Khám phá Chuỗi số qua sách Discovering Advanced Algebra

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN


BÀI THU HOẠCH
Rèn luyện nghiêp vụ sư phạm thường xuyên 3

Đề tài: Khám phá Chuỗi số qua sách
Discovering Advanced Algebra

Giáo viên hướng dẫn:
Nguyễn Đăng Minh Phúc

Sinh viên thực hiện:
Trần Kha
Lớp Toán 3B

Huế,11/2012
0


Lời nói đầu
Ngày nay, việc đào tạo Đại học theo hệ thống tín chỉ đang trở thành một xu hướng
khá phổ biến và cũng đã có nhiều trường Đại học ở Việt Nam đã và đang thực
hiện cách đào tạo mới này. Điều này đặt ra cho sinh viên phải thay đổi cách học
để phù hợp hơn, phải nỗ lực nhiều hơn, tự học nhiều hơn mới mong đạt được kết
quả cao. Và một trong những yếu tố góp phần vào sự thành công đó không thể
không nhắc đến việc tìm đọc sách, tìm hiểu các nguồn tài liệu để tự trang bị, nâng
cao kiến thức cho bản thân. Điều này lại càng quan trọng hơn đối với những người
học toán.

Nguồn tài liệu Toán học trong nước hiện nay dồi dào, phong phú. Nhưng không vì
thế mà việc tìm đọc các nguồn tài liệu nước ngoài là không quan trọng. Qua việc
tìm hiểu các nguồn tài liệu này không những học được kiến thức, trau dồi thêm
vốn tiếng nước ngoài mà còn giúp chúng ta học hỏi được phương pháp tiếp cận tri
thức mới, cách học, cách dạy… của các nước tiên tiến trên Thế giới để vận dụng
vào nền giáo dục nước ta. Điều này lại càng quan trọng hơn đối với sinh viên sư
phạm và giáo viên giảng dạy. Vì thế xu thế tìm đọc các nguồn tài liệu nước ngoài
đang khá phổ biến ở các trường Đại học cũng như các trường THPT. Cho nên việc
tìm kiếm đọc sách Toán nước ngoài là rất cần thiết cho sinh viên cũng như giáo
viên để trau dồi thêm kiến thức, kĩ năng cần thiết. Chính vì vậy mà tôi muốn giới
thiệu cuốn sách tiếng Anh Discovering Advanced Algebra - ( Khám phá Đại số
nâng cao) của 3 tác giả Jerald Murdock, Ellen Kamischke, Eric Kamischke mà tôi
cho rằng nó bổ ích cho giáo viên về phương pháp dạy và giúp cho học sinh, sinh
viên học toán có phương pháp tiếp cận khoa học, tạo được hứng thú học toán qua
đó phát huy được tính tích cực, chủ động rèn luyện tư duy toán học.
Sách Discovering Advanced Algebra có 13 chương. Bài thu hoạch này chọn ra
chương 11 liên quan đến lý thuyết Chuỗi số để giới thiệu. Đây là những kiến thức
gắn liền với các bạn sinh viên ở Đại học.
Nội dung chính của bài thu hoạch này gồm 3 chương:
Chương I: Giới thiệu về tác giả và tóm tắt nội dung sách Discovering
Advanced Algebra.
Chương II: Nội dung chương 11 trong sách: Chuỗi số
Chương III: Kết luận
Tôi hy vọng nội dung bài thu hoạch này sẽ đem đến những điều thú vị và bổ ích
cho người đọc.
Huế, tháng 11 năm 2012
TRẦN KHA

1

Mục lục
Lời nói đầu ........................................................................................... 1
Chương I: Giới thiệu tác giả và tóm tắt nội dung sách Discovering
Advanced Algebra ............................................................................... 3
1.

Giới thiệu tác giả ................................................................................... 3

2.

Tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra ........................ 4

Chương III. Nội dung chương 11 trong sách.................................... 5
Bài 11.1 Chuỗi số học ...................................................................... 6
1.

Tìm hiểu về chuỗi số học....................................................................... 6

2.

Sự nghiên cứu ........................................................................................ 8

3.

Bài tập .................................................................................................... 9

Bài 11.2 Chuỗi hình học vô hạn ................................................... 13
1.

Tìm hiểu về chuỗi hình học vô hạn ..................................................... 13

2.

Sự nghiên cứu ...................................................................................... 14

3.

Bài tập .................................................................................................. 17

Bài 11.3 Tổng riêng của chuỗi số hình học ................................. 20
1.

Đặt vấn đề ............................................................................................ 20

2.

Sự nghiên cứu ...................................................................................... 21

3.

Bài tập .................................................................................................. 22

Chương III: Kết luận ........................................................................ 25
1.

Ưu điểm, nhược điểm của sách Discovering Advanced Algebra ........ 25

2.

So sánh với sách toán nước ta ............................................................. 25

3.

Biện pháp ............................................................................................. 26

Tài liệu tham khảo: ........................................................................... 26

2


Chương I: Giới thiệu tác giả và tóm tắt nội dung
sách Discovering Advanced Algebra
1. Giới thiệu tác giả

Tác giả Jerald Murdock, Ellen và Eric Kamischke bắt đầu làm
việc cùng nhau tại Interlochen Arts Academy ở Interlochen,
Michigan. Họ bắt đầu làm việc với học trò của mình bằng cách
sử dụng dữ liệu thực tế và thực hành thí nghiệm. Kết quả này đã
được công bố bởi nhà xuất bản Key Curriculum Press qua các
cuốn sách như Advanced Algebra Through Data Exploration: A
Graphing Calculator Approach
sau đó sửa đổi thành
Discovering Advanced Algebra: An Investigative Approach.
Jerald Murdock đã được Tổng thống Awardee for Excellence
trao giải xuất sắc ở Viện Toán học và là Uỷ viên Woodrow
Wilson. Ông đã giảng dạy trong cả hai trường trung học công và
tư. Ông còn là một diễn giả giàu kinh nghiệm và mộ nhà lãnh đạo
hội thảo Ellen Kamischke có bằng cử nhân về toán học và vật lý.
Cô rất thích tìm cách để kết hợp tranh ảnh trong giảng dạy của

mình. Cô ấy là một nhà lãnh đạo hội thảo và thuyết trình tại hội
nghị toán học khu vực và quốc gia về các chủ đề khác nhau, từ
văn bản trong toán học đại số và giải tích. Eric Kamischke cũng
là một ủy viên Woodrow Wilson. Một giáo viên hóa học trước
đây. Một chuyên gia về công nghệ trong lớp học và sử dụng nó
để điều tra phòng thí nghiệm trong giảng dạy toán học của mình
và trong bài thuyết trình của mình cho giáo viên.

