Hệ thống bán hàng đợi và bài toán mô phỏng hoạt động kiểm soát nhập cảnh của cửa khẩu sân bay quốc tế nội bài

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
--------&&&--------

NGUYỄN THẾ TÙNG

HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI VÀ BÀI TOÁN MÔ PHỎNG
HOẠT ĐỘNG KIỂM SOÁT XUẤT NHẬP CẢNH
CỦA CỬA KHẨU SÂN BAY QUỐC TẾ NỘI BÀI

LUẬN VĂN THẠC SỸ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Hà Nội, 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
--------&&&--------

NGUYỄN THẾ TÙNG

HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI VÀ BÀI TOÁN MÔ PHỎNG
HOẠT ĐỘNG KIỂM SOÁT XUẤT NHẬP CẢNH
CỦA CỬA KHẨU SÂN BAY QUỐC TẾ NỘI BÀI
Chuyên ngành: Kỹ thuật Phần mềm
Mã số: 60 48 01 03

LUẬN VĂN THẠC SỸ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
Người hướng dẫn khoa học

Chủ tịch hội đồng

TS. Lê Quang Minh

PGS.TS. Lê Sỹ Vinh

Hà Nội, 2015


1

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi thực hiện, được hoàn thành trên cơ sở
tìm kiếm, thu thập, nghiên cứu, tổng hợp phần lý thuyết và các phương pháp kĩ thuật
được trình bày trong các tài liệu được công bố trong nước và trên thế giới. Các tài liệu
tham khảo đều được nêu ở phần cuối của luận văn. Luận văn này không sao chép
nguyên bản từ bất kì một nguồn tài liệu nào khác.
Nếu có gì sai sót, tôi xin chịu mọi trách nhiệm.


2

MỤC LỤC
Chương 1 GIỚI THIỆU ...........................................................................................................................7
1.1. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu ................................................................................................8
1.2. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................................8
1.3. Kết quả đạt được .........................................................................................................................8
1.4. Cấu trúc luận văn ........................................................................................................................9
Chương 2 TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI ................................................................... 10

2.1. Vai trò của lý thuyết hàng đợi. ................................................................................................ 10
2.2. Khái quát về hệ thống hàng đợi .............................................................................................. 10
2.2.1. Các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng đợi ...................................................... 10
2.2.2. Các tham số đặc trưng của một hệ thống hàng đợi ........................................................ 12
2.2.3. Kí hiệu Kendall A / B / m / K / n / D ................................................................................ 13
2.2.4. Luật Little .......................................................................................................................... 14
2.3. Một số phân phối xác suất quan trọng ................................................................................... 15
2.3.1. Phân phối Bernoulli............................................................................................................ 15
2.3.2. Phân phối nhị thức.............................................................................................................. 16
2.3.3. Phân phối đa thức ................................................................................................................ 16
2.3.4. Phân phối Poisson ............................................................................................................... 16
2.3.5. Phân phối Erlangian (Gamma) ............................................................................................ 17
2.4. Một số mô hình hàng đợi cơ bản ............................................................................................. 19
2.4.1. Hệ thống hàng đợi cổ điển M/M/1 ..................................................................................... 19
2.4.2. Hệ thống hàng đợi M/M/m ................................................................................................. 21
2.4.3. Hệ thống hàng đợi M/M/1/K .............................................................................................. 22
2.4.4. Hệ thống hàng đợi M/M/m/K ............................................................................................. 24
Chương 3 NGHIÊN CỨU CÔNG CỤ MÔ PHỎNG HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI GPSS WORLD ....... 28
3.1. Các hướng tiếp cận mô phỏng .................................................................................................... 28
3.2. Giới thiệu một số công cụ và ngôn ngữ mô phỏng ................................................................... 29
3.3. Ngôn ngữ mô phỏng GPSS ....................................................................................................... 29
3.3.1. Giới thiệu về ngôn ngữ GPSS ............................................................................................. 29
3.3.2. Những điểm nổi bật của ngôn ngữ GPSS ............................................................................ 30
3.3.2.1. Cung cấp các hàm phân phối xác suất có sẵn ............................................................... 31
3.3.2.2. Cung cấp khả năng xử lý đa nhiệm, đa luồng với các mức ưu tiên khác nhau .............. 31
3.3.3. Các ứng dụng của công cụ mô phỏng GPSS World ............................................................ 32
3.3.4. Một số khái niệm trong GPSS World.................................................................................. 32
3.3.5. Các thực thể trong GPSS ..................................................................................................... 34

