các dạng tính nhanh phân số ở toán tiểu học

www.VIETMATHS.com
các dạng tính nhanh phân số
Dạng 1: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của
phân số liền sau gấp 2 lần mẫu số của phân số liền trớc.
Ví dụ:

1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
.
2 4 8 16 32 64

Cách giải:

Cách 1:
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
2 4 8 16 32 64
1
1
Bớc 2: Ta thấy: = 1
2

2
1 1 1
=
4 2 4
1 1 1
=
8 4 8
1 1
1 1
1
1

1
Bớc 3: Vậy A = 1 + + + ... +
2 2
4 4
8

32 64
1 1
1 1
1
1
1

A = 1 + + + ... +
2 2
4 4
8
32 64

1
A= 164
64
1
63

=
A=
64 64 64
63
Đáp số:
.
64

Bớc 1: Đặt A =

Cách 2:

1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
2 4 8 16 32 64

Bớc 1: Đặt A =
Bớc 2: Ta thấy:

1
1
=1
2
2
1 1 3
1
+ = =1
2 4 4
4
1 1 1 7
1
+ + = =1
2 4 8 8
8

.
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
2 4 8 16 32 64
1
64
1
63

=
=1=
64
64 64 64

Bớc 3: Vậy A =


www.VIETMATHS.com
D¹ng 2: TÝnh tæng cña nhiÒu ph©n sè cã tö sè b»ng nhau vµ mÉu sè cña
ph©n sè liÒn sau gÊp n lÇn mÉu sè cña ph©n sè liÒn tríc. (n > 1)
VÝ dô: A =

1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
2 4 8 16 32 64

C¸ch gi¶i:

Bíc 1: TÝnh A x n (n = 2)


Ta cã: A x 2 = 2 x  +

1 1 1

1
1
1 
+ +
+
+

 2 4 8 16 32 64 
2 2
2
2
2
2
+
= + + + +
2 4
8 16 32 64
1 1 1
1
1
= 1+ + + + +
2 4 8 16 32

Bíc 2: TÝnh A x n - A = A x (n - 1)

A x 2 - A = 1 + +

1 1
1
1 

1
1
1 
1 1 1
+ +
+
+
+
−  + + +

4 8 16 32 

 2 4 8 16 32 64 
1 1 1
1
1
1 1 1
1
1
1
−
A x (2 - 1) = 1 + + + + +
- − − − −
2 4 8 16 32 2 4 8 16 32 64
1
A=164
64
1
63
−

=
A=
64 64 64
5 5
5
5
5
5
+
+
VÝ dô 2: B = + + +
2 6 18 54 162 486
1
2

Bíc 1: TÝnh B x n (n =3)


Bx3=3x  +
5
2

=

5
5
5
5
5 
+

+
+
+

6 18 54 162 486 

15 5 5
5
5
5
+ + +
+
+
2
2 6 18 54 162

Bíc 2: TÝnh B x n - B

5
5
5 
 15 5 5
+ + +
+
+
 2 6 18 54 162 
2
15 5 5
5
5

5
+ + +
+
+
B x (3 - 1) =
2
2 6 18 54 162
15
5
−
Bx2=
2
486
3645 − 5
Bx2=
486
3640
Bx2 =
486

Bx3 - B = 

5
5
5
5 
5 5
+
+
+

 + +

 2 6 18 54 162 486 
5 5
5
5
5
5
− −
−
−
−
2 6 18 54 162 486


www.VIETMATHS.com
3640
:2
486
1820
B=
486
910
B=
243

B=

Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh

2 2
2
2
2
2
2
+ +
+
+
+
+
3 6 12 24 48 96 192
1 1 1
1
1
1
1
1
+
+
+
b) + + + +
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1
1
1
1
1
+
+

+
.
c) + +
3 9 27 81 243 729
3 3
3
3
3
+
+
d) + +
2 8 32 128 512
3
3
3
3
+
+
e) 3 + +
5 25 125 625
1
1
1
1
1
+
+ .... +
g) + +
5 10 20 40
1280

