Vành và môđun Cohen Macaulay

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
========o0o========

TRƯƠNG THỊ THÚY

VÀNH VÀ MÔĐUN COHEN - MACAULAY

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013


✐

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥
❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥
♥➭② ❧➭ ❤♦➭♥ t♦➭♥ tr✉♥❣ t❤ù❝✱ ❝❤➢❛ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ ❝❤♦ ❜➯♦ ✈Ö ♠ét ❤ä❝ ✈Þ ♥➭♦✳
◆❣✉å♥ t➭✐ ❧✐Ö✉ sö ❞ô♥❣ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢î❝ sù ➤å♥❣ ý ❝ñ❛
❝➳❝ ❝➳ ♥❤➞♥ ✈➭ tæ ❝❤ø❝✳ ❈➳❝ t❤➠♥❣ t✐♥✱ t➭✐ ❧✐Ö✉ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②
➤➲ ➤➢î❝ ❣❤✐ râ ♥❣✉å♥ ❣è❝✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✽ ♥➝♠ ✷✵✶✸

❍ä❝ ✈✐➟♥

❚r➢➡♥❣ ❚❤Þ ❚❤✉ý

❳➳❝ ♥❤❐♥
❝ñ❛ tr➢ë♥❣ ❦❤♦❛ ❝❤✉②➟♥ ♠➠♥

❳➳❝ ♥❤❐♥

❝ñ❛ ♥❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝

❚❙✳ ❚r➬♥ ◆❣✉②➟♥ ❆♥


✐✐

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝ñ❛
❚❙✳ ❚r➬♥ ◆❣✉②➟♥ ❆♥✳ ◆❤ê ❚❤➬② t➠✐ ➤➲ ❜➢í❝ ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈➭ s❛② ♠➟ tr♦♥❣
❝➠♥❣ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t♦➳♥✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝
tí✐ ❚❤➬②✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ❚❙✳ ▲➟
❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✱ ❚❙✳ P❤➵♠ ❍✐Õ♥ ❇➺♥❣ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ➤Ó t➠✐ ♥➽♠ ➤➢î❝
♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së✳ ❚➠✐ r✃t ❜✐Õt ➡♥ tr➢ê♥❣ ➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥
✈➭ tæ ➜➵✐ sè ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣
❝ñ❛ ♠×♥❤✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣✱
✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳


✐✐✐

▼ô❝ ❧ô❝

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

✶

✶

✷

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

✶✳✶ ❈❤✐Ò✉ ✈➭ ➤é ❝❛♦
✶✳✷
✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷
✸

❱➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②

✺

✷✳✶ ➜é s➞✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✷✳✷ ❱➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✸

❍Ö sè ❍✐❧❜❡rt ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛②

✸✳✶ ➜❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ✈➭ sè ❜é✐

✸✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷

✸✳✷ ❍Ö sè ❍✐❧❜❡rt t❤ø ✵ ✈➭ t❤ø ♥❤✃t ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✳ ✳ ✳ ✸✹
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷




ờ ó
ớ q trọ tr
số ớ ó ề ứ ụ tr ì ọ
số ý tết t ế ổ ợ ệ ợ
s từ ị ý trộ ủ ệ
ợ t ệ t tr trì
ủ sr s

(A, m) tr ị

M A ữ s ý ệ t ế q trọ depth M
ộ s ủ

M dim M ề ủ M ó depth M dimM ế

M ó r M

ế

M = 0

depth M = dimM ế tr ị A
tì t ó

A

trì ột số tí t tr ủ
ợ trì
ột số ế tứ sở ị ĩ ề ộ s ề r
ữ ụ t ữ ứ ợ trì
tr ị ĩ tí t ủ ố ồ ề ũ ợ
trì ủ ố
ột q trọ ủ ứ
ề P ị ĩ ề
ộ s ù tí t r ũ trì ị ĩ
í q tự í q P ủ t trì
tí t ứ ế
tì ột tứ

A

A[x1 , ..., xn ] ũ

ó t ì tr
trì ề ệ số rt ủ
ị ý tứ rt ệ số e0 e1 ũ ợ trì ở

ế tứ ị

r sốt ũ tr t tết

A

ó ị ỉ ột số ế tứ tết ể
trì s



ề ộ

ị ĩ

ột tự sự tố

p0 p1

p2 ... pn ủ A ợ ọ ột í tố ó ộ
tr ú ủ ộ tt í tố tr
r ủ

A ợ ọ ề

A ề ủ A í ệ dim A

ị ĩ

tr ú ủ ộ tự sự

tố

p = p0 p1 p2 ... pr
t t từ
ủ

p ợ ọ ộ ủ p í ệ ht p I ột

A ộ ủ I,í ệ ht I ợ ở tứ ht I =

inf{ht p | p V (I)} tr ó V (I) t tố ủ A ứ
I
ị ĩ



M ột A ó ề ủ M í ệ

dim M ợ ị ở dim M = dim(A/ Ann M ), tr ó Ann M =
{a A | aM = 0}.



ú ý r ề ủ ột ữ s tr ị
ột số ữ

ệ ề ế


(A, m) ột ị tì dim A = ht m.

p ột tố ủ A ó dim Ap = ht pAp =

ht p
ị ý sử
sử

: A B

ột ồ ủ tr

q Spec(B) t p = q A ó
ht(q) ht p + ht(q/pB).



= r ế ồ

ị ĩ

tố



q p tố ủ A ột

q = p0 p1 . . . pn = p s pi = pi+1 ợ ọ

ột tố ò ữ

q p ế ớ ọ i tồ t ột

tố ữ pi pi+1 .
ó r

A

tr

ế ớ ọ tố

q p ủ

R tồ t ột tố ữ q p ọ tố
ữ


q p ề ó ộ

A ợ ọ

tr ổ ụ

ế

A tr ọ

A số ữ s tr
tr

A tr ổ ụ ế A tr

A[x1 , ..., xn ] tr ớ ọ n 0.


ố ồ ề ị

ị ĩ

I ủ A ớ ỗ A N t ị ĩ

(0 :N I n ). ế f : N N ồ A tì t

I (N ) =

n0

ó ồ

f : I (N ) I (N ) ở f (x) = f (x). ó I ()

tử ớ tr từ trù
ợ ọ tử

I

A ế trù A



ột ộ ủ

M ột ớ

0 M E0 E1 E2 . . .
tr ó ỗ

Ei ộ ú ý r ớ ỗ ề ú

ợ ột ộ ì tế ỗ ề ó ộ
ị ĩ

st tứ



N A I ủ A.

n ủ tử I I () ứ ớ M ợ ọ

ố ồ ề tứ

n ủ N í ệ HIn (M ). ụ tể ế
u

u

0
1
0 N E0
E1
E2 . . .

