Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 7 - Số phức - Tổ hợp)

1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

00. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A
có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương
án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và
ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
Bài 1: [ĐVH]. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
Đ/s: a) 66

b) 6!

c) 3.5! = 360

Bài 2: [ĐVH].
a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
Đ/s: a) 3125.

b) 168.

c) 20

d) 900.

e) 180000.

Bài 3: [ĐVH]. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Gồm 2 chữ số?
b) Gồm 2 chữ số khác nhau?
c) Số lẻ gồm 2 chữ số?
d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?
e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
Đ/s: a) 25.
e) 120.

b) 20.

c) 15

d) 8.

f) 24.

Bài 4: [ĐVH]. Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a) Khác nhau?
b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Đ/s: a) 100.

b) 60.

c) 36

Facebook: LyHung95

d) 52.

e) 48.

Bài 5: [ĐVH].
a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 ,
500).
Đ/s: a) 35.

b) 24.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

00. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Bài 1: [ĐVH]. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt không
bắt đầu bởi 123.
Đ/s: 3348 số
Bài 2: [ĐVH]. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số phân biệt nhỏ hơn 600000.
Đ/s: 36960 số
Bài 3: [ĐVH]. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn
45000.
Đ/s: 90 số
Bài 4: [ĐVH]. Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt nhỏ hơn 278.
Đ/s: 20 số
Bài 5: [ĐVH]. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số phân biệt thuộc X và
lớn hơn 4300.
Đ/s: 75 số
Bài 6: [ĐVH]. Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000, gồm 4 chữ số phân biệt.
Đ/s: 1288 số
Bài 7: [ĐVH]. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt không
chia hết cho 10.

Đ/s: 1260 số
Bài 8: [ĐVH]. Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số chẵn.
Đ/s: 45.105 số
Bài 9: [ĐVH]. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.
Đ/s: 50000 số
Bài 10: [ĐVH]. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao số gồm 3 chữ số phân biệt không chia hết cho 3.
Đ/s: 60 số
Bài 11: [ĐVH]. Có bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt nhỏ hơn 547.
Đ/s: 165 số
Bài 12: [ĐVH].
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số và chia hết cho 5.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đều là số chẵn.
c) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó các chữ số đều cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau
(số có dạng abcdcba ).
Đ/s:

a) 28560 số

b) 100 số

c) 9000 số

Bài 13: [ĐVH]. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số, trong đó:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) Có một chữ số 1?
b) Có chữ số 1 và các chữ số phân biệt?
Đ/s:

a) 1225 số

b) 750 số

Bài 14: [ĐVH]. Từ các chữ số của tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập được nhiêu số tự nhiên gồm:
a) 5 chữ số có năm chữ số
b) 4 chữ số đôi một khác nhau
c) 6 chữ số đôi một khác nhau và là một số tự nhiên chẵn.
d) 7 chữ số đôi một khác nhau và tổng ba chữ số đầu bằng tổng bốn chữ số cuối
e) 5 chữ số đôi một khác nhau và không vượt quá 52134.
Đ/s:

a) 16807 số

b) 840 số

d) 576 số

e) 1501 số

c) 2160 số

Bài 15: [ĐVH]. Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số của tập A =
{0, 1, 2, 4, 5, 6, 8}.
Đ/s: 520 số
Bài 16: [ĐVH]. Từ các số của tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Sáu chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
b) Năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời 2 chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau.
c) Bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần.
Đ/s: a) 720 số

b) 720 số

c) 30240

Bài 17: [ĐVH]. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?
Đ/s: 880 số
Bài 18: [ĐVH]. Từ các chữ số của tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} lập được bao số tự nhiên gồm 4 chữ số khác
nhau sao cho 2 chữ số 1, 2 không đứng cạnh nhau.
Đ/s: 240 số
Bài 19: [ĐVH]. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó có đúng ba chữ số lẻ khác nhau, có đúng 3
chữ số chẵn khác nhau đồng thời mỗi chữ số chẵn xuất hiện đúng 2 lần.
Đ/s: 34020 số
Bài 20: [ĐVH]. Có bao nhiêu số có 5 chữ số lớn hơn 21300 sao cho các chữ số của nó là phân biệt và lấy từ
các chữ số {1, 2, 3, 4, 5}.
Đ/s: 96 số
Bài 21: [ĐVH]. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt chữ số 1 và 2.
Đ/s: 6216 số

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = –1.
Trong đó:
i là đơn vị ảo.
a được gọi là phần thực của số phức
b được gọi là phần ảo của số phức
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức kí hiệu là C.
Chú ý:
♦ Số phức z là số thực nếu b = 0, khi đó z = a.
♦ Số phức z là số ảo (hay số thuần ảo) nếu a = 0, khi đó z = bi.
a = a '
♦ Hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b ' i nếu 
b = b '

( )

♦ Với i là đơn vị ảo ta có: i 2 = −1; i 3 = i 2 .i = −i; i 4 = i 2

2

= 1; i 5 = i 4 .i = i...

Từ đó suy ra i 4 n + i 4 n +1 + i 4 n + 2 + i 4 n + 3 = 0
Ví dụ: Tính tổng S = 1 + i + i 2 + i 3 + ... + i 2012 .
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau
a) z = 2 + 3i
b) z = 4i

c) z = –1

d) z = 2 − 2i

f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i)

2

2

e) z = (1 + i) – (1 – i)
Hướng dẫn giải:

Theo định nghĩa số phức ta có
a) z = 2 + 3i ⇒ a = 2; b = 3
b) z = 4i ⇒ a = 0; b = 4
c) z = –1 ⇒ a = –1; b = 0
d) z = 2 − 2i ⇒ a = 2; b = −2
e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức đã cho về dạng rút gọn.

(

) (

)

Ta có (1 + i ) − (1 − i ) = 1 + 2i + i 2 − 1 − 2i + i 2 = 2i − ( −2i ) = 4i ⇒ a = 0; b = 4 , (do i2 = –1 )
2

2

f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = 9 – 2i ⇒ a = 9; b = –2.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các số thực x và y, biết:
a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i
b) (1 − 3 x ) + ( y + 1) i = ( x + y ) − ( 2 x + 1) i
Hướng dẫn giải:
a = a '
Ta biết rằng hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b ' i nếu 
b = b '
2 x + 1 = x + 2
x = 1
a) Ta có 
⇒
3 y − 2 = y + 4  y = 2
3

1 − 3 x = x + y
4 x + y = 1
x =
b) Ta có 
⇔
⇒
2
 y + 1 = − ( 2 x + 1)
2 x + y = −2  y = −5


Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho z = ( 3a + 2 ) + ( b − 4 ) i . Tìm các số a, b để:
a) z là số thực

b) z là số thuần ảo
Hướng dẫn giải:

a) z là số thực khi b – 4 = 0, hay b = 4.
b) z là số thuẩn ảo khi 3a + 2 = 0, hay a = –2/3
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài tập áp dụng:
Bài 1: [ĐVH]. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức:
1. z = −3 + 5i
2. z = − 2i
3. z = 12
4. z = 0
5. z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i).
6. z = (1 + i)2 – (1 – i)2
7. z = (2 + i)3 – (3 – i)3.
8. z = (3 – 5i) + (2 + 4i)
9. z = (11 – 6i) – (2 – 4i)
10. z = (2 + i) – (1 + 4i)
Bài 2: [ĐVH]. Cho z = ( 2a − 1) + ( 3b + 5 ) i với a, b ∈ R . Tìm các số a, b để:
1. z là số thực
Bài 3: [ĐVH]. Tìm các số thực x và y, biết:
1. ( 2x + 1) + 5i = −4 + ( 3y − 2 ) i

(

2. z là số thuần ảo

)

2. x − 2 − 4i = 3 − ( y + 1) i
2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) (hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (hay còn
gọi là mặt phẳng phức)
Trong đó:
- Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a.
- Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho các số phức 2 + 3i; 3; –i; –1 + 2i có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C, D
a) Chứng minh rằng ABCD là một hình bình hành
b) Tâm I của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào?

3. MODULE CỦA SỐ PHỨC
Khái niệm:
Cho số phức z = a + bi, module của số phức z kí hiệu là |z| và được tính theo biểu thức: z = a 2 + b 2
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính module của các số phức sau
1. z = 1 + 3i
2. z = 2i

3. z = 3 − i
4. z = ( 2 + i ) + (1 + 2i )
2

2

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức z = a + b ta có
2

2

1. z = 1 + 3i ⇒ z = 1 + 9 = 10
2. z = 2i ⇒ z = 4 = 2
3. z = 3 − i ⇒ z = 3 + 1 = 2

(

) (

)

4. z = ( 2 + i ) + (1 + 2i ) = 4 + 2i + i 2 + 1 + 4i + 4i 2 = ( 3 + 2i ) + ( 4i − 3) = 6i ⇒ z = 6
2

2

4. SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Khái niệm:
Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của số phức z kí hiệu là z và được tính theo biểu thức: z = a − bi
Chú ý:
+ Các điểm M(a ; b) và M’(a ; –b) biểu diễn các số phức z và z đối xứng nhau qua trục Ox.
+ Các số phức z và z có module bằng nhau: z = z = a 2 + b 2

Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau và tính module của chúng
1. z = 2 – 5i

2. z = 7i
3. z = 6 + i
4. z = 3 − 2i
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Hướng dẫn giải:
Áp dụng z = a − bi , ta được :
1. z = 2 − 5i ⇒ z = 2 + 5i ⇒ z = 4 + 25 = 29
2. z = 7i ⇒ z = −7i ⇒ z = 49 = 7
3. z = 6 + i ⇒ z = 6 − i ⇒ z = 36 + 1 = 37
4. z = 3 − 2i ⇒ z = 3 + 2i ⇒ z = 3 + 4 = 7

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Tính z + z ', z − z ', z.z ' với
1) z = 5 + 2i , z ' = 4 + 3i

2) z = 2 − 3i , z ' = 6 + 4i

3) z = −4 − 7i , z ' = 2 − 5i

4) z = 1 + i 3 , z ' = − 3 + 2i

Bài 2: [ĐVH]. Thực hiện các phép tính sau :
1) (1 − i )

2) ( 2 + 3i )

2

3) (1 + i ) + 3i

4) (1 + i )

3

2

2010

Bài 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số:
1) z =

1
(1 + i )( 4 − 3i )

 7 − 2i 
3) z = 

 8 − 6i 
1
5) z =
2 − 3i

2) z =

−5 + 6i
4 + 3i

4) z =

3 − 4i
4−i
1

6) z =

3 − 2i
i
4i
9) z =
1− i
(2 + i)(12i) (2i)(1 + 2i)
11) z =
+
2i
2+i
1
3
1
Bài 4: [ĐVH]. Cho z = − +
i . Hãy tính: , z , z 2 , z
2 2
z

1

3
−
i
2 2
2+i
8) z =
5i
1 + 2i 12i
+
10) z =
12i 1 + 2i

7) z =

()

3

, 1 + z + z2 .

Bài 5: [ĐVH]. Tính modun, tìm số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
1) z =

1
2 + 3i

2) z =

4 + 5i
i

3) z =

4 − 3i
2−i

4) z =

1 − 2i
2+i

5) z = (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i)

6) z =

1
(1 + 2i )( 3 − i )

7) z =

2 + 3i
( 4 + i )( 2 − 2i )

8) z =

5 + 5i
20
+
3 − 4i 4 + 3i

9) z =

3 + 7i 5 − 8i
+
2 + 3i 2 − 3i

10) z =

11) z =

(3 − 2i)(4 + 3i)
+ 5 − 4i
1 − 2i

12) z =

3 + 2i + (2 − i)(4 − 3i)
2+i
2
( 3 − 2i ) (1 − i )
1+ i

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
13)

( 3 + 2i )(1 − 3i ) +
z=

1 + 3i

Facebook: LyHung95

(1 + 2i ) − (1 − i )
z=
3
2
( 3 + 2i ) − ( 2 + i )
2

(2 − i)

14)

3

1
10
1+ i 
16) z = 
 + (1 − i ) + ( 2 + 3i )( 2 − 3i ) +
i
1− i 
33

1
1
15) z =  i 7 − 7 
2i 

i 

1+ i   1− i 
18) z = 
 +

1− i  1+ i 
Bài 6: [ĐVH]. Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo,

17) z = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i )
2

3

8

8

20

môđun, số phức đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

1) z = z1 + z 2 + z3

2) z = z1z2 + z 2 z3 + z3z1

3) z = z1z 2 z3

4) z = z12 + z 22 + z32

5) z =

z1 z 2 z 3
+ +
z 2 z 3 z1

6) z =

z12 + z 22
z 22 + z32

Bài 7: [ĐVH]. Tính z1 + z 2 , z1 − z 2 , z1.z 2 , z1 − 2z 2 , 2z1 + z 2 , biết:
1) z1 = −5 + 6i, z 2 = 1 − 2i
2) z1 = 3 + 2i, z 2 = 4 − 3i
1
1 1
3) z1 = − + i, z 2 = − + i
2
3 2

Bài 8: [ĐVH]. Tìm các số thực x, y thoả mãn:
a) x(2 − 3i)2 + (2 y + 1)(1 + i)3 = −5(7 + 10i)
b) (2 x + i)(3 + i)2 − ( x − 2 y)(i − 2)3 = 18 + 76i
c) (2 x + 1)(2 − i)3 − y (−3 + 2i)(2 − 3i) = 6 − 85i
Bài 9: [ĐVH]. Tìm số phức z thoả mãn:
a) iz + z − i = 0

b) (3 − 2i) z = 1 − i + 4 z

c) (1 − 5i) z + 10 + 2i = 1 − 5i

Bài 10: [ĐVH]. Tìm số phức z thoả mãn:
a)

z +i
+1+ i = 3 + i
1− i

b)