1 1 1
1
1
h) + + + + ... +
3 9 27 81
59049

a)

D¹ng 3: TÝnh tæng cña nhiÒu ph©n sè cã tö sè lµ n (n > 0); mÉu sè lµ tÝch
cña 2 thõa sè cã hiÖu b»ng n vµ thõa sè thø 2 cña mÉu ph©n sè liÒn tríc
lµ thõa sè thø nhÊt cña mÉu ph©n sè liÒn sau:
1

1

1

1

3− 2

4−3

5−4

6−5

3

2

4

3

VÝ dô: A = 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 5 x 6
A = 2 x 3 + 3x4 + 4 x5 + 5 x6

5

4

6

5

= 2 x 3 − 2 x3 + 3x4 − 3x4 + 4 x5 − 4 x5 + 5 x6 − 5 x6
1 1 1 1 1 1 1 1
− + − + − + −
2 3 3 4 4 5 5 6
1 1 3 1 2 1
= − = − = =
2 6 6 6 6 3

=

VÝ dô:
3

3

3

3

5− 2

8−5

11 − 8

14 −11

B = 2 x 5 + 5 x 8 + 8 x 11 + 11 x 14
B = 2 x 5 + 5 x 8 + 8 x 11 + 11 x 14 .


www.VIETMATHS.com
5

2

8

5

11

8

14

11

B = 2 x 5 2 x 5 + 5 x 8 5 x 8 + 8 x 11 8 x 11 + 11 x 14 11 x 14
1 1 1 1 1 1
1
1
+ +
+

2 5 5 8 8 11 11 14
1
1
7
1
6 3
= = = =
2 14 14 14 14 7

=

Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
4

4

4

4

4

4

a. 3 x 7 + 7 x 11 + 11 x 15 + 15 x 19 + 19 x 23 + 23 x 27
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b. 3 x 5 + 5 x 7 + 7 x 9 + 9 x 11 + 11 x 13 + 13 x 15 + 1 x 2 + 2 x3 + 3 x 4 + ... + 8 x 9 + 9 x 10
c.
3
3
3
3
3
3
77
77
77
77
+
+
+
+
+ ... +
+
+
+
+ ... +
1x 2 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 x 6
9 x 10 2 x 9 9 x 16 16 x 23
93 x 100
4
4
4
4
7
7

7
7
7
d. 3 x 6 + 6 x 9 + 9 x 12 + 12 x 15
đ. 1 x 5 + 5 x 9 + 9 x 13 + 13 x 17 + 17 x 21
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1
1
1
1
+ ... +
+
+
e. + + + + +
g. + + +
2 6 12 20 30 42
110
10 40 88 154 138 340

Bài 2: Cho tổng:
S=

4
4
4
664
+
+
+ ... =

3 ì 7 7 ì11 11ì15
1995

a) Tìm số hạng cuối cùng của dãy S.
hạng?
Bài 3: Tính nhanh:
a)

b) Tổng S có bao nhiêu số

5 11 19 29 41 55 71 89
+ + + + + + +
6 12 20 30 42 56 72 90

b) Tính tổng của 10 phân số trong phép cộng sau:
1 5 11 19 29 41 55 71 89 109
+ + + + + + + + +
2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
1 1 1 1 1 1
Bài 4: Cho dãy số: , , , , , ........
2 6 12 20 30 42

a)
b) Số

Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên.
1
có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao?
10200

Bài 5: Tính nhanh:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1 + 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50

Bài 6: So sánh S với 2, biết rằng:


www.VIETMATHS.com
1 1 1
1
S = 1 + + + + ... +
3 6 10
45

Bài 7: Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + + <1
3 7 13 21 31 43 57 73 91