3


2. Tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra
2.1. Khái quát chung
Cuốn sách Discovering Advanced Algebra của ba tác giả Jerald Murdock,
Ellen Kamischke và Eric Kamischke được xuất bản vào tháng 8 năm 2003. Sách
gồm 14 chương từ chương 0 đến chương 13 chủ yếu trình bày về đại số. Nội dung
các chương như sau:
Chương 0: Giải quyết vấn đề
Chương 1: Các mô hình và phép truy hồi
Chương 2: Mô tả dữ liệu
Chương 3: Các mô hình và hệ thống tuyến tính
Chương 4: Hàm số, mối tương quan và phép biến đổi
Chương 5: Các hàm số mũ, lũy thừa và lôgarit
Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính
Chương 7: Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác
Chương 8: Phương trình tham số và lượng giác
Chương 9: Các đường conic và hàm số hữu tỷ
Chương 10: Hàm số lượng giác
Chương 11: Chuỗi số
Hình 1. Trang bìa của sách

Chương 12: Xác suất
Chương 13: Các ứng dụng của Thống kê
Trong mỗi chương sẽ giới thiệu cho chúng ta nhiều khái niệm, định nghĩa, định lý,
tính chất…cơ bản trong Đại số và có nhiều ví dụ minh họa, bài tập áp dụng rất
thực tế.

2.2. Khái quát nội dung chương XI trong sách Discovering
Advanced Algebra
Chương XI của sách đề cập đến lý thuyết chuỗi số. Nội dung chính của
chương này gồm 3 bài: Bài 11.1 giới thiệu về chuỗi số học, công thức tính tổng
riêng của chuỗi số học. Bài 11.2 giới thiệu về chuỗi hình học vô hạn, công thức
tính tổng của chuỗi hình học vô hạn hội tụ. Bài 11.3 giới thiệu về tổng riêng của
chuỗi hình học, công thức tính tổng riêng của chuỗi hình học.
Mở đầu mỗi bài đều có các hoạt động, tình huống cụ thể gợi mở vấn đề
giúp bạn đọc tự khám phá, tìm tòi ra kiến thức.Cuối mỗi bài đều có phần bài tập
thực hành và vận dụng các kiến thức đã học được.
Bài thu hoạch này tập trung giới thiệu chương XI của sách. Dưới đây là nội dung
chính chương XI của sách Discovering Advanced Algebra.

4


Chương III. Nội dung chương 11 trong sách

5


Bài 11.1 Chuỗi số học

1. Tìm hiểu về chuỗi số học

Theo Cơ quan Bảo vệ Môi trường Mỹ, mỗi người Mỹ sản xuất trung bình
978 lb rác thải vào năm 1960.Điều này tăng lên đến 1336 lb vào năm 1980.Đến
năm 2000, sản xuất rác đã tăng lên đến 1646 lb / năm cho mỗi người. Bạn đã học
được trong các chương trước làm thế nào để viết một dãy số để mô tả số lượng rác
được sản xuất cho mỗi người mỗi năm. Nếu bạn cộng tất cả các số hạng trong dãy
số này, bạn có thể tìm thấy số lượng rác một người sản xuất trong suốt cuộc đời
của mình.

 Liên hệ môi trường
Núi Everest, một phần của dãy
Himalaya thuộc miền nam châu Á,
đạt đến một độ cao 29.035 ft và là
ngọn núi cao nhất của thế giới trên
mực nước biển. Nó được mệnh danh
là "bãi rác thải cao nhất thế giới" bởi
vì nhiều thập kỷ-xả rác của người leo
núi , nhựa, thủy tinh, và kim loại chất
đống dọc theo núi Everest của đường
mòn và trong các bãi cắm trại của nó.
Ước tính có khoảng 50 tấn rác vẫn
còn. Các tổ chức môi trường như
Quỹ Động vật Hoang dã Thế giới
(WWF) đã dọn rác từ chân núi,
nhưng loại bỏ chất thải từ độ cao hơn
là khó khăn hơn.

Hình 2. Một cuộc dọn sạch núi Everest năm 1998

Chuỗi số
Một tổng các số hạng của một dãy là một chuỗi số.

Tổng n số hạng đầu tiên trong một dãy số được biễu diễn bởi Sn.
Bạn có thể tính được Sn bằng cách cộng các số hạng u1 + u2 + u3 + · · · + un.

Tìm giá trị của một chuỗi số là một vấn đề
rất hấp dẫn các nhà toán học trong nhiều thế kỷ.
Nhà toán học Trung Quốc Chu Shih-chieh gọi tổng
1 + 2 + 3 + · · · + n là "đống lau sậy" bởi vì nó có
thể được hình dung như sơ đồ bên phải. Sơ đồ cho
thấy S9, tổng của chín số hạng đầu tiên của dãy số
này, 1 + 2 + 3 + · · · + 9. Tổng hữu hạn của bất kì,
hoặc giới hạn số lượng các số hạng được gọi là một
tổng riêng của chuỗi số.
6


9

Các biểu thức S9 và  u n là các cách viết tắt của việc viết u1 + u2 + u3 + · · · + un.
n 1

9

Bạn có thể biểu diễn tổng riêng S9 với ký hiệu sigma là  n.
n 1

9

Biểu thức  n nói cho bạn biết thay thế các số nguyên 1 đến 9 cho n trong công
n 1

thức tường minh un = n, và sau đó thu được kết quả tổng của 9 giá trị. Bạn nhận
được 1 + 2 + 3 + …+ 9 = 45.
Làm thế nào bạn có thể tìm được tổng của các số nguyên từ 1 đến 100? Phương
pháp hiển nhiên nhất là cộng các số hạng lại, từng số một. Bạn có thể sử dụng một
công thức truy hồi và một máy tính để làm điều này một cách nhanh chóng.
Đầu tiên, viết dãy số theo công thức truy hồi như sau:
un = 1
un = un – 1 + 1 với n  2
Bạn có thể viết một công thức truy hồi cho chuỗi Sn như thế này:
S1 = 1
Sn = Sn – 1 + un với n  2
Điều này nói rằng tổng của n số hạng đầu tiên là bằng tổng của (n - 1) số hạng đầu
tiên, cộng với số hạng thứ n. Từ công thức truy hồi cho dãy số, bạn biết rằng un là
tương đương với un – 1 + 1, vì vậy công thức truy hồi cho chuỗi số là:
S1 = 1
Sn = Sn – 1 + un – 1 + 1 với n  2
Nhập các công thức truy hồi vào máy tính của bạn như được hiển thị. Một bảng
cho thấy mỗi số hạng trong dãy số và dãy các tổng riêng tương ứng.

