Toàn tập hệ phương trình nâng cao thầy đặng việt hùng

Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
Thầy Đặng Việt Hùng

Một số các bất đẳng thức cơ bản cần ghi nhớ:
1)
(
)
2 2
2 ,+ ≥ ∀ ∈
a b ab a b R
2)
3
3+ + ≥
a b c abc

3)
(
)
2 , 0, 0
+ ≥ ≥ ≥
a b ab a b 4)
3 3 3
3+ + ≥
a b c abc

5)
1 1 4
+ ≥
+

x y x y
, 0
>
x y
6)
1 1 1 9
,
+ + ≥
+ +
x y z x y z
(
)
, , 0
>
x y z

7)
2
1 4
( , 0)
( )
≥ >
+
x y
xy x y
8)
2 2 2 2
3( ) ( )
+ + ≥ + +
a b c a b c

9)
3 3 2 2
( , 0
+ ≥ + ≥
a b a b ab a b 10) cabcabcba ++≥++
222

11) a, b > 0,
2≥+
a
b
b
a
12)
3 3 3
3
+ +
≤
a b c
abc

13)
3
3 3
2 2
+ +
 
≥
 

 
a b a b
14)
3
3
+ +
 
≤
 
 
a b c
abc
15)
( )
2 2
,
2
+
≤ ∀ ∈
a b
ab a b R
16)
+ + ≤ + +
ab bc ac a b c

17)
( )
2
,
2

+
 
≤ ∀ ∈
 
 
a b
ab a b R
18)
( )
2
3( )+ + ≤ + +
ab bc ca a b c

19)
( )
1 1 1 1
, , 0
4
 
≤ + >
 
+
 
x y
x y x y
20)
3
2
a b c
b c c a a b

+ + ≥
+ + +
,
(
a, b, c > 0)
21)
1 1 1 1 , ( , 0)
+ + + ≥ + + + ≥
x y x y x y
22)
( )
1 1 2
, , 1
1 1
1
+ ≥ ∀ ≥
+ +
+
a b
a b
ab

23)
( )
3
3 3
( )
, , 0
4
+

+ ≥ ≥
x y
x y x y
24)

2 2 2 2
( )
+ +
+ + ≥
+ +
a b c a b c
x y z x y z

25)
2
1 2
1 2
1 2 1 1 2 2
( )


+ +
+ + + ≥
+ + +
n n
n n n
a a a a
a a
x x x a x a x a x

Bài 1:

[ĐVH].

Cho a, b > 0. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
a b
b a
+ ≥

Bài 2:

[ĐVH].

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
4 4 3 3
a b a b ab
+ ≥ + , v
ớ
i m
ọ
i a, b.

Bài 3:

[ĐVH].

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
a b c ab bc ca
+ + ≥ + +
v
ớ
i m
ọ
i a, b, c.
Bài 4:

[ĐVH].

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
b a
a b
a b
+ ≥ + , v

ớ
i m
ọ
i a, b > 0
Bài 5:

[ĐVH].

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(
)
( )
2
4
2 2
a b a b
− ≥ − , v
ớ
i m
ọ
i a, b > 0
Bài 6:

[ĐVH].

Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng
5 5 3 2 2 3
a b a b a b
+ ≥ + , v
ớ
i m
ọ
i a, b ≥ 0.
Bài 7:

[ĐVH].

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( )
2 2
1 1 2
, , 1
1 1 1
a b
a b ab
+ ≥ ∀ ≥
+ + +
.

Bài 8:

[ĐVH].

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( )( ) ( )
, , , , 0
a c b d ab cd a b c d
+ + ≥ + ∀ ≥

Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!
Bài 9: [ĐVH].

Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
, , , ,
a b c d a c b d a b c d R
+ + + ≥ + + + ∀ ∈

Bài 10: [ĐVH].

Chứng minh rằng
3 3 3

2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ≥
+ + + + + +

Bài 11: [ĐVH].

Chứng minh rằng
( )
2 2 2 2 2 2
3
x xy y y yz z z zx x x y z
+ + + + + + + + ≥ + +

Hướng dẫn:
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2 2
3
4 2
x y
x xy y x y xy x y x y
+
+ + = + − ≥ + − = +

, tương tự ta được đpcm
Bài 12: [ĐVH].

Cho các số thực a, b, c > 0.
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2
4 4 4
b c c a a b
a b c b c a c a b
+ + +
+ + ≤
+ + + + + +

Hướng dẫn:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 3
3 3 3
3 3 3 3
3 3 4
4 4
b c b c
b c b c bc b c b c b c b c b c

+ +
+ = + − + ≥ + − + = → + ≥ +
Bài 13: [ĐVH].

Chứng minh rằng
4 4 4
3 3 3 3 3 3
2
+ +
+ + ≥
+ + +
a b c a b c
a b b c c a


Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !







Kiểu 1: Đặt
( )
=
t f x
hoặc
( )

= +
t k f x

Kiểu 2: Đặt
( ) ( )
= +
t f x g x
hoặc
( ) ( )
= +
t a f x b g x

Kiểu 3: Chia cả hai vế cho
n
x
rồi đặt ẩn phụ.

Bài 1: [ĐVH].

Giải các phương trình
a)
2
1
4 4 3
− + = +
x x x x
x
b)
3
2 4 2

4 3 4
− + = −
x x x x

Bài 2: [ĐVH].

Giải các phương trình
a)
2
12 8 5 3 2 0
+ − − − =
x x x b)
2
)2()1( xxxxx =++−
Bài 3:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
453423
222
+−=+−++− xxxxxx
b)
2 2
5 3 2 1 2 0

+ + + =
x x x
Bài 4:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)

2
1
2 3 1
+ − = +
x x x x
x

Đ
/s:
1 5
2
±
=x
b)

3
2 4 2

2 1
+ − = +
x x x x

Đ
/s:
1 5
2
±
=x
Bài 5:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)

2 2 2
5 2 1 9 5 2 10 4 12
x x x x x x
+ − − − − = + −

HD:

Đặ
t

2
7 1 41
5 2 1 ; 1;
5 5
t x x x x x
− ±
= + − ⇒ = − = =
b)

2 2
2 12 5 2 3 5 5
x x x x x
+ + + − + =

HD:
Xét
đ
k, chia cho
6 26
2
x x
±
⇒ =

Bài 6:

[ĐVH].

