MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT


GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. y ''+ 10 y '+ 25 y = 4e −5 x
2. y ''+ y =

1
cos x

3. y ''+ 4 y = cos 2 x
4. y ''+ 5 y '+ 6 y = 3
5. y ''− 6 y '+ 9 y = 25e x sin x
6. y ''+ y = x 2cos 2 x
7. y ''+ y = cos3 x
8. y ''− 3 y ' = e3 x − 18 x
9. y ''− 9 y '+ 20 y = x 2e 4 x
10. y ''+ 2 y '+ y = 3e − x x + 1
11. y ''+ 2 y '+ 5 y = e − x sin 2 x
12. y ''+ y '+ 2 y = 2sin x + cos x
13. y ''− y ' = e x
14. y ''− 2 y '− 3 y = e x x 2
15. y ''+ y = cos2 x
16. y ''− 3 y '+ 2 y = e x (3 − 4 x )
17. y ''− y ' = x + e 2 x
18. y ''+ y = 4 x sin x
19.

y ''+ y ' = 4 x 2e x

20. 2 yy '' = ( y ') 2 + y 2

4
9

21. xy ''− y ' = x 2 ln x ; Tìm nghiệm riêng thỏa mãn: y (1) = − , y '(1) = −1.
22. y '''− y '' = 12 x 2 + 6 x
23. y ''+ 2 y '+ 5 y = e − x sin 2 x
24. y ''−

y'
− x( x − 1) = 0; Điều kiện ban đầu: y (2) = 1, y '(2) = −1.
x −1

25. y '''− y ''+ y '− y = x + x 2
26.

1
1
x 4 y '''+ 2 x 3 y '' = 1 ; Điều kiện ban đầu: y (1) = , y '(1) = , y ''(1) = −1.
2
2

27. y''– 4y' = –12x 2 – 6x – 4
28. y "+

2x
2
y

'
−
y = 0 , biết một nghiệm riêng y1 ( x ) = x .
1 − x2
1 − x2

29. y ''− 4 y '+ 8 y = e 2 x + sin 2 x.
30. y ''− 2 y '+ y = 1 + x
31. y ''− 3 y ' = 2 − 6 x
32. y ''− 3 y ' = e3x − 18x
33. y ''+ 5 y '+ 6 y =

1
1 + e2 x

34. xyy′′ − xy′2 − yy′ = 0
35. y ''+ y 't anx − y cos 2 x = 0 , biết phương trình có 1 nghiệm y1 ( x ) = eα s inx .
36. y ''+ y = sinx + cos2 x


37. x 2 (ln x − 1) y ''− xy '+ y = 0 , biết phương trình có 1 nghiệm y1 ( x ) = xα ,α ∈ ¡ .
38. y '''− y ' = e 2 x
39. y '''+ y ' = tan x
40. y ''− y ' = e x + x
41. y ''− 4 y '+ 4 y = x + e 2 x
42. xy ''− y ' = x 2e x
43. y ''+ y = 4 x sin x
44.

y ''− 6 y '+ 9 y = xe3 x

45.

y '' =

y'
x

LỜI GIẢI

1. Giải phương trình đặc trưng k 2 + 10k + 25 = 0 , k1 = k2 = −5
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = (C1 + C2 x)e −5 x .

α = −5 là một nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng y * của phương
trình không thuần nhất có dạng y * =Ax 2e −5 x . Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có
A = 2 do đó y * = 2 x 2e −5 x .
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = (C1 + C2 x)e −5 x + 2 x 2e −5 x
2. Phương trình thuần nhất tương ứng
y = C1 cos x + C2 sin x

y′′ + y = 0 có nghiệm tổng quát là:


Coi C1 , C2 là các hàm số: y = C1 ( x) cos x + C2 ( x)sin x
Các hàm số C1 , C2 được xác định từ hệ:
C1′ cos x + C2′ sin x = 0



1 Từ đó :
−C1′ sin x + C2′ cos x = cos x

sin x
 ′
C1 = ln cos x
C1 = −
cos x ⇒ 

C2 = x
C2′ = 1

*
Nghiệm riêng cần tìm là y = cos x ln cos x + x sin x

Nghiệm tổng quát của phương trình :
y = C1 cos x + C2 sin x + cos x ln cos x + x sin x
3. Giải phương trình đặc trưng k 2 + 4 = 0 , k1 = 2i; k2 = −2i . Ta có ±2i là nghiệm đơn của
phương trình đặc trưng.
Vậy nghiệm phương trình vi phân có dạng: Y = x( A cos 2 x + B sin 2 x)
Đạo hàm: Y ′ = A cos 2 x + B sin 2 x + x(−2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x)
Y ′′ = −4 A sin 2 x + 4 B cos 2 x + x( −4 A cos 2 x − 4 B sin 2 x)
Thay vào phương trình ta được:
−4 A sin 2 x + 4 B cos 2 x = cos 2 x ⇒ A = 0; B =