ộ ủ

N, t ộ tử I () t ó ứ
u

u

0
1
0 (E0 )
(E1 )
(E2 ) . . .

ó

HIn (N ) = Ker un / Im un1 ố ồ ề tứ n ủ ứ

tr ó ụ tộ ệ ọ ộ ủ

N

tí t ủ ố ồ ề ị
ệ ề

M

ột

A

HI0 (M )
= I (M ).
M

ế

ộ tì

HIn (M ) = 0 ớ ọ i 1.

I tứ M = I (M ) tì HIn (M ) = 0 ớ i 1.
n
ớ M = M/I (M ) t ó HI (M )
= HIn (M ) ớ n 1.

ế

ế

M

0 M M M 0

ớ tì ớ ỗ

n ó ồ ố HIn (M ) HIn+1 (M ) s t ó ớ
0 I (M ) I (M ) I (M ) HI1 (M )
HI1 (M ) HI1 (M ) HI2 (M ) . . .
ết q s ó r ề ủ ột ó tể tr t
q tí trệt t trệt t ủ ố ồ ề ị
ệ ề

dim M

ọ

I

ủ

A

ó

HIi (M ) = 0

i < 0. ệt
dim M = Sup{i | Hmi (M ) = 0}.

ớ ọ

i >







r sốt t tết ó ị



ộ s ủ

ị ĩ

sử

ột tử ủ




A ột M ột A a1 , ..., ar

A. ó a1 , ..., ar ột M í q

M ế ề ệ s tỏ

M = (a1 , ..., ar )M.

ớ ỗ

i > 0
M
M
a1

(a1 , ...ai1 )M
(a1 , ..., ai1 )M

ột ĩ a1 ớ ủ tr
ớ

M/(a1 , ..., ai1 )M

1 i n.

ế a1 , ..., ar ột
í q ớ
ột

M

M í q tì a1 , ...ai ũ ột M

i r tt ai tộ I t ó a1 , ..., ar

í q tr

ữ ế tồ t

b I s

a1 , ..., ar , b M í q ó a1 , ...ar ợ ọ ột M
í q tố tr I ế
í q tr

M ỉ ó í q tr N

ổ ề ột


a1

í q tr

M N A ó ột

a1 , ..., ar

M



ớ

r 2

a2 , ..., ar



ột

M

í q ỉ

M/a1 M í q

ế


✻
❞➲②

a1 , ..., ar

M✲

❧➭ ♠ét

❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣

I

t❤×

a2 , ..., ar

❧➭ ♠ét

M/a1 M ✲ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ I ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❱í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥

a ⊆ b✱ tå♥ t➵✐ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❝ñ❛ A✲ ♠➠➤✉♥

M/bM ∼
= N/bN ✈í✐ N = M/aM ✳ ◆Õ✉ a1 , ..., ar ❧➭ M ✲ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② t❤×
a1 ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ M ✱ a2 ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ N = M/a1 M ✈➭ ✈í✐ 3 ≤ i ≤ r✱ ai
❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥

M/(a1 , ..., ai−1 )M ∼
= N/(a2 , ..., ai−1 )N.
❉♦ ➤ã a1 , ..., ar ❧➭ ♠ét

N − ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ➜✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣

tù✳
❚æ♥❣ q✉➳t ❤➡♥✱ ♥Õ✉ a1 , ..., ar ❧➭ ♠ét

M − ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ t❛ ➤➷t

N = M/(a1 , ..., ar )M.
◆Õ✉ b1 , ..., bs ❧➭ ♠ét

N − ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② t❤× a1 , ..., ar , b1 , ..., bs ❧➭ ♠ét M −

❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✳
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✸✳ ◆Õ✉
♣❤➻♥❣ t❤×

a1 , ..., ar

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❧➭

a1 , ..., ar

❧➭ ♠ét

❝ò♥❣ ❧➭

A− ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ M

❧➭ ♠ét

A✲ ♠➠➤✉♥

M − ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐ (a1 , ..., ar )M = M ✳

P❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜➟♥ tr➳✐ ✈í✐ a1 ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét ➤➡♥ ❝✃✉

A → A ✈× a1

A✲ ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❚❡♥s♦r ✈í✐ M ✈➭ ✈í✐ M ❧➭ ♣❤➻♥❣ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥

❜➟♥ tr➳✐ ✈í✐ a1 ❝ò♥❣ ❝❤♦ ♠ét ➤➡♥ ❝✃✉

M → M ✳ ❚➢➡♥❣ tù t❡♥s♦r ✈í✐ ➤➡♥ ❝✃✉

a2 ✿ A/a1 → A/a1 t❛ ➤➢î❝ ♠ét ➤➡♥ ❝✃✉ M/a1 M → M/a1 M ✳✳✳
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✹✳ ❈❤♦

n≥1
❧➭

A

❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ✈➭

❝❤♦ tr➢í❝✱ ♠ét ❞➲②

a1 , ..., ar

❧➭

M

❧➭ ♠ét

M−

A✲

♠➠➤✉♥✳ ❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥

❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã

M n ✲ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

♥ã ❧➭

●✐➯ sö r➺♥❣ ❞➲② a1 , ..., ar ❧➭

M ✲ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

M n ✲ ❝❤Ý♥❤ q✉② t❤❡♦ q✉② ♥➵♣ ✈í✐ r✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ r = 1 ❤✐Ó♥

♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣✳ ●✐➯ sö

r > 1✳ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣✱ ❞➲② a1 , ..., ar−1 ❧➭ M n ✲

❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ➜➷t

L = (a1 , ..., ar−1 )M ✳ ❑❤✐ ➤ã (a1 , ..., ar−1 )M n = Ln


✼
✈➭ tå♥ t➵✐ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝ñ❛

A−♠➠➤✉♥ M n /Ln ∼
= (M/L)n ✳ ❚❛ ❝➬♥ ❝❤Ø r❛

r➺♥❣ ar ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ (M/L)n ✳ ❉Ô t❤✃② ♥ã ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ M/L✳ ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥

(a1 , ..., ar )M n = M n ✱ ❞♦ ➤ã ❞➲② a1 , ..., ar ❧➭ M n ✲ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ➜✐Ò✉ ♥❣➢î❝
❧➵✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù✳