Đồ thị của Sn xuất hiện có dạng một đường cong liên tục, nhưng nó thực sự là một
tập hợp rời rạc của 100 điểm đại diện cho mỗi tổng riêng từ S1 đến S100. Mỗi điểm
là ở dạng (n, Sn) cho các giá trị nguyên của n, với 1  n  100. Bạn có thể phát hiện
ra rằng tổng của 100 số hạng đầu tiên, S100, là 5050. ( Xem máy tính Note 11A
để biết thêm thông tin về đồ thị và tính toán các tổng riêng. )

[ 0, 110, 10, –3000, 10000, 1000 ]

Khi bạn tính tổng theo công thức truy hồi này, bạn hoặc máy tính phải tính toán
từng số hạng riêng lẻ. Sự nghiên cứu sẽ cung cấp cho bạn một cơ hội để khám phá
ra ít nhất một công thức tường minh để tính các tổng riêng của một chuỗi số học

mà không cần tìm ra tất cả các số hạng và cộng lại.
7


2. Sự nghiên cứu
 Công thức Chuỗi số học
Chọn ba số nguyên giữa 2 và 9 cho nhóm của bạn để sử dụng. Mỗi người
nên viết dãy số học của riêng mình bằng cách sử dụng một trong ba giá trị đó cho
số hạng đầu và giá trị khác cho công sai của dãy. Hãy chắc chắn rằng mỗi người
viết một dãy số khác nhau.
Bước 1: Tìm mười số hạng đầu tiên của dãy số của bạn. Sau đó tìm mười tổng
riêng đầu tiên các chuỗi tương ứng. Ví dụ, sử dụng u1 = 7 và d = 8, bạn sẽ viết:
Dãy số:
un = {7, 15, 23, 31, . . . }
Tổng riêng: Sn = {7, 22, 45, 76, . . . }
Bước 2: Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tìm bậc của một hàm đa thức
mà phù hợp với các điểm dữ liệu ở dạng (n, Sn). Sau đó tìm một hàm đa thức để
phù hợp với dữ liệu.
Bước 3: Tạo ra một chuỗi số mới bằng cách thay thế bất kỳ số hạng đầu hoặc
công sai của dãy với một số khác trong ba số nguyên mà nhóm của bạn đã chọn.
Lặp lại các Bước 1 và 2.
Bước 4: Kết hợp với các kết quả từ tất cả các thành viên nhóm của bạn vào trong
một bảng như bảng dưới đây.Đối với cột tổng riêng, hãy điền các hàm đa thức
được tìm thấy trong Bước 2.
Số hạng đầu
u1

Công sai
d

Tổng riêng
Sn

Bước 5: Hãy tìm một mối liên hệ giữa các hệ số của mỗi đa thức và các giá trị của
u1 và d. Sau đó viết một công thức tường minh cho Sn từ các số hạng u1, d, và n.
Qua việc nghiên cứu, bạn tìm ra được một công thức cho tổng riêng của một chuỗi
số học.Sử dụng công thức của bạn để kiểm tra xem khi bạn cộng 1 + 2 + 3 + · · · +
100 bạn nhận được kết quả 5050.

 Liên hệ lịch sử
Theo truyền thuyết, khi nhà toán học và
thiên văn học người Đức tên là Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) được 9 tuổi
,thầy giáo anh ta bắt cả lớp học tìm tổng của
các số nguyên từ 1 đến 100. Thầy giáo hy
vọng để giữ cho học sinh của mình bận rộn,
nhưng Gauss đã nhanh chóng viết đáp án
đúng, 5050. Ví dụ này cho thấy cách giải
của Gauss.

Hình 3. Con tem này của Gauss
được phát hành bởi Nicaragua
vào năm 1994 là một phần chuỗi
số về thiên văn học.

8


Ví dụ: Tìm tổng của các số nguyên từ 1 đến 100, mà không cần sử dụng máy tính
bỏ túi.

Cách giải: Carl Friedrich Gauss giải quyết vấn đề này bằng cách cộng các số
hạng theo từng cặp. Hãy lưu ý đến cách viết chuỗi số theo thứ tự tăng và giảm
dần, như sau:
1
100
101

+
2 +
3 +··· +
+ 99 + 98 + · · · +
+ 101 + 101 + · · · +

98 + 99 + 100
3 +
2 +
1
101 + 101 + 101

=
=
=

S100
S100
2S100

Tổng của mỗi cột là 101, và có tất cả 100 cột. Như vậy, tổng của các số
nguyên từ 1 đến 100 là:

100(101)
 5050
2
Bạn phải chia tích 100(101) cho 2 bởi vì chuỗi số này đã được tính hai lần.
Bạn có thể mở rộng phương pháp trong ví dụ trên
cho bất kỳ chuỗi số học nào.Trước khi tiếp tục, phải
mất một chút thời gian để xem xét lý do tại sao tổng
của các cây sậy trong đống ban đầu có thể tính được
bằng cách sử dụng biểu thức:
9(1  9)
2
Các số hạng 9, 1, 9, và 2 trong trường hợp này đại
diện cho cái gì?

Tổng riêng của một chuỗi số học
Tổng riêng của một chuỗi số học được cho bởi công thức:
d
d 

Sn =   n 2 +  u1  n
2
2

trong đó n là số các số hạng, u1 là số hạng đầu, và d là công sai.
Một công thức thay thế là:
nu1  u n 
Sn 
2
trong đó n là số các số hạng, u1 là số hạng đầu, và un là số hạng cuối.
Trong các bài tập, bạn sẽ sử dụng các công thức cho tổng riêng để tìm tổng của

các số hạng liên tiếp của một chuỗi số học.

3. Bài tập
3.1. Luyện tập các kĩ năng
1. Liệt kê năm số hạng đầu tiên của dãy số này.Xác định số hạng đầu và công
sai.
u1 = -3
un = un – 1 + 1.5 với n  2
9


2. Tìm S1, S2, S3, S4 và S5 cho dãy số này: 2, 6, 10, 14, 18.
3. Viết mỗi biểu thức như một tổng các số hạng, sau đó tính tổng.
4

 n  2

a.

 n
3

b.

n 1

2

 3

n 1

4. Tìm tổng của 50 bội số đầu tiên của 6: {6, 12, 18,…, u50}.
5. Tìm tổng của 75 số chẵn đầu tiên, bắt đầu với 2.

3.2. Áp dụng
6. Tìm các giá trị:
a. Tìm u75 nếu un = 2n - 1.
75

b. Tìm

 2n  1 .
n 1
75

c. Tìm

 2n  1 .

n  20

7. Hãy xem xét đồ thị của dãy số học ở hình bên phải và
cho
biết:
a. Số hạng thứ 46 là gì?
b. Viết một công thức cho un.
c. Tìm tổng chiều cao từ trên trục hoành của 46 điểm
đầu tiên của đồ thị dãy số.

8. Giả sử bạn tập đàn piano 45 phút vào ngày đầu tiên
của học kỳ và tăng dần thời gian luyện tập của bạn thêm
5 phút mỗi ngày.Bạn sẽ dành bao nhiêu tổng thời gian
để luyện tập trong:
a. 15 ngày đầu tiên của học kỳ?
b. 35 ngày đầu tiên của học kỳ?
Nghệ sĩ piano người Mỹ Van Cliburn (??-1934) đã gây ra
một hiệu ứng cảm giác bằng chiến thắng cuộc thi
International Tchaikovsky Competition đầu tiên tại Moscow
năm 1958, thời kỳ đỉnh điểm của Chiến tranh Lạnh. Khi
được hỏi ông tập luyện bao nhiêu giờ mỗi ngày, ông trả lời:
"Mẹ luôn nói với tôi rằng nếu con biết con đã luyện tập bao
lâu, con đã không làm bất cứ điều gì.Bà tin rằng tôi đã trở
nên hăng say. . . hay nó chỉ không tính cho gì cả. Không có
gì xảy ra nếu bạn xem đồng hồ. "