1
4

Vậy nghiệm riêng của phương trình là:
Y=

1
x sin 2 x
4

4. Giải phương trình đặc trưng k 2 + 5k + 6 = 0 , k1 = −2; k2 = −3
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = C1e −2 x + C2e −3 x .
Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng y * của phương
trình không thuần nhất có dạng: y * = A . Tính y *′ ; y*′′ , thế vào phương trình đầu ta được:


1
1
6 A = 3 ⇔ A = . Do đó: y * = .
2
2
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
1
y = C1e −2 x + C2e −3 x + .
2
5. Giải phương trình đặc trưng k 2 − 6k + 9 = 0 , k1 = k2 = 3
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = (C1 + C2 x)e3 x .
Vì α = 1; β = 1 và số phức λ = 1 ± i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên
nghiệm riêng y1 của phương trình không thuần nhất có dạng: y1 = e x ( A cos x + B sinx) .
Tính y1′; y1′′ , thế vào phương trình đầu ta được:
(3 A − 4 B) cos x + (4 A + 3B )sinx = 25sinx ⇔ A = 4; B = 3.
Do đó: y1 = e x (4cos x + 3sinx) .
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = (C1 + C2 x)e3 x + e x (4cos x + 3sinx).
6. Phương trình đặc trưng k 2 + 1 = 0 có nghiệm là k = ±i . Do đó nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng là:
y = C1 cos x + C2 sinx .
x 2 x 2 cos 2 x
Vì x cos x = +
. Nên ta phải tìm nghiệm riêng y1′; y2′ lần lượt của hai
2
2
2

2

phương trình: y′′ + y =

x2
x 2 cos 2 x
x2
′′
′
và y + y =
. Ta tìm được: y1 = − 1 và
2
2
2

 13 x 2 
4 x sin 2 x
y2′ =  − ÷cos 2 x +
.

9
 27 6 
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:


y = C1 cos x + C2 sinx +

 13 x 2 
x2
4 x sin 2 x
− 1 +  − ÷cos 2 x +
2
9
 27 6 

7. Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
y = C1 cos x + C2 sinx .
1
3
Vì cos3 x = cos 3 x + cos x . Nên ta phải tìm nghiệm riêng y1* của phương trình
4
4
1
3
y′′ + y = cos3 x và y2* của phương trình y′′ + y = cos x .
4
4
Ta tìm được: y * = y1* + y2* = −

3cos 3 x 3 x sinx

+
.
32
8

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = C1 cos x + C2 sinx −

3cos3 x 3 x sinx
+
32
8

8. Giải phương trình đặc trưng k 2 − 3k = 0 ⇔ k1 = 0; k 2 = 3.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
y = C1 + C2e3 x
Tìm nghiệm riêng y1′ của phương trình: y′′ − 3 y′ = e3 x (1). Vì α = 3 là một nghiệm đơn
của phương trình (1) nên y1′ = Axe3 x
1
1
Thay vào (1) được A = . Vậy y1′ = xe3 x .
3
3
Tìm nghiệm riêng y2′ của phương trình: y′′ − 3 y′ = −18 x (2). Vì α = 3 là một nghiệm
đơn của phương trình (2) nên y2′ = x( Bx + C ) . Thay vào (2) được B = 3; C = 2. . Vậy
y2′ = x(3x + 2).
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
1
y = C1 + C2e3 x + xe3 x + x (3x + 2).
3

9. y ''− 9 y '+ 20 y = x 2e 4 x
Giải phương trình đặc trưng k 2 − 9k + 20 = 0 , k1 = k2 = 2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = C1e 4 x + C2e5 x .

