Tải bản đầy đủ (.pdf) (13 trang)

Chuyên đề MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC pot

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (212.44 KB, 13 trang )

Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO

Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI.

Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm

Bài 1:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc3++=
Chứng minh rằng:

()
()
()()
()
()
333
abc3
(1)
abac bcba cacb 4
++≥
++ ++ ++



Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.


+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.

Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
abc3++=
để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

()
()
()()
()
()
()
333
abc
abc
(1)
abac bcba cacb 4
++
⇔++≥
++ ++ ++

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
()
()
()

33
3
aaabac3a
3
abac abac 8 88
a
4
bac
8
⎛⎞
⎛⎞
++
⎛⎞







++≥ =



⎟⎜






⎝⎠
⎝⎠


++ ++
++
⎝⎠

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()() ()()
()
()
()
()
33
3
33
3
bbcba bbcba3b
3
bcba 8 8 bcba 8 8 4
ccacb ccacb3c
3
cacb 8 8 cacb 8 8 4
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
++ ++



⎟⎟
⎜⎜

++≥ =

⎟⎟

⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜

⎝⎠⎝⎠


++ ++
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
++ ++
⎛⎞







++≥ =











⎝⎠
⎝⎠


++ ++
⎝⎠

Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt:

()
()
()()
()
()
333
abcabc3
abac bcba cacb 4 4
++
++≥=
++ ++ ++
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra

abc1⇔===








Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=
Chứng minh rằng:

()
()()()()
()
333
abc3


1b1c 1c1a 1a1b 4
++ ≥
++ ++ ++


Bài 2:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
ab bc ca abc++=


Chứng minh rằng:

222
abcabc
abc bca cab 4
++
++≥
+++

Bài 3:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=

Chứng minh rằng:

222
abc3
bc ca ab 2
++ ≥
++ +

Bài toán có liên quan:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=

Chứng minh rằng:

()
()

()
333
1113
ab c bc a ca b 2
++≥
+++

Bài 4:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc1++=

Chứng minh rằng:

()
()
()
333
2
2
abc1
ca ab 4
bc
++≥
++
+



Bài 2
:


Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc3++=

Chứng minh rằng:

()
()()
333
abc
1 (1)
b2c a c2a b a2b c
++≥
++ +


Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.
Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
abc3++= để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

()
()()
333
abcabc

(1)
b2c a c2a b a2b c 3
++
⇔++≥
++ +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
()
()
()
()
33
3
aa
33b2ca9a
b2c a b
9
2c a
3a
9
b2c
⎛⎞



+≥ +=






++
⎝⎠
++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
33
3
33
3
99
9
bb
3c 2a b 3 3c 2a b 9b
c2ab c2ab
cc
3a 2b c 3 3a 2b c 9c

a2b c a2b c
9
⎛⎞



++ +≥ +=





++
⎝⎠
⎛⎞



++ +≥ +=





++
⎝⎠

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

()

()()
()()
()
()()
333
333
abc
96abc9abc
b2c a c2a b a2b c
abcabc
1
b2c a c2a b a2b c 3
⎡⎤
⎢⎥
++ +++≥++
⎢⎥
++ +
⎣⎦
++
⇒++≥=
++ +

Đẳng thức xảy ra
abc1⇔===


Bài 3
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện

222
abc1++=

Chứng minh rằng:

333
abc1



b2c c2a a2b 3
++ ≥
++ +


Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
222
abc1++= để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế

()
333222
abcabc
1
b2c c2a a2b 3
++
⇔++≥
++ +


Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
() ()
33
2
a9a
2.ab2c6a
b2c b
ab 2
9
2
c
c
+≥ +=
++
+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
() ()
()
()
()
()
33
2
33
2

9
9
b9b
bc 2a 2 .bc 2a 6b
c2a c2a
c9c
ca 2b 2 .ca 2ab 6c
a2b a2b
++≥ +=
++
++≥ + =
++

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:


()
()
()
()
()
333
222
333
222 222
333222
abc
93abbcca6abc
b2c c2a a2b
abc

96abc3abbcca3abc
b2c c2a a2b
abcabc1
b2c c2a a2b 3 3
⎛⎞


++ +++≥++





++ +
⎝⎠
⎛⎞


⇒ + + ≥ ++ − ++ ≥ ++



⎟⎜
++ +
⎝⎠
++
⇒++≥ =
++ +

Đẳng thức xảy ra

3
abc
3
⇔===

Bài tập tương tự
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
222
abc1++=
Chứng minh rằng:

333
abc1


ab bc ca 2
++≥
+++


Bài 4
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
ab bc ca 1++=
Chứng minh rằng:

222
abc3


(1)
2
1a 1b 1c
++≤
+++


Hướng dẫn:

+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện
Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
ab bc ca 1++=
để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

22
aa aa1aa
.
abac 2abac
1a ab ca bca
⎛⎞


==≤+





⎝⎠
++ + +
++++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

2
2
b1b b
2b c b a
1b
c1c c
2c a a b
1c
⎛⎞


≤+




⎝⎠
++
+
⎛⎞



≤+




⎝⎠
++
+

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

222
abc1abbcca3
2a b b c c a 2
1a 1b 1c
⎛⎞
+++


++≤++=




⎝⎠
+++
+++

Đẳng thức xảy ra
3

abc
3
⇔===






Bài 5
:

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn
abc2++=

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

ab bc ac
S
2c ab 2a bc 2b ac
=++
+++


Bài giải
:

Ta lần lượt có:
()
()

()
() ()
()
() ()()
()
()
ab ab ab ab 1 1
2c ab 2 c a c b
cabcacb
bc bc bc bc 1 1
2a bc 2 a b a c
aabc bc abac
ca ca ca ca 1 1
2b ac 2 b c b a
babc ca bcba
bc ca bc ab c
S
2a b
b
2c a
ac


⎛⎞




==≤+






⎝⎠
+++

+++



⎛⎞




==≤+






⎝⎠
+++
++ + + +





⎛⎞



==≤+






⎝⎠
+++
++ + + +



++
⇒≤ + +
+
+
+
+
()
aab abc
1
2c b 2
+++
==
+


Đẳng thức xảy ra

2
abc
3
===

Vậy
Max

S1=
.

Bài tập tương tự

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn
abc2++=

Chứng minh rằng:

ab bc ac 1
cab abc bac 2
++≤
+++


Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ.

Dạng 1:

1)
x, y 0∀> ta luôn có:

()
11
xy 4
xy
⎛⎞


++≥





⎝⎠

Đẳng thức xảy ra

xy=
2)
x, y, y 0∀>
ta luôn có:

()
111
xyx 9
xyy
⎛⎞



++ + + ≥





⎝⎠

Đẳng thức xảy ra
⇔ xyz==


Dạng 2:
1)
x, y 0∀> ta luôn có:

11 4
xyxy
+≥
+

Đẳng thức xảy ra

xy=

2)
x, y, z 0∀> ta luôn có:


111 9
xyzxyz
++≥
++

Đẳng thức xảy ra

xyz==



Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c
ab2cbc2a ca2b 4
++
++≤
++ ++ ++



Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

()
()
ab 1 1 1 1
ab. ab.
ab2c 4ac ac bcbc
⎛⎞



=≤+




⎝⎠
++ + ++++

Tương tự ta cũng được:

()
()
()()
bc 1 1 1 1
bc. bc.
bc2a ba ca 4ba ca
ca 1 1 1 1
ca. ca.
ca2b cb ab 4cb ab
⎛⎞


=≤+




⎝⎠

++ + + + + +
⎛⎞


=≤+




⎝⎠
++ + + + + +

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

ab bc ca 1bcca caab abbc abc
a b 2c b c 2a c a 2b 4 a b b c a c 4
⎛⎞
++ +++


++≤++=




⎝⎠
++ ++ ++ + + +

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>



Bài 2:
Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c
a3b2cb3c2a c3a2b 6
++
++≤
++ ++ ++



Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

()
()
ab 1 1 1 1 1
ab. ab.
a3b2c 9acbc2bac bc 2b
⎛⎞


=≤++




⎝⎠

++ + +++++

Tương tự ta cũng được:

()
()
()()
bc 1 1 1 1 1
bc. bc.
b3c2a ba ca 2c 9ba ca 2c
ca 1 1 1 1 1
ca. ca.
c3a2b cb ab 2a 9cb ab 2a
⎛⎞


=≤++




⎝⎠
++ ++++ + +
⎛⎞


=≤++





⎝⎠
+ + ++++ + +

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

ab bc ca 1 a b c bc ca ca ab ab bc a b c
a3b2cb3c2a c3a2b 9 2 ab bc ac 6
⎛⎞
++ + + + ++


++≤ +++=




⎝⎠
++ ++ ++ + + +

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>

Bài 3:
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
111
4
abc
++=
.Chứng minh rằng:


111
1
2ab2c a2bc ab2c
++≤
++ + + ++


Bài giải:
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

()
()
()()
()
()
111111211
2a b c 4 a b a c 16 a b c
111111121
a2bc ab bc 4ab bc 16a b c
111111112
ab2c ac bc 4ac bc 16a
ab ac
bc
⎛⎞
⎛⎞





=≤+≤++








⎝⎠
⎝⎠
++ + +
⎛⎞
⎛⎞




=≤+≤++








⎝⎠
⎝⎠
++ +++ + +

⎛⎞
⎛⎞




=≤+≤++








⎝⎠
⎝⎠
++ + + + +
+
+
++

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
11111111
.4 1
2a b 2c a 2b c a b 2c 4 a b c 4
⎛⎞


++≤++==





⎝⎠
++ + + ++

Dấu đẳng thức xảy ra
3
ab
4
⇔==

Bài 4:
Cho a,b là các số dương thỏa mãn
ab1+<
.Chứng minh rằng:

1119
1a 1b a b 2
++ ≥
−− +


Nhận xét :
()
()( )
1a 1b a b 2−+−++=

Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:


()
()( )
111 9 2
1a 1b a b 1a 1b a b 9
++ ≥ =
−− + −+−++
(đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra
1
ab
3
⇔==

Bài toán có liên quan:
Cho a,b là các số dương thỏa mãn
ab1+<
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

22
ab 1
Sab
1a 1b a b
=++++
−− +

Kết quả:
5
min S
2

=




Bài 5:
Cho a, b, C là các số dương thỏa mãn
abc1++=
.Chứng minh rằng:

1119
1a 1b 1c 4
++≥
+++


Nhận xét :
()
()
()
1a 1b 1c 4+++++=
Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:

()
()
()
111 9 9
1a 1b 1c 1a 1b 1c 4
++≥ =
+ + + + ++ ++

(đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra
1
ab
3
⇔==
.

Bài toán có liên quan:

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
abc1++=. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

abc
S
a1 b1 c1
=++
+++

Kết quả:
3
Max S
4
=


Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG
THỨC BẬC BA
Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba:


()
()
() ()
()
3
22 22
3
33
3
aba abb a b
ab a b
ab a b
22 6 2
ab
+++ +
+
⎛⎞
++


≤≤ ≤≥




⎝⎠
+
(1)
Dấu bằng xảy ra
ab⇔=



Bài 1:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

() () ()
33 3 3 3 3
333
bc ca ab
2
a4bc b4ca c4ab
+++
++≤
++ ++ ++


Bài giải:
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có
()
33
3
4b c b c+≥+
Do đó:

() ()
() ()
33 33
33
33 33
33

4b c b c a 4b c a b c
11bcbc
abc abc
a4bc a4bc
+≥+⇒+ +≥++
++
⇒≤⇒≤
++ ++
++ ++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
()
33
3
33
3
ca ca
abc
b4ca
ab ab
abc
c4ab
++

++
++
++


++
++

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

() () ()
()
33 33 33
333
2a b c
bc ca ab
2
abc
a4bc b4ca c4ab
++
+++
++≤=
++
++ ++ ++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>


Bài 2:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

33 33 33
1111
ababcbcabccaabcabc

++≤
++ ++ ++



Bài giải

Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có
()
33
ababab+≥ +

Do đó:

()
()
33
33
11
ababcababc
ababcababc
++ ≥ ++⇒ ≤
++ ++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
()
33
33

11
bcabcbcabc
11
caabccaabc

++ ++

++ ++

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

33 33 33
11111111
a b abc b c abc c a abc a b c ab bc ca abc
⎛⎞


++≤++=




⎝⎠
++ ++ ++ ++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>

Bài toán có liên quan:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

abc 1=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

33 32 33
111
S
ab1bc1ca1
=++
++ ++ ++

Kết quả:
Max

S1=


Bài 4:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=
. Chứng minh rằng:

33 33 33
222222
ab bc ca
2
aabb bbcc ccaa
+++
++≥
++ ++ ++




Bài giải:
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có
22
22
ab ab
aabb 3
++