9. Jessica sắp đặt một màn biểu diễn các lon súp như hình bên.
a. Liệt kê số lượng các lon ở hàng đầu, hàng thứ hai, hàng
thứ ba, và như vậy, xuống hàng thứ mười.
b. Viết một công thức đệ quy cho các số hạng của dãy trong
câu a.
10


c. Nếu các lon được xếp chồng lên nhau 47 hàng cao, sẽ mất
bao nhiêu lon để thực hiện màn biểu diễn?
d. Nếu Jessica sử dụng sáu trường hợp (288 lon), chiều cao
mà cô ấy có thể thực hiện được màn biểu diễn là bao
nhiêu?
10. Tìm từng giá trị.

a. Tìm tổng của 1000 số nguyên dương đầu tiên (các số từ 1 đến 1000).
b. Tìm tổng của 1000 số nguyên dương thứ hai (1001 đến 2000).
c. Đoán tổng của 1000 số nguyên dương thứ ba (2001 đến 3000).
d. Bây giờ tính tổng cho câu c.
e. Mô tả cách để tìm tổng của 1000 số nguyên dương thứ ba, nếu bạn biết
tổng của 1000 số nguyên dương đầu tiên.
11. Giả sử y = 65 + 2 (x - 1) là một biểu diễn của một dãy số học, cho các giá trị
nguyên x  1. Biểu thị tổng riêng của chuỗi số học như là một biểu thức bậc hai,
với x đại diện cho số lượng số hạng.
12. Phải mất 5 que tăm để xếp thành hình thang phía trên ở hình bên.Bạn cần 9
que tăm để xếp thành 2 hình thang tiếp giáp và 13 que tăm cho 3 hình thang.
a. Nếu 1000 que tăm có sẵn, bao nhiêu hình
thang sẽ được hoàn chỉnh ở hàng cuối
cùng?
b. Sẽ có bao nhiêu hàng hoàn chỉnh?
c. Bạn sẽ sử dụng bao nhiêu que tăm để tạo
thành những hàng này?
d. Sử dụng các con số trong bài này cẩn thận
hãy mô tả sự khác nhau giữa một dãy số và
một chuỗi số.
13. SỰ ỨNG DỤNG: Nếu một vật thể rơi xuống từ lúc đứng yên, thì khoảng
cách rơi trong giây đầu tiên là khoảng 4,9 m.Trong mỗi giây tiếp theo, vật thể
rơi 9,8 m xa hơn so với giây trước liền kề.
a. Viết một công thức đệ quy mô tả khoảng cách vật thể rơi trong mỗi giây
rơi tự do.
b. Tìm một công thức rõ ràng cho câu a.
c. Vật thể sẽ rơi bao xa trong giây thứ 10?
d. Vật thể rơi bao xa trong 10 giây đầu tiên?
e. Tìm một công thức rõ ràng cho khoảng cách một vật thể rơi trong n giây.
f. Giả sử bạn thả một khúc gỗ vuông từ trên cây cầu Royal Gorge. Bao lâu

nó sẽ đi đến sông Arkansas 331 m dưới đây?

Hình 4. Cầu Royal Gorge (xây dựng năm 1929) gần Thành phố Canon, Colorado, là cầu treo cao
nhất thế giới, với chiều dài 384m (1260 ft) và chiều rộng 5m (18 ft).

11


14. Xét hai dãy số hình học:
1 1 1
ii. 2, 1, , , , …
2 4 8

i. 2, 4, 8, 16, 32, …

a. Giá trị giới hạn của mỗi dãy là gì?
b. Tỷ lệ chung (hay công bội) của mỗi dãy là mấy?
c. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn thử tính tổng tất cả các số hạng của mỗi dãy?
15. SỰ ỨNG DỤNG: Có 650.000
người trong một thành phố.Cứ mỗi 15
phút, rađiô và đài truyền hình địa
phương phát đi lời cảnh báo lốc
xoáy.Trong mỗi khoảng thời gian 15
phút, có 42% những người đã không
nghe lời cảnh báo trở nên nhận thức
được các cơn lốc xoáy đến gần.Có bao
nhiêu người đã nghe được tin này:
a. Sau 1 giờ ?
b. Sau 2 giờ ?

Hình 5. Tại trung tâm Hoa Kỳ, trung bình 800
đến 1000 cơn lốc xoáy xảy ra mỗi năm. Đồng
hồ cơn lốc xoáy, dự báo, và cảnh báo được
công bố tới công chúng bởi trung tâm dự báo
National Weather Service.

3.3. Nhìn lại
16. Giả sử bạn đầu tư 500 USD vào một ngân hàng trả lãi kép hàng năm 5,5%
theo từng quý.
a. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền sau 5 năm?
b. Giả sử bạn cũng gửi thêm 150 USD vào cuối mỗi ba tháng. Bạn sẽ có bao
nhiêu tiền sau 5 năm?
n 1

1
17. Xét công thức u n  81 
3
a. Liệt kê 6 số hạng đầu tiên, u1 đến u6.
b. Viết một công thức truy hồi cho dãy số.

18. Xét công thức truy hồi
u1  0.39
u n  0.01  u n1 với n  2
a. Liệt kê 6 số hạng đầu tiên.
b. Viết một công thức tường minh cho dãy số.
19. Tìm giá trị đúng cho:
a. cos 15 °

b. cos 75 °

12

W
e
a
t
h
e
r
S
e
r
v
i
c
e
.


20. Xét phương trình hàm hữu tỷ y 

4x  3
.
2x  1

a. Viết lại phương trình trên như là một phép biến đổi hàm y 

1
.
x

4x  3
là gì?
2x  1
1
c. Điểm (1, 1) nằm trên đồ thị của hàm y  . Ảnh của nó trên đồ thị của hàm
x
được biến đổi là gì?

b. Các đường tiệm cận của hàm y 

Bài 11.2 Chuỗi hình học vô hạn

1. Tìm hiểu về chuỗi hình học vô hạn
Ở bài học 11.1, bạn đã xây dựng một công thức rõ ràng cho tổng riêng của
một chuỗi số học. Công thức này dùng khi bạn có hữu hạn số lượng các số hạng
hoặc giới hạn của chúng hữu hạn. Bạn cũng thấy rằng nếu số lượng các số hạng n
tăng, thì độ lớn của tổng riêng Sn cũng tăng theo. Nếu số lượng các số hạng của
một chuỗi số học là vô hạn, hoặc vô tận, thì độ lớn của tổng đó sẽ là vô hạn.
Tuy nhiên, một số dãy hình học có các số hạng trở
nên nhỏ hơn. Điều gì sẽ xảy ra với tổng riêng của
các dãy số này?
Ví dụ, dãy số hình học:
0,4 ; 0,04 ; 0,004 ; …
1
có công bội là , do đó các số hạng trở nên nhỏ
10
hơn. Cộng các số hạng tạo ra một chuỗi hình học.
Chú ý mô hình lặp đi lặp lại các số thập phân được
Hình 6. Những tấm ảnh lồng nhau

hình thành.
đại diện cho một dãy vô hạn.
S3 = 0,4 + 0,04 + 0,004 = 0,444
S4 = 0,4 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 = 0,4444
S5 = 0,4 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 + 0,00004 = 0,44444
Nếu bạn tính tổng của vô hạn các số hạng của dãy này, kết quả sẽ là vô cùng lớn?
Một chuỗi hình học vô hạn là một chuỗi hình học với vô hạn các số hạng. Trong
bài học này, bạn đặc biệt quan tâm tới chuỗi hội tụ, mà dãy tổng riêng tiến tới một
giá trị giới hạn vì số lượng các số hạng tăng lên.