A

❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✺✳ ❈❤♦

a1 , ..., ar ∈ A✳
➤➵✐

◆Õ✉

M

❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣✱

a1 , ..., ar ∈ Am

m ❝ñ❛ A t❤× ❞➲② a1 , ..., ar

❧➭

❧➭

Mm ✲

❧➭ ♠ét

A−

♠➠➤✉♥ ✈➭

❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ tè✐

M ✲ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞ù❛ ✈➭♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈í✐ ♠ét A✲ ♠➠➤✉♥ M ❝❤♦ tr➢í❝✳

▼ét ♣❤➬♥ tö

a ∈ A ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ M ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ➯♥❤ ❝ñ❛ ♥ã tr♦♥❣ Am

❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥

Mm ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ m ❝ñ❛ A✳

❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✻✳ ●✐➯ sö ❞➲②
✈í✐

a1 , .., ar ❧➭ M − ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ a1 ξ1 +...+ar ξr = 0

ξi ∈ M ✳ ❑❤✐ ➤ã ξi ∈ (a1 , ..., ar )M

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✈í✐ ♠ä✐ i✳

●✐➯ sö ❣✐➯ t❤✐Õt ➤ó♥❣ ✈í✐

r − 1✳ ❱×✿

a1 ξ1 + ... + ar−1 ξr−1 + ar ξr = 0
♥➟♥ ar ξr

(∗)

= 0 tr♦♥❣ M/(a1 , ..., ar−1 )M. ◆❤➢♥❣ ❞♦ ar ❧➭ M/(a1 , ..., ar−1 )M −

❝❤Ý♥❤ q✉② ♥➟♥ ξr

= 0 ❤❛② ξr ∈ (a1 , ..., ar−1 )M ✳ ❱× t❤Õ✿
ξr = a1 η1 + ... + ar−1 ηr−1 ;

ηi ∈ M.

❉♦ ➤ã✱ t❤❛② ✈➭♦ ✭✯✮

a1 ξ1 + ... + ar−1 ξr−1 + ar (a1 η1 + ... + ar−1 ηr−1 ) = 0
⇒ a1 (ξ1 + ar η1 ) + ... + ar−1 (ξr−1 + ar ηr−1 ) = 0.
❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣✿ ξi

+ ar ηi ∈ (a1 , ..., ar−1 )M ♥➟♥

ξi ∈ (a1 , ..., ar )M ; ∀i = 1, r − 1.

ị ý

A ột M

ột

A a1 , ..., ar



M í q ó ớ ỗ n1 , ..., nr



a1 n1 , ..., ar nr

ứ





số

M í q

ỉ ứ an
1 , ..., ar

M í q ủ

ớ

n = 1 ể ú

ớ

n > 1 sử ú tr trờ ợ n 1, ĩ an1
1 , ..., ar M

í q
ì a1 , ..., ar M í q (a1 , ..., ar )M

= M ó (an1 , ..., ar )M =

M i > 1 sử an1 , ..., ai1 M í q ứ
ai

M/(an1 , ..., ai1 )M í q ì
M
M
a1

(a1 , ..., ai1 )
(a1 , ..., ai1 )M

M
M
an1

(an1 , ..., ai1 )
(an1 , ..., ai1 )M

ũ
ứ Ker ai
ớ

i = 2, ..., n

sử


= 0 ai ớ ủ tr M/(ar1 , ..., ai1 )M

M s ai = an1 1 + ... + ai1 i1 ớ i M ì ar1 , ..., ai1

M í q t tết q tồ t 1 , ..., i1 M s



= ar1 1 + ...ai1 i1 .
ì tế

0 = a1 (ar1 1 ai 1 ) + a2 (2 ai 2 ) + ... + ai1 (i1 ai i1 ).
ổ ề
s r 1

(ar1
1 1 ai 1 ) (a1 , ..., ai1 )M (ai 1 ) (a1 , ..., ai1 )M

(a1 , ..., ai1 )M ì a1 , ..., ai M ó (ar1 , ..., ai1 )M

= 0 ai tr M/(ar1 , ..., ai1 )M ar1 , ..., an ột

M í q ị ý ợ ứ



sử

A ột M ột A t M [x1 , ..., xn ]

tứ ủ

x1 , ..., xn ớ ệ số tộ M ớ t ỳ f (x1 , ..., xn )

M [x1 , ..., xn ] (a1 , ..., an ) An t ó tể ị ợ ột tử ủ
M tổ ữ s
a1 1 ...ann

f (a1 , ..., an ) =
Nn

ớ ỗ tử

r A h M [x1 , ..., xn ]

(f + h)(a1 , ..., an ) = f (a1 , ..., an ) + h(a1 , ..., an ).
(rf )(a1 , ..., an ) = r.f (a1 , ..., an ).
ớ ỗ

I tr A A IM [x1 , ..., xn ] ứ tt

tứ ệ số ủ ó tộ

A IM M

ú t sẽ ị ĩ ết
ột

A

I ột ủ A ó ó
GI (A) = A/I I/I 2 I 2 /I 3 ...

ột ớ ỗ

A M t ó GI (A)



GI (M ) = M/IM IM/I 2 M I 2 M/I 3 M ...
ế

A tr M ột A ữ s tì grI (A) ột

tr

GI (M ) ột GI (A) ữ s

trớ tử

a1 , ..., an A I = (a1 , ..., an ) t ị

ột ó
t t ớ m

: M [x1 , ..., xn ] GI (M ) s ế f

0 (f ) ủ f (a1 , ..., an ) tr I m M/I m+1 M

ề ị ột ó
ì

M [x1 , ..., xn ]m I m M/I m+1 M

(IM [x1 , ..., xn ]) = 0 ó s ột ủ ó

: (M/IM )[x1 , ..., xn ] = M [x1 , ..., xn ]/IM [x1 , ..., xn ]I GI (M ).
ệ ề

A ột M

ột

A a1 , ..., an

A t I = (a1 , ..., an ) ó ề ệ s t




(i) ớ m > 0 ớ ỗ tứ t t f (x1 , ..., xn ) M [x1 , ..., xn ]


m s f (a1 , ..., an ) I m+1 M t ó f IM [x1 , ..., xn ]

(ii)

ế

f (x1 , ..., xn ) M [x1 , ..., xn ]

tì ệ số ủ

(iii)

f

tộ

t t

f (a1 , ..., an ) = 0

IM

ủ ó

(M/IM )[x1 , ..., xn ] GI (M )



ị ở ế ột tứ t t f (x1 , ..., xn ) m tớ f (a1 , ..., an )

I m M/I m+1 M
ứ

ột

(i) (iii) (i) (ii) ể ể ứ (ii)

