Bài tập phương trình vi phân

1
B
`
AI T
ˆ
A
.
P PHU
.
O
.
NG TR
`
INH VI PH
ˆ
AN
1)
2xy

y” = y
2
− 1
HD gia
’
i: y

= p : 2xpp

= p
2
− 1

x(p
2
− 1) = 0
2pdp
p
2
− 1
=
dx
x
⇔ p
2
− 1 = C
1
⇔ p = ±
√
C
1
x + 1
p =
dy
dx
=
√
C
1
+ 1 ⇒ y =
2
3C
1

(C
1
x + 1)
3
2
+ C
2
2)
√
y.y” = y

HD gia
’
i: y

= p ⇒ y” = p
dp
dy
√
yp
dp
dy
= p
p = 0 dp =
dy
√
y
⇒ p = 2
√
y + C

1
⇔
dy
dx
= 2
√
y + C
1
⇒
dx =
dy
2
√
y + C
1
x =
√
y −
C
1
2
ln |2
√
y + C
1
| + C
2
y = c
3)
a(xy


+ 2y) = xyy

HD gia
’
i: a(xy

+ 2y) = xyy

⇒ x(a − y)y

= −2ay
y = 0
a − y
y
dy = −
2a
x
dx ⇔ x
2a
y
a
e
−y
= C
y = 0
4)
y” = y

e

y
HD gia
’
i: y

= p ⇒ y” = p
dp
dy
p
dp
dy
= pe
y
p = 0 :
dp
dy
= e
y
⇔ p = e
y
+ C
1
⇒
dy
dx
= e
y
+ C
1
⇔

dy
e
y
+ C
1
= dx
C
1
= 0

dy
e
y
+ C
1
=
1
C
1

e
y
+ C
1
− e
y
e
y
+ 1
dy =

1
C
1
(y −

e
y
dy
e
y
+ C
1
) =
y
C
1
−
1
C
1
ln(e
y
+ C
1
)

dx
e
y
+ C

1
=



−e
−y
nˆe
´
u C
1
= 0
1
C
1
(y −ln |e
y
+ C
1
|) nˆe
´
u C
1
= 0.
y = C :
5) xy

= y(1 + ln y −ln x) y(1) = e
www.VNMATH.com
2

HD gia
’
i: y

=
y
x
(1 + ln
y
x
) y = zx
xz

= z ln z
• z ln z = 0 ⇒
dz
z ln z
=
dx
x
⇒ ln z = Cx ln
y
x
= Cx ⇔ y = xe
Cx
y(1) = e → C = 1. y = xe
x
6)
y”(1 + y) = y
2

+ y

HD gia
’
i: y

= z(y) ⇒ z

= z
dz
dy
dz
z + 1
=
dy
y + 1
⇒ z + 1 = C
1
(y + 1) ⇒ z = C
1
y + C
1
− 1 ⇔
dy
C
1
y + C
1
− 1
= dx (∗)

• C
1
= 0 ⇒ (∗) y = C −x
• C
1
= 0 ⇒ (∗)
1
C
1
ln |C
1
y + C
1
− 1| = x + C
2
y = C
y = C, y = C − x;
1
C
1
ln |C
1
y + C
1
− 1| = x + C
2
7)
y

= y

2
−
2
x
2
HD gia
’
i: x
2
y

= (xy)
2
− 2 (∗)
z = xy ⇒ z

= y + xy

(∗)
xz

= z
2
+ z −2 ⇔
dz
z
2
+ z −2
=
dx

x
⇔
3

z −1
z + x
= Cx
xy −1
xy + 2
= Cx
3
.
8)
yy” + y
2
= 1
HD gia
’
i: y

= z(y) ⇒ y” = z.
dz
dy
z
1 − z
2
dz =
dy
y
⇔ z

2
= 1 +
C
1
y
2
⇒
dy
dx
= ±

1 +
C
1
y
2
⇔ ±

dy

1 +
C
1
y
2
= dx ⇒ y
2
+ C
1
= (x + C

2
)
2
y
2
+ C
1
= (x + C
2
)
2
9) 2x(1 + x)y

− (3x + 4)y + 2x
√
1 + x = 0
HD gia
’
i: y

−
3x + 4
2x(x + 1)
.y = −
1
√
x + 1
; x = 0, x = −1

dy

y
=

3x + 4
2x(x + 1)
dx =

(
2
x
−
1
2(x + 1)
)dx ⇔ y =
Cx
2
√
x + 1
www.VNMATH.com
3
C

= −
1
x
2
⇒ C = −
1
x
+ ε.

