1− t
Bài 4: [ĐVH]. Cho 2 điểm M(–1; 4); N(5; –4), đường thẳng d : 
. Tìm tọa độ điểm A trên d sao
 y = 2 − 3t

cho tam giác AMN vuông tại A.
 x = 1 − 2t
Bài 5: [ĐVH]. Cho đường thẳng d : 
, B(3; –1), C(–1; –3). Tìm tọa độ điểm A trên d sao cho A,
 y = −1 + 3t
B, C thẳng hàng.
 x = −2 − 2t
Bài 6: [ĐVH]. Cho đường thẳng ∆ : 
và điểm M(3; 1). Tìm điểm B trên ∆ sao cho MB ngắn
 y = 1 + 2t
nhất.

1 3
Đ/s: B  ; −  .
2 2

Bài 7: [ĐVH]. Cho tam giác ABC với A ( −1;0 ) , B ( 2;3) , C ( 3; −6 ) và đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0.
uuur uuur uuuur
Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.
 19 13 
Đ/s: M  ; −  .
 15 15 

Bài 8: [ĐVH]. Cho hình bình hành ABCD tâm I có diện tích S = 2. Biết A(1; 0), B(2 ; 0), tâm I thuộc phân
giác y = x. Xác định toạ độ C, D.
Đ/s: C(3; 4), D(2 ; 4) hoặc C(–5; –4), D(–6 ;–4)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Bài 9: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy có A(2; –1), B(1; –2), trọng tâm G thuộc đường thẳng d:
x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm C biết diện tích tam giác ABC bằng

3
.
2

Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;−1) , B (1;− 2) , trọng tâm G
của tam giác nằm trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
27
.
2
Bài 11: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(–2; 0), B(2; 0) và
khoảng cách từ trọng tâm G đến trục hoành bằng

1
. Tìm tọa độ đỉnh C.
3

Bài 12: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (3;7), C (−1;3) .Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNH .

1 7
Đ/s: O  ; 
2 2

Bài 13: [ĐVH]. Cho hình chữ nhật ABCD có A(1;1), I (4; 2) với I là giao của 2 đường chéo. Đỉnh B thuộc
đường thẳng d : x + y − 4 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.
Đ/s: C (9;3); B1 (1;3); D1 (7;1) và C (9;3); B2 (6; −2); D2 (2; 6)
 5
Bài 14: [ĐVH]. Cho hình chữ nhật ABCD có A(1;1) với G  3;  là trọng tâm của tam giác ABD. Đỉnh D
 3
thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 8 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD. Tìm tọa độ tâm I và các đỉnh
còn lại của hình chữ nhật.

Đ/s: I (4; 2); C (9;3); B1 (1;3); D1 (7;1) và I (4; 2); C (9;3); B2 (6; −2); D2 (2;6)
Bài 15: [ĐVH]. Cho 2 đường thẳng (d1 ) : 2 x − 3 y + 5 = 0;(d 2 ) : 3 x − 2 y − 2 = 0
Tìm M nằm trên Ox cách đều (d1) và (d2).
 3 
Đ.s: M1 (7; 0), M 2  − ;0 
 5 

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

06. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
x = 2 + t
x = 2 + u
Bài 1: [ĐVH]. Cho 2 đường thẳng d : 
;d ': 

, A(2; 0), B(1; –4). Tìm trên d điểm G, trên
y = 3+ t
 y = 4 + 5u
d’ điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d1: 2x – 3y + 1 = 0, d2: 4x + y – 5 = 0. A là giao
điểm của d1 và d2. Tìm điểm B thuộc d1, điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3; 5).
 x = −1 − 2t

Bài 3: [ĐVH]. Cho 2 điểm A(3; 2), B(3; –6), đường thẳng d : 
5 . Tìm tọa độ điểm M trên d sao
 y = − 2 + t
cho tam giác ABM cân tại M.

