bài tập xác suất thống kê full có giải

` TA
ˆ. P XAC
´ SUA
ˆ´T
BAI
Cˆ
au 1: C´
o 3 lˆo sa’n phˆa’m, mˆo˜i lˆo c´o 10 sa’n phˆa’m. Lˆo th´u. i c´o i sa’n phˆa’m

xˆa´u
(i = 1,2,3). Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen o’. mˆo˜i lˆo ra mˆo.t sa’n phˆa’m. T´ınh c´ac x´ac xuˆa´t
sau:
a) Ca’ 3 sa’n phˆa’m d¯`ˆeu tˆo´t .
b) C´o d¯u´ng hai sa’n phˆa’m tˆo´t.
Gia’i:
a) Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ca’ 3 sa’n phˆa’m l`a tˆo´t. Ai biˆe´n cˆo´ sa’n phˆa’m thuˆo.c lˆo
.
th´u i, (i = 1, 2, 3) l`a tˆo´t. Khi d¯´o ta c´o:
A = A1 A2 A3 , v`ı A1 , A2 , A3 d
¯ˆo.c lˆa.p do d¯o´:
P (A) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ).
Vˆa.y P (A) = 0, 9.0, 8.0, 7 = 0, 504.
b) Go.i B l`a biˆe´n cˆo´ c´o d¯u´ng 2 sa’n phˆa’m tˆo´t. Khi d¯o´ ta c´o:
B = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 .
P (B)
P (B)

´c
xung kh˘
a

=

P (A1 A2 A3 ) + P (A1 A2 A3 ) + P (A1 A2 A3 )

d
¯ˆ
o.c lˆ
a.p

= P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ).
P (B) = 0, 398.

Vˆa.y
`om 1000 linh kiˆe.n A, 800 linh kiˆe.n B, 2000 linh kiˆe.n C.
Cˆ
au 2: Mˆ
o.t m´ay t´ınh gˆ
´
`an lu.o..t l`a 0,001; 0,005 v`a 0,002. M´ay
’
’
X´ac suˆat hong cua 3 loa.i linh kiˆe.n d¯o´ lˆ
`eu ho.n 1. Gia’ su’. c´ac linh kiˆe.n
t´ınh ngu.ng hoa.t d¯oˆ. ng khi sˆo´ linh kiˆe.n ho’ng nhiˆ
ho’ng d¯ˆo.c lˆa.p nhau .
a) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o ho.n 1 linh kiˆe.n loa.i A ho’ng.
b) T`ım x´ac xuˆa´t d¯ˆe’ m´ay t´ınh ngu.ng hoa.t d¯oˆ. ng.
Gia’i:
a) Go.i X1 , X2 , X3 l`a sˆo´ linh kiˆe.n ho’ng tu.o.ng u´.ng cu’a c´ac loa.i A, B, C.
P (X1 > 1) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − [P (X1 = 0) + P (X1 = 1)].

Trong tru.`o.ng ho..p d˜ay ph´ep thu’. d¯ˆo.c lˆa.p c´o n l´o.n v`a p nho’ ta ´ap du.ng
k
d¯.inh l´y Poisson : Pn (k) ≈ e−λ λk! , trong d¯o´ λ = np.
0
1
Vˆa.y P (X1 > 1) = 1 − [e−1 10! + e−1 11! ] = 1 − 2e .
b) Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ m´ay ngu.ng hoa.t d¯ˆo.ng. Khi d¯´o P (A) = 1 − P (A)
P (A) = P [(X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0) ∪ (X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0)
∪ (X1 = 0, X2 = 1, X3 = 0) ∪ (X1 = 0, X2 = 0, X3 = 1)]
= P (X1 = 0)P (X2 = 0)P (X3 = 0) + P (X1 = 1)P (X2 = 0)P (X3 = 0)
+ P (X1 = 0)P (X2 = 1)P (X3 = 0) + P (X1 = 0)P (X2 = 0)P (X3 = 1)

Vˆa.y P (A) = 1 − P (A) = 1 − 10
e9 .
.
.
Cˆ
au 3: Mˆ
o.t ngu `o i nuˆoi 100 con g`a m´ai. X´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t con bˆa´t k`y d¯e’ tr´u.ng
l`a 0,6 . T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o:
- u´ng 60 con d¯e’ tr´u.ng trong 1 ng`ay.
a) D
b) Khˆong ´ıt ho.n 60 con d¯e’ tr´u.ng trong 1 ng`ay.
Gia’i:


2

a)
1

k − np
ϕ( √
)
npq
npq
1
60 − 100 × 0, 6
√
ϕ( √
)
100 × 0, 6 × 0, 4
100 × 0, 6 × 0, 4
1
1
= √ ϕ(0) = √ 0.399 = 0, 816
2 6
2 6

P100 (60) ≈ √

b)
100 − 100 × 0, 6
60 − 100 × 0, 6
P100 (60; 100) ≈ Φ( √
) − Φ( √
) = Φ(8, 1) ≈ 0, 5
100 × 0, 6 × 0, 4
100 × 0, 6 × 0, 4

`a ng 96% sa’n phˆa’m cu’a nh`a m´ay c´o chˆa´t

Cˆ
au 4: Qua thˆ
o´ng kˆe ngu.`o.i ta biˆe´t r˘

lu.o..ng cao. Tuy nhiˆen do d¯o.n gia’n ho´a qu´a tr`ınh kiˆe’m tra chˆa´t lu.o..ng sa’n
phˆa’m th`ı 2% sa’n phˆa’m c´o chˆa´t lu.o..ng cao s˜e khˆong d¯u.o..c cˆong nhˆa.n n˜u.a v`a
5% sa’n phˆ
a’m khˆong c´o chˆa´t lu.o..ng la.i d¯u.o..c cˆong nhˆa.n l`a c´o chˆa´t lu.o..ng cao.
H˜ay t`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sau khi kiˆe’m tra mˆo.t sa’n phˆa’m d¯u.o..c cˆong nhˆa.n c´o chˆa´t
lu.o..ng cao d¯u´ng l`a sa’n phˆa’m c´o chˆa´t lu.o..ng cao.
Gia’i:
A2 sa’n phˆ
a’m lˆa´y ra khˆong c´o chˆa´t lu.o..ng cao, B sa’n phˆa’m lˆa´y ra d¯u.o..c
cˆong nhˆa.n c´o chˆa´t lu.o..ng cao.
´ du.ng cˆong th´u.c Baye
Ap
´s ta c´o:
P (B|A1 )P (A1 )
P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 )
0, 98 × 0, 96
=
= 0, 998
0, 98 × 0, 96 + 0, 05 × 0, 04

P (A1 |B) =

`om : 12 sa’n phˆa’m do nh`a m´ay
Cˆ
au 5: Trong mˆ
o.t hˆo.p d¯u..ng 20 sa’n phˆa’m gˆ

.
.
th´u nhˆa´t sa’n xuˆa´t v´o i tı’ lˆe. phˆe´ phˆa’m 1% v`a 8 sa’n phˆa’m do nh`a m´ay th´u. hai
sa’n xuˆa´t v´o.i tı’ lˆe. phˆe´ phˆa’m 1, 5%. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 1 sa’n phˆa’m t´ınh x´ac suˆa´t
d¯ˆe’:

a) Sa’n phˆa’m d¯o´ l`a phˆe´ phˆa’m.
b) Sa’n phˆa’m d¯´o thuˆo.c nh`a m´ay th´u. nhˆa´t khi n´o l`a phˆe´ phˆa’m.
Gia’i:
a) Go.i B sa’n phˆa’m l`a phˆe´ phˆa’m. Ai sa’n phˆa’m thuˆo.c nh`a m´ay th´u.
i, (i = 1, 2).
´ du.ng cˆong th´u.c x´ac suˆa´t to`an phˆ
`an ta d¯u.o..c:
Ap
P (B) = P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 ) = 0, 012.

´ du.ng cˆong th´u.c Bays
b) Ap
P (A1 |B) =

P (B|A1 )P (A1 )
= 0, 5.
P (B)


3

Cˆ
au 6: Mˆ
o.t xa. thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t c´ai bia. X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch l`a 0,7. Anh ta

c´o 4 viˆen d¯a.n; anh ta b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n khi tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i
thˆoi.
a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
Gia’i:
b) K`y vo.ng
4

E(X) =

xi pi = 1.0, 7 + 2.0, 21 + 3.0, 063 + 4.0, 027 = 1, 417.
i=1

Phu.o.ng sai
4

(xi − a)2 pi = 0, 5295.

D(X) =
i=1

Cˆ
au 7: Trong d
¯oˆ. i b´ong d¯´a cu’a khoa c´o 5 sinh viˆen n˘am th´u. 1; 6 sinh viˆen n˘am

th´u. 2; 4 sinh viˆen n˘am th´u. 3. X´ac suˆa´t tham gia d¯oˆ. i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng tu.o.ng
u´.ng l`a 0,75 ; 0,7 v`a 0,8. G˘a.p mˆo.t sinh viˆen trong d¯oˆ. i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng . Ho’i
`eu nhˆa´t?
sinh viˆen n`ay c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am n`ao nhiˆ

Gia’i:
Go.i H = { sinh viˆen thuˆo.c d¯oˆ. i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng }.
Ai = { sinh viˆ
en thuˆo.c n˘am th´u. i } i=1,2,3.
P (H) =
P (A1 ) =

5
6
4
.0, 75 + .0, 7 + .0, 8 = 0, 743.
15
15
15

0, 25
0, 28
0, 213
P (A2 ) =
P (A3 ) =
.
0, 743
0, 743
0, 743

`eu nhˆa´t.
Vˆa.y sinh viˆen c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am th´u. 2 nhiˆ
.
Cˆ
au 8: C´

o 5 sinh viˆen nhu ng chı’ c´o 2 v´e b´ong d¯´a. Ho. viˆe´t 5 c´ai phiˆe´u trˆen d¯o´
´
`an lu.o..t r´ut mˆo.t phiˆe´u
2 phiˆeu ghi “c´o” v`a 3 phiˆe´u ghi “khˆong”. Mˆo˜i ngu.`o.i lˆ
nˆe´u ai d¯u.o..c phiˆe´u “c´o” th`ı d¯u.o..c d¯i xem. Ho’i c´ach r´ut phiˆe´u nhu. vˆa.y c´o cˆong
`a ng hay khˆong?
b˘
Gia’i:
Go.i A = { r´ut d¯u.o..c phiˆe´u ghi ”c´o” } .
Sˆo´ kˆe´t qua’ thuˆa.n lo..i cho biˆe´n cˆo´ A l`a m = 2 × C53 ; sˆo´ kˆe´t qua’ d¯`ˆong kha’
n˘ang n = 5!.
Vˆa.y
P (A) = 25 .
`om 10 cˆau ho’i. Sˆo´ sinh viˆen trong l´o.p
Cˆ
au 9: Trong k`
y thi triˆe´t d¯`ˆe cu.o.ng gˆ
chuˆa’n bi. b`ai theo tı’ lˆe. sau : 50% ho.c ca’ 10 cˆau ; 30% ho.c 7 cˆau v`a sˆo´ c`on la.i
chı’ ho.c 5 cˆau. Trˆen mˆo˜i phiˆe´u ho’i thi c´o 2 cˆau ho’i. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ 1 sinh
viˆen tra’ l`o.i d¯u.o..c ca’ 2 cˆau ho’i.
Gia’i:
Go.i Ak = { sv thuˆo.c nh´om th´u. k } k = 1, 2, 3.
v`a H = { sv tra’ l`o.i ca’ 2 cˆau ho’i } .
´ du.ng cˆong th´u.c x´ac suˆa´t to`an phˆ
`an
Ap


4

P (H) = 1/2.1 + 3/10.7/15 + 1/5.2/9 = 0, 68.
Cˆ
au 10: Trong d
¯ˆo.i b´ong d¯´a cu’a khoa c´o 5 sinh viˆen n˘am th´u. 1; 6 sinh viˆen

n˘am th´u. 2; 4 sinh viˆen n˘am th´u. 3. X´ac suˆa´t tham gia d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng
tu.o.ng u´.ng l`a 0,7 ; 0,9 v`a 0,8. G˘a.p mˆo.t sinh viˆen trong d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng
`eu nhˆa´t?
. Ho’i sinh viˆen n`ay c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am n`ao nhiˆ
Gia’i:
Go.i Ak = { sv thuˆo.c n˘am th´u. k } v`a H = { sv thuˆo.c d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng
}.
P (A1 |H) =