13


Ví dụ a: Jack nướng một cái bánh và nhanh chóng ăn một nửa của nó.Xác định
để dành miếng bánh cuối cùng, sau đó ông đã quyết định chỉ ăn một nửa miếng
bánh còn lại mỗi ngày.
a. Ghi lại số lượng của bánh được ăn
mỗi ngày trong 7 ngày đầu tiên.
b. Đối với mỗi ngày trong 7 ngày, ghi
lại tổng số lượng của bánh được ăn
kể từ khi được nướng.
c. Nếu Jack sống mãi mãi, thì ông sẽ
ăn được bao nhiêu của cái bánh
này?

Lời giải: Số lượng của cái bánh được ăn mỗi ngày là một dãy số hình học với số
1
1
và công bội là .
2

2
a. Bảy số hạng đầu tiên của dãy số là:
1 1 1 1 1 1 1
, , , , , ,
2 4 8 16 32 64 128
b. Tìm các tổng riêng, S1 đến S7, của các số hạng trong câu a ta được:
1 3 7 15 31 63 127
, , , , , ,
2 4 8 16 32 64 128
c. Nó có vẻ như là ăn cái bánh "mãi mãi" sẽ cho kết quả ăn rất nhiều cái
bánh. Tuy nhiên, nếu bạn nhìn vào mô hình của các tổng riêng, nó có vẻ
như thể cho bất kỳ số lượng hữu hạn của tổng ngày của Jack là hơi nhỏ
hơn 1. Điều này đưa đến kết luận rằng Jack sẽ ăn đúng một cái bánh trong
thời gian dài. Đây là một chuỗi hình học vô hạn hội tụ với giá trị tiến tới 1.

hạng đầu là

Nhớ lại rằng một dãy số hình học có thể được biểu diễn bằng một công thức tường
minh ở dạng u n  u1  r n 1 hoặc u n  u 0  r n , trong đó r là tỷ lệ chung giữa các số
hạng (còn gọi là công bội). Sự nghiên cứu sẽ giúp bạn xây dựng một công thức
tường minh cho tổng của một chuỗi hình học vô hạn hội tụ.

2. Sự nghiên cứu
 Công thức Chuỗi hình học vô hạn
Chọn ba số nguyên giữa 2 và 9 cho nhóm của bạn để sử dụng. Mỗi người nên
viết dãy số hình học của riêng mình bằng cách sử dụng một trong ba giá trị đó cho
số hạng đầu và một phần mười của giá trị khác cho công bội. Hãy chắc chắn rằng
mỗi người viết một dãy số khác nhau.
Bước 1: Sử dụng máy tính của bạn để tìm tổng riêng của 400 số hạng đầu tiên và
500 số hạng đầu tiên của dãy số của bạn.Nếu máy tính của bạn làm tròn các tổng

riêng này cho giá trị như nhau, thì dùng số này như là giá trị tiến tới của dãy.Nếu
không, thì tiếp tục tính tổng các số hạng cho đến khi bạn tìm được giá trị tiến tới
của dãy.(Xem lại máy tính Note 11A để biết cách tính toán các tổng riêng.)

14


Bước 2: Tạo ra một chuỗi số mới bằng cách thay thế bất kỳ số hạng đầu hoặc
công bội với một số khác trong ba số nguyên mà nhóm của bạn đã chọn. Hãy nhớ
rằng công bội là bằng một phần mười của số nguyên. Lặp lại Bước 1.
Bước 3: Kết hợp các kết quả từ tất cả các thành viên nhóm của bạn vào một bảng
như bảng dưới đây.Giá trị tiến tới của dãy là tương đương với tổng vô hạn các số
hạng, được biểu diễn bởi S không có chỉ số dưới.
Số hạng đầu
u1

Công bội
r

Tổng
S

Bước 4: Tìm một công thức cho S theo u1 và r . (Gợi ý: Bao gồm một cột khác
u
cho tỷ lệ 1 và tìm các mối liên hệ). Công thức của bạn là phù hợp nếu tỷ lệ này
S
gần bằng 1? Nếu tỷ lệ này lớn hơn 1? Khẳng định câu trả lời của bạn với các ví
dụ.
Trong việc nghiên cứu, bạn đã dùng các
tổng riêng với giá trị n lớn để xác định

giá trị tiến tới của tổng các số hạng vô
hạn. Đồ thị của dãy các tổng riêng là một
công cụ khác bạn có thể sử dụng.
Hình 7. Infinity tạo bởi nhà điêu khắc người
Mỹ José de Rivera (1904-1985)

Ví dụ b: Xét một quả bóng (ma sát) lý tưởng nảy lên sau khi nó bị rơi. Khoảng
cách tính bằng inch mỗi khi bóng rơi xuống đến khi nảy lên được biểu diễn bởi
2
3
200, 2000,8 , 2000,8 , 2000,8 , … Tính tổng các khoảng cách tạo ra một
chuỗi số.Hãy tìm tổng số khoảng cách bóng rơi trong quá trình bóng nảy lên số
lần vô hạn.

Lời giải: Dãy các tổng riêng được biểu diễn bởi công thức truy hồi:
S1  200
S n  S n1  u n với n  2
Công thức tường minh cho dãy các số hạng là un = 200 (0,8) n1 . Vì vậy, công thức
truy hồi cho chuỗi số là tương đương với
S1  200

S n  S n1  2000,8

n 1

với n  2
Đồ thị của các cấp Sn như là số lượng của các lần nảy tăng lên. Điều này có nghĩa
là tổng số của tất cả các khoảng cách tiếp tục tăng lên, nhưng dường như sẽ tiến
gần đến một giá trị giới hạn khi cho giá trị n đủ lớn.
15

[-5, 30, 5, -200, 1200, 100]

Bởi nhìn vào khi giá trị của n ngày càng lớn, bạn sẽ tìm được tổng của chuỗi số
này là 1000 inch. Vì vậy, tổng các khoảng cách bóng rơi là 1000 inch. Sử dụng
các công thức mà bạn tìm được trong cuộc nghiên cứu để kiểm tra câu trả lời này.
Bây giờ bạn có một số cách để xác định giá trị tiến tới của một chuỗi hình học vô
hạn. Nếu chuỗi hội tụ, công thức mà bạn tìm được trong cuộc nghiên cứu cung
cấp cho bạn tổng của vô hạn các số hạng.
Chuỗi hình học vô hạn hội tụ
Một chuỗi hình học vô hạn gọi là một chuỗi hội tụ nếu giá trị tuyệt đối
của công bội nhỏ hơn 1, | r | <1. Tổng của vô hạn các số hạng, S, của
một chuỗi hình học vô hạn hội tụ được cho bởi công thức sau:
u
S 1
1 r
trong đó u1 là số hạng đầu và r là công bội ( | r | <1).
Trong toán học, ký hiệu  được sử dụng để biểu diễn cho vô cực, hoặc số lượng
mà không bị chặn. Bạn có thể sử dụng  và ký hiệu sigma để biểu diễn cho chuỗi
vô hạn.

