Ôn tập về nguyên hàm và tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (213.27 KB, 28 trang )
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
VẤN ĐỀ 1
10-11-12-ltđh
NGUYÊN HÀM
Bài 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 biết nguyên hàm này triệt tiêu
khi x = –2
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = Sinx biết nguyên hàm này bằng 5
π
khi x =
3
2
Bài 3: Cho f ( x ) = x.ln x + x , ( x > 0) . Tìm nguyên hàm của hàm g ( x) = ln x
biết rằng nguyên hàm này bằng – 2 khi x = 2.
2
Bài 4: Cho f ( x ) = xCosx + x . Tìm nguyên hàm của hàm g ( x) = xSinx
π
biết rằng nguyên hàm này bằng khi x = .
2
3
2
Bài 5: Đònh m để hàm số F ( x) = mx + (3m + 2) x − 4 x + 3 là một nguyên
2
hàm của hàm số f ( x) = 3 x + 10 x − 4
2 x
2
x
Bài 6:Cho f ( x) = x .e .Đònh a,b, c để F ( x) = (ax + bx + c).e là một nguyên
hàm của f(x)
Bài 7: Cho f ( x ) = x 3 − x . Tìm a , b , c sao cho F(x) = (ax2 + bx + c) 3 − x
là một nguyên hàm của f(x).
x4
− 2x 2 − 1
F
(
x
)
=
G
(
x
)
=
Bài 8: Không tính đạo hàm . CMR:
và
( x 2 + 1) 2
( x 2 + 1) 2
cùng là nguyên hàm của một hàm số .
Bài 9: Cho hàm số : y = (2x2 – 3x)ex .
1) Chứng minh rằng: y’’ – 2y’ + y = 4ex.
2) Suy ra : 4ex + 2y – y’ là một nguyên hàm của y
Bài 10: CMR: F(x) = (x – 2)ex là một nguyên hàm của f(x) = (x – 1)ex.
x
Bài 11: CMR: F ( x) = x − ln(1 + x ) là một nguyên hàm của f ( x) = 1 + x
trên R
Trang: 1
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
x2
x2
khi
×ln x −
4
Bài 12: Chứng minh rằng : F ( x) = 2
0
khi
x.ln x
là một nguyên hàm của ham số : f ( x) =
0
VẤN ĐỀ 2
10-11-12-ltđh
x>0
x=0
khi x > 0
khi x = 0
TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
3
2
1) 3x – 2x + 5
3x 3 − x 2 2 + 5 x − 3
3)
x3
1
5) x +
x
1 1
2
7) x − 2 + 2 x
x x
9)
x− x
x −1
1
2) x −
x
4
16 x − 9
4)
2x − 3
6)
8)
10)
x2 + x x
3
x
x+3 x
25 x 2
1 + 5 x − 3x 2 + x 4
2x3
2
1− x
x 4 + x −4 + 2
11)
12)
3
x
x
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1
6
1) (4 x − 5)
2)
3) 3 2 x + 1
(4 − 3 x) 2
1
1
1
4) 4
5)
6)
(3 x − 2) 3
6 − 5x
x +1 + x −1
Trang: 2
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
10-11-12-ltđh
2
1
4x + 5
3x − 7 x − 1
7)
8)
9)
( x + 3)( x − 2)
2x − 3
3x + 2
1
1
1
10) 2
11) 2
12) 2
2
x − 4x − 5
x −a
x + x−2
1
1
1
11)
12) 2
13)
2
2
2x − 7
x − 5x − 6
9x − 6x + 1
1
1
1
14)
15) 2
16)
2
2
4x − 3
x + x−6
4 x − 12 x + 9
Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :
Cos 2 x
1
1)
2) Sin3x.Cos3x
3)
4
Sinx + Cosx
4Cos x − 4Cos 2 x + 1
4) (3 – 2Cosx)2
5) Sin4x
6) Cos33x
7) Sin5x.Cos2x
8) (2tgx – 5)2
9) (3 – Sin2x)(2 + 5Cos2x)
4
2
2
10) Cos x
11) (2Cos 3x – 1)Sin 3x
12) Cosx.Cos3x.Cos5x
13) Sin3x.Cos3x
2
3
14) (tg x – 3)(2Cotg + 5)
15) 2Cosx −
Sinx
16) (3 – tgx)(5 + 4Cotgx)
17) Sin2x.Cos4x
18) Cos6x
Bài 4: Tính tích phân các hàm số sau đây :