Bài 4: [ĐVH]. Cho hai điểm A(2; 1), B( –1; –3) và hai đường thẳng d1: x + y + 3 = 0; d2 : x – 5y – 16 = 0.
Tìm tọa độ các điểm C, D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 5: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y − 3 = 0 và 2 điểm A(1; 1),
B(−3; 4). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.

Bài 6: [ĐVH]. Cho 4 điểm A(1; 0), B(–2; 4), C(–1; 4), D(3; 5). Tìm điểm M thuộc đường thẳng 3x – y – 5 =
0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau

Bài 7: [ĐVH]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B (−2;5) , đỉnh C nằm trên đường
thẳng x = 4, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 2x – 3y + 6 = 0. Tính diện tích tam giác
ABC.

Bài 8: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC. Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là y = 2x.
8 7
Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là x + 4y – 9 = 0; trọng tâm G  ;  . Tính diện tích tam giác
3 3

ABC.

Bài 9: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(3; –1) và đường thẳng d: x – 2y
–1 = 0. Tìm tọa độ điểm C thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.

Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; –5 ) và đường thẳng d : 3 x − 4 y + 4 = 0 .
 5
Tìm trên d hai điểm A và B đối xứng nhau qua I  2;  sao cho diện tích tam giác ABC bằng15.
 2
 x = 1 − 2t
Bài 11: [ĐVH]. Cho 3 đường thẳng d1 : 
, d 2 : 4 x + 3 y − 1 = 0, d3 : 4 x − 3 y + 2 = 0 .
 y = 1+ t
Tìm M nằm trên (d1) cách đều (d2) và (d3)

 1
 1 25 
Đ/s: M1  2;  , M 2  − ; 
 2
 8 16 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Bài 12: [ĐVH]. Cho 2 điểm A ( 2;1) ; B ( −3; 2 ) và đường thẳng ( d ) : 4 x + 3 y + 5 = 0 . Tìm điểm M cách đều
A; B đồng thời khoảng cách từ M đến (d) bằng 2.
 41 7 

 27 59 
Đ/s: M1  ; −  , M 2  − ; − 
 19 19 
 19 19 

Bài 13: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(−2; −4), B (2;8), C (10; 2) .
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D thuộc trục tung sao cho diện tích ∆ABD bằng 2.
Đ/s: D1 (0;3), D2 (0;1)
Bài 14: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(3;1), B (1; −3) .
Tìm tọa độ điểm C sao cho S ∆ABC = 3 và trọng tâm G thuộc trục tung.

Đ/s: C1 (−4; −16), C2 (−4; −10)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

07. LUYỆN TẬP VỀ PT ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0 ,

d2 : 2 x – y –1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B
sao cho 2 MA + MB = 0 .
Lời giải:
Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1).

Từ điều kiện 2 MA + MB = 0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
Bài 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi
qua M và cắt hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0, d2 : x – 2 y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA.
Lời giải:
 A ∈ (d1 )
 A(a; −1 − a)  MA = (a − 1; −1 − a)
.
 B ∈ (d ) ⇔  B(2b − 2; b) ⇒ 

 MB = (2b − 3; b)
2


Từ A, B, M thẳng hàng và MB = 3MA ⇒ MB = 3MA
  2 1
A − ;−
(1) ⇒   3 3  ⇒ (d ) : x − 5y − 1 = 0 hoặc (2) ⇒
 B(−4; −1)


(1) hoặc MB = −3MA (2)

 A ( 0; −1)
⇒ (d ) : x − y − 1 = 0

 B(4;3)

Bài 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi
qua M và cắt hai đường thẳng d1 : 3x − y − 5 = 0, d2 : x + y − 4 = 0 lần lượt tại A, B sao cho
2 MA – 3MB = 0 .