Gi
ả

i các ph
ươ
ng trình
a)

3
2 2
2 3 14 2 2 3 10
x x x x
+ − = + −

Đ
/s:
3 3 17
4
x
− ±
=

b)

3
2 2
6 2 3 4 10 0
x x x x
+ + + + − =

Đ
/s:
4

; 1
3
x x
= − =

Bài 7:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
01. PP ĐẶT MỘT ẨN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
a)
2
2
1 1
2 2 4x x
x x
 
− + − = − +
 
 

HD: Đặt
1
2 1
t x t x
x
= + ⇒ ≥ → =

b)
(
)
2
3 2 1 2 11 4 2
x x x x x
+ + − + = +

HD: Đặt
2 1 4
t x x x
= + + → =

Bài 8: [ĐVH].

Giải các phương trình
a)
32 2 2
3 3
4 ( 2) 7 4 3 (2 ) 0
x x x
+ − − + − =

Đ
/s:
74
0;
91
x x= = −

b)

32 2 2
3 3
(3 1) (3 1) 9 1 1
x x x
+ + − + − =

Đ
/s:
0
x
=

Bài 9:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình

a)
2
4 8 1
5
2 1
x x
x
x
+ +
=
+

b)
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2
x x x x x
− + − = − + − +

c)
( ) ( )
3
3 2 2
1 2 1
x x x x
+ − = −

d)
( ) ( )
2
13 4 2 3 4 3 5 2 2 8 4 16 15

x x x x x x
− − + − − = + − + −

Bài 10: [ĐVH].

Giải các phương trình
a)
2 2 2
7 2 3 3 19
x x x x x x
+ + + + + = + +
Đ/s:
1; 2
x x
= = −

b)
2 2
2 8 5 2 4 5 6
x x x x x
+ + + − + =
HD: Đặt
5 4 6
2
2
t x x
x
±
= + ⇒ =
Bài 11:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)

2 3
1 4 3 ( 2)
x x x x+ + + + = +
Đ
/s:
3 5
2
x
− +
=
b)

2 2
2 2
2
5 8 2 5 4
4 0
4
4
x x x

x x x
x
−
+ + + + =
−
−

HD:
Đặ
t
2
2
4 1
2; 2
2
4
x x
t t t x
x
x
−
= + ⇒ = − = − → = −
−

Bài 12:

[ĐVH].

Gi
ả

i các ph
ươ
ng trình
a)

2 2
3 2 12 12 16 6 6
x x x x x
+ + − − + − =
HD:
Đặ
t
6
7 1; 6
t x t x x
x
= + ⇒ = ⇒ = =

b)

2 1 1 23 3
3 4
1 2 2 2 2
x
x x x
+ − = −
−

Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !

HD: Đặt
1 1 9
2 3 7
x
t t x
x
−
= ⇒ = → =

c)
2 2
4 16 9 4 16 9 4
x x x x
− − + + − =
Đ/s:
5
4
x
=


Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P1
Thầy Đặng Việt Hùng

DẠNG 1.
SỬ

DỤNG

TRỰC TIẾP CÁC HỆ QUẢ CỦA BĐT CÔ-SI
Bài 1: [ĐVH].

Chứng minh rằng
(
)
(
)
(
)
8 , , , 0
a b b c c a abc a b c
+ + + ≥ ∀ ≥

Bài 2: [ĐVH].

Chứng minh răng
( )( )( )
(
)
3
3
1 1 1 1 , , , 0
a b c abc a b c
+ + + ≥ + ∀ ≥

Bài 3: [ĐVH].

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
a)

6
a b b c c a
c a b
+ + +
+ + ≥

b)

3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +

Bài 4:

[ĐVH].

Cho a, b > 1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
a)
(
)
(
)
1 1 2

a b a b
+ + ≥ + +

b)
1 1
a b b a ab
− + − ≤

Bài 5:

[ĐVH].

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
(
)
4 4 4
, , ,
a b c abc a b c a b c R
+ + ≥ + + ∀ ∈

Bài 6:

[ĐVH].

Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2
a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +

Bài 7:

[ĐVH].

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
a)
( )
1
3, 0
a a b
b a b
+ ≥ ∀ > >
−
b)
( )

2
1
2 2, 0
a a b
b a b
+ ≥ ∀ > >
−

c)
( )( )
2
4
3, 0
1
a a b
a b b
+ ≥ ∀ > >
− +
d)
2
2
2
2,
1
a
a R
a
+
≥ ∀ ∈
+

Bài 8: [ĐVH].

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng
( )( )( )
8
729
abc a b b c c a+ + + ≤
Bài 9: [ĐVH].

Cho a, b, c > 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +

Bài 10:

[ĐVH].

Cho

, , 0
1 1 2
a b c
a c b
>



+ =


. Chứng minh rằng:
4
2 2
a b c b
a b c b
+ +
+ ≥
− −

Bài 11: [ĐVH].

Chứng minh rằng
2 2 2
, , , 0
2
a b c a b c
a b c
b c c a a b
+ +

+ + ≥ ∀ >
+ + +

Bài 12: [ĐVH].

Chứng minh rằng với
, , 0
a b c
>
ta có
( )
2 2 2
1 1 1 3
( )
2
a b c a b c
a b b c c a
 
+ + + + ≥ + +
 
+ + +
 

Bài 13: [ĐVH].

Cho
0
≥
x , tìm giá tr
ị

nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
( )
2
2 17
2 1
+ +
=
+
x x
P
x

Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!
Bài 14: [ĐVH].

