Luận văn: KHÔNG ĐIỂM CỦA DÃY CÁC ĐA THỨC XẤP XỈ TỐT

1

Mục lục
Mở đầu..................................................................................................................3
Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị...............................................................................4
1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến.......................................................................4
1.1.1. Định nghĩa..........................................................................................4
1.1.2. Định nghĩa. ........................................................................................4
1.1.3. Định nghĩa. ........................................................................................4
1.1.4. Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả......................................5
1.1.5. Bất đẳng thức Caychy. ......................................................................5
1.1.6. Định lý duy nhất................................................................................5
1.1.7. Định lý (Nguyên lý modul cực đại)..................................................6
1.1.8. Định lý (Weiestrass)..........................................................................6
1.1.9. Định lý (Hartogs)...............................................................................6
1.2. Hàm đa điều hoà dới.................................................................................6
1.2.1. Định nghĩa (hàm nửa liên tục trên)...................................................6
1.2.2. Định nghĩa..........................................................................................7
1.2.3. Định nghĩa (hàm đa điều hoà dới).....................................................7
1.2.4. Định lý. ..............................................................................................8
1.2.5. Định lý. ..............................................................................................8
1.2.6. Định lý. ..............................................................................................8
1.2.7. Định lý. ..............................................................................................8
1.2.8. Định lý (Bổ đề Hartogs). ..................................................................9
1.2.9. Tập đa cực. ........................................................................................9
1.2.10. Định lý (Josefson[Jo])...................................................................10
1.3. Hàm đa điều hoà dới cực trị....................................................................10
1.3.1. Một số lớp của các hàm đa điều hoà dới trong . ............................10
1.3.2. Hàm -cực trị.....................................................................................10
1.3.3. Tập L- đa cực...................................................................................17

2

Chơng 2. Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt.............................................26
2.0. Mở đầu.....................................................................................................26
2.0.1. Định lý (Wójcik [W]). ....................................................................27
2.0.2. Định lý (Blatt Saff [BS]). ...........................................................27
2.0.3. Định lý ( Plesniak [P] ). ..................................................................27
2.1. Một số khái niệm và kết quả ban đầu.....................................................28
2.1.1. Nhận xét ([Si. Hệ quả 8.6])............................................................29
2.1.2. Bổ đề . ..............................................................................................31
2.2. áp dụng của hàm Robin tới xấp xỉ đa thức trong - Chuẩn...................32
2.2.1. Định lý..............................................................................................32
2.2.2. Bổ đề.................................................................................................36
2.3. Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt..................................................37
2.3.1. Bổ đề.................................................................................................37
2.3.2. Bổ đề. ...............................................................................................39
2.3.3. Bổ đề.................................................................................................39
2.3.4. Định lý..............................................................................................40
2.3.5. Hệ quả. ............................................................................................41
2.3.6. Định lý. ............................................................................................42
Tài liệu tham khảo..............................................................................................43


3

Mở đầu
Lý thuyết đa thế vị phức đã đợc phát triển từ thập kỷ 80 của thế kỷ trớc
với các công trình cơ bản của Belford - Taylor, Siciak và nhiều tác giả khác.
Các kết quả trong lĩnh vực này đã có nhiều ứng dụng vào một số vấn đề khác

nhau của giải tích phức. Mục đích chung của luận văn này là trình bày công
trình gần đây của Bloom về sự áp dụng của hàm Robin trong lý thuyết đa thế
vị phức tới sự mở rộng chỉnh hình và dãy không điểm của dãy đa thức xấp xỉ
tốt của hàm cần mở rộng.
Luận văn có hai chơng. Chơng I trình bày một số kiến thức cơ bản về
hàm cực trị dựa trên công trình của Siciak [Si]. Chơng II trình bày sự áp dụng
và các kết quả về hàm cực trị tới việc mở rộng hàm chỉnh hình từ một tập
compact. Và sau đó về tập các không điểm của dãy các đa thức xấp xỉ tốt của
hàm cần mở rộng.
Luận văn đợc hoàn thành với sự hớng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của thầy
giáo GS TSKH Nguyễn Văn Khuê. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân
thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo GS TSKH Nguyễn Văn Khuê.
Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo trong trờng Đại
học s phạm - Đại học Thái Nguyên, trờng Đại học S phạm Hà Nội, Viện Toán
học Việt Nam, các thầy phản biện, các bạn đồng nghiệp đã đa ra nhiều ý kiến
quý báu giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành luận văn.
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới sở Giáo dục - Đào tạo Bắc
Ninh, trờng THPT Thuận Thành số 3 tỉnh Bắc Ninh cùng các bạn đồng nghiệp
đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và thực hiện luận văn
này.
Cuối cùng em xin gửi tới gia đình và bạn bè đã động viên khuyến khích
em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2006


4

Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến
1.1.1. Định nghĩa.

