Chứng minh ba điểm thẳng hàng và hai điểm trùng nhau
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (78.49 KB, 12 trang )
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ HAI ĐIỂM
TRÙNG NHAU
Bài 1: Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : .Chứng minh B, A, C thẳng
hàng.
3 điểm B , A, C thẳng hàng
Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD
lấy điểm K sao cho. Chứng minh A, K, H thẳng hàng.
•
(1)
•
(2)
Từ (1) , (2)
A, H , K thẳng hàng
Bài 3: Cho I, J ,K lần lượt được xác định bởi và .Chứng minh I, J, K
thẳng hàng.
•
•
Từ (1), (2)
3 điểm K, I . J thẳng hàng
Bài 4 :Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho ; ;
a)
•
b)
•
Từ (1), (2)
P, M , N thẳng hàng
Bài 5 : Cho tam giác ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi : ; .
Chứng minh I, J, B thẳng hàng
•
•
Từ (1), (2)
I, J , B thẳng hàng
Bài 6 : Cho tam giác ABC.Hai điểm M,N lần lượt được xác định bởi
; . Chứng minh G, M, N thẳng hàng với G là trọng tâm của tam giác
ABC
•
•
Từ (1) + (2)
G, M, N thẳng hàng với G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 7: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P .
a)
b)
Tính vecto PM, PN theo AB, AC
Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
•
•
•
b)
•
Từ (1) , (2)
P, M , N thẳng hàng
Bài 8:Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình
hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam giác RIP , JQS có
cùng trọng tâm.
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác RIP, tam gíac JQS
Ta có :
=
=3
Mà
Tam giác RIP và tam giác JQS có cùng trọng tâm
Bài 9 : Cho tam giác ABC,A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là
điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng
minh các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm.
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’.
Ta có :
G là trọng tâm của tam giác A’B’C’
Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có chung trọng tâm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm định bởi .
Chứng minh các tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng
tâm.
•
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’.
=
=
Mà
•
Cmtt ta được :
Từ (1) + (2) + (3)
Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm
Bài 11 : Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy các điểm
A’ , B’, C’ sao cho :
•
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, tam giác
A’B’C’
Ta có :
•
=
= (1)
Đặt
Từ (1) => 3 =
=
=
Tam giác ABC và A’B’C’ có chung trọng tâm
Bài 12 :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý .Gọi A’, B’, C’ lần
lượt là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các
cạnh BC, CA, AB.
a)
b)
•
Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại một
điểm
Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua
trọng tâm G của tam giác ABC.
Xét tứ giác MCA’B có :
K là trung đểm BC
K là trung điểm MA’
•
MCA’B là hình bình hành
MC//BA’ và MC = BA’ (1)
Xét tứ giác AB’CM có :
I là trung điểm AC
I là trung điểm MB’
AB’CM là hình bình hành
AB’ // MC và AB’ = MC (2)
Từ (1) , (2)
AB’ // BA và AB’ = MC (2)
Từ (1) , (2)
•
•
AB’ //BA và AB’ = BA’
ABA’B là hình bình hành (4)
Cmtt AC’AC là hình bình hành (5)
Từ (4) , (5)
AA’, BB’ , CC’ đồng quy tại một điểm
Bài 14 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thỏa
mãn ; . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm
cố định.
•
Từ (1) + (2)
=3
=
G, M, N thẳng hàng
MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 13 : Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hia
điểm sao cho
a)
b)
Chứng minh
theo vecto AI. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
a)
( giả thiết )
b)
A, I, S thẳng hàng
Bài 15: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn
a)
b)
a)
Tìm điểm I thỏa mãn
Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
M, I, N thẳng hàng
b)
M, I, N thẳng hàng
I nằm giữa M, N
MN luôn đi qua 1 điểm cố định là I
Bài 16: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn . Tìm điểm I
sao cho
a)
M, N, I thẳng hàng
b)
c)
MN luôn đi qua 1 điểm cố định
Từ (1), (2)
MP luôn đi qua một điểm cố định
