Sáng kiến bồi dưỡng HSG:PHƯƠNG PHÁP CHẶN

PHƯƠNG PHÁP CHẶN
Bài tập 1:Tìm các số tự nhiên x,y sao cho:
a.2x + 5y = 21
b.7x + 12y = 50
Giải:
a.Vì 2x≥ 1 nên 5y≤ 20 vậy y≤ 4 .Ta có bảng sau:
y

0

1

2

3

4

5y

0

5

10

15

20

2x

21

16

11

6

1

x

-

4

-

-

0

Vậy (x,y) ∈ {(4,1); (0,4)}
Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b

b.Nếu y≥ 2 thì 12y≥ 122> 50 → 𝑦 < 2 → 𝑦 = 0 hoặc y = 1
-Nếu y= 0 thì 120= 1 → 7x= 49 ↔ 𝑥 = 2
-Nếu y= 1 thì 121= 12 → 7x= 38 (loại)
Vậy x = 2 ; y = 0

̅̅̅̅̅ = 7850
Bài tập 2:Tìm các số tự nhiên x,y,z biết 𝑥5.3𝑦𝑧
Giải:
̅̅̅̅̅ ≥ 35.300 = 10500 > 7850
Ta thấy nếu x≥ 3 thì ̅̅̅
𝑥5.3𝑦𝑧
→ 𝑥<3
̅̅̅̅̅ ≤ 15.399 = 5985 <
Ta cũng thấy x> 1 vì nếu x= 1 thì ̅̅̅
𝑥5.3𝑦𝑧
7850
̅̅̅̅̅ = 7850
Như vậy 1< 𝑥 < 3 → 𝑥 = 2.Thay vào đề ta có 25.3𝑦𝑧
→ ̅̅̅̅̅
3𝑦𝑧 = 7850: 25 = 314 → 𝑦𝑧
̅̅̅ = 14
Vậy x= 2; y= 1; 𝑧 = 4
Hậu Văn Võ


Bài tập 3:Tìm các số nguyên x,y biết |5𝑥 − 2| ≤ 13
Giải:
-Nếu x≥ 4 thì |5𝑥 − 2| ≥ |5.4 − 2| = |18| = 18 > 13 → 𝑥 ≤ 3
-Nếu x≤ −3 thì |5𝑥 − 2| ≥ |5. (−3) − 2| = |−17| = 17 > 13
→ 𝑥 ≥ −2
Vậy -2≤ 𝑥 ≤ 3 → 𝑥 ∈ {−2; −1; 0 ;1 ;2 ;3}
Thử lại ta có bảng sau:
x

-2

-1
12
7
|5𝑥 − 2|
Vậy x∈ {−2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3}

0
2

1
3

2
8

3
13

Bài tập 4:Tìm 3 số a,b,c ∈ 𝑁 biết a + b + c = abc và a> 𝑏 > 𝑐 > 0
Giải:
Vì a> 𝑏 > 𝑐 nên a +b +c < 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 3𝑎.
Mà a+b+c = abc → 𝑎𝑏𝑐 < 3𝑎 → 𝑏𝑐 < 3
Vậy bc∈ {1; 2} do abc≠ 0.Mặt khác vì b> c nên b= 2; c = 1
Thay vào đầu bài ta có: a + 2 + 1= 2a ↔ 𝑎 = 3
Vậy a = 3; b = 2; c = 1

Bài tập 5:Tìm 𝑥𝑦
̅̅̅ biết (𝑥𝑦
̅̅̅)y= 𝑥𝑦𝑦𝑥
̅̅̅̅̅̅̅

Giải:
̅̅̅̅̅̅̅ vô lý.Vậy y≥ 2
Ta thấy y> 1 vì nếu y = 1 thì (𝑥𝑥
̅̅̅)1 = 𝑥11𝑥
Ta lại thấy y< 4 vì nếu y≥ 4 thì (𝑥𝑥
̅̅̅)4≥ 104 = 10000> 𝑥𝑦𝑦𝑥
̅̅̅̅̅̅̅
→ 2 ≤ 𝑦 < 4.Vậy y∈ {2; 3}
̅̅̅̅̅̅̅ ↔ x2.121 = x.1001 + 220
-Nếu y = 2 ta có (𝑥𝑥
̅̅̅)2 = 𝑥22𝑥
↔ x2.121 = 11(91x+20) ↔ x2.11- 91x – 20 = 0
Phương trình trên không có nghiệm nguyên
Hậu Văn Võ


̅̅̅̅̅̅̅ .Nếu x≥ 2 thì (𝑥𝑥
-Nếu y = 3 ta có (𝑥𝑥
̅̅̅)3 = 𝑥33𝑥
̅̅̅)3≥ 223 = 10648 có
5 chữ số (không thỏa mãn).
Vậy x= 1

