Chuyên đề MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC pot

Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO

Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI.

Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm

Bài 1:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc3++=
Chứng minh rằng:

()
()
()()
()
()
333
abc3
(1)
abac bcba cacb 4
++≥
++ ++ ++



Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.

+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.

Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
abc3++=
để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

()
()
()()
()
()
()
333
abc
abc
(1)
abac bcba cacb 4
++
⇔++≥
++ ++ ++

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
()
()
()

33
3
aaabac3a
3
abac abac 8 88
a
4
bac
8
⎛⎞
⎛⎞
++
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
++≥ =
⎜
⎟
⎟
⎟⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜

⎝⎠
⎝⎠
⎟
⎜
++ ++
++
⎝⎠

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()() ()()
()
()
()
()
33
3
33
3
bbcba bbcba3b
3
bcba 8 8 bcba 8 8 4
ccacb ccacb3c
3
cacb 8 8 cacb 8 8 4
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
++ ++
⎟
⎜

⎟⎟
⎜⎜
⎟
++≥ =
⎜
⎟⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎜
⎝⎠⎝⎠
⎟
⎜
++ ++
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
++ ++
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
++≥ =
⎜
⎟

⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
⎝⎠
⎟
⎜
++ ++
⎝⎠

Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt:

()
()
()()
()
()
333
abcabc3
abac bcba cacb 4 4
++
++≥=
++ ++ ++
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra

abc1⇔===








Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=
Chứng minh rằng:

()
()()()()
()
333
abc3


1b1c 1c1a 1a1b 4
++ ≥
++ ++ ++


Bài 2:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
ab bc ca abc++=

Chứng minh rằng:

222
abcabc
abc bca cab 4
++
++≥
+++

Bài 3:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=

Chứng minh rằng:

222
abc3
bc ca ab 2
++ ≥
++ +

Bài toán có liên quan:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=

Chứng minh rằng:

()
()

()
333
1113
ab c bc a ca b 2
++≥
+++

Bài 4:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc1++=

Chứng minh rằng:

()
()
()
333
2
2
abc1
ca ab 4
bc
++≥
++
+



Bài 2
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc3++=

Chứng minh rằng:

()
()()
333
abc
1 (1)
b2c a c2a b a2b c
++≥
++ +


Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.
Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
abc3++= để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

()
()()
333
abcabc

(1)
b2c a c2a b a2b c 3
++
⇔++≥
++ +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
()
()
()
()
33
3
aa
33b2ca9a
b2c a b
9
2c a
3a
9
b2c
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
+≥ +=
⎜
⎟

⎜
⎟
⎜
++
⎝⎠
++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
33
3
33
3
99
9
bb
3c 2a b 3 3c 2a b 9b
c2ab c2ab
cc
3a 2b c 3 3a 2b c 9c

a2b c a2b c
9
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
++ +≥ +=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++
⎝⎠
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
++ +≥ +=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++
⎝⎠

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

()

()()
()()
()
()()
333
333
abc
96abc9abc
b2c a c2a b a2b c
abcabc
1
b2c a c2a b a2b c 3
⎡⎤
⎢⎥
++ +++≥++
⎢⎥
++ +
⎣⎦
++
⇒++≥=
++ +

Đẳng thức xảy ra
abc1⇔===


Bài 3
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện

222
abc1++=

Chứng minh rằng:

333
abc1



b2c c2a a2b 3
++ ≥
++ +


Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
222
abc1++= để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế

()
333222
abcabc
1
b2c c2a a2b 3
++
⇔++≥
++ +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
() ()
33
2
a9a
2.ab2c6a
b2c b
ab 2
9
2
c
c
+≥ +=
++
+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
() ()
()
()
()
()
33
2
33
2

9
9
b9b
bc 2a 2 .bc 2a 6b
c2a c2a
c9c
ca 2b 2 .ca 2ab 6c
a2b a2b
++≥ +=
++
++≥ + =
++

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:


()
()
()
()
()
333
222
333
222 222
333222
abc
93abbcca6abc
b2c c2a a2b
abc

96abc3abbcca3abc
b2c c2a a2b
abcabc1
b2c c2a a2b 3 3
⎛⎞
⎟
⎜
++ +++≥++
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
++ +
⎝⎠
⎛⎞
⎟
⎜
⇒ + + ≥ ++ − ++ ≥ ++
⎟
⎜
⎟
⎟⎜
++ +
⎝⎠
++
⇒++≥ =
++ +

Đẳng thức xảy ra

3
abc
3
⇔===

Bài tập tương tự
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
222
abc1++=
Chứng minh rằng:

333
abc1


ab bc ca 2
++≥
+++


Bài 4
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
ab bc ca 1++=
Chứng minh rằng:

222
abc3

(1)
2
1a 1b 1c
++≤
+++


Hướng dẫn:

+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện
Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
ab bc ca 1++=
để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

22
aa aa1aa
.
abac 2abac
1a ab ca bca
⎛⎞
⎟
⎜
==≤+
⎟
⎜

⎟
⎜
⎝⎠
++ + +
++++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

2
2
b1b b
2b c b a
1b
c1c c
2c a a b
1c
⎛⎞
⎟
⎜
≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++
+
⎛⎞
⎟
⎜

≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++
+

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

222
abc1abbcca3
2a b b c c a 2
1a 1b 1c
⎛⎞
+++
⎟
⎜
++≤++=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+++
+++

Đẳng thức xảy ra
3

abc
3
⇔===






Bài 5
:

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn
abc2++=

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

ab bc ac
S
2c ab 2a bc 2b ac
=++
+++


Bài giải
:

Ta lần lượt có:
()
()

()
() ()
()
() ()()
()
()
ab ab ab ab 1 1
2c ab 2 c a c b
cabcacb
bc bc bc bc 1 1
2a bc 2 a b a c
aabc bc abac
ca ca ca ca 1 1
2b ac 2 b c b a
babc ca bcba
bc ca bc ab c
S
2a b
b
2c a
ac
⎧
⎪
⎛⎞
⎪
⎟
⎜
⎪
==≤+
⎟

⎜
⎪
⎟
⎜
⎝⎠
+++
⎪
+++
⎪
⎪
⎪
⎛⎞
⎪
⎪
⎟
⎜
==≤+
⎨
⎟
⎜
⎟
⎜
⎪
⎝⎠
+++
++ + + +
⎪
⎪
⎪
⎪

⎛⎞
⎪
⎟
⎜
==≤+
⎪
⎟
⎜
⎟
⎪
⎜
⎝⎠
+++
++ + + +
⎪
⎪
⎩
++
⇒≤ + +
+
+
+
+
()
aab abc
1
2c b 2
+++
==
+

Đẳng thức xảy ra
⇔
2
abc
3
===

Vậy
Max

S1=
.

Bài tập tương tự

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn
abc2++=

Chứng minh rằng:

ab bc ac 1
cab abc bac 2
++≤
+++


Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ.

Dạng 1:

1)
x, y 0∀> ta luôn có:

()
11
xy 4
xy
⎛⎞
⎟
⎜
++≥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

Đẳng thức xảy ra
⇔
xy=
2)
x, y, y 0∀>
ta luôn có:

()
111
xyx 9
xyy
⎛⎞

⎟
⎜
++ + + ≥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

Đẳng thức xảy ra
⇔ xyz==


Dạng 2:
1)
x, y 0∀> ta luôn có:

11 4
xyxy
+≥
+

Đẳng thức xảy ra
⇔
xy=

2)
x, y, z 0∀> ta luôn có:

111 9
xyzxyz
++≥
++

Đẳng thức xảy ra
⇔
xyz==



Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c
ab2cbc2a ca2b 4
++
++≤
++ ++ ++



Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

()
()
ab 1 1 1 1
ab. ab.
ab2c 4ac ac bcbc
⎛⎞

⎟
⎜
=≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + ++++

Tương tự ta cũng được:

()
()
()()
bc 1 1 1 1
bc. bc.
bc2a ba ca 4ba ca
ca 1 1 1 1
ca. ca.
ca2b cb ab 4cb ab
⎛⎞
⎟
⎜
=≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

++ + + + + +
⎛⎞
⎟
⎜
=≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + + + + +

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

ab bc ca 1bcca caab abbc abc
a b 2c b c 2a c a 2b 4 a b b c a c 4
⎛⎞
++ +++
⎟
⎜
++≤++=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ ++ ++ + + +

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>

Bài 2:
Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c
a3b2cb3c2a c3a2b 6
++
++≤
++ ++ ++



Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

()
()
ab 1 1 1 1 1
ab. ab.
a3b2c 9acbc2bac bc 2b
⎛⎞
⎟
⎜
=≤++
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

++ + +++++

Tương tự ta cũng được:

()
()
()()
bc 1 1 1 1 1
bc. bc.
b3c2a ba ca 2c 9ba ca 2c
ca 1 1 1 1 1
ca. ca.
c3a2b cb ab 2a 9cb ab 2a
⎛⎞
⎟
⎜
=≤++
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ ++++ + +
⎛⎞
⎟
⎜
=≤++
⎟
⎜
⎟