e 3x − 8
2
1) x
2) 3 x + 4 x
3) a 2 x .b 3 x
e −2
ax + bx
2
4)
5) a 3 x − b 2 x
6) 2 x + 2.3 2 x .5 3 x +1
x
m
2x
7) e .2 x 8) ln x 3 − 4 ln 5 x 2
9) 2 ln x + ln 3 x − 4 2 x
x +1
x −1
−x
10) 2 − 5 10
2
2
(
(
(
)
)
)
Bài 5: Tính tích phân các hàm số sau đây :
5x + 3
3x − 7
1) 2
2)
2
x − 2x − 8
2 x − 5x + 2
1
1
4) 3
5) 3
2
x + 2x − x − 2
x − 4 x 2 + 3x
Trang: 3
x2 +1
3) 2
( x − 4)( x + 1)
x −1
6)
2
3 x − 10 x + 3
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
x2
5x 3 + 1
7) 2
8)
( x − 9)( x 2 − 4)
( x + 1)(2 x + 1)
Bài 6: Tính tích phân các hàm số sau đây :
x2 +1
7x + 1
1) 2
2)
( x − 2) 3
x − 6x + 9
x
x +1
4)
5)
2
( x + 2)( x + 3)
( x − 1) 4
Bài 7: Tính tích phân các hàm số sau đây :
5x − 2
x+2
1) 2
2) 3
x − 3 x + 10
x +1
1
1
4) 4
5) 2
x +1
x − x 2 +1
7)
x 3 + 3x 2 + 5 x + 7
x2 + 2
8)
10-11-12-ltđh
x + x +1
9)
( x + 1)( x − 1)( x − 2)
3
x4
3)
( x − 1) 2 ( x + 1) 2
x2 +1
6)
( x − 1) 3 ( x + 3)
1
x −1
x 2 + 2x −1
6)
( x − 1)( x 2 + 1)
3)
3
x 3 − 7 x + 15
( x − 1)( x + 2) 2 ( x 2 − 2 x + 8)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
VẤN ĐỀ 3
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
∫
4
2
2)
x.dx
∫ ( x + 4) dx
3
1
2
∫
∫
10) ∫ ( x + 2 − x − 2 ) .dx
4
7)
5)
1
3
−3
5
x 2 − 1 .dx
8)
3)
∫
2
x +2
dx
2x 2
6)
∫
2
x − 2 .dx
9)
2
0
∫
4)
.dx
∫x
1
1
2
∫
2
0
(
)
min 1, x 2 .dx
−2
2
x + 1 .dx
∫ x + 2 x − 3 .dx
11) ∫ ( 2 x − 1 − x ) .dx
2
0
1
−3
12)
1
dx
x2
2
−1
3
(
)
2
13) ∫0 max x , x .dx
Trang: 4
2
2
14) ∫ Max( x ,3 x − 2)dx
0
GV.Chuyeõn toaựn-Huyứnh coõng duừng
10-11-12-ltủh
1
15) x x a dx (a > 0)
2
x
16)
0
17)
19)
0
3
6
3
6
21)
dx
2
Sin x.Cos 2 x
(1 Sin3 x).dx
Sin 2 x
0
23)
25)
dx
1
2
2
31)
1
0
1
(e
0
x
+ 3.2 )dx
x
2
0
4 Sin3 x
1 + Cosx dx
4
2
3 x 2x 6
dx
35)
1
x2 4
33)
39)
37)
41)
4
1
4
0
3
6
22)
1
2
0
1
26)
dx
2
x 4x + 4
x 2 6 x + 9.dx
x 3 2 x 2 + x .dx
tg 2 x + Cotg 2 x 2.dx
(3 2Cotg 2 x )dx
Cos 2 x
20)
Sinx dx
0
29)
0
3
4
x+4+ x+2
2
27) x 2 x + m dx
4
Cos5 x.tgx.dx
18)
24)
1
( a + 1) x + a dx
1
Cos 4 x .dx
2
dx
x + 3 + x +1
0
x2
0 4 x 2 dx
1
dx
x + 3x + 2
1
28) 0
30)
x4
dx
x2 1
2
1
(e
0
3
8
8
2
0
32)
2x
+ 3)dx
dx
Sin x.Cos 2 x
2
1 Cosx
dx
1 + Cosx
2 x +5
2 4.3
5.33 x+ 5
dx
36)
1
32 x +3
34)
40)
2
38)
1
3
0
42)
Trang: 5
0
x 3 2 x 2 x 2 .dx
2 x 4 .dx
1 + Cos 2 x .dx
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
10-11-12-ltđh
2π
Bài 2: Cho hai số nguyên p và q khác nhau . Tính :I =
∫ Cospx.Cosqxdx
0
1
x
Bài 3: Cho J (t ) = ∫ e − t .dx với t ∈ R
0
1) Tính J(t)
2) Tìm MinJ(t)
(
)
2
2
Bài 4: Chứng minh rằng nếu y = ln x + x + a thì y ' =
a
Tính : I = ∫0
a
x + a2
(a> 0)
x 2 + a 2 .dx
2
2
Bài 5: Chứng minh rằng nếu y = ln x + x − a thì y ' =
Tính : I = ∫0
1
2
1
x − a2
2
(a> 0)
x 2 − a 2 .dx
x2 − 2 x + 1
F
(
x
)
=
ln
2
÷
Bài 6: Cho hàm số :
÷
x + 2x +1
1) Tính đạo hàm của F ( x) .
