Thuyết trình chương 2 lý thuyết ứng suất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
KHOA XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG
Chương 2:

LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT

CBHD: Phạm Tấn Hùng
Nhóm 1


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
I. Lực khối, lực bề mặt và lực tập trung tại một
điểm trên bề mặt:
1.Lực khối (lực thể tích): là lực tác dụng trên phân
tố thể tích hay khối lượng của vật thể. Kí hiệu Fi
(i=1,2,3). Ví dụ: lực trọng trường.
2.Lực bề mặt: là lực tiếp xúc trên bề mặt tự do
giới hạn của vật thể. Kí hiệu: Ti (i=1,2,3). Ví dụ:
áp lực gió


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
I. Lực khối, lực bề mặt và lực tập trung tại một
điểm trên bề mặt:
3.Lực tập trung tại một điểm:
Trên mặt phẳng cắt qua vật thể:


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
I. Lực khối, lực bề mặt và lực tập trung tại một
điểm trên bề mặt:

3.Lực tập trung tại một điểm:
Trên 1 điểm của vật thể:
 σ 11 σ 12 σ 13   σ x τ xy

÷ 
σ
σ
σ
σy
22
23 ÷ =  τ ?
 21
σ
÷ τ
σ
σ
31
32
33

  zx τ zy

su
τ xz  ¬ t1
÷ su
τ yz ÷¬ t2
su
σz ÷
¬
 t3

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
II. Ten xơ ứng suất:
1.Khảo sát trạng thái ứng suất tại một điểm:
Diện tích 1 mặt vi phân trong 1 mặt phẳng hệ trục
tọa độ: dAi=nidA


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
II. Ten xơ ứng suất:
1.Khảo sát trạng thái ứng suất tại một điểm:
Phương trình lực tác dụng lên 1 phương của điểm
khảo sát
−σ 1 j n1dA − σ 2 j n2 dA − σ 3 j n3 dA + t j dA + F j dh
dh ≈ 0 ⇒ Fj dh

dA
≈0
3

⇒ t j = σ ij .ni ⇔ [ t ] = { n}

T

[σ ]

dA
=0
3

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
II.Ten xơ ứng suất:
1.Khảo sát trạng thái ứng suất tại một điểm:
dAi = ni .dA
−σ 1 j n1dA − σ 2 j n2 dA − σ 3 j n3 dA + t j dA + F j dh
⇒ t j = σ ij .ni ⇔ [ t ] = { n}

T

dA
=0
3

[σ ]

Là những công thức cơ bản của Cauchy.
Chứng tỏ trạng thái ứng suất tại 1 điểm hoàn toàn
được xác định nếu biết các thành phần của các véc
tơ ứng suất tác dụng trên 3 mặt phẳng trực giao tại
điểm này


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
II.Ten xơ ứng suất:
9 thành phần σij cần thiết cho việc xác định trạng
thái ứng suất tạo thành tenxơ ứng suất, kí hiệu σij,
và ma trận là:
 σ 11 σ 12 σ 13 


÷
σ
σ
σ
22
23 ÷
 21
σ
÷
 31 σ 32 σ 33 


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
III.Điều kiện biên bề mặt:
Tại mỗi điểm của mặt giới hạn môi trường liên tục
khảo sát, những lực mặt TidA thì tương đương với
các lực tiếp xúc tidA. Do đó ta có:
σijni=Tj; {n}T[σ]= {T}
Đây là điều kiện biên bề mặt (điều kiện trên biên)
Hay còn gọi là các phương trình cân bằng trên bề
mặt


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
III.Điều kiện biên bề mặt:
Theo kí hiệu của kĩ sư, các cosin chỉ phương của
pháp tuyến đơn vị ngoài được định bằng l,m,n, khi
đó ta có:
σijni=Tj; {n}T[σ]= {T}

Tương đương hệ:
lσx+mτyx+nτzx=Tx
lτxy+mσy +nτzy=Ty
lτxz+mτyz+nσz=Tz


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
IV. Các phương trình cân bằng:
Tách khỏi môi trường liên tục 1 phân tố lăng trụ
chữ nhật cơ bản với các cạnh dxi song song với
trục xi. Chỉ xét các thành phần song song trục x1
cho đơn giản:


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
IV. Các phương trình cân bằng:
Phương trình cân bằng hình chiếu trên trục x1
được viết:


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
IV. Các phương trình cân bằng:
∂σ 11 ∂σ 21 ∂σ 31
⇒
+
+
+ F1 = 0
∂x1
∂x2
∂x3

3 phương trình vi phân cân bằng theo thể tích
được viết:
∂σ ij
T
+ Fj = 0; { ∇} [ σ ] + { F } = 0
∂xi