Ví dụ c: Xét chuỗi vô hạn:



 0,30,1

n 1

n 1

a. Biểu diễn tổng vô hạn các số hạng này dưới dạng số thập phân.
b. Xác định số hạng đầu u1 và công bội r .
c. Biểu diễn tổng này dưới dạng tỷ lệ của các số nguyên.

Lời giải: Khi bạn thay n = {1, 2, 3, …} vào biểu thức 0,30,1n 1 , bạn nhận được:
0,3  0,03  0,003    

a. Tổng là số thập phân lặp đi lặp lại 0,333..., hoặc 0.,3 .
b. u1  0,3 và r  0,1 .
c. Sử dụng công thức cho tổng vô hạn và rút gọn tỷ lệ các số nguyên:
0,3
0,3 1
S


1  0,1 0,9 3
Bạn sẽ làm việc với chuỗi hình học vô hạn và thêm các tổng của chúng nữa trong
các bài tập.
16


3. Bài tập
3.1. Luyện tập các kĩ năng
1. Xét số thập phân lặp đi lặp lại 0,444..., hoặc 0, 4 .
a. Biểu diễn số thập phân này dưới dạng tổng các số hạng của một chuỗi hình
học vô hạn.
b. Xác định số hạng đầu và công bội.
c. Sử dụng công thức bạn đã học được trong bài này để biểu diễn tổng này

dưới dạng tỷ lệ của các số nguyên.
2. Lặp lại ba câu hỏi của Bài tập 1 cho số thập phân lặp đi lặp lại 0,474747...,
hoặc 0, 47.
3. Lặp lại ba câu hỏi của Bài tập 1 cho số thập phân lặp đi lặp lại
0,123123123..., hoặc 0,123
4. Một dãy hình học vô hạn có số hạng đầu là 20 và có tổng là 400. Năm số
hạng đầu tiên là gì?

3.2. Áp dụng
5. Một dãy số hình học vô hạn gồm các số hạng liên tiếp là 128, 32, 8, và 2.
Tổng của chuỗi số là 43 690, 6 . Số hạng đầu là gì?
6. Xét dãy số u1  47 và u n  0,8u n1 với n  2. Tìm:
10

a.

20

 un

b.

n 1

 un



30

c.

n 1

7. Xét dãy số un  960,25 .
a. Liệt kê mười số hạng đầu tiên, u1
đến u10.

 un
n 1

d.

u
n 1

n

n1

b. Tìm tổng

10

 960,25

n 1

.

n 1

c. Tạo một đồ thị của các tổng riêng
với 1  n  10.
d. Tìm tổng



 960,25

n 1

n 1

Bức ảnh này thao tác bằng kỹ thuật số, mô tả
một tàu lượn siêu tốc theo hình thức của một
dải Mobius, có tiêu đề Fun Infinite. Để biết
thêm thông tin về dải Mobius, xem tại địa
chỉ:
.

8. Một quả bóng bị rơi từ một độ cao ban đầu là 100 cm. Các chiều cao bóng nảy
lên gần nhất tính bằng cm là 80, 64, 51, 41, … Tổng số khoảng cách bóng sẽ di
chuyển, cả lên và xuống là bao nhiêu?
17


9. SỰ ỨNG DỤNG: Một sự kiện thể thao được tổ chức tại Superdome ở New
Orleans, Louisiana, tổ chức cho khoảng 95000 người tham gia. Giả sử 50000 du
khách đến New Orleans và chi tiêu 500 USD mỗi người. Trong tháng sau sự kiện

này, người dân ở New Orleans chi tiêu 60% thu nhập từ các du khách. Tháng tiếp
theo, 60% được chi tiêu lần nữa, và cứ như vậy.
a. Tổng số tiền ban đầu các du khách chi tiêu là bao nhiêu?
b. Về lâu dài, bao nhiêu tiền từ sự kiện thể thao này dường như được cộng
vào nền kinh tế New Orleans?
c. Tỷ lệ giữa giá trị tiến tới của tổng số tiền với tổng số tiền ban đầu được gọi
là số nhân kinh tế. Số nhân kinh tế trong ví dụ này là bao nhiêu?
d. Nếu số tiền ban đầu được chi tiêu bởi các du khách là 10 000 000 USD và
số nhân kinh tế là 1,8 thì tỷ lệ phần trăm của số tiền ban đầu được chi tiêu
lặp đi lặp lại trong nền kinh tế địa phương là bao nhiêu?
1
1
10. Một con bọ chét nhảy qua phải
ft, rồi nhảy qua trái ft, rồi lại nhảy qua
2
4
1
phải ft, và cứ như vậy. Điểm nào con bọ chét sẽ phóng đến?
8

11. Giả sử hình vuông ABCD có kích thước chiều dài là 8,
được cắt ra từ tờ giấy. Một hình vuông khác là EFGH,
được đặt với các góc đỉnh của nó là trung điểm các cạnh
hình vuông ABCD. Một hình vuông thứ ba được đặt với
các góc đỉnh của nó là trung điểm các cạnh hình vuông
EFGH, và cứ như vậy.
a. Chu vi của hình vuông thứ mười là bao nhiêu?
b. Diện tích của hình vuông thứ mười là bao nhiêu?
c. Nếu mô hình có thể được lặp đi lặp lại mãi mãi, điều
gì xảy ra với tổng các chu vi của các hình vuông?

d. Điều gì xảy ra với tổng các diện tích?
12. Các phân số được biết như là tam giác Sierpiński bắt đầu như một tam giác
3
đều với độ dài cạnh là 1 đơn vị và diện tích là
đơn vị bình phương.Các phân
4
số được tạo ra một cách đệ quy bằng cách thay thế tam giác với ba tam giác nhỏ
hơn đồng dạng với tam giác đều, như vậy mỗi phần tam giác nhỏ hơn là một đỉnh
với tam giác lớn hơn. Điều này loại bỏ diện tích từ chính giữa của tam giác ban
đầu.

Giai đoạn 0

Gai đoạn 1

Giai đoạn 2

Giai đoạn 6

18


Về lâu dài, điều gì sẽ xảy ra với:
a. Chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn?
b. Diện tích của mỗi tam giác nhỏ hơn?
c. Tổng các chu vi của các tam giác nhỏ hơn? (Gợi ý: Bạn không thể sử dụng
công thức tính tổng từ bài học này.)
d. Tổng các diện tích của các tam giác nhỏ hơn?

3.3. Nhìn lại

13. Một thùng lớn chứa 12,4 galon dầu sau 18 phút khi ống dẫn dầu được mở. Có
bao nhiêu galon dầu trong thùng lúc đầu, nếu nó dẫn được 4,2 gallon / phút?
14. Nối mỗi phương trình với một đồ thị phù hợp.

A. y  100.8
C. y  3  70.7 
i.

iii.

