CHUYÊN đề một số kỹ THUẬT sử DỤNG bất ĐẲNG THỨC CAUCHY

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Tác giả chuyên đề: Phùng Văn Long
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường
Huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc
Đối tượng: Học sinh lớp 9
Số tiết: 15 tiết
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một môn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thông. Nó giúp
học sinh phát triển tư duy logic, phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm chất
đạo đức, hơn nữa môn toán là một môn học công cụ nên việc học tốt môn toán sẽ giúp
học sinh học tốt các môn học khác. Tuy nhiên môn toán cũng là môn học mang tính
trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn khi học toán, song không vì vậy mà
toán học thiếu đi sự hấp dẫn đối với người học.
Một trong những bộ phận rất quan trọng và hấp dẫn với học sinh giỏi là phân
môn Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nhưng đây cũng là phần rất
khó của bộ môn Toán.
Bất đẳng thức là một vấn đề cổ điển của toán học sơ cấp nhưng ngày càng
được quan tâm và phát triển, đây cũng là một phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị nhất,
vì thế luôn cuốn hút rất nhiều sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi, học
sinh có năng khiếu học toán. Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong
toán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán hay và khó, thậm chí là rất khó. Tuy nhiên cái
khó ở đây không nằm ở gánh nặng về lượng kiến thức mà ở yêu cầu óc quan sát, linh
cảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào của người học, vì thế người học luôn có thể giải
được bằng những kiến thức rất cơ bản và việc hoàn thành được những chứng minh
như vậy là một niềm vui thực sự.
Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thì bài toán bất đẳng thức, giá

trị nhỏ nhất, lớn nhất là một bài toán có khả năng rèn luyện cho học sinh óc phán đoán
và tư duy logic, song phần lớn học sinh gặp khó khăn khi giải quyết dạng toán này.
Đối với học sinh trung học cơ sở, việc chứng minh một bất đẳng thức thường có
rất ít công cụ, học sinh chủ yếu sử dụng định nghĩa hoặc bất đẳng thức Cauchy để
chứng minh. Tuy nhiên việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bài
toán khác trong đa số các trường hợp yêu cầu học sinh phải biết cách biến đổi một
cách hợp lý, thậm chí là phải rất tinh tế.

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 1/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. Bất đẳng thức Cauchy
a. Cho hai số thực không âm a,b. Khi đó ta có:

a+b
≥ ab . Dấu “=” xảy ra khi a=b
2

b. (Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1 , a 2 ,..., a n .Khi đó ta có:
a1 + a 2 + ... + a n n
≥ a1 .a 2 ....a n Dấu “=” xảy ra khi a1 = a 2 = ... = a n .
n

Bất đẳng thức này còn được gọi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng
và trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic mean- Geometric mean)
Chứng minh:
-Với n=2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1=a2.
- Giả sử bất đẳng thức đúng đến n=k, tức là ∀a1 , a2 ,..., ak ≥ 0 ta có:
a1 + a 2 + ... + a k k
≥ a1 .a 2 ....a k , dấu bằng xảy ra khi a1 = a 2 = ... = a k .
k

-Xét khi n=k+1.Với ∀a1 , a 2 ,..., a k +1 ≥ 0 ta có:
S k +1

a + a2 + ... + ak + ak +1
= 1
=
k +1

k.

a1 + a2 + ... + ak
+ ak +1
k
k +1

Theo giả thiết quy nạp, suy ra S k +1 ≥

(1)

k .k a1. a 2 ...a k + a k +1

(2)

k +1

Dấu “=” trong (2) xảy ra (theo giả thiết quy nạp) khi a1 = a 2 = ... = a k
Đặt a1 .a 2 ...a k = α k ( k +1) và a k +1 = β k +1 khi đó (2) dạng S k +1 ≥
Từ (3) ta có S k +1 − k +1 a1 .a 2 ...a k +1 ≥
Dễ dàng thấy rằng: VP( 4 ) =

k .α k +1 + β k +1
k +1

k .α k +1 + β k +1
−α kβ
k +1

(3)
(4)

[

k .α k +1 + β k +1 − kα k β − α k β
1
=
. k .α k .( α − β ) − β α k − β k
k +1
k +1

(

)]

(
α − β ) 2 k −1
=
.[α + α k − 2 ( α + β ) + α k −3 (α 2 + αβ + β 2 ) + ... + (α k −1 + α k − 2 β + ... + β k −1 ) ]
k +1

Do α , β ≥ 0 nên suy ra VP( 4 ) ≥ 0 ⇒ S k +1 ≥ k +1 a1 .a 2 ...a k +1 Do đó bất đẳng thức Cauchy
cũng đúng với n=k+1.Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra bất đẳng thức Cauchy đúng
∀n ∈ N .
a1 = a 2 = ...a k
⇔ a1 = a 2 ... = a k = a k +1 .
α =β


