TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin

TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016
TẬP 1
Câu 1. Giải bất phương trình

5x

2



 5x  10

x  7  2x  6 x  2  x 3  13x 2  6x  32

(THPT ĐOÀN THỊ ĐIỂM – KHÁNH HÒA 2016)
Điều kiện : x  2 .
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình :

5x

2

 5x  10





x  7  3  2x  6





x  2  2  x 3  2x 2  5x  10  0

 5x 2  5x  10

2x  6
 x  2

 x 2  5  0 *
 x  7  3

x 2 2
Với mọi x  2 ta có
và

x  2  2  2 nên

x  7  3  5  3  5 nên

Do đó,

5x 2  5x  10



x 7 3

2x  6
x 2 2



2x  6
x 3
2

5x 2  5x  10

2x  6
x 2 2

5x 2  5x  10

 x2 x  2 .
5
x 7 3





 x 2  5  x 2  x  2  x  3  x 2  5  0 .

*  x  2  0  x  2 .
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là S  2;2 .


Câu 2. Giải bất phương trình

7x  7  7x  6  2 49x 2  7x  42  181  14x
(TRƯỜNG ISCHOOL NHA TRANG – KHÁNH HÒA 2016)
Điều kiện : x 

6
.
7

u  7x  7

Đặt 
u; v  0 , khi đó bất phương trình đã cho trở thành :

v  7x  6






u  v  2uv  182  u 2  v 2  u  v   u  v   182  0
2

 14  u  v  13 .

Vì u; v  0 nên 0  u  v  13 .
Khi đó

7x  7  7x  6  13  49x 2  7x  42  84  7x

Page 1
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT

x  1


6

49x 2  7x  42  0
x




7

 84  7x  0
 x  12 



49x 2  7x  42  7056  1176x  49x 2
x  6





x  1

6
.
 x 6
 7

6 
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là S   ;6 .
 7 

Câu 3. Giải bất phương trình

x x  1

2



2

2x  3  1

x  12x  3

(TRUNG CẤP NGHỀ NINH HÒA – 2016)


x   3
Điều kiện : 
2.
x  1

Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình :

x x  1

2





2x  3  1





2x  3  1



2x  3  1 2x  3

x x  1

1

2





 1  x x  1 
2



2x  3  1 2x  3





2x  3  1 2x  3*

 x 3  2x 2  x  2x  3 2x  3  2x  3
 x 2 x  2  2x  3 2x  3  x  3  0

 x 2  0  x  2.

2
Ta có *  x  1  1 x  1 







2x  3  1

2x  3



2

Xét hàm số f t   t  1 t 2 với t  1 .
f ' t   3t 2  2t  0, t  1 .

Suy ra hàm số f t  đồng biến trên khoảng 1;  .
Khi đó f x  1  f





2x  3  x  1  2x  3
Page 2

Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin

x  2
  2
 x 2 6.
x  4x  2  0




Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  2  6;  .

Câu 4. Giải hệ phương trình

2
2
2
2
 2(4x  y )  5x  2xy  2y  3x  2y
, x ; y   
 2
 y  x  6  2 x  y   1  5 x  1

(THPT LÊ QUÝ ĐÔN)

x  1  0
Điều kiện xác định:  2
 x  1 (*)
y  x  6  0


Biến đổi vế trái phương trình thứ nhất

(2x  y )2  (2x  y )2  (2x  y )2  (x  y )2

 2x  y  x  y  3x  2y  3x  2y
2x  y  0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
(2x  y )(x  y )  0  2x  y  0

3x  2y  0

Thay vào (2) ta được phương trình:



2x  1

2

4x 2  x  6  2x  1  5 x  1

 5 x  1   2x  1  5 x  1 (3)

Với x  0 , chia hai vế của phương trình (3) cho

x  1 ta được phương trình tương

 2x  1 2
  5   2x  1  5
đương 
 x  1 
x 1

t  5
Đặt t 
, phương trình được viết t  5  t  5  
t 2

t  2
x 1



1

x
2x  1

Giải phương trình:
 2  2 x  1  2x  1  
2

x 1


4
x

1  4x 2  4x  1




2x  1

2



x  1
1
x 
7

2

 
 x  1
.
2
 2

2
4


28
x
4x  8x  3  0

4
Khi x  1 

7
 y  2  7 .
2

Page 3
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT



7

Nghiệm của hệ phương trình là: (x ; y )  1 
; 2  7  .