2
1 x −1
dx
2) Tính tích phân I = ∫0 4
x +1
VẤN ĐỀ 4
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
x2 +1
x2
1) 3
2) 6
x + 3x + 6
x +3
4)
x2
x 6 − 10 x 3 + 9
5)
x2
1 − x6
Trang: 6
3)
3x 2 + 8
x 3 + 8x + 5
6x 5
6)
(5 − 7 x 3 ) 2
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
x2
x
7)
8) 4
5
( x − 1)
x + 6x 2 + 5
x3 − 2x
10) 2
( x + 1) 2
x
11) 4
x + 6x 2 + 5
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1 x.dx
4
dx
1) ∫0
2)
3
∫
1 x 2 ( x + 1)
( x + 1)
1
2
7)
dx
3
+ 1)
∫ x(x
1
8)
0
3)
∫ ( x + 1)
0
9)
∫ 4x
x −1
dx
4
+1
∫x
12)
1
1
2
13)
1
dx
∫0 ( x 2 + 3x + 2)2
15)
(2 x − 3)dx
∫−5 x 2 + 4 x + 13
17)
4
2
1)
∫x
5
2
20
2) I = ∫ x( x − 4) dx
(1 + x) dx
9
−1
1
3)
∫ x(1 − x)
4
1
19
4)
.dx
0
∫x
5
(1 − x 3 ) 6 .dx
0
4x − 2
( x + 2)( x 2 + 1)
A
Bx
+ 2
1) Tìm A và B sao cho f ( x) =
x + 2 x +1
Bài 4: Cho hàm số : f ( x ) =
t
2) Tính F (t ) = ∫0 f ( x)dx với t > 0
F (t )
3) Tìm tLim
→+∞
Trang: 7
∫x
0
Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :
0
4
0
1
16)
∫x
1
14)
0
1
11)
( x + 1)dx
+ 10 x 2 + 9
∫x
2
0
dx
∫−1 x 2 − 2 x.Cosα + 1 (0 < α < π )
2
3
dx
2
1
10)
2x
1
1
5
x .dx
2
+1
∫x
x2 +1
12) 4
x +1
1+ x2
dx
6) ∫
4
1 1+ x
x.dx
5) ∫
(3 x + 1)3
0
1
x
(1 + x 4 ) 2
9)
1
1
x4 +1
dx
4) ∫ 6
0 x +1
10-11-12-ltđh
7
dx
+ 4x + 3
dx
+ 4x2 + 3
dx
+1
3
(2 x + 5)dx
x2 − 6x
1
∫
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
Bài 5: Tính tích phân các hàm số sau đây :
Cosx
1) Sin5x
2)
Cos 2 x − 3
1
1
4)
5)
2
2
(tg x − 3)Cos x
3Sinx − 4Cosx
7)
Sin 3 x
Cos 2 x + 1
8)
Cos 3 x
4 Sin 2 x − 1
1
Sin x − 4 SinxCosx + 5Cos 2 x
Sin 2 x
12)
13) Sin 3 x. Cosx
Cos 6 x
1
15) Cos2x.Sin3x
16)
Sin 4 x
1
18) Cos 5 x. Sinx
19)
2
Sin x.Cosx
Cosx
Sinx.Cosx
21)
22)
4
4
Sin x + Cos x
2 + Cos 2 x
Sinx + Cosx
1
24) 3
25)
a.Sinx + b.Cosx
Sinx − Cosx
Six + Sin 3 x
2
4
27) Sin x.Cos x
28)
Cos 2 x
10)
2
30) Cotg3x
31) tg4x
Cos 2 x
Sin 2 x + 4 Sinx.Cosx
Bài 6: Tính tích phân các hàm số sau đây :
π
π
Sinx
1) ∫ 3 Sin 2 x .tgxdx
2) ∫ 2
dx
0 1 + 3Cosx
0
33)
4)
π
2
0
∫
e
Sinx
.Cosx .dx
π
6
0
5) ∫
10-11-12-ltđh
3) tgx
6)
1
Sin 2 x.3 Cotgx
9) Sin7x.Cos2x
11)
1
3 + Cosx
1
7Cos x + 2 Sin 2 x
Sinx.Cos 3 x
17)
1 + Cos 2 x
1
20)
2
Sin x.Cos 2 x
Cosx
23)
Cos 2 x
14)
2
26) Sin4x.Cos5x
Cos 2 x
39)
Sin 4 x
Cos 3 x
32)
Sin 2 x + Sinx
Sinx.Cosx
34)
3Sin 3 x + 4Cos 2 x
π
3) ∫ 2 Sin 3 x .Cosx .dx
0
1 + 4Sinx .Cosx .dx 6)
Trang: 8
π
2
0
∫
dx
2 + Sinx
GV.Chuyeõn toaựn-Huyứnh coõng duừng
dx
2
2
3
7) 4
8)
0 Sin x.Cos x.dx 9)
0 Cos 4 x
3
tg x.dx
10)
4
4
2
16)
Cosx Sinx
0 1 + Sin2 x dx
2
Sinx.Cosx(1 + Cosx)
22)
0
3
2
1 + Sin 2 x
33)
dx
2
0 Cos x
4
2
36) Cos 2 x.Cos 4 x.dx
0
2
4
Cosx
11 7 Sinx Cos
dx 15)
dx
0
31)
34)
2
37)
3
2
2
x) 3 dx
0
4
Sin
4
Sin 4 x
dx
x + Cos 4 x
4
dx
1 + tgx
0
2
dx
x.dx
Sin2 x(1 + Sin
21)
Cos x.Cos5 x.dx 26)
4
2
3
x
4
Cosxdx
0 1 + Cosx
3
tg
18)
3
Sin 3 x
0 Cos 2 x dx
2
0
0
4
dx
0 2 + Sinx + Cosx
30)
0
Cosx.dx
6 5Sinx + Sin 2 x
)
x + Sin 3 x .dx
Sinx + 7Cosx + 6
2
23)
2
3
4Sinx + 3Cosx + 5 dx
dx 12)
( Sinx + 2Cosx )dx
0 3Sinx + Cosx 28)
(Cos
1
0 1 + Sin2 x dx
20)
Sin 6 x
24)
dx 25)
6
6
0 Sin x + Cos x
27)
6
0
7 + Cos 2 x
17)
0
19)
Cosx
0
1 Sinx .dx
2
14)
0
3 + Sin 2 x
4
3
Cos x.dx
13)
11)
Cosx + Sinx
3
10-11-12-ltủh
2
0
29)
2
0
32)
dx
Sinx + Cosx
1 + Sin 2 x + Cos 2 x
dx
Sinx + Cosx
2
6
1
Sin 3 x Sinx
Cotgx.dx 35)
Sin 3 x
4Sinx.dx
0 (Sinx + Cosx) 3
Trang: 9
38)
Sin
0
4
4
dx
x.Cosx
Sin 4 x.dx
2
x
1 + Cos
0
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
π
π
Sin 2 x
dx
39) ∫
6
π Cos x
3
40)
42)
2
∫
0
3
dx
π
6 Sinx.Sin x +
6
∫
π
4
π
2π
SinxCosxdx
a 2Cos 2 x + b 2 Sin 2 x
10-11-12-ltđh
43)
∫
1 + Sinx .dx
π
∫ Cosx
41)
Sinx .dx
0
π
2
π
4
∫
44)
0
dx
Sin 4 x
Sin2 x
Bài 7: Tìm hai số A, B đề hàm số h(x) = ( 2 + Sinx ) 2 có thể biểu diễn
dưới dạng :h(x) =
A.Cosx
B.Cosx
+
2
( 2 + Sinx ) 2 + Sinx , từ đó tính J =
π
2
∫ h( x)dx
−
π
2
Bài 8: Xác đònh A , B , C sao cho :
Sinx − Cosx + 1 = A( Sinx + 2Cosx + 3) + B (Cosx − 2Sinx ) + C
π
2
( Sinx − Cosx + 1)dx
Sinx + 2Cosx + 3
0
Sinx
Bài 9: Cho f ( x) =
Cosx + Sinx
Từ đó tính :
∫
Cosx − Sinx
1) Xác đònh A , B , C sao cho : f ( x ) = A + B ×
Cosx + Sinx
Bài 10: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1
ex
1) 2 x
2)
x. 1 − ln 2 x
e −7
1
2
4) x.tg(x2 + 1)
5) Cotg x .