α = 4 là một nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng
y1 = x(Ax 2 +Bx+C)e 4 x . Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có
1
1

A = − ; B = −1; C = −2. do đó y1 = −  x 3 +x 2 + 2 x ÷e 4 x .
3
3

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
1

y = C1e 4 x + C2e5 x −  x 3 +x 2 + 2 x ÷e 4 x
3

10. Giải phương trình đặc trưng: k 2 + 2k + 1 = 0 ⇔ k1 = k2 = −1.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: y = (C1 + C2 x)e − x . Coi
C1′e − x + C2′ xe − x = 0
C1 ; C2 là hàm của x. Xác định các hàm này từ hệ: 
−x
−x
−x
−x

x +1
−C1′e + C2′e − C2′ xe = 3e
Ta được: C1′ = −3x x + 1; C2′ = 3 x + 1.
3
5
6
Do đó ta có: C1 = 2( x + 1) 2 − (1 + x) 2 + C1* ;
5
3
2

C2 = 2( x + 1) + C2* .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
5
4
y = e (C + C x + (1 + x) 2 )
5
−x

*
1

*
2

11. Giải phương trình đặc trưng k 2 + 2k + 5 = 0 , k1,2 = −1 + 2i


Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = (C1cos2 x + C2 sin 2 x)e − x , f ( x) = e − x sin 2 x .

Tìm nghiệm riêng. α = −1 + 2i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng
có dạng y* = xe − x (Acos2 x + B sin 2 x) . Tính y * ', y * '' thay y * ', y * '', y * vào phương
trình đã cho ta xác định được A = 0, B =

1
1
do đó y* = xe − x sin 2 x .
4
4

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = (C1cos2 x + C2 sin 2 x)e − x +

1 −x
xe sin 2 x
4

12. y ''+ y '+ 2 y = 2sin x + cos x
1
7
Giải phương trình đặc trưng k 2 + k + 2 = 0 , k1,2 = − ± i
2
2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
y=e

1
− x
2


7
7 
x + C2 sin
x÷
 C1cos
2
2



f(x) = 2sin x + cos x nên nghiệm riêng có dạng
1
3
y* = A sin x + B cos x , Tính y*', y*'' thay vào phương trình đã cho ta có A = − , B = ,
2
2
1
3
suy ra y* = − sin x + cos x
2
2
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y=e

1
− x
2



7
7  1
3
x + C2 sin
x ÷− sin x + cos x
 C1cos
2
2  2
2


13. y ''− y ' = e x . Phương thuần nhất tương ứng có dạng
y ''− y ' = 0 , phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 0,1. Nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất là


y = C1 + C2e x . f ( x) = e x

α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng có dạng y* = Axe x . Tính y * ', y * '' thay vào phương trình đã cho ta
có A = 1 do đó y* = xe x
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = C1 + C2e x + xe x
14. y ''− 2 y '− 3 y = e x x 2
• Xét phương trình thuần nhất y ''− 2 y '− 3 y = 0 .
Phương trình đặc trưng k 2 − 2k − 3 = 0 , k1 = −1, k2 = 3
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
y = C1e − x + C2 e3 x .
Vì α = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của phương trình
đã cho có dạng

Y = e x ( Ax 2 + Bx + C ) , Tính Y', Y'' thay vào phương trình đã cho ta tìm được
1
1
A = − , B = 0, C =
4
4
1
x  −1 2
• Phương trình có nghiệm riêng Y = e  x + ÷
4
 4
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là :
1
 −1
y = y + Y = e x  x 2 + ÷+ C1e − x + C2e3 x
4
 4
15. y ''+ y = cos2 x
Phương thuần nhất tương ứng có dạng


y ''+ y = 0 , phương trình đặc trưng có 2 nghiệm i,-i. Nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất là
y = C1 cos x + C2 sinx . f ( x) = cos 2 x

α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng có dạng y* = Acos2 x + B sin 2 x . Tính y * ', y * '' thay vào phương
1
1
trình đã cho ta có A = − , B = 0 do đó y* = − cos2 x

3
3
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
1
y = C1 cos x + C2 sinx − cos2 x
3
16. y ''− 3 y '+ 2 y = e x (3 − 4 x)
Phương trình đặc trưng có dạng: k 2 − 3k + 2 = 0 ⇒ k1 = 1; k2 = 2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y = C1e x + C2e 2 x .
Vì α = 1 là một nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng y * của
*
x
x
2
phương trình đã cho dưới dạng: y = xe ( Ax + B ) = e ( Ax + Bx ) . Ta tính y *′ y *′′

Thay y * ; y*′ ; y *′′ vào phương trình đã cho và rút gọn ta được:
e x ( 2Ax + 2 A − B ) = e x ( 3 − 4 x ) hay − 2Ax + 2 A − B = 3 − 4 x
Đồng nhất thức hai vế ta có

−2 A = −4
⇒ A = 2; B = 1

2
A
−
B
=
3


*
x
2
Vậy một nghiệm riêng của phương trình dã cho có dạng: y = e ( 2x + x ) . Suy ra
x
2
x
2x
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y = e ( 2x + x ) + C1e + C2e

