Tài liệu bồi dưỡng học sinh môn toán lớp 7

Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Đề khảo sát
Cõu 1:

a, cho A = 4 + 22 + 23 + 24 + + 220

Hỏi A có chia hết cho 128 không?
b, Tính giá trị biểu thức

212.13 + 212.65
310.11 + 310.5
+
210.104
3 9 .2 4
Bài 2 :

a, Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32009

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục
bằng trung bình cộng của hai chữ số kia
Bài 3 :

Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) .

Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Bài 4 :

Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 ,

ƯCLN của chúng bằng 6.

Bài 5:

Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ;

OB = 6 cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .
So sánh AB với AC

1


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Hớng dẫn chấm
Bài

Hớng dẫn chấm
a, 2A A = 2 27
A128

Điểm
0.5
0.5

212.78
b, = 10
+
2 .104

0.5

21

1

2

3

4

=3+3 =6
a, Tìm đợc n = 2010
b, Gọi số phải tìm là abc theo bài ra ta có a + b +
c 9 và
2b = a + c nên 3b 9 b 3 vậy b { 0;3;6;9}
abc 5 c { 0;5}

0.5
1
0.5

Xét số abo ta đợc số 630
Xét số ab5 ta đợc số 135 ; 765
P có dạng 3k + 1; 3k + 2
k N
Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài
p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9 3
p + 8 là hợp số

0.5

Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a b) ta có (a,b) = 1 nên
a = 6a/ b= 6b/ trong đó (a/,b/) = 1 ( a,b,a/,b/N)
a/ + b/ = 14
a/
1
3
5
/
b
13
11
9
a
6
18
30
b
78
66
54

0.5

O

5

310.16
39.16

C

A

B

0.5
1

x

Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA< OB (4<6) nên
điểm A năm giữa O và B suy ra AB = OB OA
AB = 6 4 = 2 (cm)
Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC ( 2<3 )
nên điểm A năm giữa hai điểm B và C
Suy ra AC = BC BA = 3 2 = 1 (cm)
Vậy AB > AC ( 2 >1)

2

0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5
0.5

Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7
¤n tËp sè h÷u tØ sè thùc
PhÇn 1: Lý thut
1.
Céng , trõ , nh©n, chia sè h÷u tØ
a
m

b
( a,b,m ∈ Z m ≠ 0 )
m
a
b
a +
b
x +
y = + =
m
m
m
a
b
a −
b
x −
y = − =
m
m

m

Víi x= , y=

a
c
x =
, y =
(y ≠
0)
b
d
a
c
a.c
x. y =
.
=
b
d
b.d
a
c
a
d
a.d
x : y =
:
=
.

=
b
d
b
c
b.c

2,Gi¸ tri tut ®èi cđa mét sè h÷u tØ
+/ Víi x ∈ Q Ta cã
 x nếu x ≥ 0
x = 
 -x nếu x < 0

Nhận xét : Với mọi x ∈ Q, ta có:
x≥ 0, x = -xvà x≥ x
+/ Víi x,y ∈ Q Ta cã
x + y ≤ x + y ( DÊu b»ng x¶y ra khi cïng dÊu nghÜa lµ x.y ≥ 0 )
x − y ≥ x − y ( //
…..
//
)
PhÇn II: Bµi tËp vËn dơng
Bµi 1. Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
(

(

1
1
1

1
1 −3 −5 −7 −... −49
+
+
+... +
)
4.9
9.14 14.19
44.49
89

1
1
1
1
1 −3 −5 −7 −... −49
+
+
+... +
)
4.9
9.14 14.19
44.49
89

=

1 1 1 1 1
1
1

1
1 2 − (1 + 3 + 5 + 7 +... + 49)
( − + −
+
−
+... +
− ).
5 4 9 9 14 14 19
44 49
12

3


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
=

1 1
1
2 (12.50 +25)
5.9.7.89
9
(
).
=
=
5 4
49
89
5.4.7.7.89

28

Bi 2: Thc hin phộp tớnh:

A=

A=

212.35 46.9 2

( 2 .3)
2

6

+8 .3
4

5

212.35 46.9 2

( 2 .3)
2

6

+8 .3
4

5





510.73 255.49 2

( 125.7 )

3

+59.143

510.73 255.49 2

( 125.7 )