B. y  10  100.75
D. y  10  70.65







ii.

iv.

15. SỰ ỨNG DỤNG: Một công ty phần mềm máy tính quyết định dành ra 100
000 USD để phát triển một trò chơi điện tử mới. Ước tính rằng sự phát triển này
sẽ có chi phí 955 USD tuần đầu tiên và rằng các chi phí sẽ tăng thêm 65 USD
mỗi tuần sau đó.
a. Sau 25 tuần, bao nhiêu ngân sách phát triển sẽ bỏ ra?
b. Công ty có thể duy trì trong bao lâu giai đoạn phát triển trước khi ngân sách
sẽ không hỗ trợ các tuần chi phí nữa ?

16. Hans nhìn thấy một con chó. Con chó có bốn con chó con. Bốn con mèo
theo dõi mỗi con chó con. Mỗi con mèo có bốn con mèo con. Bốn con chuột
theo dõi từng con mèo con. Bao nhiêu chân Hans nhìn thấy? Thể hiện câu trả lời
của bạn bằng cách sử dụng ký hiệu sigma.

19


Bài 11.3 Tổng riêng của chuỗi số hình học

1. Đặt vấn đề
Nếu từng cặp của các máy tính có thể được liên kết và một chương trình
chuyển từ một máy tính đến các máy khác trong 20 giây, bao lâu nó sẽ chuyển
được trước khi tất cả mọi người trong một giảng đường 250 sinh viên có chương
trình? Trong khoảng thời gian đầu tiên, chương trình được chuyển đến một máy
tính, trong khoảng thời gian thứ hai, chuyển đến hai máy tính, trong khoảng thời
gian thứ ba, chuyển đến bốn máy tính nữa, và cứ như vậy. Số lượng sinh viên có
chương trình tăng gấp đôi mỗi 20 giây.Để giải quyết vấn đề này, bạn phải xác
định giá trị lớn nhất của n trước khi Sn vượt quá 250.Vấn đề này là một ví dụ về
tổng riêng của một chuỗi số hình học. Nó yêu cầu tổng của một số hữu hạn các số
hạng của một dãy số hình học.

Ví dụ a: Xét dãy số: 2, 6, 18, 54, ….
a. Tìm u15.
b. Vẽ đồ thị các tổng riêng S1 đến S15, và tìm tổng riêng S15.

Lời giải: Dãy số trên là dãy số hình học với u1  2 và r  3 .
a. Một công thức đệ quy cho dãy số là u1  2 và un = 3un-1 với n  2 . Dãy số
cũng có thể được xác định rõ ràng là un = 23
trong hai phương trình ta được u15 = 9565938.

n 1

. Thay thế 15 cho n vào một

b. Sử dụng máy tính của bạn để biết đồ thị các
tổng riêng. (Bạn sẽ thấy dữ liệu các điểm tốt
hơn nếu bạn bật các trục). Theo dõi để thấy
rằng S15 là 14348906.
[0, 18, 1, –5000000, 20000000,5000000]

Trong ví dụ này, bạn đã sử dụng một phương pháp đệ quy để tìm tổng riêng của
một chuỗi số hình học. Đối với một số tổng riêng, đặc biệt là những tổng liên
quan đến một số lượng lớn các số hạng, nó có thể được tìm nhanh hơn và dễ dàng
hơn khi sử dụng một công thức tường minh. Cuộc nghiên cứu sẽ giúp bạn xây
dựng một công thức tường minh.
20


2. Sự nghiên cứu
 Công thức Chuỗi số hình học
Chọn ba số nguyên giữa 2 và 9 cho nhóm của bạn để sử dụng.Mỗi người nên
viết dãy số hình học của riêng mình bằng cách sử dụng một trong ba giá trị đó cho
số hạng đầu và một phần mười của một giá trị khác cho công bội. Hãy chắc chắn
rằng mỗi người viết một dãy số khác nhau.
Bước 1: Tìm mười số hạng đầu tiên của dãy số của bạn. Sau đó tìm mười tổng
riêng đầu tiên của chuỗi số tương ứng.
Bước 2: Tạo đồ thị dữ liệu các điểm ở dạng (n, Sn) và tìm một phương trình tịnh
tiến theo cấp số nhân để phù hợp với dữ liệu. Phương trình sẽ được ở dạng Sn
 L  a  b n .(Gợi ý: L là giá trị tiến tới của các tổng riêng. Trong bài 11.2, làm thế

nào bạn tìm thấy giá trị này?)
Bước 3: Viết lại phương trình của bạn ở Bước 2 theo các số hạng n, u1 và r. Sử
dụng các kỹ thuật đại số để viết công thức chi tiết của bạn như là một biểu thức
hữu tỷ đơn giản.
Bước 4: Tạo một chuỗi số mới, lúc này bằng cách sử dụng một số nguyên cho
công bội.Lặp lại Bước 1.
Bước 5: Sử dụng công thức của bạn để tìm S10 , và so sánh kết quả với tổng riêng
từ Bước 4. Công thức của bạn phù hợp khi tỷ lệ này là lớn hơn 1? Nếu không, thì
thay đổi những gì bạn có để thực hiện?
Trong cuộc nghiên cứu, bạn thành lập một công chi tiết cho tổng riêng của một
chuỗi số hình học mà chỉ sử dụng ba mẩu thông tin—số hạng đầu, công bội và số
lượng các số hạng. Bây giờ bạn không cần phải viết ra các số hạng để tìm một
tổng.

Ví dụ b: Tìm S10 cho chuỗi số 16 + 24 + 36 + · · ·.
Lời giải: Số hạng đầu u1 là 16. Công bội r là 1,5. Số lượng các số hạng n là 10.
Sử dụng công thức bạn đã xây dựng được trong cuộc nghiên cứu để tính S10 .





16 1  1,510
S10 =
= 1813,28125
1  1,5

Ví dụ c: Mỗi ngày, giả sử con sâu bướm
ăn lá nhiều hơn 25% so với ngày hôm
trước. Nếu một con sâu bướm 30 ngày

tuổi đã ăn 151677 lá trong cuộc đời ngắn
ngủi của nó, bao nhiêu nó sẽ ăn vào ngày
hôm sau?

21


Lời giải: Để giải quyết vấn đề này, bạn phải tìm u31. Các thông tin trong vấn đề

này cho bạn biết rằng r là (1 + 0,25) hoặc 1,25 và khi n bằng 30, Sn bằng 151677.
Thay thế các giá trị này vào công thức của Sn và giải tìm giá trị chưa biết, u1.
u1 1  1,2530
= 151677
1  1,25





1  1,2530
u1 = 151677 ·
1  1,25
u1  47
Bây giờ bạn có thể viết một công thức tường minh cho các số hạng của dãy số
n 1
hình học, un = 47  1,25 . Thay thế 31 cho n để thấy rằng vào ngày thứ 31, con
sâu bướm sẽ ăn 37966 lá.
Công thức tường minh cho tổng của một chuỗi số hình học có thể được viết theo
nhiều cách, nhưng tất cả chúng là tương đương. Bạn có thể tìm thấy hai cách viết
trong quá trình nghiên cứu:

Tổng riêng của một chuỗi số hình học
Một tổng riêng của một chuỗi số hình học được cho bởi công thức tường
minh:
u 1  r n 
 u   u 
Sn =  1    1 r n hoặc Sn = 1
1 r
1 r  1 r 

trong đó n là số lượng các số hạng, u1 là số hạng đầu và r là công bội (r  1).