Lời giải:
Giả sử A(a;3a − 5) ∈ d1 , B(b;4 − b) ∈ d2 .
2 MA = 3MB (1)
Vì A, B, M thẳng hàng và 2 MA = 3MB nên 
2 MA = −3MB (2)

5
 5 5

2(a − 1) = 3(b − 1)
+) (1) ⇔ 
⇔ a = 2 ⇒ A  ;  , B(2;2) . Suy ra d : x − y = 0 .
2(3a − 6) = 3(3 − b)
2 2
b = 2
2(a − 1) = −3(b − 1)
a = 1
+) (2) ⇔ 
⇔
⇒ A(1; −2), B(1;3) . Suy ra d : x − 1 = 0 .
2(3a − 6) = −3(3 − b)
b = 1
Vậy có d : x − y = 0 hoặc d : x − 1 = 0 .
Bài 4: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình
1
2 x – y + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A và tạo với d một góc α có cosα =
.
10
Lời giải:

PT đường thẳng (∆) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = 0 ⇔ ax + by – 2a + b = 0 (a2 + b2 ≠ 0)
Ta có: cos α =

2a − b
2

2

5(a + b )

=

1
10

⇔ 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 ⇒ b = 1; b = 7.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

⇒ (∆1): x + y – 1 = 0 và (∆2): x + 7y + 5 = 0
Bài 5: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 2 x + 3y + 4 = 0 .
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 450 .
Lời giải:
PT đường thẳng (∆) có dạng: a( x – 2) + b( y − 1) = 0 ⇔ ax + by – (2a + b) = 0 (a2 + b2 ≠ 0) .
Ta có: cos 450 =

2a + 3b
2

2

 a = 5b
⇔ 5a2 − 24ab − 5b2 = 0 ⇔ 
5a = − b

13. a + b
+) Với a = 5b . Chọn a = 5, b = 1 ⇒ Phương trình ∆ : 5 x + y − 11 = 0 .
+) Với 5a = −b . Chọn a = 1, b = −5 ⇒ Phương trình ∆ : x − 5y + 3 = 0 .
Bài 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x − y − 2 = 0 và điểm I(1;1) . Lập

phương trình đường thẳng ∆ cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng

0

45 .

Lời giải:
Giả sử phương trình đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ≠ 0) .
Vì (d , ∆) = 450 nên

2a − b
a2 + b2 . 5

=

1

 a = 3b
⇔
 b = −3a
2
4+c

c = 6
= 10 ⇔ 
c = −14
10
−2 + c
 c = −8
+) Với b = −3a ⇒ ∆: x − 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; ∆) = 10 ⇔
= 10 ⇔ 
c = 12
10

+) Với a = 3b ⇒ ∆: 3 x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; ∆) = 10 ⇔

Vậy các đường thẳng cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3 x + y − 14 = 0 ; x − 3y − 8 = 0; x − 3y + 12 = 0 .

Bài 7: [ĐVH]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng ∆: 2 x + 3y + 4 = 0 . Tìm điểm
B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau góc 450 .
Lời giải:
 x = 1 − 3t
∆ có PTTS: 

và VTCP u = (−3;2) . Giả sử B(1 − 3t; −2 + 2t ) ∈ ∆ .
 y = − 2 + 2t

 15
t = 13
1
AB.u
1
2
0
( AB, ∆) = 45 ⇒ cos( AB; u) =
⇔
=
⇔ 169t − 156t − 45 = 0 ⇔ 
.
AB. u
2
2
t = − 3
13

 32 4 
 22 32 
Vậy các điểm cần tìm là: B1  − ;  , B2  ; −  .
 13 13 
 13 13 
Bài 8: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 3y − 6 = 0 và điểm N(3; 4) .
15
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng
.