2


Câu 5. Giải bất phương trình

2x 2  6x  8  2x 2  4x  6  3 x  4  3 x  3  1  0
(THPT TRƯNG VƯƠNG)
Điều kiện : x  1
Bất phương trình đã cho tương đương với :
2 x  1x  4  2 x  1x  3  3 x  4  3 x  3  1  0
 2 x  1 x  4  2 x  1 x  3  3 x  4  3 x  3  1  0

 2 x  1






  x 4 
x  3  1

x 4  x 3 3

2 x  1  3



x 4 

 2 x  1  3 



x 3 1

1

x 4  x 3
 2 x  1  3  x  4  x  3




11
2 x  1  3  0


x



2

2
2  


2 x  1  3  x  4  x  3

3 2 x  1  x  4x  3







11


x

11



x
2


  x  5  x  6
2





x 2  11x  30  0

 x  6




 




 



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  6;  .

Câu 6. Giải hệ phương trình

3
2 y  2  3 y  2  x  4  x

 y  42y  12  8  x 2  y 






x2  2 x2 y



.

(THPT TRẦN HƯNG ĐẠO)
y  2
Điều kiện :  2
.
x  y

Từ phương trình thứ (2) ta có

Page 4
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin

y  42y  12  x 2  2x 2  y   0

x2  8  y 











 2 x 2  8  y  2 y  42y  12  2 x 2  2 x 2  y  0




2y  8  y  6

 
2



x2  2  x2 y

 0
2



 2y  8  y  6

 y  2  y  2  0 .
 2
2

x

2


x

y



Thay vào phương trình (1) ta được

2 y  2  3 y 2  x3  4  x  y 2  3 y 2  x3  4  x





3

y 2

 4 
3

3

y  2  x 3  4  x * .

Xét hàm số f t   t  t 2  4 trên  .
Ta có f ' t   1 

3t 2
3

2 t 4

 0, t   .

Do đó, phương trình *  f



3



y  2  f x   3 y  2  x .

x   3 4
 y  2  0


Suy ra 
(thỏa mãn).

 3 y  2  x
y  2







Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y    3 4; 2 .

Câu 7. Giải bất phương trình





x 2  5x  4 1  x (x 2  2x  4) * .
(THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ)

1  5  x  0

Điều kiện : x x  2x  4  0  
x  1  5






2

Khi đó (*)  4 x (x 2  2x  4)  x 2  5x  4



 



 4 x x 2  2x  4  x 2  2x  4  3x * *
Trường hợp 1 : x  1  5 , chia hai vế cho x  0 , ta có:

x 2  2x  4 x 2  2x  4

3
* *  4
x
x
Page 5
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT

x 2  2x  4
t  0 , ta có bất phương trình :
x

Đặt t 

t 2  4t  3  0  1  t  3
x 2  7x  4  0
x 2  2x  4
1  17

7  65
1
3 2

x 
x  x  4  0
x
2
2


Trường hợp 2 : 1  5  x  0 , x 2  5x  4  0 , (**) luôn thỏa.
 1  17 7  65 




Vậy tập nghiệm của bất phương trình (*) là S  1  5; 0  
;


 
2
2


Câu 8. Giải phương trình

2 1  x 


x  4x  5  2
 x  1 1 
 .
x x 1

x 2  x  1 
3x

2

(THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2016)
Điều kiện: x  1 .
Phương trình đã cho tương đương với

x  2 
2


2 1  x 


x

1
1

 

x2  x 1


x 2  x  1 

x 2  2x  1

 2 1x

1  x  .

 1  x 
 1  2
 x 2  x  1
 x  x  1
2

x  2

2

Đặt y  1  x , z  x 2  x  1 y  0; z  0 , phương trình trở thành

 2y
 y4


x  2  y  z  1  2

 z
2

2

2 . Ta có VT  0 ;

2
 y 2 2y

 2y
 y 4


y

2
2
VP  y   1  2  y  2 
 1  y   1  0 .
 z

 z

 z
z
 z
2

x  2
x  2  0




Do đó, phương trình (2) tương đương với :   y
 y  0 .
y   1  0


  z
y  z


Với x  2 thì y  z  3 .
Vậy x  2 .
Page 6
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin

Câu 9. Giải hệ phương trình
 2
x  x  y  2 x  1y  1 1

.
x 1
 2
2
3x  8x  3  4 x  1 y  1

x  1
Điều kiện: 
.

y  1


x3  x2  x
1

 y  2

x 1
 x 3
  x
 

 x  1 
x 1



x  1y  1 

x 3  x x  1

x  1 x  1

 y  2 y  1



3

y  1  y  1 3  .