2 − 3i
+ 1 − 3i = 2 z − 1
1+ i

c)

2+i
−1 + 3i
z=
1− i
2+i

Bài 11: [ĐVH]. Cho số phức z thoả mãn z − 2 z = 3(−1 + 2i) . Tính w = z + z + z .
2

3

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC
5.1 Phép cộng, trừ hai số phức
♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i
♦ Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i
Chú ý:
Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất như phép cộng hai số thực là tính giao hoán, kết hợp.
♦ Tính chất kết hợp : ( z + z ' ) + z" = z + ( z ' + z" ) ∀z,z ' , z" ∈ ℂ
♦ Tính chất giao hoán : z + z ' = z ' + z∀z, z ' ∈ ℂ
♦ Cộng với 0 : z + 0 = 0 + z = z∀z ∈ ℂ
♦ Với mỗi số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ ) , nếu kí hiệu số phức −a − bi là –z thì ta có
z + (− z) = (− z) + z = 0
Số –z được gọi là số đối của số phức z
Ví dụ. Thực hiện phép cộng, trừ các số phức sau
1. z = 2+ 3i ; z’ = 5 – 2i
2. z = –5 + 2i ; z’ = 3i
3. z = 2 – 3i ; z’ = 2 – i
Hướng dẫn giải:
'
'
'
Áp dụng công thức z + z = (a + a ) + (b + b )i ; z − z ' = (a − a ' ) + (b − b ' )i , ta có
1. z + z ' = (2 + 5) + (3 − 2)i = 7 + i ; z − z ' = (2 − 5) + (3 + 2)i = −3 + 5i

2. z + z ' = −5 + (3 + 2)i = −5 + 5i ; z − z ' = −5 + (2 − 3)i = −5 − i
3. z + z ' = (2 + 2) − (3 + 1)i = 4 − 4i ; z − z ' = (2 − 2) + (−3 + 1)i = −2i
5.2 Phép nhân hai số phức
♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi đó số phức w = z.z’ được tính bằng công thức : w = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i
Nhận xét :
Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b ∈ ℝ) , ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi
0z = 0 với mọi số phức z
Chú ý: Phép nhân các số phức có đầy đủ tính chất như phép nhân các số thực
♦ Tính chất giao hoán : z.z ' = z ' .z, ∀z, z ' ∈ ℂ

♦ Tính chất kết hợp : (zz ' )z" = z(z ' z" ), ∀z, z ' , z" ∈ ℂ
♦ Nhân với 1 : 1.z = z.1 = z, ∀z ∈ ℂ
♦ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

z ( z ' + z" ) = zz ' + zz" , ∀z, z ' , z" ∈ ℂ

Ví dụ 1: [ĐVH]. Phân tích ra thừa số số phức các biểu thức sau
1. a2 + 1
2. 2a2 + 3
2
2
3. 4a + 9b
4. 3a2 + 5b2
Hướng dẫn giải:
Sử dụng i2 = –1 ta được
1. a 2 + 1 = a 2 − i 2 = (a − i)(a + i)
2. 4a 2 + 9b 2 = 4a 2 − 9b 2i 2 = (2a − 3bi)(2a + 3bi)

(

)(

3. 2a 2 + 3 = 2a 2 − 3i 2 = a 2 − 3i a 2 + 3i

)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
4. 3a 2 + 5b 2 = 3a 2 − 5b 2i 2 =

(

3a + 5bi

)(

3a − 5bi

Facebook: LyHung95

)

5.3 Phép chia cho số phức khác 0
♦ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số z −1 =

1
z

2

z

z'
♦ Thương
của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là
z
'
z
= z ' z −1
z

'
'
z ' z ' z ( a − bi ) ( a + b i )
Vậy = 2 =
với z ≠ 0
z z
( a 2 + b2 )

Nhận xét :
• Với z ≠ 0, ta có
• Thương

1
= 1.z −1 = z −1
z

z'
là số phức w sao cho zw = z’. Có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép
z

nhân
• Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Thực hiện phép chia các số phức sau
1
−5 + 6i
1. z =
2. z =
4 + 3i
(1 + i )( 4 − 3i )

 7 − 2i 
3. z = 

 8 − 6i 

4. z =

3 − 4i
4−i

Hướng dẫn giải:
1
1
7−i
7−i
7

1
1. z =
=
=
= 2 2 =
− i
(1 + i )( 4 − 3i ) 7 + i (7 + i)(7 − i) 7 − i 50 50
−5 + 6i (−5 + 6i )(4 − 3i ) −2 + 39i −2 39
=
= 2
=
+ i
4 + 3i
(4 + 3i )(4 − 3i )
4 + 32
25 25
7 − 2i (7 − 2i )(8 + 6i ) 68 + 26i 17 13
3. Tính z ′ =
=
=
=
+ i
8 − 6i (8 − 6i)(8 + 6i) 82 + 62
25 50

2. z =

 7 − 2i  17 13 17 13
V ậy z = z ′ = 
+ i=

− i
=
25 50
 8 − 6i  25 50
Nhận xét :
Ta cũng có thể giải câu này theo cách khác như sau (sử dụng tính chất của số phức):
 7 − 2i  7 − 2i 7 + 2i (7 + 2i)(8 − 6i ) 17 13
z =
=
=
=
− i
=
82 + 6 2
25 50
 8 − 6i  8 − 6i 8 + 6i
3 − 4i (3 − 4i )(4 + i ) 16 − 13i 16 13
4. z =
=
= 2
= − i
4−i
(4 − i )(4 + i )
4 + 1 17 17

6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau của số phức được xếp vào 1 nhóm:
Tính chất 1: Số phức z là số thực ⇔ z = z
Chứng minh:
Ta có : z = z ⇔ x + yi = x − yi ⇔ y = 0 ⇒ z = x . Vậy z là số thực.

Tính chất 2: Số phức z là số ảo ⇔ z = − z
Chứng minh:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ta có : z = − z ⇔ x + yi = − x + yi ⇔ x = 0 ⇒ z = yi . Vậy z là số ảo.
Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp z và module là |z|. Khi đó: zz = z

2

 z z = ( x + yi )( x − yi ) = x 2 − y 2i 2 = x 2 + y 2
2


→ zz = z
Chứng minh:  2
2
2
2
2
2
=x +y
z = x +y


(

)

♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm liên hợp:
Tính chất 4: z1 + z2 = z1 + z2
Chứng minh:
 z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i = ( x1 + x2 ) − ( y1 + y2 )i

→ z1 + z2 = z1 + z2

 z1 + z2 = x1 − y1i + x2 − y2i = ( x1 + x2 ) − ( y1 + y2 )i

Tính chất 5: z1z 2 = z1.z 2
Chứng minh:
 z1 z2 = ( x1 + y1i )( x2 + y2i) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + ( x1 y2 + x2 y1 )i = ( x1 x2 − y1 y2 ) − ( x1 y2 + x2 y1 )i