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
IV. Các phương trình cân bằng:
Theo ký hiệu cổ điển ta có:
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx
+
+
+ Fx = 0
∂x
∂y
∂z
∂τ xy ∂σ y ∂τ zy
+
+
+ Fy = 0
∂x
∂y
∂z
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z
+
+
+ Fz = 0
∂x

∂y
∂z


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
IV. Các phương trình cân bằng:
Để có cân bằng về moment, chọn 1 trục song song
với x1 và đi qua trọng tâm của phân tố như hình
vẽ:


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
IV. Các phương trình cân bằng:
Lực tham gia vào phương trình xoay:
+σ23 dx1dx3

∂σ23
dx2
dx2
+ (σ23 +
dx2 )dx1dx3
2
∂x2
2

−σ32 dx1dx2

dx3
∂σ32
dx3

− (σ32 +
dx3 ) dx1dx2
=0
2
∂x3
2


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
IV. Các phương trình cân bằng:
=> σ23-σ32=0
Tương tự, ta có:
σij=σji (i≠j)


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
IV. Các phương trình cân bằng:
Nhận xét:
a.Diễn tả “Nguyên lý tương hỗ của ứng suất tiếp”:
τxy=τyx ; τxz=τzx ; τyz=τzy
b.Diển tả tenxơ ứng suất σij đối xứng
=> trạng thái ứng suất tại 1 điểm của môi trường
liên tục chỉ còn phụ thuộc vào 6 thông số.


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
V. Mặt chính, phương chính, ứng suất chính:
Ta đặ
t lại hệ trục→
tọa độ, và mặt nghiêng ABC sao

→
cho t song song n
⇒tj=λnj
σijni-λnj=0
σijni-λnj=σijni-λδijni
= (σij-λδij)ni=0
⇒dét.(σij-λδij)=0


σ 11 − λ
σ 12
σ 13
σ 21
σ 22 − λ
σ 23 = 0
σ 31
σ 32
σ 33 − λ


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
V. Mặt chính, phương chính, ứng suất chính:
Mặt phẳng chính: Tại 1 điểm O của môi trường
liên tục, ta luôn luôn tìm được 3 mặt vuông góc
với nhau, trên đó véctơ ứng suất chỉ thuần túy là
ứng suất pháp, còn các ứng suất tiếp triệt tiêu.
Các mặt phẳng đó gọi là “mặt phẳng chính”.
Những thành phần ứng suất pháp trên các mặt
phẳng này là các “ứng suất chính”, kí hiệu là σI,
σII, σIII,

Những trục vuông góc với những mặt phẳng này
là “các trục chính” (hay phương chính)


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
V. Mặt chính, phương chính, ứng suất chính:
σ 11 − λ
σ 12
σ 13
σ 21
σ 22 − λ
σ 23 = 0
σ 31
σ 32
σ 33 − λ

λ3-I1λ2+I2λ-I3=0
. Quy ước: σI≥ σI I≥ σIII
Trong đó:

I1=σii= σ1+ σ2+ σ3
I1= ½*(σii σjj - σij σij )= σ1 σ2+ σ2 σ3+ σ1 σ3-(σ12 + σ23 +σ13 )
I3=det(T)= σ1 σ2 σ3+2 σ12 σ23 σ13-(σ1 σ223+ σ2 σ213+ σ3 σ212)


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
V. Mặt chính, phương chính, ứng suất chính:
Tenxơ ứng suất trong hệ trục chính:
σ I


Tσ =  0
0


0
σ II
0

0 
÷
0 ÷
σ III ÷


Các bất biến của trạng thái ứng suất chính:
I1=σI+σII+σIII
I2= σIσII+ σIIσIII+ σIIIσI
I1=σIσIIσIII


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
VI. Tenxơ lệch ứng suất, tenxơ cầu ứng suất.
a.Ứng suất pháp trung bình:
σ=1/3*σii=1/3*(σx+ σy+ σz)=1/3I0.
b.
 σ 0 0   σ 11 − σ
[ σ ] =  0 σ 0 ÷÷+  σ 21
0 0 σ÷  σ
31


 
hay : σ ij = σ .δ ij + sij

σ 12
σ 13 
σ 22 − σ
σ 23 ÷
÷
σ 32
σ 33 − σ ÷


Vế phải phương trình này: Tenxơ thứ nhất này là
tenxơ cầu, ten xơ thứ hai là ten xơ lệch


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
VII. Trạng thái ứng suất phẳng:
Trạng thái ứng suất phẳng khi tại một điểm
véctơ ứng suất luôn nằm trong cùng một mặt
phẳng, bất chấp phạm vi khảo sát.
Gọi mặt phẳng Oxy là mp này, khi đó:


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
VII. Trạng thái ứng suất phẳng:
1. Ứng suất chính
Gọi σ1, σ2 là các ứng suất chính trong mp Oxy
Với: σ1 ≥ σ2
Phương trình đặc trưng:

Các bất biến: