Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh vĩnh long năm học 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH LONG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
BẬC THCS NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi : TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20/03/2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (4.0 điểm)
a) Cho x =

(

4+2 3 − 3
5+2

)

3

17 5 − 38 − 2

, tính P = ( x 2 + x − 1)

2016

b) Cho x + y = −5 và x 2 + y 2 = 11 . Tính x 4 + y 4
Bài 2: (4.0 điểm)

a) Giải phương trình x 2 + 4 x = 2 2 x + 3 − 5
5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy − 2 x − 4 y = 24
b) Giải hệ phương trình: 
3 x + (2 x + y − 1)( x − y + 1) = 11

Bài 3: (2.0 điểm) Cho phương trình: x 2 + (m − 1) x − 6 = 0 (1) . (m là tham số). Tìm các giá trị
2
2
của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho biểu thức: A = ( x1 − 9 ) ( x2 − 4 ) đạt giá trị

lớn nhất.
Bài 4: (2.0 điểm) Cho a > 0, b > 0 và ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = ( a + b + 1) ( a 2 + b 2 ) +

4
a+b

Bài 5: (3.0 điểm)
a) Cho p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 và thỏa mãn p = q + 2. Tìm số dư khi chia
p + q cho 12.
b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) sao cho x( x + 1) = y 2 + 1
Bài 6: (3.0 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). H là một điểm di động trên đoạn OA
(H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình
chiếu của M trên OB.
·
a) Chứng minh HKM
= 2 ·AMH
b) Các tiếp tuyến của (O; R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O; R) lần lượt tại D và
E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh : OD.GF = OG.DE.

Bài 7: (2.0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R = 5cm và một điểm P cố định trong đường tròn sao
cho OP = 3cm. Hai dây cung AC và BD thay đổi nhưng vuông góc nhau tại P. Khi diện tích tứ
·
giác ABCD đạt giá trị lớn nhất hãy tính diện tích đó và số đo góc OPD
.
------Hết-----Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Giáo viên: Mai Văn Vinh THCS Trần Phú