x
x x
1
3 .2
7) x
8)
x
x. ln 5 x
9 +4
ln x
1+ ex
10)
11)
x.(1 − ln 2 x )
1 + e2x
13) (2ex +3)2.ex
Trang: 10
3) Cos(2ex – 3) . ex
ex −1
6) x
e +1
e2x
9)
ex + 4
ln x
12)
x. 1 + ln x
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
Bài 11: Tính tích phân các hàm số sau đây :
x
1
4e
− x2
e
x
.
dx
.dx
1) ∫0
2) ∫1
3)
x
1
4) ∫0
(
x . ln x + 1 + x 2
1+ x2
e
1 + ln x
dx
7) ∫
x
1
2
) .dx 5)
1
13)
(1 + e )
dx
2x
0 1+ e
ln 3
16)
∫
0
e +1
x
1
22)
11)
e
∫
1
2
14)
∫
1
17)
ln( x + 1)
dx
x2
ln x.dx
∫ (1 + x)
1
dx
23)
1
∫ ln
e
2
x
1 + ln x
.dx
x
e
1
ln 2
e 2 x + 3e x
dx
e 2 x + 3e x + 2
∫
6)
0
e− x
dx
9) ∫
1 + e− x
0
1
2
12)
∫
1
1
ln x
dx
x2
∫e
15)
0
dx
+3
2x
1
2
18) ∫ x. ln( x + 1)dx
2
0
2
e2
x
2 + ln x
⋅ dx
2x
2
dx
20) ∫
1 − e− x
1
2x
∫ 1+ e
0
e
∫
2
dx
19) ∫ x
e +4
0
2
x 2
e
dx
1− ex
dx
1+ ex
(1 + e )
dx
8) ∫
ex
0
x 2
∫
0
1
e
ln x
dx
10) ∫
2
1 x (1 + ln x )
∫
ln 2
10-11-12-ltđh
21)
∫e
0
−
x
dx
+ 5e − x − 4
1
÷×dx
ln x
Bài 12: Tính tích phân các hàm số sau đây :
x +1 + 2
x +1 1
⋅
1)
2) 3
2
( x + 1) − x + 1
x −1 x +1
1
4)
5) x. 5 − 2 x
1+ x +1
x+2
1
⋅
8)
2 x + 3 ( x + 2)(3 x + 5)
Bài 13: Tính tích phân các hàm số sau đây :
Trang: 11
3)
7)
1
x. x + 1
x
3
1 − 3x
9) x 3 .3 1 + x 2
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
3
1
x
1)
2)
(1 + x)3 x
x( x + 3 x )
1
1
4)
6)
2x + 1 − 4 2x + 1
x +1 + 3 x +1
4
2+ x
x
8) 3
9) 3
3− x
x+ x
10-11-12-ltđh
3)
1
x3 x + 1
2 x − 3 3x
x
7)
Bài 14: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1
1
3x − 4
1)
2)
3)
2
2
x + 4x + 5
− 3x + 4 x − 1
2 x 2 + 8x + 1
1
3x + 4
x −1
4)
5)
6)
x2 − x +1
x 2 − 6x + 8
− x 2 + 4x − 3
Bài 15: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1
1
1
1)
2)
3)
( x − 1) − x 2 + 2 x + 3
x. x 2 + 1
x. 5 x 2 − 2 x + 1
3x + 2
1
x +1
4)
5)
6)
( x + 1). x 2 + 3 x + 3
( x + 2). x 2 + 2 x
x 2x 2 − 2x − 1
Bài 16: Tính tích phân các hàm số sau đây :
a2 − x2
a2 + x2
1)
(a > 0) 2)
(a > 0) 3)
x
x
1
4) x 2 . 1 − x 2
5)
(a > 0)
2
x a + x2
1
x −1
7)
9)
2
(1 − x) 1 − x 2
x. x − 1
1
x3
11)
12)
9 + x2 + 3
1+ x2
1− x2
x2
6)
1
x . x2 −1
3
1− x2
10)
1+ x2
Bài 17: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1
1)
∫x .
3
1 − x 2 .dx
0
1
3 3
2
4) ∫0 x . 1 − x dx
2)
∫
2
0
4 − x 2 .dx
1
5) ∫0 x . 1 − x .dx
Trang: 12
3)
∫
2
0
1
x (4 + x 2 )3 .dx
6) ∫0 x .3 1 − x .dx
GV.Chuyeõn toaựn-Huyứnh coõng duừng
6
1
dx
x2
.
dx
7) 0 3
8)
2
1 + x3
2 3 x x 9
1
10)
(1 x ) .dx
2 3
11)
0
x +1
0 3
3x + 2
13)
2
2
.dx
14)
1 x
20)
0
0
18)
dx
) 1+ x
n n
n
21)
dx
3x + 2
26) x . 1 + x .dx
2
2
1
1+ x2
35)
0
27)
x x +1
x +1
40)
0
0
1
dx
31)
x2 +1
2
x
33)
36)
dx
x + 2x + 3
2
0
. 1 + x dx
2
6
(2 x + 1) x + 4
3
dx
( 2 x 2 + 1) x 2 + 1
x 3 .dx
x + x2 +1
n
34) x . 1 x .dx
0
1
x
3
x
37)
dx
0
1
39)
0
41)
x.