y =
x
2
√
x + 1
(
1
x
+ ε)
10)
y” = e
2y

y(0) = 0
y

(0) = 0
HD gia
’
i: z = y

→ y” = z.
dz
dy
z.
dz
dy
= e
2y
⇔

z
2
2
=
e
2y
2
+ ε
y

(0) = y(0) = 0 ⇒ ε = −
1
2
. z
2
= e
2y
− 1.
z =
dy
dx
=
√
e
2y
− 1 ⇒

dy
√
e

2y
− 1
= x + ε. d¯ˆo
’
i biˆe
´
n t =
√
e
2y
− 1
arctg
√
e
2y
− 1 = x + ε
y(0) = 0 ⇒ ε = 0. y =
1
2
ln(tg
2
x + 1).
11)
xy

+ 2y = xyy

y(−1) = 1
HD gia
’

i:
x(1 − y)y

= −2y y(−1) = 1 y ≡ 0
1 − y
y
dy = −2
dx
x
x
2
ye
−y
= C C =
1
e
x
2
ye
1−y
= 1
12) y = ux
xdy −ydx −

x
2
− y
2
dx = 0. (x > 0)
HD gia

’
i: y = ux; du = udx + xdu x xdu −
√
1 − u
2
dx = 0 u −±1 u ≡ ±1
du
1 − u
2
=
dx
x
arcsin u − ln x = C x > 0
y = ±x; arcsin
y
x
= ln x + C
13)
xy

=

x
2
− y
2
+ y
y(1) = 0
HD gia
’

i:
xy

=

x
2
− y
2
+ y ⇐⇒ y

=

1 −
y
2
x
2
+
y
x
u =
y
x
y = ux y

= xu

+ u
xu


=
√
1 − u
2
⇐⇒
du
√
1 − u
2
=
dx
x
www.VNMATH.com
4
⇐⇒ arcsin u = ln Cx
y(1) = 0 C = 1 y = ±x
14)
y

sin x = y ln y
y(
π
2
) = e
HD gia
’
i:
y


sin x = y ln y ⇐⇒
dy
y ln y
=
dx
sin x
⇐⇒ ln y = C tan
x
2
⇐⇒ y = e
C tan
x
2
y(
π
2
) = e C = 1 y = e
tan
x
2
15)
(x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0
y(0) = 1
HD gia
’
i: x + y = z =⇒ dy = dz − dx
(2 −z)dx + (2z −1)dz = 0 x −2z −3 ln |z −2| = C
x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C
y(0) = 1 C = 2
16) y =

1
z
z = ux
(x
2
y
2
− 1)dy + 2xy
3
dx = 0
HD gia
’
i: y =
1
z
(z
2
− x
2
)dz + 2zxdx = 0 z = ux
(u
2
− 1)(udx + xdu) + 2udx = 0
⇐⇒
dx
x
+
u
2
− 1

u
3
+ u
du = 0
⇐⇒ ln |x| + ln
u
2
+ 1
|u|
= ln C ⇐⇒
x(u
2
+ 1)
u
= C
u =
1
xy
1 + x
2
y
2
= Cy
17)
y

− xy = x + x
3
HD gia
’

i:
y = Ce
x
2
2
.
x
2
2
+ 1
www.VNMATH.com
5
18)
y

− y = y
2
.
HD gia
’
i:
ln |
y
y + 1
| = x + C.
19)
y

+
y

x
= e
x
HD gia
’
i:
y =
C
x
+ e
x
−
e
x
x
20)
y

− y = y
3
.
HD gia
’
i:
C + x = ln |y| − arctgy.
21)
y

=
y

x
+ sin
y
x
y(1) =
π
2
HD gia
’
i: y = zx ⇒ y

= z

x + z
z

x = sin x ⇔
dz
sin z
=
dx
x
⇔ ln |tg
z
2
| = ln |x| + ln C ⇔ tg
z
2
= Cx
tg

y
2x
= Cx; y(1) =
π
2
⇒ C = 1.
tg
y
2x
= x
22) (x − y cos
y
x
)dx + x cos
y
x
dy = 0
HD gia
’
i:
y
x
= z ⇒ y

= z

x + z
x cos z.z

+ 1 = 0 ⇔


cos zdz = −
dx
x
+ C ⇔ sin z = −ln |x| + C
sin
y
x
= −ln |x| + C
23) (y
2
− 1)x
2
y
2
+ y

(x
4
− y
4
) = 0
HD gia
’
i:
www.VNMATH.com
6
y

 = (x

4
+ y
4
)
2
⇒ y

1
=
y
2
x
2
; y

2
= −
x
2
y
2
.
y =
x
C
1
x + 1
; x
3
+ y

3
= C
2
24)
y
2
+ x
2
y

= xyy

HD gia
’
i:
y

=
y
2
x
2
y
x
− 1
y
2
= Cxe
y
x

25)
(x + y −2)dx + (x −y + 4)dy = 0
y(1) = 0
HD gia
’
i:

x = u − 1
y = v + 3.
(u + v)du + (u −v)dv = 0
u
2
+ 2uv −v
2
= C
x
2
+ 2xy −y
2
− 4x + 8y = C
26)
(x + y −2)dx + (x −y + 4)dy = 0
HD gia
’
i:

x = X −1
y = Y + 3
(X + Y )dX + (X −Y )dY = 0
Y = uX

dX
X
+
1 − u
1 + 2u − u
2
du = 0
X
2
(1 + 2u − u
2
) = C x
2
+ 2xy −y
2
− 4x + 8y = C
27)
b) y