3. Bài tập
3.1. Luyện tập các kĩ năng
1. Đối với mỗi phương trình tổng riêng, xác định số hạng đầu, công bội, và số
lượng các số hạng.
75 1  1,215
12
12
8
 5402,633
a.
b.

0,4  19,9869
1  0,4 1  0,4
1  1,2
40  0,46117
6
c.

d.  40  402,5  9725,625
 197,69
1  0,8
2. Xét dãy số hình học: 256, 192, 144, 108, . . .
a. Số hạng thứ 8 là gì?
b. Số hạng nào là một trong số hạng đầu tiên nhỏ hơn 20?
c. Tìm u7.
d. Tìm S7.



3. Tìm mỗi tổng riêng của dãy số này:
u1 = 40
un = 0,6un - 1 với n  2
a. S5
b. S15



c. S25
22


4. Xác định số hạng đầu và công bội hoặc công sai của mỗi chuỗi số. Sau đó,
tìm tổng riêng.
a. 3,2 + 4,25 + 5,3 + 6,35 + 7,4
b. 3,2 + 4,8 + 7,2 + · · · + 36,45
27

c.

 3,2  2,5n 

d.

n 1

 3,24

n 1

3.2. Áp dụng
5. Tìm giá trị còn thiếu trong mỗi tập hợp của các số.
a. u1 = 3, r = 2, S10 =
b. u1= 4, r = 0,6 , S
9,999868378
c. u1 =
, r = 1,4 ; S15 1081,976669
d. u1 = 5,5 ; r =
, S18 66,30642497
3,2 1  0,8 n
6. Tìm giá trị nguyên gần nhất cho n nếu
xấp xỉ bằng 15.
1  0,8
7. Xét dãy số u1 = 8 và un = 0,5 u n 1 với n  2. Tìm:



10

a.

 un
n 1

20

b.

 un
n 1



30

c.  u n
n 1

d. Giải thích điều gì sẽ xảy ra với các tổng riêng này khi bạn cộng nhiều số
hạng hơn.
8. Giả sử bạn bắt đầu một công việc với mức lương hằng năm 17500 USD. Mỗi
năm, bạn có thể mong đợi tăng lương 4,2%.
a. Mức lương của bạn trong năm thứ 10 là bao nhiêu sau khi bạn bắt đầu công
việc?
b. Tổng số tiền bạn kiếm được trong 10 năm là bao nhiêu?
c. Bạn phải làm công việc này bao lâu trước khi tổng thu nhập của bạn vượt
quá 1 triệu USD?
9. Một câu chuyện dân gian Ấn Độ, kể lại
bởi nhà sử học và địa lý học Ả Rập là

Ahmad al-Yaqubi ở thế kỷ thứ 9, bắt đầu,
"Nó có liên quan bởi những người đàn ông
thông thái của Ấn Độ khi Husiya, con gái
của Balhait, là hoàng hậu . . . ", và tiếp tục
cho biết các trò chơi cờ vua được phát
minh như thế nào. Hoàng hậu rất vui mừng
với các trò chơi mà bà nói với nhà phát
minh, "Hãy hỏi những gì ngươi muốn."
Nhà phát minh yêu cầu cho 1 hạt lúa mì vào ô vuông đầu tiên của bàn cờ, 2 hạt
vào ô thứ hai, 4 hạt vào ô thứ ba, và cứ như vậy, sao cho mỗi ô vuông chứa gấp
đôi số lượng các hạt trong ô vuông trước đó. (Có 64 ô vuông trên bàn cờ).
a. Bao nhiêu hạt cần có:
i. Cho ô vuông thứ 8?
iii. Cho hàng đầu tiên?
ii. Cho ô vuông thứ 64?
iv. Để lấp đầy bàn cờ?
b. Dùng ký hiệu sigma, viết chuỗi số bạn đã sử dụng để lấp đầy bàn cờ.

23


10. Là một người chiến thắng cuộc thi, bạn có sự lựa chọn của hai giải thưởng.
Sự lựa chọn đầu tiên các giải thưởng 1000 USD giờ đầu tiên, 2000 USD giờ thứ
hai, 3000 USD giờ thứ ba,... Đối với cả năm, bạn sẽ nhận được thêm 1000 USD
mỗi giờ hơn bạn đã được nhận trong giờ trước đó. Sự lựa chọn thứ hai các giải
thưởng 1 tuần đầu tiên, 2 tuần thứ hai, 4 tuần thứ ba, … Đối với cả năm, bạn sẽ
được tăng gấp đôi số tiền bạn nhận được trong tuần trước đó. Hai giải thưởng
nào sẽ được nhiều lợi nhuận hơn, và là bao nhiêu?
11. Xét chuỗi số hình học: 5 + 10 + 20 + 40 + · · ·
a. Tìm 7 tổng riêng đầu tiên, S1, S2, S3, . . . , S7.

b. Các tổng riêng có tạo ra một dãy số hình học không?
c. Nếu u1 là 5, tìm (các) giá trị của r sao cho các tổng riêng tạo thành một dãy
số hình học.
12. Xét chuỗi số :
8
1 1 1 1 1
1
      

1 2 3 4
8
n 1 n
a. Đây là chuỗi số số học, hình học, hay cả hai đều không phải?
b. Tìm tổng của chuỗi số này.
13. Liệt kê các số hạng để tìm:
7

a.

 n2
n 1

7

b.

n

2

n 3

14. 32 thành viên của đội cờ vua Greeley High sẽ có một giải đấu. Họ cần phải
quyết định xem liệu có một giải đấu vòng tròn tính điểm hay một giải đấu loại
trực tiếp. (Đọc phần kết nối giải trí.)
a. Nếu giải đấu vòng tròn tính điểm, bao nhiêu trận đấu cần phải được lên lịch
thi đấu?
b. Nếu đó là một giải đấu loại trực tiếp, bao nhiêu trận đấu cần phải được lên
lịch thi đấu?

 Kết nối giải trí
Trong việc thiết lập các giải đấu, ban tổ
chức phải quyết định kiểu chơi. Hầu hết các
chương trình thể thao nội bộ được thiết lập ở
dạng "vòng tròn tính điểm", trong đó mỗi người
chơi hoặc đội thi đấu với mỗi người chơi hoặc
đội khác. Lên lịch thi đấu là khác nhau cho số
lượng lẻ và số lượng chẵn của các đội, và nó có
thể gặp rắc rối nếu có một số lượng tối thiểu các
vòng đấu. Cách khác là giải đấu loại trực tiếp,
trong đó các đội hoặc những người chơi được
ghép đôi và chỉ có những người chiến thắng tiến
vào vòng tiếp theo. Đối với cách chơi này, khó
khăn lên lịch thi đấu nảy sinh khi số lượng ban
đầu của các đội không phải là một lũy thừa của 2.

24