Dấu bằng xảy ra khi 

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 2/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

2. Ví dụ .
Ví dụ 1.
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng:

1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
1 + x 3 + y 3 ≥ 3xy ⇒

1 + x3 + y 3
≥
xy

3
xy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = x = y
Chứng minh tương tự, ta được:
1 + y3 + z3
≥
yz

3
(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
yz

1 + z 3 + x3
≥
zx

3
(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = z = x )
zx

1= y = z )

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
 1
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
1
1 
+
+
≥ 3
+
+
÷ ( 1)

xy
yz
zx
yz
zx ÷

 xy


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
1
1
1
+
+
≥
xy
yz
zx

3

3
=3
xyz

( 2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 .
Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 .
Chú ý: Nói chung, ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy như ví
dụ trên mà thường phải biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 3/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

bất đẳng thức Cauchy. Khi biến đổi, ta thường sử dụng những số hạng của một vế
cộng thêm các số hạng thích hợp và sử dụng bất đẳng thức Cauchy . Khi biến đổi, ta
lưu ý một số nhận xét sau:
Nhận xét 1. Số chiều của BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng của bậc cao nhất.
Ví dụ 2. Với các số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:
a 3 + b3 + c 3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao nhất là 3, nên ta sẽ sử dụng bất
đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm. Chẳng hạn, số hạng ab 2 sẽ ứng với bộ ba số

a 3 , b3 , b3 . Cứ như vậy, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
a 3 + b3 +b3 ≥ 3ab 2
b3 + c 3 + c 3 ≥ 3bc 3
c 3 + a 3 + a 3 ≥ 3ca 2

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
3 ( a 3 + b3 + c 3 ) ≥ 3 ( ab 2 + bc 2 + ca 2 )
⇔ a 3 + b3 + c3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2
a = b


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: b = c ⇔ a = b = c
c = a


Ví dụ 3. Với các số thực không âm a, b, c, chứng minh rằng:

a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ≥ abc ( a + b + c )
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a 2b 2 + b 2c 2 ≥ 2ab 2c
b 2c 2 + c 2a 2 ≥ 2abc 2
c 2 a 2 + a 2b 2 ≥ 2a 2bc

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 4/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

2 ( a 2b 2 + b 2 a 2 + c 2 a 2 ) ≥ 2abc ( a + b + c )
⇔a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ≥ abc ( a + b + c )

ab = bc

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: bc = ca ⇔ a = b = c

ca = ab


Nhận xét 2. Bậc của số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bằng
bậc của số hạng cần mô tả.
Ví dụ 4. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
a3
b3
c3
+
+
≥ ab +bc +ca
b
c
a

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải không
chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳng
thức. Bậc của số hạng cần mô tả là hai, nên bậc của số hạng thêm vào cũng là hai.
Chẳng hạn, số hạng

a3
có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử
b

b. Bậc của số hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab.
a3
+ ab ≥ 2a 2
b

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a3
+ab ≥ 2a 2
b

b3
+ bc ≥ 2b 2
c
c3
+ ca ≥ 2c 2
a

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
a 3 b3 c 3
+
+
+ ab + bc + ca ≥ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 )
b
c
a

(1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 5/31

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

a3
 = ab
a 2 = b 2
b
a = b
3
 2
b

2
 = bc ⇔ b = c ⇔ b = c ⇔ a = b = c
c
c 2 = a 2
c = a


c 3
 = ca
a

Lại có, a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Từ (1) và (2) suy ra:
a

3

b
⇔

b

+
a

3

c
3

b

+

c

+
b

3

a
3

c

+

+ ab + bc + ca ≥ 2 ( ab + bc + ca )
c

3

a

≥ ab + bc + ca

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Ví dụ 5. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
a3
b3
c3
+
+
≥ a +b + c
bc ca ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải không
chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳng
thức. Bậc của số hạng cần mô tả là một, nên bậc của các số hạng thêm vào cũng là
một.
Chẳng hạn, số hạng

a3

bc

có chứa mẫu là b, c và bậc của số hạng thêm vào là 1 nên

các số hạng thêm vào là b, c:
a3
+ b + c ≥ 3a
bc

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a3
+ b + c ≥ 3a
bc

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 6/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

b3
+ c + a ≥ 3b
ca
c3
+ a + b ≥ 3c
ab

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
a3
bc

+

b3
ca

+

c3
ab

+ 2 ( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c ) ⇒

a3
bc

+

b3
ca

+

c3
ab

≥ a+b+c

a3
bc = b = c
 3
b
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  = c = a ⇔ a = b = c
ca
 c3
= a =b

ab

Nhận xét 3. Khi bậc không bằng nhau thì số hạng cộng thêm có thể là hằng số.
Ví dụ 6. Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 , chứng minh
rằng:
a3 + b3 + c3 ≥