=
2xy
x
2
− y
2
.
HD gia
’
i: z =
y

z
xz

=
z(1 + z
2
)
1 − z
2
(
1
z
−
2z
1 + z
2
)dz =
dx
x
z
1 + z
2
= Cx, C = 0.
x
2
+ y
2
= C
1
y, C

1
= 0.
28) y

=
2x + y −1
4x + 2y + 5
.
HD gia
’
i: u = 2x + y
du
dx
=
5u + 9
2u + 5
.
www.VNMATH.com
7
10u + 7 ln |5u + 9| = 25x + C.
10y + 7 ln |10x + 5y = 9| − 5x = C.
29)
(x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0
HD gia
’
i: x =
u + 1, y = v − 3,
dv
du
=

u + v
−u + v
v
2
− 2uv −v
2
= C.
y
2
− x
2
− 2xy −8y + 4x = C
1
.
30)
y

=
√
x − y.
(x
2
− y
2
)dy −2xydx = 0.
HD gia
’
i:
D = {(x, y) ∈ R
2

|x − y ≥ δ}
δ > 0
dy
dx
=
xy
x
2
− y
2
z =
y
x
xz

=
z(1 + z
2
)
1 − z
2
.
(
1
z
−
2z
1 + z
2
)dz =

dx
x
z
1 + z
2
= Cx, C = 0.
x
2
+ y
2
= C
1
y, C
1
= 0.
31)
{e
2x
, xe
2x
, x
2
}
(x − y)dy −(x + y)dx = 0;
HD gia
’
i:
y

=

x + y
x − y
z =
y
x
xz

=
1 + z
2
1 − z
.

x
2
+ y
2
= Ce
arctg
y
x
.
32) {cos
2
2x, sin
2
2x, 2}
(x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.
www.VNMATH.com
8

HD gia
’
i:
2 cos
2
2x + 2 sin
2
2x − 2 = 0
y

=
x + y
x − 2y + 1
.
u = x −
1
3
, v = y +
1
3
v

=
u + v
u − 2v
.
√
u
2
+ 2v

2
= Ce
1
√
2
arctg(
√
2
u
v
)
.

(3x − 1)
2
+ 2(3y + 1)
2
= C
1
e
1
√
2
arctg(
√
2
3x−1
3y+1
)
.

33)
y
2
+ x
2
y

= xyy

HD gia
’
i: y = zx → y

= z

x + z
z −1
z
dz =
dx
x
→ z −ln |z| = ln |x| + C
y
x
− ln |
y
x
| = ln |x| + C
34)
y

2
+ x
2
y

= xyy

HD gia
’
i:
y

=
y
2
x
2
y
x
− 1
y
2
= Cxe
y
x
35)
y” cos y + (y

)
2

sin y = y

HD gia
’
i: y = C :
y = C y

= p ⇒ y” = p
dp
dy
y
dp
dy
cos y + p sin y = 1
p = C cos y.
C = y C
1
p =
dy
dx
= sin y + C
1
cos y ⇔
dy
sin y + C
1
cos y
= dx
1


C
2
1
+ 1
ln



tg
y
2
+

1 +
1
C
2
1
−
1
C
1
−tg
y
2
+

1 +
1
C

2
1
+
1
C
1



= x + C
2
36) y

+
1
2x − y
2
= 0
HD gia
’
i: x = x(y) y y

=
1
x

www.VNMATH.com
9
1
x


+
1
2x − y
2
= 0 ⇔ x

+ 2x = y
2
:
x = Ce
−2y
C

(y) = y
2
e
2y
⇒ C(y) =
1
2
y
2
e
2y
−
1
2
ye
2y

+
1
4
e
2y
+ C
x = Ce
−2y
+
1
2
y
2
−
1
2
y +
1
4
37)
xy” = y

+ x
2
HD gia
’
i: y

= p
xp


− p = x
2
p = Cx
→ C(x) = x + C
1
dy
dx
= x(x + C
1
) → y =
x
3
3
+ C
1
.
x
2
2
+ C
2
38)
y
2
+ yy” = yy

