Bài giảng Lý thuyết chảy dẻo

CHƯƠNG 1
KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT DẺO




NỘI DUNG
LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (the plastic flow theory)
 Các giả thiết tính toán
 Một số đònh nghóa
 Tiêu chuẩn chảy dẻo
 Hiện tượng tái bền
 Luật ứng xử của vật liệu đàn-dẻo
 Luật ứng xử của vật liệu dẻo lý tưởng
LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG DẺO TÒAN PHẦN


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO
I-1/Giả thiết:
 Vật liệu đồng nhất
 Vật liệu xem là chưa chòu tải và đẳng hướng  Biến
dạng xảy ra trong đ/k đẳng nhiệt

 Tải trọng xem như tác dụng tónh
 Biến dạng xem là nhỏ


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)
I-2/ Một số đònh nghóa

 Tải trọng giản đơn: chòu tải đơn trục

σ ul

σ

σ

σp

σp

ε
a/ thép mềm

0.02%

ε
b/ VL dòn


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)


Tải trọng tuần hòan


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)
 Một số mô hình lý tưởng một chiều:
σ

σ
σp

σp
ε

a/ Cứng – dẻo lý tưởng

E
ε

b/ Đàn-dẻo lý tưởng

σ

Et

Et
E

ε

c/ Cứng-dẻo tái bền tuyến tính d/ Đàn-dẻo – tái bền tuyến tính


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)
 Một số mô hình lý tưởng một chiều:
 Cứng-dẻo lý tưởng (Rigid-Perfectly Plastic)
(Mises – 1913) (Fig. a)

σ = σ0
 Đàn hồi-dẻo lý tưởng (Elastic-Perfectly
Plastic) (Prandtl – 1928) (Fig.b)

 Eε
σ =
σ 0

(ε ≤ σ 0 / E )
(ε ≥ σ 0 / E )


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)
 Một số mô hình lý tưởng một chiều:
 Cứng-tái bền tuyến tính (Rigid-linear strain
hardening) (Fig. c)

σ = σ0 + Et ε
 Đàn hồi-tái bền tuyến tính (Elastic-linear strain
hardening) (Fig. d)

Eε
σ=
Eε 1 − ω ( ε ) 

E − Et
ω ( ε) =
E

(ε ≤ σ0 /E)

(ε ≥ σ0 /E)
 σ0 
1 − Eε ÷




I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)
 Một số mô hình thực nghiệm
 Đ/v vật liệu cứng dẻo lý tưởng
σ = kε n

(Ludwik)
n

σ  ε 
= ÷
σ0  ε0 

(Ludwik)

(

σ = σ 0 1 + mε n
σ =C ( m+ε )

n

)

(mod. Ludwik)
(S wift)


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)
 Một số mô hình thực nghiệm (tt)


Đ/v vật liệu đàn – dẻo (Elastic-Plastic
Materials)
m

 σ 
Eε σ
=
+ k ÷
(Ramberg-Osgood)
σ0 σ0
 σ0 
m −1

 σ  
σ
ε = 1 + α  ÷  (m ≥ 1) (α=3/7) (Ramberg-Osgood)
E
 σ0  

Eε
(ε ≤ σ0 /E)



n
σ =   Eε 
(Charkrabarty)
(ε ≥ σ0 /E, 0 ≤ n ≤ 0.5)
σ 0  σ ÷
  0


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)




Một số mô hình thực nghiệm (Nonlinear
empirical plastic hardening models)

Mô hình Ramberg-Osgood
n

ε
σ 3 σ 
=
+  ÷
ε0 σ0 7  σ0 


Mô hình đa
thức

n

ε  σ 
= ÷
ε0  σ0 


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)

 Mô-đuyn tiếp tuyến Et – Mô-đuyn dẻo Ep
σ
Et

dεp
dε
1

σ

1

dσ
dεe

Ep

1

dσ

dεp

E

dε = dε e +
dε p
1 1
1
=
+
E Et Ep

ε

ε

dε e = dσ/E; dε p = dσ/Ep; dε = dσ/Et
Et – tangent modulus

Ep – plastic modulus
E – elastic modulus


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)
1.3 Tiêu chuẩn chảy dẻo



Tổng quát:
 Đặt vấn đề:

 Ứng xử 1 chiều: thí nghiệm  sự phá hoại
(hay chảy dẻo) khi ứng suất σ  σ 0
 Ứng xử tổng quát (2, 3 chiều): sự phá hoại
(hay chảy dẻo) khi nào?
 Mục tiêu:
Xây dựng lý thuyết giải thích sự phá hoại
(hay sự chảy dẻo đầu tiên) của vật liệu khi
chòu TTƯS phức tạp bằng cách đưa về bài
toán 1 chiều tương đương


I/ LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (tt)
1.3 Tiêu chuẩn chảy dẻo

 Dạng tổng quát:
 f ( σij ,ki ) = 0 : sự chảy dẻo đầu tiên xảy ra
trong đó: σ ij – trạng thái ứng suất, ki – các hằng
số của vật liệu như σ p, τ p được xác đònh bằng
thí nghiệm
 f ( σij ,ki ) < 0 : vật liệu vẫn còn đàn hồi
 f ( σij ,ki ) > 0 : không xác đònh
f = f(σ ij, k): là phương trình mặt chảy dẻo đầu
tiên


KHÔNG GIAN ỨNG SUẤT
HAIGH - WESTGAARD
m/p lệch
σ I+σ II+σ III = hs

σ III

P(σ I,σ II,σ III)

r
e1

cos −1

cos −1

σI

1
3

r
n

O

1
3

(sI, sII, sIII) Trục thủy tónh
N(p,p,p)