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
6 34
3
+ +

=
+
x x
P
x

Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !




Dạng 2: Đặt hai ẩn đưa về hệ phương trình
+) Xét phương trình
3
+ + + =
A ax b B cx d C

Khi đó ta đặt
3
3
3 2
2
( ; ) 0
; 0


= + = +
 
⇒ → =

 
= +

= + ≥



u ax b u ax b
f u v
v cx d
v cx d v

Kết hợp với phương trình ban đầu ta được hệ phương trình
3 2
;
( ; ) 0
+ =

⇒ →

=

Au Bv C
u v x
f u v

+) Xét phương trình
+ = −
n
n

x a b bx a

Khi đó ta đặt
− = ⇒ − =
n
n
bx a t bx a t

Ta có hệ phương trình đối xứng loại 2 theo ẩn x và t:
;

+ =

⇒ →

+ =


n
n
x a bt
x t x
t a bx

Bài 1:

[ĐVH].

Gi
ả

i các ph
ươ
ng trình
a)

4 4
56 41 5
x x
− + + =

Đ
/s:
40; 25
x x
= = −

b)
3 3
1 1 2
x x
− + + =

Đ
/s:
0
x
=

Bài 2:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)

4 4
8 8 2
x x
+ + − =

Đ
/s:
8
x
=

b)
3
5 4 7 3
x x
− + + =

Đ
/s:
1
x

=

Bài 3:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
3
3 2 5 3 3
x x
− + + =

Đ
/s:
13
1; 23;
8
x x x
= = − = −

b)
2
2 6 10 5( 2) 1 0
x x x x
− + − − + =

Đ/s:
3; 8
x x
= =

Bài 4: [ĐVH].

Giải các phương trình
a)
2
2 3 3
x x x
− − = +
Đ/s:
3 17 1 13
;
2 2
x x
+ −
= =
b)
2
4 4 3 2 5
x x x
+ − = +

Đ
/s:
17 1 3 13
;

4 4
x x
− − −
= =
Bài 5:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
02. PP ĐẶT HAI ẨN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
a)
2
9 6 5 3 5
x x x
− − = +
Đ/s:
4 1 21
;
3 6
x x
−
= =

b)
2
1 3 3 1
x x
+ = −

Đ
/s:
3 5
2
x
±
=
Bài 6:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
2
2 5 2 1
x x
− = −

Đ
/s:

5 33
2
x
+
=
b)
2
18 6 29 12 61
x x x
+ − = +

Đ
/s:
15 1 14
;
3 3
x x
− −
= =
Bài 7:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
2

9 12 2 3 8
x x x
+ − = +

Đ
/s:
1 5 21
;
3 6
x x
− −
= =
b)
2
3
9 6 15
x x x
− = − +
HD:
Đặ
t
3
9 3 1
x y x
− = − → =

Bài 8:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
3 2
3
4
81 8 2 2
3
x x x x
− = − + −

HD:
Đặ
t
3
3 2 6
81 8 3 2 0;
3
x y x x
±
− = − → = =
b)
3 2
3
3 3 3 5 1 3
x x x x
+ − + = −

Đ
/s:
1; 2
x x
= = −

Bài 9:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
3
2 3 2
2 3 3 81 13 7
x x x x x
+ − = − +

Đ
/s:
5 89
1;
16
x x
±

= =
b)
3 2
3
2 8 60 151 128
x x x x− = − + − HD:
Đặ
t
3
2 2 5 3
x y x
− = − → =

Bài 10: [ĐVH].

Giải phương trình
2
2 37
4 1 9 26 0
3 3
x x x
+ − + − =

HD: Đặt
14 61 12 53
4 1 3 4 ;
9 9
x y x x
+ −
+ = −

⇒
= =
Bài 11: [ĐVH].

Giải phương trình
2 2
3 (3 ) 4
x x x x x
+ = − − + +

Đ/s: x = 1
Bài 12: [ĐVH].

Giải phương trình
( )
2 2
1 2 6 2 4 11 10
x x x x x
− − + = − +

Đ/s: Phương trình vô nghiệm.
Bài 13*: [ĐVH].

Giải phương trình
( )
3
3 2 2
5 4 5 1 2 6 2 7
x x x x x x
− + − = − − +

Đ/s:
2
x
=

Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !







Ví dụ 1: [ĐVH].

Giải các phương trình
a)
(
)
2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
+ − + = + +

Đ
/s:
14
x = ±

b)

2 2
3
(3 1) 2 1 5 3
2
x
x x x
+ − = + −

Đ
/s:
1; 5
x x
= ± =

Ví dụ 2: [ĐVH].

Giải các phương trình
a)
2
4 1 1 3 2 1 1
x x x x
+ − = + − + −
Đ/s:
3
0;
5
x x
= = −

b)
2 2
6 10 5 (4 1) 6 6 5 0
x x x x x
− + − − − + =
Đ/s:
59 3
10
x
−
=

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
2 3 3 3
+ + = +
x x x x
HD: Đặ

t 3
2
=

= +
⇒

=

t x
t x
t x

b)
2
3 7 8
8
4 2
+ +
+ =
+
x x
x
x
HD: Đặ
t
3
8
2
=


= +
⇒

= +

t x
t x
t x

Bài 2:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
2
3 3 2
2
3 1
+ +
+ + =
+
x x

x x
x
HD: Đặ
t
2
2
2
1
=

= + +
⇒

= +

t x
t x x
t x

b)
2 2 1
2
2 1
+ + +
+ =
+ +
x x x
x
x x
HD: Đặ

t
2
2 1
=

= + ⇒

= +

t x
t x
t x

Bài 3:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
3 2 3 (3 1) 3
+ + = + +
x x x x
HD: Đặ
t

2
1
3
2
= +

= + ⇒

=

t x
t x
t x

b)
2 2
2 2 1 (4 1) 1
+ + = − +
x x x x
HD: Đặ
t
2
3
1
5 2
= −

= + ⇒

= +


t x
t x
t x

Bài 4:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
2 3 2 3 2
− + = −
x x x x
HD: Đặ
t
3 2
= −
t x

b)
3 2 3
3 2 ( 2) 6
− + + =

x x x x
HD: Đặ
t
2
= +
t x
c)
2 2
1 2 2
− = −
x x x x

Bài 5*:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
2( 2) 2 5 2 2
x x x x
− − = − −
b)
2
( 2) 4 3 3 1

− − = − +
x x x x

Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
03. PP ĐẶT ẨN KHÔNG HOÀN TOÀN GIẢI PT – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
c)
( )
2 2
7
3 2 2 7
2
x x x x x
+ + = + + +

Bài 6*: [ĐVH].