HD gia
’
i: p = y


(p = 0)
p
2
+ yp
dp
dy
= yp
⇔ p + y
dp
dy
= y y = 0
dp
dy
+
p
y
= 1
p =
C
y
⇒ C(y) =
y
2
2
+ C
1
p =
y
2

+ 2C
1
2y
⇒
dy
dx
=
y
2
+ 2C
1
2y
⇒
2ydy
y
2
+ 2C
1
= dx
⇒ y
2
= A
1
e
x
+ A
2
.
(yy


)

= yy

⇔ yy

= C
1
e
x
⇔ ydy = C
1
e
x
dx ⇔ y
2
= 2C
1
e
x
+ C
2
39) ye
y
= y

(y
3
+ 2xe
y

) y(0) = −1
HD gia
’
i: y

x
=
1
x

y
x

−
2
y
x = y
2
e
−y
x = y
2
(C − e
−y
)
y(0) = −1 ⇒ C = e.
x = y
2
(e − e
−y

)
40) xy” = y

+ x
HD gia
’
i: y

= p;
p

−
1
x
p = 1
p = Cx C = ln |x| + C
1
www.VNMATH.com
10
⇒ p =
dy
dx
= (ln |x| + C
1
)x ⇒ y =

(ln |x| + C
1
)xdx + C
2

= C
1
x
2
+
x
2
2
ln |x| −
x
2
4
+ C
2
41)
y

+ xy = x
3
HD gia
’
i: y = Ce
−
x
2
2
C(x) = (x
2
− 2)e
−

x
2
2
+ ε
y = εe
−
x
2
2
+ x
2
− 2.
42)
(x
2
− y)dx + xdy = 0
HD gia
’
i:
xy

−y = −x
2
xy

−y = 0
y = Cx
C = −x + ε
y = −x
2

+ εx
43)
y

−
2
x
y =
3
x
2
y(1) = 1
HD gia
’
i: y = Cx
2
; C

=
3
x
4
⇒ C = −
1
x
3
+ ε
y = εx
2
−

1
x
; y(1) = 1 ⇒ ε = 2
y = 2x
2
−
1
x
44)
(x + 1)(y

+ y
2
) = −y
HD gia
’
i: y = 0,
y

+
1
x + 1
.y = −y
2
1
y
= z ⇒ y

= −
z


z
2
= −y
2
z

z

−
1
x + 1
.z = 1.
z = C
1
(x + 1)
C
1
= ln |x + 1| + ε.
z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε)
y = 0
y =
1
(x + 1)(ln |x + 1| + ε)
y = 0
45) 2xy

+ y =
1
1 − x

HD gia
’
i: y

+
1
2x
y =
1
2x(1 − x)
www.VNMATH.com
11
y =
C
√
x
C

(x) =
√
x
2x(1 − x)
⇒ C =
1
2
ln |
√
x + 1
√
x − 1

| + ε
y =
1
√
x

1
2
ln |
√
x + 1
√
x − 1
| + ε

46)
xy

− y = x
2
sin x
HD gia
’
i: y

−
y
x
= x sin x
y = Cx

y = (C − cos x)x
47)
y

cos
2
x + y = tgx y(0) = 0
HD gia
’
i:
→ y = Ce
−tgx
;
y = tgx − 1
⇒ y = Ce
−tgx
+ tgx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1 y = tgx − 1 + e
−tgx
.
48)
y

√
1 − x
2
+ y = arcsin x y(0) = 0
HD gia
’
i: y = Ce

−arc sinx
y = arcsinx − 1
⇒ y = Ce
−arcsinx
+ arcsinx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ y = e
−arc sinx
+ arcsinx − 1
49)
y

=
1
2x − y
2
y(1) = 0
HD gia
’
i: x y

=
1
x

1
x

=
1
2x − y

2
⇐⇒ x

− 2x = −y
2
x = Ce
−2y
x = Ce
−2y
+
y
2
2
−
y
2
+
1
4
y(1) = 0 C =
3
4
x =
3
4
e
−2y
+
y
2

2
−
y
2
+
1
4
www.VNMATH.com
12
50)
y =
z
x
2
y
∗
=
1
2
e
x
x
2
y

+ 4xy

+ (x
2
+ 2)y = e

x
.
HD gia
’
i: y = zx
2
=⇒ y

=
z

x − 2z
x
3
; y

=
z

x
2
− 4z

x + 6z
x
4
z

+ z = e
x

y
∗
=
e
x
2
z = C
1
cos x + C
2
sin x
y = C
1
cos x
x
2
+ C
2
sin x
x
2
+
e
x
2x
2
51)
ye
y
= y