Hàm S : C N C gọi là Ă - tuyến tính (t. C - tuyến tính) nếu:
a. S ( z1 + z2 ) = S ( z1 ) + S ( z2 ) , z1 , z2 C N .
b. S ( z ) = S ( z ) , R , z C N , (tơng ứng C ).
1.1.2. Định nghĩa.
Cho là một mở trong Ê N và f : C . Ta nói f là R - khả vi (tơng
ứng C - khả vi) tại z0 nếu tồn tại ánh xạ R - tuyến tính (tơng ứng C tuyến tính) S : Ê N C sao cho:
f ( z0 + h ) f ( z 0 ) S ( h ) = 0 ( h

)

ở trong Ê N và h = max ( h1 ,..., hn ) .
Và ta nói f là R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) trên nếu nó là R - khả
vi (tơng ứng C - khả vi) tại mọi điểm thuộc . Dễ thấy ánh xạ S thoả mãn
định nghĩa trên (nếu có) là duy nhất và gọi là R - đạo hàm (tơng ứng C - đạo
hàm) của f tại z0 ký hiệu f ( z0 ) hay df ( z0 ) .
1.1.3. Định nghĩa.
Cho là mở trong Ê N và f = ( f1 ,..., f m ) : Ê m ta nói f là Ă khả
vi (tơng ứng Ê - khả vi) trên nếu f j là Ă khả vi (tơng ứng Ê - khả vi)
trên , 1 j m . Hàm Ê - khả vi trên còn gọi là hàm chỉnh hình trên .
Không gian vectơ các hàm chỉnh hình trên ký hiệu

H ( ) .

Nh đối với hàm chỉnh hình một biến ta có một số kết quả sau


5

1.1.4. Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả.
1.1.4.1. Định lý. Giả sử

f ( z ) là hàm liên tục trên đa đĩa đóng

= 1 ì ... ì N . ở đây:

{

}

j = z j C : z j a j < rj ,1 j N
và chỉnh hình trong = 1 ì ... ì N .
Khi đó:
f ( z) =

1

( 2 i ) N



...

1 a1 = r1

f ( 1,..., n )
( 1 z1 ) ...( n zN ) d1...d N , z = ( z1,..., z N ) .
n an = rn

Từ định lý trên bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân.
1.1.4.2. Hệ quả.

Nếu f chỉnh hình trên mở trong Ê N thì f là C - khả vi vô hạn trên

1.1.5. Bất đẳng thức Caychy.
Giả sử f chỉnh hình trên và z0 , khi đó:
f ( z0 )

!
M ( z0 , r ) , 0 < r < ( z0 , ) , n 0, = ( 1,..., n ) Z+N

r

f
( z ) , ! = 1 !... N !, M ( z0 , r ) = sup f ( z ) .
ở đây f ( z ) = 1
z1... n z N
z z0 r


1.1.6. Định lý duy nhất.
1.1.6.1. Định lý.
Nếu f ( z ) chỉnh hình trên miền trong Ê N và f = 0 trên một tập con
mở khác rỗng của thì f 0 trên .


6

1.1.6.2. Định lý ( Liouville).
Nếu f chỉnh hình trên Ê N và bị chặn thì f = const.
Chứng minh. Thật vậy, với z Ê N , xét g z ( ) = f ( z ) , C . Khi đó g
chỉnh hình và bị chặn trên C . Theo định lý Liouville g z = const.