→ z1 z2 = z1 .z2

 z1.z2 = ( x1 − y1i )( x2 − y2i ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) − ( x1 y2 + x2 y1 )i
z  z
Tính chất 6:  1  = 1
 z2  z2
Chứng minh:

 z   x + y i   ( x x + y y ) − ( x y − x y )i  x x + y y
x y − x2 y1
1 2
1 2
2 1

1 2
1 2
 1  =  1 1  =  1 2
+ 1 22
i
=
2
2
2
2
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y22
z  z
 z2   x2 + y2i  


→ 1  = 1

 z2  z2
 z1 x1 − y1i ( x1 − y1i )( x2 + y2i ) x1 x2 + y1 y2 x1 y2 − x2 y1
=
=
=
+
i
2
2
2
2

z
x2 + y2
x2 + y2
 2 x2 − y2i ( x2 − y2i )( x2 + y2i )

Nhận xét :
Ngoài cách chứng minh cổ điển trên thì ta có thể sử dụng ngay một “thành quả” đã chứng minh được là tính chất số 5.
z
Thật vậy, đặt z = 1 ⇒ z1 = z.z2
z2
Theo tính chất 5 ta có: z1 = z.z2 = z.z2 ⇒ z =

z  z
z1
, hay  1  = 1 .
z2
 z2  z2

♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm module:
Tính chất 7: z1z 2 = z1 z 2
Chứng minh:
z1 z2 = ( x1 + y1i )( x2 + y2i) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + ( x1 y2 + x2 y1 )i
⇒ z1 z2 = ( x1 x2 − y1 y2 )2 + ( x1 y2 + x2 y1 )2 = ( x1 x2 ) 2 + ( x1 y2 ) 2 + ( x2 y1 ) 2 + ( y1 y2 )2 , (1)
z1 z2 = x12 + y12 . x22 + y22 = ( x1 x2 )2 + ( x1 y2 )2 + ( x2 y1 )2 + ( y1 y2 ) 2 , (2)
Từ (1) và (2) ta có (đpcm)
z
z
Tính chất 8: 1 = 1
z2
z2

Chứng minh:
z1
x + yi
( x + y i )( x − y2 i)
( x x + y1 y2 ) + ( x2 y1 − x1 y2 )i
= 1 1 = 1 1 2
= 1 2
z2
x2 + y2i ( x2 + y2i )( x2 − y2i )
x22 + y22
2
( x12 + y12 )( x22 + y22 ) = x12 + y12 (1)
xx +y y  x y −x y 
z
⇒ 1 =  1 22 12 2  +  2 21 12 2  =
2
z2
x22 + y22
 x2 + y2   ( x2 + y2 ) 
( x22 + y22 )
Nhận xét :
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
2


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Tương tự như nhận xét đã nêu ở tính chất 6, ta đặt z =
Theo tính chất 7 ta có: z1 = z.z2 = z . z2 ⇒ z =

z1

z1
⇒ z1 = z.z2
z2

, hay

z2

Facebook: LyHung95

z
z1
= 1 .
z2
z2

Tính chất 9: z1 + z2 ≤ z1 + z2
Chứng minh:
z1 + z2 ≤ z1 + z2 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 + ( y1 + y2 )2 ≤ x12 + y12 + x22 + y22
⇔ ( x1 + x2 ) 2 + ( y1 + y2 )2 ≤ x12 + x22 + x22 + y22 + 2 ( x12 + y12 )( x22 + y22 )
⇔ ( x1 x2 + y2 y1 ) ≤ ( x1 x2 ) 2 + ( x2 y1 ) 2 + ( x1 y2 )2 + ( y1 y2 ) 2
2

⇔ ( x1 y2 − x2 y1 ) 2 ≥ 0

Ví dụ 1: [ĐVH]. Thực hiện các phép tính sau :
 7 − 2i 
a. z = 

b. z = (1 + i)(3 − 2i)

 8 − 6i 
1+ i
d. z =
e. z = (5 + i)(2 − 3i)
1− i
Hướng dẫn giải:
 7 − 2i  7 − 2i 7 + 2i (7 + 2i)(8 − 6i ) 17 13
=
=
=
− i
a. z = 
=
82 + 6 2
25 50
 8 − 6i  8 − 6i 8 + 6i

c. z = (2 + 3i ) + (1 − i )

b. z = (1 + i )(3 − 2i ) = 1 + i 3 − 2i = 12 + 12 . 32 + 22 = 26
c. z = (2 + 3i ) + (1 − i ) = 2 + 3i + 1 − i = 2 − 3i + 1 + i = 3 − 2i
d. z =

1+ i 1+ i
1+1
=
=
=1

1− i 1− i
1+1

e. z = (5 + i )(2 − 3i) = 5 + i.2 − 3i = (5 − i )(2 + 3i ) = 13 + 13i
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính module của các số phức sau
z
= 3 + 2i
−1 + 3i
z
2+i
−1 + 3i
c.
− (1 + 2i ) = 5 − 6i
d.
z=
2 + 3i
1− i
2+i
Hướng dẫn giải:
Áp dụng các lớp tính chất liên quan đến module ta có:
10
a. z(1 + 2i) = −1 + 3i ⇒ z(1 + 2i) = −1 + 3i ⇔ z . 1 + 2i = 10 ⇒ z =
= 2
5
z
z
z
b.
= 3 + 2i ⇒
= 3 + 2i ⇔

= 13 ⇒ z = 13. 10 = 130
−1 + 3i
−1 + 3i
−1 + 3i

a. z(1 + 2i) = −1 + 3i

b.

c.

z
z
z
z
− (1 + 2i ) = 5 − 6i ⇔
= 6 − 4i ⇒
= 6 − 4i ⇔
= 52 = 2 13 ⇒ z = 26
2 + 3i
2 + 3i
2 + 3i
2 + 3i

d.

−1 + 3i
2+i
−1 + 3i
2+i

−1 + 3i
2+i
5
10
2 5
z=
⇒
z=
⇔
.z =
⇔
.z =
⇒z=
1− i
2+i
1− i
2+i
1− i
2+i
5
2
5

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm số phức z biết z + 2 z = ( 2 − i ) (1 − i ) (1)
3

Hướng dẫn giải:
Giả sử z = a + bi ⇒ z = a − bi
(1) ⇔ a + bi + 2(a − bi ) = (23 + 3.22 i + 3.2i 2 + i 3 )(1 − i )

⇔ a + bi + 2a − 2bi = (8 + 12i − 6 − i)(1 − i ) = (11i + 2)(1 − i)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

13

3a = 13 a =
13
⇔ 3a − bi = 11i − 11i 2 + 2 − 2i = 13 + 9i ⇔ 
⇔
3 ⇒ z = − 9i
3
 −b = 9
b = −9

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho z1 = 2 + 3i, z2 = 1 + i . Tính z1 + 3 z2 ;

z1 + z2
; z13 + 3 z2
z2

Hướng dẫn giải:
+) z1 + 3 z2 = 2 + 3i + 3 + 3i = 5 + 6i
+)

