Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chương 1: Ma trận định thức
Bài 1: Chứng minh hoặc đưa ra các phản ví dụ giải thích cho các khẳng định sau:
1. Det ( A  B)  det( A)  det( B);
2. Det ( A.B)  det( B. A);
3. Nếu A.B  I thì Det ( A)  0 ;
4. r ( A.B)  r ( B.A) ;
5. Nếu A khả nghịch thì Det ( A.B. A1 )  Det ( B) .
Bài 2 : a. Cho hai ma trận vuông
 1 2 1
1 0 2




A   3 3 5  và B   2 1 1 
 2 4 1
5 4 1





Chứng tỏ rằng :

 A.B 

1

 B 1. A1 và ( A.B)T  BT . AT .

b. Chứng minh rằng:
( A1. A2 .... Ak )1  Ak1.... A21. A11

Bài 3 : Cho
 1
 2
A
 1

 2

1
 
2

1 

2 

Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 1


Tính A2 , A3 và An .
Bài 4: Cho ma trận
1 2 1



A  2 1 1 .
1 1 2



1. Tìm A1 và tính det( A1 ) .
2. Tìm ma trận X biết
1
 
A. X   1
1
 

Bài 5: Cho ma trận
1 2 3


A  2 3 1 .
 3 1 2



1. Tìm A1 và det( A1 ) .
2. Tìm ma trận X biết X . A  1 1 1 .
Bài 6: a. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
 1 3 1 


A 2 5 3 
 3 4 2 




b. Tính Det ( A1 ) .

Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 2


c. Cho ma trận
 5 3 6 
B

 2 4 4 

Tìm ma trận X sao cho:
X .A  B .

Bài 7: Ma trận sau có khả nghịch không? Tại sao?
 2 5 1

3 7 1
A
 5 9 2

 4 6 1

2


4
7

2

Bài 8: Cho ma trận
5

3
A
4

 3

3 2 4 

2 5 3 
2 0 4

0 1 1 

Ma trận A khả nghịch hay không? Tại sao?
Bài 9: Cho ma trận
 1 2 3 1 


2 3 2 1 

A
 3 2 5 0 



 4 3 4 2 

Tính Det ( A1 ) .

Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 3


Bài 10: Giải phương trình
1
1
1 5 x
2
3
2
3

2
3
2
3
0
1
5
1 6 x

Bài 11: Tính định thức

1 1 1 1 2
1 1 1 2 1
1 1 2 1 1
1 2 1 1 1
2 1 1 1 1

Bài 12: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm
x 1
x
x
x
x 1 x 1
x
x
f ( x) 
x 1 x 1 x 1 x
x 1 x 1
x
x 1

Bài 13: Tính định thức
1
0
1
1
1

0
1
2

0
1

1 1 2
1 2 1
1 0 1
1 0 2
1 1 1

Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 4


Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Bài 1: Tìm tham số m để hệ phương trình có vô số nghiệm
 x2
 x1
 x  2x
 1
2

 2 x1  x2
2 x1

 x3
 2 x3
 3x3
 2 x3

 2 x4
 x4
 6 x4
 5 x4

 1
 1
 2
 m

Bài 2: Tìm tham số k để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

5 x1  5 x2
. 2 x1  x2

3x1  3x2
4 x1  5 x2

 5x3
 x3
 3x3
 5 x3

 5x4
 x4
 3 x4
 5 x4


10x5


x5

4 x5
 (k  1) x5






0
1
2
3

Bài 3: Giải hệ phương trình
30 x1
24 x
 1

24 x1
18 x1






40 x2

40 x2
32 x2
30 x2

 5 x3
 12 x3
 2 x3
 9 x3

 10 x4
 20 x4
 10 x4
 21x4






15
24
16
24






0

0
0
0

Bài 4: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình
 x1  x2
2 x  x
 1
2

3x1  2 x2
2 x1  5 x2






x3
x3
x3
x3

 x4
 2 x4
 x4
 2 x4

 x5
 3x5

 2 x5
 2 x5






0
0
0
0

Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 5


Bài 5: Cho hệ phương trình có dạng
A. X  B

với
1

1
A
1

0

3
4
3
0

3
0 
1

 
3
1 
2
và B   
 0
4 1 

 
0 k  1
 2 

1. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số k .
2. k  0 : tính A1 và tìm nghiệm của hệ.
3. Kiểm tra nghiệm tìm được khi k  0 bằng cách tính X  A1.B .