f ( z ) = g z ( 1) = g z ( 0 ) = f ( 0 ) , z C f = const.
1.1.7. Định lý (Nguyên lý modul cực đại).
Giả sử f ( z ) liên tục trên với là miền bị chặn trong Ê N và chỉnh
hình trong , nếu tồn tại z0 để:
f ( z0 ) = max f ( z )
z

thì f = const.
1.1.8. Định lý (Weiestrass).
Giả sử

{ fn}

là dãy các hàm chỉnh hình trên mở trong Ê N và

{ fn}

hội tụ đều trên mọi tập compact trong tới hàm f khi đó f chỉnh hình trên
.
1.1.9. Định lý (Hartogs).
Giả sử f ( z ) là hàm trên và mở trong Ê N , C - khả vi theo từng biến
khi đó f là C - khả vi trên .
1.2. Hàm đa điều hoà dới
1.2.1. Định nghĩa (hàm nửa liên tục trên).
Giả sử cho X là một không gian metric. Hàm : X [ , + ) đợc gọi
là hàm nửa liên tục trên tại x0 X nếu > 0, U x0 là lân cận của x0 trong
X sao cho x U x0 ta có:


7

( x ) < ( x0 ) +

( x ) < 1



nếu ( x0 )
nếu ( x0 ) =

Hàm đợc gọi là nửa liên tục trên trên X nếu là nửa liên tục trên tại
mọi x X .
1.2.2. Định nghĩa.
Hàm thực : [ , + ) với là mở trong Ê gọi là điều hoà dới
nếu
(i) nửa liên tục trên và .
(ii) thoả mãn bất đẳng thức giá trị trung bình:
1
( z0 )
2

2

i
( z0 + re ) d

z0 0 < r < ( z0 , )

0

1.2.3. Định nghĩa (hàm đa điều hoà dới).
Giả sử là một miền trong C N

( N 1) . Một hàm : [ , + )

đ-

ợc gọi là đa điều hoà dới nếu nó nửa liên tục trên và
a. / trên .
b. Với mỗi đờng thẳng phức l , l , hạn chế của trên mọi thành
phần liên thông của l là một hàm điều hoà dới.
b) Có thể phát biểu nh sau:
Với mọi w Ê N , w 0, z0 hàm a ( z0 + w ) là điều hoà dới
trong { C, z0 + w } .
Ví dụ:
Nếu f chỉnh hình trên thì f ( z ) và log f ( z ) đa điều hoà dới trên
.

Ký hiệu: PSH ( ) là tập các hàm đa điều hoà dới trên , rõ ràng PSH ( )
là một nón lồi nghĩa là:


8

u , v PSH ( ) u + ( 1 ) v PSH ( ) , 0 1

u PSH ( ) u PSH ( ) , 0
1.2.4. Định lý.
Giả sử f : với và là tập mở trong C n và C m khi đó:
z a ( f ( z) ) = o f ( z)

là đa điều hoà dới trên .
1.2.5. Định lý.
Giả sử : R là C 2 khi đó là đa điều hoà dới trên khi và chỉ
khi:
2
L ( z , w ) =
( z ) w j wk 0, z , w C N
1 j ,k n z j . z k
L ( z ,.) gọi là dạng Levi của tại z.
Vì hàm điều hoà dới có tính chất modul cực đại nên ta có:
1.2.6. Định lý.
Nếu : [ , + ) đa diều hoà dới trên miền Ê N và tồn tại
z0 để:

( z0 ) = sup ( z )
z

thì = const.
1.2.7. Định lý.
Giả sử { k } là dãy các hàm đa điều hoà dới trên miền trong C N và

k giảm đến khi đó đa điều hoà dới trong .


9

Chứng minh. Do k nửa liên tục trên với mọi k 1 nên nửa liên tục trên.
Cho z0 và w Ê N , w 0 . Do a k ( z0 + w ) điều hoà dới trong

{ < }

với > 0 đủ bé nên:

k ( z0 )

1
= g k ( z0 )
2

2

g k ( 0 + re )
i

0

1
d =
2

2

i
k ( z0 + re w ) d
0

Suy ra:

k ( z0 )

1
=
2

2
1
1
= lim k ( z0 )
lim k z0 + rei w d
k
2 k 0
2

(

)

2

k ( z0 + rei w ) d =
klim

0

2

i
( z0 + re w ) d
0

0 < r < đa điều hoà dới trên .
1.2.8. Định lý (Bổ đề Hartogs).
Giả sử { k } là dãy các hàm đa điều hoà dới trên miền Ê N bị chặn
trên đều trên mọi compact trong :
sup k ( z ) < K é

zK , k 1

k ( z ) A z . Khi đó với K é và > 0 k0 sao cho
Giả sử klim

k ( z ) < A + k > k0 z K .
1.2.9. Tập đa cực.
Tập con S trong mở trong Ê N gọi là tập đa cực nếu z S , r > 0 và

{

}

N
hàm đa điều hoà dới trên w Ê : w z < r sao cho: / và

( w ) = , w S , w z < r .