Giải các phương trình sau
.
a)

( )
2 2
13
9 10 2 3 1 2 3
2
x x x x

+ − = + −

b)
(
)
2
2
3 2 3
2 3 2 1
3
x x
x x
x
+ +
+ + =
+

Bài 7*: [ĐVH].

Giải các phương trình sau
.
a)
( )
2 2
3 3 3 8 2 1
x x x x
+ + = − +
b)
( )
3 3

4 1 1 2 2 1
x x x x
+ + = − +

Bài 8:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
8 8 3 8 2 3 1
x x x x x
− + = − +

Đ/s:
3 3 7 1
;
4 4
x x
± −
= =

Bài 9:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
2
5 2
2
2 2
x x
x x
x
+ +
+ + =
+

Đ/s:
1; 2
x x
= = −




Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !

Bài 1: [ĐVH].

Giải các phương trình
a)
2 2 2 2
3 5 1 2 3( 1) 3 4
x x x x x x x
− + − − = − − − − +

Đ/s: x
= 2
b)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
− + − − = + + + − +

Đ/s:
2
x
= −

Bài 2:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ

ng trình sau
.
a)
2 2
( 1) 2 3 1
x x x x
+ − + = +

HD:
2 2
2 2
1 1
2 3 2 3 2 2 1 2
1 1
x x
PT x x x x x
x x
+ +
⇔ − + = ⇔ − + − = − → = ±
+ +

b)
2 2
(3 1) 3 3 2 3
x x x x
+ + = + +

HD:
2 2
2 2

3 2 3 3 2 3
3 3 2 2 1
(3 1) 3 1
x x x x
PT x x x x x
x x
+ + + +
⇔ + = ⇔ + − = − → = ±
+ +

Bài 3:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
3 1 6 3 14 8
x x x x
+ − − + − −
Đ/s:
5
x
=

b)
2
5 3 2 1 6 2 0
− + − + − − =
x x x x
Đ/s:
2
3
=
x

c)
2
3 2 7 1 5 2 14 0
+ + − + + − =
x x x x
Đ/s:
3
= −
x

Bài 4:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau

.
a)
2 2
15 3 2 8
x x x
+ = − + +
Đ/s:
1
x
=

b)
2 2
12 5 3 5
x x x
+ + = + +
Đ/s:
2
x
=

Bài 5:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau

.
a)
2 1 1 2
x x x
+ + = + +
Đ/s:
1
x
=

b)
3
x x x
+ − =
Đ/s:
1
x
=

Bài 6:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)

2 2
2 3 5 2 3 5 3
x x x x x
+ + + − + =
Đ/s:
4
x
=

b)
2 2
2 9 2 1 4
x x x x x
+ + + − + = +
Đ/s:
0; 4
x x
= = −

Bài 7: [ĐVH].

Giải các phương trình sau
.
a)
3
3 1 1
3 10
x
x
x

= + −
+
Đ/s:
0; 5
x x
= =

Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
04. PP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
b)
(
)
(
)
1 1 1 3 5
x x x x
+ + + + − =
Đ/s:
0; 4
x x
= = −

Bài 8: [ĐVH].

Giải các phương trình sau
.
a)

3
2 3
1 2
x x x
− = − −
Đ/s:
3
x
=

b)
2
3 2 7 2 9 1 11
x x x x
+ − + + = − +
Đ/s:
2
x
=

Bài 9:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.

a)
2
3
9 2 3 5 1 1
x x x x
− + + = − +
Đ/s:
1
x
=

b)
(
)
2 2
3 4 1 4 2
x x x x x
− − = − − −
Đ/s:
2; 5
x x
= =

Bài 10:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph

ươ
ng trình

3 2
3 3 5 2 3 10 26 0
x x x x x
+ − − − + + − =

Đ/s:
2
x
=

Bài 11:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
( )
(
)
3
2 1 3 2 1 7
x x x x
− + + − = +

b)

(
)
(
)
3 2 2
3
1 2( 1) 2 2 7 7
x x x x x x
+ + + + − = − +

Bài 12:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
2 2
5 3 2 5 1 3 3 0
x x x x x
+ + − − + − + =

b)

2
2 3 3 1 5 4
x x x
+ = + + +





Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !



Bài 1: [ĐVH].

Giải phương trình
2 2
4 5 1 2 1 9 3
x x x x x
+ + − − + = −

Đ/s:
1
3
x
=

Bài 2:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
9 8 1 3 1 8
x x x x x
− + + − + = −

Đ/s:
9 2 414
35
x
±
=
Bài 3:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
2 5 2 2 5 4
x x x x x

− = − + − + −

Đ/s:
3
x
=

Bài 4:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
10
91 7 4
3
x x x
+ = + + −

Đ/s:
3
x
=

Bài 5:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 2
5 1 2 5 10 13 0
x x x x x
− + − + − + − =

Đ/s:
2
x
=

Bài 6:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 2
3 1 2 1 3 2 5 3 0
x x x x x x
+ + − + + + + − − =

Đ/s:
1
x
=

Bài 7:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 2
3 17 8 9 3 2 7
x x x x x
− − + + − = −

Đ/s:
6
x
=

Bài 8:

[ĐVH].