2
Lời giải:
Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: 4 x − 3y = 0 . Giả sử M (3m + 6; m) ∈ d .
2S
1
Khi đó ta có S∆ONM = d ( M , ON ).ON ⇔ d ( M , ON ) = ∆ONM = 3
2
ON
4.(3m + 6) − 3m
−13
⇔
= 3 ⇔ 9m + 24 = 15 ⇔ m = −1; m =
5
3
+) Với m = −1 ⇒ M (3; −1)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

+) Với m =

Facebook: Lyhung95


−13
−13 
⇒ M  −7;


3
3 


Bài 9: [ĐVH]. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x − 2 y + 2 = 0 . Tìm trên
đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC.
Lời giải:
Giả sử B(2b − 2; b), C (2c − 2; c) ∈ d .
2 6
2 5
5
Vì ∆ABC vuông ở B nên AB ⊥ d ⇔ AB.ud = 0 ⇔ B  ;  ⇒ AB =
⇒ BC =
5
5
 5 5
c = 1 ⇒ C (0;1)
5
1
2
BC =
125c − 300c + 180 =
⇔ 
4 7
7
c = ⇒ C  ; 
5
5
5
 5 5


Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3; –2), có diện tích bằng 3/2 và
trọng tâm G thuộc đường thẳng ∆ : 3 x – y – 8 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C.
Lời giải:
 5 5
Ta có: AB = 2 , trung điểm M  ; −  . Phương trình AB: x − y − 5 = 0 .
2 2
1
3
3
S ABC = AB.d (C , AB) = ⇒ d (C , AB) =
.
2
2
2

Gọi G(t;3t − 8) ∈ ∆ ⇒ d (G, AB) =

1

⇒

t − (3t − 8) − 5

=

1

t = 1
⇔ 

t = 2
2

2
2
+) Với t = 1 ⇒ G(1; –5) ⇒ C(–2; –10)
+) Với t = 2 ⇒ G(2; –2) ⇒ C(1; –1)
Bài 11: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x + 2 y − 3 = 0 và hai điểm
A(−1;2) , B(2;1) . Tìm toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2.
Lời giải:

AB = 10 , C (−2a + 3; a) ∈ d. Phương trình đường thẳng AB : x + 3y − 5 = 0 .
a−2
1
1
a = 6
AB.d (C , AB) = 2 ⇔
10.
=2 ⇔ 
2
2
 a = −2
10
+) Với a = 6 ta có C (−9;6)
+) Với a = −2 ta có C (7; −2) .
Bài 12: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm G(2;1) và hai đường thẳng

S∆ ABC = 2 ⇔

d1 : x + 2 y − 7 = 0 , d2 : 5x + y − 8 = 0 . Tìm toạ độ điểm B ∈ d1, C ∈ d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G

làm trọng tâm, biết A là giao điểm của d1, d2 .
Lời giải:
 x + 2y − 7 = 0
x = 1
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
⇔ 
⇒ A(1;3) .
5
x
+
y
−
8
=
0

y = 3
Giả sử B(7 − 2b; b) ∈ d1; C (c;8 − 5c) ∈ d2 .

x A + x B + xC
 xG =
2 b − c = 2
b = 2
3
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên: 
⇒ 
⇒
.
b − 5c = −8
c = 2

 y = y A + yB + yC
 G
3
Vậy: B(3;2), C (2; −2) .
Bài 13: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường
thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 . Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Lời giải:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

7 1
9
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ H là hình chiếu của A trên ∆ ⇒ H  ; −  ⇒ AH =
2 2
2
1
Theo giả thiết: S∆ ABC = 18 ⇒ BC. AH = 18 ⇒ BC = 4 2 ⇒ HB = HC = 2 2 .
2