Xét hàm số f t   t 3  t trên  .
Ta có f ' t   3t 2  1  0, t   .
Suy ra hàm số f t  đồng biến trên  .

 x 
  f
Do đó, 3  f 
 x  1 





y 1 

x
x 1

 y  1 . Suy ra x  0 .

Thay vào phương trình (2) ta được:
2



3x  8x  3  4x x  1  2x  1  x  2 x  1
2

x  1

 2
2 x  1  x  1
x  6x  3  0


 

x  1
2 x  1  1  3x



3
9x 2  10x  3  0


Ta có y 

x  3  2 3



5  2 13 .
x 


9

x2
 1.
x 1

Với x  3  2 3 thì y 
Với x 



2

43 3
.
2

5  2 13
: loại do x  0 .
9


4  3 3 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   3  2 3;
 .
2



Page 7
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT

Câu 10. Giải bất phương trình

x 2 2





6 x 2  2x  4  2 x  2



1
2

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC – 2016)
Điều kiện: x  2 .
Ta có





6 x  2x  4  2 x  2 
2



2 x 2  2x  4







6 x  2x  4  2 x  2
2

 0, x  2 .

Bất phương trình đã cho tương đương với :
2









x  2  2  6 x 2  2x  4  2 x  2

 2 x  2  2x  12 x  2  6x 2 * .

Nhận xét x  2 không là nghiệm của bất phương trình.
Khi đó chia 2 vế của bất phương trình (*) cho

x  2  0 ta được :

 x 2
 1 .
2  2.
 12  6. 
 x  2 
x 2
x

Đặt t 

x
x 2

, bất phương trình (1) trở thành :

t  1
2  2t  0



 
 t  2.
2  2t  12  6t  
2
2
2
2 t  2  0
4  8t  4t  12  6t


Với t  2 ta có bất phương trình
x  0
x
 2   2
 x  22 3.
x  4x  8  0
x 2

2

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x  2  2 3 .
Câu 11. Giải phương trình

x 1 

x 2  x  2 3 2x  1
3

2x  1  3

(THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH 2016)

x  1
Điều kiện: 
.

x  13


Phương trình đã cho tương đương với :

Page 8
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin





 x  2 x  1  2 x  1  2
x2  x  6

x

1


2

3
3
2x 1  3
2x  1  3
Vì x  3 không là nghiệm của phương trình nên
x 1  2 

1  1 

 x  2 
3

x 1  2

2x  1  3

  (2x  1) 

3



1

2x  1  (x  1) x  1  x  1 2

Xét hàm số f (t )  t 3  t trên  .

2
Ta có f ' t   3t  1  0, t   .

Do đó phương trình 2  3 2x  1  x  1



x   1
x   1


2

2


2
3
3
2

(2
x

1)

(
x


1)
x

x
x  0





x   1
x  0

2

 x  0

x  1  5



1 5
2

x 
2





1 5


Vậy phương trình có nghiệm S  0;


2 







Câu 12. Giải hệ phương trình
x  2 x 2  2x  4  y  1  2 y 2  3


2
 4 x  x  6  5 y  2  xy  2 y  x  2  1  2 y  x  2

(THPT THUẬN THÀNH 1 – BẮC NINH 2016)

y  2
Điều kiện : 
.

(x  2)(y  1)  0



Phương trình (1) của hệ tương đương với x  1  2 (x  1)2  3  y  2 y 2  3
Xét hàm số f t   t  2 t 2  3 trên  .
Ta có f '(t )  1 

2t
t2  3



t 2  3  2t
t2  3

.

t  0
f '(t )  0  t  3  2t   2
 t  1.
3t  3  0

2

Page 9
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT


t  0
f '(t )  0  t  3  2t  
t 1
 2

3t  3  0



f '(t )  0  t  1
2

Từ điều kiện ta có
x  2  0
x  1  1
 
-Nếu 
thì 1  f x  1  f y   x  1  y

y  1  0
y  1



x  2  0
x  1  1

-Nếu 

thì 1  f x  1  f y   x  1  y
 
y  1  0
y  1


Thế y  x  1 vào phương trình (2) ta có :
 4x 2  x  6  (1  2x )  5 x  1 
x  1  0  x  1
 