Chương 3: Không gian véc tơ
Bài 1: Cho v1 , v2 , v3 hệ véc tơ độc lập tuyến tính của n (n  3) và k tham số. Hệ ba
véc tơ v1 , v1  v2 , v1  v2  kv3 có độc lập tuyến tính không? Hãy biện luận theo k .
Bài 2: Cho v1, v2, v3 là ba véc tơ độc lập tuyến tính trong  n .Chứng minh rằng
a) v1  v2 , v1  v3 và v2  v3 độc lập tuyến tính;

b) v1  v2 , v1  v3 và v2  v3 phụ thuộc tuyến tính.
Bài 3: Chứng minh rằng các véctơ v1, v2 và v3 độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu
các véc tơ v1  v2  v3 , v2 và v3 độc lập tuyến tính.

Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 6


Bài 4: Trong  4 xác định số chiều của không gian con sinh bởi hệ véctơ (1,2, -1,0),
(-3,0,-2,4), (2,10,-7,4).Xác định một cơ sở và mở rộng cơ sở này thành một cơ sở
của  4 .
Bài 5: Tìm các số thực a và b để  2, a, b,3 thuộc không gian con của  4 sinh bởi
hai véctơ 1, 1,1, 2  và  1, 2,3,1 .
Bài 6: Tìm cơ sở và số chiều của không gian con
V   0,1,0  , 1,1,1 ,  2,0,1

Bài 7: Các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay là phụ thuộc tuyến tính
 X 1  1, 2,3, 4 

 X 2   2,3, 4,1
1. 
 X 3   3, 4,1, 2 
 X  4,1, 2,3

 4 

 X 1  1,1,1,1

 X 2  1, 1, 1,1

2. 
 X 3  1, 1,1, 1
 X  1,1, 1, 1

 4 

Bài 8: Tìm hạng và hệ véc tơ ĐLTT cực đại ( cơ sở) của các hệ vectơ sau
 X 1  1, 2,3, 4 

 X 2   2,3, 4,5 
1. 
 X 3   3, 4,5, 6 
 X  4,5, 6, 7

 4 

 X 1   2, 1,3,1

 X 2   4, 2, 6, 2 
2. 
 X 3   6, 3,9,3
 X  1,1,1,1

 3 

Bài 9: a. Chứng minh hệ véc tơ sau là một cơ sở của KGVT
B  v1  (1, 2,1), v2  (1, 1,1), v3  (2,3, 1)

b. Tìm tọa độ của véc tơ X  (4,7,6) đối với cơ sở trên;
c. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở trên sang cơ sở chính tắc.

Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 7


Bài 10: Trong 3 , các tập hợp sau có phải là không gian véc tơ con? Nếu là không
gian con hãy xác định số chiều và một cơ sở.
  (1, x2 , x3 ) x2 , x3  

  ( x1 , x2 , x3 ) ax1  bx2  cx3  0

C  ( x1 , x2 , x1  x2 ) x1 , y2  

F  ( x1 , x2 , x3 ) x12  x2 2  x32  1





Bài 11: Xét tập hợp

x

W   x1 , x2 , x3 , x4  1
2 x1



 3x2
 2 x2

 2 x3
 5 x3

 2 x4
 6 x4

 0


 0


1. Chứng minh rằng W là không gian con của  4 .
2. Tìm một cơ sở và số chiều của W .

Bài 12: Cho V và W là hai không gian véctơ con của  n . Chứng minh rằng
  







V + W : v  w v V , w  W
là không gian véctơ con của  n .