5.0, 7
= 0, 29
5.0, 7 + 6.0, 9 + 4.0, 8

P (A2 |H) =

6.0, 9
= 0, 45
5.0, 7 + 6.0, 9 + 4.0, 8

P (A3 |H) =

4.0, 8
= 0, 26.
5.0, 7 + 6.0, 9 + 4.0, 8

`eu kha’ n˘ang thuˆo.c v`ao n˘am 2.
So s´anh kˆe´t qua’ ta thˆa´y sv n`ay c´o nhiˆ
.
`au gˆ
`om : 7 cˆ
`au d¯o’, 5 cˆ
`au xanh , 18
Cˆ
au 11: Trong mˆ
o.t hˆo.p d¯u. ng 30 qua’ cˆ
`au v`ang. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 3 qua’ cˆ
`au t´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ :
cˆ
a) C´o 3 qua’ c`ung m`au.
b) C´o ´ıt nhˆa´t 2 qua’ kh´ac m`au.
Gia’i:
a) Go.i A = { biˆe´n cˆo´ 3 qu’a c`ung m`au }.
X´ac suˆa´t 3cu’a3 A 3l`a
P (A) =

C7 +C5 +C18
3
C30

= 0, 212

b) P (A) = 1 − P (A) = 0, 788.
Cˆ
au 12: Trong mˆ
o.t l´o.p c´o 15 sinh viˆen d¯i thi. C´o 5 sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t, 7

sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a, 2 sinh viˆen chuˆa’n bi. trung b`ınh v`a 1 sinh viˆen chuˆa’n
bi. k´em. Trong c´ac phiˆe´u thi c´o 20 cˆau ho’i. Sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t c´o thˆe’ tra’
l`o.i d¯u.o..c ca’ 20 cˆau ho’i , sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a tra’ l`o.i d¯u.o..c 15 cˆau, sinh viˆen
trung b`ınh tra’ l`o.i d¯u.o..c 10 cˆau, c`on sinh viˆen k´em chı’ c´o thˆe’ tra’ l`o.i d¯u.o..c 5
cˆau. Mˆo.t sinh viˆen d¯u.o..c go.i mˆo.t c´ach ngˆa˜u nhiˆen tra’ l`o.i d¯u.o..c 3 cˆau ho’i tu`y
´y. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’:
a) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. tˆo´t.
b) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. k´em.
Gia’i:
Go.i Ak = { sinh viˆen chuˆa’n bi. loa.i k } k=1,2,3,4; k´ı hiˆe.u 1:tˆo´t; 2:kh´a;
3:trung b`ınh; 4:k´em.
B = { sinh viˆ
en tra’ l`o.i d¯u.o..c ca’ 3 cˆau ho’i }.
Ta c´o
P (A1 ) =

5
7
2
1
; P (A2 ) =
; P (A3 ) =
; P (A4 ) =
15
15
15
15

P (B|A1 ) = 1; P (B|A2 ) =

25
2
1
; P (B|A3 ) =
; P (B|A4 ) =
.
57
19
114


5

´ du.ng cˆong th´u.c Baye
Ap
´s ta c´o:
P (A1 |B) =

513
= 0, 585;
876

P (A4 |B) =

1
= 0, 0011.
876

Cˆ
au 13: Ba hˆ

o.p ke.o giˆo´ng nhau. Hˆo.p 1 c´o 25 viˆen ke.o cam; hˆo.p 2 c´o 15 viˆen

ke.o chanh v`a 10 viˆen ke.o cam; hˆo.p 3 c´o 20 viˆen ke.o chanh v`a 5 viˆen cam.
Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen ra mˆo.t hˆo.p v`a t`u. hˆo.p d¯o´ lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 1 viˆen ke.o .
T`ım x´ac d¯ˆe’ viˆen ke.o d¯´o l`a ke.o cam.
Gia’i:
Go.i Ak = { viˆen ke.o lˆa´y ra thuˆo.c hˆo.p th´u. k } k=1,2,3; k´ı hiˆe.u
B = {viˆ
en ke.o lˆa´y ra l`a ke.o cam }.
Ta c´o
P (A1 ) =

1
1
1
; P (A2 ) = ; P (A3 ) =
3
3
3

P (B|A1 ) = 1; P (B|A2 ) =

10
5
; P (B|A3 ) =
.
25
25

´ du.ng cˆong th´u.c xa

`an ta c´o:
Ap
´ c suˆa´t toa`n phˆ
P (B) =

1
[1 + 0, 4 + 0, 2] = 0, 533.
3

Cˆ
au 14: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mˆo.t mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯oˆ. c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t

`an lu.o..t cu’a t`u.ng ngu.`o.i la`: ngu.`o.i th´u. nhˆa´t 0,8, ngu.`o.i th´u. hai
b˘a´n tr´ung d¯´ıch lˆ
0,75, ngu.`o.i th´u. ba 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:
- ˆe’ ´ıt nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
a) D
- ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
b) D
Gia’i:
a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch
ı
i = 1, 2, 3.
.
.
Va` A biˆe´n cˆo´ co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t ngu `o i b˘a´n tru

´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o A la` biˆe´n cˆo´
.
.
´
khˆong co
´ ngu `o i na`o b˘an tru
´ ng d¯´ch.
ı
Ta co
´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 2.0, 25.0, 3 = 0, 015.
Vˆa.y P (A) = 0, 985.
b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
P (B) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )
= 0, 8.0, 25.0, 3 + 0, 2.0, 75.0, 3 + 0, 2.0, 25.0, 7.

`au gˆ
`om : 7 cˆ
`au d¯o’, 11 cˆ
`au xanh, 12
Cˆ
au 15: Trong mˆ
o.t hˆo.p d¯u..ng 30 qua’ cˆ

`au va`ng. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen lˆ

`an lu.o..t 3 qua’ cˆ
`au tı´nh xa
cˆ
´ c suˆa´t d¯ˆe’ co
´ 3 qua’ cu`ng
.
.
.
ma`u trong hai tru `o ng ho. p sau:
a) Cho.n khˆong hoa`n la.i;
b) Cho.n hoa`n la.i.
Gia’i:


6

`an lu.o..t
a) Trong tru.`o.ng ho..p cho.n khˆong hoa`n la.i. Ta go.i A-D, AV , AX , A lˆ
la` ca
´ c biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯ˆe’ 3 bi cu`ng ma`u d¯o’, cu`ng ma`u va`ng, cu`ng ma`u
xanh, cu`ng ma`u. Khi d¯´o theo cˆong th´u.c cˆo.ng ta d¯u.o..c
P (A) = P (A-D) + P (AV ) + P (AX )
3
3
C11
C12
C73
+
+
3

3
3
C30
C30
C30
= 0, 1034.

=

`an lu.o..t la` ca
´ c biˆe´n
b) Trong tru.`o.ng ho..p cho.n hoa`n la.i. Ta go.i B-D, BV , BX , B lˆ
cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯ˆe’ 3 bi cu`ng ma`u d¯o’, cu`ng ma`u va`ng, cu`ng ma`u xanh, cu`ng
ma`u. Khi d¯´o theo cˆong th´u.c cˆo.ng ta d¯u.o..c
P (B) = P (B-D) + P (BV ) + P (BX )
7
11
12
= ( )3 + ( )3 + ( )3
30
30
30
= 0, 126.
Cˆ
au 16: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mˆo.t mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯oˆ. c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t

`an lu.o..t cu’a t`u.ng ngu.`o.i la`: ngu.`o.i th´u. nhˆa´t 0,8, ngu.`o.i th´u. hai
b˘a´n tr´ung d¯´ıch lˆ
0,75, ngu.`o.i th´u. ba 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:

- ˆe’ ca’ 3 xa. thu’ b˘a´n tr´ung.
a) D
- ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
b) D
Gia’i:
a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch
ı
i = 1, 2, 3.
.
.
Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ 3 ngu `o i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
Ta co
´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 8.0, 75.0, 7.
Vˆa.y P (A) = 0, 985.
b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
P (B) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )
= 0, 8.0, 25.0, 3 + 0, 2.0, 75.0, 3 + 0, 2.0, 25.0, 7.

`en c´u.ng ph˘a’ng.
Cˆ
au 17: Tung 2 con x´
uc x˘a´c d¯`oˆng chˆa´t trˆen nˆ

a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o’. m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a
2 con x´uc x˘a´c l`a 8.
b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2.
Gia’i:
a) Go.i Ak = { biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m l`a k }.
P (A8 ) =

5
.
36

b) Go.i C = { biˆe´n cˆo´ to’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2 }.
P (C) =

18
= 0, 5.
36


7

Cˆ
au 18: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t b˘a´n

tr´ung d¯´ıch cu’a ngu.`o.i th´u. nhˆa´t b˘`a ng 0,8; cu’a ngu.`o.i th´u. hai b˘`a ng 0,75; cu’a
ngu.`o.i th´u. ba b˘`a ng 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:
- ˆe’ ca’ 3 xa. thu’ b˘a´n tru.o..t.
a) D

- ˆe’ ´t
b) D
ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i:
a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru.o..t i = 1, 2, 3.
Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ 3 ngu.`o.i b˘a´n tru.o..t. Khi d¯´o
Ta co
´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 2.0, 25.0, 3.
Vˆa.y P (A) = 0, 015.
b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (A) = 1 − 0, 015 = 0, 985.
Cˆ
au 19: Trong viˆ
e.c chˆe´ ta.o mˆo.t sa’n phˆa’m, viˆe.c chuˆa’n bi. pha’i qua 4 thao t´ac.

`a ng su.. thiˆe´u s´ot trˆen c´ac khˆau riˆeng biˆe.t l`a c´ac biˆe´n cˆo´ d¯oˆ. c lˆa.p. T`ım
Gia’ su’. r˘
x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sa’n phˆa’m chˆe´ ta.o d¯u´ng qui c´ach nˆe´u x´ac suˆa´t pha.m thiˆe´u s´ot o’.
thao t´ac th´u. nhˆa´t l`a 0,02; o’. thao t´ac th´u. hai l`a 0,01; o’. thao t´ac th´u. ba l`a
0,02 v`a o’. thao t´ac th´u. tu. l`a 0,03.
Gia’i:
Go.i A ={ sa’n phˆa’m khˆong d¯u´ng qui c´ach}.
Khi d¯´o: A ={ sa’n phˆa’m d¯u´ng qui c´ach}.
P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 )
= P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ).

V´o.i P (A1 ) = 1 − P (A1 ) = 1 − 0, 02 = 0, 98.
P (A2 ) = 1 − P (A2 ) = 1 − 0, 01 = 0, 99.
P (A3 ) = 1 − P (A3 ) = 1 − 0, 02 = 0, 98.
P (A4 ) = 1 − P (A4 ) = 1 − 0, 03 = 0, 97.
Vˆa.y P (A) = 0, 92.
`en c´u.ng ph˘a’ng.
Cˆ
au 20: Tung 2 con x´
uc x˘a´c d¯`oˆng chˆa´t trˆen nˆ

a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o’. m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a
2 con x´uc x˘a´c l`a 8.
b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2.
Gia’i:
a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o’. m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a
2 con x´uc x˘a´c l`a 8.
b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2.
1
Cˆ
au 21: Trong mˆ
o.t l´o.p ho.c co
´ 6 bo
´ ng d¯`en, mˆo˜i bo
´ ng co
´ xa
´ c suˆa´t cha
´ y la` .
4
L´o.p ho.c d¯u’ ´anh sa

´ ng nˆe´u co
´ ´t
ı nhˆa´t 4 bo
´ ng d¯`en sa
´ ng. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p
ho.c khˆong d¯u’ ´anh sa
´ ng.
Gia’i:
Mˆo˜i bo
´ ng co
´ xa
´ c suˆa´t cha
´ y la` 14 . Suy ra xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ 1 bo
´ ng sa
´ ng la` 43 .
´ ng.
Co
´ ´t
ı nhˆa´t 4 bo
´ ng sa
´ ng. Go.i P la` xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c d¯u’ ´anh sa