⎜
⎝⎠
+ + ++++ + +

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

ab bc ca 1 a b c bc ca ca ab ab bc a b c
a3b2cb3c2a c3a2b 9 2 ab bc ac 6
⎛⎞
++ + + + ++
⎟
⎜
++≤ +++=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ ++ ++ + + +

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>

Bài 3:
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
111
4
abc
++=
.Chứng minh rằng:

111
1
2ab2c a2bc ab2c
++≤
++ + + ++


Bài giải:
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

()
()
()()
()
()
111111211
2a b c 4 a b a c 16 a b c
111111121
a2bc ab bc 4ab bc 16a b c
111111112
ab2c ac bc 4ac bc 16a
ab ac
bc
⎛⎞
⎛⎞
⎟
⎟
⎜
⎜

=≤+≤++
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎝⎠
++ + +
⎛⎞
⎛⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
=≤+≤++
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎝⎠
++ +++ + +

⎛⎞
⎛⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
=≤+≤++
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎝⎠
++ + + + +
+
+
++

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
11111111
.4 1
2a b 2c a 2b c a b 2c 4 a b c 4
⎛⎞
⎟
⎜
++≤++==

⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + + ++

Dấu đẳng thức xảy ra
3
ab
4
⇔==

Bài 4:
Cho a,b là các số dương thỏa mãn
ab1+<
.Chứng minh rằng:

1119
1a 1b a b 2
++ ≥
−− +


Nhận xét :
()
()( )
1a 1b a b 2−+−++=

Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:

()
()( )
111 9 2
1a 1b a b 1a 1b a b 9
++ ≥ =
−− + −+−++
(đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra
1
ab
3
⇔==

Bài toán có liên quan:
Cho a,b là các số dương thỏa mãn
ab1+<
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

22
ab 1
Sab
1a 1b a b
=++++
−− +

Kết quả:
5
min S
2

=




Bài 5:
Cho a, b, C là các số dương thỏa mãn
abc1++=
.Chứng minh rằng:

1119
1a 1b 1c 4
++≥
+++


Nhận xét :
()
()
()
1a 1b 1c 4+++++=
Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:

()
()
()
111 9 9
1a 1b 1c 1a 1b 1c 4
++≥ =
+ + + + ++ ++

(đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra
1
ab
3
⇔==
.

Bài toán có liên quan:

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
abc1++=. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

abc
S
a1 b1 c1
=++
+++

Kết quả:
3
Max S
4
=


Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG
THỨC BẬC BA
Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba:

()
()
() ()
()
3
22 22
3
33
3
aba abb a b
ab a b
ab a b
22 6 2
ab
+++ +
+
⎛⎞
++
⎟
⎜
≤≤ ≤≥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+
(1)
Dấu bằng xảy ra
ab⇔=

Bài 1:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

() () ()
33 3 3 3 3
333
bc ca ab
2
a4bc b4ca c4ab
+++
++≤
++ ++ ++


Bài giải:
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có
()
33
3
4b c b c+≥+
Do đó:

() ()
() ()
33 33
33
33 33
33

4b c b c a 4b c a b c
11bcbc
abc abc
a4bc a4bc
+≥+⇒+ +≥++
++
⇒≤⇒≤
++ ++
++ ++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
()
33
3
33
3
ca ca
abc
b4ca
ab ab
abc
c4ab
++
≤
++
++
++
≤

++
++

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

() () ()
()
33 33 33
333
2a b c
bc ca ab
2
abc
a4bc b4ca c4ab
++
+++
++≤=
++
++ ++ ++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>


Bài 2:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

33 33 33
1111
ababcbcabccaabcabc

++≤
++ ++ ++



Bài giải

Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có
()
33
ababab+≥ +

Do đó:

()
()
33
33
11
ababcababc
ababcababc
++ ≥ ++⇒ ≤
++ ++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
()
33
33

11
bcabcbcabc
11
caabccaabc
≤
++ ++
≤
++ ++

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

33 33 33
11111111
a b abc b c abc c a abc a b c ab bc ca abc
⎛⎞
⎟
⎜
++≤++=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ ++ ++ ++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>

Bài toán có liên quan:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

abc 1=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

33 32 33
111
S
ab1bc1ca1
=++
++ ++ ++

Kết quả:
Max

S1=


Bài 4:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=
. Chứng minh rằng:

33 33 33
222222
ab bc ca
2
aabb bbcc ccaa
+++
++≥
++ ++ ++

Bài giải:
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có
22
22
ab ab
aabb 3
++
≥
++