(y
3
+ 2xe
y
)
y(0) = −1
HD gia
’
i: x y

=
1
x

x

−
2
y
x = y
2
e
−y
x =
C
y
C(y) = −e
−y
+ C x =

C
y
−
1
ye
y
C =
1
e
52)
y

− y = cos x − sin x
y x → ∞
HD gia
’
i: y = Ce
x
+ sin x
y x → ∞ C = 0
53)
y

+ sin y + x cos y + x = 0
y(0) =
π
2
HD gia
’
i:

y

+ sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y

+ 2 sin
y
2
cos
y
2
+ x.2 cos
2
y
2
= 0
⇐⇒
y

2 cos
2
y
2
+ tan
y
2
+ x = 0
z = tan
y
2
=⇒ z


=
y

2 cos
2
y
2
z

+ z = −x z = 1 − x + Ce
−x
y(0) =
π
2
C = 0 y = 2 arctan(1 − x)
www.VNMATH.com
13
54)
y

− x tan y =
x
cos y
HD gia
’
i: z = sin y,
z

− xz = x.

z = Ce
x
2
2
− 1
sin y = z = Ce
x
2
2
− 1
55)
y

− xy = x
HD gia
’
i:
y = Ce
1
2
x
2
− 1
56)
y

+
y
x
= x

√
y.
HD gia
’
i:
√
y =
C
√
x
+
1
5
x
2
.
57)
y

−
y
x
= x
3
HD gia
’
i:
y = Cx +
1
3

x
4
.
58)
y

− y = y
2
.
HD gia
’
i:
y
2
=
1
Ce
−2x
− 1
.
59) y

+
y
x
= sin x
HD gia
’
i:
y =

C
x
+
sin x
x
− cos x.
www.VNMATH.com
14
60)
y

− y = x
√
y.
HD gia
’
i:
√
y = Ce
1
2
x
− x − 2.
61)
y

+ 2xy = xe
−x
2
HD gia

’
i:
y = (C +
x
2
2
)e
−x
2
62)
y

− 4
y
x
= x
√
y.
HD gia
’
i:
√
y =
1
2
ln x + Cx
2
.
63)
y


= y + 3x.



y” −
1
x
y

= x
y(x = 1) = 1 va` y

(x = 1) = 2.
HD gia
’
i:
R
2
.
y” −
y

x
= x
y = C
1
+ C
2
x +

x
2
2
.
y = −
1
2
+ x +
x
2
2
.
64) y

+ ytgx = cos x
HD gia
’
i:
y = (C + x) cos x.
www.VNMATH.com
15
65)
y

+
y
x
= x(
e
x

e
x
+ 1
)y
2
.
HD gia
’
i:
y =
1
Cx − x ln(e
x
+ 1)
.
66)
(x + 1)y” + x(y

)
2
= y

HD gia
’
i: y

= p
x = −1
p


−
1
x + 1
p = −
x
x + 1
p
2
(∗)
z = p
−1
= 0
(∗)
z

+
1
1 + x
z =
x
x + 1
z =
C
x + 1
z =
x
2
+ C
1
2(x + 1)

⇒ y

=
1
z
=
2(x + 1)
x
2
+ C
1







ln |x
2
+ C
1
| +
2
√
C
1
arctg
x
√

C
1
+ C
2
nˆe
´
u C
1
> 0
ln |x
2
+ C
1
| +
1
√
−C
1
ln |
x −
√
−C
1
x +
√
−C
1
| + C
2
nˆe

´
u C
1
< 0
y = C
67)
x
2
y

= y(x + y)
HD gia
’
i: x
2
y

= y(x + y) ⇔ y

−
1
y
=
1
x
2
y
2
:
z = y

−1
(y = 0) : −z

−
1
x
z =
1
x
2
.
z = Cx
C(x) = ε −
1
2x
2
. z = x(ε −
1
2x
2
)
y =
2x
εx
2
− 1
68) yy” − (y

)
2

= y
3



y(0) = −
1
2
y

(0) = 0
www.VNMATH.com
16
HD gia
’
i: y

= p(y); y

= p.p

y
py
dp
dy
− p
2
= y
3
,

p(y) = y.z(y)
dz
dy
=
1
z
⇒ z
2
= 2(y + C
1
) ⇔
dy
dx
= y

|2y + C|
y(0) = −
1
2
; y

(0) = 0 ⇒ C = 1
dy
dx
= y

|2y + 1| ⇒ ln





|2y + 1|−1

|2y + 1|+ 1



= x + C
2
.
y(0) = −
1
2
⇒ C
2
= 0.
ln




|2y + 1|−1

|2y + 1|+ 1



= x.
69)
ydx + 2xdy =

2y
√
x
cos
2
y
dy y(0) = π
HD gia
’
i: x

+
2
y
x =
2
cos
2
y
.x
1
2
(∗)
z = x
1
2
z

= x


+
1
2
x
−
1
2
x

(∗)
z

+
1
y
z =
1
cos
2
y
z =
c
y
C

=
y
cos
2
y

⇒ C(y) = ytgy + ln |cos y| + ε
Z = tgy +
1
y
ln |cos y| +
ε
y
tgy +
1
y
ln |cos y| +
ε
y
=
√
x
y(0) = π ⇒ ε = 0 tgy +
1
y
ln |cos y| =
√
x
70)
xydy = (y
2
+ x)dx
HD gia
’
i: y = 0 xy
y