8

3
1

3 1
3
P = C64 .( )4 .( )2 + C65 .( )5 . + C66 ( )6 = 0, 8303
4
4
4 4
4

Vˆa.y xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c khˆong d¯u’ ´anh sa
´ ng la`: 1 − P = 0, 1695.
´
`
Cˆ
au 22: Mˆ
o.t ba`i thi tr˘ac nghiˆe.m gˆom 12 cˆau ho’i, mˆo˜i cˆau ho’i cho 5 cˆau tra’
.
l`o i, trong d¯´o chı’ co
´ mˆo.t cˆau d¯´ung. Gia’ su’. mˆo.t cˆau tra’ l`o.i d¯´ung d¯u.o..c 4 d¯iˆe’m.
Mˆo.t ho.c sinh ke
´m la`m ba`i b˘`a ng ca
´ ch cho.n hu
´ hoa. mˆo.t cˆau tra’ l`o.i. Tı´nh xa
´c
’
´
suˆa t d¯ˆe :
a) Anh ta d¯u.o..c 13 d¯iˆe’m.
b) Anh ta d¯u.o..c d¯iˆe’m ˆam.
Gia’i:

a)Anh ta d¯u.o..c 13 d¯iˆe’m trong tru.`o.ng ho..p tra’ l`o.i d¯´ung 5 cˆau va` tra’ l`o.i sai
7 cˆau. Xa
´ c xuˆa´t tra’ l`o.i d¯´ung cˆau ho’i 15 .Xa
´ c xuˆa´t tra’ l`o.i sai cˆau ho’i 54 . Vˆa.y
1
4
xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ d¯u.o..c 13 d¯iˆe’m la`: C1 25 .( )5 .( )7 = 0, 053
5
5
.
’
’
b) Anh ta bi. d¯iˆe m ˆam khi tra l`o i d¯´ung ´t
ı ho.n 3 cˆau.Go.i x la` sˆo´ cˆau d¯´ung,
sˆo´ cˆau sai la` 12 − x. Bˆa´t phu.o.ng trı`nh 4x < 12 − x xa’y ra khi x = 0, 1, 2
Vˆa.y: P = C1 20 .( 54 )1 2 + C1 21 . 15 .( 45 )1 1 + C1 22 .( 15 )1 .( 45 )1 0
= 0, 0687 + 0, 2062 + 0, 2835 = 0, 5583
Cˆ
au 23: Gieo d
¯`oˆng th`o.i ba con xu
´ c s˘a´c. Anh la` ngu.`o.i th˘a´ng cuˆo.c nˆe´u co
´

xuˆa´t hiˆe.n ´t
ı nhˆa´t 2 ”lu.c”. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ trong 5 va
´ n cho.i anh th˘a´ng ´t
ı
´

nhˆa t la` 3 va
´ n.
Gia’i:
Xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ quˆan lu.c xuˆa´t hiˆe.n la`: 16
Xa
´ c xuˆa´t khˆong pha’i la` quˆan lu.c xuˆa´t hiˆe.n la`: 56
Xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ th˘a´ng trong 1 va
´ n la`:
1 5
1
16
2
C32 .( )2 . + ( )3 =
=
6 6
6
216
27

Vˆa.y xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ th˘a´ng ´t
ı nhˆa´t 3 va
´ n la`:
C53 .(

2 3 25 2
2
25

2
) .( ) +C54 .( )4 . +( )5 = 0, 00348+0, 00014+0, 00000223 = 0, 0036
27
27
27 27
27

Cˆ
au 24: Mˆ
o.t ngu.`o.i b˘a´n 3 viˆen d¯a.n. Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ca’ 3 viˆen tru
´ ng vo`ng 10 la`
’
0, 0008, xa
´ c suˆa´t d¯ˆe 1 viˆen tru
´ ng vo`ng 8 la` 0, 15, va` xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ 1 viˆen tru
´ ng
.
.
’
’
vo`ng du ´o i 8 la` 0, 4. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe xa. thu’ d¯a.t ´t
ı nhˆa´t 28 d¯iˆe m.

Gia’i:
`eu kiˆe.n ba`i toa
T`u. d¯iˆ
´ n suy ra xa

´ c xuˆa´t b˘a´n tru
´ ng vo`ng 10 la` 0,2; tru
´ ng
.
.
.
vo`ng 9 la` 0,25. Xa. thu’ d¯a.t ´t
ı nhˆa´t 28 d¯iˆe’m trong ca
´ c tru `o ng ho. p sau:
a) 1 viˆen 10 va` 2 viˆen 9.Xa
´ c xuˆa´t la`: 3.(0, 2).(0, 25)2 = 0, 0375
b) 2 viˆen 10 va` 1 viˆen 9.Xa
´ c xuˆa´t la`: 3.(0, 2)2 .(0, 25) = 0, 03
c) 2 viˆen 10 va` 1 viˆen 8.Xa
´ c xuˆa´t la`: 3.(0, 2)2 .(0, 15) = 0, 018
d) Ca’ 3 viˆen 10.Xa
´ c xuˆa´t la` 0,008. Vˆa.y P la` xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ d¯a.t ´t
ı nhˆa´t 28
d¯iˆe’m: P = 0, 0375 + 0, 03 + 0, 018 + 0, 008 = 0, 0935
Cˆ
au 25: Mˆ
o.t ma
´ y bay co
´ 5 d¯oˆ. ng co., trong d¯´o co
´ 3 d¯oˆ. ng co. o’. ca
´ nh pha’i va`
.
.
.

.
2 d¯oˆ. ng co o’ ca
´ nh tra
´ i. Mˆo˜i d¯oˆ. ng co o’ ca
´ nh pha’i co
´ xa
´ c suˆa´t bi. ho’ng la` 0, 1,
.
.
co`n mˆo˜i d¯ˆo.ng co o’ ca
´ nh tra
´ i co
´ xa
´ c suˆa´t bi. ho’ng la` 0, 05. Ca
´ c d¯oˆ. ng co. hoa.t
d¯ˆo.ng d¯oˆ. c lˆa.p. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ma
´ y bay thu..c hiˆe.n chuyˆe´n bay an toa`n trong
.
.
.
ca
´ c tru `o ng ho. p sau:


9

a) Ma
´ y bay chı’ bay d¯u.o..c nˆe´u co
´ ´t

ı nhˆa´t hai d¯oˆ. ng co. la`m viˆe.c.
b) Ma
´ y bay chı’ bay d¯u.o..c khi trˆen mˆo˜i ca
´ nh cu’a no
´ co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t d¯ˆo.ng
.
co la`m viˆe.c.
Gia’i:
˜ ro.i khi tˆa´t ca’ ca
´ c d¯ˆo.ng co. d¯`ˆeu ho’ng ho˘a.c chı’ co
´ 1 d¯oˆ. ng co.
a)Ma
´ y bay se
la`m viˆe.c.
Go.i P la` xa
´ c suˆa´t tˆa´t ca’ ca
´ c d¯ˆo.ng co. ho’ng :P = (0, 1)3 .(0, 05)2 Q la` xa
´c
.
´
’
suˆa t 4 d¯oˆ. ng co hong:
Q = 2.(0, 1)3 .(0, 05).(0, 95) + 3.(0, 1)2 .(0, 9).(0, 05)2

A la` xa
´ c suˆa´t ma
´ y bay ro.i:

A = (0, 1)3 .(0, 05)2 + 2.(0, 1)3 .(0, 05).(0, 95) + 3.(0, 1)2 .(0, 9).(0, 05)2 = 0, 00016
B la` xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ ma
´ y bay bay an toa`n = 1 − 0, 00016 = 0, 99984
’
b) P- Ca
´ nh phai co
´ ´t
ı nhˆa´t 1 d¯oˆ. ng co. la`m viˆe.c = 1 − (0, 1)2 = 0, 99
Q-Ca
´ nh tra
´ i co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t d¯ˆo.ng co. la`m viˆe.c = (1 − (), 05)2 = 0, 9975
Vˆa.y A-Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ma
´ y bay bay an toa`n la` = (0, 99).(0, 9975) = (0, 9875)
.
.
Cˆ
au 26: Mˆ
o.t ngu `o i say ru.o..u bu.´o.c 8 bu.´o.c. Mˆo˜i bu.´o.c anh ta tiˆe´n lˆen phı´a

´t ho˘a.c lu`i la.i phı´a sau mˆo.t me
´t v´o.i xa
´ c suˆa´t nhu. nhau. Tı´nh
tru.´o.c mˆo.t me
xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ sau 8 bu.´o.c:
a) Anh ta tro’. la.i d¯iˆe’m xuˆa´t pha

´ t.
b) Anh ta ca
´ ch d¯iˆe’m xuˆa´t pha
´ t ho.n 4m.
Gia’i:
a)Anh ta tro’. la.i d¯iˆe’m xuˆa´t pha
´ t khi tiˆe´n 4 bu.´o.c va` lu`i 4 bu.´o.c. Vˆa.y
1
1
70
P = C84 .( )4 .( )4 =
2
2
256

b)Anh ta ca
´ ch d¯iˆe’m xuˆa´t pha
´ t ho.n 4m nˆe´u sˆo´ bu.´o.c tiˆe´n la` 8,7,0,1.
1
1 1
1
1
18
Vˆa.y: P = C88 .( )8 + C87 .( )7 . + C80 .( )8 + C81 .( )8 =
2
2 2
2
2
256
Cˆ

au 27: Gieo 3 con xu
´ c s˘a´c cˆan x´u.ng d¯oˆ. c lˆa.p. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’:
`a ng ´t
a) Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t xuˆa´t hiˆe.n la` 8 nˆe´u biˆe´t r˘
ı nhˆa´t co
´ mˆo.t con ra nˆo´t
1.
`a ng sˆo´ nˆo´t trˆen 3 con la` kha
b) Co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ra lu.c nˆe´u biˆe´t r˘
´c
nhau.
Gia’i:
a)Go.i A la` biˆe´n cˆo´ :”Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t la` 8” va` B la` biˆe´n cˆo´:”Co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t
con ra nˆo´t 1”.
`a ng 8 la`:(2,3,3);(2,2,4);(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4) va`
Ca
´ c tru.`o.ng hˆo. co
´ tˆo’ng b˘
ca
´ c hoa
´ n vi. cu’a chu
´ ng.
.
.
.

´
´ thˆe’ la` 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 = 21
T`u d¯´o sˆo tru `o ng ho..p co
21
Do d¯´o P (A) =
216

P (A/B) =

P (AB)
P (B)

- ˆe’ tı´nh P (AB), ta thˆa´y ca
`a ng 8 ma` trong d¯´o co
D
´ c tˆo’ ho..p co
´ tˆo’ng b˘
´ ”1”

la` (1, 1, 6); (1, 2, 5); (1, 3, 4).
15
3+6+6
=
Vˆa.y P (AB) =
216
216
˜
´
Dˆe thˆa y

10

5
91
P (B) = 1 − ( )3 =
6
216
15
Vˆa.y P (A/B) = .
91
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ra lu.c”
b)Go.i A: ”Co
B : ”Sˆ
o´ nˆo´t trˆen 3 con kha
´ c nhau”.
Ta co
´ P (A/B) = PP(AB)
;
(B)
3.5.4
60
P (AB) = 216 = 216 ;
P (B) = 6.5.4
216
Vˆa.y P (A/B) = 12
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ca’ hai d¯u´.a d¯`ˆeu la`
Cˆ
au 28: Mˆ

o.t gia d¯`nh
ı co
´ hai d¯u´.a con. Tı`m xa

`a ng ´t
con trai nˆe´u biˆe´t r˘
ı nhˆa´t trong hai d¯u´.a co
´ mˆo.t d¯u´.a trai (gia’ thiˆe´t xa
´c
`
´
suˆa t sinh con trai va` con ga
´ i b˘a ng nhau).
Gia’i:
´ 1 d¯u´.a la` trai”
Go.i A: ”Ca’ 2 d¯u´.a la` con trai”. B : ”ı´t nhˆa´t co
Ta co
´ P (AB) = 41 , P (B) = 1 − 14 = 34
Vˆa.y P (A/B) = 13
Cˆ
au 29: Mˆ
o.t cuˆo.c thi co
´ 3 vo`ng. Vo`ng 1 lˆa´y 90% thı´ sinh. Vo`ng 2 lˆa´y 80%
’
thı´ sinh cua vo`ng 1 va` vo`ng 3 lˆa´y 90% thı´ sinh cu’a vo`ng 2.
a) Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t thı´ sinh lo.t qua 3 vo`ng thi.
`a ng thı´ sinh
b) Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t thı´ sinh bi. loa.i o’. vo`ng 2 nˆe´u biˆe´t r˘

d¯´o bi. loa.i.
Gia’i:
a) Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ thı´ sinh lo.t qua 3 vo`ng la`:
p = (0, 9)(0, 8)(0, 9) = 0, 648

`a ng thı´ sinh d¯´o tru.o..t la`:
b) Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ thı´ sinh d¯´o tru.o..t o’. vo`ng 2 biˆe´t r˘
P ({tru.o..t vo
`ng 2})
0, 18
=
= 0, 511
.
.
P ({tru o. t})
0, 352
Cˆ
au 30: Mˆ
o.t c˘a.p tre’ sinh d¯oˆico
´ thˆe’ do cu`ng mˆo.t tr´u.ng (sinh d¯ˆoi thˆa.t), hay
do hai tr´u.ng kha
´ c nhau sinh ra 9sinh d¯oˆi gia’). Ca
´ c c˘a.p sinh d¯oˆi thˆa.t luˆon co
´
.
.
.
.