11
3
x − y − 4 = 0
x
=
;
y

=


2
2
2
2
Toạ độ các điểm B, C là các nghiệm của hệ: 
⇔ 
7 
1
3
x
−
+
y
+
=
8
 


x = ; y = − 5
2 
2


2
2
 11 3   3 5 

3 5
 11 3 
Vậy B  ;  , C  ; −  hoặc B  ; −  , C  ;  .
 2 2 2 2
2 2
 2 2
Bài 14: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 4) . Đường thẳng ∆ qua
trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình 4 x − 6 y + 9 = 0 ; trung điểm của cạnh BC nằm trên đường
thẳng d có phương trình: 2 x − 2 y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết rằng tam giác ABC có diện tích
7
bằng
và đỉnh C có hoành độ lớn hơn 1.
2
Lời giải:
 40 31 
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆, ta tính được A '  ;  ⇒ BC : 2 x − 3y + 1 = 0
 13 13 
5 
Ta gọi M là trung điểm của BC, thì M là giao của đường thẳng d và BC nên M  ;2  .
2 
 3t − 1 
1
7 1 7
Giả sử C 
; t  ∈ (BC ) . Ta có S∆ ABC = d ( A; BC ).BC ⇔ =
.BC ⇔ BC = 13
2
2 2 13
 2


2

 3t − 6 
13
13
t = 3
C (4;3)
2
⇔ CM =
⇔ 
⇔
⇔
⇒ B(1;1) .
 + (t − 2) =
2
 2 
2
t = 1
C (1;1) (loaïi)
Vậy: B(1;1) , C (4;3) .

Bài 15: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + 5 = 0 ,

d2 : 3 x + y + 1 = 0 và điểm I (1; −2) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và
B sao cho AB = 2 2 .
Lời giải:
+) Giả sử A(a; −3a − 5) ∈ d1; B(b; −3b − 1) ∈ d2 ; IA = (a − 1; −3a − 3); IB = (b − 1; −3b + 1)
b − 1 = k (a − 1)
I, A, B thẳng hàng ⇒ IB = kIA ⇔ 
−3b + 1 = k (−3a − 3)

+) Nếu a = 1 thì b = 1 ⇒ AB = 4 (không thoả).
b −1
+) Nếu a ≠ 1 thì −3b + 1 =
(−3a − 3) ⇔ a = 3b − 2
a −1
2

AB = (b − a)2 + 3(a − b) + 4  = 2 2 ⇔ t 2 + (3t + 4)2 = 8 (với t = a − b ).
2
5
+) Với t = −2 ⇒ a − b = −2 ⇒ b = 0, a = −2 ⇒ ∆ : x + y + 1 = 0
−2
−2
4
2
⇒ a−b =
⇒ b = , a = ⇒ ∆ : 7x − y − 9 = 0
+) Với t =
5
5
5
5
⇔ 5t 2 + 12t + 4 = 0 ⇔ t = −2; t = −

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

07. XỬ LÍ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có tọa độ đỉnh B(3; 5) , phương trình
đường cao hạ từ đỉnh A và đường trung tuyến hạ từ đỉnh C lần lượt là d1 : 2x – 5y + 3 = 0 và d2 : x + y – 5 =
0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C của tam giác ABC.
Lời giải :
 5b − 3 
Gọi M là trung điểm AB thì M ∈ d2 nên M (a;5 − a) . Đỉnh A ∈ d1 nên A 
;b .
 2


 x + xB = 2 x M
4a − 5b = 3
a = 2
⇒ A(1; 1).
M là trung điểm AB:  A
⇔
⇔
2 a + b = 5
b = 1
 y A + yB = 2 y M
Phương trình BC: 5x + 2 y − 25 = 0 ; C = d2 ∩ BC ⇒ C(5; 0).
Ví dụ 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –4). Phương trình
đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là d1 : x + y − 1 = 0 và

d2 : 3 x − y − 9 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.
Lời giải :

Gọi C (c;3c − 9) ∈ d2 và M là trung điểm của BC ⇒ M (m;1 − m) ∈ d1 .
 2m − c + 3 7 − 2m − 3c 
⇒ B(2m − c;11 − 2m − 3c) . Gọi I là trung điểm của AB, ta có I 
;
.


2
2
2m − c + 3 7 − 2m − 3c
Vì I ∈ (d2 ) nên 3.
−
− 9 = 0 ⇔ m = 2 ⇒ M(2; −1)
2
2
⇒ Phương trình BC: x − y − 3 = 0 . C = BC ∩ d2 ⇒ C (3; 0) ⇒ B(1; −2) .

Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường
trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC.
Lời giải :
Gọi C (c; 2c + 3) và I (m;6 − m) là trung điểm của BC. Suy ra: B(2m − c; 9 − 2m − 2c) .
 2m − c + 5 11 − 2m − 2c 
Vì C’ là trung điểm của AB nên: C ' 
;
 ∈ CC '
2
2



 2m − c + 5  11 − 2m − 2c
 5 41 
5
nên 2 
+3 = 0 ⇒ m = − ⇒ I − ; .
−

2

2
6
 6 6 
 14 37 
 19 4 
Phương trình BC: 3 x − 3y + 23 = 0 ⇒ C  ;  ⇒ B  − ;  .
 3 3 
 3 3

Ví dụ 4: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1) . Đường cao BH có
phương trình x − 3y − 7 = 0 . Đường trung tuyến CM có phương trình x + y + 1 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh
B, C. Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải :
AC qua A và vuông góc với đường cao BH ⇒ ( AC ) : x − 3y − 7 = 0 .
 x − 3y − 7 = 0
⇒ C(4; −5) .
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 
x + y + 1 = 0
2 + xB
1 + yB
2 + x B 1 + yB

Trung điểm M của AB có: x M =
; yM =
. M ∈ (CM ) ⇒
+
+1 = 0 .
2
2
2
2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 x − 3y − 7 = 0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:  2 + x B 1 + yB
⇒ B(−2; −3) .
 2 + 2 + 1 = 0
 14 7 
 x − 3y − 7 = 0
Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: 
⇒ H  ;− .
 5 5
3x + y − 7 = 0

BH =

8 10
1
1
8 10
; AC = 2 10 ⇒ S ∆ ABC = AC.BH = .2 10.
= 16 (đvdt).
5
2
2
5

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có B(2; –7), phương trình đường cao qua A là 3x + y + 11 = 0, phương
trình trung tuyến vẽ từ C là x + 2y + 7 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với M(–2; 2) là trung điểm của BC,
cạnh AB có phương trình x – 2y – 2 = 0, cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh
của tam giác ABC.

Bài 3: [ĐVH]. Cho tam giác ABC, có trọng tâm G và phương trình hai cạnh AB, AC tương ứng. Hãy tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác khi G(–2; –1), AB: 4x + y + 15 = 0; AC: 2x + 5y + 3 = 0.
Bài 4: [ĐVH]. Tam giác ABC, B(2; –1), đường cao AH: x – 2y + 3 = 0, đường trung tuyến AM: x – 1 = 0.
Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 5: [ĐVH]. Tam giác ABC, B(3; 5), đường cao AH: 2x – 5y + 3 = 0, đường trung tuyến CM: x + y – 5 =
0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 6: [ĐVH]. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3; 5), đường cao và đường trung
tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình là d1: 5x + 4y – 1 = 0, d2: 8x + y – 7 = 0.

Bài 7: [ĐVH]. Tam giác ABC, A(4; 6), phương trình đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C có phương
trình: 2x – y + 13 = 0, 6x – 13y + 29 = 0. Tìm tọa độ của B, C.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

08. XỬ LÍ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM
 17

và phân giác trong BD. Biết H (−4;1), M  ;12  và BD có phương trình x + y − 5 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh A
 5

của tam giác ABC.
Lời giải :
Đường thẳng ∆ qua H và vuông góc với BD có PT: x − y + 5 = 0 . ∆ ∩ BD = I ⇒ I (0;5)
Giả sử ∆ ∩ AB = H ' . ∆ BHH ' cân tại B ⇒ I là trung điểm của HH ' ⇒ H '(4;9) .
4

Phương trình AB: 5 x + y − 29 = 0 . B = AB ∩ BD ⇒ B(6; −1) ⇒ A  ;25 
5

Ví dụ 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình
đường phân giác trong (AD): x + 2 y − 5 = 0 , đường trung tuyến (AM): 4 x + 13y − 10 = 0 . Tìm toạ độ đỉnh B.