0
Trang: 13
(3x 4)dx
2x2 + 6x + 1
(3x 2)dx
( x + 1)
1
2
1 + x3
1
5
1+
0
dx
2
x +9
2
x.
28)
0
dx
1
2
x.
1
( x 1)
1
dx
7
30)
dx
0
4
2
0
38)
dx
2
x
2
2
25) x . 1 x .dx
3
x2 +1
x +1
x2 +1
1
3
dx
32)
23)
dx
( x 2 + x) dx
1
0
2
x +1
0
0
1+ x +
0
(n = 1 , 2 )
1
1
x2 +1
1
x +1
3x + 1
3
3
2
2
2
24) x . a x dx (a > 0)
29)
( x + 1)dx
3
0
a
1
2x + 1
2
dx
3
xdx
0
15)
2
x +1
3
1
7
2
0
4
4 3
3
12)
2
x5 + 2x 3
2
2
3
19) x . x + 1.dx
0
x 2 .dx
17)
2
(1 + x
2
3
0
22)
3
0
15
8
16) x 1 + 3 x .dx
1+ x
0
1
1
x 3 .dx
7
9)
10-11-12-ltủh
x 4.dx
x
2
x 2 + 3x + 3
x
.dx
2 x
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
2
dx
∫
42)
2
x2 + 1 + x
1 x
(
3
44)
∫
1
( x−
x2
∫
1
1
)
+ 3 x ) dx
43)
∫
0
45)
x + 3x + x
2
2
46)
10-11-12-ltđh
46)
x2 + 2x + x2 + 2x − 3
x2 − 4x + x + 2
−1
2
∫
−1
1
( x + 1)dx
(2 x + 1)dx
∫
0
dx
− x − x + − x2 − x + 2
(6 x 2 − 4 x) dx
2
x3 − x 2 + 2 − x3 − x 2
VẤN ĐỀ 5
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) x.ex
2) x.Cosx
4) lnx
5) ex.Sinx
– 5)Cos2x
8) (x3 + 1)lnx
9) Sin(lnx)
11)
(
3) x2.Cosx
6) x2.ex
)
12) ln x + x 2 + 1
14) (x2 + 2x + 3)Cosx
15) e2x.Cosx
17) Sin x
18) e x
20) Cos2(lnx)
21) x . ln x
22)
3
x ln x
x
Cos 2 x
x
Sin 2 x
23)
7) (3x
10) x.Cos2x
13) ex.Cosx
16) Cos(lnx)
19) x.tg2x
(
x. ln x + 1 + x 2
24)
1+ x
2
x
25)
x.e
( x + 1) 2
26) x2.Sin3x
27) x2.e3x.
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) ∫0 ( 2 x + 1) .Cosxdx
π
2)
π
4
0
∫
x .Cos 2 x .dx
Trang: 14
2
(
)
2
x
3) ∫1 x + 1 .e dx
)
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
1
2
4) ∫0 x .arctgx .dx
7)
π
2
π
3
5)
8)
x
2
17)
1
2
∫ (x
1
20)
x .dx
0
22) ∫ 5e .Sin 2 x.dx
23)
x
∫ (e
−1
π
4
2
0
∫ x .e
3
+ 1) Sinx.dx 18)
x2
2x
21) ∫ x.e .dx
.Sinx + e .x )dx
2
0
π
2
x.dx
∫e
0
π
x 2 .e x
dx
32) ∫
2
(
x
+
2)
1
π
eπ
e
2
2
2x
.Cosx.dx
0
0
1
.Sin3 x.dx
x + Sinx
dx
Cos 2 x
∫e
28)
.Sinx.Cos x.dx
29) ∫ Sin(ln x )dx
3
∫
26)
3
2x
0
0
Sin 2 x
2
∫e
24)
0
25) ∫ Cosx. ln(1 + Cosx )dx
2
dx
1
x
π
π
x2
0
2
27)
3
1
∫ x.tg
0
π
∫ x .Sinx.dx
15)
0
π2
4
0
π
0
2
∫ x. ln x.dx
π
x.Sin 3 x.dx
π
x
14) I = ∫ e .dx
x.dx
π
∫ Sin
4
0
1
e
19)
∫ x.Cos
1
0
16)
x.dx 9)
x
3
11) ∫ (2 x + 2). ln xdx 12) ∫ e Cos x.dx
2
∫ x. ln
π
e
e
13)
∫ x.Sinx.Cos
2
0
10) ∫0 e Sin ( πx ) dx
1
0
x.dx
Cos 2 x
∫
6)
x 2 .Sin 2 x .dx
π
x.dx
Sin 2 x
∫
π
∫
10-11-12-ltđh
π
4
0
30)
∫ Cos(ln x)dx
1
e
ln 3 x
33) ∫ 3 dx
x
1
Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :
π
π
xSinx
Sin 2 x
dx
1) ∫
2)
2
∫ x dx
0 1 + Cos x
−π 3 + 1
Trang: 15
2
1 + Sinx
∫ 1 + Cosx ⋅ e
31)
x
0
π
2x
2
34) ∫ e Sin xdx
0
1
3)
x 4 + Sinx
∫ x 2 + 1 dx
−1
.dx
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
π
10-11-12-ltđh
2
2
2
4) ∫ Cosx. ln( x + x + 1).dx
−π
5) ∫ 3
π
x 4 .dx
∫ x
−1 1 + 2
7)
2
∫
π
−
2
4 + 5x 4
−2
2
1
Sinx.dx
6)
x + Cosx
dx
4 − Sin 2 x
TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
VẤN ĐỀ 6
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
2
2
2
2
1) I = ∫ (a.Sin αx + bCos αx)dx và J = ∫ (a.Cos αx + bSin αx )dx
2
2
2) I = ∫ Cos x.Cos 2 xdx và J = ∫ Sin x.Cos 2 xdx
3) I = ∫ Cos (ln x )dx
và J = ∫ Sin(ln x)dx
2x
2
2x
2
4) I = ∫ e .Cos xdx và J = ∫ e .Sin xdx
Sinx
Cosx
dx và J = ∫
dx
5) I = ∫
Sinx + Cosx
Sinx + Cosx
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
π
2
π
∫ e .Sin3x.dx và J =
1) Tính: I =
0
π
2
∫e
−x
−x
.Cos3 x.dx
0
π
2) Tính: I = ∫ Cos x.Cos 2 x.dx và J =
2
2
2
0
π
3) Tính I =
Cos 3 x
∫0 Sinx + Cosx dx và
2
π
J=
π
2