17. y ''− y ' = x + e 2 x .
Phương thuần nhất tương ứng có dạng


y ''− y ' = 0 , phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 0,1. Nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất là
y = C1 + C2e x . f ( x) = x + e 2 x
Tìm nghiệm riêng ứng với f1 ( x) : y ''− y ' = x (1)

α = 0 là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng có dạng y1 = x(Ax+B) . Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có
1
A = − , B = −1
2
1
do đó y1 = x (− x-1)
2
Tìm nghiệm riêng ứng với f 2 ( x) : y ''− y ' = e 2 x (2)

α = 2 là không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng
y2 = Ae 2 x , Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A =

1
1
do đó y2 = e 2 x
2
2

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
1
1
y = C1 + C2e x + x (− x-1) + e 2 x
2
2
18. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm k = ±i , do đó nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất tương ứng là:
y = C1cosx + C2sinx. Mặt khác α ± iβ = ±i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên
một nghiệm riêng của phương trình có dạng Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx].
Từ đó tính Y', Y'' thay vào phương trình đã cho ta được:
(4Cx + 2A + 2D)cosx + (– 4Ax – 2B + 2C)sinx = 4xsinx. Đồng nhất ta được:


 4C = 0
 A = −1
 2 A + 2D = 0
 B=0


⇔


 −4 A = 4
C =0
−2 B + 2C = 0
 D = 1
Từ đó Y = x(– xcosx + sinx) và nghiệm tổng quát của phương trình là:
C2sinx + x(– xcosx + sinx)

y = C 1cosx +

19. Giải phương trình đặc trưng k 2 + k = 0 , k1 = 0, k2 = −1
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = C1 + C2e − x , f ( x) = 4 x 2e x .Tìm nghiệm riêng.

α = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng có dạng y* = e x (Ax 2 +Bx+C) . Tính y * ', y * '' thay y * ', y * '', y * vào
2
x
phương trình đã cho ta xác định được A = 2, B = −6, C = 7 do đó y* = ( 2x − 6 x + 7 ) e .

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = C1 + C2e − x + ( 2x 2 − 6 x + 7 ) e x


20. Đặt y ' = z ta được phương trình 2 yz

y

du
u

= u + y 2 ⇔ u '− = y (*) . Giải
dy
y

u '−

dz
= z 2 + y 2 . Đặt u = z 2 ta có
dy

phương trình thuần nhất tương ứng

u
= 0 ta được nghiệm u = Cy , coi C là hàm số theo biến y tính u ' thay
y

vào phương trình (*) ta tìm được
trình (*) là

u = C1 y + y 2

C = C1 + y .

Nghiệm tổng quát của phương

nên ta có z 2 = C1 y + y 2

Hay y '2 = C1 y + y 2 . Nghiệm tổng quát của phương trình này là
ln y +

C1
+ C1 y + y 2 = ± x + C2 và y = 0 là nghiệm riêng.
2

21. Đặt y' = p ta được phương: xp'-p = x 2 lnx. Phương trình tuyến tính cấp một hàm p.
Nghiệm tổng quát là : p= x 2 lnx - x 2 + C
Theo cách đặt ta có: y' = p hay y' = x 2 lnx - x 2 + C
x3
x3 x 3
ln x − − + C1
Suy ra y =
3
9 3
4
Từ điều kiện y (1) = − ; y'(1)=-1 → C1 = 0
9
Vậy nghiệm riêng của phương trình là: y =

x3
x3 x3
ln x − −
3
9 3

22. y '''− y '' = 12 x 2 + 6 x . Giải phương trình thuần nhất tương ứng
y '''− y '' = 0 .
Phương trình đặc trưng λ 3 − λ 2 = 0 có nghiệm λ = 0, ±1
Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát y = C1 + C2 x + C3e x

Với α = 0 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của phương trình
đã cho có dạng
y* = x 2 ( A1 x 2 + A2 x + A3 ) tính y*’; y*’’;y*’’’ sau đó thế vào phương trình đã cho và đồng
nhất hai vế ta thu được: A1 = −1; A2 = −5; A3 = −15 . Nghiệm riêng của phương trình đã
cho là y* = x 2 (− x 2 − 5 x − 15) . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = C1 + C2 x + C3e x − x 4 − 5x 3 − 15x 2
23. Giải phương trình đặc trưng k 2 + 2k + 5 = 0 , k1,2 = −1 + 2i
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = (C1cos2 x + C2 sin 2 x)e − x , f ( x) = e − x sin 2 x .
Tìm nghiệm riêng. α = −1 + 2i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng
có dạng y* = xe − x (Acos2 x + B sin 2 x) . Tính y * ', y * '' thay y * ', y * '', y * vào phương
trình đã cho ta xác định được A = 0, B =