3

+59.143

10

212.35 212.34
510.73 5 .7 4
= 12 6
9 3
2 .3 +212.35
5 .7 +59.23.7 3

212.34. ( 3 1)
510.7 3. ( 1 7 )
= 12 5
9 3
2 .3 . ( 3 +1) 5 .7 . ( 1 +23 )

:

10
3
212.34.2 5 .7 . ( 6 )
= 12 5
2 .3 .4
59.7 3.9
1 10
7
=
=
6
3
2

Bài 3. a) Tìm x biết: 2x + 3 = x + 2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 + 2007 x Khi x thay đổi
Giải
a) Tìm x biết: 2x + 3 = x + 2
Ta có: x + 2 0 => x - 2.
+ Nếu x -

3

thì 2x + 3 = x + 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
2

+ Nếu - 2 x < => x = -

3
Thì 2x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2
2

5
(Thoả mãn)
3

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 + 2007 x Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013
4


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013
Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007
Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- GV: Gọi học sinh trình bày
Bi 4: Tỡm x bit:
a. x

1 4
2
+ = ( 3, 2 ) +
3 5
5

=0
b. ( x 7 ) ( x 7 )
- GV: Hớng dẫn giải a,
x +1

x

x +11

1 4
2
1 4 16 2
+ = ( 3, 2 ) + x + =
+
3 5
5
3 5
5
5

x

1 4 14
+ =

3 5 5

x 1 =2
1
x = 2 13
x =2
3
3

b)

x=2+ 1= 7
3 3

x=2+ 1= 5
3 3

x +1
x +11
( x 7) ( x 7) = 0
( x 7)

x +1

1 ( x 7 ) 10 = 0



5

Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7

( x 7)

( x +1)

1 ( x 7 ) 10 = 0



x 7 x +1=0

ữ


1( x 7)10 =0


x 7=010 x =7
( x 7) =1 x=8
1,11 + 0,19 1,3.2 1 1
( + ):2
2, 06 + 0,54
2 3
Bài tập về nhà : Bài 1,Cho
7
1
23
B = (5 2 0,5) : 2

8
4
26
A=

a, Rút gọn A và B
b, Tìm x Z để A < x < B.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M= x 2002 + x 2001

6


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.

Chuyên đề:

CI.Lý thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x Q Ta có
x neỏu x 0
x =
-x neỏu x < 0
2, Tính chất : Vụựi moùi x Q, ta coự:
x 0, x = -xvaứ x x
+/ Với x,y Q Ta có
x + y x + y ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y 0 )
x y x y ( //
..

//
)
II.Bài tập
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
1

a, A= 3x2- 2x+1 với x= 2
Ta có x=

1
1
1
suy ra x= hoặc x=
2
2
2
1

3

HS tính giá trị trong 2 trờng hợp +/ Với x= 2 thì A= 4
1

11

+/ Với x= 2 thì A= 4
b, B= 6 x 3x + 2 x + 4 với x= -2/ 3
c, C= 2 x 3 y với x=1/2 và y=-3
d, D= 2 x 2 3 1 x với x=4
3

2

1
5x2 7 x + 1
e, E=
với x= (về nhà )
2
3x 1

Tơng tự phần a giáo viên yêu cầu học sinh làm và chữa phần b và c
KQ:

B=20/ 9
C= -8
D = -5
Bài 2: Tìm x biết
a,

x 7 + 2x + 5 = 6

x 7 =1-2x

Do x 7 0 với mọi x nên xét với 1 2x 0 x

7

1
2

Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Trờng hợp 1:

x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=


8
(loại do không thoả mãn điều kiện x
3

1
)
2

Trờng hợp 2:
x 7 = 2x -1 x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)
b, 2 x 3 x = 2 x
c, x + 3 + x + 1 = 3x
GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày
Bài 3:
Tìm x và y biết
1
2
b, 7,5 3 5 2 x = 4,5

a, 2 2 x 3 =

c, 3x 4 + 5 y + 5 = 0
GV: Tổ chức cho học sinh làm bài

Học sinh lên bảng trình bày
Bài 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a, A= 3, 7 + 4,3 x
Ta có
4,3 x 0 với mọi x
4,3 x + 3, 7 3, 7 Hay A 3, 7
4,3 x = 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4,3 x = 0
x = 4,3