1
3

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Cho a = b = c thay vào điều kiện ta tính được a = b = c =

1
3

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = 3 cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa
biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh.
Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số hạng
3

1

3

a ,b ,

3 3

a +b +
3

3

:
1
3 3

≥ 33 a b
3

3

1
3 3

= ab 3

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 7/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

a 3 + b3 +

Năm học 2013-2014

1

≥ ab 3
3 3
1
b3 + c 3 +
≥ bc 3
3 3
1
c3 + a 3 +
≥ ca 3
3 3

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
2 ( a 3 + b3 + c 3 ) +
⇒2 ( a 3 + b3 + c 3 )

1
≥ 3 ( ab + bc + ca ) = 3

3
2
1
≥
⇒a 3 + b3 + c3 ≥
3
3

1

a = b = 3

b = c = 1
1

⇔a =b =c =
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
3

1
c
=
a
=

3


ab + bc + ca = 1

Ví dụ 7. Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 4 ( a + b + c ) = 3abc , chứng
minh rằng:
1
1
1 3
+ 3+ 3≥
3
a
b
c
8

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Biến đổi điều kiện, ta được:

1
1
1
3
+
+
=
ab bc ca 4

Cho a = b = c thay vào điều kiện ta tính được a = b = c = 2
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = 3 cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa
biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh.
Chẳng hạn, với số hạng

các số dương

1
a

3

,

1
ab

trong điều kiện, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho

1 1
, , ta có:
3
b 8

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 8/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

1
a

3

+

1
b

3

+

1
8

≥ 33

Năm học 2013-2014

1 1 1 3 1
. 3. = .
3
a b 8 2 ab

Giải. Ta có: 4 ( a + b + c ) = 3abc ⇔

1
ab

+

1

bc

+

1
ca

=

3
4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
1
a

3

+

1
b

3

+

1
8

≥

3 1
.
2 ab

1
1 1 3 1
+ 3+ ≥ .
3
b
c
8 2 bc
1
1 1 3 1
+ 3+ ≥ .
3
c
a
8 2 ca

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
1
1  3 3 1
1
1  9
1
1
1 3
1

2  3 + 3 + 3 ÷+ ≥ 
+
+
÷= ⇔ 3 + 3 + 3 ≥
b
c  8 2  ab bc ca  8
a
b
c
8
a
1 1 1 1
= = =

a b c 2
⇔a = b = c = 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1 + 1 + 1 =3

ab bc ca 4

Nhận xét 4. Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy ra với a = b = c của bất đẳng
thức để thêm hệ số cho thích hợp.
Ví dụ 8. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
a3
b3
c3
1
+
+

≥ ( a +b + c)
b ( b + c ) c ( c + a ) a ( a +b ) 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Cho a = b = c thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh,
chẳng hạn số hạng

a3
a
ta thu được . Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa
b( b +c)
2

b b +c
nhân tử b, b + c . Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng ,
và sử dụng bất đẳng thức
2

4

Cauchy với n = 3:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 9/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

a3

b( b + c)

+

b
2

+

b +c
4

Năm học 2013-2014

b b +c 3
. .
= a
b( b + c) 2 4
2
a3

≥ 33

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
2a 3 = b 2 ( b + c )
a3
b b +c

= =
⇔

⇔a =b = c
b( b +c) 2
4
b
=
c



Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a3
b b +c
a3
b b +c 3
3
+ +
≥3
. .
= a
b( b +c) 2
4
b( b +c) 2 4
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
3
2

a3

b b +c
2a = b ( b + c )
= =
⇔
⇔a = b = c
b( b +c) 2
4
b
=
c



Tương tự, ta có:
b3
c c +a 3
+ +
≥ b
c ( c +a ) 2
4
2
c3
a a +b 3
+ +
≥ c
a ( a +b )
2
4
2

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
a3
b3
c3
3
+
+
+ a +b + c ≥ ( a +b + c )
b ( b + c ) c ( c + a ) a ( a +b )
2
⇔

a3
b3
c3
1
+
+
≥ ( a +b +c )
b ( b + c ) c ( c + a ) a ( a +b )
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ví dụ 9. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
a3

( b + 2c )

2

+

b3

( c + 2a )

2

+

c3

( a + 2b )

2

≥

2
( a +b + c)
9

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 10/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

Phân tích: Cho a = b = c thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng
minh, chẳng hạn số hạng

a3

( b + 2c )

2

ta thu được

a
. Mặt khác, số hạng này lại có mẫu
9

b + 2c b + 2c
,
chứa nhân tử b + 2c . Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng
và sử dụng
27

27

bất đẳng thức Cauchy với n = 3:
a3

( b + 2c )

2

+

b + 2c
27

+

b + 2c
27

≥ 33

a3

( b + c)

2

.

b + 2c b + 2c a
.
=
27
27
3

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
a3

( b + 2c )

2

=

b + 2c
3
⇔ 27 a 3 = ( b + 2c ) ⇔3a = b + 2c
27

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a3

( b + 2c )

2

+

b + 2c b + 2 c
a3
b + 2 c b + 2c a
+
≥33
.