Gi

ả
i ph
ươ
ng trình
4 3 2
3 2 2 2 3 8 8 0
x x x x x x
− + + + − − + − =

Đ/s:
2
x
=

Bài 9:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
9 20 2 3 10
x x x
+ + = +

Đ/s:
3

x
= −

Bài 10:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
5( 3)
1 2 4
2 18
x
x x
x
−
+ − − =
+

Đ/s:
3
1; ; 3
2
x x x
= − = =

Bài 11:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x
−
+ − − =
+

Đ/s:
2
; 2
3
x x
= =


Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
04. PP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Bài 12: [ĐVH].

Giải phương trình
8
3 2 1 1
8 1 1
x
x
x
= − +
+ −

Đ/s:
1
x
=

Bài 13:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )

2
2
6
2 1 1
8 1 1
x
x x
x
= + − +
+ +

Đ/s:
10 4 5
x = ±
Bài 14:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 2
2
2
2 3 1
1
2
x x x

x x
x
+ − +
− + =
+

Đ/s:
3 1 3 2 5
;
5 2
x x
± +
= − =
Bài 15:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
2 16 18 1 2 4
x x x x
+ + + − = +

Đ/s:
32 3 57
1;

7
x x
− +
= ± =
Bài 16:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
3
2 4 15 11
x x x
x
− + = − +
.
Bài 17:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 3

4
2
x
x
x
+
+ + = .
Bài 18:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1
2 2 1 6 7x x
x
− + = +
.
Bài 19:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

2
8 7
2 1
3
x
x x
+
− + = .
Bài 20:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
18
4 1
1
x x
x
+ = + −
+
.
Bài 21:

[ĐVH].

Gi

ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
3 2
1 1 3 4 9
x x x x x
+ − = + − −
.
Bài 22:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
3 2
3 5 4 6 20 15
x x x x x
+ + = − + +
.
Bài 23:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
2
1 3 17 13 1
x x x x x x
+ + + = − +
.
Bài 24:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
2
1 1 6 3
x x x x x x
+ + + + = + .
Bài 25:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
3 3 2
1 1 4 3 4 0
x x x x x x x
+ − − + − − + − =
.
Bài 26:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
3 3 2 2

1 2 1 4 5 2 2 2
x x x x x x x
+ − + + − + = + −
.
Bài 27:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
3 2 3 2 3 2
3 2 3 1 3 2 3 5 4 3 6 8 4 1
x x x x x x x x x x
− + − − + − − = − + −
.
Bài 28:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ

ng trình
(
)
(
)
3 4 4 3
1 3 1 5 3 3 4
x x x x x x x x
+ − + + + + = + + +
.
Bài 29:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
3 4 4 3
2 9 2 13 1 2 2 41
x x x x x x x x x
+ − − + − − + = + − −
.
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !

Bài 1: [ĐVH].

Giải các phương trình sau
.
a)
3
2 (5 3 ) 5 3 2 5 3
+ = − − + −
x x x x x

b)
(
)
(
)
2 2
3 2 9 3 (4 2) 1 1 0
+ + + + + + + =
x x x x x

Bài 2:

[ĐVH].

Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau
:
a)
2
3 1 3 8 3
+ = − +
x x x

b)
3
3 2 2
4 5 6 7 9 4
− − + = + −
x x x x x

Bài 3:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
3 2

2 3 6 11 5 2 3
− + + − − =x x x x
(Đ
/s:
x
= 2)
b)

(
)
2
2 1 2 3 7 3 0
+ + − − − =
x x x x

HD:
Bi
ế
n
đổ
i v
ề
d
ạ
ng
3
( ) ( 3 ); ( ) 2
= − = +
f x f x f t t t

Bài 4:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
6 8
6
3 2
+ =
− −x x
(Đ
/s:
3
2
=
x )
b)

3
3
5 1 2 1 4
− + − + =
x x x

(Đ
/s: x = 1)
Bài 5:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
2
2 1 3 4
x x x
− + + = −
(Đ
/s:
1
x
=
)
b)

2
2 1 3 5 3 71 30
x x x x
− + − + + =
(Đ

/s: x = 5)
Bài 6:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
1 2 1 4 2 1 0
x x x x x
+ + − + + − + − + =

Bài 7:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
3
4 ( 1) 2 1 0
x x x x
+ − + + =

(Đ
/s:
1 5
4
x
+
= )
b)

2
(4 1) ( 3) 5 2 0
x x x x
+ + − − =

(Đ
/s:
21 1
4
x
−
= )
Bài 8:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
( 3) 1 ( 3) 1 2 0
x x x x x
+ + + − − + =
(Đ
/s:
0
x
=
)
b)

3 2
3
4 18 27 14 4 5
x x x x
+ + + = +

(Đ
/s:
7 5
1;
4
x x
− ±
= − = )
Bài 9:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
06. PP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
a)
3 2
3 4 2 (3 2) 3 1
x x x x x
+ + + = + +
(Đ/s:
0; 1
x x
= =
)
b)
3
3
3 1 6 3 1
x x x
+ − = +

Bài 10: [ĐVH].

Giải phương trình
3
3 2 2 3
2 10 17 8 2 5
x x x x x x
− + − + = −

HD: Chia hai vế cho
3
x
, xét hàm đặc trưng suy ra
17 97
12
x
±
=
Bài 11:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

3 2
3
3 2 3 4

x x x x
+ + − = +

Bài 12:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

3
3 2
3 2 6 3
x x x x
− − = −

Bài 13:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

3

3 2 6 3 2
3 4 1 2
x x x x x
+ − = + +

Bài 14:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

( )
(
)
(
)
2 2
2 4 7 1 3 1 0
x x x x x
+ + + + + + + =

Bài 15:

[ĐVH].

Gi

ả
i ph
ươ
ng trình

33 2
8 6 1 12 2 1
x x x x
+ + = + +



Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !





Bài 1: [ĐVH].

