Giải hệ phương trình bất phương trình và hình phẳng OXY thầy Đặng Việt Hùng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (96.56 KB, 4 trang )
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY
www.Moon.vn
TẶNG HỌC SINH ONLINE ĐÊM 7-3-2016
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
x + 2 y + 1 = 3 y − 2 + y + 2
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
3
2
4
( x + y ) + y − 13 y + y − 1 = 11x − 15
Lời giải.
x + 2 y ≥ 0;
x + 2 y ≥ 0
Điều kiện
⇔
2
y ≥ 3 ; y ≥ 1 y ≥ 1
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
3 ( y − 1)
x+ y−2
x + 2 y − y + 2 = 3 y − 2 −1 ⇔
=
≥ 0⇒ x+ y−2 ≥ 0⇒ x+ y ≥ 2.
x + 2y + y + 2
3y − 2 +1
Phương trình thứ hai của hệ biến đổi về ( x + y ) − 11( x + y ) + y 2 − 2 y + y 4 − 1 + 15 = 0
3
⇔ ( x + y ) − 11( x + y ) + 14 + ( y − 1) + y 4 − 1 = 0
3
2
Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 11t + 14; t = x + y ≥ 2 ⇒ f ′ ( t ) = 3t 2 − 11 > 0, ∀t ≥ 2 .
Hàm liên tục và đồng biến trên miền đang xét nên f ( t ) ≥ f ( 2 ) = 0 .
Kết hợp ( y − 1) + y 4 − 1 = 0 ≥ 0 dẫn đến ( x + y ) − 11( x + y ) + 14 + ( y − 1) + y 4 − 1 ≥ 0 .
2
3
2
y −1 = 0
x = 1
Phương trình thứ hai có nghiệm khi và chỉ khi
⇔
x + y = 2
y =1
Thử lại thấy thỏa mãn. Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1 .
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
x ( 9 x 2 − 12 x + 5 )
x ( 3x − 2 ) + 1
≥1
( x ∈ ℝ) .
Lời giải.
2
. Bất phương trình đã cho tương đương với
3
x ( 3 x − 2 ) + 1 ≤ 9 x3 − 12 x 2 + 5 x ⇔ x ( 3 x − 2 ) − 1 ≤ 9 x 3 − 12 x 2 + 5 x − 2
Điều kiện x ≤ 0 ∨ x ≥
⇔
3x 2 − 2 x − 1
x ( 3x − 2 ) + 1
≤ 9 x3 − 12 x 2 + 5 x − 2 ⇔
( x − 1)( 3x + 1) ≤ x − 1 9 x 2 − 3x + 2
( )(
)
x ( 3x − 2 ) + 1
3x + 1
≥0
⇔ ( x − 1) 9 x 2 − 3 x + 2 −
−
+
x
3
x
2
1
(
)
(1)
2
3 71
Nhận xét 9 x − 3 x + 2 = 3 x − +
> 0, ∀x ∈ ℝ nên xét các trường hợp
18 36
3x + 1
3x + 1
+) Nếu 3x + 1 < 0 ⇒ x − 1 < 0;
< 0 ⇒ 9 x 2 − 3x + 2 −
> 0 , (1) vô nghiệm.
x ( 3x − 2 ) + 1
x ( 3x − 2 ) + 1
2
+) Nếu
3x + 1 ≥ 0 ⇒ 9 x 2 − 3x + 2 −
3x + 1
x ( 3x − 2 ) + 1
≥ 9 x 2 − 3x + 2 − ( 3 x + 1) = 9 x 2 − 6 x + 1 = ( 3x − 1) ≥ 0
2
( 2) .
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY
www.Moon.vn
x ( 3x − 2 ) = 0
x ( 3 x − 2 ) = 0
Hơn nữa xét hệ
⇔
⇔ x ∈∅ ⇒ (2) không xảy ra dấu đẳng thức.
1
3 x − 1 = 0
x =
3
3x + 1
Do đó 9 x 2 − 3x + 2 −
> 0 , đi đến (1) ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇒ S = [1; +∞ ) .
x ( 3x − 2 ) + 1
( x − 1)
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
3
+ ( x + 3) 2 x − 3 ≤ 3x ( x − 1) .
Lời giải.
3
Điều kiện x ≥ .
2
Bất phương trình đã cho tương đương với ( x − 1) x − 1 + ( x + 3) 2 x − 3 ≤ 3 x ( x − 1)
⇔ ( x − 1) x − 1 − ( x − 1) + ( x + 3) 2 x − 3 − ( x + 3) ≤ 3 x 2 − 5 x − 2
⇔ ( x − 1)
⇔
(
)
x − 1 − 1 + ( x + 3)
(
( x − 1)( x − 2 ) + 2 ( x + 3)( x − 2 ) ≤
x −1 +1
)
2 x − 3 − 1 ≤ 3x 2 − 5 x − 2
2x − 3 +1
( x − 2 )( 3x + 1)
x + 3
x −1
⇔ ( x − 2 ) 3 x + 1 −
+
≥ 0
2 x − 3 + 1
x −1 + 1
3
x −1
x+3
Ta có
+
< x − 1 + x + 3 = 2 x + 2 < 3 x + 1, ∀x ≥
2
x −1 + 1
2x − 3 +1
x −1
2 ( x + 3)
⇒ 3x + 1 −
+
>0
2x − 3 +1
x −1 + 1
Do đó (1) ⇔ x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 .