3
3.3.5.1. Các thực thể động .......................................................................................................... 35
3.3.5.2. Các thực thể khối .......................................................................................................... 35
3.3.5.3. Các thực thể thiết bị...................................................................................................... 35
3.3.5.4. Các thực thể tĩnh ........................................................................................................... 36
3.3.5.5. Các thực thể tính toán .................................................................................................. 36
3.3.5.6. Các thực thể lưu trữ ..................................................................................................... 36
3.3.5.7. Các thực thể nhóm........................................................................................................ 37
3.3.6. Cú pháp lệnh trong GPSS.................................................................................................... 37
3.3.7. Các khối cơ bản trong GPSS ............................................................................................... 38
3.3.7.1. Các khối làm việc với các giao tác ............................................................................... 39
3.3.7.2. Các khối làm việc với Facilities ................................................................................... 41
3.3.7.3. Các khối làm việc với QUEUE .................................................................................... 42
3.3.7.4. Các khối dùng để điều khiển dịch chuyển của các giao tác ......................................... 43
3.3.8. Một số hàm thư viện............................................................................................................ 44
3.3.9. Các bước phân tích và mô phỏng bài toán trên GPSS World ............................................. 44
Chương 4 ỨNG DỤNG CÔNG CỤ MÔ PHỎNG VÀO MÔ PHỎNG HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI
THỰC TẾ .............................................................................................................................................. 48
4.1. Phát biểu bài toán ....................................................................................................................... 48
4.2. Phân tích bài toán ....................................................................................................................... 49
4.3. Phân tích kết quả bài toán bằng lý thuyết hàng đợi .................................................................... 50
4.3.1. Thời điểm có lưu lượng khách trung bình ........................................................................... 50
4.3.2. Thời điểm có lưu lượng khách đông ................................................................................... 51
4.4. Mô phỏng bài toán bằng công cụ mô phỏng GPSS World ........................................................ 51
4.4.1. Mô phỏng tại thời điểm có lưu lượng khách trung bình...................................................... 51
4.4.2. Mô phỏng tại thời điểm có lưu lượng khách đông .............................................................. 54
4.5. Thực hiện mô phỏng với giá trị tham số khác nhau ................................................................... 54
4.5.1. Thời điểm có lưu lượng khách trung bình ........................................................................... 54
4.5.2. Thời điểm có lưu lượng khách đông ................................................................................... 55
4.5.3. Thực hiện mô phỏng để dự báo nhu cầu trong tương lai..................................................... 56

4.6. Đánh giá kết quả mô phỏng........................................................................................................ 58
Chương 5 KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 60
5.1. Kết luận ...................................................................................................................................... 60
5.2. Hạn chế và kiến nghị .................................................................................................................. 61


