hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế

Ì5NG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN
B Ộ M Ô N T O A N C ơ B A N
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
■
T O Á N C Ạ O C Ấ P
CHO CÁC NHÀ KINH TÊ
(Phần i: Đại sô tuyên tính)
NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN
LỜI NÓI ĐẤU
Tiếp theo cuốn bài tẠp-“Tođn cao eấp cho các nhã kinh tế*, do
Nhà xuất bản Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn này chúng tôi cho biên
soạn cuốn “Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”.
Mục đích cùa cuốn sách nhảm giúp cho sinh viên có thể tự bọc tốt
môn học, hoặc dùng để ôn lập thi hết bọc phẩn, thi tuyến sinh dáu vào
Sau đại học.
Kết CẨU cuốn sách gổm hại phẩn chính tương úng vói nội dung của
giáo trình lý thuyết v& cuốn bài tập. Trong mỏi bài học, chúng tôi tóm
tắt lại các khái niệm và kết quả cơ bản cùng các ví dụ miu. Hướng dán
phương pháp giải các loại bài tập cụ tbé, cuối cùng là các bài tập và
đáp số hoặc gợi ý để các bạn tự rèn luyện.
Hy vọng cuốn sách sẽ giúp các bạn tự học và ôn tạp tót môn học
'Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”.
Lần đẩu biẽn soạn, cuốn sách khổng tránh kha thiếu sót, rát mong
nhân được sự góp ý của bạn dọc và đổng nghiệp aể lẩn xuỉt bản sau
được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến góp ỷ xin gửi vé: Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán
Kinh tế, Trường Đại học Kinh tỄ Quốc dân.
ĐT/Fax: (04) 6283007.
Email:
Xin chân thành cảm ơn!
Trường Bộ môn Toán Ca bản, ĐH KTQD.

NGUYỄN HUY HOÀNG
P hấn 1
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Tái bản lần thứ 3
(C ó sửa chữa bổ sung)
C huơn g1
KHÔ NG GIAN VECTƠ
§1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mẫu
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình và n ẩn:
a„x, + al2x2 + — + aInx„ = b,
a2lx, + au x2 + - + a2nxn = b2
a„,x, + am2x2 + - + a „ x , = bm
Hệ tam giác:
anx, + a,jX2 + — + alnx„ = b,
a22x2 + + a2nxD = bj
annxo = bn
ơđó, *0 và ajj = 0 với i> j.
Hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất.
Cách giải: Từ phương trình cuối cùng giải được ẩn x„, thay ngược
lên các phương trình ưên tìm các ẩn còn lại, nghiệm của hệ phưcmg
trình là duy nhất.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
|
2 x ,+ x j- X, =5
X j + 3 X j = 7
5x, =2
Giải. Lần luợt tìm giấ tĩị của ẩn x,,x2,x,. Hẹ phuơng trình đă cho có
nghiẹm duy nhít:
Hệ Müh thang:

aMx, + a,jX2 + - + a ^ x , + - + alax„ = b,
a H x 2 + - + a 2« x . + + a 2 . \ , =
ở đó, ai 5tO,Vi = l,2, ,m;m <n và aÿ=0 với i> j.
Cách giải:
+ Chọn là các ẩn chính (sổ ẩn chíoh báng sổ phnơng
trình); là ẩn tự do.
+ Chuyển các ẩn tự do sang VẾ phải và gán cho chiỉog nhũng giá
aị tnỳ ý:
Khi dó, la thu đuợc hẹ mới có dạng tam giác với các ẩn chinh, giải
hệ này ta đuợc:
vạy ta cố nghiệm cùa hệ phương trình dã cho có dạng:
(O p«i

Vì các giá trị m ì ta gán cho các ẩn tự do là tuỳ ỷ nên bệ hình
thang có vở số nghiệm .
Ví dụ 2: Giải hệ phuơng trình:
+ a^x,
b.
x»*l ~ a B»l> xm»2 - x« - CT|
2x, + 3 x2 - X, + x4 = 5
Xj - X, -2x„ =-2
2x, - X, = 3
Giải: Chọn x,,x2,x, là các ẩn chính; x4 là ẩn cự do, x4 * a, a e R.
Hệ phutmg trình ds cho tương dưong:
Ì
2 x, + 3 x j ’ - X, = 5 - a
Kj - X, = - 2 + 2 a
X, = 3 + a
= -8 a + 8 X, = -8 ( a-l)
Xj = ị( a + 3) + 2 a - 2 o ■ x2 = ị( 5 a - l)