Bài tập 6:Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số
của nó thì bằng 249
Giải:
-Gọi số cần tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có
n + s(n) = 249
Ta thấy n phải là số có ba chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì
n + s(n)≤ 99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có

nhiều hơn 3 chữ số.
̅̅̅̅̅ thì ta có: ̅̅̅̅̅
Đặt n =𝑎𝑏𝑐
𝑎𝑏𝑐 + a + b + c = 249
Vì a + b + c≤ 27 nên 200< ̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐 < 249 → 𝑎 = 2.
̅̅̅̅̅ + 2 + b + c = 249
Thay vào bài ta được:2𝑏𝑐
↔ 200 + ̅̅̅
𝑏𝑐 + 2 + b + c = 249 ↔ ̅̅̅
𝑏𝑐 + b + c = 249 - 202 = 47
Vậy b≤ 4. Lại có b + c lớn nhất là 18 nên ̅̅̅
𝑏𝑐 nhỏ nhất là 47 - 18 = 29
→𝑏≥2
Ta có: 2≤ 𝑏 ≤ 4 → b∈ { 2; 3; 4}
̅̅̅ + c + 2 = 47 ↔ 2𝑐 = 25 (loại)
-Nếu b = 2 ta có 2𝑐
-Nếu b = 3 ta có ̅̅̅
3𝑐 + 3 + c = 47 ↔ 2𝑐 = 14 ↔ 𝑐 = 7
-Nếu b = 4 ta có ̅̅̅
4𝑐 + 4 + c = 47 ↔ 2𝑐 = 3 (loại)
Vậy số cần tìm là 237

Bài tập 7:Tìm các số nguyên x và y biết 2|𝑥| + 3|𝑦| = 5
Giải:
Nếu y = 0 thì 2|𝑥 | = 5 ↔ |𝑥 | = 2.5 vô lý vì x ∈ 𝑍
Hậu Văn Võ


Xét y≠ 0 thì 3|𝑦| ≥ 3 nên 2|𝑥 | ≤ 2 ↔ |𝑥 | ≤ 1 → |𝑥 | ∈ {0; 1}

5

-Với |𝑥 | = 0 thì 3|𝑦| = 5 ↔ |𝑦|= (vô lí vì y∈Z)
3

-Với |𝑥 | = 1 thì x∈ {1; −1} khi đó |𝑦| = 1 và y∈ {-1;1}
Thử vào đề bài ta có đáp số:
( x;y ) ∈ {(1; 1); (1; −1); (−1; 1); (−1; −1)}
̅̅̅ +𝑎̅ = 4321
Bài tập 8:Tìm số tự nhiên ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑 biết ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑 + ̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐 +𝑎𝑏
Giải:
̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑎𝑏𝑐
̅̅̅̅̅ + 𝑎𝑏
̅̅̅ +a = 4321 ↔ 𝑎𝑎𝑎𝑎
̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐
𝑎𝑏𝑐𝑑
̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑏𝑏𝑏
̅ + d = 4321
̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐
̅̅̅̅̅ +
Ta thấy a< 4, vì nếu a≥ 4 thì 𝑎𝑎𝑎𝑎
̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑏𝑏𝑏
̅ +d≥ 4444 + 𝑏𝑏𝑏
𝑐𝑐
̅ +d > 4321
̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐
Và a> 2 vì nếu a≤ 2 thì thì 𝑎𝑎𝑎𝑎

̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑏𝑏𝑏
̅ +d≤ 2222+999+99+9 =
3329< 4321 → 2< 𝑎 < 4
̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐
Vậy a = 3 khi đó ta có + 𝑏𝑏𝑏
̅ +d = 4321- 3333 = 988
̅̅̅̅̅ = 999> 988 chưa kể 𝑐𝑐
Ta thấy b< 9 vì nếu b = 9 thì 𝑏𝑏𝑏
̅ +d
̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐
Lại thấy b> 7 vì nếu b≤ 7 thì 𝑏𝑏𝑏
̅ +d≤ 777 + 99 + 9 = 885<
988
→ 7 < 𝑏 < 9. Vậy b = 8
Khi đó 𝑐𝑐
̅ +d = 100 → c = 9 ; d = 1
Vậy ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 3891
1

1

1

Bài tập 9:Tìm số ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑 biết + + = d với a> 𝑏 > 𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
Giải:

Vì a> 𝑏 > 𝑐 > 0 nên c≥ 1; 𝑏 ≥ 2 ; 𝑎 ≥ 3 khi đó ta có

1

1

1

1

1

1

+𝑏+𝑐=3+2+1=
𝑎
Hậu Văn Võ

11
6

1

1

1

< 2. Mà 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = d nên d< 2

Vậy d = 1
Ta có

1

1

1

+ 𝑏 + 𝑐 = 1 với a > b > c.
𝑎

Lại vì a > b > c > 0 →
1

1

1

1

1

1

1

1

< 𝑏 < 𝑐 khi đó ta có:

𝑎

1

3

1

1

1

3

+ + 𝑐 < 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 = 𝐶 Mà có 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 nên 𝑐 > 1
𝑎 𝑏
Vậy c = 1 hoặc c = 2
-Với c = 1 thì

1

+ + 1 = 1(vô lí)
𝑎 𝑏

1

1

-Với c = 2 thì

1

1

1

1

1

1

1

1

Vậy a = 6 ; b =3 ; c = 2 ;d =1 và ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 6321

Hậu Văn Võ

1

1

+ +2=1→𝑎+𝑏=2→𝑎=2-3=6→ 𝑎=6
𝑎 𝑏