Lời giải :
Ta có A = AD ∩ AM ⇒ A(9; –2). Gọi C′ là điểm đối xứng của C qua AD ⇒ C′ ∈ AB.
x −9 y+2
Ta tìm được: C′(2; –1). Suy ra phương trình (AB):
=
⇔ x + 7y + 5 = 0 .
2 − 9 −1 + 2
Viết phương trình đường thẳng Cx // AB ⇒ (Cx): x + 7 y − 25 = 0
Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là
M(−1;2) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; −1) . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình
2 x + y + 1 = 0 . Tìm toạ độ đỉnh C.
Lời giải :
PT đường thẳng AB qua M và nhận MI = (3; −3) làm VTPT: ( AB) : x − y + 3 = 0 .
 4 5
x − y + 3 = 0
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
⇒ A − ;  .
 3 3
2 x + y + 1 = 0
 2 7
M(−1;2) là trung điểm của AB nên B  − ;  .
 3 3


2
 x = − 3 + 2t
Đường thẳng BC qua B và nhận n = (2;1) làm VTCP nên có PT: 
y = 7 + t
3


 2
7 
Giả sử C  − + 2t; + t  ∈ ( BC ) .
3 
 3
2
2
2
2
t = 0 (loaïi vì C ≡ B)

8   10   8   10 
Ta có: IB = IC ⇔  2t −  +  t +  =   +   ⇔  4
3 
3   3  3 
t =

 5
 14 47 
Vậy: C  ;  .
 15 15 
Ví dụ 4: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương
trình d1: 3x – 4 y + 27 = 0 , phân giác trong góc C có phương trình d2: x + 2 y – 5 = 0 . Tìm toạ độ điểm A.
Lời giải :

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

x − 2 y +1
=
⇒ Toạ độ điểm C(−1;3)
3
−4
+) Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2.
x − 2 y +1
⇒ phương trình BB’:
=
⇔ 2x − y − 5 = 0
1
2
2 x − y − 5 = 0
x = 3
+) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: 
⇔
⇒ I (3;1)
x
y
+
2
−
5
=
0

y = 1
 x = 2 x I − xB = 4

+) Vì I là trung điểm BB’ nên:  B '
⇒ B′ (4;3)
 yB ' = 2 yI − y B = 3

Phương trình BC:

+) Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0.
y − 3 = 0
 x = −5
+) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
⇔
⇒ A(−5;3)
3x − 4 y + 27 = 0
y = 3
Ví dụ 5: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường
cao CH lần lượt có phương trình x + y − 2 = 0 , x − 2 y + 5 = 0 . Điểm M(3; 0) thuộc đoạn AC thoả mãn
AB = 2 AM . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Lời giải :
Gọi E là điểm đối xứng của M qua AD ⇒ E(2; −1) .
Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH ⇒ ( AB) : 2 x + y − 3 = 0 .
2 x + y − 3 = 0
⇒ A(1;1) ⇒ PT ( AM ) : x + 2 y − 3 = 0
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
x + y − 2 = 0
Do AB = 2 AM nên E là trung điểm của AB ⇒ B(3; −3) .
 x + 2y − 3 = 0
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 
⇒ C(−1;2)
 x − 2y + 5 = 0
Vậy: A(1;1) , B(3; −3) , C(−1;2) .