⇒

z1 + 3z2 = 52 + 62 = 61

z1 + z2 3 + 4i ( 3 + 4i )(1 − i ) 7 + i
=
=
=
z2
1+ i
1 − i2
2

⇒

z1 + z2
49 1 5 2
=
+ =
z2
4 4
2

+) z13 + 3z2 = 8 + 36i + 54i 2 + 27i 3 − 3 − 3i = −49 + 6i

⇒

z13 + 3z2 = 2437

Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm số phức z biết: z + 3 z = ( 3 − 2i ) ( 2 + i ) (1)

2

Hướng dẫn giải:
Giả sử z = a + bi, ta có:
(1) ⇔ a − bi + 3a + 3bi = ( 9 − 12i + 4i 2 ) ( 2 + i ) = ( 5 − 12i ) . ( 2 + i )
⇔ 4a + 2bi = 10 − 24i + 5i − 12i 2 = 22 − 19i ⇔ a =

11
−19
11 19
;b =
. Vậy z = − i
12
2
2 2

Ví dụ 6: [ĐVH]. Tìm phần ảo của z biết: z + 3 z = ( 2 + i ) ( 2 − i ) (1)
3

Hướng dẫn giải:
Giả sử z = a + bi
(1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( 8 + 12i + 6i 2 + i 3 ) ( 2 − i ) = ( 2 + 11i ) . ( 2 − i ) ⇔ 4a − 2bi = 4 − 2i + 22i − 11i 2 = 20i + 15
⇔a=

15
; b = −10 . Vậy phần ảo của z bằng -10
4

Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm môđun của z biết z + 2 z =

(1) ⇔ a + bi + 2a − 2bi =

(1 − i 2) (1 + 2i + i

(1 − i 2) (1 + i )

2

2−i

(1)

Hướng dẫn giải:

2

) = 2i − 2

2i 2

2−i
2−i
(2i + 2 2) ( 2 + i ) i (4 + 2 2) + 4 2 − 2
4 2 −2
−4 − 2 2
⇔a=
;b =
⇔ 3a − bi =
=
4 − i2

5
15
5
⇒ z =

32 + 4 − 16 2 + 144 + 72 + 144 2
225 + 128 2
=
225
15

Ví dụ 8: [ĐVH]. (Đề ĐH khối A, A1 năm 2012) Cho số phức z thỏa mãn

5( z + i )
= 2 − i (1)
z +1

Tính môđun của số phức ω = 1 + z + z 2 .
Giả sử z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ )

Hướng dẫn giải

5(a − bi + i)
= 2 − i ⇔ 5a − 5i(b − 1) = 2a + 2bi + 2 − ai − bi 2 − i
a + bi + 1
⇔ 3a − 2 − b − i (5b − 5 − 2b + a + 1) = 0

(1) ⇔

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

3a − 2 − b = 0  a = 1
⇔
⇒
⇒ z = 1 + i ⇒ ω = 1 + 1 + i + 1 + 2i − 1 = 2 + 3i ⇒ ω = 4 + 9 = 13
3b + a − 4 = 0 b = 1

Ví dụ 9: [ĐVH]. (Đề ĐH khối D năm 2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i ) z +

2(1 + 2i)
= 7 + 8i
1+ i

(1)

Tìm môđun của số phức ω = z + 1 + i
Hướng dẫn giải:

Giả sử z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ )
(1) ⇔ (2 + i )(a + bi) +

2(1 + 2i )
= 7 + 8i
1+ i

⇔ 2a + 2bi + ai + bi 2 +

2(1 + 2i )(1 − i)
= 7 + 8i
1 + i2

 2a − b + 3 = 7
a = 3
⇔ 2a + 2bi + ai − bi + 1 − i + 2i − 2i 2 = 7 + 8i ⇔ 
⇔
 2b + a + 1 = 8
b = 2

Do đó ω = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i ⇒ ω = 16 + 9 = 5 .

Ví dụ 10: [ĐVH]. (Đề ĐH khối A năm 2012) Tìm tất cả các số phức z, biết z 2 = z + z (1)
2

Hướng dẫn giải:
(1) ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi ⇔ a + b i + 2abi = a 2 + b 2 + a − bi
2

2

2

2

2 2

1
1

a = − 2 ;b = 2
2b 2 + a = 0

⇔ 2b 2 + a − bi − 2abi = 0 ⇔ 
⇔ b = 0; a = 0
b + 2ab = 0

−1
−1
a = ; b =
2
2

Vậy z = 0; z =

−1 1
−1 1
+ i; z =
− i
2 2
2 2

Ví dụ 11: [ĐVH]. (Đề ĐH khối A năm 2011) Tính môđun của số phức z biết (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i) = 2 − 2i (1)
Hướng dẫn giải:
(1) ⇔ (2a + 2bi − 1))(1 + i ) + (a − bi + 1)(1 − i ) = 2 − 2i
⇔ 2a + 2ai + 2bi + 2bi 2 − 1 − i + a − ai − bi + bi 2 + 1 − i = 2 − 2i
1


a=

3
−
3
=
2
a
b

1 1
2

3
⇔ 3a − 3ba + ai + bi − 2i = 2 − 2i ⇔ 
⇔
. Suy ra z =
+ =
.
9 9
3
 a + b − 2 = −2
b = −1

3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau :
1. z = (2 − 5i)(3 + i)

2. (1 + i ) z + 3 = 2i − 4z

1
(3i + 4)(2 − i)
5. z(2 + 3i) = 4 + 5i
3. z =

7. (1 − 3i ) z + ( 4 + 3i ) = 7 − 5i
9. z = (1 + 2i)(2 − 4i)

3i − 7
10 + i
6. (1 + 2i)z = ( −1 + 3i)(2 + i)
3 + 7i 5 − 8i
8. z =
+
2 + 3i 2 − 3i
3 − 4i
10. z =
2−i
4. z =

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

7+i
2−i
5 + 5i

20
13. z =
+
3 − 4i 4 + 3i
2 + 3i
15. z =
( 4 + i )( 2 − 2i )
11. z =

Facebook: LyHung95

12. z = (2 − i)( −3 + 2i)(5 − 4i)
14. z =

(3 − 2i)(4 + 3i)
+ 5 − 4i
1 − 2i

Bài 2: [ĐVH]. Tìm số phức z biết
a) z =

( 2 − i )3
1 + 2i

b) z.z + 3( z − z ) = 1 − 4i

c) z −1 = 1 − 2i

Bài 3: [ĐVH]. Tính mô-đun của số phức z biết
a)

