Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên, các đặc trưng thống kê, độc lập, tương quan và hiệp phương sai đối với các biến vector ngẫu nhiên

LOGO

ĐỀ 01: Tìm hiểu chung về biến
vector ngẫu nhiên
GvHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HOÀNG LAN
NHÓM 1:
 ĐINH HỮU HỘI - 20106093
 NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - 20121365
 NGUYỄN TRUNG ANH - 20121221
 NGUYỄN TRUNG HIẾU - 20109271
 ĐINH CÔNG TUYỀN - 20122724
 PHẠM MINH HIẾU - 20121693


Nội dung
1

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên

2

So sánh đặc trưng biến vector ngẫu nhiên với
QTNN

3

Minh họa với Matlab


1. Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên

 Khái niệm biến vector ngẫu nhiên
 Tính độc lập của các biến ngẫu
nhiên
 Các đặc trưng thống kê của biến
vector ngẫu nhiên


1.1 Khái niệm biến vector ngẫu nhiên

 Khái niệm
 (X1, X2, …, Xn)
 Hàm phân phối
 F(x1, x2, …, xn) = P(X1
 Hàm mật độ
 f(x1, …,xn) =


1.2 Độc lập của biến vector ngẫu nhiên

 Các biến ngẫu nhiên độc lập
 F(x1, x2, …, xn) = F(x1)F(x2)…F(xn)
 f(x1, x2, …, xn) = f(x1)f(x2)…f(xn)
 Biến vector (X,Y) độc lập:
 F(x,y) = FX(x)FY(y)
 f(x,y) = fX(x)fY(y)


1.3 Các đặc trưng thống kê của RV.s

 Kì vọng
 Phương sai
 Hiệp phương sai
 Tương quan


1.3.1 Kì vọng

 1 biến ngẫu nhiên:
Rời rạc

Liên tục

E[X]=i P(xi)

E[X] = f(x)dx


1.3.1 Kì vọng


 2 biến thành phần của biến vector
ngẫu nhiên (X,Y) – rời rạc:
 E[X] = i P(xi) = i P(xi,yj)
 E[Y] = j P(yj) = j P(xi,yj)


1.3.1 Kì vọng



 2 biến thành phần của biến vector
ngẫu nhiên (X,Y) – liên tục:
 E[X] = fX(x)dx = fX,Y(x,y)dxdy
 E[Y] = fY(y)dy = fX,Y(x,y)dxdy


1.3.1 Kì vọng

- Bản chất: Kì vọng toán là trung bình theo nghĩa xác
suất của biến ngẫu nhiên.
- Ý nghĩa: Kì vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của
phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
- Ứng dụng: Trong kĩ thuật, kì vọng đặc trưng cho
thông số chuẩn của các thiết bị, chi tiết máy,…


1.3.2 Phương sai

 1 biến ngẫu nhiên:
Rời rạc

Liên tục

σ2(X) = 2 Pi

σ2(Y) = 2f(x)dx


1.3.2 Phương sai


 2 biến thành phần của biến vector
ngẫu nhiên (X,Y) – rời rạc:
 σ2(X) = E[X2] – (E[X])2 = i2 P(xi,yj) – (E[X])2
 σ2(Y) = E[Y2] – (E[Y])2 = j2 P(xi,yj) – (E[Y])2


1.3.2 Phương sai


 2 biến thành phần của biến vector
ngẫu nhiên (X,Y) – liên tục:
 σ2(X) = E[X2] – (E[X])2 = 2fX,Y(x,y)dxdy – (E[X])2
 σ2(Y) = E[Y2] – (E[Y])2 = 2fX,Y(x,y)dxdy – (E[Y])2


1.3.2 Phương sai
- Bản chất: Phương sai là trung bình số học của bình phương
các sai lệnh giữa các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên so
với giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung
bình của các giá trị đó.
- Ý nghĩa: Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá
trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung tâm là kỳ vọng toán.
Phương sai càng nhỏ thì các giá trị càng tập trung ở gần giá trị
trung tâm.
- Ứng dụng: Trong kỹ thuật, căn bậc hai của phương sai (độ
lệch tiêu chuẩn) đặc trưng cho sai số của thiết bị, chi tiết gia
công so với kích thước tiêu chuẩn

1.3.3 Hiệp phương sai

a) Hiệp phương sai
 Định nghĩa
 Cxy = E[( X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] – E[X]E[Y]

 Tính chất:
 Cxy = Cyx
 Cxx = σ2(X)
 Cax + c, by + d = abCxy với mọi hằng số a,b,c,d.
 Nếu X, Y độc lập thì E[XY] = E[X]E[Y]  Cxy = 0
ngược lại chưa chắc đúng.


1.3.3 Hiệp phương sai


b) Ma trận hiệp phương sai:
 Ma trận hiệp phương sai:
 M = [aij]nxn với aij = Cxi,yj
 Tính chất:
 Ma trận hiệp phương sai là ma trận đối xứng.
 Với mọi t1,t2,…,tn luôn có ijtitj 0.
 Các định thức con chính của M không âm, tức là ma
trận hiệp phương sai M là ma trận dạng toàn phương
không âm.


1.3.4 Tương quan


 Hệ số tương quan:
ρxy =
 Tính chất:
Nếu X và Y độc lập thì: E[XY] = E[X].E[Y],
(ngược lại chưa chắc đúng)

 Ý nghĩa: Có thể xem hệ số tương quan như “hệ số
ảnh hưởng” thì mối liên hệ càng có ý nghĩa thực tế


1.3.4 Tương quan


 Ma trận tương quan
Rn =

 Rn = E{Xt X*}
 Với Xt là chuyển vị của X


2. So sánh đặc trưng RV.s với QTNN
 Kỳ vọng
 Hiệp phương sai
 Sự tương quan
 Tương quan và hiệp phương sai
 Độc lập


2.1 Kỳ vọng

 Sự giống nhau:
 đều biểu diễn giá trị trung bình của các biến ngẫu
nhiên.
 Sự khác nhau:
Biến vector ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên

Biến vector phụ thuộc vào
không gian vector

Quá trình ngẫu nhiên phụ
thuộc vào chỉ số thời gian
t


2.2 Hiệp phương sai
 Sự giống nhau:
 Biểu diễn sự tương quan giữa các biến ngẫu nhiên
 Sự khác nhau:
Biến vector ngẫu nhiên
Hiệp phương sai ( hay còn gọi
là momen tương quan) của hai
biến ngẫu nhiên x,y ký hiệu là
Cov(X,Y) là kỳ vọng toán của
tích các sai lệch của các biến
ngẫu nhiên đó với kỳ vọng toán
của chúng.

Quá trình ngẫu nhiên

Hàm tự hiệp phương sai của
một quá trình x(t) là hàm tự
tương quan của quá trình
nhiễu tập trung.
Vì đó là hàm xác định.


2.3 Sự tương quan
 Sự giống nhau:
 Biểu diễn sự phụ thuộc tương quan giữa các biến
ngẫu nhiên
 Sự khác nhau:
Biến vector ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên

Sự tương quan phụ thuộc Sự tương quan phụ thuộc
vào hệ số tương quan.
vào hàm tự tương quan.


2.4 Tương quan và hiệp phương sai

 Sự giống nhau:
 Đều được định nghĩa bằng trung bình tích số của các biến ngẫu
nhiện thực hoặc phức:
•
•

 Sự khác nhau:

Biến vector ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên
Hiệp phương sai Cij của hai Hàm tự tương quan của một quá
biến ngẫu nhiên thực xi và xj trình x(t) thực hoặc phức được định
được định nghĩa như
nghĩa bằng trung bình tích số
X(t1)X*(t2) do đó:
Phụ thuộc vào phương sai với
các biến ngẫu nhiên phức
Phụ thuộc vào hàm tự tương quan
với quá trình x(t) thực hoặc phức


2.5 Tính độc lập
 Sự giống nhau:
 Chúng được gọi là độc lập nếu các biến ngẫu nhiên x
và y độc lập tương hỗ
 Sự khác nhau:
Biến vector ngẫu nhiên
Hai quá trình x(t) và y(t)
được gọi là độc lập nếu các
biến ngẫu nhiên x(t1),
…,x(tn) và y(t1’),…, y(tn’) là
độc lập tương hỗ phụ thuộc
vào thời gian t.

Quá trình ngẫu nhiên
Các BNN xi độc lập thì
E{g(x1,
…,gn(

xn)}=E{g(x1)}…
E{gn( xn)}
phụ thuộc vào các biến
ngẫu nhiên


3.

Minh họa MatLab

 Một số hàm trong MatLab
 Vẽ đồ thị PDF và pdf của một biến
ngẫu nhiên
 Vẽ đồ thị PDF và pdf của một biến
vector ngẫu nhiên
 Vẽ đồ thị hàm pdf trong bài tập 10.8