−
1
x
y = y
−1
z = y
2
z

−
2
x
z = 2 → z = −2x + Cx
2
y
2
= −2x + Cx
2
71) (y +
√
xy)dx = xdy
www.VNMATH.com
17
HD gia
’
i: y

−
1

x
y =
1
√
x
.y
1
2
; x = 0
z = y
1
2
: z

−
1
2x
z =
1
√
x
z =
√
x(ln x + C)
y = x(ln x + C)
2
72)
xy

− 2x

2
√
y = 4y
HD gia
’
i:
z = y
1−α
=
√
y ⇒ z

=
1
2
√
y
z

−
4
x
z = 2x → z = Cx
4
− x
2
y = (Cx
2
− 1)
2

x
4
.
73)
2x
2
y

= y
2
(2xy

− y)
HD gia
’
i: x y x

y
3
− 2xy
2
= −2x
2
z =
1
x
z

+
2z

y
=
2
y
3
→ y
2
= x ln Cy
2
y = 0.
74)
x
2
y

= y(x + y)
y(−2) = −4
HD gia
’
i: y(−2) = −4 y ≡ 0
y

−1y =
y
2
x
2
z = y
−1
z


+
1
x
z = −
1
x
2
z = Cx
C(x) = Cx −
1
2x
y =
2x
Cx
2
− 1
C =
1
2
y =
4x
x
2
− 1
75) y

− xy = −xy
3
HD gia

’
i:
y

− xy = −xy
3
y
2
(1 + Ce
−x
) = 1
76)
xy

+ y = y
2
ln x.
HD gia
’
i: xy

+ y = y
2
ln x
y =
1
1 + Cx + ln x
77) y

− 4

y
x
= x
√
y
www.VNMATH.com
18
HD gia
’
i:
z =
√
y
z

−
2
x
z =
x
2
z = x
2
(
1
2
ln |x| + C).
y = x
4
(

1
2
ln |x| + C)
2
.
78)
y

+
y
x
= y
2
xtgx.
HD gia
’
i:
y =
1
Cx + x ln |cos x|
79)
y
2
dx + (2xy + 3)dy = 0
HD gia
’
i: P (x, y) = y
2
, Q(x, y) = 2xy + 3;
∂P

∂y
=
∂Q
∂x
= 2y
(1) ⇔ d(xy
2
+ 3y) = 0 xy
2
+ 3y = C
80)
e
x
(2 + 2x − y
2
)dx − ye
x
dy = 0
HD gia
’
i:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= −2ye
x
d


e
x
(2x−y
2
)

=
0.
e
x
(2x − y
2
) = C.
81)
(y
2
+ 1)
3
2
dx + (y
2
+ 3xy

1 + y
2
)dy = 0
HD gia
’
i: p = (y
2

+ 1)
3
2
; Q = y
2
+ 3xy

1 + y
2
⇒
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= 3y

1 + y
2
(∗)
(∗)
x

0
P (x, 0)dx +
y

0
Q(x, y)dy = C
⇔

y
3
3
+ x(1 + y
2
)
3
2
= C
82) (y cos
2
x − sin x)dy = y cos x(y sin x + 1)dx
HD gia
’
i:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= y sin 2x + cos x
www.VNMATH.com
19
x

x
0
=0
P (x, y
0

)dx +
y

y
0
=0
Q(x, y)dy = C ⇔ y sin x −
y
2
2
cos
2
x = C
83)
(2x + 3x
2
y)dx = (3y
2
− x
3
)dy
HD gia
’
i:
x
2
+ x
3
y −y
3

= C
84)
(
x
sin y
+ 2)dx −
(x
2
+ 1) cos y
2 sin
2
y
dy = 0
HD gia
’
i:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= −
x cos y
sin
2
y
x

0
P (x,

π
2
)dx +
y

π
2
Q(x, y)dy = C ⇔
x
2
2
+ 2x −
(x
2
+ 1)
2
(
1
sin y
− 1) = C
85)
(y + e
x
sin y)dx + (x + e
x
cos y)dy = 0
HD gia
’
i: xy + e
x

sin y = C.
86)
(x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
HD gia
’
i: x
2
+ 2(x sin y −cos y) = C.
87)
3x
2
(1 + ln y)dx = (2y −
x
3
y
)dy
HD gia
’
i:
x
3
(1 + ln y) −y
2
= C
88) 3x
2
(1 + ln y)dx = (2y −
x
3
y