.
=
2
27
27
27
27
3
( b +c)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
a3

( b + 2c )

2

=

b + 2c
3
⇔ 27 a 3 = ( b + 2c ) ⇔3a = b + 2c
27

Tương tự, ta có:
b3

( c + 2a )

2

+

c + 2a
27

+

c + 2a
27

≥

b
3

(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3b = c + 2a )
c3

( a + 2b )

2

+

a + 2b
27

+

a + 2b
27

≥

c
3

(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3c = a + 2b )
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 11/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

a3

( b + 2c )

2

b3

+

( c + 2a )

a3

⇔

( b + 2c )

2

2

+

Năm học 2013-2014

c3

( a + 2b )

b3

+

( c + 2a )

2

+

2

+

a +b + c a +b +c
≥
9
3

c3

( a + 2b )

2

≥

2( a + b + c)
9

3a = b + 2c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3b = c + 2a ⇔ a = b = c
3c = a + 2b


Nhận xét 5. Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với một số bất đẳng thức
phụ.
Ví dụ 10. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
a5
b5
c5

+ 2 + 2 ≥ a 2 +b 2 + c 2
2
bc
ca
ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a5
a5 2
2
3
+ c + ab ≥ 3
.c .ab = 3a 2
2
2
bc
bc

a5
= c 2 = ab ⇔ a = b = c
bc 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Tương tự, ta có:
b5
ca

+ a 2 + bc ≥ 3b 2 (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c )

2

c5
ab

2

+ b 2 + ca ≥ 3c 2 (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c )

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
a5
bc

2

⇔

b5

+

ca

a5
bc

2

2

+

c5

+

ab

b5
ca

2

+

2

(

+ a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca ≥ 3 a 2 + b 2 + c 2
c5

ab

2

(

)

≥ a 2 + b 2 + c 2 + a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca

)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Áp dụng bất đẳng thức phụ:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 12/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

a + b + c ≥ ab + bc + ca
2

2

2

(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c )
a

Ta có:

5

bc

2

+

b

5

ca

2

+

c

5

ab

≥a +b +c
2

2

2

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c
Ví dụ 11.
Cho x, y, z là các số dương và x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng:
x2 +

1
+
x2

y2 +

1
+
y2

1
≥ 82
z2

z2 +

Giải.
Bất đẳng thức phụ 1: với các số dương a, b, c, d, ta có:
a +b +
2

c +d ≥

2

2

2

( a + c)

2

+(b+ d)

2

Thật vậy, ta có:
a2 + b2 + c2 + d 2 ≥

( a +c)

⇔ a2 + b2 + c2 + d 2 + 2
⇔

(a

2

(a

2

2

+( b +d )

2

+ b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ac + 2bd

+ b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd

⇔ a 2c 2 + b 2c 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 ≥ a 2c 2 + b 2 d 2 + 2abcd
⇔ ( ad − bc ) ≥ 0
2

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
x2 +

1
+
x2

y2 +

1
1
+ z2 + 2 ≥
2
y
z
≥

2

1 1 
1
2
( x + y ) + + ÷ + z2 + 2
z
x y

( x + y + z)

2

2

1 1 1 
+ + + ÷
x y z

( 1)

Bất đẳng thức phụ 2 : với các số dương a ,b, c, ta có:

( a + b + c ) 

1 1 1
1 1 1
9
+ + ÷≥ 9 ⇔ + + ≥
a b c a +b +c

a b c 

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 13/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

1 1 1
9
+ + ≥
x
y
z
x + y +z
⇒( x + y + z )

2

2

1 1 1 
81
2
+ + + ÷ ≥( x + y + z ) +

2
y
z
( x + y +z)
x

( 2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

( x + y +z)

2

+

1

( x + y +z)

2

≥2

1

Theo giả thiết: x + y + z ≤1 ⇒ x + y + z ≥1 ⇒

80

( x + y + z)

2

≥ 80

Do đó:

( x + y + z)

2

+

81

=( x + y + z) +

1

2

( x + y + z)

2

≥ 2 + 80 = 82

( x + y + z)
( 3)