Giải các phương trình
a)
2 2 2 2
3 5 1 2 3( 1) 3 4
x x x x x x x
− + − − = − − − − +

Đ/s: x
= 2

b)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
− + − − = + + + − +

Đ/s:
2
x
= −

Bài 2:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
11642
2
+−=−+−
xxxx

b)
2
2 10 12 40

x x x x
− + − = − +

Bài 3:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
18853
2
+−=−+−
xxxx

b)
2
2 3 5 2 4 6
− + − = + −
x x x x

Bài 4:

[ĐVH].

Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
7 5 12 38
− + − = − +
x x x x

b)
3 2
2 1 2 2
− = − +
x x x x

Bài 5:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
2 1 2 1 2

− + − =
x x x x

b)
24
1 2 1
− + − =
x x x

(
Đ
/s: x = 0; 1; 2)
Bài 6:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
4 2
4
4 1 8 3 4 3 5
− + − = − +
x x x x x

b)

3 2
4
15 30 4 27( 1)
+ − + = +
x x x x

Bài 7:

[ĐVH].

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
64
2 1 4 3 6 5 3
− + − + − =
x x x x

HD:
Theo Co-si ta có các
đ
ánh giá c
ơ
b
ả
n

6
4
2 1 4 3 6 5
1; 1; 1
− − −
≤ ≤ ≤
x x x
x x x

b)
2 1
3 2 4 3 3
−
+ − + − =
x
x x
x

Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
07. PP ĐÁNH GIÁ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
HD: Ta có
2 1
1
3 2 4 3 3 2 2 (3 2 1 1. 2 2


−
≤



− + − = − + − − ≤ + =

x
x
x x x x

Bài 8: [ĐVH].

Giải các phương trình sau
.
)
4
3
2
8
a x x
= +

)
(
)
2
1 2
3 2 2 1
2

x
b x x
−
− + + =

2
) 2 1 2 2
c x x
− + − =

1 2 1 2
) 1 2 1 2
1 2 1 2
x x
d x x
x x
− +
− + + = +
+ −

)
2 3
3
2 2 1 14 2
e x x x x
− − + − = −

)
2 4 2 4
13 9 16

f x x x x
− + + =

)
4 3
3
16 5 6 4
h x x x
+ = +

1 1 1
) 2 1 3
x
i x x
x x x
−
+ = − + −

( )
2 2 2 2
1
) 3 1 1 7 4
2 2
k x x x x x x x
− + − − + = − +

)
13 13
2 5 2 3 5
6 2 7 3

x
l x x
x x
+
− + − =
+ + −

)
(
)
(
)
2 2 2
1 3 2 1 3 2 3 2 2 2
m x x x x x x
+ − + + + + + = − − +

Bài 9:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 2
4
3 8 40 8 4( 1) 0
x x x x

− − + − + =

Bài 10:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 2
3
2 2 1 1 2 . 1 3
x x x x
+ + = + −

Bài 11:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )
2 2
2
1

2x x x x
x
+ − = + ∈
ℝ
.
Bài 12:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )
2 2
2 3 3x x x x
− = − + ∈
ℝ
.
Bài 13:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(

)
3 2
2 1 2 2x x x x x
− = − + ∈
ℝ
.
Bài 14:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )
2
2 2 1 2x x x x x
+ − = + ∈
ℝ
.
Bài 15:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

( )
2
2
1 1
2 2 4x x x
x x
− + − = − − ∈
ℝ
.
Bài 16:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
3 2
1 3 3 6x x x x x
− + − = − + ∈
ℝ
.
Bài 17:

[ĐVH].

Gi

ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
4 3 2
5 7 2 36 2x x x x x x
− + − = − + + ∈
ℝ
.
Bài 18:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )
2
2
3 2 3
2
1
x x
x x x
x
− +

+ − = ∈
+
ℝ
.
Bài 19:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
3 2
8 6 14 49 2x x x x x x
− + − = − + + ∈
ℝ
.
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Bài 20: [ĐVH].

Giải bất phương trình
( )
2
3 6 2 5
4 3 3 2
1

x x x
x x x
x
− + +
− + − ≥ ∈
+
ℝ
.
Bài 21: [ĐVH].

Giải bất phương trình
( )
4 3 2
2
2
2 5 4 4
2
1
x x x x
x x x
x
− + − +
− = − ∈
+
ℝ
.
Bài 22: [ĐVH].

Giải phương trình
( )

4 24
2 3 3x x x x
− = − + ∈
ℝ
.
Bài 23: [ĐVH].

Giải phương trình
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x x
x x
− +
− + + = + ∈
+ −
ℝ
.


Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !




Bài 1: [ĐVH].

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
( 1)(3 ) 2 3
x x x x m
+ − = − +

Bài 2: [ĐVH].

Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm :
2 2
4 5 4
x x m x x
− + = + −

Bài 3: [ĐVH].

Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
3 6 (3 )(6 )
x x x x m
+ + − − + − =

Bài 4: [ĐVH].

Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm :
44
13 1 0
x x m x
− + + − =

Bài 5: [ĐVH].

Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
2
2
x x x m
− + =

Bài 6: [ĐVH].

Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
2
1 1
x x m x x
− − + − =

Bài 7: [ĐVH].

Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
1 1
2 2
x x m
+ + − =

Bài 8: [ĐVH].

Tìm m để phương trình
2
2 3
x mx x
+ = −

có nghiệm
Bài 9: [ĐVH].

Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
mxxxx =+−−++ 11
22

Bài 10: [ĐVH].

Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm :
3 2 4 6 4 5
x x x x m
− − − + − − + =
.
Bài 11:

[ĐVH].

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình mxxxxxx +−=+−−+− 42224)22(
2232
có 4 nghi
ệ
m
phân bi
ệ
t

Bài 11:

[ĐVH].

Tìm giá tr
ị
m
để
ph
ươ
ng trình
2
9 9
x x x x m
+ − = − + +
có nghi
ệ
m th
ự
c.
Bài 12:

[ĐVH].