)dy
HD gia
’
i:
x
3
(1 + ln y) − y
2
= C
89) (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
HD gia
’
i: x
2
+ 2(x sin y −cos y) = C
www.VNMATH.com
20
90)

1
x
−
y
2
(x − y)
2

dx +

x

2
(x − y)
2
−
1
y

dy = 0
HD gia
’
i: ln
x
y
+
xy
x − y
= C
91)
(sin xy + xy cos xy)dx + x
2
cos xydy = 0
HD gia
’
i: x sin(xy) = C
92)
(x + y
2
)dx − 2xydy = 0
HD gia
’

i: µ(x) =
1
x
2
x = Ce
y
2
x
93)
2xy ln ydx + (x
2
+ y
2

y
2
+ 1)dy = 0
HD gia
’
i: µ(y) =
1
y
x
2
ln y +
1
3
(y
2
+1)

3
2
= 0
94)
(x
3
+ xy
2
)dx + (x
2
y + y
3
)dy = 0
y(0) = 1
HD gia
’
i:
x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
= C
y(0) = 1 C = 1
95)
a) − 2xydy + (y
2

+ x
2
)dx = 0
HD gia
’
i: µ(x) =
1
x
2
x
2
− y
2
= Cx.
www.VNMATH.com
21
96)
{e
2x
, e
−x
, cos x}

x
2
− ydy −2x(1 +

x
2
− y)dx = 0.

HD gia
’
i:
W [y
1
, y
2
, y
3
](x) = 3e
x
(3 cos x − sin x).
x
2
+
2
3
(x
2
− y)
3
2
= C
97)
(
x
2
y
− y
2

)dy −2xdx = 0.
HD gia
’
i:
µ(x) =
1
y
2x
2
+ y
3
= Cy.
98)
{e
x
, e
2x
, x
2
}
(x − y)dy + (x + y)dx = 0.
HD gia
’
i:
d(xy −
y
2
2
+
x

2
2
) = 0
x
2
− y
2
+ 2xy = C.
99)
{1, x, e
x
}
(x
2
− y)dx + xdy = 0
HD gia
’
i:
µ(x) =
1
x
2
(1 −
y
x
2
)dx +
1
x
dy = 0.

y = Cx − x
2
.
100) {e
2x
, e
x
, x}
(x − y)dx − (x + y)dy = 0.
HD gia
’
i:
www.VNMATH.com
22
x
2
+ y
2
− 2xy = C.
www.VNMATH.com
1
B
`
AI T
ˆ
A
.
P PHU
.
O

.
NG TR
`
INH VI PH
ˆ
AN (tiˆe
´
p theo)
101)
y” + y

= x + e
−x
HD gia
’
i: λ
2
+ λ = 0 ⇔ λ
1
= 0; λ
2
= −1
y = C
1
+ C
2
e
−x
y = y
1

+ y
2
y
1
, y
2
y” + y

= x y” + y

= e
−x
• λ
1
= 0
y
1
= x(Ax + B)
y
1
=
1
2
x
2
− x
• λ
2
= −1
y

2
= Axe
−x
y
2
= −xe
−x
y = C
1
+ C
2
e
−x
+
1
2
x
2
− x − xe
−x
102)
2y” + 5y

= 29x sin x
HD gia
’
i:
2λ
2
+ 5λ = 0 ⇔ λ

1
= 0, λ
2
= −
5
2
y = C
1
+ C
2
e
−
5x
2
±i
y = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x
A = −2; B =
185
29
; C = −5; D = −
16
29
103)
y” − 2y

+ 5y = x sin 3x
HD gia
’
i: λ
2

− 2λ + 5 = 0 ⇔ λ
1
= 1 − 2i; λ
2
= 1 + 2i
y = e
x
(C
1
cos 2x + C
2
sin 2x)
±3i
y = (Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x
A =
3
26
; B =
57
26
; C = −
1
13
; D =
41
13
104)
y” − 2y

− 3y = xe

4x
+ x
2
HD gia
’
i:
λ
2
− 2λ − 3 = 0 ⇔ λ
1
= −1; λ
2
= 3.
y = C
1
e
−x
+ C
2
e
3x
y = y
1
+ y
2
y
1
y” − 2y

− 3y = xe

4x
y
1
= e
4x
(Ax + B) = e
4x

x
5
−
6
25

y
2
y” − 2y

− 3y = x
2
y
2
= A
1
x
2
+ B
1
x + C
1

= −
2
3
x
2
+
4
9
x −
14
27
.
y = C
1
e
−x
+ C
2
e
3x
+
e
4x
5
(x −
6
5
) −
1
3

(x
2
−
4
3
x +
14
9
)
www.VNMATH.com
2
105)
x
2
y” − 2y = x
3
cos x
y
1
= x
2
HD gia
’
i: x
2
(x = 0) y” −
2
x
2
y = x cos x.