1
1
do đó y* = xe − x sin 2 x .
4
4

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = (C1cos2 x + C2 sin 2 x)e − x +

1 −x
xe sin 2 x
4

p
= x( x − 1) (1) (phương trình tuyến tính cấp 1 hàm p). Giải
x −1
phương trình thuần nhất tương ứng

24. Đặt y' = p ta được p '−

p '−

p
= 0 ta có p = C ( x − 1) , coi C = C(x) thay p, p' vào phương trình (1) tính được C
x −1

 x2

từ đó nghiệm tổng quát của (1) là p =  + C1 ÷( x − 1) . Từ điều kiện y'(2)= -1 ⇒ C 1 = -3
 2

 x2

x 4 x3 3x 2
+ 3x + C2 . Từ điều kiện y'(2)=1 →
Do đó y ' =  − 3 ÷( x − 1) ⇒ y = − −
8 6
2
 2

1
1
C2 = . Nghiệm riêng của phương trình là: y = (3x 4 − 4x 3 − 36x 2 + 72x + 8)
3
24


25. Phương trình đặc trưng λ 3 − λ 2 + λ − 1 = 0 có nghiệm

λ1 = 1; λ2 = i; λ3 = −i suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = C1e x + C2cosx + C3sinx
Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của
phương trình đã cho dưới dạng
y* = a1 x 2 + a2 x + a3 .Tính y*’,y*’’ sau đó thay y*, y*’,y*’’ vào phương trình đã cho ta
tìm được a1 = −1;a 2 = −3;a 3 = −1 , ⇒ y* = − x 2 − 3x − 1. Vậy nghiệm tổng quát của
phương trình đã cho là: y = C1e x + C2cosx + C3sinx-x 2 − 3x − 1
26. Đặt y '' = p ⇒ y ''' = p ' thay vào phương trình đã cho ta có phương trình
dp 2
1
+ p = 4 (phương trình tuyến tính cấp 1)
dx x
x
Giải phương trình thuần nhất tương ứng
Ta có nghiệm p =

dp 2
+ p=0
dx x

C
dp 2
1
+ p= 4
2 coi C = C(x) tính p'. Thay p, p' vào phương trình
x
dx x
x

(1) ta tính C từ đó tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (1) là p = −
y ''(1) = −1 ⇒ C1 = 0 suy ra y '' = −
y=−

1 C1
+ . Từ
x3 x 2

1
1
1
y ' = 2 + C2 .Từ y '(1) = ⇒ C2 = 0 suy ra
3 suy ra
x
2x
2

1
1
1
+ C3 . Từ điều kiện y (1) = ⇒ C3 = 1 . Vậy nghiệm riêng cần tìm là y = − + 1
2x
2
2x

• Phương trình đặc trưng: k2 – 4k = 0, có hai nghiệm phân biệt k = 0
và k = 4.
27.

• Do α = 0 là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên phương

trình đã cho có một nghiệm riêng
Y = x(Ax2 + Bx + C) = Ax3 + Bx2 + Cx. Từ đó tính Y', Y'' Thay vào
phương trình đã cho ta được, đồng nhất hóa các hệ số suy ra A = 1; B =


3
;
2

C=

7
4

và do đó Y = x3 +

3 2
x
2

+

7
x.
4

• Nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất tương ứng với phương trình đã cho là: y = C1 + C2e4x.
• Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

3
2

7
4

y = y + Y = C1 + C2e4x + x3 + x2 + x.
28. Ta tìm nghiệm riêng y2 = x.u ( x ) . Xác định u ( x ) ?
Ta tính y '2 , y ''2 thay vào phương trình đã cho ta được:
x ( 1 − x 2 ) u "+ 2u ' = 0 .
2
Đặt u ' = z ⇒ u " = z ' ⇒ x ( 1 − x ) z '+ 2 z = 0

⇒

dz
2dx
1 − x2
=−
, z = c1 2 , chọn
z
x ( 1 − x2 )
x

1 − x2
c1 = 1 ⇒ z = 2 .
x
du 1
1
 1


= 2 − 1 ⇒ du =  2 − 1÷dx ⇒ u = − − x + c2
dx x
x
x

Ta

chỉ

cần

lấy

một

nghiệm

riêng

u ( x ) ≠ const

nên

chọn

c2 = 0 ,

1
1



u = −  x + ÷ ⇒ y2 = − x  x + ÷ = − ( x 2 + 1)
x
x


rõ ràng y1 và y2 là độc lập tuyến tính. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
y = c1 x − c2 ( x 2 + 1) .
29. Phương trình đặc trưng

k 2 − 4k + 8 = 0 (*) có nghiệm phức liên hợp k1,2 = 2 ± 2i .