- ˆo´i v´o i c˘a.p sinh d¯ˆoi gia’ thı` gi´o i tı´nh cu’a mˆo˜i d¯u´ a d¯oˆ. c lˆa.p v´o.i
cu`ng gi´o i tı´nh. D
nhau va` co
´ xa
´ c suˆa´t 0, 5 la` con trai. Thˆo´ng kˆe cho thˆa´y 34% c˘a.p sinh d¯oˆi d¯`ˆeu
la` trai, 30% c˘a.p d¯`ˆeu la` ga
´ i, va` 36% c˘a.p sinh d¯ˆoi co
´ gi´o.i tı´nh kha
´ c nhau.
a) Tı`m tı’ lˆe. c˘a.p sinh d¯oˆi thˆa.t.
b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t c˘a.p sinh d¯ˆoi thı` d¯u.o..c mˆo.t c˘a.p co
´ gi´o.i tı´nh. Tı´nh
xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ d¯´o la` c˘a.p sinh d¯ˆoi thˆa.t.
Gia’i:
Go.i B1 : ”c˘a.p sinh d¯ˆoi la` thˆa.t”, B2 : ”c˘a.p sinh d¯oˆi la` gia’” A: ”C˘a.p sinh
d¯ˆoi cu`ng gi´o.i”
Theo gia’ thiˆe´t P (A) = 0, 34 + 0, 3 = 0, 64 va`
1
2
- ˘a.t P (B1 ) = x, P (B2 ) = 1 − x
D
P (A/B1 ) = 1, P (A/B2 ) =

Theo cˆong th´u.c xa
´ c xuˆa´t d¯`ˆay d¯u’.
P (A) = P (B1 )P (A/B1 ) + P (B2 )P (A/B2 )
1−x
=⇒ 0, 64 = x +
=⇒ x = 0, 28

2


11

b)P (B1 /A) =

P (B1 )P (A/B1 )
0, 28
=
= 0, 4375
P (A)
0, 64

`ong tho’. Chuˆ
`ong th´u. nhˆa´t co
Cˆ
au 31: Co
´ hai chuˆ
´ 5 con tho’ d¯en va` 10 con tho’

`ong th´u. hai co
`ong th´u.
tr˘a´ng. chuˆ
´ 3 con tho’ tr˘a´ng va` 7 con tho’ d¯en. T`u. chuˆ
`oi sau d¯´o la.i
`ong th´u. nhˆa´t, rˆ
hai ta b˘a´t ra ngˆa˜u nghiˆen 1 con tho’ cho va`o chuˆ
.
.

.
.
`ong th´u nhˆa´t ra, thı` d¯u o. c mˆo.t tho’ tr˘a´ng.
b˘a´t ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t con tho’ t`u chuˆ
`ay la` cu’a chuˆ
`ong th´u. nhˆa´t.
Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ tho’ tr˘a´ng nˆ
Gia’i:
`ong 2 b˘a´t d¯u.o..c tho’ tr˘a´ng”,
Go.i E1 : ”T`u. chuˆ
`ong 2 b˘a´t d¯u.o..c tho’ d¯en”
E2 : ”T`
u. chuˆ
`an b˘a´t sau”
A: ”B˘a´t d¯u.o..c tho’ tr˘a´ng o’. lˆ
.
.
`ong 1 o’. lˆ
`an b˘a´t sau”
B: ”B˘a´t d¯u o. c tho’ tr˘a´ng cu’a chuˆ
Ta co
´ P (A) = P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 ) =
3 11
7 10
103
10 . 16 + 10 . 16 = 160 .
P (B) = P (E1 )P (B/E1 ) + P (E2 )P (B/E2 )
3 10
7 10

. 16 + 10
. 16 = 100
= 10
160
P (AB)
P (B)
100
Vˆa.y P (B/A) =
=
=
P (A)
P (A)
103
`ong ga` co
`ong kia co
Cˆ
au 32: Mˆ
o.t chuˆ
´ 9 con ma
´ i va` 1 con trˆo´ng. Chuˆ
´ 1 con

`ong ta b˘a´t ra ngˆa˜u nhiˆen 1 con la`m thi.t. Ca
ma
´ i va` 5 con trˆo´ng. T`u. mˆo˜i chuˆ
´c
.
.
.
.

`on va`o chuˆ
`ong th´u ba. T`u chuˆ
`ong nˆ
`ay ta la.i b˘a´t ngˆa˜u
con ga` co`n la.i d¯u o. c dˆ
.
.
nhiˆen 1 con. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ b˘a´t d¯u o. c ga` trˆo´ng.
Gia’i:
Go.iE1 : ”B˘a´t d¯u.o..c hai ga` trˆo´ng”
E2 : ”B˘
a´t d¯u.o..c hai ga` ma
´ i”
.
.
´
´ i”. E1 , E2 , E3 la` hˆe. d¯`ˆay d¯u’
E3 : ”B˘
at d¯u o. c mˆo.t ga` trˆo´ng va` mˆo.t ga` ma
.
v´o i
1 5
5
. =
10 6
60
9 1
9
P (E2 ) = 10

. 6 = 60
5
9
P (E3 ) = 1 − 60
− 60
=
P (E1 ) =

46
60

`ong th´u. ba”
Go.i A: ”B˘a´t d¯u.o..c ga` trˆo´ng t`u. chuˆ
Khi d¯´o: P (A) = P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 ) + P (E3 )P (A/E3 ) =
5 4
60 . 14

+

9 6
60 . 14

+

46 5
60 . 14

=

304

840

= 0, 3619

2
Cˆ
au 33: Mˆ
o.t chiˆe´c ma
´ y bay co
´ thˆe’ xuˆa´t hiˆe.n o’. vi. trı´ A v´o.i xa
´ c suˆa´t va` o’.
3
1
.
.
.
vi. trı´ B v´o i xa
´ c suˆa´t . Co
´ ba phu o ng ´an bˆo´ trı´ 4 khˆa’u pha
´ o b˘a´n ma
´ y bay
3
.

nhu sau:

a’u d¯˘a.t ta.i A, 1 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.
Phu.o.ng ´a n 1: 3 khˆ
Phu.o.ng ´a n 2: 2 khˆ
a’u d¯˘a.t ta.i A, 2 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.

Phu.o.ng ´a n 3: 1 khˆ
a’u d¯˘a.t ta.i A, 3 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.

`a ng xa
Biˆe´t r˘
´ c suˆa´t b˘a´n tru
´ ng ma
´ y bay cu’a mˆo˜i khˆa’u pha
´ o la` 0, 7 va` ca
´c
.
.
.
’
˜
khˆa u pha
´ o hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p v´o i nhau, ha y cho.n phu o ng ´an tˆo´t nhˆa´t.
’
Giai:
´ y bay xuˆa´t hiˆe.n o’. A thı` xa
´ c xuˆa´t b˘a´n ha. la`
Xe
´t phu.o.ng ´an 1. Nˆe´u ma
3
1 − (0, 3) = 0, 973.


12

Nˆe´u ma

´ y bay xuˆa´t hiˆe.n o’. B thı` xa
´ c suˆa´t b˘a´n ha. la` 0, 7.
.
Vˆa.y theo cˆong th´u c xa
´ c suˆa´t d¯`ˆay d¯u’, xa
´ c suˆa´t b˘a´n ha. ma
´ y bay theo
.
.
phu o ng ´an 1 la`:
2
0, 7
.(0, 973) +
= 0, 882
3
3

Tu.o.ng tu.. xa
´ c suˆa´t b˘a´n ha. ma
´ y bay nˆe´u theo phu.o.ng ´an 2 la`:
2
1
.[1 − (0, 3)2 ] + .[1 − (0, 3)2 ] = 0, 91
3
3

Xa
´ c suˆa´t ha. ma
´ y bay theo phu.o.ng ´an 3 la`:
1

2
(0, 7) + .(0, 973) = 0, 971
3
3

Vˆa.y theo phu.o.ng ´an 2 la` tˆo´t nhˆa´t
Cˆ
au 34: Mˆ
o.t nha` ma
´ y sa’n xuˆa´t bo
´ ng d¯`en co
´ tı’ lˆe. bo
´ ng d¯a.t tiˆeu chuˆa’n la`
.
.
.
.
.
.
80%. Tru ´
o c khi xuˆa´t xu o’ ng ra thi. tru `o ng mˆo˜i bo
´ ng d¯`en d¯`ˆeu d¯u.o..c qua kiˆe’m
tra chˆa´t lu.o..ng. Vı` su.. kiˆe’m tra khˆong thˆe’ tuyˆe.t d¯ˆo´i hoa`n ha’o, nˆen mˆo.t bo
´ ng
.
.
d¯`en tˆo´t co
´ xa
´ c suˆa´t 0, 9 d¯u o. c cˆong nhˆa.n la` tˆo´t, va` mˆo.t bo
´ ng d¯`en ho’ng co

´
˜ y tı´nh tı’ lˆe. bo
xa
´ c suˆa´t 0, 95 bi. loa.i bo’. Ha
´ ng d¯a.t tiˆeu chuˆa’n sau khi qua khˆau
.
.
kiˆe’m tra chˆa´t lu o. ng sa’n phˆa’m.
Gia’i:
Go.i E1 : ”Bo
´ ng d¯`en tˆo´t”; E2 : ”Bo
´ ng d¯`en ho’ng”; A: ”Bo
´ ng d¯`en d¯u.o..c
d¯´anh dˆa´u d¯˜a kiˆe’m tra”
Ta co
´ P (E1 ) = 0, 8 ,P (E2 ) = 0, 2; P (A/E1 ) = 0, 9
va` P (A/E2 ) = 0, 05. Suy ra:
P (E1 )P (A/E1 )
P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 )
(0,8).(0,9)
= (0,8).(0,9)+(0,2).(0,05) = 0, 986
P (E1 /A) =

Cˆ
au 35: Co
´ bˆo´n nho
´ m xa. thu’ tˆa.p b˘a´n. Nho
´ m th´u. nhˆa´t co
´ 5 ngu.`o.i, nho
´m

th´u. hai co
´ 7 ngu.`o.i, nho
´ m th´u. ba co
´ 4 ngu.`o.i va` nho
´ m th´u. tu. co
´ 2 ngu.`o.i. Xa
´c
.
.
.
.
´
˜
´
´
’
suˆa t b˘an tru
´ ng d¯´ch
ı cua mˆoi ngu `o i trong ca
´ c nho
´ m th´u nhˆa t, th´u hai, th´u.
ba, th´u. tu. theo th´u. tu.. la` 0, 8; 0, 7; 0, 6; 0, 5. Cho.n ngˆa˜u nhiˆen 1 xa. thu’ va` xa. thu’
˜ y xa
`ay b˘a´n tru.o..t. Ha
`ay co
nˆ
´ c d¯.inh xem xa. thu’ nˆ
´ kha’ n˘ang o’. trong nho
´ m na`o

nhˆa´t.
Gia’i:
Go.i E1 : ”Xa. thu’ thuˆo.c nho
´ m 1”; go.i E2 : ”Xa. thu’ thuˆo.c nho
´ m 2”; E3 : ”Xa.
thu’ thuˆo.c nho
´ m 3”; E4 : ”Xa. thu’ thuˆo.c nho
´ m 4”; A: ”Xa. thu’ b˘a´n tru.o..t”
Theo d¯`ˆau ba`i ta co
´:
5
7
4
; P (E2 ) =
; P (E3 ) =
; P (E4 )
18
18
18
2
= 18
; P (A/E1 ) = 0, 2; P (A/E2 ) = 0, 3; P (A/E3 ) = 0, 4; P (A/E4 ) = 0, 5
P (E1 ) =

´ap du.ng cˆong th´u.c Baye
´s, ta co
´:
5
P (E1 /A) =

5
18 .(0, 2)

+

18 .(0, 2)
7
4
18 .(0, 3) + 18 .(0, 4)

+

2
18 .(0, 5)

´ m hai nhˆa´t.
= 10
a.y xa. thu’ co
´ kha’ n˘ang o’. nho
57 . Vˆ
.
`eu tri. bˆe.nh A; 30% d¯iˆ
`eu
Cˆ
au 36: Trong sˆ
o´ bˆe.nh nhˆan o’ 1 bˆe.nh viˆe.n co
´ 50% d¯iˆ
.
`eu tri. bˆe.nh C. Xa
tri. bˆe.nh B; va` 20% d¯iˆ

´ c suˆa´t d¯ˆe’ ch˜u a kho’i ca
´ c bˆe.nh A, B, C
.
.
.
˜ y tı´nh tı’ lˆe. bˆe.nh nhˆan ch˜u.a
`ay tu o ng u´ ng la` 0, 7; 0, 8; 0, 9. Ha
trong bˆe.nh viˆe.n nˆ
kho’i bˆe.nh A trong tˆo’ng sˆo´ bˆe.nh nhˆan d¯˜a d¯u.o..c ch˜u.a kho’i bˆe.nh.