Chương 4: Ánh xạ tuyến tính
Bài 1: Cho ánh xạ f : 4  3 xác định bởi

f  x1 , x2 , x3 , x4    x1  2 x2  x4 ,  x1  x2  3x3 ,  x2  2 x3  x4 

1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
2.Tìm một cơ sở và số chiều của Imf và Kerf .
Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 8


Bài 2: Cho ánh xạ f : 4  3 xác định bởi
f  x1 , x2 , x3 , x4    x1  2 x2 , x2  2 x3 , x3  2 x4 

1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở sau:
B   v1  1, 1,0,0  , v2   0,1, 1,0  , v3   0,0,1, 1 , v4   0,0,0,1 
B '   v '1  1,1,1 , v '2  1,1,0  , v '3  1,0,0   .

Bài 3: a. Chứng minh ánh xạ sau là toán tử tuyến tính trên 3
f ( x1 , x2 , x3 )  (2 x2  x3 , x1  2 x3 , x1  2 x2  x3 ) .

b. Tìm ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở
B  u1  1, 2,1 , u2   1, 1,1 , u3   2,3, 1 .

Bài 4: Cho D : P3  P2 là ánh xạ đạo hàm D  p   p ' .Hãy mô tả Ker(D).
Bài 5: Trong không gian 3 cho cơ sở
B   u1  1,1,0,  , u2   0, 2,1 , u3   2,3,1 

và ánh xạ f : 3  3 xác định bởi
x   x1 , x2 , x3   f  x    2 x1  x2  x3 , x1  2 x2  x3 , 2x1  x2  3x3 

1. Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính (hay toán tử tuyến tính).
2.Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 3 .
Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 9


3. Tìm ma trận của f trong cơ sở B.

Chương 5: Chéo hóa ma trận
1 0  2 
Bài 1: Cho ma trận A   2 2  2 
 0 0 1 



1. Tìm tất cả VTR liên kết với GTR của ma trận A.
2. Ma trận A chéo hóa được không? Giải thích
Bài 2: Ma trận sau có chéo hóa được không? Tại sao?
0

A   1
 1

3

E  0
0


1 1
3


2 1 ; B  1
1
1 2 

0 2
3


3 0 ; F   0
0
0 3 


1 1
 2


5 1  ; C   2
 3
1 3 

0 1
1


1 2 ; G   1

2
2 1 


0 0
0


3 1 ; D   1
3
2 2 

0 1
1


2 1  ; H   1
0
2 3 


1 1

0 1
3 2 
1 2 

2 1
1 1 

 2 2 0
0 1 0
 3 2 0 
5 0 0








J   2 2 0  ; K   0 0 1  ; L   2 3 0  ; M   1 5 0 
0 0 1
 1 3 3 
 0 0 5
0 0 5









Bài 4: Không thực hiện phép tính, hãy chỉ ra GTR của hai ma trận sau
5

0

M 
0

0

0
7 14 8 


1
3 2 0
; N  
0 0 2
0



0 0 7
0

0
0
2
0

0

0
0 0


3 0 
0
0

Hãy chỉ ra một VTR của mỗi ma trận.
Bài 5: Tìm tất cả giá trị của tham số a   sao cho ma trận

Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 10


1 a 0


C  0 1 0
0 0 0



chéo hóa được.
Bài 6: Tìm một ví dụ về ma trận có tất cả các GTR thực nhưng không chéo hóa
được.
Bài 7: Tìm một ma trận có hạng bằng 1 sao cho 1,1, 1 là một VTR liên kết với
GTR 1.

Trần Bá Thuấn-Gv Toán Kinh tế-Trường ĐHKT Huế

Page 11