* j = ỉ ( a + 3) [x, = i( a + !)
Nghiệm tổng quát: ( ^ ( a - l ^ ị ^ a - l ^ ^ a + l),«*).
Phương pháp khử ẩn liỀn tiếp
Các phép biến dổi tuong đương dổi với hẹ phương trình tuyến tính:
• Đổi chỗ hai phuơng trình trong hệ cho nhau;
• Nhan hai vế của một phuong trình ưong hẹ với một số khác
khổng;
• Cộng v&o hai vế của một phuơng trinh hai vé tương úng của
một phương trinh khỉc sau khi dã nhãn với một số.
Bây giờ chung tôi Ún giới thiệu phương pháp khử ẩn liên tiếp
Gauss dể giải hệ phuơng trình tuyến tính tổng quát
Nội đủng:
Chuyển hộ phương trình tuyến tính tổng quát vổ hệ tam giác hoặc
hệ hình thang, bằng các phép biến dổi tuơng dương dối với hệ phutmg
trình tuyến tính.
Chú ý:
Để giải hệ phương trình tuyến tính ta thường biên đổi ữên ma trận
mờ rộng tương ứng của hệ phương ưình đó.
Cách giải: Tương ứng với hệ phương ưình tuyến tính tổng quát ta có
ma trận mờ rông và khổng mất tính tổng quát giả sử a,, * 0.
Bước 1: Khử ẩn X, bàng cách lấy dòng một nhân với và cộng
®II
vào dòng i, i = 2,3, ,m.
a!2 ■•• »1.
b ,'
'»II
_ ■ a,n
A =
*22 •
•• a2„

b2
->
0
»'» •
a'í„ t>;
*aml a»2 •
• a^,
o
a«i
Bước 2: Khử ẩn Xj (giả sử a'^ * 0) bằng cách lấy dòng hai nhân với
â*
- — rồi công vào dòng i, i = 3,4, ,m.
ȇ
Cứ tiếp tục quá trình ưên ta đưa được hê phương ưìiih đã cho vé hệ
tam giác hoặc hẹ hình thang.
Trong quá trình sừ dụng các phép biến đổi tưong đương nếu thấy
trong hẹ phương trình xuất hiện phương trình dạng:
• 0x, +0x2 + + 0xn = b * 0 thì kết luận hẹ phương trình đã
cho vô nghiệm;
• 0x, + Ox, + + 0xn = 0 thì có thể bỏ phưcmg trình này.
Ví dụ 3: Giải hệ phuơng trình:
X + 2 y - 3z = 1
2 x -
3y
+
z = 2
3x -
y
-
2 z = 4

'1. 2
3 r
'\ 2
-3
f
'1 2 -3 r
2 -3
1 2 -¥
0 -7
7 0 -> 0
-7
7 0
,3 -1
-
2 4J
,0
-7 7
K ,0
0
0 K
Hệ phương trình ưẻn tương đương với hệ phương trình:
X + 2y - 3z = 1
- l y + 72 = 0
Oz = 1
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Vi dụ 4\ Giải hệ phương trình:
I
X + y + z = 6
2x + y - z = 1
3x - y + 2 = 4

Giải:
' 1 1 1 6 '
' 1 1 1 6 ^ ' 1 1 1 6 '
2 1 - 1 1
—>
0
1
1
ũ»
1
-» 0 -1 - 1 -11
,3 - ! 1 4
0 - 4 - 2 -14 0 0 10 30
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
x + y + z = 6 X = 1
-y - 3z = -1 1 o • y = 2
10z = 3 0 [z = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhát (1,2,3).
Vi dụ 5: Giải hệ phương trình:
-4x, - Xj + lOx, - 5x, = 0
X, + 2x, - 2x, + X, = 0
- 2 x , + 3Xj + 7x , - 2 x4 = 0
Giải:
'-4 -1 10 -5 '
' 1
2 -2 1 '
1 2 -2 1
—►-4 -1 10
-5
,-2 3

7
-2,
,-2
3 7
-2,
1 2
-2 1 "
1 2
-2 1 1
-♦
0
7
2
-1
—*
0
7
2 -1
.0
7
3
0,
,0
0
I '
Hẹ phuong trình đ a cho tuong đương với hệ phương trình sau:
X, + 2Xj - 2Xj + X, = 0
7 Xj + 2 x , - * 4 = 0
Xj + x4 = 0
Chọn x,,x,,x, làcácẩncMnh; x.làấntựdo.gánchox,, =a, VaeR.