Vậy giá tri nhỏ nhất của A= 3,7 khi x= 4,3
Tơng tự giáo viên cho học sinh làm phần b, c
b, B= 3x + 8, 4 24, 2
c, C= 4 x 3 + 5 y + 7,5 + 17,5
Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a, D = 5,5 2 x 1,5
b, E = 10, 2 3 x 14
c, F = 4 5 x 2 3 y + 12

`
8


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7

Chuyên đề:Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Lý thuyết

1/ Định nghĩa
+/ Với x Q Ta có
x neỏu x 0
x =
-x neỏu x < 0
2, Tính chất
Vụựi moùi x Q, ta coự:
x 0, x = -xvaứ x x
+/ Với x,y Q Ta có
x + y x + y ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y 0 )
x y x y ( //
..
//
)
II. Bài tập :
Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a = |a|;
b) a < |a|;
c) a > |a|;
d) |a| = - a;
e) a |a|.
Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng:
a) |a| = |b| a = b; b) a > b |a| > |b|.
Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
a) x2y > 0;
b) x + y = 0;
c) xy < 0;
d)

1 1

= 0;
x y

d)

x
+ 1 = 0.
y

Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3.
b) C = 2|x 2| - 3|1 x| với x = 4;
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) |a| + a;
b) |a| - a;
c) |a|.a;
d) |a|:a;
e) 3(x 1) 2|x + 3|;
g) 2|x 3| - |4x - 1|.
Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau:
a) |2x 3| = 5;
b) |2x 1| = |2x + 3|;
c) |x 1| + 3x = 1;
d) |5x 3| - x = 7.
Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b = |a| + |b|;
b) a + b = |b| - |a|.
Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) |x| + |y| = 20;
b) |x| + |y| < 20.

Bài 9: Điền vào chỗ trống () các dấu , , = để các khẳng định sau đúng với mọi
a và b.
Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu
9


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
đẳng thức ?
a) |a + b||a| + |b|;

b) |a b||a| - |b| với |a| |b|;

c) |ab||a|.|b|;

d)

a |a|
...
.
b |b|

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 2|3x 2| - 1;
b) B = 5|1 4x| - 1;
2
c) C = x + 3|y 2| - 1; d) D = x + |x|.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A = 5 - |2x 1|;

b) B =

1
;
| x 1 | +3

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.
Bài 13: Cho |a c| < 3, |b c| < 2. Chứng minh rằng: |a b| < 5.
Bài 14: Đa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A = |2x + 1| + |x - 1| - |x 2|.

10


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7

Chuyên đề:Luỹ thừa của số hữu tỉ
A--Lý thuyết
n
1, x m . x n =
x m+
n
2, x m : x n =
x m
(x
0, m
n)

3, ( x m ) n =
x m.n
4, ( x. y ) m =

xm. y m
x m
xm
5, (
)
= m (y
0)
y
y
1
n
6,
=
a
n
a
GV: Cho học sinh ghi lại nội dung các công thức
B Bài tập
Bài 1:
a,Có thể khẳng định đợc x2 luôn luôn lớn hơn x hay không ?
1
2

Không khẳng định đợc nh vậy chẳng hạn x=1/2 thì ( ) 2 <

1
2

b, Khi nào x2< x
x2< x x 2 x < 0 x( x 1) < 0 xảy ra nếu x và x-1 trái dấu

Vì x-1 < x nên x-1 < 0 và x > 0 suy ra 0 < x <1
Vậy 0 < x <1 thì x2 < x
Bài 2: Tính
a, (32 ) 2 (23 ) 2 (52 ) 2
1
1
1

b, 23 + 3.( ) 0 ( ) 2 .4 + (2) 2 : : 8
2
2
2

1
c, (4.25 ) : (23. )
16

GV : Yêu cầu học sinh làm và gọi học sinh lên bảng trình bày
Bài 3: Thực hiện phép tính :
1 2
1
1
a- 6. 3. + 1 : ( 1
3
3
3
3

b-

)

2

2 3
2003
. .( 1)
3
4


2
3
2 5
.
5 12

? Hãy nêu thứ tự thực hiện phép tính
GV: yêu cầu học sinh làm bài , gọi học sinh trình bày
11


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Bài 4: Tính
a,
b,

( )

0

8
3 4 1 15 1 6
7 . 15 + 3 . 9 . 3 . 12 4
10 4.81 16.152
4 4.675

Gv: Hớng dẫn học sinh giải
0

( )

3 4 1 15 1 68
1 2 8 .3 8

a,
=1.
.
7 . 15 + 3 . 9 . 3 . 12 4
3 2 8 .3 4
= 35

Bài 5:

10 4.81 16.152
2 4.5 4.3 4 2 4.3 2.5 2 2 4.3 2.5 2 (5 2.3 2 1)
b,
=
=
=.