Suy ra:
()
33 33 33
3
222222
ab bc ca abbcca2 2
abc 3.abc2
aabb bbcc ccaa 3 3 3 3 3
++++++
++≥++=++≥=
++ ++ ++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc1⇔===

Bài toán có liên quan:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
xyz 1= . Chứng minh rằng:

99 99 99
6339 63366336
xy yz zx
2
xxyy yyzz zzxx
+++
++≥
++ ++ ++


Kỹ thuật 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ



Bài 1:
Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện
abc 1=
Chứng minh rằng:

22 22 22
1a b 1b c 1c a
33
ab bc ca
++ ++ ++
++≥


Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

33 33
3
1 a b 3 1.a .b 3ab++≥ = (Tạm gọi là bđt phụ trợ)
Suy ra:
33
33 33
3
1a b 3
1 a b 3 1.a .b 3ab
ab ab
++
++≥ = ⇒ ≥

Chứng minh tương tự ta cũng được:

33
33
1b c 3
bc bc
1c a 3
ca ca
++
≥
++
≥

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
22 22 22
3
1a b 1b c 1c a 3 3 3 3 3 3

3 33
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
++ ++ ++
++≥++≥ =

Dấu đẳng thức xảy ra
abc1⇔===

Bài 2:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

32 32 32 2 22
2a 2b 2c 1 1 1
abbcca a bc
++≤++
+++


Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
32 32
ab2ab2abb+≥ =

Suy ra:
32 32
32
2a 1
ab2ab2abb
ab ab
+≥ = ⇒ ≤

+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

32
32
2b 1
bc bc
2c 1
ca ca
≤
+
≤
+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

32 32 32 2 2 2
2a 2b 2c 1 1 1 1 1 1
abbcca abbccaa b c
+ + ≤++≤++
+++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>

Bài 3:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

222

222
abc
1
a2bcb2cac2ab
++≥
+++


Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức :
22
bc2bc+≥

Ta có :
22
22 2 2 22
22222222
11aa
bc2bca2bcabc
a2bcabc a2bcabc
+≥ ⇒+ ≤++⇒ ≥ ⇒ ≥
++++++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

22
2222
22
2222
bb

b2caabc
cb
c2ababc
≥
+++
≥
+++

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt


222 2 2 2
2 2 2 2 22 2 22 2 22
abc a b c
1
a2bcb2cac2ababc abcabc
++≥ + + =
+ + + ++++++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>


Bài 4:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
3
abc
4
++=
. Chứng minh bất đẳng thức:

33
3
a3b b3c c3a 3+++++≤


Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
()
3
3
a3b11 a3b2
a 3b a 3b .1.1
33
+++ ++
+= + ≤ =

Chứng minh tương tự ta cũng được:

3
3
b3c2
b3c
3
c3a2
c3a
3
++
+≤
++

+≤

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

()
33
3
4a b c 6
a3b b3c c3a 3
3
++ +
+++++≤ =

Dấu đẳng thức xảy ra
1
abc
4
⇔===


Bài 5:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

ab bc ca a b c
ab bc ca 2
++
++≤
+++

Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
()
2
ab a b
ab2ab ab 4ab
ab 4
+
+≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥
+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

bc b c
bc 4
ca c a
ca 4
+
≥
+
+
≥
+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

ab bc ca a b b c c a a b c
ab bc ca 4 4 4 2
+++++
++≤++=

+++

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>


Bài toán có liên quan:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
abc3++=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

ab bc ca
S
ab bc ca
=++
+++

Kết quả:
3
Max S
2
=


Bài 6:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

()
()
()

333
33
3
3
33
abc
1
bca
abc cab
++≥
++
++ ++


Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
()
()
22
32
1x1xx x
1x 1x1xx 1
22
++−−
+≥ + −+ ≤ =+

Vận dụng bđt trên ta sẽ được:

()
3 2

3222
222
3
3
2
a111a
bc
abc
1b c
abc
bc
1
1
1
a
2a
a
=≥≥=
+
⎛⎞
++
+
++
⎛⎞
+
⎟
⎜
+
+
⎟

⎜
⎟
+
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝⎠
⎜
⎝⎠

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
()
32
3222
3
32
3
222
3
bb
bca abc
cc
abc
cab
≥

++ + +
≥
++
++

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt:


()
()
()
333222
33
3222222222
3
33
abcabc
1
b ca abc abc abc
abc cab
++≥++=
++ ++ ++ ++
++ ++




Ngày soạn 30/04/2009.

Hết