cos 4 x
4) Tính : I = ∫
dx và I =
cos 4 x + sin 4 x
0
5) Tính : I =
π
2
0
∫
Cos n x
dx
Cos n x + Sin n x
2
∫ Sin
x.Cos 2 2 x.dx
0
Sin 3 x
∫0 Sinx + Cosx dx
2
π
2
sin 4 x
∫0 cos4 x + sin 4 x dx
(ĐHGTVT)
Trang: 16
2
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
π
6) Tính I =
2
10-11-12-ltđh
Sinx
dx và J =
Sinx + Cosx
∫
0
1
π
2
∫
0
Cosx
dx
Sinx + Cosx
e− x
I
=
7) Tính :
∫ e− x + e x dx
−1
π
2
8) Tính : I = ∫ e x .Sin 2 xdx
0
π
2
9) Tính : I = ∫
0
4sin x
( Sinx + Cosx )
dx
3
π
2
10) Tính : I = ∫ ln 1 + sin x dx
1 + Cosx
0
Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x
a) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x).
π
2
g ( x)
dx
x
+1
∫π e
b) Tính : I =
−
2
1
f ( x) =
2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
π
÷
4
4) Cho f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 1 và g(x) = 2x3 + x2 – 3x – 1 .
1) Giải bất phương trình :f(x) ≥ g(x) .
2) Tính : I =
∫
2
−1
Cosx.Cos x +
f (x ) − g (x ) dx (ĐHQG)
5) Tìm họ nguyên hàm của : f ( x ) =
Sinx
(ĐHQGHN – 2000 – 2001)
1 + Sin2 x
6) Tìm họ nguyên hàm của : f ( x ) =
x 2001
(1 + x )
2 1002
7) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f (x) =
Trang: 17
(ĐHQGHN – 2000 – 2001)
Cosx + Sinx.Cosx
(ĐHNT)
2 + Sinx
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
sinx − cosx
8) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f (x) = sinx + cosx
9) Tìm họ nguyên hàm : f (x) =
cos2 x
sinx + cosx
10-11-12-ltđh
(ĐHNT – 99 – 2000)
3x + 1
A
B
=
+
2
3
( x + 1)
( x + 1) ( x + 1) 2
3x + 1
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x ) =
( x + 1)3
Sin(α + x)
11) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x) =
Cos 2 x
10) a) Xác đònh A , B sao cho :
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
VẤN ĐỀ 7
Bài 1: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [-a, a] (a> 0) .Chứng minh rằng:
a
a
1/ Nếu f là hàm chẳn thì : ∫−a f (x)dx = 2 ∫0 f (x)dx
a
2/ Nếu f là hàm lẻ thì : ∫ f (x )dx = 0
−a
∫ [ln( x +
1
p dụng tính :
I=
−1
)]
3
x 2 + 1 dx
Bài 2:Cho hàm số f liên tục trên [0 , 1]. Chứng minh rằng:
π
ππ
xf
(
Sinx
)
dx
=
f (Sinx)dx (đề 118)
1) ∫
2 ∫0
0
π
xSinx
dx
2
0 1 + Cos x
p dụng : Tính I = ∫
π
π
2
2) ∫ xf (Sinx)dx = π ∫ f (Sinx)dx
0
0
(đề 15)
π
xSinx
dx (đề 11)
2
0 9 + 4Cos x
p dụng: Tính I = ∫
Trang: 18
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
3)
π
π
0
0
10-11-12-ltđh
∫ x. f (Sinx).dx = 2∫ f (Sinx).dx
Bài 3: (đề 4) Cho a > 0 , f là hàm số chẳn ,liên tục và xác đònh trên R.
b
b
f (x)
dx = ∫ f (x)dx
Chứng minh rằng : ∫ x
−b a + 1
0
π
(b ∈ R)
π
2
x 2 . Sinx
Cosx
I
=
dx
⋅ dx
p dụng: Tính
, J= ∫
∫ x
1+ 2x
−π 2 + 1
−π
2
2
2
Bài 4:(đề 12) Cho f là hàm số liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng:
π
∫
0
π
2
f (Sinx)dx = 2 ∫ f (Sinx)dx
0
Bài 5: Cho f là hàm số liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng:
π
1)
2
∫
π
f (Sinx )dx =
0
2
∫ f (Cosx)dx
0
π
Cos 3 x
2) Tính I = ∫
dx và
Sinx + Cosx
0
2
π
J=
Sin 3 x
∫0 Sinx + Cosx dx
2
Bài 6: Cho f là hàm số liên tục trên [a,b] và f(a+b-x) = f(x).
b
b
a+b
xf
(
x
)
dx
=
f (x)dx
Chứng minh rằng: ∫
2 ∫a
a
π
3
p dụng: Tính I = ∫ x.Sin x.dx
0
Bài 7: Cho f là hàm số liên tục trên [a,b]. Chứng minh rằng:
b
∫
a
b
f (x)dx = ∫ f (a + b − x)dx
b
Suy ra:
∫
0
a
b
f (x)dx = ∫ f (b − x)dx
0
Bài 8:
1) Cho hai số nguyên dương p, q. Tính I =
2π
∫ Cospx ⋅ Cosqxdx
0
trong hai trường hợp p = q và p ≠ q.