2
 4x  x  6  1  2x  x  1


x 1
2

4x  x  6  1  2x

 x 1

(4)


x  1
2 7
Kết hợp (3) và (4) ta được 2 x  1  2x  1  
x 
2
 2

2
4x  8x  3  0
Thử lại ta có: Phương trình đã cho có 2 nghiệm: x  1; x 

2 7
.
2

 2  7 7 

 .
Vậy hệ có nghiệm là (x;y) = (-1;-2) và 
;
2 
 2

Câu 13. Giải hệ phương trình
 2
 x  x  1  y 2  y  1  x 2  xy  y 2

4 x  1xy  y  1  3x  3 x 4  x 2


1

(THPT CHUYÊN BẮC GIANG – 2016)

x 2  x  1  y 2  y  1

1   2

2
 x  x  1  y  y  1






2

 x 2  xy  y 2 2

.

Ta có 2  xy  x  y  2  2 x 2  x  1. y 2  y  1

xy  x  y  2  0

 
2
xy  x  y  2  4 x 2  x  1 y 2  y  1






 3 

Page 10

Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin



 xy  x  y 

2





 4 xy  x  y   4  4  x 2  x y 2  y  x 2  x  y 2  y  1


2

 4 x 2y 2  xy x  y   x  y  



3  xy  x  y 

2

 3x 2y 2  6xy x  y   3 x  y   0
2

 3 xy  x  y   0  xy  y  x .
2

Thế xy  y  x vào phương trình 4 x  1xy  y  1  3x  3 x 4  x 2 ta được :

4 x  1x  1  3x  3 x 4  x 2

4 

Đặt t  3 x 4  x 2 . Vì x  0 không là nghiệm của (4) nên x  0 .
2

x 
3x 2


Suy ra t  tx  x  t   
 0, x  0 .

2 
4
2

2

Do đó 4  4x 2  3x  4  t  4x 2  4x  4  t  x



 4 x  x  1t
 x  x  14t


 tx  x   x  x
 4tx  3x   0

 4 x 2  x  1 t 2  tx  x 2  t 3  x 3
2

2

2

2

2

4

3

x2

2

 x 2  x  1  0 vì 4t 2  4tx  3x 2  2t  x   2x 2  0, x  0 .

2

x 

1 5
.
2

- Với x 

1 5
3 5
1 5
1  5
y
y
thì
(không thỏa mãn điều kiện).
2
2
2
2

1 5
3 5
1 5
1  5
thì
(thỏa mãn điều kiện).
y

y 
2
2
2
2
1  5 1  5 

 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   
;

2
 2

- Với x 

Câu 14. Giải phương trình



x 3  3x 2  4x  1  x 2  3



x2 x 1

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – 2016)

x  3
x  3




Ta thấy x  3  x 2  x  1  0   2
(vô nghiệm)

x  x  1  x 2  6x  9
x   8


7
Page 11
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT

Do đó phương trình đã cho tương đương với :

x

2







 3 x  3  7x  8  x 2  3







x2 x 1

 x 2  3 x  3  x 2  x  1  7x  8  0

x  3  x 2  x  1
2



 x2  3



2

x  3  x x 1

 7x  8  0



x2  3


 7x  8 
 1  0
 x  3  x 2  x  1



x   8
 
7
2
x  3  x  3  x 2  x  1 2


2  x 2  x 

x 2  x  1 3  .

Đặt t  x 2  x  1 t  0 , phương trình (3) trở thành :


t  1  5

2 .
t2  1  t  

t  1  5


2
Giá trị t 
Với t 

1 5
thỏa mãn điều kiện t  0 .
2

1 5
ta có phương trình
2

1 5
1 5
1 32 5
 x2 x 
0x 
2
2
2





8 1 3 2 5 


Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;
.



7
2






x2 x 1 

Câu 15. Giải hệ phương trình


x  3y  7x  2y  5y  x  3 y


 2

2x  y 2  x 4  y 2  4  2  5 xy



(THPT CHUYÊN KHTN – 2016)

Page 12
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.

Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin



y0



x  3y  0



7x  2y  0
Điều kiện : 
.

5
y

x

0




x 4  y2  4  0





xy  0



- Nếu y  0 thì từ phương trình thứ nhất của hệ ta có x  0 (không thỏa mãn phương
trình (2)).
- Nếu y  0 thì chia 2 vế của phương trình thứ nhất cho

y ta được :

x
7x
x
3 
 2  5   3 1 .
y
y
y
Đặt t 

x
, phương trình (1) trở thành
y

t  3  7t  2  5  t  3 2 .