Bài 8: Điền dấu >,< hoặc = vào ô trống:
1 1 1 1
1
S = + + + + ... +

1
4 9 16 25
1000

Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3
thừa số trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số
cuối của mẫu phân số liền trớc là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau.
Ví dụ: Tính:
4

4

4

4

4

A = 1 x 3 x 5 + 3 x 5 x 7 + 5 x 7 x 9 + 7 x 9 x 11 + 9 x 11 x 13
5 1

73

95

11 7

13 9

5 1

73

95

11 7

13 9

= 1 x 3 x 5 + 3 x 5 x 7 + 5 x 7 x 9 + 7 x 9 x 11 + 9 x 11 x 13
= 1 x 3 x 5 + 3 x 5 x 7 + 5 x 7 x 9 + 7 x 9 x 11 + 9 x 11 x 13
5
1
7
3
9
5

+

+

1x3 x 5 1x3 x 5 3 x 5 x 7 3 x 5 x 7 5 x 7 x 9 5 x 7 x9
11
7
13
9
+

+

7 x 9 x 11 7 x 9 x 11 9 x 11 x 13 9 x 11 x 13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 1 x 3 3 x 5 + 3 x 5 5 x 7 + 5 x 7 7 x 9 + 7 x 9 9 x11 + 9 x11 11 x13
1
1
= 1 x 3 11 x 13
11 x 13 3 143 3 140
= 3 x11 x 13 = 429 = 429
=

Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
6
6
6
6
6
+
+
+

+
1 ì 3 ì 7 3 ì 7 ì 9 7 ì 9 ì 13 9 ì 13 ì 15 13 ì 15 ì 19
1
1
1
1
1
b)
+
+
+
+
1 ì 3 ì 7 3 ì 7 ì 9 7 ì 9 ì 13 9 ì 13 ì 15 13 ì 15 ì 19
1
1
1
1
1
1
c)
+
+
+
+
+ ... +
2 ì 4 ì 6 4 ì 6 ì 8 6 ì 8 ì 10 8 ì 10 ì 12 10 ì 12 ì 14
96 ì 98 ì 100
a)

www.VIETMATHS.com
d)

5
5
5
5
+
+
+ ... +
1 ì 5 ì 8 5 ì 8 ì 12 8 ì 12 ì 15
33 ì 36 ì 40

Dạng 5: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có
quan hệ về tỉ số với mẫu số của phân số kia.
1991 1992 1993 1994 995
ì
ì
ì
ì
1990 1991 1992 1993 997
1991 1992 1993 1994 995
ì
ì

ì
ì
1990 1991 1992 1993 997
1992 1994 995
ì

ì
1990 1992 997
1994 995
ì
1990 997
997 995
ì
=1
995 997

Ví dụ:
=
=
=
=

Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
328 468 435 432 164
ì
ì
ì
ì
435 432 164 984 468
2000 2002 2001 2003 2006
ì
ì
ì
ì

b)
2001 2003 2002 2004 2000

a)

Bài 2: Tính nhanh:
1313 165165 424242
ì
ì
2121 143143 151515
1995 19961996 199319931993
ì
ì
b)
1995 19931993 199519951995

a)

Bài 3: Tính nhanh:

1 1 1 1
2 3 4 5
3
1
3
3
3 3


b) 1 ì 1 ì 1 ì 1 ì ...ì 1 ì 1

4 7 10 13
97 100
2
2
2
2 2 2

c) 1 ì 1 ì 1 ì 1 ì ...ì 1 ì 1
5 7 9 11
97 99

a) 1 ì 1 ì 1 ì 1

Bài 4: Cho:

1 5 9 13
37
ì ì
ì
ì ... ì
3 7 11 15
39
Hãy tính M ì N.