(i) t f M [x1 , ..., xn ] ột tứ t t m sử
f (a1 , ..., an ) I m+1 M ỗ tử t ỳ tộ I m+1 M ó tể ợ ết
ớ tổ ủ số

a1 1 ...ann a ớ

i = m + 1
i

a M. ó tể ết f (a1 , ..., an ) = g(a1 , ..., an ) ớ g tứ t
t

m tộ M [x1 , ..., xn ] tt ệ số ủ ó tộ IM ó

(f g)(a1 , ..., an ) = 0 t (ii) tì ệ số ủ f g tộ IM. ó
ệ số ủ

f tộ IM

ị ĩ

a1 , ..., an A



A ột M ột A ột

tự í q

ế ó tỏ ề ệ t

ủ ệ ề
r ớ ột
í ệ

A M ột N M x A

(N : x) {m M |xm N } ột ủ M ế

A ột I ột M ột A ó M
tr

t

I t ế n I n M = 0

ị ý

A

ột

M

ột

A



a1 , ..., an A I = (a1 , ..., an ) ó
(i) ế a1 , ..., an M tự í q x A s (IM :M x) = IM
tì

I m M :M x = I m M
(ii) ế a1 , ..., an
(iii)

t

ế

ớ ọ

m > 0

M í q tì ó M tự í q

M, M/a1 , M/(a1 , a2 )M, ..., M/(a1 , ..., an1 )M

I tì ợ ủ (ii) ũ ú

t tr




✶✶
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

(i) ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ m✳ ❱í✐

m = 1 ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✳ ●✐➯ sö m > 1✱ ξ ∈ M ✈➭ xξ ∈
I m M ⊆ I n−1 M ✳ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤× ξ ∈ I m−1 M ✳ ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét
➤❛ t❤ø❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t
❱×

f ∈ M [x1 , ..., xn ] ❜❐❝ m − 1 s❛♦ ❝❤♦ ξ = f (a1 , ..., an )✳

xξ = xf (a1 , ..., an ) ∈ I m M ♥➟♥ ❝➳❝ ❤Ö sè ❝ñ❛ f t❤✉é❝ (IM : x)✳ ❉♦ ➤ã

ξ = f (a1 , ..., an ) ∈ I m M ✳

(ii) ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ n✳ ❱í✐ n = 1 ❤✐Ó♥
♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣✳ ❈❤♦

n > 1 ✈➭ ❣✐➯ sö a1 , ..., an ❧➭ M − ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❑❤✐

➤ã t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤×

a1 , ...an−1 ❧➭ M − ❞➲② tù❛ ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❈❤♦

f ∈ M [x1 , ..., xn ] ❧➭ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✈í✐ ❜❐❝ m > 0 s❛♦ ❝❤♦f (a1 , ..., an ) = 0✳
❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣
❚r➢ê♥❣ ❤î♣

f ∈ IM [x1 , ..., xn ] ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ m✳

m = 0 ❧➭ t➬♠ t❤➢ê♥❣✳ ❚æ♥❣ q✉➳t✱ t❛ ✈✐Õt✿
f (x1 , ..., xn ) = g(x1 , ..., xn−1 ) + xn h(x1 , ..., xn ).
⇒ xn h(x1 , ..., xn ) = −g(x1 , ..., xn−1 ).

❚r♦♥❣ ➤ã

g ✈➭ h ❧➭ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✈í✐ ❜❐❝ m ✈➭ m − 1 t➢➡♥❣ ø♥❣✳ ❚❤❡♦ (i) t❛ ❝ã✿

h(a1 , ..., an ) ∈ ((a1 , ..., an−1 )m M : an ) = (a1 , ..., an−1 )m M ⊆ I m M.
❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt a1 , ..., an ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ M ✱ ❞♦ ➤ã an ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ M/(a1 , ..., an−1 )M
✈➭

((a1 , ..., an−1 )M : an ) = (a1 , ..., an−1 )M ✳ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ m

✈➭ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✽ t❛ ❝ã h

♥➟♥ tå♥ t➵✐ H

∈ IM [x1 , ..., xn ] ✳ ❉♦ h(a1 , ..., an ) ∈ (a1 , ..., an−1 )m M

∈ M [x1 , ..., xn−1 ] ❧➭ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✈í✐ ❜❐❝ m s❛♦ ❝❤♦ h(x1 , ..., xn ) =

H(x1 , ..., xn−1 )✳ ➜➷t✿
G(x1 , ..., xn−1 ) = g(x1 , ..., xn−1 ) + xn h(x1 , .., xn ) = 0.
❱❐②

G ❝ã ❜❐❝ m tr♦♥❣ M [x1 , ..., xn−1 ]. ❚❛ ❝ã G(a1 , ..., an−1 ) = 0✱ ❱× ✈❐② tõ

❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ ✈í✐
s✉② r❛

n✱ t❛ ❝ã G ∈ IM [x1 , ..., xn ]✱ ❞➱♥ ➤Õ♥ h ∈ IM [x1 , .., xn ]

f ∈ IM [x1 , ..., xn ]✳

(iii) ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ n ≥ 1✳ ●✐➯ sö r➺♥❣
a1 , ..., an ❧➭ M ✲ tù❛ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ M, M/a1 M, ..., M/(a1 , ..., an−1 )M


✶✷
❧➭ t➳❝❤ t❤❡♦ t➠♣➠

I−❛❞✐❝ ✳ ◆Õ✉ a1 ξ = 0 t❤× ξ ∈ IM ✱ ❞♦ ➤ã ξ =

ai ηi ✈➭

a1 ai ηi = 0 ♥➟♥ ηi ∈ IM ✈➭ ξ ∈ I 2 M ✳ ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ♥➭② t❛ t❤✃② r➺♥❣
ξ ∈ ∩ I t M = 0✳ ▼➷t ❦❤➳❝ M = IM t❤❡♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t➳❝❤✳ ◆❤➢ ✈❐② a1 ❧➭
i

❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥

M ✳ ●✐➯ sö n > 1✳ ❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✷ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

a2 , ..., an ❧➭ ♠ét ❞➲② N ✲ ❝❤Ý♥❤ q✉②✱ ✈í✐ N = M/a1 M ✳ ❉♦ tå♥ t➵✐ ♠ét ➤➻♥❣
❝✃✉ ❝➳❝

A✲ ♠➠➤✉♥ ✈í✐ 2 ≤ i ≤ n − 1
M/(a1 , ..., ai )M ∼
= N/(a2 , ..., ai )N

♥➟♥ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥

N, N/a2 N, ..., N/(a2 , ..., an−1 )N ❧➭ t➳❝❤ t❤❡♦ t➠♣➠ I−❛❞✐❝✳

❱❐② t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞➲②

a2 , ..., an ❧➭ N ✲ tù❛

❝❤Ý♥❤ q✉②✳
❚❛ sÏ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♥Õ✉ f (x2 , ..., xn
✈í✐

∈ M [x2 , ..., xn ]) ❧➭ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❜❐❝ m ≥ 1

f (a2 , ..., an ) ∈ a1 M t❤× ❝➳❝ ❤Ö sè ❝ñ❛ f t❤✉é❝ IM ✳ ➜➷t f (a2 , ..., an ) =

a1 ω ✳ ❚❛ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ r➺♥❣ ω ∈ I m−1 M ✳ ❈❤♦ 0 ≤ i ≤ m − 1 ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥
♥❤✃t ✈í✐

ω ∈ I i M ✳ ❉♦ ➤ã ω = g(a1 , ..., an ) ✈í✐ ➤❛ t❤ø❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❜❐❝ i ✈➭
f (a2 , ..., an ) = a1 g(a1 , ..., an ).