Hệ phuong trình bện tương đương với hệ phương trình sau:
ix , + X , - 2 k , = - a
X, = - a - 2a - - ậ a
X, « - f a
7 x , + 2 x , = a O '
K2 = | a <=>
*2 *= -fa
[ *» ậ -«
X, = - a * - a
( 27 3 ^
Vậy nghiệm cùa bệ phuoDg trình là. I - — 0, - 0, - a ,a l , o e E .
Chú ý: Mọi hệ phaong trình tuyến tính thuán nhất cỗ sỗ phuong trình
ít hơn sổ ẩn đểu có vô stf nghiệm (có nghiệm không tầm tliuùDg).
B. BỒI tập
IểĐỂb&l
Giải các bệ pbuơng trình tuyến tính sau bằng phương pháp kbử ẩn
liên úếp Gaus«:
2x+3y*5
3 x -y — 9
* +2y=4
X - 2 v * 3
2 x - y = 1
3x-3 y =5
3.
5.
7.
9.
l l ể
13.
15.

8x - y =10
X +y+z =6
10 *-9* =19
4. 2 x+ y-z = 1
1
9
II
00
J x -y + z =4
X -6y+ 8z = 0 * +2y -3z = 1
3x-4 y+ 5z =18
6.
2* -3y+ z =2
2 *+ 4y -3z =26 3 x- y -2z =4
2 x-3 y+ 2z = 1
X -2 y + 3z =0
J x - 5 y - 4 z =2
8.
2x+ 3y-3z =0
3x-4y+ 10z =1 4x -3 y + 5z =0
2x+ y -3* =0
3x+2y+ z =0
4x + 3y+5z =0
10.
X - y - z = -2
2x +3y + 2z = 1
3x - 5 y -4 z =-8
-2x + 2y + 3z = 4
X + y + z =3
X, +X, = 4

X +2y+3z « 2
12.
2x3 + X, = 1 i
2x+3y+2z =0
3 x,+ x ' =22
3x+ y +2z =4 4x, + X, =29
x ,+ k , + x, =6
x,+x,-x,+x. =-2
x, + x,+ x4 =9
X, + x4 + X| =8
14.
X,-X ,-X, J-X, = 0
X,+Xj+X,-X4 = 2
x4 + x, +Kj =7
X, -Xj +x, -X, = 4
X, - 2x, +3xj - X, =2
2x, + X, - X, +3x4 » 1
4x, -3 *j + SXj + x4 =3
16.
X, - 4 x ¡+ 6 x , - 4 Xj = - 1 0
-2x,+3x, - 4 x, + 5x4 = 7
3x, + 2X j -5 \ , - 3Xj = 7
17.
19.
X, - 2 x 2 +3X j - 4 x4 = 1
2x, - 3 x , + 4x, - x 4 = 2
3 x , - 5
x 2 + 7 x , - 5 x 4 = 3
4x ,- 6 x2 + 8x ,- 2 x4 =4
X, +3x2 -3x , - 2x< = 0

X, - 3 X j + 2 X j - 3 x 4 = 0
2x, +3x2 - Xj - 5x4 =0
4 x , - 3 x2 - 2 x 3 -10x 4 = 0
18.
20.
X, + 2 x 2 + 3x, + 4x4 = 0
2x, +3Xj +4x3 + x4 =0
3x, +4Xj + X , + 2x 4 = 0
4x,+ Xj + 2 xj + 3x4 = 0
X, - Xj + 2x, -3x 4 =0
2x, - 3 x j - X, + x4 = 0
- X ,+ 2 x 2 + 3 x , - 4 x 4 = 0
3x, - 4 x 2+ X, - 2 x„ =0
II. Đáp số
I. (x = -2, y = 3). 2. Vô nghiộm. 3. (x = 1, y = -2, z = -1).
4. (x = 1, y = 2, z = 3). 5. (x = 8, y = 4, X = 2). 6. Vô nghiệm.
7. (x = -22cc-l, y = -1 4a -l, z = a). 8. (x = 0, y = 0, z = 0).
9. (x = 7a ,y = -lla , z = a). 10. (x = -l, y = l, z = 0).
II . Vô nghiệm. 12. (x, =1, x2 =3, Xj =5, x4 =7).
13. (x, = 1, Xj = 2, Xj = 3, x4 = 4).
14. (x, =1, x2 =-1, X, =2 + a, x4 =a). 15. Vô nghiệm.
16. (x, =2a, x2 = a +1, X, = a -1, x4 = a).
17. (x, = l + a-10p, Xj = 2a-7p, X, =a, x4 = (3).
18. (x, =Xj =x, =x4 =0). 19.(x, =13a, x2 =0, X, =a, x4 =5a).
20. (x, = -7 a + ìop, Xj = -5 a + 7ị3, X, =a , x4 =p).
A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mãu
Định nghĩa:
+ Phép cộng hai véc tơ cùng chiểu:
X = (x„x2, ,x„);
Y = (y„y2 y„).