M=

N=

7 11 15
39

ì
ì
ì .... ì
5 9 13
37

Bài 5: Tính tích của 10 hỗn số đầu tiên trong dãy các hỗn số sau:
1

1
1
1
1
1
ì 1 ì 1 ì 1 ì 1 ì ....
3
8
15
24
35


www.VIETMATHS.com
Dạng 6: Vận dụng 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc mẫu số nhằm
tạo ra thừa số giống nhau ở cả tử số và mẫu số rồi thực hiện rút gọn biểu
thức.
2003 ì 1999 2003 ì 999
2004 ì 999 + 1004
2003 ì (1999 999)
=

( 2003 + 1) ì 999 + 1004
2003 ì 1000
=
2003 ì 999 + (999 + 1004)
2003 ì 1000
=
2003 ì 999 + 2003
2003 ì 1000
=
2003 ì 1000
=1
1996 ì 1995 996
Ví dụ 2: 1000 + 1996 ì 1994
1996 ì (1994 + 1) 996
=
1000 + 1996 ì 1994
1996 ì 1994 + (1996 996)
=
1000 + 1996 ì 1994
1996 ì 1994 + 1000
=
= 1(vì tử số bằng mẫu số)
1000 + 1996 ì 1994

Ví dụ 1:

Ví dụ 3:
=

37 23 535353 242424

ì
ì
ì
53 48 373737 232323

37 23 53 ì10101 24 ì 10101
ì
ì
ì
53 48 37 ì 10101 23 ì 10101

37 23
53 24
ì
ì
ì
53 48
37 23
37 53 23 24
=
ì
ì
ì

53 37 48 23
24 24 1
=1 ì
=
=
48 48 2

=

Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:

1997 ì 1996 1

a) 1995 ì 1997 + 1996

b)

254 ì 399 145
254 + 399 ì 253


www.VIETMATHS.com
1997 × 1996 − 995
1995 × 1997 + 1002
1995 × 1997 − 1
e) 1996 × 1995 + 1994
c)

d)

Bµi 2: TÝnh nhanh:

1988 × 1996 + 1997 + 1985

a) 1997 × 1996 − 1995 × 1996
399 × 45 + 55 × 399

c) 1995 × 1996 − 1991 × 1995
1978 × 1979 + 1980 × 21 + 1985
1980 × 1979 − 1978 ×1979
1996 × 1997 + 1998 × 3
h) 1997 × 1999 −1997 × 1997

e)

5392 + 6001 × 5931
5392 × 6001 − 69

1994 × 1993 − 1992 × 1993

b) 1992 × 1993 + 1994 × 7 + 1996
2006 × (0,4 − 3: 7,5)
2005 × 2006
2,43×12300 − 24,3 ×1230
g) 45 × 20,1 + 55 × 28,9 + 4,5 + 3,3 − 55 × 5,37
2003 × 14 + 1988 + 2001 × 2002
i) 2002 + 2002 × 503 + 504 × 2002

d)

Bµi 3: TÝnh nhanh:

546,82 − 432,65 + 453,18 − 352,35
215 × 48 − 215 × 46 − 155 − 60
2004 × 37 + 2004 × 2 + 2004 × 59 + 2004
b)

334 × 321 − 201 × 334 − 334 × 102 − 18 × 334
16,2 × 3,7 + 5,7 × 16,2 + 7,8 × 4,8 + 4,6 × 7,8
c)
11,2 + 12,3 + 13,4 − 12,6 −11,5 − 10,4
a)

Bµi 4: TÝnh nhanh:
1995 19961996 193119311931
×
×
1996 19311931 199519951995
1313 165165 424242
b)
×
×
2121 143143 151515
a)

2
2
2
1
1
1
+
+
+
+
7
17

127
24 124 +
c) 4
3
3
3
3
3
3
+
+
×
×
4 24 124
7 17 127
1414 + 1515 + 1616 + 1717 +1818 + 1919
d)
2020 + 2121 + 2222 + 2323 + 2424 + 2525

Bµi 5: TÝnh nhanh
a)

12,48 : 0,5 × 6,25 × 4 × 2
2 × 3,12 ×1,25 : 0,25 ×10

Bµi 6: TÝnh nhanh:
989898 31313131
−
454545 15151515

b)