1 − i (2 − 3i ) z
=
+2−i
2
z
z

b) Cho số phức z1 = 4 − 3i + (1 − i )3 ; z2 =

1 + 2i − (1 − i )3
. Tính mô-đun của số phức z = z1 .z2
1+ i

(1 − 3i ) . Tín mô-đun của số phức z + iz.
c) Cho số phức z =
3

1− i

Bài 4: [ĐVH]. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (−1 + 3i)2012 + (1 + 3i)2012
Bài 5: [ĐVH]. Cho số phức z + 1 = i 2013 + i 2012 . Tìm z ' biết z ' = z + iz
Bài 6: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
a) z 2 = 2 z

b) z 2 − z + 1 = 0

c) z 2 + z = 0

d)

2

( z)2 + i
=i
z +1

Bài 7: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
z + z i( z − z)
−
= 4 + 6i
1+ i
2 − 2i
c) z 2 + 2 z = 0

b) ( z + z )(1 + i) + ( z − z )(2 + 3i) = 4 − i

a)

d) z 2 + i z = 0

Bài 8: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
z −8
2

a) z + z =
2

b) z − 3i = 1 − i z và z −

z

c) z = ( z + 1)(1 + i) +
2

z −1
1− i

9
là số thuần ảo.
z

d) z − 1 = z + 3 và z + z 2 = 2
2

Bài 9: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
z = 2

a) 
 z + 2iz = 2

b) z 2 + z z − 2 = 0

c) 4 z + (1 + 3i) z = 25 + 21i

d) 2 z 2 + 4 z − 5 z =

35
8

Bài 10: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
a) z = 2 z 2 ( z − 5)
4

 z + 3 + z − 3 = 10
b) 
 2 z + 3i = 109

c) iz 2 + z + 1 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 11: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn (1 − 3i ) z là số thực và z − 2 + 5i = 1 .
Bài 12: [ĐVH]. Tìm số phức z biết:

( z − 2 z )(−1 − 6i) 37(1 − i ) z
=
.
1+ i
10

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

I. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2 = z hay
(x + yi)2 = a + bi.
Chú ý :
Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :
+) TH1 : a > 0 ⇒ ω = ± a
+) TH2 : a < 0 ⇒ z = i 2 a ⇒ ω = ±i a
Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x + yi)2 = a + bi
x2 − y2 = a
2
2
hay x − y + 2 xyi = a + bi ⇔ 
2 xy = b
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau
a. z = 5
b. z = –7
c. z = −1 − 2 6i
Hướng dẫn giải:
a. z = 5 ⇒ ω = ± 5
b. z = −7 = 7i 2 ⇒ ω = ±i 7
c. Gọi w = x + yi là căn bậc hai của số phức z = −1 − 2 6i , ta có

− 6

y =
x2 = 2
2
2
x

x
−
y
=
−
1
2


⇔
⇔
( x + yi ) = −1 − 2 6i ⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi = −1 − 2 6i ⇔ 
2
− 6
 x 2 −  − 6  = −1  y =
2 xy = −2 6


x


 x 

Hệ phương trình trên có 2 nghiệm

(

)(

2; − 3 ; − 2; 3

)

Vậy có 2 căn bậc hai của −1 − 2 6i là 2 − 3i và − 2 + 3i
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính căn bậc hai của các số phức sau :
a. z = −1 + 4 3i
b. z = 4 + 6 5i
d. z = 4i
e. z = −5 − 12i
1
2
+
i
4 2
Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dưới dạng chính phương ?
a) z = −21 + 20i = .....................................

g. z = −40 + 42i

h. z =

c. z = –18i
f. z = 11 + 4 3i
i. z = −8 + 6i

b) z = 1 + 4 3i = .......................................
c) z = −15 + 8i = .....................................
d) z = −1 − 2 2i = .......................................
e) z = 5 − 12i = .....................................
f) z = 13 + 8 3i = .......................................
g) z = 22 − 10 2i = .......................................
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

II. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC 2
Xét phương trình phức bậc 2 : Az2 + Bz + C = 0 có ∆ = B2 – 4AC.
TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính ∆ = B 2 − 4 AC
−B ± ∆
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có nghiệm thực z =
2A
+ Nếu ∆ < 0 ⇒ ∆ = −i 2 ∆ ⇒ ∆ = ±i ∆ ⇒ z =

−B ± i ∆

2A
TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức.
Tính ∆ = B 2 − 4 AC = a + bi = ( x + yi ) 2
− B ± ( x + yi )
Khi đó phương trình có nghiệm z =
2A

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
a. z 2 + 2z + 5 = 0
b. z 2 − 4z + 20 = 0
c. (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = 0
d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
Hướng dẫn giải:
2
a. z + 2 z + 5 = 0.
Ta có ∆ ' = −4 = 4i 2 ⇒ ∆ = ±2i ⇒ z = −1 ± 2i
b. Ta có ∆ ' = −16 = 16i 2 ⇒ ∆ = ±4i ⇒ z = 2 ± 4i
 z 2 = −i
2
2
c. ( z + i )( z − 2iz − 1) = 0 ⇔  2
 z − 2iz − 1 = 0
1
1

z=
−
i
2

1
1
 1− i 
2
2
2
2

2
TH1 : z + i = 0 ⇔ z = −i = ( −2i ) = (1 − i ) = 
 ⇒
1
1
2
2

 2
z
=
−
+
i

2
2
TH2 : z 2 − 2iz − 1 = 0 ⇔ z 2 − 2iz + i 2 = 0 ⇔ ( z − i ) 2 = 0 ⇔ z = i.
1
1
−1 1
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là z1 =
−
i; z 2 =
+
i; z3 = i.
2
2
2
2

Nhận xét :
Ngoài các cách giải chuẩn mực ở trên, chúng ta có thể giải tắt mà không cần tính toán ∆ hay ∆’ như sau
2
2
a. z 2 + 2 z + 5 = 0 ⇔ ( z + 1) + 4 = 0 ⇔ ( z + 1) − 4i 2 = 0 ⇔ ( z + 1) 2 = (2i ) 2 ⇒ z = −1 ± 2i

b. z 2 − 4 z + 20 = 0 ⇔ ( z − 2 ) + 16 = 0 ⇔ ( z − 2) 2 = 16i 2 = (4i ) 2 ⇒ z = 2 ± 4i
d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
Ta có ∆ = (1 – 3i)2 + 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2
3i − 1 + 1 + i

= 2i
 z1 =
2
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là 
 z = 3i − 1 − 1 − i = i − 1
 2
2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
2

iz + 3
 iz + 3 
a) 
−4 = 0
 − 3.
z − 2i
 z − 2i 
2

b) z 3 − 8 = 0

c) 4 z 4 − 3 z 2 − 1 = 0

Hướng dẫn giải:
iz + 3
 iz + 3 
a) 
−4 = 0
 − 3.
z − 2i
 z − 2i 
t = −1
iz + 3
Đặt
= t ⇒ t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔ 
z − 2i
t = 4
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Với t = 4 ⇔
⇒z=

Facebook: LyHung95

iz + 3
−3 − 8i (−3 − 8i ) ( i + 4 ) −4 − 35i
= 4 ⇔ iz + 3 = 4( z − 2i ) ⇔ z (i − 4) = −3 − 8i ⇒ z =
=
=
z − 2i
i−4
i 2 − 16
−17