=> X + Y = (x, + y„Xj + y2, ,x„ + y„ ).
+ Phép nhân một số với véc tơ:
X = (x ,,x ,

x„), a € R.
s a x = (ax,,axj

ax„).
+ Véc tơ không:
0. = (0,0,—,0)
n
+ Véc tơ đối:
Cho véc tơ X = (x ,,x2, ,x„), ta có -X = (-x l,-x J, ,-x„).
là véc tơ đối của véc tơ X.
Tính chát:
Với X, Y, z e R’ ; a, p 6 R, ta có các tính chất sau:
* X + Y = Y + X;
* (X + Y) + Z = X + (Y + Z);
« X + 0„=X;
. X + (-X ) = 0„;
* 1.x =X;
* a(X + Y )-aX + aY ;
* (a + 0)X = aX + ßY;
* (aß )x = a(px) = ß(ax).
Ví dụ 1 : Xác dịnh véc tơ X biết
a. X = 2X, -X ,;
b. 3X - 2X, + Xj = Oj.
Giải:
-x BA-ĩ)
vty; X . 2 X . - X , w-i)

b. 3X - 2X, + X, =0 o 3X =2X, -X j
Khống gian con
Đính nghĩa: Một tập hợp khổng rống L c RỆ duợc gọi là không gian
con của khống gian R° nếu nó thoả mãn:
i. L đóng kín đối với phép cộng các véc tơ (V X,Y eL thì
X + YeL);
ii.L dóng kúi đổi với phép nhân véc tơ với sđ (V X eL,V oeE
thì aX € L).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: L, ={X=(xÉ,Xj):Xj
=oỊ
!à khôog gian
con cùa khổng gian R 2.
Giải:
Hiển nhiên L, * 0 vỉ 0j e L,.
Ltfy X=(x,,Jtj),Y=(y„yj) bất kì 6 L, nen 3«j=(\y,=0i>xi+yi=0
=>X+Y=(x, + y,,X j+y ,)e Ll. Mặt khác, V X=(x„xI) c L „ a e E
=>€LX=(otx1)axJ)eL | vì 0tXj =0.
Vậy theo định nghĩa L, là khổng gian con của kbổng gian RJ.
Ví dụ 3: Tập véc ta sau dây có phải là không gian con của khổng gian
véc tơ R 3 khổng?
L = | x = (x 1,X j,X j)e R ’ : X, +Xj + x, = l | c R 5
Oiải: Hiển nhiên L * 0 vì X = (l,0,0 )eL .
Lấy X = (x,,x„x3),Y = (y,,y2,y5) b ắtkìcL tức là: x ,+ x ,+ * ,= l,
yi+y j + y} = 1 =>X + Y = (x, +y„ x2+ y j,x,+ y,), ta có:
(x1+y1)+ (x J + yJ)+ (x , + yJ) = (x1+x2 + x,)+(y,+ yJ + y ,)= 2 5íl.
=»X + Y&L.
Vây theo định nghía thì L khổng là khống gian con của không gian R3.
B. Bài tập
I. Đề bài
Xác định véc tơ X từ các phương trình sau:

21. X = 2X, -3Xj
22. X = 3X, + 2Xj
23. 2X = 3X, +Xj
24. X = 3X, - 2Xj + 3X,
25. X = 2X, +3Xj -2X j
26. 3X-2X,-Xj+2X, = 0
với X, =(1,-2),x 2 =(-2,1).
với X, =(l,-4),X 2 =(-3,6).
với X, =(l,2),X j =(-1,4).
với X, = (l,0 ,-l),
x2 =(-2,0,2),
X, =(-1,1,0).
với X, =(1.3,—1),
X, =(-2,0,2),
X, =(-2,3,2).
với X, =(-1,1,2),
X, =(3,5,7),
X, =(2,-1,4).
n. Đáp số
21. X = (8,-7). 22. X = (-3,0). 23. x = (l,5).
24. x = (4,3,-7). 25. x = (0,0,0). 26. x = (-1,3,1)
A. Tóm tát lý thuyết và các vt dụ mẫu
Phép biểu diễn tuyến tính
Định nghĩa: Véc tơ X e R" được gọi là biểu diễn tuyến tính qua các
véc tơ n chiểu XI,X2, ,X1I1 nếu nó biểu diễn duới dạng:
x= a,x, +a,Xí + +a„X„.
ờ d ó a , , a 2 , . . . , a 111 6 R .
Vi dụ 1: Tìm X để véc tơ X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại.
x = (2 , - u ) , X, =(4,3,2), X2 =(-1,-2,-3).
Giải: Giảsửtồntại k,,kj sao cho: X = k,X |+k2X2.

Để X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ c% lại thì hệ phuơng trình:
4k, - k, = 2
• 3k, - 2kj = -1
2k, - 3kj = X
phải có nghiệm. Ma trận mở rộng tương ứng là:
4 - 1 2 '
'4 -1
2 '
'4
-1
2 '
3 -2
-1
- > 0
_ 5
4
5
2
- »
0
5
4
s
2
, 2
-3
5
2
X - l J
, 0

0
X + 4
Hệ phương ttình tương đương với hệ phương trình ữên là:
4k, - k3 = 2
-4 k = - ị
4 2 2
0k2 = X + 4
Hệ phuơng ttình chi có ngtịiệtn khí-1 diễn
tuyến tính qua các véc tơ còn lại thì ỉ«í=>A-
Tổng quáL Để giải bài toán như trẾn la xét hê phương irình có ma trận
hệ só với các CỘI là tọa độ cấc véc tơ còn lại và CỘI he số tụ do là tọa
độ cùa véc tơ X. Nếu hệ phucmg trình này có nghiíím 'thì X biểu dién
luyến tính qua các véc lơ còn lại, ngược lại thì không.
Ví du 2: Tim X dể X biểu dién tuyén tính qua các véc tơ còn lại.
X = (X>2,5),X ,=(3,2,6), x 2 =(7,3,8), X, =(5,1,3).
Giải: Xét hệ phưcmg trình có ma trận hệ số mở rộng sau:
'3 7 5 X'
'2 3 1 2 '
'2 3 1 2 '
2 3 1 2
6 8 3 5
-*
0-10 -1
6 * 3 5 ,
3 7 s \
1
©
'2
3 1
2 ' '2

3
1 2 '
-» 0 -1 0 -1
—►
0 -1 0 -1
,0
5
7
2X -6 0
\
0 7 2A 11,
Hệ phương trình luôn c ó nghiệm với mọi giá lộ c ủ a X. Vậy VỚI
mọi X thì X đéu biếu diẻn tuyến tính qua các véc tơ còn lạt-
Sạ phụ thuộc tuyến tính và đỏc lập tuyên tímh của nội hệ véc tơ
Cho một hệ góm m véc tơ n chiéu:
X„X2, ,XỄ (1)
Xét hệ thức:
k,x, +lc,X,+ + kmXm=0, (2)
Nếu hệ thức (2) viết dưới dạng thinh phin, theo đinh nghĩa hai véc
tơ bảng nhau ta được hệ gổm n phưcmg trìnb tuyến tính thnín nhái với
mẩn k)1k2, ,kj Nếu hệ phuong trình tuyín tính chuín nhất có vữ số
nghiệm (tức có nghiệm không tầm thuờng) thì hí: véc tơ phụ thuộc
tuyến tính, còn nếu hệ phương trình chì có nghiệm duy áhẳt là lám
thường thì hệ véc tơ độc lập tuyến tínk
Vi dụ 3: Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cùa hệ véc
tơ sau:
X ,= (l,-!,0), X2 = (-2,1,-1), X, =(-3,2,-1).
Giải: Xét hệ thức:
k,x, + k,Xj + lc,x, = 0,
Hệ phương trình tuơng úng là:

(
k, -2 k 2-3 k, =0
-k, + k3 +2kj =0
-k j - kj =0
' 1 - 2 - 3 > 'ỉ -2 -3 '
-2 -3'
-1 1 2 -» 0 -1 -1
—>
0
1
1
©
1
1
0
1
1
0 0 0 ,
Hệ phương trình tương dương:
Jk1-2 k ,- 3 k , =0
ị - k , - k , =0
Hệ hình thang có vô sô' nghiệm. Vậy hệ véc tơ đã cho phụ thuộc
tuyến tính.
Chú ý: Để giải bài toán xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
của một hệ véc tơ, ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma
trận hệ sổ với các cột tương ứng là các véc tơ này viết theo dạng cột.
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trỄn ma trân này, nếu ma trân cuối
cùng có dạng hình thang thì
hẹ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, nếu có
dạng tam giác thì hẹ véc tơ độc lập tuyến tính.