2 8.33.5 2
2 8.33.5 2
4 4.675
124
2
2 5.7 14
=4
= 4 = 4 =
3
2 .3 2 .3 3
a,Tính tổng A

= 1+5+52+53+ +52008+52009

b , B= 2100-299+298-297+..+22
suy ra 2B = 2101-2100+299-298++23-22suy ra
2B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3
C, Bài tập về nhà
Bài 1: Chứng minh rằng: 76 + 75 74 chia hết cho 55
Bài 2: Tính tổng C = 3100- 399 + 398 - 397 +. +32 - 3 + 1
Bài 3: Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x2 + x4 + x6 + x8 + + x100

12


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7

Chuyên đề : LY THA CA MT S HU T (Tiếp theo)
I. Mục tiêu.
Kiến thức: Nắm đợc các kiến thức, quy tắc và công thức cơ bản về biến đổi
các lũy thừa của một số hữu tỉ và một số kiến thức bổ sung nâng cao
Biết vận dụng linh hoạt các công thức, kiến thức để biến đổi các biểu thức
lũy thừa của một số hữu tỉ trong quá trình làm bài tập
Kỹ năng :- Có kĩ năng thành thạo trong việc biến đổi các lũy thừa và trình
bày chính xác khoa học một biểu thức có chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu
thức có cả lũy thừa qua đó có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài
II. Chuẩn bị :
Giáo án bồi dỡng học sinh giỏi toán 7
Các tài liệu, t liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề
III. Tiến trình tiết dạy:
Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính
cộng, trừ,
nhân, chia.
Bài 2: Tính:
a) (0,25)3.32;

b) (-0,125)3.804;

c)

82.45
;
220

d)

8111.317
.
2710.915

Bài 3: Cho x Q và x 0. Hãy viết x12 dới dạng:
a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x9 ?
b) Luỹ thừa của x4 ?
c) Thơng của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x15 ?
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)(1.9.9.9);
b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )(1000 503).
Bài 5: Tính giá trị của:
a) M = 1002 992 + 982 972 + + 22 12;
b) N = (202 + 182 + 162 + + 42 + 22) (192 + 172 + 152 + + 32 + 12);
c) P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x 1)3 = 27; b) x2 + x = 0;
c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x 3)2 =
36;
e) 5x + 2 = 625;
f) (x 1)x + 2 = (x 1)x + 4;
g) (2x 1)3 = -8.
1 2 3 4 5 30 31
. ... .
= 2 x;
4 6 8 10 12 62 64

h) . . .

Bài 7: Tìm số nguyên dơng n biết rằng:

a) 32 < 2n < 128; b) 2.16 2n > 4; c) 9.27 3n 243.
Bài 8: Cho biểu thức P = ( x 4)( x 5)
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
( x 6 )( x +6)

( x +5)

13


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Bài 9: So sánh:
a) 9920 và 999910; b) 321 và 231;
c) 230 + 330 + 430 và 3.2410.
Bài 10: Chứng minh rằng nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và
y nào ta
cũng có: ax + b2 2x4y4 = 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + + 299 + 2100 = 2101 1.
Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phơng của một số tự nhiên và đợc viết
bằng các
chữ số 0; 1; 2; 2; 2.