13

Gia’i:
`eu tri. bˆe.nh A”; B : ”Bˆe.nh nhˆan d¯iˆ
`eu tri. bˆe.nh B”;
Go.i A: ”Bˆe.nh nhˆan d¯iˆ
.
.
.
`eu tri. bˆe.nh C”; H : ”Bˆe.nh nhˆan d¯u o. c ch˜u a kho’i bˆe.nh ”
C : ”Bˆ
e.nh nhˆan d¯iˆ
Theo ba`i ta co
´:
P (A) = 0, 5; P (B) = 0, 3; P (C) = 0, 2;
P (H/A) = 0, 7; P (H/B) = 0, 8; P (H/C) = 0, 9

Theo cˆong th´u.c Baye
´s:

(0, 5)(0, 7)
(), 5)(0, 7) + (0, 3)(0, 8) + (0.2)(0, 9)
≈ 0, 4545

P (A/H) =

5
= 11
Cˆ
au 37: Trong mˆ
o.t kho ru.o..u sˆo´ lu.o..ng ru.o..u loa.i A va` loa.i B la` b˘`a ng nhau.

Ngu.`o.i ta cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t chai ru.o..u trong kho va` d¯u.a cho 5 ngu.`o.i sa`nh
ru.o..u nˆe´m thu’. d¯ˆe’ xa
´ c d¯.inh xem d¯ˆay la` loa.i ru.o..u na`o. Gia’ su’. mˆo˜i ngu.`o.i co
´
.
.
.
.
.
xa
´ c suˆa´t d¯oa
´ n d¯´ung la` 75%. Co
´ 4 ngu `o i kˆe´t luˆa.n chai ru o. u loa.i A va` 1 ngu `o.i
kˆe´t luˆa.n chai ru.o..u loa.i B . Ho’i khi d¯´o xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ chai ru.o..u d¯u.o..c cho.n thuˆo.c
loa.i A la` bao nhiˆeu?
Gia’i:

Go.i A la` biˆe´n cˆo´: ”Chai ru.o..u thuˆo.c loa.i A”; B la` biˆe´n cˆo´: ”Chai ru.o..u
thuˆo.c loa.i B” va` H la` biˆe´n cˆo´: ”Co
´ 4 ngu.`o.i kˆe´t luˆa.n ru.o..u loa.i A,1 ngu.`o.i kˆe´t
luˆa.n ru.o..u loa.i B”.
`an tı´nh P (A/H). ´ap du.ng cˆong th´u.c Baye
Ta cˆ
´s
P (A)P (H/A)
,
P (A)P (H/A) + P (B)P (H/B)
P (A) = P (B) = 12 ; P (H/A) = C54 ( 43 )4 14 ;
P (H/B) = C54 ( 14 )4 34
P (A/H) =

Thay va`o ta thu d¯u.o..c:
P (A/H) =

27
≈ 0, 9642.
28

`a ng mˆo.t ngu.`o.i co
Cˆ
au 38: Biˆ
e´t r˘
´ nho
´ m ma
´ u AB co
´ thˆe’ nhˆa.n ma
´ u cu’a bˆa´t ky`

.
.
´
nho
´ m ma
´ u na`o. Nˆe u ngu `o i d¯´o co
´ nho
´ m ma
´ u co`n la.i (A ho˘a.c B ho˘a.c C ) thı`

co
´ thˆe’ nhˆa.n ma
´ u cu’a ngu.`o.i cu`ng nho
´ m v´o.i mı`nh ho˘a.c ngu.`o.i co
´ nho
´ m ma
´u
O.
Cho biˆe´t tı’ lˆe. ngu.`o.i co
´ nho
´ m ma
´ u O, A, B va` AB tu.o.ng u´.ng la` 33, 7%; 37, 5%; 7, 9%.
`an tiˆe´p ma
a) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu.`o.i cˆ
´ u va` mˆo.t ngu.`o.i cho ma
´ u. Tı´nh
.
.
.
.

`en ma
´ u d¯u o. c thu. c hiˆe.n.
xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ su. truyˆ
`an tiˆe´p ma
b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu.`o.i cˆ
´ u va` hai ngu.`o.i hiˆe´n ma
´ u. Tı´nh
.
.
.
.
`en ma
´ u d¯u o. c thu. c hiˆe.n.
xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ su. truyˆ
Gia’i:
`an tiˆe´p ma
a) Kı´ hiˆe.u O, A, B, AB tu.o.ng u´.ng la` ca
´ c biˆe´n cˆo´: ”Ngu.`o.i cˆ
´u
co
´ nho
´ m ma
´ u la` O,A,B,AB”.
`en ma
Go.i H la` biˆe´n cˆo´: ”Su.. truyˆ
´ u thu..c hiˆe.n d¯u.o..c”. Theo cˆong th´u.c xa
´c
suˆa´t d¯`ˆay d¯u’ ta co

´:
P (H) = P (O) + P (A)P (H/A) + P (B)P (H/B) + P (AB)P (H/AB)

Theo gia’ thiˆe´t:

P (O) = 0, 337; P (A) = 0, 375; P (B) = 0, 209;
P (O) = 0, 337;

P (AB) = 0, 079; P (H/O) =


14

P (H/A) = P (O) + P (A) = 0, 712; P (H/B) = P (O) + P (B) = 0, 546; P (H/AB) =
1.

Thay va`o ta d¯u.o..c: P (H) = 0, 5737
`en ma
b) Go.i E la` biˆe´n cˆo´: ”Su.. truyˆ
´ u khˆong thu..c hiˆe.n d¯u.o..c”
Ta co
´ : P (E/O) = [1 − P (O)]2 = 0, 6632 .

P (E/A) = [1 − P (O) − P (A)]2 = 0, 2882 P (E/B) = [1 − P (O) − P (B)]2 = 0, 4542
. ´ c suˆa´t d¯`ˆay d¯u’ ta d¯u.o.c P (E) = 0, 2223.
P (E/AB) = 0; ´a p du
. ng cˆong th´u c xa
.
.
.

’
´
`
Vˆa.y xa
´ c suˆa t d¯ˆe truyˆen ma
´ u d¯u o. c la`: 1 − P (E) = 0, 7777
Cˆ
au 39: Mˆ
o.t bˆe.nh nhˆan bi. nghi la` co
´ thˆe’ m˘a´c mˆo.t trong 3 bˆe.nh A, B, C v´o.i
ca
´ c xa
´ c suˆa´t tu.o.ng u´.ng la` 0, 3; 0, 4; 0, 3. Ngu.`o.i d¯´o d¯ˆe´n kha
´ m bˆe.nh o’. 4 ba
´ c sı˜
.
.
mˆo.t ca
´ ch d¯oˆ. c lˆa.p. Ba
´ c sı˜ th´u nhˆa´t chˆa’n d¯oa
´ n bˆe.nh A, Ba
´ c sı˜ th´u hai chˆa’n
.
d¯oa
´ n bˆe.nh B , Ba
´ c sı˜ th´u ba chˆa’n d¯oa
´ n bˆe.nh C , Ba
´ c sı˜ th´u. tu. chˆa’n d¯oa
´n
`an d¯´anh gia

bˆe.nh A. Ho’i sau khi kha
´ m bˆe.nh xong, ngu.`o.i bˆe.nh cˆ
´ la.i xa
´ c suˆa´t
`a ng xa
m˘a´c bˆe.nh A, B, C cu’a mı`nh la` bao nhiˆeu. Biˆe´t r˘
´ c suˆa´t chˆa’n d¯oa
´ n d¯´ung
`am sang hai bˆe.nh co`n la.i la` 0, 2; 0, 2.
cu’a mˆo˜i ba
´ c sı˜ la` 0, 6; va` chˆa’n d¯oa
´ n nhˆ

Gia’i:
Kı´ hiˆe.u H la` biˆe´n cˆo´ d¯˜a xa’y ra.
Ta co
´:

P (H/A) = (0, 6)(0, 2)(0, 2)(0, 6) = 0, 0144;
0, 0048
P (H/C) = (0, 2)(0, 2)(0, 6)(0, 2) = 0, 0048.

P (H/B) = (0, 2)(0, 6)(0, 2)(0, 2) =

Vˆa.y Xa
´ c suˆa´t m˘a´c bˆe.nh A la`:
P (H/A) =

P (A)P (H/A)
P (H)

(0,3)(0,0144)
(0,3)(0,00144)+(0,4)(0,0048)+(0,3)(0,0048)

= 432
768 = 0, 5625
.
.
.
Tu o ng tu. : P (B/H) = 0, 25 P (C/H) = 0, 1875.
Cˆ
au 40: Mˆ
o.t ngu.`o.i s˘an tho’ trong r`u.ng. Kha’ n˘ang anh ta b˘a´n tru
´ ng tho’ trong
=

`an b˘a´n la` tı’ lˆe. nghi.ch v´o.i khoa’ng ca
`an d¯`au v´o.i
mˆo˜i lˆ
´ ch b˘a´n. Anh ta b˘a´n lˆ
khoa’ng ca
´ ch 20 me
´t v´o.i xa
´ c suˆa´t tru
´ ng tho’ la` 0, 5. Nˆe´u bi. tru.o..t anh ta b˘a´n
viˆen th´u. hai o’. khoa’ng ca
´ ch 30 me
´t. Nˆe´u tru.o..t n˜u.a, anh ta cˆo´ b˘a´n viˆen th´u.
ba o’. khoa’ng ca
´ ch 50 me

´t. Tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ngu.`o.i tho.. s˘an b˘a´n d¯u.o..c tho’
`ay.
trong cuˆo.c d¯i s˘an nˆ
Gia’i:
Ba`i toa
´ n d¯˜a cho 3 biˆe´n cˆo´:
`an b˘a´n th´u. i”, i = 1, 2, 3. Ba biˆe´n cˆo´ nˆ
`ay
Ti : ”tho.. s˘
an b˘a´n tru
´ ng tho’ o’. lˆ
k
`a ng sˆo´ tı’ lˆe.
= 0, 5. Suy ra h˘
khˆong d¯ˆo.c lˆa.p. Theo gia’ thiˆe´t ta co
´ : P (T1 ) =
20
10
k la
` 10. Do d¯´o: P (T2 /T1 ) = ; P (T3 /T2 ) = 0, 20; P (T3 /T1 T2 ) = P (T3 /T2 ) = 0, 2
30
`ay”
Go.i T : ”Tho.. s˘an b˘a´n tru
´ ng tho’ trong cuˆo.c d¯i s˘an nˆ
Ta co
´ : P (T ) = P (T1 ).P (T2 /T1 ).P (T3 /T1 T2 )
1
= (1 − 0, 5).(1 − ).(1 − 0, 2) = 0, 267
3