Vi dụ 4: Xét sự độc lạp tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cùa hệ véc
tơ sau: X, = (- 1,1,2)’ X2 = (- 2,1 - 1), X, = (3, - 1,1).
Giải:
Xét hê thức; k,x, + k ,x , + k,x, = 0,.
Ma ưận hệ số tương ứng:
'~ \ -2 3 ' -1 -2 3 '
'-1 -2 3'
1 1 -1
—► 0-12
-»
0 -12
'S
T
(N
1
->
«n
1
o
o
o
Ma ưận cuổi có dạng tam giác nên hệ véc tơ trẽn độc lập luyến tính.
Chú ý: Trên dây mới chi là phương pháp giải bài toán theo định nghĩa,
ờ các phán sau ta có thể xét bài toán này theo phuơng pháp hạng cùa
hệ véc tơ thõng qua hạng của ma trận hay phương pháp dịnh thức (nếu
số véc tơ bằng số chiều cùa véc tơ).
Vi dụ 5: Tun X. để hộ véc tơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc
tuyến tính: X, = (l,-2 ,-l), X, =(-1,1,2), X, =(2,-3,*.).
Giải:
' \ -1 2 '

-2 1 -3
—►
'\ -1
0 -1
2 '
1
-»
1 - 1 2 '
0 -1 1
- \ 2 X,
,0 >
X + 2 0 0 X + 3
Nếu X + 3 = 0 o X = -3 thì ma trận dạng hình thang, do đó hệ véc
ta ưén là phụ thuộc tuyến tính.
Nếu X + 3 * 0 <=> X * -3 thì ma trận có dạng tam giác nên hệ véc
tơ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 6: Chứng minh rẳng hệ véc tơ Xp X,, Xj phụ thuộc tuyến tính
mà Xj không thể biểu diễn tuyến tính qua X,,X; thì các véc tơ
X,, x : tỳ lẹ với nhau.
Giải. Do X ,,X ,,X 3 phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại kr k ,,k j không
đổng thời bằng không sao cho: k,x, + k2X2 + k,X3 = 0 (*)
Mặt khác, ta có kj = 0, vì nếu k, * 0 thì từ (*) ta có :
Nghĩa là, X, biểu diễn tuyên tính qua X,, X2 mâu thuản với già
thiếl, suy ra k,x, + k ,x , =0 với k,,k, không đổng thời bằng lchồng,
» k
không mất tính tổng quát già sử k, * 0=> X, = - — X,.
*1
B. Bài tập
I. Đề bài
Tun sổ X để véc tơ X biểu diẻn tuyến tính qua các véc tơ

còn lại:
27. X = (2,-1,X), X, =(4,3,2), X, =(-1,-1,-3).
28. x = (1,2,3), X, =(-!,2,X), X, =(3,-2,-3).
29. X = (1,3,5), X, =(3,2,5), X, =(2,4,7), x,=(5,6,x ).
30. x = (2,5,x), X, =(3,2,6), x ,= (7,3,9), X, =(5,1,3).
Các hệ véc tơ sau là dộc lập tuyến tính hay là [¿ụ thuộc tuyến tính:
fx , = (2 1.3) 1
X, = (1 2.3)
x ' = ( - 4 , 2 , - 6)
x 2 = (3-2,1)
X, = (1,-1, 0)
X, = (-1,1,-2)
X, = (-2,1,-1) 34.
X, = (-2,1 ,-1 )
X, = (-3 ,2 ,-1 )
X, = (3,-1,1)
X, =(1,2,3,4)
X, -( 1 ,-1 ,1 ,-1 )
x j = (2,3,4,1) 36.
x 2 = (2,1,0,-1)
X, = (3.4.1,2)
X, = (3 ,-6 ,5 ,-4 )
X, = (1,2,3,4)
X, = (1,1,1,1)
X, = (2,3,4,1)
X , = (1,-1,-1,1)
X, = (3,4,1,2) X , = (1,-1,1,-1)
x 4 = (4,1,2.3)
x ’ = (1,1, - 1, - 1)
Biện luận theo X »ụ độc lạp tuyên tính, phụ thuồc la yên tinh cùa