10

1.2.10. Định lý (Josefson[Jo]).
S Ê N là tập đa cực hàm đa điều hoà dới trên Ê N , / và

S .
1.3. Hàm đa điều hoà dới cực trị
1.3.1. Một số lớp của các hàm đa điều hoà dới trong Ê N .
Ký hiệu:

L = { u PSH ( Ê N )

L + = { u PSH ( Ê N )
ở đây L và

sao cho u ( z ) + log ( 1 + z ) , z Ê N

}

, sao cho + log ( 1 + z ) u ( z ) + log ( 1 + z ) , z Ê N

}

L + gọi là lớp LeLong các hàm đa điều hoà dới trên Ê N .

Ví dụ: Nếu f ( z ) là đa thức bậc n thì

1
log f ( z ) L
n

Thật vậy:

{

}

Giả sử M = sup f ( z ) : z 1 theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

(

f ( z ) M 1 + z + ... + z
suy ra

n

)

M1 ( 1 + z ) , z Ê N
n

1
1
log f ( z ) log M 1 + log ( 1 + z ) .
n
n

1.3.2. Hàm

L -cực trị.

1.3.2.1. Giả sử E Ê N và b : C n [ , + ) , hàm b có thể nhận giá trị
nhng b / . đặt

L ( E, b ) = { u L : u b trên E}

L + ( E , b ) = { u L + : u b trên E}


11

Khi b 0 ta viết

L ( E ) = L ( E,0 ) , L +( E ) = L +( E,0 )

xác định:

V ( z ) = V ( z , E , b ) = VE ,b ( z ) = sup { u ( z ) : u L ( E , b ) }

{

V + ( z ) = V + ( z , E , b ) = VE+,b ( z ) = sup u ( z ) : u L + ( E , b )

}

Nếu b 0 thì viết VE , VE+ thay cho VE ,0 , VE+,0 .
1.3.2.2. Định nghĩa.
Hàm VE ,b (tơng ứng VE+,b ) gọi là hàm L - cựctrị (tơng ứng L+ - cực trị) kết
hợp với E và b .
Các tính chất sau suy ra từ định nghĩa
1.3.2.3. Tính đơn điệu đối với b.
VE ,b1 VE ,b2 trên Ê N nếu b1 b2 trên E .
1.3.2.4. Tính đơn điệu đối với E.
VF ,b VE ,b , E F
1.3.2.5. VE ,b+c = c + VE ,b .

{

}

n
1.3.2.6. Nếu E là hình cầu E = B ( a, r ) = x C : x a r Thì

VE ( x ) = log +

xa
r

ở đây
log x nếu log x 0 x 1
log + x =
0 nếu log x 0 0 < x 1
Thật vậy:
Do log +

xa
xa
L ( E ) và log +
= 0, x a r nên:
r
r


12

log +

xa
sup u ( x ) : u L C N , u 0 trên E = VE ( x ) .
r

{

}

( )

Để chứng minh bất đẳng thức ngợc lại ta cố định x Ê N với x a > r
và với u L ( E ) xét hàm:
w ( ) = u ( a + ( x a ) ) log +

xa
r

Khi đó w ( ) bị chặn trên và điều hoà dới với

w ( ) 0 khi =

r
x a

và

r
.
xa

w ( ) thì w ( ) là điều hoà dới trên miền
Nh đã biết nếu đặt w ( ) = lim


r
C : >
xa



. C = C { }


(

Theo nguyên lý modul cực đại w ( ) 0,
0 w ( 1) = u ( x ) log +

)

r
. Đặc biệt
xa

xa
xa
xa
u ( x ) log +
VE ( x ) log +

, xa > r
r
r
r

Mặt khác:
VE ( x ) = 0 = log +

xa
, xa r
r

Vậy
VE ( x ) log +

xa
, x CN
r

VE ( x ) = log +

xa
, x CN
r

Do đó:


13

1.3.2.7. Bất đẳng thức Bernstein-Walsh.
Nếu f là đa thức trên C N bậc n sao cho:
f ( x ) M exp nVE ( x ) , x E
thì:
f ( x ) M exp nVE ( x ) , x C N
Thật vậy, do:
1
log f log M L ( E )
n
nên theo định nghĩa của VE ta có:

1
1
log f log M VE ( x ) , x C N f ( x ) M exp nVE ( x ) , x C N
n
n
1.3.2.8. Mệnh đề.
Nếu E C N compact và b E nửa liên tục trên thì VE ,b nửa liên tục dới.
Chứng minh. Cố định u L ( E , b ) và > 0 , do E compact và b nửa liên tục
dới = ( ) > 0 đủ bé để
u = u *w b +

( )

(

{

})

N
N
ở đây: w C C , sup pw { x 1} sup pw = x C : w ( x ) 0
2 N x
w
x
dx
=
1,
w
=

w ữ
(
)

N

C

và u = ( u *w ) ( x ) = u ( x + y ) w ( y ) dy khi đó u C và u ] u . Ngoài ra
nếu u L thì u L ) u L ( E , b ) u VE ,b trên C N
Vậy:
VE ,b ( x ) = sup { u *w :u L ( E , b ) , > 0, = ( , u ) }


14

Nh vậy VE ,b là bao trên của các hàm liên tục u *w , u ( E , b ) , > 0,

= ( , u ) > 0 và do đó VE ,b nửa liên tục dới.
1.3.2.9. Mệnh đề.
Nếu E là compact và V = VE ,b liên tục tại mọi điểm của E thì V liên tục
trên C N .
Chứng minh. Đặt V

*

supV ( y )
( x ) = lim
y x

và gọi là chính quy trên của V.

Do V liên tục tại mọi điểm của E và E compact nên tồn tại lân cận
U E

V ( x ) < + . Nh vậy
để M = sup
xU

với a E , và r > 0 để:

B = B ( a, r ) U ta có V V * M trên B .
Do 1.3.2.6 ta có:
V M + log +

xa
, x CN

r

Vậy V * L .
Ta có V = V **w C L và V ] V * trên C N . Đặc biệt V ] V * trên
E khi ] 0 . Theo định lý Dini thì V V + trên E.
Nh vậy V V b trên E và cuối cùng V V V * V trên C N
với 0 < < 0 ( V V V ) .
Nh vậy V là giới hạn đều của các C - hàm V , ] 0 và do đó V liên
tục
1.3.2.10. Mệnh đề.
Nếu E compact và b liên tục thì VE r ,b Z VE ,b trên C N khi r ] 0 ở đây:


15

{

} U B ( x, r )

E r = x C N : ( x, E ) < r =

xE

Chứng minh.
Lấy u L ( E , b ) . Cho > 0 do b liên tục và u = u *w ] u khi ] 0
nên tồn tại > 0 để u = u *w b + trên E. Cũng do u và b liên tục nên
r0 > 0: u < b + 2 trên E r , 0 < r < r0 u u 2 + VE r ,b trên C N , 0 < r < r0 và cuối

cùng ta có:
VE ,b 2 + limVE r ,0 VE ,b VE r ,b Z VE ,b .

r 0

1.3.2.11. Định nghĩa.
E C N gọi là:
a.

L-

chính quy địa phơng tại a E nếu VE B( a ,r ) là liên tục tại

a, r > 0.

L - chính quy địa phơng nếu E chính quy địa phơng tại a E .
c. L - chính quy hay chính quy nếu VE liên tục.
b.

1.3.2.12. Mệnh đề.
Nếu E compact,

L -chính quy địa phơng thì mọi hàm liên tục b,

hàm

cực trị V = VE ,b là liên tục trên C N .
Chứng minh. Đầu tiên chú ý: V * b trên E . Thật vậy cho a E và > 0 ta
có:
VE ,b ( x ) = V ( x ) VE B( a ,r ) ,b( a ) + = b ( a ) + + VE B( a ,r ) trong C N