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y = C1e 2 x .sin 2 x + C2 .e 2 x .cos 2 x . Xét
phương trình y ''− 4 y '+ 8 y = e 2 x (1) ta thấy α = 2 không là nghiệm của phương trình (*)
nên ta tìm nghiệm riêng của nó dưới dạng Y1 ( x) = A.e 2 x . Tính đạo hàm cấp 1,2 thay vào


1
1
. Vậy nghiệm riêng tìm được là Y1 ( x) = .e 2 x . Xét phương trình
4
4
y ''− 4 y '+ 8 y = sin 2 x. (2). Ta thấy α ± β i = 2i không là nghiệm của phương trình (*) nên
ta tìm nghiệm của nó dưới dạng Y2 ( x) = B.sin 2 x + C.cos 2 x
(1) ta tìm được A =

Tính đạo hàm cấp 1,2 thay vào phương trình (2) ta tìm được B =
riêng của phương trình (2) tìm được là Y2 ( x) =
quát của phương trình đã cho là y =

1
1
; C = . Nghiệm
20
10

1
1
.sin 2 x + .cos 2 x . Vậy nghiệm tổng
20
10

1 2x 1
1
.e +
.sin 2 x + .cos 2 x + y
4
20
10

30. Phương trình đặc trưng có một nghiệm kép k = 1 do đó nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất là y = (C1 + C2 x)e x , α = 0 ≠ 1 , P(x) = 1 + x là đa thức bậc nhất.
Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng
Y = e0. x ( Ax + B ) , hay Y = Ax +
B thay Y', Y'' vào phương trình đã cho ta tìm được A = 1 và B – 2A = 1, suy ra A = 1,
B = 3 nên Y = x + 3. Từ đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = (C1 + C2 x)e x + x + 3
31. y ''− 3 y ' = 2 − 6 x . Giải phương trình thuần nhất tương ứng
y ''− 3 y ' = 0

Phương trình đặc trưng k 2 − 3k = 0 có 2 nghiệm k1 = 1, k2 = 3 do đó nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất là y = C1 + C2e3 x , α = 0 là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng
P(x) = x (Ax + B) thay Y', Y''
vào phương trình đã cho ta tìm được A = 1, B = 0 nên Y = x 2 .
Từ đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = C1 + C2e3 x + x 2
32. PT đặc trưng k 2 − 3k = 0 ⇔ k1 = 0, k 2 = 3
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y = C1 + C2e3x
Tìm nghiệm riêng y1* của phương trình y ''− 3 y ' = e3x (1)


Vì α = 3 là nghiệm của PT đặc trưng nên nghiệm riêng y1* của PT (1) có dạng
1
y1* = Ax.e3x thay y1* , y1* ', y1* '' vào (1) ta tìm được A = .
3
Tìm nghiệm riêng y2* của PT : y ''− 3 y ' = −18xe0x (2)
Vì α = 0 là nghiệm đơn của PT đặc trưng nên nghiệm riêng y2* của PT (2) có dạng :
y2* = x( Bx + C ) tương tự ta tìm được C = 2, B = 3 . Vậy nghiệm tổng quát của phương
1
trình đã cho là y = C1 + C2e3x + xe3x + x (3x + 2), C1,2 = const .
3

33. Phương trình thuần nhất tương ứng y "+ 5 y '+ 6 y = 0 có nghiệm tổng
quát y = C1e −3 x + C2e−2 x . Vì ở đây f ( x) =

1
e +1
2x

không có dạng đặc biệt nên ta

tìm nghiệm riêng dưới dạng y * ( x) = α1 ( x)e −3 x + α 2 ( x)e −2 x , trong đó α1 ( x) ,
α 2 ( x) được xác định từ hệ

suy ra

α '1 ( x)e −3 x + α '2 ( x)e −2 x = 0


1
−3 x
−2 x
−3α '1 ( x)e − 2α '2 ( x)e = 2 x
e +1



−e3 x
α1 ( x) = −e x + arctan e x + C1
α '1 ( x) = (e 2 x + 1)