Vậy, bất phương trình có nghiệm x ≥ 2 .
(
(1)
)
2 y − 2 y − 2 x 4 xy − 2 x − 4 + 8 x 3 − 4 = 3x 3
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
y + x 2 + 2 y = x + y 2 + 2 x + 2
Lời giải
4 xy − 2 x − 4 ≥ 0
y ≥ x ≥ 3 4
Điều kiện: 2
x + 2 y ≥ 0
y 2 + 2 x + 2 ≥ 0
(2) ⇔ ( y + 1) − y 2 + 2 x + 2 + x 2 + 2 y − ( x + 1) = 0
⇔
2 y − 2x −1
y + 1 + y2 + 2x + 2
+
= 0 ⇔ ( 2 y − 2 x − 1)
y +1+
x2 + 2 y + x + 1
2 y − 2x −1
1
y2 + 2x + 2
+
=0
x 2 + 2 y + x + 1
1
⇔ 2 y − 2 x − 1 = 0 (Do y ≥ x ≥ 3 4 )
Thay vào (2) ta được 2 x 2 x 2 − 4 + 8 x 3 − 4 = 3x 3
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có:
3x 3 = 2 4 + x 3 − 4 + x 2 + x 2 − 2 ≥ 8 x 3 − 4 + 2 x 2 x 2 − 4
4 = x 3 − 4
5
Dấu bằng xảy ra khi
⇔ x = 2 (thỏa mãn) ⇔ y =
2
2
2 = x − 2
(
)
(
)
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY
www.Moon.vn
5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2; .
2
2y − x
x + y = 2x − y +
2x
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
3 x 2 − 2 y + 2 = 2 x + 4 y 2 x − 1
Lời giải
1
x
≥
2
Điều kiện: x + y ≥ 0
2 x − y ≥ 0
(1) ⇔ x + y − 2 x − y =
2 y − x = 0
2y − x
2y − x
=
⇔
x + y + 2x − y
2x
x + y + 2x − y = 2x
2y − x
⇔
2x
x + y + 2x − y = 2x ⇔ x + 2
- Nếu
( x + y )( 2 x − y ) = 0
vô nghiệm do x > 0 .
- Nếu 2 y = x thay vào (2) ta được 3 x 2 − x + 2 = 2 x + 2 x 2 x − 1
(
)
⇔ x 2x − 2x − 1 + x2 − 2x + 1 + x − 2 x + 1 = 0 ⇔ x
(
)
2 x − 1 − 1 + ( x − 1) +
2
2
(
)
2
x − 1 = 0 (3)
x = 0
x 2x −1 −1 2 ≥ 0
2 x − 1 = 1
1
1
2
Ta có ( x − 1) ≥ 0
với x ≥ Nên (3) ⇔ x = 1
⇔ x =1⇔ y =
2
2
2
x
=
1
x −1 ≥ 0
1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 1; .
2
1
1
x − y + 2x2 + 1 = 2 y 2 + 1
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 2
.
6x + 4 y + 8 = 5 x2 + y2 + 3
2 x − y + 1
Lời giải.
1
1
Điều kiện 2 x − y + 1 ≠ 0 . Phương trình thứ nhất tương đương với x + 2
= y+ 2
.
2x +1
2 y +1
1
Xét hàm số f ( t ) = t + 2 ; t ≠ 0 thì
2t + 1
(
(
)
)
f ′ (t ) = 1 −
( 2t
4t
2
+ 1)
2
=
4t 4 + 4t 2 − 4t + 1
( 2t
2
+ 1)
2
=
4t 4 + ( 2t − 1)
( 2t
2
+ 1)
2
2
> 0, ∀t ≠ 0 .
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực. Thu được f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y .
6 x2 + 4x + 8
= 5 2 x 2 + 3 ⇔ 6 x 2 + 4 x + 8 = 5 ( x + 1) 2 x 2 + 3
x +1
Phương trình thứ hai khi đó trở thành
⇔ 2 ( x 2 + 2 x + 1) − 5 ( x + 1) 2 x 2 + 3 + 2 ( 2 x 2 + 3 ) = 0
⇔ 2 ( x + 1) − 5 ( x + 1) 2 x 2 + 3 + 2 ( 2 x 2 + 3) = 0
2
Với x ≠ −1 , đặt x + 1 = u; 2 x 2 + 3 = v ( v > 0 ) thu được
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY
www.Moon.vn
u = 2v
2u 2 − 5uv + 2v 2 = 0 ⇔ ( u − 2v )( 2u − v ) = 0 ⇔
v = 2u
Xét các trường hợp
x ≥ −1
x ≥ −1
u = 2v ⇔ 2
⇔
(Hệ vô nghiệm).
2
2
x
+
2
x
+
1
=
8
x
+
12
7
x
−
2
x
+
11
=
0
x ≥ −1
x ≥ −1
−4 + 14
−4 + 14
v = 2u ⇔ 2
⇔ 2
⇒x=
⇒ y=
.
2
2
x
+
3
=
4
x
+
2
x
+
1
2
2
2
x
+
8
x
+
1
=
0
(
)
Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất x =
−4 + 14
−4 + 14
;y=
.
2
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