Vế trái của (2) là hàm đồng biến theo t, vế phải của (2) là hàm nghịch biến theo t nên
phương trình (2) nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất.
Mà t  1 là một nghiệm của phương trình (2).
Với t  1 ta có

x
 1  x  y  0.
y

Thế x  y vào phương trình thứ 2 của hệ ta được :

x 2  2  x 4  x 2  4  5x .
Chia cả 2 vế cho x  0 rồi đặt t  x 

2
ta có phương trình
x

t  5
t  5  5  t  
 t  3.

 10t  30
2

x  1
2
2
Với t  3 ta có x   3  x  3x  2  0  
.

x
x  2
Với x  1  y  1 (thỏa điều kiện).
Với x  2  y  2 (thỏa điều kiện).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   1;1, 2;2 .

Câu 16. Giải bất phương trình

x  2



2x  3  2 x  1  2x 2  5x  3  1

(THPT CHUYÊN LÀO CAO – 2016)
Page 13
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT

Điều kiện : x  1 .



a 2  2b 2  1


a  2x  3



2

a

1;
b

0
Đặt 




 2x  5x  3  ab

b  x  1



x  2  a 2  b2



Bất phương trình đã cho trở thành :

a

2



 b 2 a  2b   ab  1

 a  b a  b a  2b   ab  1  0





 a  b  a 2  2b 2  ab  ab  1  0
 a  b 1  ab   1  ab   0
 a  b  11  ab   0
a  b  1  0

1  ab  0



a  b  1  0 I
 
.
1  ab  0



a  b  1  0



II 


1

ab

0


- Nếu a  b  1  0 ta có phương trình

2x  3  x  1  1  0

 2x  3  x  1  1  2x  3  x  1  2 x  1  1
 x 1  2 x 1  x 1



x  1
x  1  2  0  
.
x  3



- Nếu 1  ab  0 ta có phương trình 1  2x 2  5x  3  0


x   1 tm 
2
.
 2x  5x  2  0  
2

x  2 l 
- Giải hệ (I) :

x  1
x  3




2
x

3

x

1

1





x

1

2
x

1

I




  2
1 VN  .



1

x


2
x

5
x


3

1
2x 2  5x  2  0




2


- Giải hệ (II) :

Page 14
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin

x  1

1  x  3
 2x  3  x  1  1



1

 x 3
  x 1 x 1 2  0  

II    2
1
x  

2
 2x  5x  3  1
2


2

2x  5x  2  0
 1 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1   ; 3 .
 2 







Câu 17. Giải phương trình

x 4  12x 3  38x 2  12x  67  x  1  7  x  0
(SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC – 2016)
TƯ DUY CASIO : Phương trình có nghiệm kép x  3 .

- Đặt A  x  1 . Với x  3 thì A  2
Ta có A  2  x  1  2  A  2  x  3 .
Thay x  3 vào biểu thức
Do đó A  2 

1
x 1 2

1
x 1 2
1

ta được

x 1 2



1
.
4

1
1
5
x  3  A  x   4A  x  5  4 x  2  x  5  0 .

4
4
4

- Tương tự đặt B  7  x . Với x  3 thì B  2
Ta có B  2  7  x  2  B  2  x  3 .
Thay x  3 vào biểu thức
Do đó B  2 

1
7 x 2

1
7 x 2

ta được

1
7 x 2



1
.
4

1
1
11
x  3  B 
x
 4B  x  11  4 7  x  11  x   0 .


4
4
4

Điều kiện : 1  x  7 .
Phương trình đã cho tương đương với :

4x 4  48x 3  152x 2  48x  268  4 x  1  4 7  x  0





 4x 4  48x 3  152x 2  48x  252   4 x  1  x  5   4 7  x  11  x   0

 


x  3

x  1  x  5 4
2





 x  3 4x 2  24x  28 
2

4

x  3
0
7  x  11  x 
2

Page 15
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT



1
1


 x  3 x  7 x  1 

0


4
x


1

x

5
4
7

x

11

x





2

A

 x  3 vì A  0, x  1; 7  .



Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3 .

Câu 18. Giải phương trình



x  x 4


2

x  4 x  4  2x  x  4  50

(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU – 2016)
Điều kiện : x  4 .
Phương trình đã cho tương đương với :

x 

x 4


 x 

 
2



x 4 2

2

 2x  x  4  50

  x  4  2  2x  x  4  50
x  4   2 x  x  4   48  0

 x  x 4

2

2

x  x  4  6
4  x  6


 x  4  6  x   2
 x  5.
x  13x  40  0
x  x  4  8 l 


Vậy tập nghiệm của phương trình là S  5 .