⇔

1
2x
2x
α ' ( x) = e
α 2 ( x) = ln(1 + e ) + C2


2
 2
(e 2 x + 1)

Do ta chỉ cần tìm một nghiệm riêng nên các hằng số sau khi tích phân
chọn bằng 0. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
1
y = C1e −3 x + C2e −2 x + ( − e x + arctan e x ) e −3 x + ln(1 + e 2 x )e −2 x
2

34.


y ' = yz

Đặt

ta có

y′′ = y ( z 2 + z ' ) . Bởi vậy sau khi thay giá trị y ', y "

phương trình đã cho và đơn giản cho
hay

y2

ta được

x ( z 2 + z ') − xz 2 − z = 0,

xz '− z = 0. Tích phân phương trình này ta được z = C1 x,

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

vào

y = C2 e

C1 2
x
2

hay

y'
= C1 x.
y

.

y = 0 là nghiệm của phương trình (nhận được từ biểu thức tích phân tổng quát
với C2 = 0 ).
35. Tính đạo hàm:
Thay

y '1 = α cos xeα s inx
y ''1 = α 2 cos 2 xeα s inx − α sin xeα s inx

y ''1 , y '1 , y1 vào

phương

trình

đã

cho

ta

được

đồng

nhất

thức

(α -1)cosx x = 0 ⇒ α = ±1
2

2

Vậy phương trình có hai nghiệm riêng y1 = es inx ; y2 = e − s inx
Rõ ràng y1 ( x), y2 ( x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của phương
trình cần giải là y = C1es inx + C2 e − s inx
36. Phương thuần nhất tương ứng có dạng
y ''+ y = 0 , phương trình đặc trưng có 2 nghiệm i,-i. Nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất là
y = C1 cos x + C2 sinx . f1 ( x) = sin x , α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng nên

PT có nghiệm riêng có dạng y1* = x(Acosx + B sin x) . Tính y *1 ', y *1 '' thay vào phương
1
1
do đó y1* = − xcosx . f 2 ( x) = cos 2 x , α ± iβ không là
2
2
nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 * = Acos2 x + B sin 2 x .
trình đã cho ta có A = 0, B = −

1
Tính y *2 ', y *2 '' thay vào phương trình đã cho ta có A = − , B = 0 do đó
3


1
y2 * = − cos2 x . Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
3
1
1
y = C1 cos x + C2 sinx − cos2 x − xcosx
3
2
37. Tính đạo hàm: y '1 = α xα −1; y ''1 = α (α − 1) xα − 2 . Thay vào phương trình đẫ cho ta có
đồng nhất thức:
x 2 (ln x − 1)α (α − 1)x α − 2 − xα x α −1 + xα ≡ 0
α (α − 1) = 0
Suy ra: 
. Hệ có nghiệm duy nhất α = 1 . Vậy y1 = x là một nghiệm riêng.
2
1 − α = 0

Theo công thức Liouville ta có
y2 = x ∫

e

−

−x

∫ x2 (ln x −1) dx
2

x
y = C1 x + C2 ln x
38.

Giaỉ

⇔ y2 = − ln x . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình cần giải là

phương

trình

vi

phân:

y (3) − y ' = 0 ,

phương

trình

có

y = C1 + C2e x + C3e − x , C1 , C2 , C3 : hằng số tùy ý
Ta tìm nghiệm riêng dạng:
y* = Ae 2x ; y ' = 2 Ae 2x ; y '' = 4 Ae 2x , y (3) = 8 Ae 2x
Khi đó 8 Ae 2x − 2 Ae 2x = e 2x ⇔ 6A = 1 ⇔ A =

1
6

e 2x
Vậy nghiệm riêng là y* =
và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
6
e2 x
y = C1 + C2e + C3e +
6
x

−x

39. PT đặc trưng : k 3 + k = 0 ⇒ k1 = 0, k 2 = −i, k3 = i
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng :
y = C1 + C2cosx + C3sinx

nghiệm

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất bằng phương pháp Lagrang. Xác
C1 '+ C2 ' cosx + C3'sinx=0 C1 ' = tan x


định hàm C1 ( x), C2 ( x), C3 ( x) từ hệ −C2 'sin x + C3'cosx=0 ⇒ C2 ' = − sin x
−C ' cosx-C 'sinx=tgx

2
3
 2
C3 ' = −(sin x) / (cosx)
Do đó
C1 = ∫ tgxdx = − ln cosx , C2 = − ∫ sinxdx = cosx
C3 = − ∫