◆Õ✉
♥➟♥

i < m − 1 t❤× g ∈ IM [x1 , ..., xn ] ✈➭ ω ∈ I i+1 M ➤✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥
i = m − 1✱ ❞♦ ➤ã ω ∈ I m−1 M ✳ ❚❛ t❤✃② r➺♥❣✿
f (x2 , ..., xn ) − x1 g(x1 , ..., xn ) ∈ IM [x1 , ..., xn ].

❱×

f ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ x1 ♥➟♥ t❛ ❝ã f ∈ IM [x1 , ..., xn ]✳
➜Þ♥❤ ❧ý ❝❤Ø r❛ r➺♥❣✿ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt

q✉② ❧➭

M ✲ ❝❤Ý♥❤ q✉②✳

❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✶✶✳ ❈❤♦
s✐♥❤ ✈➭

a1 , ..., an

A ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱ M

❝❤ø❛ tr♦♥❣ ❝➝♥ ❏❛❝♦❜s♦♥ ❝ñ❛

❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❧➭
❧➭

(iii) t❤× ❤♦➳♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠ét ❞➲② M ✲ ❝❤Ý♥❤

❧➭ ♠ét

A✳

A− ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥

❑❤✐ ➤ã

a1 , ..., an

❧➭

M−

M − tù❛ ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥Õ✉ a1 , ..., an

M − ❝❤Ý♥❤ q✉② t❤× ❤♦➳♥ ✈Þ ❝ñ❛ ❞➲② ❝ò♥❣ ❧➭ M − ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❱× I ♥➺♠ tr♦♥❣ ❝➝♥ ❏❛❝♦❜s♦♥ ♥➟♥ t➠♣➠ I−❛❞✐❝ tr➟♥ ❝➳❝ A−♠➠➤✉♥

❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❧➭ t➳❝❤ ➤➢î❝✳

ú ý ế

A ột tr M ột A ữ s

tì t ỳ

M í q a1 , ..., an A sẽ t r ột t tự sự




a1 M (a1 , a2 )M ... (a1 , ..., an )M ó

(a1 ), (a1 , a2 ), ..., (a1 , ..., an ) t tự sự

ổ ề


M

í q

A

ột tr

a1 , ..., an

tr

I

M

ột

A

t ỳ

ũ ó tể ở rộ t

M í q tố tr I
ứ

ế a1 , ..., an tố tr I t ó tể an+1

a1 , ..., an , an+1 ột

I s

M í q ế tụ t ợ ột

t

(a1 ) (a1 , a2 ) (a1 , a2 , a3 ) ...
ì

A tr tr ừ ừ M í q tố

tr I
ị ý
s

I

A

ột tr

ột ủ

M



A

ữ

A ớ IM = M n > 0 ột số

ó ệ ề s t

(i) ExtiA (N, M ) = 0

ớ ọ

i < n N



A

ữ s ớ

Supp(N ) V (I)
(ii) ExtiA (A/I, M ) = 0 ớ ọ i < n
(iii)

ồ t

N



A

ữ s ớ

Supp(N ) = V (I)



ExtiA (N, M ) = 0 i < n
(iv) ồ t ột M í q tr I
ứ

ó ộ

n

(i) (ii) (iii) ể ớ I ố ị ớ ọ

M ữ s IM = M t ứ (iii) (iv)
0
q t n ó 0 = Ext (N, M )
= HomA (N, M ) M ữ
A

s t tố ết ủ
rỗ ế ó tử ủ

M ữ

I M í q tì I ứ

tr ợ ủ tố ết ó

I p ớ p Ass(M )


✶✹
❱×

p ∈ Ass(M ) ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ♠ét ➤➡♥ ❝✃✉ ❝ñ❛ A− ♠➠➤✉♥ φ : A/p → M ✳ ❚❛

❝ã ➤➻♥❣ ❝✃✉

A− ♠➠➤✉♥
(A/p)p ∼
= A/p⊗A Ap ∼
= Ap /pAp = k.

➜➞② ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝ñ❛ ❝➳❝

Ap − ♠➠➤✉♥✳ ❉♦ φp ❧➭ ♠ét ➤➡♥ ❝✃✉ ✈➭

k = 0 ♥➟♥ HomAp (k, Mp ) = 0✳ ❱× p ∈ V (I) = Supp(N ) t❛ ❝ã Np = 0
✈➭

k ✲ ♠➠➤✉♥ Np /pNp = 0 ❞♦ ➤ã tù ❞♦✳ ❱❐② Homk (Np /pN p, k) = 0✳ ❱×
k∼
= (A/p)p ♥➟♥
HomA (N, A/p)p ∼
= HomAp (Np , (A/p)p ) = 0.
❱×

A/p ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tí✐ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ♥➟♥ HomA (N, M ) = 0✱ ➤✐Ò✉

♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö
❤î♣

M ✲ ❝❤Ý♥❤ q✉② a1 ∈ I ✳ ❱❐② tr➢ê♥❣

n = 1 ➤ó♥❣✳ ◆Õ✉ n > 1✱ t❛ ➤➷t M1 = M/a1 M ✳ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣
a1

0 → M → M → M1 → 0

(3)

t❛ ❝ã ♠ét ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐

... → ExtiA (N, M ) → ExtiA (N, M1 ) → Exti+1
A (N, M ) → ...
❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã
t➵✐ ♠ét ❞➲②
❞➲②

ExtiA (N, M1 ) = 0 ✈í✐ 0 ≤ i < n − 1✳ ❉♦ ➤ã tå♥

M1 − ❝❤Ý♥❤ q✉② a2 , ..., an tr♦♥❣ I ✳ ❑❤✐ ➤ã ❞➲② a1 , ..., an ❧➭ ♠ét

M − ❝❤Ý♥❤ q✉② tr♦♥❣ I ✳

❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
➤Þ♥❤✳ ❚r➢ê♥❣ ❤î♣
❝ã ♠ét ❞➲② ❦❤í♣

(iv) ⇒ (i) ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ n ✈í✐ I ❝è

n = 1✱ t❛ ❝ã a1 ∈ I ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ M ✈➭ ❞➲② ❦❤í♣ ✭✸✮ t❛
R✲ ♠➠➤✉♥
a1

0 → HomA (N, M ) → HomA (N, M ).