Câu 19. Giải phương trình

7x 2  20x  86  x 31  4x  x 2  3x  2
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU – NGHỆ AN 2016)

7x 2  20x  86  0

Điều kiện : 

.
31  4x  x 2  0

Xét trường hợp

x  2
7x  20x  86  x  2   2
 x  2  19 .
6x  24x  90  0

2

Thử lại x  2  19 không thỏa mãn phương trình.
Do đó, phương trình đã cho tương đương với :


2
2
 7x  20x  86  2  x   x 31  4x  x  4  0







Page 16
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.

Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin

7x 2  20x  86  2  x 

2





7x 2  20x  86  2  x 



6 x 2  4x  15



7x  20x  86  2  x 
2







x 15  4x  x 2



31  4x  x 2  4



x x 2  4x  15



2

31  4x  x  4

0

0

x 2  4x  15  0 2


6
x


 0 3

 7x 2  20x  86  2  x 

31  4x  x 2  4

x  2  19 tm
 .
2  
x  2  19 l 


3   6
Thay

31  4x  x 2  24  x 7x 2  20x  86  2x  x 2

7x 2  20x  86  3x  2  x 31  4x  x 2 (rút ra từ phương trình đã cho) ta được

phương trình hệ quả :





6 31  4x  x 2  x 3x  2  x 31  4x  x 2  2x  x 2


 31  4x  x  2x  4x  24
 31  4x  x   x  6 31  4x  x  x
 x2  6

2

2

2

2

2

2

7  0

x  2  34

.
 31  4x  x  1  x  4x  30  0  
x  2  34

2

2

Thử lại x  2  34 thỏa mãn phương trình.





Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2  19; 2  34 .

Câu 20. Giải hệ phương trình

2


 xy  x  2  x  x  4 x  0


xy  x 2  2  x xy  2  3








(THPT HAI BÀ TRƯNG – HUẾ 2016)

x  0
Điều kiện : 
.

xy  2  0


Page 17
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.

ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT



xy  x  2  x 2  x  4 x


Hệ phương trình đã cho tương đương với 
I 
2

xy

x

2

x
xy

2

3
1






Dễ thấy x  0 không thỏa mãn phương trình (1) nên
 
2 
 
  1  x  1  4
y


 

x

I   


2 

y  2   3

y


x

x


x 

x 









a 2  y  2   1
y  2   1
a



x 
x 
a  0; b  1  
Đặt 



 2
b  x  1
b  x  1






Ta có hệ phương trình

a  b  4


2
2
2
a  b   2ab  5  ab   a  b   2ab   1
b2  1 a 2  1  3





a b  4


a  b  4
a  b  4


11



 ab 
 

2
11  2ab  ab   2ab  15

ab  4
2


2



3 ab   46ab  136  0



a  2
 a, b là 2 nghiệm của phương trình X 2  4X  4  0  
.

b  2

x  3
a  2

Với 
thì 
.

b  2
y  7



3
a  b  4

 2
 a  1  b 2  1 




 









 7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   3;  .
 3 
Câu 21. Giải hệ phương trình
4x 3  12x 2  15x  y  1 2y  1  7
 


6 x  2 y  x  26  6 3 16x  24y  28


(THPT CHUYÊN PHÚ YÊN 2016)

1
.
2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :
Điều kiện : y 

Page 18
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin

8x 3  24x 2  30x  2y  2 2y  1  14
2


 2x  2  3 2x  2  14 













2

2y  1  3 2y  1  14 1 .







Xét hàm số f t   t 2  3 t  14 trên  .
Ta có f ' t   3t 2  3  0, t   .
Suy ra hàm số f t  đồng biến trên  .

x  1

Do đó 1  f 2x  2  f 2y  1  2x  2  2y  1  
.

y  2x 2  4x  5

2
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được :













3 x  2 4x 2  8x  5  x  26  6 3 16x  12 4x 2  8x  5  28

 12x 3  48x 2  62x  4  12 3 6x 2  10x  4





 6 2x  1x  2  6x 2  10x  4  8  8  12 3 6x 2  10x  4 2 .
2

Với x  1 ta có 6 2x  1x  2  0 ; 6x 2  10x  4  0 .
2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm 6x 2  10x  4 ; 8; 8 ta có :