19,8 : 0,2 × 44,44 × 2 ×13,2 : 0,23
3,3 × 88,88 : 0,5 × 6,6 : 0,125 × 5


www.VIETMATHS.com
Bµi 7: TÝnh nhanh:
5
5
5 
 5
−
+
+

 10101 20202 30303 40404 

10101x 

Bµi 8: TÝnh nhanh:

0,8 × 0,4 ×1,25 × 25 + 0,725 + 0,275
1,25 × 4 × 8 × 25
9,6 × 0,2 × 15,4 × 2 × 15,4 : 0,25
b)
30,8 : 0,5 × 7,7 : 0,125 × 5 × 6
25,4 − 0,5 × 40 × 5 × 0,2 × 20 × 0,25
c)
1 + 2 + 8 + ... + 129 + 156

0,5 × 40 − 0,5 × 20 × 8 × 0,1× 0,25 ×10
d)
128 :8 ×16 × (4 + 52 : 4)
0,1997 + 2,5 ×12,5 × 0,5 × 0,08 + 0,8003
e)
1,25 × 2,5 × 8 × 4
(10,6524 + 0,3478) ×125 × 0,4 + 8
g)
4 × 0,1 × 8 × 0,25 × 125
a)

Bµi 1: TÝnh nhanh:

* Mét sè bµi tÝnh nhanh luyÖn tËp

1 + 3 + 6 + 10 + ... + 45 + 55
1 × 10 + 2 × 9 + 3 × 8 + ... + 8 × 3 + 9 × 2 + 10 × 1
1 × 20 + 2 × 19 + 3 × 18 + 4 × 17 + ... + 18 × 3 + 19 × 2 + 20 × 1
b)
20 × (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 19 + 20) − (1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 19 × 20)

a)

Bµi 2: TÝnh nhanh:
1
13
25
37
49
87

99
+
+
+
+
+ ... +
+
1000 1000 1000 1000 1000
1000 1000

Bµi 3: TÝnh nhanh:
a)

2 5 5 2
: × : + 1934
3 7 7 3

b)

1 1 1: 5
: ×
+ 1996
5 3 1: 3

1
 1 9
+ 0,5 x 3 - 1,5) x  4 −  : (14,5 x 100)
2
 2 2
7

7
7
d) × 5 + × 5 − × 2
8
8
8
1
 1 1
e) (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x 1 + : 1 − 1 
3
 2 2

c) (30 : 7

Bµi 4: TÝnh nhanh:

1  
1  
1  
1  
1 

1 +
 × 1 +
 × 1 +
 × 1 +
 × 1 +

2005  
2006  

2007  
2008  
2009 



www.VIETMATHS.com
Bµi 5: TÝnh nhanh:

1999 × 2001 − 1
7
×
1998 + 1999 × 2000 5
2006 2001 2008 2004 1001
b)
×
×
×
×
2008 2004 2002 2006 2001
a)

Bµi 6: TÝnh nhanh:
3

3

3

3

3

A = 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 1 + 2 + 3 + ... + 100
Bµi 7: TÝnh nhanh:
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
7 8 9 10 11 12 14 15 18 22 24 28 33
1 1 1 1 1 1
Bµi 8: NÕu phÐp céng cña tæng sau cø kÐo dµi m·i m·i: ; ; ; ; ; ; ...
2 4 8 16 32 64

S=

th× gi¸ trÞ cña tæng b»ng bao nhiªu?
Bµi 9: NÕu phÐp céng cña tæng sau cø kÐo dµi m·i m·i:
1+

1 1 1 1 1
1
; ; ; ;
;
; ...
3 9 27 81 243 729

Th× gi¸ trÞ cña tæng b»ng bao nhiªu?


1
2

1
3

Bµi 10: H·y chøng tá r»ng: 100 − 1 + + + ... +


1  1 2 3
99
 = + + + ... +
.

100  2 3 4
100