Tìm giá tr
ị
m
để
ph
ươ

ng trình
2
4 4 4 3
x x x x m
+ − + + − = −
có nghi
ệ
m th
ự
c.
Bài 13:

[ĐVH].

Tìm giá tr
ị
m
để
ph
ươ
ng trình
2
4 4 16 7 2
x x x m
− + + + − + = có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Bài 14:

[ĐVH].

Tìm giá tr
ị
m
để
ph
ươ
ng trình 5 9
x x m
− + − =
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Bài 15:

[ĐVH].

Cho ph
ươ
ng trình
3
2 2
1 2 1
x x m
− + − =
(1); v

ớ
i m là tham s
ố
th
ự
c.
Bài 16:

[ĐVH].

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình
2
2 2 1
x mx x
+ + = +
có hai nghi
ệ
m th
ự
c phân bi
ệ
t.
Bài 17:

[ĐVH].

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i
0
m
>
ph
ươ
ng trình
( )
2
2 8 2
x x m x
+ − = −
luôn có hai nghi
ệ
m
th
ự
c.
Bài 18:

[ĐVH].

Tìm giá tr
ị

m
để
ph
ươ
ng trình
24
3 1 1 2 1
x m x x
− + + = −
có nghi
ệ
m th
ự
c.


Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
08. BIỆN LUẬN PT CÓ THAM SỐ
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !





Bài 1: [ĐVH].

Giải các hệ phương trình sau
.

a)





=−+−+
+=+
032
33
22
yxyx
yyx
b)





=+−+
+=+
013
313
22
yxyx
yx

Bài 2: [ĐVH].

Giải các hệ phương trình sau

.
a)
7
1
78

+ = +



+ =

x y
y x
xy
x xy y xy
b)
(
)
(
)
( )( )
2 2
1 1 3
1 1 6
x x y y
x y

+ + + + =



− − =



Bài 3: [ĐVH].

Giải các hệ phương trình sau
.
a)
(
)
( )
2
2
1 3 0
5
1 0
+ + − =



+ − + =


x x y
x y
x
b)
2

2 2 16 0
( )(4 ) 32

+ + + − =


+ + =


x xy x y
x y xy

Bài 4:

[ĐVH].

Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
.
a)
( )






=+++
=−+
142
3
22
22
yxxyyx
xyyx

b)
2 2
6
20

+ =


+ =


x y y x
x y y x

Bài 5:

[ĐVH].

Gi
ả

i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
.
a)
( )
(
)
( )
( )
2 2
2 2
13
25

− + =


+ − =


x y x y
x y x y
b)
(
)
( )
2 2

2 2
2 2
2 12

− =


+ =


y x y x
x x y y


Bài 6: [ĐVH].

Giải các hệ phương trình sau
.
a)





+=
−=−
2
2
2
84

xxy
yxy
b)
2 2
3 3
2 15
8 35

+ =


+ =


x y xy
x y


Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
09. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !





Bài 1: [ĐVH].

Giải phương trình
2
2 1 3 1 0
x x x
− + − + =

Bài 2: [ĐVH].

Giải phương trình
2
2 1 ( 1) 0
x x x x x x
− − − − + − =

Bài 3: [ĐVH].

Giải phương trình
2
4 2 3 8 1
x x x
+ + = +

Bài 4: [ĐVH].

Giải phương trình
2 2
( 1) 2 3 1
x x x x
+ − + = +

Bài 5: [ĐVH].

Giải phương trình
2 2
(3 1) 3 3 2 3
x x x x
+ + = + +

Bài 6: [ĐVH].

Giải phương trình:
(
)
3
2
3 3
2 3 1 3 4
x x x x
+ − − − + =

Lời giải:
Nhận xét:
(
)
(
)
( )( )
2
4 1 3
1 3 2 3

x x
x x x x

= − − − +
 
 


− + = + −


.
nên ta có
( )
(
)
( )
3
2
3 3
1 3 2 3 1 3 0
pt x x x x x x
⇔ − − − + + − − − + = ∗

Đặ
t:
3
3
1
3

a x
b x

= −


= − +



ta có ph
ươ
ng trình m
ớ
i
( ) ( )( )
2
3 3
0 0
a b
a b ab a b a b a b
a b
= −

+ − + = ⇔ + − = ⇔

=


3 3

3 3
1 3 1
1 3
x x x
S
x x

− = − + = −

↔ ⇔


= ∅
− = +




V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
1
x
= −

Bài 7:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:

(
)
( )
(
)
2 2
3 1 2 3 4 1 2 0
x x x x x
− + − + + − =

Lời giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( )
( )
2

1
1 2 0
2 1
x
x x x
x
≥

+ + − ≥ ⇔

− ≤ ≤ −


Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho
( )
(
)
2 2
4
2 3 1 2 0
3
x x x x x
⇔ + − − − + − =

(
)

( ) ( )
(
)
( )
2 2
4
2 1 1 2 0
3
x x x x x x
⇔ + − + + − + + − = ∗

Nh
ậ
n xét:
1 0
x
+ =

không là nghi
ệ
m, chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a
(
)
∗

cho
1
x
+
ta có ph
ươ
ng trình:
2 2
2 4 2
1 0
1 1
3
x x x x
x x
+ − + −
⇔ − + =
+ +

Đặ
t
( )
( )
2
2
3
2 4 3
0 1 0 3 0
3
1 3
3

3
t
x x
t t pt t t t t
x
t

=
 
+ −

= ≥
⇒
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔
 

 
+
=
 



Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
09. MỘT SỐ BÀI PT HAY VÀ ĐẶC SẮC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
• Với
2

2
1 6
2
3 3 2 5 0
1
1 6
x
x x
t x x
x
x

= +
+ −

= → = ⇔ − − = ⇔

+
= −



• Với
2
2
3 2 3
3 2 7 0 22 1
3 1 3
x x
t x x x

x
+ −
= → = ⇔ + − = ⇔ = −
+

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm:
{
}
1 6 1 6 22 1
x ; ;
= − + −

Bài 8: [ĐVH].