14


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7

Chuyên đề: BIU THC I S (Tit 1)
I.
Mục tiêu

Kiến thức : Nắm đợc các kiến thức liên quan để giải các dạng toán cơ bản nhất :
Tính giá trị của một biểu thức. Thực hiện phép tính một cách hợp lý. Bài
toán về dãy có quy luật
Một số bài toán khác về biểu thức đại số
Kĩ năng : Giải đợc hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán cơ bản. Biết vận
dụng vào các bài toán khác tơng tự. Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và tổng
quát hóa cho các bài toán
Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài. Cẩn thận, cầu tiến,
không nao núng khi làm bài
IIChuẩn bị:
GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đa ra các bài
tập đầy đủ và đa dạng
Hsinh: - Ôn tập kiến thức cũ có liên quan .
III.Tiến trình tiết dạy:
Phần 1 . Một số dạng chính
Dạng 1
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo
quy luật
A- Kin thc cn nm vng:
B- Bi tp ỏp dng
I. Dãy số cộng
Bi 1: Tỡm ch s th 1000 khi vit liờn tip lin nhau cỏc s hng ca dóy s l
1; 3; 5; 7;...
Bi 2: a) Tớnh tng cỏc s l cú hai ch s
b) Tớnh tng cỏc s chn cú hai ch s
c) Tớnh: S = 1 + 3 + 5 + L + 2n + 1 vi (n N )
d) Tớnh: S = 2 + 4 + 6 + L + 2n vi (n N * )
Bi 3: Cú s hng no ca dóy sau tn cựng bng 2 hay khụng?
1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4;...

Hớng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng:

n(n + 1)
2

Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4.
Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6.
Bi 4: a) Vit liờn tip cỏc s hng ca dóy s t nhiờn t 1 n 100 to thnh mt
s A. Tớnh tng cỏc ch s ca A
b) Cng hi nh trờn nu vit t 1 n 1000000
Hng dn: a) ta b sung thờm ch s 0 vo v trớ u tiờn ca dóy s (khụng lm
thay i kt qu). Tm cha xột s 100. T 0 n 99 cú 100 s, ghộp thnh 50
15


Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7
cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18. Tổng các
chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1.
ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
S1 = 1 + 2,

S 2 = 3 + 4 + 5,

Bài 5: Cho S3 = 6 + 7 + 8 + 9,
S 4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14,
...

Tính S100 ?
Hướng dẫn: Số số hạng của S1,..., S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100

ĐS: S100 = 515100
Bài 6: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố 7 với số
mũ băng bao nhiêu?
Bài 7: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8; ...
b) 1.4; 4.7; 7.10;...
Bài 8: Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 320 ; B = 321 : 2
Tính B − A
Bài 9: Tính các tổng sau:
A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22007

B = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2 n

C = 1 + 2 2 + 2 4 + ... + 2 2008

D = 1 + 22 + 24 + ... + 22 n

E = 2 + 23 + 25 + ... + 22007

F = 2 + 23 + 25 + ... + 22 n +1

Bài 10: Tổng quát của bài 8
Tính : a) S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )
b) S1 = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + ... + a 2 n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )
c) S2 = a + a 3 + a 5 + ... + a 2 n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * )
Bµi 11: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 , B = 4100 . Chứng minh rằng: A <
Bài 12: Tính giá trị của biểu thức:
a ) A = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
123
50 ch÷ sè

b) B = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
123
200 ch÷ sè

16

B
.
3


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo
quy luật ( tiếp )
II. Dãy phân số có quy luật
1. Cỏc cụng thc cn nh n khi gii cỏc bi toỏn v dóy cỏc phõn s vit theo
qui lut:
1

1

1

1) n(n + 1) = n n + 1 .
k
1
1
= k ì
ữ.

n(n + 1)
n n +1
1
1 1
1
= ì
3)
ữ.
n( n + k ) k n n + k
k
1
1
=
4)
ữ.
n( n + k ) n n + k
1
1
1 1
1 1 1
1
=
= ì
5)
ữ = ì
ữ.
2n(2n + 2) 4n(n + 1) 2 2n 2n + 2 4 n n + 1
1
1 1
1

= ì

6)
ữ.
(2n + 1)(2n + 3) 2 2n + 1 2n + 3
1
1
1
7) n.(n + 1) < n 2 < (n 1).n .
(Trong ú: n, k N , n > 1 )

2)

2. Bi tp
T MT BI TON TNH TNG
Chỳng ta cựng bt u t bi toỏn tớnh tng rt quen thuc sau :
Bi toỏn A :
Tớnh tng :
Li gii :

Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bi toỏn khú hn
chỳt xớu.
Bi 1 : Tớnh tng :

17


Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược.
Bài 2 : Tìm x thuộc N biết :

Hơn nữa ta có :
ta có bài toán
Bài 3 : Chứng minh rằng :

Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :
không phải là số nguyên.
Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và
khác nhau thì
Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau :
Bài 5 : Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho
Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa mãn
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 7 : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < ... < a44 <
a45 và
Các bạn còn phát hiện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ?
Bài toán 2: Tính nhanh:
1 1 1 1
1 1
+ 3 + 4 +L+ 7 + 8 .
2
3 3 3 3
3 3
1 1 1 1
1
1
b) B = + 2 + 3 + 4 + L + 2007 + 2008 .
3 3 3 3
3

3

a) A = +

18


Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7
1 1 1 1
1
1
+ 3 + 4 + L + n −1 + n ; n ∈ N ∗ .
2
3 3 3 3
3
3

c) C = +

Bài toán 3: (Bài toán tổng quát của bài toán 2)
1
a

Tính nhanh: S = +

1 1 1
1
1
+ 3 + 4 + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) .
2

a a a
a
a

Bài toán 3: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy saug:
a)

1
1
1
1
;
;
;
;...
1.2 2.3 3.4 4.5

1
6

b) ;

1
1
1
;
;
,...
66 176 336

Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đó số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1).
Bài toán 4: Tính tổng:
1
1
1
1
+
+
+L +
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1
1
1
1
+
+
+L +
b) S =
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
2006.2007.2008
1
1
1
1
∗
c) S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + L + n.( n + 1).(n + 2) ; (n ∈ N ) .

a) S =

Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức:
1 1
1
1
1+ + +L + +
3 5
97 99
a) A = 1
1
1
1
1 .
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
1 1 1
1
1
+ + +L + +
99 100
B= 2 3 4
99 98 97
1 .
+ + +L +

1
2
3
99

b)

Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
(1 +

1
1 1
1 1
1 1
100 100 100
100
) + ( + ) + ( + ) +L+ ( + ) =
+
+
+L
99
3 97
5 95
49 51 1.99 3.97 5.95
49.51

Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.

100 − 1 100 − 2 100 − 3

100 − 99
+
+
+L+
=
1
2
3
99
100   1 2 3
99 
 100 100 100
b) Biến đổi số chia: =  1 + 2 + 3 + L + 99 ÷ −  1 + 2 + 3 + L + 99 ÷ =
1 
1
1 
1 1
1 1
= 100 + 100  + + L + ÷− 99 = 1 + 100  + + L + +
÷
99 
99 100 
2 3
2 3
1
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B =
.
100

Bài toán 6: Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy:

1 1
1
1
1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...
3 8 15 24 35

Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên của dãy được viết dưới dạng:
19


Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7
4 9 16 25 36
; ;
;
;
;...
3 8 15 24 35
22 32
4 2 52
62
;
;
;
;
;...
Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7
992
.
98.100

22 32 42 52 62
992
99
A=
× × × × L
=
Ta cần tính:
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50

Do đó số hạng thứ 98 có dạng

1
2

1
3

Bài toán 7: Cho A = 1 + + + L +

1
. Hãy chứng minh rằng A không phải là số
100

tự nhiên.
Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu các phân số của A ta chọn mẫu chung là tích của 26
với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k1, k2, …, k100 là các thừa số phụ tương ứng,
tổng A có dạng:
B=

k1 + k 2 + L + k n

. Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số 1/64
2 6.3.5.7.9...99

có mẫu chứa 26 nên trong các thừa số phụ k1,..., k100 chỉ có k64 là số lẻ, còn các
thừa số phụ khác đều chẵn.
1
2

1
3

1
n

Bài toán tổng quát của bài toán 7: Cho A = 1 + + + L + . Hãy chứng minh rằng
A không phải là số tự nhiên.