6x

2







 10x  4  8  8  3 3 6x 2  10x  4 .8.8  12 3 6x 2  10x  4





Suy ra 6 2x  1x  2  6x 2  10x  4  8  8  12 3 6x 2  10x  4 .
2

x  1

2

Dấu “=” xảy ra  
2x  1x  2  0  x  2 .
 2
6x  10x  4  8

Khi đó 2  x  2  y 

5
(thỏa mãn).
2

 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   2;  .
 2 
Câu 22. Giải phương trình

3x 3  2x 2  2  3x 3  x 2  2x  1  2x 2  2x  2
(THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI - 2016)

3x 3  2x 2  2  0

Điều kiện : 
3x 3  x 2  2x  1  0

Page 19
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có :





1. 3x 3  2x 2  2 

1  3x 3  2x 2  2
2





Và 1. 3x 3  x 2  2x  1 

1  3x 3  x 2  2x  1
2

Suy ra 2x 2  2x  2  3x 3  2x 2  2  3x 3  x 2  2x  1 

3x 2  2x  3
2

 x  1  0  x  1 .
2

Thử lại x  1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1 .

Câu 23. Giải hệ phương trình

2 x y  2  y  2  x  2y  5

2


7
2 x  2 x  2  y  
4






(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - 2016)

x  2
Điều kiện : 

y  2

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :

4 x  1 y  2  2 x  1  4 y  2  1  0
 x  1  4 x  1 y  2  4 y  2  x  1  2 x  1  1
2



 x 12 y  2

2



2

 x  2

2

x  1  2 y  2  x  2
2 y  2  1




x  1  2 y  2  2  x
2 y  2  2x  3



x  3
7
2
 y   hoặc 

2

4
4 y  2  2x  3

x  3
7


2
.
 y   hoặc 

4x 2  12x  1
4
y 
4


Page 20
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin

7
- Với y   , phương trình thứ hai của hệ trở thành :
4
x  2
7
7
.
2 x  2 x  2     x  2 x  2  0  
x



2
4
4


x  3
4x 2  12x  1

2
y

- Với 
,
thế
vào phương trình thứ hai của hệ ta được

4x 2  12x  1
4
y 
4

2 x  2

4x 2  12x  1
7
x 2 
   x  2 2 x  2  x  1  0
4
4





3
7
) y  .
2
4

7 
7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   2;   ; 2;   .

4  
4 
 x  2 (vì 2 x  2  x  1  0, x 

Câu 24. Giải hệ phương trình
x 3  y 3  8x  8y  3x 2  3y 2



 2

5x  5y  10 y  7  2y  6 x  2  x 3  13y 2  6x  32








(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - 2016)

x  2
Điều kiện : 
.

y  7

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :

x  1

3

 5 x  1  y  1  5 y  1 1
3

Xét hàm số f t   t 3  5t trên  .
Ta có f ' t   3t 2  5  0, t   .
Suy ra hàm số f t  đồng biến trên  .
Do đó 1  f x  1  f y  1  x  1  y  1  x  y .
Thay y  x vào phương trình thứ hai của hệ ta được :

5x  5x  10 x  7  2x  6 x  2  x  13x  6x  32
 5x  5x  10 x  7  3  2x  6 x  2  2  x  2x
2

3

2

2

3

2

 5x  10

 5x 2  5x  10
2x  6 
2


 x  2 

  x  2 x  5
 x  7  3
x  2  2





Page 21
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công

nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

Tuyển tập PT, BPT, HPT

 5x 2  5x  10

2x  6
2

 x  2 

 x  5   0
x 2 2
 x  7  3

x  2

  5x 2  5x  10
2x  6

 x 2  5  0 2

x 2 2
 x  7  3
Với x  2 ta có





5x 2  5x  10
x 7 3
Do đó







5x 2  5x  10
 x 2  x  2 và
5

5x 2  5x  10
x 7 3



2x  6
x 2 2



2x  6
x 2 2



2x  6
 x 3.
2







 x2  5  x2 x  2  x  3  x2  5  0.

Suy ra phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   2;2 .

Câu 25. Giải hệ phương trình

7 x  1  1  y x  1  1

x  1 y 2  y x  1  13x  12






(THPT ĐỘI CẤN - 2016)
Điều kiện : x  1 .