2

+

80

( x + y +z)

2

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 12.
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1
2x + y + z

+

1
x + 2y + z

+

1
x + y + 2z

1
x

+

1
y

+

1
z

= 4 . Chứng minh rằng

≤1

Giải. Áp dụng bất đẳng phụ với các số dương x, y:
1 1 
1
11 1 
+ ÷≥ 4 ⇔
≤  + ÷
x + y 4 x y 
x y

( x + y) 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Ta có:

1
1 1

1  1 1
1
1 
≤ 
+
≤ 
+
+
÷
2x + y + z 4  2x y + z  4  2x 4 y 4z ÷


2x = y + z

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 

y = z

⇔x= y=z

Tương tự, ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 14/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

1

1 1

1
1 
+
 +
÷ (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z )
4  4x 2 y 4z 

≤

x + 2y + z
1

1 1

1
1 
+
 +
÷ (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z )
4  4x 4 y 2z 

≤

x + y + 2z

Năm học 2013-2014

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
1

1

+

2x + y + z

1

+

x + 2y + z

x + y + 2z

≤

11

1 1
 + + ÷= 1
4 x y z 

x = y = z
3

⇔x= y=z=
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  1 1 1

4
 x + y + z = 4
Nhận xét 6. Đặt ẩn phụ trước khi biến đổi giúp ta đưa một số bất đẳng thức về các
bất đẳng thức đơn giản.
Ví dụ 13. Với các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 , chứng minh rằng:
1
a ( b + c)
2

+

1

+

b ( c + a)
2

1
c

2

( a + b)

≥

3
2

Đẳng thức xảy ra khi nào?
1

1

1

a

b

c

Giải. Đặt x = , y = , z = , ta thu được: xyz = 1 .
1

Ta có: a 2 ( b + c )

=

x
1
y

2

+

2

1

=

x yz
y+z

=

x
y+z

z

Biến đổi tương tự, ta được:

1
b ( c + a)
2

=

y

,

z+x c

1
2

( a + b)

=

z
x+ y

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 15/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

x
y+z

+



y
z+x

x

⇔

 y+z

z

+

x+y

≥

Năm học 2013-2014

3
2

  y
 9
  z
+ 1 ÷+ 
+ 1 ÷≥
 x+y
 z+x
 2

+ 1 ÷+ 

 1

⇔( x + y + z) 

 y+z

+

1
z+x

+

 9
≥
x+y÷
 2
1

Áp dụng bất đẳng thức trong Ví dụ 1, ta có:


1
1
1 
+
+
÷
x+y y+z z +x

( x + y + z) 
=

( x + y + y + z + z + x) 

1
1
1  9
 x + y + y + z + z + x ÷≥ 2



2

Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x + y = y + z = z + x ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c
Ví dụ 14. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
a b c+
3

2

c

2

b

2

+

b

ac

2

≥ ac + ab + 1

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Chia cả hai vế cho bc > 0 , ta được:
a b+
3

c
b

3

+

1
ac

3

Đặt a = x, b =
x

3

y

+

y

3

z

+

z

≥
1
y

a
b

+

,c=

1
bc
1
z

+

a
c

bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

3

x

≥ xy + yz + zx

Bất đẳng thức trên đó được chứng minh ở Ví dụ 6.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a =

1
b

=

1
c

Nhận xét 7. Sử dụng hằng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy.
Ví dụ 15. Với a, b, c dương, chứng minh rằng:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 16/31

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

a

3

a + ab + b
2

2

b

+

Q=

3

b + bc + c
2

a

Giải. Đặt P =

2

c

+

2

2

c + ca + a
b

+

a + ab + b
2

2

3

3

2

c

+

≥

2

b + bc + c

3

a+b+c

3

2

3

a + ab + b
b

Năm học 2013-2014

c

+

2

c + ca + a
2

3

b + bc + c
2

2

a

+

3
2

3

c + ca + a
2

2

Ta có:
a −b
3

P−Q =

b −c

3

3

c −a

3

3

3

+ 2
+ 2
2
2
2
2
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a
=a−b+b−c+c−a =0
a +b
3

⇒ 2P = P + Q =

b +c

3

3

a + ab + b
2

2

+

c +a

3

b + bc + c
2

3

+

2

3

c + ca + a
2

2

Mặt khác, ta có:

(

)

a + b ≥ ab ⇔ 3 a + b − ab ≥ a + b + ab
2

2

a + b − ab
2

⇔

2

a + b + ab
2

2

≥

2

1
3

2

2

a +b

3

⇔

2

3

a + ab + b
2

2

≥

a+b
3

Chứng minh tương tự, ta được:
b +c
3

3

b + c + bc
2

2

c +a

3

b+c
3
c+a

3

c + a + ca
2

≥

2

≥

3

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:
a +b
3

2P =

a + ab + b
a+b+c
⇔P≥
3
2

b +c

3

3

2

+

c +a

3

b + bc + c
2

3

2

+

3

c + ca + a
2

2

≥ 2.