Vˆa.y P (T ) = 1 − P (T ) = 0, 733
Cˆ
au 41: Co
´ mˆo.t bˆe.nh nhˆan ma` ba
´ c sı˜ chˆa’n d¯oa
´ n m˘a´c bˆe.nh A v´o.i xa
´ c suˆa´t
.
´ c suˆa´t 0, 3. Dˆe’ co
´ thˆem thˆong tin chˆa’n d¯oa
´ n ba
´ c sı˜ d¯˜a
0, 7, m˘
a´c bˆe.nh B v´o i xa

`an thu’. thˆa´y co
`an du.o.ng tı´nh, biˆe´t r˘`a ng
cho xe
´t nghiˆe.m sinh hoa
´ . Sau 3 lˆ
´ 1 lˆ


15

`an xe
kha’ n˘ang du.o.ng tı´nh cu’a mˆo˜i lˆ
´t nghiˆe.m d¯ˆo´i v´o.i bˆe.nh A va` B tu.o.ng u´.ng
˜ y cho biˆe´t nˆen chˆa’n d¯oa
la` 10% va` 30%. Ha

´ n bˆe.nh nhˆan m˘a´c bˆe.nh na`o?
Gia’i:
Go.i B la` biˆe´n cˆo´ Bˆe.nh nhˆan m˘a´c bˆe.nh B, B la` biˆe´n cˆo´ bˆe.nh nhˆan m˘a´c
bˆe.nh A. Ta tı´nh hai xa
´ c suˆa´t: P (B/A); P (B/A).
Ta co
´ : P (B) = 0, 3; P (B) = 0, 7; P (A/B) = 3.0, 3.0, 7.0, 7 = 0, 441
P (A/B) = 3.0, 1.0, 9.0, 9 = 0, 243.
Vˆa.y: P (A) = 0, 3.0, 441 + 0, 7.0, 243 = 0, 3024
Do d¯´o: P (B/A) = 0, 3.0, 441/0, 3024 = 0, 4375; P (B/A) = 0, 7.0, 243/0, 3024 =
0, 5625

Nˆen chˆa’n d¯oa
´ n m˘a´c bˆe.nh A thı` kha’ n˘ang d¯´ung cao ho.n.
`om 90% chı´nh phˆa’m. Lˆo II co tı’ lˆe. phˆe´
Cˆ
au 42: Co
´ hai lˆo sa’n phˆa’m. Lˆo I gˆ
1
`oi t`u. d¯´o lˆa´y 1 sa’n phˆa’m
phˆa’m / chı´nh phˆa’m la` . lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen ra mˆo.t lˆo, rˆ
4
`ay ta la.i lˆa´y
´ . t`u. lˆo nˆ
ta d¯u.o..c chı´nh phˆa’m. Tra’ sa’n phˆa’m na`y tro’. la.i lˆo cu’a no
’
’
’
ra 1 sa’n phˆa m. Tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe lˆa´y pha’i phˆe´ phˆa m.

’
Giai:
Go.i B : ”lˆa´y ra lˆo 1”, P (B) = 0, 5.
A: ”lˆ
a´y d¯u.o..c chı´nh phˆa’m”. P (A/B) = 0, 9; P (A/B) = 0, 8 =⇒ P (A) =
0.5.0.9 + 0.5.0, 8 = 0, 85
P (B/A) = 0, 5.0, 9/0, 85 = 0, 5294; P (B/A) = 0, 5.0, 8/0, 85 = 0, 4706

`ay d¯u.o..c
`an lˆa´y th´u. nhˆa´t ta d¯u.o..c chı´nh phˆa’m thı` chı´nh phˆa’m nˆ
Vˆa.y sau lˆ
lˆa´y ra t`u. lˆo 1 v´o.i xa
´ c suˆa´t 0, 5294, co`n t`u. lˆo 2 v´o.i xa
´ c suˆa´t 0, 4706.
Ma` P (A/B) = 0, 1; P (A/B) = 0, 2 cho nˆen:
P (A) = 0, 5294.0, 1 + 0, 4706.0, 2 = 0, 1471
Cˆ
au 44: Tı’ lˆ
e. cha m˘a´t d¯en, con m˘a´t d¯en la` 0, 782; cha m˘a´t d¯en con m˘a´t xanh
la` 0, 079; cha m˘a´t xanh, con m˘a´t d¯en la` 0, 089; cha m˘a´t xanh, con m˘a´t xanh la`
0, 005.

`a ng cha m˘a´t d¯en.
a) Tı`m kha’ n˘ang con m˘a´t d¯en biˆe´t r˘
`a ng cha m˘a´t xanh.
b) Tı`m kha’ n˘ang con m˘a´t xanh biˆe´t r˘
Gia’i:
`an tı`m d¯`ˆeu la` xa
`eu kiˆe.n.
a) Ca

´ c xa
´ c suˆa´t cˆ
´ c suˆa´t co
´ d¯iˆ
P (con m˘
a´t d¯en/ cha m˘a´t d¯en)= P (con m˘a´t d¯en va` cha m˘a´t d¯en)/P (cha
m˘a´t d¯en)= 0, 072/(0, 782 + 0, 079) = 0, 9082.
(vı` P (cha m˘a´t d¯en)= P (cha m˘a´t d¯en va` con m˘a´t d¯en)+P (cha m˘a´t d¯en va`
con m˘a´t xanh)= 0, 782 + 0, 079 = 0, 861).
Tu.o.ng tu.. P (con m˘a´t xanh/cha m˘a´t xanh)= P (con m˘a´t xanh va` cha m˘a´t
xanh)/P (cha m˘a´t xanh)= 0, 05/(1 − 0, 861) = 0, 3597
`an
Cˆ
au 45: Ta xe
´t ca
´ c gia d¯`nh
ı co
´ 2 con. kha’ n˘ang sinh con ga
´ i trong mˆo˜i lˆ
’
`an sinh la` d¯oˆ. c lˆa.p. Tı`m xa
sinh la` 0, 51; ca
´ c lˆ
´ c suˆa´t d¯ˆe khi cho.n ngˆa˜u nhiˆen 1
gia d¯`nh
ı trong sˆo´ ca
´ c gia d¯`nh
ı co
´ 2 con ta d¯u.o..c:
a) Gia d¯`nh

ı co
´ con ga
´ i d¯`ˆau, con trai th´u. hai.
`a ng d¯u´.a thu
b) Gia d¯`nh
ı co
´ con th´u. hai la` trai, biˆe´t r˘
´ nhˆa´t la` ga
´ i.
.
`
c) Gia d¯`nh
ı co
´ con th´u hai la` trai, biˆe´t r˘a ng ho. co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ga
´ i.
.
.
Gia’i: Go.i Ti : ”d¯u´ a con th´u i la` trai”, i = 1, 2
A: ”con ga
´ i d¯`ˆau con trai th´u. hai”; B : ”co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ga
´ i”


16

a) A = T 1 T2 =⇒ P (A) = 0, 51.0, 49 = 0, 2499

b) P (T2 /T 1 ) = P (T 1 T2 )/P (T 1 ) = P (A)/P (T 1 ) = 0, 2499/0, 51 = 0, 49
`an tı´nh P (T2 /B).
c) Ta cˆ
P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (khˆ
ong co
´ con ga
´ i na`o) =
`
= 1 − P (ca’ hai con d
¯ˆeu trai) = 1 − 0, 49.0, 49 = 0, 7599.
P (T2 /B) = P (T2 B)/P (B) = P (T2 T 1 )/P (B) = P (A)/P (B)+
= 0, 2499/0, 7599 = 0, 3289.
Cˆ
au 46: Ba khˆ
a’u su
´ ng cu`ng b˘a´n va`o mˆo.t mu.c tiˆeu. Co
´ hai viˆen d¯a.n tru
´ ng

d¯´ch.
ı
Tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ cho viˆen d¯a.n do ngu.`o.i th´u. nhˆa´t b˘a´n la` tru
´ ng d¯´ch,
ı
.
.
.
.
.

.
`a ng xa
biˆe´t r˘
´ c suˆa´t tru
´ ng d¯´ch
ı cu’a t`u ng ngu `o i tu o ng u´ ng la` 0, 6; 0, 8; 0, 9.
Gia’i:
Go.i Ti : ”ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch”,
ı
i = 1, 2, 3
.
.
´ ng d¯´ch”
ı
A: ”co
´ hai ngu `o i b˘a´n tru

A = T1 T2 T 3 ∪ T1 T 2 T3 ∪ T 1 T2 T3
P (A) = 0, 6.0, 8.0, 1 + 0, 6.0, 2.0, 9 + 0, 4.0, 8.0, 9 = 0, 444
o.i th´u. nhˆa´t b˘a´n tru
´ ng va` hai ngu.`o.i kia co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru.o..t”
AT1 : ”ngu.`
AT1 = T1 (T 2 T3 ∪ T2 T 3 ) =⇒ P (AT1 ) = 0, 6.0, 2.0, 9 + 0, 6.0, 8.0, 1 = 0, 156
P (T1 /A) = 0, 156/0, 444 = 0, 3513.
Cˆ
au 47: Trong mˆ
o.t l´o.p c´o 15 sinh viˆen d¯i thi. C´o 5 sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t, 7

sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a, 2 sinh viˆen chuˆa’n bi. trung b`ınh v`a 1 sinh viˆen chuˆa’n
bi. k´em. Trong c´ac phiˆe´u thi c´o 20 cˆau ho’i. Sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t c´o thˆe’ tra’
l`o.i d¯u.o..c ca’ 20 cˆau ho’i , sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a tra’ l`o.i d¯u.o..c 15 cˆau, sinh viˆen
trung b`ınh tra’ l`o.i d¯u.o..c 10 cˆau, c`on sinh viˆen k´em chı’ c´o thˆe’ tra’ l`o.i d¯u.o..c 5
cˆau. Mˆo.t sinh viˆen d¯u.o..c go.i mˆo.t c´ach ngˆa˜u nhiˆen tra’ l`o.i d¯u.o..c 3 cˆau ho’i tu`y
´y. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’:
a) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. tˆo´t.
b) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. k´em.
Gia’i: Tru`ng v´o.i ba`i 12.
Cˆ
au 48: Mˆ
o.t xa. thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t c´ai bia. X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch l`a 0,7. Anh ta
c´o 4 viˆen d¯a.n; anh ta b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n khi tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i
thˆoi.
a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
Gia’i: Tru`ng ba`i 6.
Cˆ
au 49: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t b˘a´n
.
.
tr´ung d¯´ıch cu’a ngu `o i th´u. nhˆa´t b˘`a ng 0,8; cu’a ngu.`o.i th´u. hai b˘`a ng 0,75; cu’a
ngu.`o.i th´u. ba b˘`a ng 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:
- ˆe’ ca’ 3 xa. thu’ b˘a´n tru.o..t.
a) D
- ˆe’ ´t
b) D
ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i: Tru`ng ba`i 18.

Cˆ
au 50: Hai bı`nh d
¯u..ng bi giˆo´ng nhau, mˆo˜i bı`nh d¯u..ng 5 bi tr˘a´ng va` 7 bi d¯o’.
`oi t`u. hai bi nˆ
`ay cho.n mˆo.t bi. Tı´nh xa
Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen mˆo˜i bı`nh mˆo.t bi, rˆ
´ c suˆa´t
d¯ˆe’ bi cho.n ra sau cu`ng la` bi tr˘a´ng.
Gia’i: Go.i Ti : ”Bi lˆa´y ra t`u. bı`nh th´u. i la` tr˘a´ng”, i = 1, 2, 3
Ai : ” hai bi lˆ
a´y ra co
´ d¯´ung i bi tr˘a´ng”


17

F : ”bi lˆ
a´y ra sau cu`ng la` tr˘a´ng”
{Ti , T i }; {Ao , A1 , A2 } la
` nh˜u.ng hˆe. d¯`ˆay d¯u’, {T1 , T2 } d¯oˆ. c lˆa.p.
7 7
49
Ao = T 1 T 2 =⇒ P (Ao ) =
.
=
12 12
144
5 7 7 5
70
A1 = T1 T 2 + T 1 T2 =⇒ P (A1 ) =

=
12 12 12 12
144
.
.
.
.
´
´
o i th´u nhˆa t b˘an tru
´ ng va` hai ngu `o.i kia co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru.o..t”
AT1 : ”ngu `
5 5
25
A2 = T1 T2 =⇒ P (A2 ) =
=
12 12
144
5
Vˆa.y P (F ) = P (Ao )P (F/Ao ) + P (A1 )P (F/A1 ) + P (A2 )P (F/A2 ) =
12


. .
` TA
ˆ. P D
ˆ˜ U NHIEN
ˆ
-A

BAI
. I LU O
. NG NGA
Cˆ
au 1: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co
´ ba’ng phˆan phˆo´i xa
´ c suˆa´t sau:
X

-1

1

2

3

P

0,2

0,2

0,3

0,3

a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i F (x) cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) Tı´nh ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆ

au 2: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
p(x) =

0
a lnx
x2

nˆe´u x 1
nˆe´u x > 1

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i.
b) T`ım k`
y vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆ
au 3: Cho d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t sau:
X

0

1

2

3

P

0,1

0,4

0,3

0,2

a) T`ım h`am phˆan phˆo´i cu’a X.
b) T`ım k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X.
Cˆ
au 4: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
p(x) =

e−x
0

nˆe´u x 0
nˆe´u x < 0

a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) Tı`m ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
- u.`o.ng k´ınh cu’a mˆo.t loa.i tru.c m´ay do m´ay tiˆe.n ra l`a mˆo.t d¯a.i lu.o..ng ngˆa˜u nhiˆen
Cˆ
au 5: D
c´
o phˆan phˆo´i chuˆ
a’n v´o.i trung b`ınh l`a 25mm v`a phu.o.ng sai l`a 1, 44mm2 . Tru.c n`ay
d¯u.o..c go.i l`a d¯a.t tiˆeu chuˆ
a’n k˜
y thuˆ
a.t nˆe´u d¯u.`o.ng k´ınh n˘`a m trong khoa’ng t`

u. 23,44mm
d¯ˆe´n 26,56mm.
a) T´ınh sˆo´ tru.c d¯a.t tiˆeu chuˆ
a’n khi sa’n xuˆa´t 200 tru.c.
´
´
’
’
b) Phai san xuˆa t ´ıt nhˆa t bao nhiˆeu tru.c d¯ˆe’ x´ac suˆa´t c´o ´ıt nhˆa´t 1 tru.c d¯a.t tiˆeu
chuˆ
a’n k˜
y thuˆ
a.t khˆong du.´
o.i 99, 73%.
`am l`a 99, 9% . Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 10000 ha.t d¯em
Cˆ
au 6: Mˆo.t kho ha.t giˆo´ng c´o tı’ lˆe. nˆa’y mˆ
`am.
gieo . T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ trong d¯´
o c´o d¯u
´ng 100 ha.t khˆong nˆa’y mˆ
.
.
`an lu o. t b˘a´n v`ao 1 c´ai bia. X´ac suˆa´t tr´
Cˆ
au 7: Hai xa. thu’ lˆ
ung d¯´ıch tu.o.ng u
´.ng l`a 0,6
.
.

.
o i d¯`ˆeu c´o 5 viˆen d¯a.n. Nˆe´u c`on d¯a.n v`a bia chu a bi. b˘a´n tr´
ung th`ı ho. c`
on
v`
a 0,4. Mˆo˜i ngu `
b˘
a´n.
a) T`ım luˆa.t phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n 2 ngu.`o.i d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`
y vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
`an mˆo.t d¯`ˆ
`en. Sˆo´ lˆ
`an l´o.n nhˆa´t c´o thˆe’ xuˆa´t hiˆe.n m˘a.t ng˜
Cˆ
au 8: Gieo 200 lˆ
ong tiˆ
u.a l`a bao
`an d¯u
nhiˆeu? H˜ay t´ınh gˆ
´ng x´ac suˆa´t d¯´o .


2

Cˆ
au 9: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X c´o mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t nhu. sau :
p(x) =

axe−kx

0

nˆe´u x 0 trong d¯´o k > 0
nˆe´u x < 0

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am F (x).
b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < k1 ).
c) T`ım k`
y vo.ng cu’a X.
`an mˆo.t d¯`ˆ
Cˆ
au 10: Gieo 400 lˆ
ong xu . T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ m˘a.t sˆa´p xuˆa´t hiˆe.n :
`an.
a) 260 lˆ
`an v`a khˆong nhiˆ
`eu ho.n 204 lˆ
`an.
b) Khˆong ´ıt ho.n 196 lˆ
.
Cˆ
au 11: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
p(x) =

3e−3x
0

nˆe´u x ≥ 0
.
nˆe´u x < 0

a) T´ınh k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) T´ınh P (1 < X < 3).
`an mˆo.t con x´
Cˆ
au 12: Gieo 800 lˆ
uc x˘a´c. X´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o sˆo´ m˘a.t ng˜
u.a lˆen trˆen c´o sˆo´
`an v`a khˆong nhiˆ
`eu ho.n 294 lˆ
`an.
chˆ
a´m l`a bˆo.i cu’a 3 xuˆa´t hiˆe.n khˆong ´ıt ho.n 280 lˆ
.
.
Cˆ
au 13: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t nhu sau:
p(x) =

ax2
0

nˆe´u 0 x 2
nˆe´u x ∈
/ [0; 2]

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh k`
y vo.ng v`a P (−2 X 1).

Cˆ
au 14: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t cho bo’.i:
p(x) =

1
3

0

nˆe´u −1 x 2
nˆe´u x < −1 ho˘a.c x > 2

a) T`ım k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X.
b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < 1).
´ y co
´ chˆa´t lu.o..ng
Cˆ
au 15: Qua thˆo´ng kˆe ngu.`o.i ta biˆe´t r˘`a ng 96% sa’n phˆa’m cu’a nha` ma
cao. Tuy nhiˆen do d¯o.n gia’n hoa
´ qua
´ trı`nh kiˆe’m tra chˆa´t lu.o..ng sa’n phˆa’m thı` 2% sa’n
.
.
˜ khˆ
phˆ
a’m co
´ chˆ
a´t lu o. ng cao se
ong d¯u.o..c cˆong nhˆa.n n˜

u.a va` 5% sa’n phˆa’m khˆong co
´ chˆ
a´t
.
.
.
.
.
.
’
’
˜
lu o. ng cao la.i d¯u o. c cˆong nhˆa.n sa’n phˆa m co
´ chˆa´t lu o. ng cao. Ha y tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe sau
khi kiˆe’m tra mˆo.t sa’n phˆa’m d¯u.o..c cˆong nhˆa.n co
´ chˆa´t lu.o..ng cao d¯´ung la` sa’n phˆa’m co
´
.
.
chˆ
a´t lu o. ng cao.
Cˆ
au 16: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co
´ ha`m mˆa.t d¯ˆo.
p(x) =

0
a lnx
x2

nˆe´u x ≤ 1 ho˘a.c x > e
nˆe´u 1 < x ≤ e.

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i.
b) T`ım k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a d¯a.i lu.o..ng ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆ
au 17: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t nhu. sau:
p(x) =

ax2
0

nˆe´u 0 x 2
nˆe´u x ∈
/ [0; 2]


3

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh k`
y vo.ng v`a P (−2 X 1).
Cˆ
au 18: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
3e−3x
0

p(x) =

nˆe´u x ≥ 0
.
nˆe´u x < 0

a) T´ınh k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) T´ınh P (1 < X < 3).
Cˆ
au 19: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t cho bo’.i:

 √ a
nˆe´u −1 < x < 1
1 − x2
p(x) =

0
nˆe´u x ≤ −1 ho˘a.c x ≥ 1
a) Xa
´ c d¯.inh h˘a` ng sˆo´ a. T`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < 1) va` ky` vo.ng E(X).
Cˆ
au 20: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co
´ ba’ng phˆan phˆo´i xa
´ c suˆa´t sau:
X

-1

1

2

3

P

0,2

0,2

0,3

0,3

a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i F (x) cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) Tı´nh ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
´ ba cˆo’ ma
´ y hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p nhau. Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’
Cˆ
au 21: Trong mˆo.t phˆan xu.o’.ng co
.
.
.
ca
´ c ma
´ y bi. ho’ng trong mˆo.t ca sa’n xuˆa´t tu o ng u
´ ng la` 0, 1; 0, 2; 0, 3. Xa
´ c d¯.inh qui luˆa.t

phˆ
an bˆo´ xa
´ c suˆa´t cu’a sˆo´ ma
´ y ho’ng trong mˆo.t ca sa’n xuˆa´t. Ho’i trung bı`nh trong mˆo.t
ca co
´ bao nhiˆeu ma
´ y tˆo´t.
Cˆ
au 22: Trong mˆo.t cuˆo.c thi, co
´ hai hı`nh th´
u.c thi nhu. sau; hı`nh th´
u.c I: mˆo˜i ngu.`o.i
.
.
.
.
pha’i tra’ l`o i 2 cˆau ho’i, mˆo˜i cˆau tra’ l`o i d¯´ung thı` d¯u o. c 5 d¯iˆe’m. hı`nh th´
u.c II: tra’ l`
o.i
d¯´ung cˆau th´
u. nhˆ
a´t m´o.i d¯u.o..c tra’ l`
o.i cˆau th´
u. hai; cˆau th´
u. nhˆa´t d¯´ung 5 d¯iˆe’m; cˆau th´
u.
.
.
.
.

.
hai d¯´ung d¯u o. c 10 d¯iˆe’m. Trong ca’ hai hı`nh th´
u c, ca
´ c cˆau tra’ l`o i sai d¯`ˆeu khˆong d¯u o..c
d¯iˆe’m. Gia’ su’. xa
´ c suˆa´t tra’ l`o.i d¯´ung mˆo˜i cˆau d¯`ˆeu la` 0, 75 va` viˆe.c tra’ l`o.i d¯´ung mˆo˜i cˆau la`
.
u.c na`o d¯ˆe’ sˆo´ d¯iˆe’m trung bı`nh d¯a.t d¯u.o..c
d¯ˆ
o.c lˆa.p v´o i nhau. Theo ba.n, nˆen cho.n hı`nh th´
`eu ho.n.
nhiˆ
Cˆ
au 23: Mˆo.t ˆo tˆo kha
´ ch kho’.i ha`nh t`
u. A d¯i d¯ˆe´n B va` khoa’ng ca
´ ch t`
u. A d¯ˆe´n B la` L.
.
.
.
˜ d`
`au.
Trˆen d¯u `
o ng ˆo tˆo se
u ng bˆa´t ky` chˆo˜ na`o khi kha
´ ch yˆeu cˆ
.
`
`

Gia’ thiˆe´t r˘a ng, vi. trı´ (d¯o b˘a ng km, tı´nh t`
u A) cu’a mˆo.t ngu.`o.i kha
´ ch lˆen xe, sau
.
.
˜ ng d¯u `
d¯´o xuˆo´ng xe trˆen qua
o ng trˆen la` 2 biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X va` Y . nˆe´u cho r˘`a ng ha`m
mˆ
a.t d¯ˆ
o. phˆan bˆo´ xa
´ c suˆa´t cu’a X ty’ lˆe. v´o.i gia
´ tri.: x.(L − x)2 , (0 ≤ x ≤ L) va` cu’a Y ty’
˜ y tı`m xa
lˆe. v´o.i gia
´ tri. (y − x)h , (h ≥ 0) thı` ha
´ c suˆa´t:
.
.
a) Co
´ mˆo.t kha
´ ch lˆen xe tru ´
o c d¯iˆe’m l(0 ≤ l ≤ L).
.
’
˜
b) Kha
´ ch lˆen xe o’ d¯iˆe m x se xuˆo´ng xe sau d¯iˆe’m l.
-D
- LNN liˆen tu.c X c´o h`am mˆa.t d¯ˆo.:

Cˆ
au 24: Cho D
f (x) =
a) T`ım h˘`a ng sˆo´ c.

cx2 (1 − x)
0

v´o.i x ∈ [0, 1]
/ [0, 1]
v´o.i x ∈


4

b) T´ınh P (0, 4 < X < 0, 6)
-D
- LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯`ˆeu trˆen [1, 2]. T`ım P (2 < X 2 < 5).
Cˆ
au 25: Cho D
-D
- LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯`ˆeu trˆen [−1, 3]. T`ım P (X 2 < 2).
Cˆ
au 26: Cho D
-D
- LNN X c´
Cˆ
au 27: Cho D
o h`am mˆa.t d¯ˆo. f (x) =

kx2

;0 ≤ x ≤ 3

0

;x < 0 ∨ x > 3

a) T´ınh k.
b) T´ınh P (X > 2).
c) X´ac d¯.inh a d¯ˆe’ P (X < a) = 34.
-D
- LNN X c´o h`am mˆa.t d¯ˆo.:
Cˆ
au 28: Cho D
34x(2 − x) v´o.i 0 ≤ x ≤ 2
f (x) =
0
v´o.i 0 < x ∨ x > 2
a) V˜e d¯`ˆ
o thi. f (x).
b) T´ınh P (X > 1, 5); P (0, 9 < X < 1, 1).
-D
- LNN X (t´ınh b˘
`a ng th´ang)
Cˆ
au 29: Tuˆ
o’i tho. cu’a mˆo.t loa.i cˆon tr`
ung n`ao d¯´o l`a mˆo.t D
.

v´
o i h`am mˆa.t d¯ˆ
o.:
kx2 (4 − x) v´o.i 0 ≤ x ≤ 4
f (x) =
0
nˆe´u tr´ai la.i
a) X´ac d¯.inh k, v˜e d¯`ˆ
o thi. cu’a f (x).
b) T´ınh k`
y vo.ng, phu.o.ng sai cu’a X.
c) T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ cˆ
on tr`
ung chˆe´t tru.´o.c khi n´o d¯u.o..c 1 th´ang tuˆo’i.
Cˆ
au 30: Hai xa. thu’ A v`a B tˆ
a.p b˘a´n, mˆo˜i ngu.`o.i b˘a´n 2 ph´at. X´ac suˆa´t b˘a´n tr´
ung d¯´ıch
cu’a A trong mˆo˜i ph´at l`a 0, 4 v`a cu’a B l`a 0, 5.
a) Go.i X l`a sˆo´ ph´
at tr´
ung cu’a A tr`
u. sˆo´ ph´at tr´
ung cu’a B. T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t
cu’a X.
b) T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a Y = |X|
Cˆ
au 31: Ta.i mˆo.t tra.m kiˆe’m so´at giao thˆong, trung b`ınh mˆo.t ph´
ut c´o hai xe ˆotˆo d¯i qua.
’

a) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe c´o d¯u
´ng 6 xe d¯i qua trong v`ong 3 ph´
ut.
b) T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ trong khoa’ng th`o.i gian t ph´
ut c´o ´ıt nhˆa´t 1 xe ˆotˆo d¯i qua. X´ac
d¯.inh t d¯ˆe’ x´
ac suˆa´t n`ay b˘`a ng 0, 99.
Cˆ
au 32: Mˆo.t tra.m cho thuˆe xˆe taxi c´o 3 chiˆe´c xe. H`ang ng`ay tra.m pha’i nˆo.p thuˆe´ 8
USD cho 1 chiˆe´c xe (d`
u xe d¯´
o c´o d¯u.o..c thuˆe hay khˆong). Mˆo˜i chiˆe´c xe d¯u.o..c cho thuˆe
v´
o.i gi´a 20USD.
-D
- LNN X c´o phˆan phˆo´i Poisson v´o.i
`au cu’a tra.m trong 1 ng`ay l`a D
Gia’ su’. sˆo´ yˆeu cˆ
tham sˆo´ λ = 2, 8.
`en thu d¯u.o..c trong 1 ng`ay cu’a tra.m (nˆe´u khˆong c´o ai thuˆe th`ı sˆo´
a) Go.i Y l`a sˆo´ tiˆ
`en thu d¯u.o..c l`a −24USD).
tiˆ
`en trung b`ınh thu d¯u.o..c cu’a tra.m
T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a Y . T`
u. d¯´o t´ınh sˆo´ tiˆ
trong 1 ng`ay.
b) Gia’i b`ai to´an trˆen trong tru.`o.ng ho..p tra.m c´o 4 xe.
c) Tra.m nˆen c´o 3 hay 4 xe?
-D

- LNN X (kg) c´o h`am mˆa.t
Cˆ
au 33: Tro.ng lu.o..ng cu’a mˆo.t con g`a 6 th´ang tuˆo’i l`a mˆo.t D
d¯ˆ
o.:
k(x2 − 1) v´o.i 2 ≤ x ≤ 3
f (x) =
0
nˆe´u tr´ai la.i


5

T`ım tro.ng lu.o..ng trung b`ınh cu’a con g`a 6 th´ang tuˆo’i v`a d¯ˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n.
Cˆ
au 34: Mˆo.t d¯oa.n thˆa’ng AB d`ai 10 cm bi. g˜ay ngˆa˜u nhiˆen o’. mˆo.t d¯iˆe’m P. Hai d¯oa.n
g˜
ay AP v`a BP d¯u.o..c su’. du.ng d¯ˆe’ l`am hai ca.nh cu’a mˆo.t h`ınh ch˜
u. nhˆa.t. T`ım k`
y vo.ng v`a
.
’
d¯ˆ
o. lˆe.ch tiˆeu chuˆ
a n cu’a diˆe.n t´ıch h`ınh ch˜
u nhˆa.t.
- LNN phˆan bˆo´ chuˆa’n v´o.i k`
Cˆ
au 35: Tro.ng lu.o..ng cu’a mˆo.t con b`o l`a mˆo.t D
y vo.ng l`a 250

’
kg v`a d¯ˆ
o. lˆe.ch tiˆeu chuˆ
a n 40 kg
T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t con b`o c´o tro.ng lu.o..ng:
a) N˘a.ng ho.n 300 kg.
b) Nhe. ho.n 175 kg.
c) Trong khoa’ng 260 kg d¯ˆe´n 270 kg.
-D
- LNN X c´o phˆan
Cˆ
au 36: Th`o.i gian d¯i t`
u. nh`
a d¯ˆe´n tru.`o.ng cu’a sinh viˆen A l`a mˆo.t D
.
.
.
phˆo´i chuˆ
a’n. Biˆe´t r˘`a ng 65% sˆo´ ng`ay A d¯ˆe´n tru `o ng mˆa´t ho n 20 ph´
ut c`on 8% sˆo´ ng`
ay
.
´
mˆ
a t ho n 30 ph´
ut.
a) T`ım th`o.i gian trung b`ınh v`a d¯ˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a th`o.i gian d¯ˆe´n tru.`o.ng.
b) Nˆe´u A xuˆa´t ph´at t`
u. nh`
a tru.´o.c gi`o. v`ao ho.c 25 ph´

ut th`ı x´ac suˆa´t d¯ˆe´ A muˆo.n ho.c
l`
a bao nhiˆeu ?
`an pha’i xuˆa´t ph´at tru.´o.c gi`o. v`ao ho.c bao nhiˆeu ph´
c) A cˆ
ut d¯ˆe’ kha’ n˘ang muˆo.n ho.c
.
l`
a b´e ho n 0, 02.
-D
- LNN c´o phˆan bˆo´ chuˆa’n. Trong mˆo.t
`eu d`ai cu’a mˆo.t loa.i cˆay l`a mˆo.t D
Cˆ
au 37: Chiˆ
.
˜
`
´
mˆ
a u gˆom 640 cˆay c´o 25 cˆay thˆa p ho n 18m v`a 110 cˆay cao ho.n 24m.
`eu cao cˆay.
a) T`ım k`
y vong v`a d¯ˆ
o. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a chiˆ
.. .. . ´
ay c´o d¯ˆ
o. cao trong khoa’ng t`
u. 16m d¯ˆe´n 20m trong mˆa˜u trˆen.
b) U ´o c lu o. ng sˆo cˆ
-D

- LNN c´o phˆan bˆo´ m˜
Cˆ
au 38: Cho X l`a D
u v´o.i λ = 2. T`ım k`
y vo.ng v`a d¯ˆo. lˆe.ch tiˆeu
−X
’
chuˆ
a n cu’a e .
-D
- LNN c´o phˆan bˆo´ m˜
Cˆ
au 39: Cho X l`a D
u v´o.i λ = 1 v`a Y = 2X 2 .
T´ınh:
a) P (2 < Y < 18)
b) P (Y < 4)
-D
- LNN hai chiˆ
`eu (X, R) c´o ba’ng phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t:
Cˆ
au 40: Cho D
X \Y
0
1
2
3
−1 0, 01 0, 06 0, 05 0, 04
0
0, 04 0, 24 0, 15 0, 07

1
0, 05 0, 10 0, 10 0, 09
a) T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a X v`a Y.
b) T´ınh k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X v`a Y.
c) T´ınh hˆe. sˆ
o´ tu.o.ng quan cu’a X v`a Y.
-D
- LNN c´o phˆan phˆo´i d¯`ˆeu trˆen khoa’ng (−1, 1) v`a (0, 2)
Cˆ
au 41: Gia’ su’. X, Y l`a hai D
.
.
.
-D
- LNN
´ ng. T`ım h`am mˆa.t d¯oˆ. d¯`ˆ
ong th`o.i v`a h`am phˆan phˆo´i d¯`ˆong th`o.i cu’a hai D
tu o ng u
X, Y.


Bài tập

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

A. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho A, B, C là ba biến cố. Chứng minh
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) +
+ P(ABC)

Giải
Ta có

P ( A ∪ B ∪ C ) = P ⎡⎣( A ∪ B ) ∪ C⎤⎦ = P(A ∪ B) + P(C) − P [ (A ∪ B)C] ,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) ,
P [ (A ∪ B)C] = P [ AC ∪ BC]
= P(AC) + P(BC) − P(ABC)

nên

P ( A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB)
− P(AC) − P(BC) + P(ABC).

Bài 2. Cho P(A) =

1
1
3
, P(B) =
và P(A + B) = .
3
2
4

Tính P(AB) , P(AB) , P(A + B) , P(AB) và P(AB) .
Giải

Do
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ,
ta suy ra
P(AB) = P(A) + P(B) − P(A + B) =

1
.
12

Do AB = A + B , nên

(

( )

)

P AB = P A + B = 1 − P ( A + B ) =

1
.
4

Tương tự, vì A + B = AB ta suy ra

(

)

P A + B = 1 − P ( AB ) =

11
.
12

Xuất phát từ đẳng thức A = AB + AB và vì AB , AB là các biến cố xung khắc, ta được

( )

P(A) = P ( AB ) + P AB và do đó

( )

P AB = P(A) − P ( AB ) =

1
.
4

Tương tự, ta có

1


( )

P AB = P(B) − P ( AB ) =

5
.
12

Bài 3. Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc
cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó

a) Bò bệnh tim hay bò bệnh huyết áp.
b) Không bò bệnh tim cũng không bò bệnh huyết áp.
c) Không bò bệnh tim hay không bò bệnh huyết áp.
d) Bò bệnh tim nhưng không bò bệnh huyết áp.
e) Không bò bệnh tim nhưng bò bệnh huyết áp.
Giải

Xét các biến cố A : “nhận được người mắc bệnh tim”,
B : “nhận được người mắc bệnh huyết áp”,
Ta có P(A) = 0.09 ; P(B) = 0.12 ; P(AB) = 0.07 .
a) Biến cố “nhận được người bò bệnh tim hay bò bệnh huyết áp” là A+B, với
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

= 0.09 + 0.12 − 0.07 = 0.14.
b) Biến cố “nhận được người không bò bệnh tim cũng không bò bệnh huyết áp” là A.B , với

P(A.B) = P(A + B) = 1 = P(A + B)
= 1 − 0.14 = 0.86.
c) Biến cố “nhận được người không bò bệnh tim hay không bò bệnh huyết áp” là A + B , với
P(A + B) = P(AB) = 1 − P(AB)
= 1 − 0.07 = 0.93.

d) Biến cố “nhận được người bò bệnh tim nhưng không bò bệnh huyết áp” là A.B , với
P(A.B) = P(A) − P(AB)
= 0.09 − 0.07 = 0.02.

e) Biến cố “nhận được người không bò bệnh tim nhưng bò bệnh huyết áp” là A.B , với
P(A.B) = P(B) − P(AB)
= 0.12 − 0.07 = 0.05.

Bài 4. Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm.
Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người.
Giải

Gọi Tk (k = 1, 2, ...,10) là biến cố “người thứ k nhận được phiếu trúng thưởng”. Ta có
P(T1 ) =

2
1
= = 0.2 ,
10 5

( ) (

P(T2 ) = P(T1 ) ⋅ P ( T2 T1 ) + P T1 ⋅ P T2 T1
=

)

1 1 4 2 1
⋅ + ⋅ = = 0.2,

5 9 5 9 5

2