Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh lào cai năm học 2015 2016

UBND TỈNH LÀO CAI
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016

Câu 1. (4 điểm)
a. Chứng minh A  4n3  36n2  56n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b. Tìm 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp mà tổng các bình phương của chúng là
một số có 4 chữ số giống nhau.
Câu 2. (6 điểm)
x x  26 x  19 2 x
x 3
2.1. Cho P 


x 2 x 3
x 1
x 3
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
 x3  x3 y 3  y 3  17
2.2. Giải hệ phương trình 
 x  xy  y  5
2.3. Một bể cá có dạng hình hộp lập phương, độ dài cạnh của bể là
a  3 6 3  10  3 6 3  10 . Chứng minh độ dài cạnh của bể cá là số tự nhiên.
Câu 3. (4 điểm)

3.1. Cho a,b,c là các số không âm và a+b+c=1. Chứng minh:
a  1  b  1  c  1  3,5
(d1 ) : y  (m2  1) x  m 2  3

3.2. Cho ba đường thẳng: (d 2 ) : y  x  5
( d ) : y   x  1
 3
a. Chứng minh m thì (d1) luôn đi qua một điểm cố định.
b. Tìm m để 3 đường thẳng đã cho đồng quy.
Câu 4. (5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc
đoạn thẳng AO (C khác A, O). Đường thẳng qua C và vuông góc với AO cắt nửa
đường tròn tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B, D). Tiếp tuyến của nửa
đường tròn tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao của AM với CD.
a. Chứng minh: EMF là tam giác cân.
b. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp FDM . CMR: D, I, B thẳng hàng.
c. Chứng minh số đo ABI không đổi khi M di chuyển trên cung BD .
Câu 5. (1 điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab  bc  ca  a 2  b2  c 2  2(ab  bc  ca)

---------------------------------HẾT--------------------------------Họ và tên thí sinh:............................................................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.