Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh bình phước năm học 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM 2016
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28/03/2016

Câu 1 (5,0 điểm)
8 x +4
2− x
x −2
+
+
.
x + 2 x − 3 1− x
x +3
a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. Rút gọn biểu thức P.
b. Tính giá trị của biểu thức P khi x = 3 + 2 2 .
2. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
2
Q= 2
+
+ 4 xy + 2016 .
2
x +y
xy
Câu 2 (5,0 điểm)
1. Giải phương trình: 3 2 − x + x − 1 = 1.

 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
2. Giải hệ phương trình:  2
2
 x − y − 3x + 2 y − 10 = 0 .
2
3. Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = −2(m − 1) x + 2m + 5 cắt parabol ( P ) : y = x
2
2
tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho biểu thức: T = 12 − 10 x1 x2 − x1 − x2
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi D, E , F lần
lượt là chân các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC . Gọi H là
trực tâm của tam giác ABC , I là điểm đối xứng của O qua cạnh BC.
1. Chứng minh rằng H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF .
2. Chứng minh tứ giác AHIO là hình bình hành.
3. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại B, C cắt nhau tại Q, gọi P là giao
điểm của AQ và EF . Chứng minh rằng P là trung điểm của EF .
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm nằm trong tam giác ABC .
Gọi L, H , K lần lượt là chân đường vuông góc của M trên các cạnh AB, BC ,
CA. Tìm vị trí của điểm M để AL2 + BH 2 + CK 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (3,0 điểm)
2
2
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 3 x − 5 xy − 2 y − 4 x + 8 y + 3 = 0 .
2. Chứng minh rằng nếu a, b, c ∈ ¢ và a + b + c chia hết cho 6 thì a 3 + b3 + c3
chia hết cho 6.
- - - HẾT - - 1. Cho biểu thức: P =

1