Giải phương trình:
2 2
6 3 1 2 2 6 0
x x x x x
+ − + − − − + =

Lời giải:
Điều kiện:
2
2
6 0
1 0 2
2 6 0
x x
x x
x x


+ − ≥

− ≥ ⇔ ≥


− + ≥


Phương trình đã cho
2 2
6 3 1 2 2 6
x x x x x
⇔ + − + − = − +

(
)
( ) ( )
2 2 2
6 6 6 1 9 1 4 8 24
x x x x x x x x
⇔ + − + + − − + − = − +

( )( )( ) ( )
(
)
( )
2 2 2
2 2 3 1 6 13 2 2 2 3 2 3 8 2
x x x x x x x x x x x

⇔ − + − = − + ⇔ − + − = + − − −

Nhận xét:
2 0
x
− =

không là nghiệm, chia cả hai vế cho
2
x
−

ta được phương trình:
2 2
2 3 2 3
2 8 0
2 2
x x x x
x x
+ − + −
⇔ − − =
− −

Đặt:
( )
2
2 2 2
2 3
2 2 3 0
2

x x
t x x t t
x
+ −
= ⇔ + − + − =
−
.
Điều kiện của
t
là
4 2
0
6 20
12 16 0
0 6 20
x
t
t
t t
t

≥

≥ +


⇔


∆ = − + ≥



≤ ≤ −


( )( )
2
2 8 0 2 4 0 4
pt t t t t t
⇒ ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ =

Với
2
2
7 20
2 3
4 4 14 29 0
2
7 20
x
x x
t x x
x
x

= +
+ −
= → = ⇔ − + = ⇔

−

= −



Vậy phương trình có hai nghiệm:
{
}
7 20 7 20
;− +

Bài 9: [ĐVH].

Giải phương trình
( )
2
4 3 2 3
1
2 2 2 1
x
x x x x x x
x
−
− + + + = +

Lời giải:
Ta có phương trình
( ) ( )
( )
2
2 2

2 2
1
1 1 1
x
x x x x x
x
−
⇔ − + + = +

Do
( ) ( )
2 2
2
1 1 0
x x x , x R
− + + > ∀ ∈

nên
x

là nghiệm của phương trình
2
0
1
1
0
x
x
x
x

>


⇔ ⇔ >

−
>


.
V
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n này ta có
( ) ( )
(
)
( )( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1 1 1pt x x x x x x x
⇔ − + + = + − + ∗

Đặ
t:

(
)
2
1
1
1
a x x
a b x
b x
= −

→ + = +

= +


. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình
(
)
∗
tr
ở
thành:
( )
2
2 2

1
a a a a
a b a b ab
b
b b b
 
+ = + ⇔ + = +
 
 

Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Đặt:
( )
0
a
t t
b
= >

( )
(
)
2
4 3 2
1 1 1 0 1
pt t t t t t t t
⇒ ⇔ + = + ⇔ − + + = ⇔ =

Với

( )
( )
( )
2
1 2
1 1 1 1 2 1 0
1 2
x TM
a
t x x x x x
b
x l

= +

= ⇒ = ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔

= −


Vậy phương trình có nghiệm:
1 2
x = +

Bài 10: [ĐVH].

Giải phương trình:
(
)
2 4 3 2

8 25 18 3 16 96 218 216 81
x x x x x x− + = − + − +

Lời giải:
Nhận xét:
( )
( )
4
4 3 2 4 3 2 2 2
2
2
16 96 218 216 81 16 96 216 216 81 2 2 3 2
8 25 18 2 2 3
x x x x x x x x x x x
x x x x

− + − + = − + − + + = − +


− + = − −



Đặt
( )
2
2 3
x a
− =
.

Vậy phương trình trở thành
( )
( )( )
2 2
2 2
2
22 3 2
5 0
4 5 0
x
x
a
a
a x a x
a x a x
a ax x


≥
≥
 
− = + ⇔ ⇔
 
 
+ − =
− − =



•

V
ớ
i
( )
2
2 3a x x x S
= − → − = − ⇔ = ∅

•

V
ớ
i
( )
2
2
17 145
5 2 3 5 4 17 9 0
8
a x x x x x x
±
= → − = ⇔ − + = ⇔ =
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m:

17 145
8
x
±
=
Bài 11:

[ĐVH].

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )
2 2
13
9 10 2 3 1 2 3
2
x x x x
+ − = + −

Lời giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2

3
2 3 0
2
x x− ≥ ⇔ ≥

Ph
ươ
ng trình
(
)
( )
2 2 2
5
2 2 3 9 4 2 3 1 2 3
2
x x x x x
⇔ − + + − = + −

Đặ
t:
( )
2
2 3 0
x t t
− = ≥
. Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành

( )
2 2
5
2 2 3 1 9 4 0
2
t x t x x
− + + + − =

Ta có:
( ) ( )
2 2
2
5
3 1 2 9 4 2 3 0
2
t
x x x x
 
∆ = + − + − = − ≥
 
 

( )
2
2
2
2
4
7 8 28 0
2 2 3 4

2
5 2
17 20 16 0
2 2 3 5 2
2
x
t
x x
x x
x
x x
x x
t
+

=



− − =
− = +

⇒ ⇒ ⇔

−


− + = ∗

− = −


=




•

2
4 2 53
7 8 28 0
7
x x x
±
− − = ⇔ =
•

Xét ph
ươ
ng trình
(
)
∗
có:
2
2 2
5 39
17 20 16 4 0
2 4
VT x x x x

 
= − + = + − + >
 
 
. V
ậ
y
(
)
∗
vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m là:
4 2 53
7
x
±
=
Bài 12:

[ĐVH].

Gi

ả
i PT:
2 4 2 2
2 1 1
1 ( 1)
x x x x x x
x x x x
− + + + +
+ =
+ +