4 35
+ i
17 17

Với t = −1 ⇔

iz + 3
2i − 3 ( 2i − 3)( i − 1) 1 − 5i
= −1 ⇔ iz + 3 = 2i − z ⇔ z ( i + 1) = 2i − 3 ⇒ z =
=
=
z − 2i
i +1
i2 −1
−2

1 5
⇒z=− + i
2 2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là z1 =

4 35
1 5
+ i; z 2 = − +
17 17
2 2

b) z3 – 8 = 0⇔ (z – 2)(z2 + 2z + 4 ) = 0
TH1 : z – 2 = 0 ⇔ z = 2
TH2 : z 2 + 2 z + 4 = 0 ⇔ ( z + 1) 2 = −3 = 3i 2 ⇒ z = −1 ± i 3
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức là z1 = 2; z 2 = −1 − i 3; z3 = −1 + i 3

c) 4 z 4 − 3 z 2 − 1 = 0 .

t = 1
Đặt z = t. Phương trình đã cho tương đương với 4t − 3t − 1 = 0 ⇔ 
t = − 1

4
−1
Giải phương trình tìm được t = 1 hoặc t = .
4
2
Với t = 1 ta được z = 1 ⇒ z = ± 1
1 i2
i
Với t = − = = 0 ⇔ z = ±
4 4
2
i

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là z = ±1; z = ± .
2
Ví dụ 3: [ĐVH]. Gọi z1, z2 là các nghiệm của các phương trình z2 + 2z + 5 = 0. Tính giá trị các biểu thức sau
2

2

2

2

2

2

A = z1 + z2 ; B = z1 + z2 − 4 z1 z2
Hướng dẫn giải:
 z1 = −1 + 2i
Ta có z 2 + 2 z + 5 = 0 ⇔ ( z + 1) 2 = −4 = (2i ) 2 ⇒ 
 z2 = −1 − 2i

 z1 = 1 + 4 = 5
 z1 = −1 − 2i  z1 = 5
Khi ta có 
và 
⇒
 z1 = −1 + 2i  z2 = 5
 z2 = 1 + 4 = 5

2

2

2

2

A = z1 + z2 = 5 + 5 = 10
B = z1 + z2 − 4 z1 z2 = 5 + 5 − 4. 5. 5 = −10
Vậy A = 10 và B = –10
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z 2 + 2z + 5 = 0

b) z 2 − 4z + 20 = 0

c) −3z 2 + z − 5 = 0

d) 4z 2 + 9 = 0

e) 3z 2 − z + 2 = 0

f) z 2 − 3z + 1 = 0

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 2 + 2(i − 2)z + 3 − 2i = 0

b) z 2 − (i + 3)z − 2 − 2i = 0

c) z 2 − (3 + i)z + 4 + 3i = 0

d) iz 2 − z + 3 + i = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

e) iz 2 + 2iz − 4 = 0

f) z 2 − (3 − i)z + 4 − 3i = 0

g) 3iz 2 − 2z − 4 + i = 0

h) z 2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0

Facebook: LyHung95

Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 2 − (1 + i) z + 6 + 3i = 0
b) z 2 + (1 + i) z − 10 + 11i = 0
c) 2(1 + i) z 2 − 4(2 − i) z − 5 − 3i = 0
Ví dụ 7: [ĐVH]. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z 2 − 4 z + 5 = 0 . Tính giá trị của các biểu
thức P = ( z1 − 1)

2013

+ ( z2 − 1)

2013

Ví dụ 8: [ĐVH]. Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: 2(1 + i) z 2 − 4(2 − i) z − 5 − 3i = 0 .
Tính giá trị của các biểu thức A = z1 + z2
2

2

Ví dụ 9: [ĐVH]. Gọ z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2 z + 4 = 0 . Tính giá trị của các biểu

z1 + 2 z2 + z1 z2
2

thức: P =

z1 + z2
2

2

Ví dụ 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z1 của phương trình:
1+ i
z 2 − 2 z + 5 = 0 và điểm B biểu diễn số phức z2 =
z1 . Tính diện tích của tam giác OAB, với O là gốc toạ
2
độ.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 3 − 8 = 0

b) z 3 + 4z 2 + 6z + 3 = 0

c) z 4 − z3 + 6z 2 − 8z − 16 = 0

d) z 4 − z 2 − 12 = 0

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 4 − 2z 2 − 8 = 0

b) 4z 4 − 3z 2 − 1 = 0

c) z 4 − 6z 2 + 8 = 0

d) z 4 − 16 = 0

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) (1 + i)z 2 = −1 + 7i

b) (z − i)(z 2 + 1)(z 3 + i) = 0

c) (2 + 3i)z = z – 1

d) ( z 2 + z ) + 4 ( z 2 + z ) − 12 = 0
2

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
 iz + 3 

2

iz + 3

a) ( z + 3 − i ) − 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0

b) 
−4=0
 − 3.
z − 2i
 z − 2i 

c) ( z 2 + 1) + ( z + 3) = 0

d) ( z 2 + 9 )( z 2 − z + 1) = 0

2

2

2

Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) ( z + 3i ) ( z 2 − 2z + 5 ) = 0

b) z 4 + 16 = 0

 z+i 

4

c) 
 =1
 z − 2i 

Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) (z 2 + 3z + 6) 2 + 2z(z 2 + 3z + 6) − 3z 2 = 0
b) (z + 1) 4 + 2(z + 1)2 + (z + 4) 2 + 1 = 0
Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 2 − 7 z + 11 + 3i = 0
Đ/s: a) z = 5 − i; z = 2 + i

b) z 2 + 2(1 − 2i ) z − 7 − 4i = 0
b) z = 1 + 2i; z = −3 + 2i

c) z 2 − 2(2 − i ) z + 6 − 8i = 0
Đ/s: c) z = 3 + i; z = 1 − 3i

d) z 2 − (2 + i ) z + 1 + i = 0
d) z = 1; z = 1 + i

Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z 3 − (2 + i ) z 2 + (2 + 2i ) z − 2i = 0 biết phương trình có một nghiệm là z = i.
Đ/s: z = i; z = 1 ± i
b) z 3 + 4 z 2 + (4 + i) z + 3 + 3i = 0 biêt phương trình có một nghiệm là z = – i.
Đ/s: z = −i; z = −1 + i; z = −3
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c) z 3 − z 2 + (2 − 2i ) z + 2 + 4i = 0 biết phương trình có một nghiệm là z = 1 – i.
Đ/s: z = 3 + i; z = 1 − 3i

d) z = 1; z = 1 + i

Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 3 − 2(1 + i ) z 2 + 3iz + 1 − i = 0

b) 2 z 3 − 5 z 2 + (3 + 2i ) z + 3 + i = 0

Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 3 − (2i − 1) z 2 + (3 − 2i ) z + 3 = 0