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :

7  y 
Thế

x 1  y 1  x 1 

x 1 

y 1
(do y  7 không là nghiệm của phương trình)
7 y

y 1
vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
7 y

 y  1 2
 y  1 
 y  1 2
  y. 
  13. 
  1
y . 
 7  y 
 7  y 
 7  y 
2

 y 2 y  1  y y  17  y   13 y  1  7  y 

2

2

2

 y 4  y 3  5y 2  33y  36  0





 y  1y  3 y 2  5y  36  0
y  1
 
y  3
8
Với y  1  x   .
9
Page 22
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT

ThS. Nguyễn Văn Rin

Với y  3  x  0 .

 8 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y    ;1 ; 0; 3 .
 9 
Câu 26. Giải hệ phương trình
8x 3  y  2  y y  2  2x


 y  2  1 2x  1  8x 3  13 y  2  82x  29






(THPT HÀN THUYÊN – BẮC NINH 2016)


x   1
Điều kiện : 
2
y  2

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :

2x   2x  
3



y 2


3

y  2 1

Xét hàm số f t   t 3  t trên  .
Ta có f ' t   3t 2  1  0, t   .
Suy ra hàm số f t  đồng biến trên  .
Do đó 1  f 2x   f





y  2  2x  y  2

Thế 2x  y  2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được :

2x  1 2x  1  8x 3  52x 2  82x  29
 2x  1 2x  1  2x  1 4x 2  24x  29
 2x  1





2x  1  4x 2  24x  29  0

2x  1  0

 
2
 2x  1  4x  24x  29 2
- Với 2x  1  0  x 

1
 y  3.
2

- Đặt t  2x  1 t  0  2x  t 2  1 , phương trình (2) trở thành :





2





t  t 2  1  12 t 2  1  29  0
 t 4  14t 2  t  42  0





 t  2t  3 t 2  t  7  0
Page 23

Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.


ThS. Nguyễn Văn Rin

t

t


 t



t



Tuyển tập PT, BPT, HPT

2
 3 l 
1  29
l 
2
1  29

2


Với t  2  x 
Với t 

3
 y  11 .
2

1  29
13  29
103  13 29
x 
y 
.
2
4
2

 1   3  13  29 103  13 29 
 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y    ; 3 ;  ;11 ; 
;

 2   2  
4
2



Câu 27. Giải hệ phương trình

2x 3  4x 2  3x  1  2x 3 2  y 3  2y 1
 



 x  2  3 14  x 3  2y  1 2

(THPT HẬU LỘC 2 – THANH HÓA 2016)

3
.
2
Dễ thấy x  0 không thỏa mãn phương trình (1) nên chia cả 2 vế của phương trình (1)
Điều kiện : y 

cho x 3 ta được :

1  2  x4 

3
1
 3  2 2  y  3  2y
2
x
x

3

1  
1


 1    1   

x  
x 



3  2y


3

3  2y

3

Xét hàm số f t   t 3  t trên  .
Ta có f ' t   3t 2  1  0, t   .
Suy ra hàm số f t  đồng biến trên  .


1
Do đó 3  f 1    f

x 
Thế

3  2y  1 





3  2y  1 

1
 3  2y .
x

1
vào phương trình (2) ta được :
x

x  2  3 15  x  1 (Điều kiện : x  2 )
Page 24
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghị lực thì không thể nào vượt qua.


Tuyển tập PT, BPT, HPT





 

ThS. Nguyễn Văn Rin



x  2  3  2  3 15  x  0









1
1
0
 x  7  

2
 x  2  3 4  2 3 15  x  3 15  x 
  


 0, x 2





x 7y 



111
.
98

 111
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   7;
 98 
Câu 28. Giải phương trình

2x  2  2 3  x 

12x  20
2

9x  18x  25

0

(THPT LƯƠNG THẾ VINH – HÀ NỘI 2016)
Điều kiện : 1  x  3 .
Phương trình đã cho tương đương với :

6x  10
2x  2  2 3  x



12x  20
2

9x  18x  25

0

6x  10  0 1


 9x 2  18x  25  2 2x  2  4 3  x


2

1  x  53 .
Bình phương 2 vế của phương trình (2) ta được phương trình :

9x 2  10x  31  16 6  4x  2x 2

3  .

Đặt t  2 6  4x  2x 2 t  0 , phương trình (3) trở thành :

t 2  8t  x 2  6x  7  0 4
Ta có   x  3

2

t  x  7

4

  t  x  1

- Với t  x  7 ta có phương trình 2 6  4x  2x 2  x  7
Giải phương trình này ta được phương trình vô nghiệm.
Page 25
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.