hệ véctơ sau:
43. Chứng minh rằng nếu hệ véc tơ độc lập tuyén
tính còn hệ véc tơ {X|t X,, ,Xk,X} với l< k ím phụ ihuộc tuyến
tính thì véc tơ X là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ
II. Đáp số
27. X = -24. 28. x = 3. 29. X *12. 30. Khỏng tổn tại X.
31. Phụ thuộc. 32. Độc lập. 33. Phụ thuộc. 34. Độc lập.
35. Độc lập. 36. Phụ thuộc. 37. Độc lập. 38. Độc lập.
39. Phụ thuộc tuyến tính với X = -6.
40. Phụ thuộc tuyến tính với X = 4.
41. Phụ thuộc tuyến tính với X = -3.
42. Phụ thuộc tuyến tính VỚI X = 4.
X, = (1 2 1)
41. | x 2 =(-1,1,2)
X, = (2,-3, x)
X, = (2,-3,-2,3)
42. X, = (-3,2,1, -2)
X, = (1,-4 ,-3,X)
§4. Cơ sờ của không gian véc tơ
A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mẩu
Cơ sờ của một không gian véc tơ, toạ độ của véc tơ trong một cơ sờ
+ Hệ gôm n véc tơ n chiếu, độc lập tuyến tính đuợc gọi là cơ sỡ cùa
thống gian R \
+ Nếu PpP,, ,?,, là một C<J sờ của khổng gian R" thì mọi véc tơ
X e R’ đều biểu diễn duy nhất duới dạng:
x = a ,p ,+ a 2P3+-" + a„P„ (1)
+ Bổ n sô' thực có thứ tự (a,,a 2, ,a„) thoả mãn hệ thức (1) được gọi
là toạ độ cùa véc tơ X trongcớsở PpP,, ,?,.
Chú ý: Với cơ sờ P|,P,, ,P, và véc tơ X cho tiuớc thì hê thức (1)
tương đương với hệ phương ưình tuyến lính gồm n phương trình và n

ânsốlà a,,ct,, ,a có ma ưận hệ sớ nhận tọa độ các véc tơ cơ sở là
các cột và tọa độ véc tơ X là cột hệ số tự do. Nghiệm duy nhất của hệ
này là toạ độ cùa véc tơ X trong cơ sờ đã cho.
Vi dụ 1: Chứng minh rằng hệ ba véc tơ:
p, = (1,1,0)
■ p, = (1,0,1)
p, = (0,1,1)
lập thành một cơ sờ của không gian R3. Tun toạ độ của véc tơ
x = (1,5,2) trong cơ sờ dó.
Giải:
* Chúng minh rằng hê véc tơ p, =(l,l,0), Pj =(1,0,1), Pj =(0,1,1) là
môt cơ sờ của không gian KJ.
Xét hệ thức: k,P| + kjPj + k,Pj = 0,.
Hệ thức trên tương đuong với hẹ phương trình:
[k. + =0
k, + k, = 0
[k2 + k, = 0
Dễ dàng thấy rẳng hệ phương trình này có nghiệm duy nhất
k, =kj =k, =0. Suy ra hệ véc tơ p, = (1,1,0), Pj =(1,0,1), p, = (0,1,1)
độc lập tuyến tính. Do dó nó là một cơ sờ của khổng gian RJ.
* Toạ độ của véc tơ X trong cơ sở P|, P,, Pj là bộ ba số thực thoả
mãn hẹ phương trình:
l'a, + a 2 =1
j a , + a , = 5
{ a, + a, = 2
Bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm duợc nghiệm duy nhít
của hệ phương ưình là: a, = 2,a, = l,a, = 3. Vậy toạ độ của véc tơ X
trong cơ sở P,,P2, Pj ở trên là (2,-1,3).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hẹ bốn véc tơ: p, =(0,1,3,4), P2 =(1,0,2,3),
Pj = (-3,-2,0,-5), P4 =(4,3,-5,0) lập thành một ca sở cùa không