ở đây r > 0 đủ bé để b ( x ) b ( a ) + trong B ( a, r ) vậy:
V * ( a ) = limV ( x ) b ( a ) + + limVE B( a ,r ) ( x )

xa
x 4
a 4 2 4 43
1
=0


16

Cho ] 0 ta đợc: V * ( a ) b ( a ) , a E .
Nh vậy: V * V V **w b + trên E với 0 < < V L ( E , b ) và
do đó V V V * V trên C N với 0 < < .
Vậy V là giới hạn đều của các hàm liên tục V khi ] 0 V liên tục.
Bởi vì trong Chứng minh trên chỉ sử dụng bất đẳng thức V * b trên E nên ta
có hệ quả sau:
1.3.2.13. Hệ quả.
Nếu E compact và b là hàm thực liên tục sao cho: VE*,b b trên E thì
VE ,b liên tục.
1.3.2.14. Hệ quả.
1
Nếu f là đa thức khác không bậc k và b = log f thì với mọi
k
E C N ta có VE ,b = b trên E. đặc biệt với E là biên của D ( E = D ) và D là
bị chặn sao cho:
f ( x ) 0, x D
thì
1
VE ,b ( x ) = log f ( x ) , x D
k
Chứng minh. Do

1
1
log f ( x ) L ( E , b ) với E = D nên log f ( x ) VE ,b
k
k

trong C N . Mặt khác:
1
VE ,b b = log f ( x ) trên E = D
k
hay


17

1
1
1
VE ,b log f = VE ,b + log 0 trên D
k
k
f
Do f ( z ) 0, z D nên log

1
đa điều hoà dới trên D. Theo nguyên lý
f

1

modul cực đại ta có: VE ,b log f trên D .
k
Vậy:
1
VE ,b = log f trên D .
k
1.3.3. Tập L- đa cực.
1.3.3.1. Định nghĩa.

( )

N
Cho E C N ta nói E là L- đa cực nếu tồn tại W L C , W /

sao cho W = trên E.
Rõ ràng mọi tập L- đa cực là đa cực.
1.3.3.2. Định nghĩa.
Cho E C N và G C N là mở, xác định:
h ( x, E , G ) = hEG ( x ) = sup { u ( x ) :u PSH ( G ) , u 0 trên E G và u 1 trên G}
Hàm là đa điều hoà dới, hEG gọi là hàm cực trị tơng đối của E đối với G.
1.3.3.3. Mệnh đề.
E C N là đa cực nếu và chỉ nếu a E , tồn tại miền D a sao cho:
*
hED
( x ) = lim sup hED ( y ) = 1, x D
y x

Chứng minh.

18

) Giả sử E là đa cực khi đó a E tồn tại lân cận liên thông U a a
và hàm đa điều hoà dới W trên U a sao cho W / và W = trên E U a .
Giả sử D là miền con compact tơng đối của U a bao hàm a. Có thể xem W 0
trên D.
Khi đó:
1
W + 1 hED trong D, k 1
k
Vậy hED = 1 trên x D mà W ( x ) > mà nó trù mật trong D. Suy ra
*
hED
1 trong D .

) Cho a E và giả sử D a là miền trong C N

sao cho

*
hED
= 1 trong D .

Do tập

{ x D :h

ED

( x ) < h*ED ( x ) }

có độ đo Lebesgue không, nên

*
D để hED ( ) = hED
( ) = 1. Theo định nghĩa của hED ( ) k 1

uk PSH ( D ) , uk 0 trên E D , uk ( ) 1

1
.
2k

Ta chứng tỏ hàm
W ( x ) = uk ( x ) 1, x D
k >0

là đa điều hoà dới trong D và W / và W = trên E D .
n

Thật vậy do:

uk ( x ) 1 ]

Wk nên W là đa điều hoà dới và W vì:

k =1

n
n

1
W ( ) = uk ( ) 1 k = 1 >
2
k =1

k =1

Hiển nhiên W = trên E D vì với x E D ta có:
n

n

k =1

k =1

W ( x ) = uk ( x ) 1 ( 1) =


19

1.3.3.4. Bổ đề.
Giả sử { ui } iI L đặt:
u = sup { ui :i I }
Khi đó các khẳng định sau tơng đơng:
(1). R > 0 và M > 0 sao cho u M trong B = B ( 0, R ) .
(2). R > 0 và M > 0 sao cho u < M + log +

x
, x CN .