b) z 3 − 2(1 + i ) z 2 − (4 + 9i ) z − 1 − 7i = 0

Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) 5 z 3 − (4 − 5i ) z 2 + 4(2 − i ) z + 8i = 0

b) iz 3 + z 2 − (1 + 4i ) z − 2 = 0

Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 4 + 6(1 + i ) z 2 + 5 + 6i = 0

b) z 4 + (1 − 3i ) z 2 − 2i − 2 = 0

Bài 13: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) ( z 2 + 1) + ( z + 3)2 = 0
2

b) ( z 2 − z ) + 4 ( z 2 − z ) − 12 = 0
2

Bài 14: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) ( z + 2 − 3i ) 2 − 6( z + 2 − 3i ) + 13 = 0

b) ( z 2 + 3 z + 6 ) + 2 z ( z 2 + 3 z + 6 ) − 3 z 2 = 0
2

Bài 15: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) ( z 2 + 3 z + 2 )( z 2 + 11z + 30 ) = 60

b) ( z 2 + 1)( z 2 + 8iz − 15 ) = 105

Bài 16: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) ( z − 1)( z + 2)( z + 4)( z + 7) = 34

b) z 4 − 4 z 3 + 7 z 2 − 16 z + 12 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. BÀI TOÁN VỀ QUỸ TÍCH PHỨC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

I. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN
a) Đường thẳng
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường thẳng nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn
phương trình đường thẳng : Ax + By + C = 0.
b) Đường tròn
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường tròn nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương
trình đường tròn (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2, trong đó I(a ; b) là tâm đường tròn và R là bán kính đường
tròn.
c) Đường Elip
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường elip nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương
x2 y2
trình đường elip ( E ) : 2 + 2 = 1 , trong đó a, b tương ứng là các bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip.
a
b
Chú ý :
Điểm M thuộc Elip nhận A, B làm các tiêu điểm thì theo định nghĩa elip ta có MA + MB = 2a, và đồng
thời AB = 2c, là độ dài tiêu cự của elip.
Mối quan hệ giữa các đại lượng a, b, c của elip là a2 = b2 + c2

II. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH

Ví dụ 1: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1]
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3].
d) |z| ≤ 2
e) 2 ≤ |z| ≤ 3
f) |z –1 + 2i| ≤ 2
g) 2i − 2 z = 2 z − 1
Lời giải:
Gọi z = x + yi và M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z.
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của z, tức là x = 2y, hay x – 2y = 0.
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d : x – 2y = 0.
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1], tức là –2 ≤ x ≤ 1.
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = –2 và x = 1
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3], tức là –2 ≤ x ≤ 1 và
1≤y≤3
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình chữ nhật ABCD giới hạn bởi bốn đường thẳng
x = –2 ; x = 1 ; y = 1 và y = 3.
d) z ≤ 2 ⇔ x 2 + y 2 ≤ 2 ⇔ x 2 + y 2 ≤ 4
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình tròn tâm I(0; 0), bán kính R = 2, (kể cả những điểm nằm
trên đường tròn)
Cách giải khác:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
M1 là điểm biểu diễn số phức z1 = 0 ⇒ M1(0; 0)
Theo bài toán tiền đề ta được |z – z1| = MM1, hay |z | = MM1
Từ đó ta được MM1 ≤ 2, (1)
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Do điểm M1 cố định, nên từ (1) ta thấy quỹ tích M là miền trong của hình tròn tâm M1(0; 0), bán kính R = 2.
2
2
 x + y ≤ 9
e) 2 ≤ z ≤ 3 ⇔ 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 3 ⇔ 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 ⇔  2
2
 x + y ≥ 4
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là hình vành khăn giới hạn bởi hai hình tròn đồng tâm (C1): x2 + y2 = 4 và (C2):
x2 + y2 = 9
f) z − 1 + 2i ≤ 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) i ≤ 2 ⇔

( x − 1) + ( y + 2 )
2

2

≤ 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) ≤ 4
2

2

Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình tròn tâm I(1; –2), bán kính R = 2, (kể cả những điểm
nằm trên đường tròn)
Cách giải khác:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
M1 là điểm biểu diễn số phức z1 = 1 – 2i ⇒ M1(1; –2)
Theo bài toán tiền đề ta được |z – z1| = MM1, hay |z –1 + 2i| = MM1

Từ đó ta được MM1 ≤ 2, (2)
Do điểm M1 cố định, nên từ (2) ta thấy quỹ tích M là miền trong của hình tròn tâm M1(1; –2), R = 2.

g) 2i − 2 z = 2 z − 1
Ta có z = x − yi , từ đó ta được:
2i − 2 z = 2 z − 1 ⇔ 2i − 2 ( x − yi ) = 2 ( x + yi ) − 1 ⇔ −2 x + ( 2 y + 2 ) i = ( 2 x − 1) + 2 yi

⇔ 4 x 2 + 4 ( y + 1) =
2

( 2 x − 1)

2

(

) (

)

+ 4 y 2 ⇔ 4 x2 + 4 y 2 + 2 y + 1 = 4 x2 − 4 x + 1 + 4 y 2

⇔ 4x + 8y + 3 = 0
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d: 4x + 8y + 3 = 0

Ví dụ 2: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z + z + 3 = 4
b) z − z + 1 − i = 2
c) 2 + z = i − z
Lời giải:

Giả sử số phức z = x + yi, có điểm biểu diễn là M(x; y).

 x = −1
= 4 ⇔ x+3 = 2 ⇔ 
 x = −5
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là hai đường thẳng x = –1 và x = –5
a) z + z + 3 = 4 ⇔ ( x + yi ) + ( x − yi ) + 3 = 4 ⇔

( x + 3)

2

b) z − z + 1 − i = 2 ⇔ ( x + yi ) − ( x − yi ) + 1 − i = 2 ⇔ 1 + ( 2 y − 1) i = 2 ⇔ 1 + ( 2 y − 1) = 2
2


1+ 3
y =
2
2
⇔ 1 + ( 2 y − 1) = 4 ⇒ 2 y − 1 = 3 ⇒ 

1− 3
y =

2
1± 3
.
2
c) 2 + z = i − z ⇔ 2 + ( x + yi ) = i − ( x + yi ) ⇔ ( x + 2 ) + yi = − x + (1 − y ) i

Vậy quỹ tích các điểm M(z) là hai đường thẳng y =

⇔

( x + 2)

2

+ y 2 = x 2 + (1 − y ) ⇔ ( x 2 + 4 x + 4 ) + y 2 = x 2 + ( y 2 − 2 y + 1) ⇔ 4 x + 2 y + 3 = 0
2

Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d: 4x + 2y + 3 = 0

Ví dụ 3: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z + z + 1 = 3
b) z − z + 2 + i = 2 5
c) z + 3i = z + 2 + i
Ví dụ 4: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

()

a) z 2 + z

2

=4

b) 2iz + i = 2 z + 1 − i

c) 2i − 2 z = 2 z + 3

Ví dụ 5: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!