❱×
✈í✐

Supp(N ) = V (Ann(N )) ⊆ V (I) ♥➟♥ I ⊆

Ann(N ) ✈➭ ❞♦ ➤ã ar1 N = 0

r > 0✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❞➱♥ ➤Õ♥ ar1 ❧➭♠ tr✐Öt t✐➟✉ HomA (N, M )✱ ♥❤➢♥❣ ✈× t➳❝

➤é♥❣ ar1 ❧➟♥ HomA (N, M ) ❝❤♦ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ➳♥❤✱ ❞➱♥ ➤Õ♥ HomA (N, M )

=

0✳ ●✐➯ sö n > 1✱ a1 ❧➭ M − ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ a2 , ..., an ❧➭ M/a1 M − ❞➲② ❝❤Ý♥❤
q✉②✳ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣✿
a

r

1
0 −→ M −→
M −→ M/a1 M −→ 0

(∗)



a2 , ..., an

M/a1 M í q t tết q t ó

ExtiA (N, M/at1 M ) = 0, i < n 1, i 0.

ì tế từ ớ

() t ó
ar

1
ExtiA (N, M )
ExtiA (N, M/at1 M )



0 i n 1 ớ i = n 1. ì ar1 Ann N

tr
ệ q

I

ột ủ

q tố tr
ứ

I

i < n. ExtiA (N, M ) = 0, i < n.

A ột tr M

M
tì

ớ

IM = M

ế



A ữ s

a1 , ..., an

ột

M

í

ExtiA (A/I, M ) = 0 ớ i < n ExtnA (A/I, M ) = 0

ết r

ExtiA (A/I, M ) = 0 ớ i < n ớ I ố ị

M ữ s t ỳ ớ IM = M tồ t ột M í
q tố ó ộ

r

n ứ q t n

ExtnA (A/I, M ) = 0 ớ n = 1 t ó a1 I í q tr M t ó

ớ ớ

M1 = M/a1 M ớ t ứ

Ext0A (A/I, M ) Ext0A (A/I, M1 ) Ext1A (A/I, M ).
ị ý tì

Ext0A (A/I, M ) = 0 ó HomA (A/I, M1 ) =

Ext0A (A/I, M1 ) = 0 ì ế HomA (A/I, M1 ) = 0 tì t ứ
(iii) (iv) ở tr tồ t b I í q tr M1 a1 , b ột


M í q ề t ì a1 tố ừ ó é t

Ext1A (A/I), M = 0
sử

n > 1 a1 , ..., an M í q tố tr I

ó a2 , ..., an
tì

M1 í q tr I t tết q

n1
ExtA
(A/I, M1 ) = 0 ừ ớ ủ t ó ExtnA (A/I, M ) =

0
ề ệ ủ ệ q tì ỗ

M í q tố tr I ó

ù ộ ú t ó tể tì ộ tì ột ó





HomA (A/I, M ), Ext1A (A/I, M ), Ext2A (A/I, M ), ..., ExtnA (A/I, M ), ...
ế tồ t
ó ớ n
tứ

M í q tr I tì tr sẽ t ớ n 1

1 ộ ủ M í q tố ó

n sẽ ú t ề ế ò ủ ú

ý r t ỳ

M í q ũ ó tể ợ ở rộ t ột

tố ó ộ

1 tồ t M í q tr I

ỉ số t ủ
ị ĩ

s
ủ



A ột tr M ột A ữ

I ột ủ M ế IM = M t ị ĩ I ộ

s

M
depthI (M ) = inf{i| ExtiA (A/I, M ) = 0}.

depthI (M ) = 0 ỉ tồ t M í q tr I
ữ ó ộ ủ tt
tr

M í q tố

I t ứ sr ủ ộ M í q tr

I q ớ depthI (M ) = ế IM = M depthI (0) = 0
ó ù

I ộ s (A, m) ột ị tì t ết

depthm (M ) depth(M ) depthA (M ) ọ ộ s ủ M


depth(M ) = ỉ M = 0 depth(M ) = 0 ỉ

m Ass(M )
ổ ề

: A B
M

tr ị

ột t ị ủ

ột

B

ữ s

ó

depthA (M ) = depthB (M )
ứ

ể

depthA (M ) = ỉ depthB (M ) =

ú t ó tể sử ộ s ề ữ trớ ột
tử

a1 , ..., an mA ể r ú M í

q ỉ
ột

(a1 ), ..., (an ) mB M í q ớ

M í q b1 , ..., bn trớ t ó tể ọ ị


✶✼

a1 , ..., an ∈ mA ✈➭ ➤ã ❝ò♥❣ ❧➭ ❞➲② M − ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ◆❤➢ ✈❐② depthA (M ) =
depthB (M )✳
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✶✼✳ ❈❤♦

A

M

❧➭ ♠ét

✈➭ sè ♥❣✉②➟♥

n ≥ 1

❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈➭

s✐♥❤✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ❜✃t ❦ú ✐➤➟❛♥

I

A✲

♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥

t❛ ❝ã

depthI (M ) =

depthI (M n )✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ❝ã

IM n = (IM )n ✱ ✈❐② depthI (M ) = ∞ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

depthI (M n ) = ∞✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❤÷✉ ❤➵♥✱ t❤× ❦Õt q✉➯ ➤➢î❝ s✉② r❛ tõ ❇æ
➤Ò ✷✳✶✳✹✳
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✶✽✳ ❈❤♦
s✐♥❤ ✈➭

p

A

❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱

❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❑❤✐ ➤ã

M

❧➭ ♠ét

A✲

♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥

depthAp (Mp ) = 0

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

p ∈ AssA (M )✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ❝ã depthAp (Mp )

♥➭② ①➯② r❛ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✶✾✳ ❈❤♦

A

p ∈ AssA (M )✳

❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱

➤ã ✈í✐ ❜✃t ❦ú ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✈➭

◆Õ✉

= 0 ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ pAp ∈ AssAp (Mp )✱ ➤✐Ò✉

M

❧➭

A✲

♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐

p t❛ ❝ã depthAp (Mp ) ≥ depthp (M )✳

depthp (M ) = ∞ t❤× pM = M ✳ ❉♦ ➤ã (pAp )Mp = Mp

depthAp (Mp ) = ∞✳ ◆Õ✉ depthAp (Mp ) = 0 t❤× pAp ∈ Ass(Mp )✱ ➤✐Ò✉ ♥➭②

❝❤Ø ①➯② r❛ ❦❤✐

p ∈ Ass(M )✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ HomA (A/p, M ) = 0✳ ❉♦ ➤ã

depthp (M ) = 0✳ ◆❤➢ ✈❐② t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ①Ðt depthAp (Mp ) = n ✈í✐ 0 < n < ∞
✈➭

pM = M ✳ ❚❛ ❝ã ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ i ≥ 0
ExtiAp ((A/p)p , Mp ) ∼
= ExtiA (A/p, M )p .