2) Cho các số thực a1 , a2 , a3 , …, an .
Trang: 19
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
10-11-12-ltđh
Giả sử a1.cosx + a2.cos2x + …+an.cosnx = 0 với mọi x ∈[0 ; 2π].
Hãy sử dụng kết qủa trên để tính a1 , a2 , a3 , …, an.(ĐHQG – 99-2000)
π
2
π
2
cos4 x
sin4 x
3) Chứng minh rằng :
dx
=
∫0 cos4 x + sin4 x
∫0 cos4 + sin4 x dx
π
2
cos4 x
∫0 cos4 x + sin4 x dx
Từ đó tính :
Bài 9: Cho m , n là hai số nguyên dương.
∫ x (1 − x )
p dụng tính: I = ∫ x (1 − x )
1
Chứng minh rằng:
m
0
1
0
n
dx =
10
∫ x (1 − x )
1
n
0
m
dx
dx
Bài 10: Chứng minh rằng với m , n là 2 số tự nhiên khác nhau , ta có :
π
π
−π
−π
∫ Cosmx.Cosnx.dx =
tgα
Bài 11: CMR:
∫
1
e
∫ Sinmx.Sinnx.dx = 0
xdx
+
1+ x2
Bài 12: Chứng minh rằng :
Cotgα
∫
1
e
π
2
0
∫
π
Bài 13: Chứng minh rằng:
2
∫
0
(ĐHL – HN – 2000)
dx
= 1 (tgα > 0) (ĐHL – HN – 1999)
x(1 + x 2 )
Cos n x
π
dx =
n
n
4
Cos x + Sin x
Sinx
Sinx + Cosx
dx =
(ĐHGTVT)
π
2
∫
0
Cosx
Sinx + Cosx
dx =
π
4
1
m −1
n −1
Bài 14: Cho I (m, n) = ∫ x (1 − x) .dx .
0
Chứng minh rằng : m.I(m,n) = (n – 1).I(m + 1,n – 1) ( 2 ≤ m , n ∈ Z )
1
m !n !
m
n
Bài 15: Chứng minh rằng : ∫ x (1 − x) dx =
(m + n + 1)!
0
Bài 16: Chứng minh rằng :
1
2 n +1 x − x
1) ∫ (2 x − 1) .e .dx = 0 (n = 1,2,…)
2
0
Trang: 20
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
10-11-12-ltđh
2π
∫ Sin(Sinx + nx)dx = 0
2)
,n∈Z
0
Bài 17: Cho f(x) liên tục trên R.
3π
Tính : I =
f ( x) + f ( − x) = 2 − 2Cos 2 x , ∀x ∈ R
2
∫ f ( x)dx
−3π
2
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 8
Bài 1: Chứng minh rằng :
π
2
π
dx
π
≤
≤
1/
2
∫
16 0 5 + 3Cos x 10
2
5/
π
2
∫ Sin
6
xdx <
0
0
2
∫ Sin
2
xdx
13/
e − x .Sinx
π
∫1 x 2 + 1 dx < 12e
4 + x2
5
dx ≤
0
2
2
3π
π
dx
π
≤ ∫π 4
≤
2
4
3 − 2 sin x 2
4
∫ ( ln x )
1
6/
2
2
dx < ∫ ln xdx
1
∫e
1
0
1
2
2
0
2
9/ 1 ≤ ∫
11/
π
2
4
27
4/ ∫ Sin 2 xdx ≤ 2 ∫ Sinxdx
3
7/ 0 <
0
π
2
xdx
1
<∫ 2
<
3/
5 1 x +1 2
π
1
2
2/ 0 < ∫ x(1 − x) dx <
2
x
2
dx ≤ ∫ e x dx
1
π
dx
π
<∫
<
2
5
6 0 4−x −x
4 2
1
2
dx
2
≤∫
≤
10/
3
9 −1 8 + x
7
1
8/
12/
1
2
≤∫
0
1
2
dx
1 − x 2000
≤
π
4
π 3 π
dx
2π 3
<∫
<
14)
2
3
3
Cos x + Cosx + 1
0
Trang: 21
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
π
15)
3
3
Sinx
1
< ∫
dx <
4 π x
2
3
3
Cotgx
1
≤
dx ≤
16)
∫
12 π
x
3
6
1
4
2
x
17) 1 ≤ ∫ 2 .dx ≤ 4
3
18)
−1
19)
1
1
3
26 2
<∫
0
x 25
1+ x
3
10-11-12-ltđh
π
10
2
≤ ∫ (e x − x 2 )dx ≤ 2.4 e
2
e
0
1
π
dx <
20)
<
26
6
1
2
∫
0
dx
1 − x2 − x3
<
π 2
8
1
2
dx
π
21) 1 <
<
∫
2
n
2 0 1− x
6
e
k
Bài 2: Với mỗi số nguyên dương k . Đặt I k = ∫ ln ÷.dx
x
1
Xác đònh k để : I k < e − 2
1
x4
dx
Bài 3: 1) Tính I = ∫ 2
0 x −1
2
tg 4 x
π
dx ;(0 < t < ) . Tính I(t) và chứng minh :
0 Cos 2 x
4
2) Đặt I (t ) = ∫
2
3
π
tg t + > e
4
t
tg 3t +3tgt
với 0 < t <
2
Bài 4: 1) Tính tích phân: I = ∫
1
t
2
2
Sin 2 x
π
4
(ĐHQG – KA – 1998)
ln x
dx
x2
ln x
2) Đặt J (t ) = ∫
dx
với t > 1
x
1
Tính J(t) theo t , từ đó suy ra rằng : J(t) < 2 , ∀t > 1 (ĐHQG-KA-1997)
π
Bài 5: 1) Tính I =
∫ 1 + Sin
4
0
π
2) Tính J =
2
Sin 2 x
∫ 1 + Cos
0
4
x
x
dx bằng cách đổi biến t = Sin 2 x
dx và chứng minh bất đẳng thức
Trang: 22
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
π
Sinx.Cosx
π
dx >
4
4
12
x)(1 + Sin x)
2
∫ (1 + Cos
0
π
2
Bài 6: Cho I n = Sin n x.dx
∫
10-11-12-ltđh
(ĐHQG – KA – 1998)
(n≥0)
0
n +1
×I n
n+2
2) Chứng minh rằng hàm f : N → R sao cho : f ( n) = (n + 1).I n .I n +1
là một hàm hằng.