R

(3). Tồn tại tập mở D C N và M > 0 sao cho u M trên D.
(4). u là bị chặn trên trên mọi tập compact trong C N .
(5). u* L .
Nếu, ngoài ra ui là liên tục với mọi i I thì mỗi điều kiện từ (1)-(5) tơng
đơng với:
(6). u ( x ) < +, x D , với D là mở khác rỗng trong C N .
Chứng minh.
(1) (2) và (4) (5) do 1.3.2.6
(2) (3), (3) (4), (5) (1) và (2) (6) là hiển nhiên.
Nếu ui là liên tục và (6) thực hiện thì u là nửa liên tục dới và do đó tồn
tại một hình cầu B = B ( a, r ) D và M > 0 để u M trên B và nh vậy (3)
thoả mãn. Thật vậy với n 1 đặt:
An = { x D :ui ( x ) n, i I } = { x D :u ( x ) n, i I }
Do u là nửa liên tục dới trên D nên An là đóng trong D. Do định lý Bare tồn
tại n0 để An0 vậy a An0 và r > 0 để B ( a, r ) An0 u n0 trên B ( a, r ) .


20

1.3.3.5. Định lý.

{

}

ui và A = x C N :u ( x ) < +
Giả sử { ui :i I } L đặt: u = sup
n

iI
Khi đó u * L An không là L- đa cực
Chứng minh.
) Nếu u* L thì An = C N . Và do đó An không là đa cực.
) Giả sử u* / L . Theo bổ đề 1.3.3.4 ta có:
sup { u ( x ) : x B1 = B ( 0,1) } = +

uin n . Đặt: v = u và M n = sup vn khi đó
Vậy n 1, in I sao cho sup
n
in
B
B
1

1

lim M n = + và v ( x ) M v ( x ) = log + x
n
n
B1

n

x C N .

Ta chứng tỏ tồn tại > 0 và C N để:
lim sup exp vn ( ) M n

(*)

n

Nếu không
lim sup exp vn ( x ) M n 0 x C N

n

theo bổ đề Hartogs
exp vn ( x ) M n , x B1 và > 0, n n .
Nếu 0 < < 1 vào n = n ta nhận đợc mâu thuẫn.
Cố định > 0 và C N thoả mãn (*) và chọn nk + sao cho:
lim exp vnk ( ) M nk và M n 2k
k
k
Xác định hàm W bởi:
W ( x ) = 2 k vnk ( x ) M nk , x C N
k 1

{

}

vn và A = x C N :v ( x ) < +
Dễ thấy W L ( Av , ) với v = sup
v
n1


21

Thật vậy cho R > 1 ta có:
2 k vnk ( x ) M nk 2 k log + R 0, k 1 trên B ( 0, R )

Vậy W là nửa liên tục trên trên B ( 0, R ) . Suy ra W là nửa liên tục trên trên C N
(vì R tuỳ ý). Và do đó W là đa điều hoà dới.
1
Lấy x Av k0 sao cho 2 k vnk ( x ) M nk 2 k vnk ( x ) 1 , k k0
2
Vậy:

W ( x) =

k0 1

2 k vn ( x ) M n + 2 k vn ( x ) M n
k =1

k

k

k

k k0



k

k0 1

1
2 k vn ( x ) M n + 2 ữ =
k

k =1

k

k k0

Vậy W = trên Av .
Cuối cùng W ( x ) log + x theo định nghĩa của W.
Vậy W L ( Av , )

L ( Au , ) .

1.3.3.6. Định lý.


Nếu En là L- đa cực n 1 E = U En là L- đa cực.
n =1

Chứng minh. Dễ thấy E1 ... En là L- đa cực. Thật vậy với mỗi 1 k n
uk . Khi đó u L u /
lấy uk L , uk / và uk |Ek = . Đặt u = 1Max
kn
và uE = nh vậy có thể xem En En+1 n 1 .
Với n 1 , un L un , un |En . Ta gọi:

M n = sup un < , B11 = B ( 0,1) .
B1


22

Nh trong chứng minh định lý 1.3.3.5 (*) > 0 và C để:
lim supexp un ( ) M n

n


k
Xác định W ( x ) = 2 unk ( x ) M nk ở đây:
k =1

lim supexp unk ( ) M nk = lim exp unk ( ) M nk
n

n

Khi đó cũng nh chứng minh định lý 1.3.3.5 ta có W L , W ( ) > và
W = trên E.
1.3.3.7. Hệ quả.
Nếu E là không L- đa cực thì tồn tại a C N sao cho E B ( a, r ) là
không L- đa cực r > 0 .
Chứng minh.
Nếu không, a C N ra > 0 để E B ( a, ra ) là L- đa cực. Do C N khả

ly nên E = U E I B ( an , rn ) . Theo định lý trên E là đa cực trái giả thiết.
n =1

