CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
4.4. Ví dụ tính toán:
Cho hệ chịu tải như hình vẽ.
3m
M
P
A2 , I2
q
A1, I1
Sử dụng phương pháp PTHHMHCV, yêu cầu:
A1
4m
Cho biết:
E=104kN/m2;
A1=0,09m2; I1=0,0008m4;
A2=0,108m2;I2=0,00107m4;
q=1kN/m;P=10kN;M=10kN.m.
,I1
Xác định véc tơ chuyển vị nút.
Vẽ các biểu đồ nội lực.
2m
2m
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Giải:
q'
11
RRH kết cấu: đặt tên
phần tử, nút, chuyển
vị nút:
4
q'
q'
10
3
12
q'
q'
8
5
q'
2
2
q'
3
6
1
y'
q'
2
q'
1
x'
1
q'
3
q'
9
q'
7
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Lập bảng số liệu phần tử:
Nút
L
(m)
EA
(kN)
EI
(kN.m2)
Cô sin chỉ
phương
Tên
PT
i
j
1
1
2
4
900
8
0
1
2
2
3
4
1080
10,7
1
0
3
2
4
5
900
8
0,8
0,6
Cx=cosγ Cy=sinγ
Thiết lập ma trận độ cứng:
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Phần tử 1: N-N
225
0
0
[ K ]1 =
- 225
0
0
0
0
- 225
0
1,5
3
0
- 1,5
3
8
0
-3
0
0
225
0
- 1,5
-3
0
1,5
3
4
0
-3
0
3
4
0
- 3
8
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
'
1
×
×
×
T
K ' 1 = [ T ]1 .[ K ]1.[ T ]1 =
×
×
×
[ ]
2
'
'
3
4
'
5
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
1,5
0
×
×
0
225
×
×
3
0
'
6
× 1'
× 2 '
× 3'
3 4 '
'
0 5
8 6'
'
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Phần tử 2: N-K
4
[ K ] 2 = [ K ' ]2
270
0
0
=
− 270
0
0
'
5
'
6
'
7
'
8
0
0
− 270
0
0,502
2,006
0
− 0,502
2,006
8,025
0
− 2,006
0
0
270
0
− 0,502
− 2,006
0
0.502
0
0
0
0
'
9
0
0
0
0
0
0
4
5
'
'
6
7
'
'
8
9
'
'
'
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Phần tử 3: N-N
180
0
0
[ K]3 =
- 180
0
0
0
0
- 180
0
0,768
1,92
0
- 0,768
1,92
6,4
0
- 1,92
0
0
180
0
- 0,768
- 1,92
0
0,768
1,92
3,2
0
- 1,92
0
1,92
3,2
0
- 1,92
6,4
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
4
[K ]
'
3
'
115,5
86,03
− 1,152
T
= [ T ] 3 .[ K ] 3 .[ T ] 3 =
×
×
×
5
'
6
'
∗
∗
ij
'
'
11
86,03
− 1,152
×
×
65,3
1,536
×
×
1,536
6,4
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Ma trận độ cứng toàn hệ:
[K ] = [k ]
10
k ∗ij = k1ij + k ij2 + k 3ij
12
'
× 4'
× 5'
× 6'
× 10'
'
× 11
'
× 12
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
4
387
∗
− − → K = 86,3
1,848
[ ]
Thiết lập véc tơ lực nút:
Phần tử 1:
'
5
'
86,3
290,802
3,542
6
'
1,848 4'
'
3,542 5
22,425 6'
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
tL
2
qL
0
2
2
−2
qL
− 1,333
12 t = 0; q = −1; L = 4
{ R}1 = tL →{ R}1 =
0
2
−2
qL
2
1,333
qL2
−
12
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
2 1'
'
0 2
− 1,333 3'
T
'
R 1 = [ T ]1 .{ R}1 =
'
2 4
0 '
5
1,333 6'
{ }
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Phần tử 2:
{ R} 2
T
2
0 4'
11P 9M
'
−
− 6,875 5
8L
16
− 7,5 6'
3PL − M T = 0; P = −10; M = 0; L = 4
'
{
}
= 16
→
R
=
=
R
'
8
2
0
7
T
− 3,125 '
2
5PL 9M
8
0 9'
+
8L
16
0
{ }
2
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Phần tử 3: không có tải trọng trên phần tử
{ }
→ { R } 3 = R ' 3 ≡ { 0}
{R } = {R } + {R }
*
∑
*
*
i
P
'
'
'
'
'
2 4 0 4 0 4 0 4 2 4
= 0 5' + − 6,875 5' + 0 5' + 0 5' = − 6,875 5'
'
' '
'
'
1,333
6
−
7,5
6
0
6
−
10
6
−
16,167
6
Xác định véc tơ chuyển vị nút:
0,0127 m
−1
*
*
*
*
*
*
K . q = R → q = K . R = − 0,0189 m
− 0,703 rad
[ ]{ } { } { } [ ] { }
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Xác định nội lực phần tử:
Phần tử 1:
0
0
0
− 1
0
0
'
'
{q }1 =
− − → { q}1 = [ T ]1.{q }1 =
0
0,0127
− 0,0189
0
− 0,703
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
−1
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0
0
0 0
.
=
0 0,0127 − 0.0189
0 − 0,0189 − 0,0127
1 − 0,703 − 0,703
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
225
0
0
{R q }1 = [ K ]1.{ q}1 =
- 225
0
0
0
0
- 225
0
1,5
3
0
- 1,5
3
8
0
-3
0
0
225
0
- 1,5
-3
0
1,5
3
4
0
-3
0
0
4,253
3
0
−
2,128
− 2,774
4
0
.
=
0 − 0,0189 − 4,253
- 3 − 0,0127 2,128
8 − 0,703 - 5,586
0 4,253
M tr 1,414
4,253
ph
−
2,128
−
2
−
0,128
−
6,919
M
tr − 0,128
− 2,774 − 1,333 − 1,441
Q
{ R P }1 = {R q }1 − { R}1 =
−
=
−
−
−
−
→
=
ph
−
4,253
0
−
4,253
−
4,128
Q
2,128 − 2 4,128
N tr − 4,253
− 5,586 1,333 − 6,919
N ph − 4,253
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Phần tử 2:
{q }
'
2
0,0127
0,0189
- 0,703
=
= { q} 2
0
0
0
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
{R } = [ K ] .{ q}
q 2
2
2
270
0
0
=
− 270
0
0
{ R P } 2 = {R q } 2 − { R} 2
0
0
− 270
0
0,502
2,006
0
− 0,502
2,006
8,025
0
− 2,006
0
0
270
0
− 0,502
− 2,006
0
0.502
0
0
0
0
0 0,0127 3,429
0 − 0,0189 − 1,420
0 − 0,703 − 5,679
.
=
0 0
−
3,429
1,420
0
0
0
0 0
0 3,429
M tr - 1,821
3,429
ph
−
1,420
−
6,875
5,455
0
M
tr 5,455
− 5,679 − 7,5 1,821
Q
=
−
=
−
−
−
−
→
=
ph
−
3,429
0
−
3,429
−
4,545
Q
1,420 − 3,125 4,545
N tr − 3,429
ph
0 0 0
N − 3,429
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Phần tử 3:
{q }
'
3
{R }
0,0127
0,8
0,0189
− 0,6
- 0,703
0
'
=
− → { q} 3 = [ T ] 3 . q 3 =
0
0
0
0
0
0
q 3
{ }
180
0
0
= [ K ] 3 .{ q} 3 =
- 180
0
0
0,6
0
0
0
0,8
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0,8
0,6
0
0
− 0,6
0,8
0
0
0
0
0
0
- 180
0
0,768
1,92
0
- 0,768
1,92
6,4
0
- 1,92
0
0
180
0
- 0,768
- 1,92
0
0,768
1,92
3,2
0
- 1,92
0 0,0127 - 0,00118
0 - 0,0189 - 0,02274
0 - 0,703 - 0,703
.
=
0 0
0
0
0
0
1 0
0
0 − 0,00118 − 0,212
1,92 − 0,02274 − 1,367
3,2 − 0,703 − 4,536
.
=
0
0
0,212
1,367
- 1,92
0
− 2,293
6,4
0
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
{ R P } 3 = {R q } 3 − { R} 3
tr
4,536
M
- 0,212 0 - 0,212
ph
M
−
1,367
0
−
1,367
2,293
tr
−
4,536
0
−
4,536
Q
1,367
=
−
=
−
−
−
−
→
=
ph
0,212
0
0,212
1,367
Q
tr
1,367
0
1,367
0,212
N
- 2,293 0 - 2,293
ph 0,212
N
CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ THANH
THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV
Vẽ biểu đồ nội lực:
2,293
1,367
0,212 +
-
1,821
5,455
6,919
+
4,128
-
4,536
-
4,545
-
1,441
M (kN.m)
-
4,253
0,128
Q (kN)
3,429
N
(kN)