Ví dụ 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết
đỉnh C (3; −1) và phương trình của cạnh huyền là d : 3 x − y + 2 = 0 .
Lời giải :
Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên ∆ABC vuông cân tại C. Gọi I là trung điểm
của AB . Phương trình đường thẳng CI: x + 3y = 0 .
 3 1
72
I = CI ∩ AB ⇒ I  − ;  ⇒ AI = BI = CI =
5
 5 5


3
19
3x − y + 2 = 0
 A, B ∈ d
x= ;y=



2
2
5
5
Ta có: 
72 ⇔ 
3 
1
72 ⇔ 
9

 AI = BI = 5
 x + 5  +  y − 5  = 5
 x = − ; y = − 17

 


5
5

 3 19   9 17 
Vậy toạ độ 2 đỉnh cần tìm là:  ;  ,  − ; −  .
5 5   5 5 
Ví dụ 7: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ ABC , với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân
giác trong BD: x + y − 2 = 0 và phương trình đường trung tuyến CE: x + 8y − 7 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C.
Lời giải :
 b +1 1+ b 
Gọi E là trung điểm của AB. Giả sử B(b;2 − b) ∈ BD ⇒ E 
;−
 ∈ CE ⇒ b = −3
2 
 2
⇒ B(−3;5) . Gọi A′ là điểm đối xứng của A qua BD ⇒ A′ ∈ BC. Tìm được A′(5; 1)
 x + 8y − 7 = 0
⇒ Phương trình BC: x + 2 y − 7 = 0 ; C = CE ∩ BC : 
⇒ C (7; 0) .
 x + 2y − 7 = 0
Ví dụ 8: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

CH : x − y + 1 = 0 , phân giác trong BN : 2 x + y + 5 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác
ABC.
Lời giải :
Do AB ⊥ CH nên phương trình AB: x + y + 1 = 0 .

2 x + y + 5 = 0
 x = −4
⇒ B(−4;3) .
+) B = AB ∩ BN ⇒ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: 
⇔
y = 3
 x + y +1 = 0
+) Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A ' ∈ BC .
Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x − 2 y − 5 = 0 .
2 x + y + 5 = 0
Gọi I = (d ) ∩ BN . Giải hệ: 
. Suy ra: I(–1; 3) ⇒ A '(−3; −4)
 x − 2y − 5 = 0
 13 9 
+) Phương trình BC: 7 x + y + 25 = 0 . Giải hệ:  BC : 7 x + y + 25 = 0 ⇒ C  − ; −  .
 4 4

 CH : x − y + 1 = 0
2
2

7.1 + 1(−2) + 25

13  
9
450
+) BC =  −4 +  +  3 +  =
, d ( A; BC ) =
=3 2.
2
2

4 
4
4
7 +1

1
1
450 45
d ( A; BC ).BC = .3 2.
= .
2
2
4
4
Ví dụ 9: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối B - 2010)

Suy ra: S ABC =

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có C(–4; 1) phân giác trong góc A có

phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình BC biết diện tích tam giác là 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Đ/s: B(4; 7), BC: 3x – 4y – 16 = 0
Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có M(1; –2) là trung điểm AB, trục Ox là phân giác góc A, đỉnh B, C
thuộc đường thẳng đi qua N(–3; 0) và P(0; 2). Tìm tọa độ ba đỉnh A, B, C và diện tích tam giác ABC.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD: x – y = 0, đường cao CH: 2x + y + 3 = 0, cạnh AC
qua M(0; –1),
AB = 2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 2: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ B và phân giác góc A là x – 2y – 2 = 0 , x – y – 1 = 0,
điểm M(0; 2) thuộc AB và AB = 2AC. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác
Đ/s: B(0; 1), C(3; 1)
Bài 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác từ A, trung tuyến từ B, đường
cao từ C có phương trình lần lượt là x + y − 3 = 0; x − y + 1 = 0; 2 x + y + 1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh tam giác
 12 39   32 49   8 16 
Đ/s: A  ;  , B  ;  , C  − ;  .
 17 17   17 17   17 17 

Bài 4: [ĐVH]. Tam giác ABC có A(7; 9), trung tuyến CM: 3x + y – 15 = 0, đường phân giác trong BD: x +
7y – 20 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 5: [ĐVH]. Xác định toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết C(4; 3) và đường phân giác trong, trung tuyến
kẻ từ A lần lượt có phương trình x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0.
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!