a+b+c
3

Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 16. Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 17/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

( 2 a + 2b − c )

3

+

a + b + 4c

Năm học 2013-2014

( 2b + 2 c − a )

3

+

b + c + 4a

( 2c + 2 a − b )

3

c + a + 4b

≥

9

(a
2

2

+b +c
2

2

)

Giải. Đặt x = 2a + 2b − c, y = 2b + 2c − a , z = 2c + 2a − b
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên x, y , z dương.
Ta có:

(

x + y + z =9 a +b +c
2

2

2

2

2

2

)

y + z = a + b + 4c
z + x = b + c + 4a
x + y = c + a + 4b

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
x

3

y+z

+

y

3

z+x

+

x

3

x +y +z
2

≥

x+ y

2

2

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
x

3

y+z
y

x( y + z)
4
y ( z + x)

3

y+z
z

+
+

4
z( x + y)

3

+

x+ y

4

≥x

2

≥y

2

≥z

2

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:
3
3
x3
y
x
xy + yz + zx
2
2
2
+
+
+
≥x +y +z
y+z z+x x+ y
2

x

⇔

3

y+z

+

y

3

z+x

+

x

3

≥x +y +z −
2

x+ y

2

2

xy + yz + zx
2

Áp dụng bất đẳng thức x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx , ta được:

x

3

y+z

+

y

3

z+x

+

x

3

x+ y

x +y +z
2

≥

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

2

2

2

Trang 18/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

Nhận xét 8. Khi biến đổi ta điều chỉnh các hệ số sao cho khử được hết các số hạng
không có mặt trong bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 17. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
a

2

b

b

+

2

c

4c

+

2

≥ a + 3b

a

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a

2

b
b

+ b ≥ 2a

2

c
4c
a

+ 4 c ≥ 4b
2

+ a ≥ 4c

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có:
a

2

b
⇔

b

+
a

2

c

+

2

b

4c

+

b

a
2

c

+

2

+ b + 4c + a ≥ 2 a + 4b + 4c
4c

2

≥ a + 3b

a

 a2
 b =b
 2
a = b
b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  = 4c ⇔ b = 2c
c
 a = 2c

2
 4c

=a

a

Ví dụ 18. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
a

3

b( c + a)

+

b

3

c( a + b)

+

c

2

b+c

≥a+

b

2

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 19/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

a

3

b( c + a)
b

b
2

3

c ( a + b)
c

+

2

b+c

+

c

+

2

b+c
4

+
+

c+a
4
a+b
4

3

≥

2
3

≥

2

Năm học 2013-2014

a
b

≥c

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có:
a

3

b( c + a)
⇔

a

+

b

3

c( a + b)

3

b( c + a)

+

b

+

c

2

b+c

3

c ( a + b)

+

+

c

a
2

+b+c≥

2

b+c

≥a+

3
2

a+

3
2

b+c

b
2

b c+a
 a3
b( c + a) = 2 = 4

 b3
c a+b
= =
⇔a=b=c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
c
a
+

b
2
4
(
)

 c2
b+c
=

2
b + c

3. MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
3.1. KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU
3.1.1.Ví dụ mở đầu:
Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
2
2
2
2
2

2
3
a + ab + b
b + bc + c
c + ac + a

(Nguyễn Đức Tấn-“Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số”- NXB giáo
dục-Tr 77).
Lời giải:
Chứng minh bất đẳng thức riêng:
Ta có:

a3
2a − b
≥
2
2
3
a + ab + b

(

a3
2a − b
⇔ 3a 3 ≥ ( 2a − b ) a 2 + ab + b 2
≥
2
2
3
a + ab + b

)

⇔ 3a 3 ≥ 2a 3 + 2ab 2 − a 2 b − b 3 − ab 2
⇔ a 3 + b 3 + a 2 b − ab 2 ≥ 0
⇔ ( a + b )( a − b ) 2 ≥ 0 (Bất đẳng thức luôn đóng).