1) Chứng minh rằng : I n + 2 =
π
4
Bài 7: Cho I n = tg n x.dx
∫
(n≥0)
0
1) Chứng minh rằng : I n > I n +1
2) Tìm hệ thức liên hệ I n và I n + 2
1
e − nx
I
=
dx
Bài 8: Cho n ∫
(n≥0)
1 + e− x
0
1) Tính I1
2) Với n > 1 , hãy tìm công thức biểu diển I n qua I n −1 .
Từ đó tính : Lim I n
n → +∞
Bài 9: Đặt In =
dx
1
∫ (1 + x )
2 n
0
(n là số tự nhiên)
1) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In-1 (n > 1)
2) Tính I4.
1
n x
Bài 10: Cho I n = ∫ x e dx
(n≥0)
0
1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In .
I n = 0 (ĐHQG-KA-1996)
2) Chứng minh : In+1 ≤ In và Lim
n →∞
e
n
Bài 11: Đặt I n = ∫ (lnx) dx
với n là số nguyên dương.
1
Trang: 23
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In . Tính I1 và I2 .
e
và tính Lim I n
2) Chứng minh : I n +1 ≤ I n ≤
n →∞
n +1
10-11-12-ltđh
(ĐHQG-KA-1997)
1
n −2 x
Bài 12: Cho I n = ∫ x .e dx , n = 1,2,3…
0
1) Chứng minh : In ≥ In+1 .Tính In+1 theo In.
1
In
2) Chứng minh : 0 ≤ I n ≤
với mọi n ≥ 2 . Từ đó tính nLim
→ +∞
(n − 1)e 2
1
1
2 n
Bài 13: Cho I n = ∫ x (1 − x ) .dx và J n = ∫ x(1 − x ) .dx
2
2 n
0
0
1
1) Tính Jn và CMR: I n ≤
, ∀n
2( n + 1)
I n +1
2) Tính : I n +1 theo I n và tính Lim
n →∞ I
n
π
Bài 14: Cho I n =
4
∫ x.tg
n
x.dx
0
1 π
⋅
2) CMR: I n >
n+2 4
1) Tính I2 .
1
n
Bài 15: Cho I n = ∫ x 1 − x .dx
(n≥0)
0
2n + 2
×I n
2n + 5
1
4) Chứng minh rằng : I n <
(n + 1) n + 1
3) Chứng minh rằng : I n +1 =
1
x n .Sin(πx)dx
Bài 16: Tính Lim
n →∞ ∫
0
1
x n .(1 + e − x )dx
Bài 17: Tính Lim
n →∞ ∫
0
Trang: 24
n+ 2
(ĐHL – HN – 1997)
GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng
x
dt
Lim
Bài 18: Tính x →+∞ ∫
t (t + 1)
0
10-11-12-ltđh
t
4x − 2
dx
( x − 2)( x 2 + 1)
0
Bài 19: Tính tLim
→−∞ ∫
1
x n dx
1+ x
0
Bài 20: Tính nLim
→+∞ ∫
b
e x Sinnx.dx = 0
Bài 21: Cho a , b là hai số cố đònh . CMR: nLim
→+∞ ∫a
2
Bài 22: Cho hai hàm số : f : [ 0,1] → [ 0,1] và g : [ 0,1] → [ 0,1] .
Chứng minh rằng :
(∫
1
0
f ( x).g ( x) dx
)
2
1
1
0
0
≤ ∫ f ( x) dx.∫ g ( x)dx
Bài 23: Cho hai hàm số : f : [ a, b ] → R và g : [ a, b ] → R .
Chứng minh rằng :
VẤN ĐỀ 9
(∫
b
a
f ( x).g ( x) dx
)
2
b
1
a
0
≤ ∫ f 2 ( x) dx.∫ g 2 ( x)dx
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) (C) : y = x2 – 4x + 3 ; trục Ox ; hai đường thẳng x = 0 và x = 4.
2) (C) : y = x – x2 và trục Ox.
3) (C) : y = – x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến với đường cong này tại các
điểm A(0,–3) và B(3,0).
4) (C) : y = Sinx ; trục Ox ; hai đường thẳng x = π 2 và x = 3π 2
5) (C) : y = 2x2 – 4x – 6 ; x = –2 và x = 4.
6) (C) : y = lnx ; trục Ox ; và x = e.
(x − 2)2
7) (C) : y =
; trục Ox ; hai đường thẳng x = 2 ; x = 4.
x −1
x4
3
− x2 −
8) (C) : y =
; trục Ox.
2
2
Trang: 25