20


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Dãy Số viết theo qui luật - Dãy các phân số viết theo qui
luật ( tiếp )
Phần 2 . Các dạng khác.
Các bài toán
n +1

Bi 2: Tớnh a) ( 22 ) (2

2)

b)

5
ữ
7 (n 1)
c)
n
5
ữ
7

814
412

224 v 316

Bi 2: So sỏnh

Bi 3: Tớnh giỏ tr biu thc
a)

4510.510
7510

( 0,8)
b)
( 0, 4 ) 6
5

c)

215.94
63.83

d)

810 + 410
84 + 411

Bài 1: Khai triển các tích sau:
a) (x 2)(y + 3);
1

3



3

2 10 x 27

b) x + 5 ữ y 1ữ; c) x + y ữ
.
3
7
2
2

5

Bài 3: Viết các tổng sau thành tích:
a) ax2 - bx2 + bx - ax + a - b; b) y2 5y + 6;
c) x2 - 7x + 12;
d) 2a2 + 4a + 2.
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
M = ax + ay + bx + by + x + y biết x + y = -9/4 và a + b = 1/3;
N = ax + ay - bx - by - x - y biết x - y = -1/2 và a - b = 1/2.
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
P=

1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
++
3.10
10.17 17.24
73.80 2.9 9.16 16.23 23.30

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
Q=

1
1

1
1
1
1
+
++
1.3 2.4 3.5 4.6
97.99 98.100

Bài 7: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị bằng 0:
1 1
1
1 1
1


x x + ữ x
x x ữ x +
C = 2 5 10 2 3 6
ì
3
5

Bài 8: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên:
21


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
K=

3x ( x + y ) 6 ( x + y ) + 1
x2

Bài 9: Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
H=

1996x + 1
1997x 1997

Bài 10: Tìm mối quan hệ giữa các số nguyên a; b; c (b 0; c 0) để có đẳng
thức sau:
a a
a
=
b c b.c

Bài 2: Tính:
a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c)

82.45
8111.317
;
d)
.
220
2710.915

Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)(1.9.9.9);
b)B=(1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)(1000 - 503)

Bài 5: Tính giá trị của:
M = 1002 992 + 982 972 + + 22 12;
N = (202 + 182 + 162 + + 42 + 22) (192 + 172 + 152 + + 32 + 12);
P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x 1)3 = 27; b) x2 + x = 0;
c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x 3)2 = 36;
e) 5x + 2 = 625;
f) (x 1)x + 2 = (x 1)x + 4;
g) (2x 1)3 = -8.

1 2 3 4 5 30 31
. ... .
= 2 x;
4 6 8 10 12 62 64

h) . . .

Bài 7: Tìm số nguyên dơng n biết rằng:
a) 32 < 2n < 128;
b) 2.16 2n > 4;
c) 9.27 3n 243.
Bài 8: Cho biểu thức P = ( x 4)( x 5)
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 9920 và 999910; b) 321 và 231;
c) 230 + 330 + 430 và 3.2410.
Bài 10: Chứng minh nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và y
nào ta cũng có:
ax + b2 2x4y4 = 0 ?

Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + + 299 + 2100 = 2101 1.
( x +5)
( x 6)( x + 6)

22


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
Chuyên đề: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
I. Mục tiêu
Kiến thức :- Nắm đợc các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy tỉ
số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp
Kỹ năng :- Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ số bằng nhau
trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn thiện kĩ năng trình bày khoa học
sáng sủa và đúng khi đứng trớc một bài tập đã biết đợc đờng lối giải quyết
Thái độ :- Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong
những chuyên đề quan trọng nhất của chơng trình toán 7 từ đó có thái độ nghiêm
túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề
II. Chuẩn bị :
Giáo án bồi giỏi toán 7
Các tài liệu t liệu su tập qua sách báo, hội thảo chuyên môn
III. Tiến trình tiết dạy :
Bài 1: Cho tỉ lệ thức
a)

a+b c+d
=
;
b
d

a c
= . Chứng minh rằng:
b d
a b cd
=
b)
;
b
d

Bài 2: Tìm hai số x và y biết:
a)

x 7
= và 5x 2y = 87;
y 3

b)

x
y
=
và 2x y = 34;
19 21

Bài 3: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c 7b = 30.
Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng:
x y y z
= ; = và 2x + 3y z = 186;

3 4 5 7
2x 3y 4z
=
=
c) 3x = 2y; 7y = 5z và x y + z = 32; d)
và x + y + z = 49;
3
4
5
x 1 y 2 z 3
=
=
e)
và 2x + 3y z = 50;
2
3
4

a)

x y z
= =
và 5x + y 2z = 28;
10 6 24

b)

Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a)

x y z
= = và xyz = 810;
2 3 5

b)

Bài 6: Tìm các số x; y; z biết rằng:

x 3 y3
z3
=
=
và x2 + y2 + z2 = 14.
8 64 216

y + z +1 x + z + 2 x + y 3
1
=
=
=
;
x
y
z
x+y+z
1 + 2y 1 + 4y 1 + 6y
2x + 1 3y 2 2x + 3y 1
=
=
=

=
b)
;
c)
18
24
6x
5
7
6x

a)

23


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7
a
b
c
,
,
. Tìm giá trị của mỗi tỉ số
b +c c +a a +b
a
c
2a +13b 2c +13d
=
. Chứng minh rằng: = .
3a 7b

3c 7d
b
d
a
c
= ; Chứng minh rằng:
b
d
7a 2 + 3ab
7c 2 + 3cd
=
b)
.
11a 2 8b 2 11c 2 8d 2
bz cy cx az ay bx
=
=
:
. Chứng minh rằng:
a
b
c

Bài 7: Cho ba tỉ số bằng nhau:
Bài 8: Cho tỉ lệ thức:
Bài 9: Cho tỉ lệ thức:
a)

5a + 3b 5c + 3d
=

;
5a 3b 5c 3d

Bài 10: Cho dãy tỉ số
x
y
z
= =
a
b
c

.

Bài 11: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4.
a13 + a 32 + a 33 a1
Chứng minh rằng: 3 3 3 = .
a2 + a3 + a 4 a 4

Bài 12*: Cho tỉ lệ thức :

a 2 +b 2
ab
=
2
2
c +d
cd

. Chứng minh rằng:

24

a
c
=
b
d

.

đó ?


Giáo án : Bồi dỡng học sinh giỏi lớp7

Chuyên đề: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (Tiếp theo)
I. Mục tiêu
Kiến thức : - Nắm đợc các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy
tỉ số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp
Kỹ năng : - Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ số bằng nhau
trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn thiện kĩ năng trình bày khoa học
sáng sủa và đúng khi đứng trớc một bài tập đã biết đợc đờng lối giải quyết
Thái độ : - Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong
những chuyên đề quan trọng nhất của chơng trình toán 7 từ đó có thái độ nghiêm
túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề
- II. Chuẩn bị :
Giáo án bồi giỏi toán 7
Các tài liệu t liệu su tập qua sách báo, hội thảo chuyên môn
II. Tiến trình tiết dạy :

Bài 1: Tìm phân số

a
b

biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu

thì giá trị
của phân số đó không thay đổi ?
Mở rộng: Với một phân số bất kỳ
y.

a
b

ta cộng thêm vào a số x, cộng thêm vào b số

Hãy tìm quan hệ của x và y để giá trị của phân số
?
Bài 2: Cho

a b c
= = ;
b c a

a
b

không thay đổi sau khi cộng

CMR: a = b = c; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.

Bài 3: Cho ba tỉ số bằng nhau:

a
b
c
,
,
.
b +c c +a a +b

Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

a
c
= ; Chứng minh rằng :
b
d
5a + 3b 5c + 3d
7a 2 + 3ab
7c 2 + 3cd
=
=
a)
;
b)
.
2
2

5a 3b 5c 3d
11a 8b
11c 2 8d 2
a
c
2a +13b 2c +13d
=
5: Cho tỉ lệ thức:
; Chứng minh rằng: = .
3a 7b
3c 7d
b
d
3
a
b
c
a +b +c
a
6: Cho b = c = d . CMR:
ữ = ; với giả thiết các tỉ số đều có
d
b +c +d
a
a
a3
a 2008
7: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a 1 = a 2 = a = ... = a
2
3

4
2009

Bài 4: Cho tỉ lệ thức:

Bài
Bài
Bài

CMR: Ta có đẳng thức:

a1
a 2009

2008

a + a 2 + a 3 +... + a 2008
= 1
ữ
a 2 + a 3 + a 4 +... + a 2009

Bài 8: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4.
a13 + a 32 + a 33 a1
Chứng minh rằng: 3 3 3 = .
a2 + a3 + a 4 a 4

25

nghĩa.