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 20/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b
a3
2a − b
≥
Do đó, ta có: 2
2
3
a + ab + b

(1)

b3
2b − c
≥

Tương tự, ta có: 2
, dấu “=” xảy ra khi b=c
2
3
b + bc + c

(2)

c3
2c − a
≥
, dấu “=” xảy ra khi a=c
2
2
3
c + ac + a

Cộng

(1),(2),(3)

vế

với

vế

(3)
ta

được

:

a3
b3
c3
2a − b 2b − c 2c − a a + b + c
+
+
≥
+
+
=
(ĐPCM)
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
a + ab + b
b + bc + c
c + ac + a

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c

Nhận xét: Bất đẳng thức trên được chứng minh rất gọn và hay nhưng có vẻ
không “tự nhiên” khi tác giả đưa ra bất đẳng thức riêng

a3
2a − b
≥
. Ta thấy
2
2
3
a + ab + b

rằng khi đã tìm ra bất đẳng thức riêng này thì bài toán trở nên thật đơn giản, tuy nhiên
làm thế nào để tìm ra bất đẳng thức riêng đó, đó là điều ta cần phải giải đáp cho học
sinh và giúp học sinh tìm ra bất đẳng thức riêng trong các bài tương tự.
3.1.2. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.
Ví dụ 27: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3.
Chứng minh rằng:

a
b
c
3
+
+
≥ .
2
2
2
2

1+ b
1+ c
1+ a

Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số thì ta có:
a
b
c
a
b
c
1 a b c 3
+
+
≤
+
+
= . + +  ≥ ?
2
2
2
2b 2c 2a 2  b c a  2
1+ b
1+ c
1+ a

Như vậy ta sẽ được một bất đẳng thức đổi chiều, và do đó ta không có được điều phải
chứng minh.
Tuy

nhiên,

thử

biến

đổi

một

chút

biểu

thức

đã

cho

ta

thấy:

a
ab 2 Cauchy
ab 2
ab
=
a

−
≥
a
−
= a − , thật may mắn vì đến đây ta được một bất đẳng
2
2
1+ b
1+ b
2b
2

thức cùng chiều. Làm tương tự cho các biểu thức còn lại rồi cộng chúng lại ta được
điều phải chứng minh
Lời giải:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 21/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Ta có:

Năm học 2013-2014

a
ab 2 Cauchy
ab 2

ab
=
a
−
≥
a
−
= a−
2
2
1+ b
1+ b
2b
2

Tương tự ta có

b
bc 2 Cauchy
bc 2
bc
=
b
−
≥
b
−
=b−
2
2

1+ c
1+ c
2c
2

c
ca 2 Cauchy
ca 2
ac
=
c
−
≥
c
−
=c−
2
2
1+ a
1+ a
2a
2

Cộng

các

bất

đẳng

thức

trên

với

nhau

vế

với

vế

ta

được:

a
b
c
 ab + bc + ac 
+
+
≥ ( a + b + c) − 

2
2
2

2
1+ b
1+ c
1+ a


1
3

1
3

2
Mặt khác ta có: ab + bc + ac ≤ .( a + b + c ) = .9 = 3

Từ đó suy ra

a
b
c
3 3
+
+
≥ 3− =
2
2
2
2 2
1+ b
1+ c

1+ a

Nhận xét: Như vậy ta thấy rằng qua một phép biến đổi ta đã đưa biểu thức mà ta
muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu
thức mang dấu âm, từ đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu mà vẫn
được các bất đẳng thức cùng chiều. Đó chính là kỹ thuật Cauchy ngược dấu.
Ví dụ 19: Chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có:
a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
2
a +b
b +c
c +a

Lời giải:
a3
ab 2 Cosi
ab 2
b

=a− 2
≥ a−
= a − .Dấu “=” xảy ra khi a=b.
Ta có: 2
2
2
2ab
2
a +b
a +b
b3
bc 2 Cosi
bc 2
c
= b − .Dấu “=” xảy ra khi b=c.
Tương tự ta có: 2 2 = b − 2 2 ≥ b −
2bc
2
b +c
b +c
c3
ca 2 Cosi
ca 2
a
=
c
−
≥
c
−

= c − . Dấu “=” xảy ra khi a=c.
2
2
2
2
2ac
2
c +a
c +a

Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
a3
b3
c3
a+b+c a+b+c
+ 2
+ 2
≥ ( a + b + c) −
=
2
2
2
2
2
2
a +b
b +c
c +a

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.

Từ bài toán Ví dụ 6 và Ví dụ 7 ta có các bài toán tương tự sau:
Ví dụ 20: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 22/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

a
b
c
d
+
+
+
≥2.
2
2
2
1+ b
1+ c
1+ d
1+ a2

Ví dụ 21:Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng:
a +1 b +1

c +1
+ 2
+ 2
≥ 3.
2
b +1 c +1 a +1

Ví dụ 22: Cho a,b,c,d là các số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:
a +1 b +1
c +1
d +1
+ 2
+ 2
+ 2
≥4
2
b +1 c +1 d +1 a +1

Ví dụ 23: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
≥2.
a +1 b +1 c +1 d +1
2

Ví dụ 24:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
a3
b3
c3
d3
a+b+c+d
+
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a +b
b +c
c +d
d +a