1 sinx − 1
sin 2 xdx
-1
dx = sinx+ ∫
dx = ln
+ sinx
2 s inx+1
cosx
cosx

Vậy nghiệm riêng : y* = − ln cos x + 1 + sinx.ln

s inx − 1

sinx+1

Do đó nghiệm tổng quát
y = − ln cos x + 1 + sinx.ln

sinx − 1
+ C1 + C2cosx + C3sinx
sinx+1

40. Phương thuần nhất tương ứng có dạng
y ''− y ' = 0 , phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 0,1. Nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất là
y = C1 + C2e x . f ( x) = x + e x
Tìm nghiệm riêng ứng với f1 ( x) : y ''− y ' = x (1)

α = 0 là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng có dạng y1 = x(Ax+B) . Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có
1
1
A = − , B = −1 ⇒ y1 = x(− x-1)
2
2
Tìm nghiệm riêng ứng với f 2 ( x) : y ''− y ' = e x (2)


α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 = Axe x , Tính
y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A = 1 do đó y2 = xe x . Nghiệm tổng quát của
1
phương trình đã cho là y = C1 + C2e x + x (− x-1) + xe x
2

41. Giải phương trình đặc trưng k 2 − 4k + 4 = 0 , k1 = k2 = 2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = C1e 2 x + C2 xe 2 x , f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) = x + e 2 x
Tìm nghiệm riêng ứng với f1 ( x) : y ''− 4 y '+ 4 y = x (1)

α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng có dạng y1 = Ax+B . Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có
A=B=

1
1 1
do đó y1 = x+
4
4 4

Tìm nghiệm riêng ứng với f 2 ( x) : y ''− 4 y '+ 4 y = e 2 x (2)

α = 2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 = Ax 2e 2 x ,
Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A =

1
1
do đó y2 = x 2e 2 x . Nghiệm tổng
2
2

1 1 1
quát của phương trình đã cho là y = C1e 2 x + C2 xe 2 x + x+ + x 2e 2 x
4 4 2
42. Đặt y' = p ta được pt: xp' - p = x2ex (1)(Phương trình tuyến tính cấp 1). Phương trình

thuần nhất tương ứng xp' - p= 0 có nghiệm p = Cx, coi C = C(x) thay p, p' vào phương
trình trên ta tìm được C= ex+ C1 . Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là p =xex+ C1 x
hay y'=xex+ C1 x suy ra y = ex(x-1)+ C1 .x2+ C2
43. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm k = ±i , do đó nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất tương ứng là:
y = C1cosx + C2sinx.


Mặt khác α ± iβ = ±i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên một nghiệm riêng của
phương trình có dạng Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx]. Từ đó tính Y', Y''
Thay vào phương trình đã cho ta được: (4Cx + 2A + 2D)cosx + (– 4Ax – 2B + 2C)sinx =
4xsinx. Đồng nhất ta được:
 4C = 0
 A = −1
 2 A + 2D = 0
 B=0


⇔


 −4 A = 4
C =0
−2 B + 2C = 0
 D = 1
Từ đó Y = x(– xcosx + sinx) và nghiệm tổng quát của phương trình là:
y = C1cosx + C2sinx + x(– xcosx + sinx)
44. Phương trình thuần nhất tương ứng

y ''− 6 y '+ 9 y = 0

Phương trình đặc trưng k 2 − 6 k + 9 = 0
Phương trình trên có nghiệm kép k1 = k2 = 3
3x
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y = ( C1 x + C2 ) e

Tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho

y* = x 2 e3 x ( Ax + B )

(

)

(

3x
3
2
3x
2
Ta có y * ' = 3e Ax + Bx + e 3 Ax + 2 Bx

(

)

(

)

)

y * '' = 9e3 x Ax 3 + Bx 2 + 6e3 x 3 Ax 2 + 2 Bx + e 3 x ( 6 Ax + 2 B )
Thế vào phương trình ta có


e3 x ( 6 A − 10 B ) x + 2 B  = xe 3 x

1

6 A − 10 B = 1  A =
⇒
⇔
6
B
=
0

 B = 0
x3 3x
Vậy nghiệm riêng y * ( x ) =
e
6
x 3 3x
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho y = ( C1 x + C2 ) e + e
6
3x

45. y '' =

y'
x

Đặt z = y ' ⇒ z ' = y ''
Ta có phương trình z ' =

z
x

Giải phương trình trên ta được z = C1 x hay y ' = C1 x

x2
⇒ y = ∫ C1 xdx = C1
+ C2
2
2
Vậy nghiệm của phương trình là y = Cx + C2

( với C =

C1
)
2