gian R“. Tun toạ độ của véc tơ X = (-5,-4,12,5) ữongcơsởđó.
Giải:
» Chứng minh hệ bốn véc tơ: p, =(o,l,3,4), Pj =(l,0,2,3)
= (“3,-2,0,-5), P4 =(4,3,-5,0) là một cơ sờ của không gian M\
Xét hệ thức:
k.P. + k^+k^ + k.P^O.
Hệ thúc trên tuơng dương với hệ phuơng trình:
kj - 3lt, + k4 = 0
k, - 2k, + k4 = 0
3k, + 2kj + k< = 0
4k, + 3kj - 5k, = 0
Giải hệ bầng phương pháp khử ẩn liên tiếp:
'0
1
1
0
-3
-2
4
3
-»
0
0
1
-2
-3
3 '
4
3 2 0 -5 3 2 0 -5
k4

3 -5
0 ,
4
3 5
0 ,
'\
0
-2 3
(1 0 2 3 rl 0 -2 3 '
0 1 -3 4
-»
0
-3
4
—*
0 1
-3
4
0 2 6
-14 0 c
12 -22 0 0
12 -22
,0
3 3
-12,
,0 c
12 -24,
k0
0 0
-2>

Dẻ thấy hệ cố nghiệm là k, = k, = k, = k4 = 0. Suy ra hê bđn véc
tơ p, =(0,1,3,4),P2 =(1,0,2,3), p, =(-3,-2,0,-5),P4 =(4,3,-5,0) độc
lập tuyến tính. Do dó nó là cơ sở cùa khồng gian R‘.
* Toạ độ cùa véc tơ X trong cơ sờ p,, P2> p,, p, là hẹ thđng bốn sổ
thực thoả mãn hộ phương trình:
a , - 3a, + a 4 = -5
a, - 2a, + a 4 = -4
3a, + 2a; + a , = 12
4a, + 3(Xj - 5a, = 5
Giải hệ bầng phương pháp khử ân liên tiếp:
'o 1
-3
4 -5 '
'1 0 -2 3
- 4 ’
'1 0
-2
3 - 4 '
1
0
- 2
3
-4 0 1 - 3
4
-5 0
1
-3
4
-5
—» —>

3
2
0
-5
12 3
2 0 - 5
12
0 2
6 - 1 4
2 4
4 3
- 5 0
5 .
4 3 - 5 0
5,
^ 0
3
3 - 1 2
21>
'\ 0 3 -4 ' 0
- 2
3
- 4 '
0
1 -3 4 -5
->
0 1 - 3
4
-5
0

0 12 -2 2
34
0 0 12
-2 2
34
0 12
-2 4
3 6 ;
0 0
- 2
2
/
Từ ma trận cuối này ta dẽ thấy hộ phương ưình đã cho có nghiệm
duy nhất là (a, = 1, a 2 = 2, a 3 = 1, a 4 = -1). Vậy toạ độ của véc tơ X
trong cơ sờ p,, P,, p,, P4 ớ ưên là (1,2,1,-1).
Cơ sở của không gian con
Định nghĩa: Một hẹ véc tơ PpP,, ,Pr cùa không gian con L duợc
gọi là cơ sờ của nó nếu nó thoà mãn hai điều kiện sau:
i. p,,p,, ,p độc lập tuyến tính;
ii. Mọi véc tơ X e L đểu biểu diễn tuyến tính qua hệ véc to
p p p
I * 2ĩ ’ Ẻ"**T'
Chú ý: Với mỏi không gian con L, nó có thể có nhiều cơ sờ khác
nhau, luy nhiên số véc tơ ưong mỗi cơ sở đều bằng nhau. Trên cơ sớ
đó chúng ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa: Số véc tơ ưong một cơ sờ của không gian con được gọi là
số chiều của không gian con dó.
Ví dụ 3: Các tập véc tơ sau dây có phải là không gian con của khổng
gian véc tơ tương ứng hay không? Nếu đúng hãy tìm một cơ sò cùa
khòng gian con đó.

a. L| =Ịx = (x,,Xj) :x2 = oỊc R2;
b. Lj =ỊX = (X|,x2>x3):x2 =2xp x3 =3xiỊ c R ỉ.
Giải:
a. Dỉ dàng chứng minh được L, là không gian con cùa không gian
R- theo định nghĩa ưong §]. Bây giờ ta tìm một co sờ cùa không gian
con này. Xét véc tơ X = (x,,xj )e L, bát kì. Khi đó,
X = (xl,xj) = (x,,0) = x,(l,0) Vx, € R , nghĩa là véc tơ X =(x,,)tj)eL,