ξ

cos −1

1
3

σ II

σ I = σ II =σ III


KHÔNG GIAN ỨNG SUẤT
HAIGH – WESTGAARD (tt)
Một điểm trong không gian ứng suất HaighWestgaard, P(σ I,σ II,σ III), tương ứng với 1 TTƯS
Có thể phân thành 2 thành phần
uur uuu
r uur
OP = ON + NP

uuu
r
r 1 1 1 
n
ON
 Trục thủy tónh 
có:  , , ÷
uuu
r
 3 3 3

 Mặt phẳng lệch: ⊥ ON
σ I + σ II + σ III =

3ξ

 Trong không gian ư/s, tiêu chuẩn chảy dẻo:
f ( σ I , σ II , σ III ,k ) = 0


CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG
1/ Tiêu chuẩn ứng suất pháp cực đại (Rankine)
 Phát biểu: “Sự chảy dẻo xảy ra tại điểm có
ứ/s pháp cực đại đạt tới giá trò của ứng suất
nguy hiểm”
 Công thức:
f = max σ , σII , σIII ) − σp ≤ 0
 Đặc điểm: không để( ý I đến
các t/p ư/s chính
khác


CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG (tt)
2/ Tiêu chuẩn biến dạng dài cực đại (St. Venant)
 Phát biểu: “Vật liệu bắt đầu chảy dẻo khi
biến dạng dài chính cực đại đạt đến giá trò
bằng với biến dạng chảy dẻo, ε p = σ p/E”
 Công thức:

f = σe − σp = max σi − νσ j − νσk − σ p ≤ 0
i≠ j≠k

CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG (tt)
3/ Tiêu chuẩn mật độ năng lượng biến dạng
(Strain Energy Density Energy - Beltrami)
 Phát biểu: “Sự chảy dẻo xảy ra khi mật độ
năng lượng biến dạng tại một điểm bằng mật
độ năng lượng biến dạng lúc chảy dẻo khi kéo
(hoặc nén) 1 phương”
 Công thức:

f = [ σI + σII + σIII − 2ν ( σIσII + σIIσIII + σIIIσI ) ] − σ p2 ≤ 0
2

2

2

2


CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG (tt)
4/ Tiêu chuẩn ứng suất tiếp cực đại – Tresca
 Phát biểu: “Sự chảy dẻo xảy ra khi ứng suất
cắt cực đại đạt tới giá trò ứng suất cắt chảy
dẻo, kT, bằng phân nửa ứng suất pháp giới hạn
chòu kéo”
 Công thức:

max [ σI − σII , σII − σIII , σIII − σI ] ≤ 2k T
hay
(với kT = σ p/2)
f = ( σI − σII ) − 4k2T  ( σII − σIII ) − 4k2T  ( σIII − σI ) − 4k2T  ≤ 0
2

2

2


CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG (tt)
 Biểu diễn hình học: Trong không gian ứng suất
chính ( Haighwestgaard)  mặt chảy dẻo của
Tresca là một hình lăng trụ có trục trùng với trục
thủy tónh (có σ I = σ II = σ III). Tiết diện của lăng trụ
là hình bát giác đều cạnh, nội tiếp trong vòng
tròn bán kính với kT = σ p/2
 Giao tuyến của mặt tiêu chuẩn Tresca với mặt
phẳng σ x- τ xy có dạng ellipse:
σ 2x + 4τ 2xy = σ p2


CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG (tt)
Von Mises
σ III

Trục thủy tónh

σ II

Tresca
σp
σ II

σI

m/p π

−σ p

B(σ p, σ p)
C
A
σp σI


CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG (tt)
5/ Tiêu chuẩn von Mises
 Phát biểu: “Sự chảy dẻo xảy ra khi ứng suất
tiếp bát diện đạt tới giá trò ứng suất tiếp giới
hạn, kV bằng
ứng suất giới hạn chòu kéo”
1/ 3

 Công thức:

f = ( σI − σII ) + ( σII − σIII ) + ( σIII − σI ) − 6k2v ≤ 0

2

f = J2 − k2v ≤ 0

2

với k v =

2

1
σp
3


CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG (tt)
 Biểu diễn hình học: Trong không gian ứng
suất chính,  hình trụ tròn có trục trùng với trục
của lăng trụ Tresca, có mặt cắt ngang là vòng
tròn ngoại tiếp với hình bát giác của lăng trụ
Tresca
 Giao tuyến của mặt tiêu chuẩn von Mises với
mặt phẳng σ x- τ xy có dạng ellipse:
σ 2x + 3τ 2xy = σ p2


CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG (tt)
6/ Tiêu chuẩn của Mohr-Coulomb

 Công thức:
với

f = φ −1= 0

σI + σIII )
σI − σII
(
Φ=
cos Ψ +
tgψ
2c
2c

c- hệ số dính của đất; ψ - góc ma sát nội của đất
 Biểu diễn:  hình tháp


CÁC TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
THÔNG THƯỜNG (tt)
7/ Tiêu chuẩn Drucker- Prager
 Nếu t/chuẩn Mohr-Coulomb là sự tổng quát
hóa của tiêu chuẩn Tresca có xét đến ảnh
hưởng của ứ/s thủy tónh thì t/chuẩn DruckerPrager có thể xem là sự tổng quát hóa của
t/chuẩn von Mises có kể đến ư/s thủy tónh
1
 Công thức: f = Φ − 1 = 0 ; Φ =
J2 + αI1
kd
Với

6c cos Ψ
2sinΨ
kd =
; α=
3 ( 3 ± sin Ψ )
3 ( 3 ± sin Ψ )