1.3.3.8. Định nghĩa.
inf x exp ( VE ( x ) ) = lim inf x exp ( VE ( x ) )
Cho E C N số: c ( E ) = xlim

R x R
= Sup inf x exp ( VE ( x ) )
R

x R

gọi là L- dung tích của E.
Bằng cách áp dụng 1.3.3.4 và định lý 1.3.3.5 tới họ { u L , u 0 trên E}
ta có:


23

1.3.3.9. Hệ quả.
Giả sử E C N các điều kiện sau là tơng đơng
(i) c ( E ) = 0.
(ii) VE* L.
(iii) VE* +.
(iv) E là L-đa cực.
Nếu c ( E ) > 0 thì a C N sao cho c ( E B ( a, r ) ) > 0, r > 0
Chứng minh. (i) (ii) giả sử VE* L để:
VE ( x ) VE* ( x ) + log + x , x C N .
Suy ra

1
x exp ( VE ( x ) ) x exp log + ( x ) = x exp x = lim x exp ( VE ( x ) )
x x


(

)



1
liminf x exp log + x = liminf x exp ữ
ữ = e > 0.
x
x
x




(

)

Vô lý.

L ( E ) = { u L , u 0 trên E}

(ii) (iii) áp dụng định lý 1.3.3.5 tới họ

(V

E

{

)

}

= Sup { u : u L ( E ) } ta có: VE* L A = x C N : VE ( x ) < + là L- đa

cực. Suy ra:
VE* ( x ) > lim supVE ( x ' ) = + .
x ' x
x 'A

{

}

*
N
*
(iii) (iv) vì VE + nên VE L x C : VE ( x ) < + là L- đa

cực đặc biệt E là L- đa cực.

24

(iv) (i) lấy u L , u / và u = trên E do n + u L ( E ) nên
VE ( x ) n + u ( x ) , x C N VE ( x ) = + x C N , u ( x ) >
do

{ x C

N

}

: u ( x ) = là L- đa cực nên

c ( E ) = limsup x exp ( VE ( x ) ) = 0
x
u ( x ) >

.

1.3.3.10. Định lý.
Giả sử E C N các khẳng định sau là tơng đơng:
(i) E là đa cực địa phơng a E , r > 0 và u PSH ( B ( a, r ) ) , u /
, u = trên E B ( a, r ) .

( )

N
(ii) E là đa cực toàn cục : u PSH C , u / và u = trên E.

(iii) E là L- đa cực.
*
(iv) hED
1 với mọi miền D C N .

Chứng minh.
(i) (ii) là định lý Josefson,[Jo]
(ii) (iii) Bởi định lý 1.3.3.6 ta có thể xem E là bị chặn. Giả sử

( )

W PSH C N , W và W = trên E. Giả sử E không là L- đa cực.
*
*
+
theo hệ quả 1.3.3.9 VE L . Dễ thấy (theo 1.3.3.5) VE L . Vậy > M , R > 0

*
để VE* ( x ) M + trên B ở đây M = SupVE ( x ) . Thật vậy lấy để:
xE

+ log + x VE* ( x ) , x C N


25

Ta chọn

R > 0 đủ lớn để

E B = B ( 0, R )

và

M + + log + R

VE* ( x ) + log + x M + x B ( 0, R ) . Có thể coi W < 0 trên
B=
= B ( 0, R ) . Với k 1 đặt:
VE* ( x )
với x R

M
+


vk ( x ) =
*
Max 1 W x + 1, VE ( x ) với x < R
( )



k
M
+

Khi đó ( M + ) vk M trên E và ( M + ) vk L . Vậy ( M + ) vk M + VE
trong C N . Đặc biệt:

( M + )

1

W + 1 ữ M + VE trong B k 1
k


Cho k ta đợc:
M + M + VE ( x ) , x B ,
đặc biệt M . Vô lý, vậy E là L- đa cực.
(iii) (iv) (i) suy ra từ mệnh đề 1.3.3.3.
1.3.3.11. Mệnh đề.
Nếu F là L- đa cực và E là bị chặn thì:
VE* F ,b = VE*,b b : C N [ , + ) .
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh VE*,b VE* F ,b . Lấy u L ( E, b ) và
W L, W , W |F = . Có thể xem W 0 trên E. Vậy:
1
W + u L ( E F, b ) , k 1
k
1
W + u VE F , b trong C N , k 1 cho k ta có:
k