▼➷t ❦❤➳❝ t❛ ❝ã ➤➻♥❣ ❝✃✉

(A/p)p ∼
= Ap /pAp ♥➟♥ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✉②Õt
ExtnAp (Ap /pAp , Mp ) = 0.

❚õ ➤ã s✉② r❛

ExtnA (A/p, M ) = 0✳ ❉♦ ➤ã depthp (M ) ≤ n✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✷✵✳

❈❤♦

A ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ M ❧➭ ♠ét A✲ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉

❤➵♥ s✐♥❤✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜❐❝ ❝ñ❛ M ✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ grade(M )✱ ❧➭ depthI (A) ✈í✐ I

Ann(M ) ó grade(M ) = ỉ M = 0

ó ù
ế

I ột ủ A t ọ grade(A/I) = depthI (A)

ủ

I í ệ G(I) ủ A ủ I ộ
ủ

A í q tố tr I ế tồ t

ổ ề

A ột tr M



A ữ s

ó

grade(M ) = inf {i| ExtiA (M, A) = 0}.
ứ

t

I = Ann(M ) ì M A/I ề A ữ

s ó ù
ó

V (I) t ị ý tì ớ t ỳ n > 0 t

ExtiA (A/I, A) = 0 ớ i < n ỉ ExtiA (M, A) = 0 ớ i < n

ệt

Ext0A (M, A) = 0 ỉ Ext0A (A/I, A) = 0 ị

ĩ

grade(M ) = depthI (A) = inf {i| ExtiA (M, A) = 0}.
ổ ề ợ ứ
ết q s tổ qt ó ị í í ủ r
ổ ề

A

tr

ó ọ tố tố tể ủ

a1 , ..., ar

(a1 , ..., ar )

A

í q

ó ộ r ệt

ht(a1 , ..., ar ) = r
ứ

tết

I = (a1 , ..., ar ) tự sự ế r = 1 tì

t ị ý P ủ r t ó ề ứ ế
q ế
tì t t

r > 1 t ứ

a1 , ..., ar ột A í q

J = (a1 , ..., ar1 ) õ r ar + J ột tử í q ủ

R/J ị ó ọ tố tố tể ủ (ar + J)
tr
ủ

R/J ó ộ ó ữ tố tr R tố tể

I ế p tố tố tể t ỳ ủ I tì tồ t ột

tố

J q p ớ q tố tể ủ J tết q


✶✾

ht(q) = r − 1 ♥➟♥ ht(p) ≥ r✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt r➺♥❣ ➤é ❝❛♦ ht(p) ≤ r t❤❡♦
♠ét ❦Õt q✉➯ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ ❑r✉❧❧✳ ❉♦ ➤ã
❱í✐ ❜✃t ❦ú ✈➭♥❤
♥❤✐➟♥ ❧➭ ❞➲②

ht(p) = r✳

A ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣✱ ❞➲② x1 , ..., xn tr♦♥❣ A[x1 , ..., xn ] ❤✐Ó♥

A− ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐✳ ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ♠ét ♥❣❤Ü❛ ♥➭♦ ➤ã ❝➳❝ ❞➲②

❝❤Ý♥❤ q✉② tr♦♥❣ ♠ét ✈➭♥❤ ❧➭ sù tæ♥❣ q✉➳t ❝ñ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❜✐Õ♥ ➤é❝ ❧❐♣✳
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✷✸✳ ❈❤♦

A−

(A, m) ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ M ✱ N

♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣✳ ●✐➯ sö

❧➭ ❝➳❝

depth(M ) = k, dim(N ) = r✳

❑❤✐ ➤ã

ExtiA (N, M ) = 0,
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

(0 ≤ i < k − r).

❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✉②Õt q✉② ♥➵♣ ✈í✐ sè ♥❣✉②➟♥

r
(k > 0)✳ ◆Õ✉ r = 0 t❤× Supp(N ) = {m}✳ ❱× depth(M ) = k ♥➟♥ tå♥ t➵✐ M −
❞➲② ❝ã ➤é ❞➭✐
❈❤♦

k tr♦♥❣ M ✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶✸ t❤× ExtiA (N, M ) = 0∀i < k ✳

r > 0✳ ➜➬✉ t✐➟♥ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ N = A/p✱ tr♦♥❣ ➤♦ p

❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ❧✃②

x ∈ m\p✱ ❦❤✐ ➤ã ❞➲② s❛✉ ❧➭ ❦❤í♣

x

0 → N →N → N → 0
dim N ≤ r − 1 ✈í✐ N = A/(p + Ax) ❝ã ❝❤✐Ò✉ < r✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✉②Õt

q✉② ♥➵♣✱ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝

A✲ ♠➠➤✉♥
x

0 = ExtiA (N , M ) → ExtiA (N, M ) → ExtiA (N, M ) → Exti+1
A (N , M ) = 0
✈í✐ 0

≤ i < k−r✱ ✈× ♠➠➤✉♥ ExtiA (N, M ) ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ♥➟♥ ExtiA (N, M ) = 0

t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ◆❛❦❛②❛♠❛✳ ➜✐Ò✉ ♥❛② ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦Õt q✉➯ ✈í✐ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❞➵♥❣

N = A/p✳
❚❛ ➤➲ ❜✐Õt r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ ♠➠➤✉♥

0 = N0 ⊂ ... ⊂ Ns = N s❛♦
❝❤♦ ✈í✐ 1 ≤ j ≤ s t❛ ❝ã ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝➳❝ A− ♠➠➤✉♥ Nj /Nj−1 ∼
= A/pj ✱ pj ❧➭
❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ñ❛

A. ❚❛ ❝ã dimN1 ≤ dimN2 ≤ ... ≤ dimN = r✳ ❱×

N1 ∼
= A/p1 ♥➟♥ ❦Õt q✉➯ ➤ó♥❣ ✈í✐ N1 ✳ ❳Ðt ❞➲② ❦❤í♣✿
0 → N1 → N2 → A/p2 → 0


✷✵
❚❛ ➤➲ ❜✐Õt r➺♥❣

r ≥ dimA/p2 ♥➟♥ ❦Õt q✉➯ ➤ó♥❣ ✈í✐ A/p2 ✳ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐

Ext s❛✉ ❝❤♦ t❤✃② ❦Õt q✉➯ ➤ó♥❣ ✈í✐ N2
ExtiA (A/p2 , M ) → ExtiA (N2 , M ) → ExtiA (N1 , M ).
❈ø t✐Õ♣ tô❝ q✉➳ tr×♥❤ tr➟♥ sÏ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❦Õt q✉➯ ➤ó♥❣ ✈í✐

Nj ❞♦ ➤ã ➤ó♥❣ ✈í✐ N ✳

❚❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✷✹✳ ❈❤♦

(A, m)

❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭

❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã

M

depth(M ) ≤ dim(A/p)

❧➭

A✲

♠➠➤✉♥

✈í✐ ♠ä✐

p ∈

Ass(M )✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

◆Õ✉

p ∈ Ass(M ) t❤× HomA (A/p, m) = 0✱ ❞♦ ➤ã depth(M ) ≤

dim(A/p) t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✷✸✳
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✷✺✳ ❈❤♦

A

❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ✈➭

E, F

❧➭ ❝➳❝

A✲

♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳

❑❤✐ ➤ã✿

Supp(E⊗A F ) = Supp(E) ∩ Supp(F ).
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ t❤× ✈í✐ ♠➠➤✉♥
tr➟♥ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱

♣❤➬♥ tö a1 , ..., ar

A✱ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ M ❜➺♥❣ ✵ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ M ❝ã

dim(M ) ❧➭ sè r ❜Ð ♥❤✃t✱ r ≥ 1 s❛♦ ❝❤♦ tå♥ t➵✐ ❝➳❝

∈ m ✈í✐ M/(a1 , ..., ar )M ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✷✻✳ ❈❤♦
❤➵♥ s✐♥❤✱

M ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❦❤➳❝ ✵

a1 , ..., ar

A

❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱

❧➭ ❞➲②

M

❧➭

A

✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉

M − ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❑❤✐ ➤ã✿

dimM/(a1 , ..., ar )M = dimM − r.
➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥Õ✉
❜➺♥❣

a1 , ..., ar ❧➭ ❞➲② A− ❝❤Ý♥❤ q✉② t❤× ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ A/(a1 , ..., ar )

dimA − r✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❈❤♦

N = M/(a1 , ..., ar )M ✳ ❑❤✐ ➤ã N ❧➭ A✲ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥

s✐♥❤ ❦❤➳❝ ✵ ♥➟♥ ♥Õ✉

k = dim(N ) t❤× 0 ≤ k < ∞✳ ◆Õ✉ k = 0 t❤× ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥

dimM/(a1 , ..., ar )M ≥ dimM − r✳ ●✐➯ sö k ≥ 1 ✈➭ b1 , ..., bk ∈ m ❧➭ ❝➳❝
♣❤➬♥ tö s❛♦ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥

N/(b1 , ..., bk )N ∼
= M/(a1 , ..., ar , b1 , ..., bk )M


✷✶
❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❱× t✃t ❝➯ ❝➳❝
❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❣✐➯ sö

ai t❤✉é❝ m ♥➟♥ dimM ≤ r + k ✳ ❉♦ ➤ã

dimM/(a1 , ..., an )M ≥ dim(M ) − r✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱

f ∈ m ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö M ✲ ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❚❛ ❝ã✿

Supp(M/f M ) = Supp(M ) ∩ Supp(A/f A) = Supp(M ) ∩ V (f )
t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✷✺✳ ❱× ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tè✐ t✐Ó✉ ❝ñ❛

Supp(M ) ❧➭ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tè✐

t✐Ó✉ ❝ñ❛ Ass✱ f ❧➭ ❝❤Ý♥❤ q✉② ♥➟♥ f ❦❤➠♥❣ t❤➟♠ ✈➭♦ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛ Supp(M )
❱×

dimM = Sup{dim A/p|p ∈ Supp(M )}
❞Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝ r➺♥❣

dim(M/f M ) < dimM ❤❛② dim M/f M ≤

dim M − 1✳ ◗✉② ♥➵♣ t❤❡♦ r t❛ ❝ã✿
dimM/(a1 , ..., ar )M ≤ dimM − r.

❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✷✼✳ ❈❤♦

(A, m)

❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭

♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❧➭ ❞➲②

◆Õ✉ depth M

A−

depth M ≤ dimM ✳

= 0 t❤× ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣✳ ❚r➳✐ ❧➵✐✱ ❣✐➯ söa1 , ..., ar

r = dimM − dimM/(a1 , ..., ar )M ✳ ❉♦ ➤ã r ≤ dimM ✳

❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✷✽✳ ❈❤♦

I

❧➭

M ✲ ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ m✱ ❦❤✐ ➤ã depth M = r✳ ❚❤❡♦ ❍Ö q✉➯

✷✳✶✳✷✻ t❤×

✈➭

M

A

❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱

❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥✳ ❈❤♦

a1 , ..., ar

M

❧➭ ♠ét ❞➲②

❧➭ ♠ét

A

♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤

M −❝❤Ý♥❤

q✉② tr♦♥❣

I✳

●✐➯ sö

IM = M ✳ ❑❤✐ ➤ã✿
depthI (M/(a1 , ..., ar )M ) = depthI (M ) − r.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❈❤♦

N = M/(a1 , ..., ar )M ✳ ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ r➺♥❣ IM = M ❦❤✐ ✈➭

❝❤Ø ❦❤✐

IN = N ❞♦ ✈❐② ❝➯ ❤❛✐ ➤é s➞✉ ➤Ò✉ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ◆Õ✉ depth(N ) = 0

t❤× ❞➲②

a1 , ..., ar ❧➭ ❞➲② M ✲ ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ I ✱ ❞♦ ➤ã depthI (M ) =

r✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❝❤♦ b1 , ..., bs ❧➭ ❞➲② N −❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ I ✳ ❑❤✐ ➤ã
a1 , ..., ar , b1 , ..., bs ❧➭ ❞➲② M − ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ ➤➵✐ tr♦♥❣ I ✳ ◆❤➢ ✈❐②
depthI (M ) = r + s = r + depthI (N )