p(x) = 0; q(x) = −
2
x
2
y
2
= y
1

1
y
2
1
e
−

p(x)dx
dx = x
2

dx
x
4
= −
1
3x
y = C
1
x
2

− C
2
.
1
3x
C
1
, C
2
x





C

1
x
2
+ C

2
(−
1
3x
) = 0
C

1

2x + C

2
(
1
3x
2
) = x cos x



C

1
=
cos x
3
⇒ C
1
=
sin x
3
+ K
1
C

2
= x
3
cos x ⇒ C

2
= x
3
sin x + 3x
2
cos x − 6x sin x + 6 cos x + K
2
y =
x
2
sin x
3
−
1
3x
(x
3
sin x + 3x
2
cos x − 6x sin x + 6 cos x) + K
1
x
2
−
K
2
3x
.
106)
y” +

2
x
y

+ y =
cotgx
x
y
1
=
sin x
x
HD gia
’
i: p(x) =
x
2
, q(x) = 1, f(x) =
cotgx
x
y
2
= y
1

1
y
2
1
e

−

p(x)dx
dx =
sin x
x

x
2
sin
2
x
e
−

2
x
dx
dx =
sin x
x

dx
sin
2
x
= −
cos x
x
y = C

1
sin x
x
− C
2
cos x
x





C

1
sin x
x
+ C

2
(
cos x
x
) = 0
C

1
x cos x − sin x
x
2

+ C

2
x sin x + cos x
x
2
=
cotgx
x
⇒ C

1
=
cos
2
x
sin x
⇒ C
1
(x) =

cos
2
x
sin x
dx + K
1
=

1 − sin

2
x
sin x
dx + K
1
=

dx
sin x
−

sin xdx + K
1
= ln |tg
x
2
| + cos x + K
1
C

2
= cos x → C
2
= sin x + K
2
y = ···
107) y” − 2y

+ y = 1 +
e

x
x
www.VNMATH.com
3
HD gia
’
i:
λ
2
− 2λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1
y = e
x
(C
1
x + C
2
)
y = α
1
(x).xe
x
+ α
2
(x).e
x
.



α


1
(x).xe
x
+ α

2
(x).e
x
= 0
α

1
(x)(e
x
+ xe
x
) + α

2
(x).e
x
= 1 +
e
x
x
⇔




α

1
= e
−x
+
1
x
α

2
= −(xe
x
+ 1)

α
1
= −e
−x
+ ln |x|
α
2
= xe
−x
+ e
−x
− x
y = (ln |x| − e
−x
)xe

x
+ (xe
−x
+ e
−x
− x)e
x
y = e
x
(C
1
x + C
2
) + xe
x
ln |x| − xe
x
+ 1
108)
y” + y

= xe
−x
HD gia
’
i: λ
2
+ λ = 0 ⇔ λ
1
= 0; λ

2
= −1
y = C
1
+ C
2
e
−x
y = xe
−x
(Ax + B)
y = C
1
+ C
2
e
−x
− (
x
2
2
+ x)e
−x
109)
y” − 4y

+ 5y = e
2x
+ cos x
HD gia

’
i: λ
2
− 4λ + 5 = 0 ⇔ λ
1
= 2 − i; λ
2
= 2 + i
y = e
2x
(C
1
cos x + C
2
sin x)
y = y
1
+ y
2
y
1
= Ae
2x
; y
2
= A cos x + B sin y ⇒ y
1
=
e
2x

; y
2
=
1
8
cos x −
1
8
sin x
y = e
2x
(C
1
cos x + C
2
sin x) + e
2x
+
1
8
(cos x − sin x)
110)
y” + 4y

+ 4y = 1 + e
−2x
ln x
HD gia
’
i: λ

2
+ 4λ + 4 = 0 ⇔ λ = −2
y = e
−2x
(C
1
x + C
2
)
y = α
1
(x).xe
−2x
+ α
2
e
−2x
.

α

1
(x).xe
−2x
+ α

2
e
−2x
= 0

α

1
(e
−2x
− 2xe
−2x
) + α

2
(−2e
−2x
) = 1 + e
−2x
ln x





α

1
= e
−2x
+ ln x → α
1
=
1
2

e
−2x
+ x ln |x| − x
α

2
= −x(e
−2x
+ ln x) → α
2
=
1
4
e
2x
+
x
2
4
−
1
2
xe
2x
−
x
2
2
ln x
⇒ ⇒

y = e
−2x
(C
1
x + C
2
) + e
−2x
(
1
4
e
2x
−
3x
2
4
+
x
2
2
ln x)
111) y” + y

= e
−x
(sin x − cos x)
www.VNMATH.com