Ví dụ 25: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
a4
b4
c4
d4
a+b+c+d

+ 3
+ 3
+ 3
≥
3
3
3
3
3
3
a + 2b
b + 2c
c + 2d
d + 2a

Ví dụ 26: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c có tổng bằng 3,ta có:
a2
b2
c2
+
+
≥1
a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2

Ví dụ 27: Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
+
+

≥ 1.
a + 2b 3 b + 2c 3 c + 2a 3

Hướng dẫn
a2
2ab 3
2ab 3
2
=a−
≥a−
= a − ⋅ b.3 a 2 .
Ta có:
3
3
6
3
3
a + 2b
a + 2b
3. ab

Từ đó ta cần chứng minh: b.3 a 2 + c.3 b 2 + a.3 c 2 ≤ 3 (*)
Vì

3

a 2 = 3 a.a.1 ≤ 2a + 1 ⇒ b.3 a 2 ≤ b( 2a + 1) .

Bây giờ chúng ta cùng trở lại với Ví dụ mở đầu:
a3

b3
c3
a+b+c
+
+
≥
.
2
2
2
2
2
2
3
a + ab + b
b + bc + c
c + ac + a

Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu, ta có:
a3
ab( a + b )
ab( a + b )
a + b 2a − b
=a− 2
≥a−
=a−
=
.
2
2

2
3ab
3
3
a + ab + b
a + ab + b

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 23/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

Như vậy, ta có bất đẳng thức riêng

a3
2a − b
≥
mà tác giả Nguyễn Đức Tấn
2
2
3
a + ab + b

đã đưa ở Ví dụ trên mà tôi đã giới thiệu .
3.2. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY.
3.2.1. Điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.

Ví dụ 28 : Cho a ≥ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a +

1
a

Phân tích:
 Sai lầm thường gặp khi giải bài toán trên là: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
các số không âm a,

1
1
1
ta có: a + ≥ 2 a ⋅ = 2 .Vậy min S=2
a
a
a

 Nguyên nhân sai lầm: Min S=2 ⇔ a =

1
⇔ a = 1 mâu thuẫn với giả thiết a ≥ 3 .
a

Tìm lời giải đúng:
Vì bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu “=” tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,
nên thay cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a,
đẳng thức Cauchy cho cặp số

1
ta sẽ áp dụng bất

a

a 1
, .Khi đó để bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu “=” thì
α a

a 1
= .Mặt khác ta nhận thấy min S đạt được khi a=3(trong điều kiện a ≥ 3 ).Do đó ta
α a

có sơ đồ điểm rơi ứng với a=3

a =3

a 3
 =
1 3
⇒ α α ⇒ = ⇒ α = 9 .Từ đó ta có lời giải đúng sau:
1 1
3 α
 =
α 3

Lời giải đúng:
Ta có

S =a+

Vậy MinS=

1  a 1  8a
a 1 8.3 10
= + +
≥ 2. ⋅ +
= .Dấu “=” xảy ra khi a=3
a 9 a 9
9 a
9
3

10
⇔a=3
3

Ví dụ 29: Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng a + b +

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

1
5
≥
a+b 2

Trang 24/31


Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán

Năm học 2013-2014

Phân tích:
a = b > 0
⇔ a = b =1
 a.b = 1

Ta dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức đã cho xảy ra khi 

a + b 2
 α =α
2 1
⇒ = ⇔ α = 4 .Từ đó ta có lời giải:
Với a=b=1 ta có sơ đồ điểm rơi:  1
1
α 2

=
a +b 2

Lời giải:
Ta có: a + b +

1
a+b
1
3.( a + b )
=
+
+
≥ 2.
a+b

4
a+b
4

( a + b) ⋅
4

1
3.2 ab
3 5
+
= 1+ =
a+b
4
2 2

a = b > 0
⇔ a = b =1.
 a.b = 1

Dấu “=” xảy ra khi 

Ví dụ 30: Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= a + b + c +

1
abc

Phân tích:
 Sai lầm thường gặp : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm a,b,c

và

1
abc

ta được: a + b + c +

1
1
≥ 4.4 a.b.c.
= 4 suy ra minT=4.
abc
abc

 Nguyên nhân sai lầm: minT=4 ⇔ a = b = c =

1
= 1 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = 3 mâu
abc

thuẫn với giả thiết a 2 + b 2 + c 2 = 1
Tìm lời giải đúng:
Vì dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

1
3

nên khi đó

1

=3 3
abc

1

a=b=c=

1

3 ⇒ 1 = 3 3 ⇒α =9
⇒
Sơ đồ điểm rơi: a = b = c =
α
3
3
 1 =3 3
 α .abc
α

Lời giải đúng:
Ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường

Trang 25/31