++

Suy ra:
()
33 33 33
3
222222
ab bc ca abbcca2 2
abc 3.abc2
aabb bbcc ccaa 3 3 3 3 3
++++++
++≥++=++≥=
++ ++ ++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc1⇔===

Bài toán có liên quan:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
xyz 1= . Chứng minh rằng:


99 99 99
6339 63366336
xy yz zx
2
xxyy yyzz zzxx
+++
++≥
++ ++ ++


Kỹ thuật 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ



Bài 1:
Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện
abc 1=
Chứng minh rằng:

22 22 22
1a b 1b c 1c a
33
ab bc ca
++ ++ ++
++≥


Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

33 33
3
1 a b 3 1.a .b 3ab++≥ = (Tạm gọi là bđt phụ trợ)
Suy ra:
33
33 33
3
1a b 3
1 a b 3 1.a .b 3ab
ab ab
++
++≥ = ⇒ ≥

Chứng minh tương tự ta cũng được:

33
33
1b c 3
bc bc
1c a 3
ca ca
++

++


Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
22 22 22
3
1a b 1b c 1c a 3 3 3 3 3 3

3 33
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
++ ++ ++
++≥++≥ =

Dấu đẳng thức xảy ra
abc1⇔===

Bài 2:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

32 32 32 2 22
2a 2b 2c 1 1 1
abbcca a bc
++≤++
+++


Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
32 32
ab2ab2abb+≥ =

Suy ra:
32 32
32
2a 1
ab2ab2abb
ab ab
+≥ = ⇒ ≤

+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

32
32
2b 1
bc bc
2c 1
ca ca

+

+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

32 32 32 2 2 2
2a 2b 2c 1 1 1 1 1 1
abbcca abbccaa b c
+ + ≤++≤++
+++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>

Bài 3:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

222

222
abc
1
a2bcb2cac2ab
++≥
+++


Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức :
22
bc2bc+≥

Ta có :
22
22 2 2 22
22222222
11aa
bc2bca2bcabc
a2bcabc a2bcabc
+≥ ⇒+ ≤++⇒ ≥ ⇒ ≥
++++++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

22
2222
22
2222
bb

b2caabc
cb
c2ababc

+++

+++

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt


222 2 2 2
2 2 2 2 22 2 22 2 22
abc a b c
1
a2bcb2cac2ababc abcabc
++≥ + + =
+ + + ++++++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>


Bài 4:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
3
abc
4
++=
. Chứng minh bất đẳng thức:


33
3
a3b b3c c3a 3+++++≤


Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
()
3
3
a3b11 a3b2
a 3b a 3b .1.1
33
+++ ++
+= + ≤ =

Chứng minh tương tự ta cũng được:

3
3
b3c2
b3c
3
c3a2
c3a
3
++
+≤
++

+≤

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

()
33
3
4a b c 6
a3b b3c c3a 3
3
++ +
+++++≤ =

Dấu đẳng thức xảy ra
1
abc
4
⇔===


Bài 5:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

ab bc ca a b c
ab bc ca 2
++
++≤
+++



Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
()
2
ab a b
ab2ab ab 4ab
ab 4
+
+≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥
+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

bc b c
bc 4
ca c a
ca 4
+

+
+

+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

ab bc ca a b b c c a a b c
ab bc ca 4 4 4 2
+++++
++≤++=

+++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>


Bài toán có liên quan:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
abc3++=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

ab bc ca
S
ab bc ca
=++
+++

Kết quả:
3
Max S
2
=


Bài 6:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

()
()
()

333
33
3
3
33
abc
1
bca
abc cab
++≥
++
++ ++


Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
()
()
22
32
1x1xx x
1x 1x1xx 1
22
++−−
+≥ + −+ ≤ =+

Vận dụng bđt trên ta sẽ được:

()
3 2

3222
222
3
3
2
a111a
bc
abc
1b c
abc
bc
1
1
1
a
2a
a
=≥≥=
+
⎛⎞
++
+
++
⎛⎞
+


+
+




+






⎝⎠

⎝⎠

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
()
32
3222
3
32
3
222
3
bb
bca abc
cc
abc
cab


++ + +

++
++

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt:


()
()
()
333222
33
3222222222
3
33
abcabc
1
b ca abc abc abc
abc cab
++≥++=
++ ++ ++ ++
++ ++




Ngày soạn 30/04/2009.

Hết



×