4

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu

Tiếng Anh

Giải thích theo tiếng Việt

CEC

Current Event Chain

Chuỗi sự kiện hiện tại

GPSS

General Purpose Simulation System

Ngôn ngữ mô phỏng hệ thống GPSS

FEC

Future Event Chain

Chuỗi sự kiện tương lai

PLUS

Programming Language Under
Simulation

Ngôn ngữ chương trình dựa trên mô phỏng

Ký hiệu

Giải thích theo tiếng Việt

KSV

Kiểm soát viên

SBQT

Sân bay quốc tế

XNC

Xuất nhập cảnh


5

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Các tham số đặc trưng trong hệ thống hàng đợi ..........................................
Bảng 2.2. Các thành phần trong kí hiệu Kendall .........................................................
Bảng 2.3. Một số hàm phân phối xác suất trong ký hiệu Kendall................................
Bảng 3.1. Một số khối cơ bản làm việc với giao tác ....................................................
Bảng 3.2. Một số khối cơ bản làm việc với thiết bị .....................................................
Bảng 3.3. Một số khối cơ bản làm việc với QUEUE ...................................................
Bảng 3.4. Một số khối cơ bản điều khiển dịch chuyển của giao tác ............................
Bảng 4.1. Kết quả mô phỏng tại thời điểm có lưu lượng khách trung bình .................
Bảng 4.2. Kết quả mô phỏng tại thời điểm có lưu lượng khách đông .........................
Bảng 4.3. Kết quả mô phỏng với số lượng khách trung bình theo ngày ......................
Bảng 4.4. Dự báo số lượng hành khách XNC trong tương lai .....................................
Bảng 4.5. Kết quả mô phỏng dự báo nhu cầu trong tương lai .....................................


6

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 2.1. Các thành phần cơ bản của một hàng đợi .....................................................
Hình 2.2. Đồ thị hàm mật độ Erlang có n mức………………………………………..
Hình 2.3. Mô hình hàng đợi M/M/1 .............................................................................
Hình 2.4. Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/1 ..........................................
Hình 2.5. Mô hình hệ thống M/M/1/K .........................................................................
Hình 2.6. Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/1/K ......................................
Hình 2.7. Mô hình hệ thống M/M/m ............................................................................
Hình 2.8. Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/m .........................................
Hình 2.9. Mô hình hệ thống M/M/m/K ........................................................................
Hình 3.1. Mối quan hệ giữa các đối tượng ...................................................................
Hình 3.2. Minh họa một segment .................................................................................
Hình 3.3. Mô hình một chương trình mô phỏng hệ thống hàng đợi đơn giản .............
Hình 3.4. Minh họa chương trình mô phỏng trong GPSS World...................................

Hình 4.1. Quy trình kiểm soát XNC……………………………………………….......
Hình 4.2. Mô hình Hệ thống kiểm soát XNC tại SBQT Nội Bài……………………...


7

Chương 1
GIỚI THIỆU
Lý thuyết hàng đợi giải quyết một trong những trải nghiệm không mấy dễ chịu
của cuộc sống, đó là sự chờ đợi. Hiện nay, bài toán “Lý thuyết hàng đợi” hay “Lý
thuyết phục vụ đám đông” được ứng dụng khá rộng rãi trong thực tế trên nhiều lĩnh
vực, ngành nghề khác nhau như bưu chính viễn thông, siêu thị, cây xăng, hàng không,
đường sắt, y tế,...[9, tr.11]. Trong các hệ thống hàng đợi thường xuyên diễn ra hai quá
trình: Quá trình phát sinh yêu cầu và quá trình phục vụ yêu cầu ấy. Song trong quá
trình phục vụ của hệ thống, do nhiều nguyên nhân khác nhau, thường xảy ra các tình
trạng sau: Quá trình phục vụ không đáp ứng được các yêu cầu đặt ra và do đó dẫn đến
nhiều yêu cầu phải đợi để được phục vụ; ngược lại, có thể xảy ra tình trạng khả năng
phục vụ của hệ thống vượt quá yêu cầu sử dụng dịch vụ, kết quả là hệ thống không
được sử dụng hết phương tiện phục vụ. Yêu cầu đặt ra là phải đánh giá được hiệu quả
hoạt động của hệ thống, tính toán hay dự báo được khả năng khả năng phát triển của
hệ thống để có thể có những đầu tư một cách phù hợp để vừa nâng cao chất lượng dịch
vụ, vừa tránh lãng phí do đầu tư không hợp lý [2, tr.1].
Để giải bài toán trên, chúng ta có thể tìm kiếm và giải quyết bằng các mô hình
toán học, hoặc tìm ra các giải thuật và sử dụng các ngôn ngữ lập trình truyền thống
(C++, Pascal, Java,…) để xây dựng chương trình và đưa ra các kết quả cần tìm. Tuy
nhiên việc sử dụng các công thức toán học mà lý thuyết hàng đợi cung cấp để tính
toán, cũng như mô phỏng hệ thống bằng cách sử dụng các ngôn ngữ lập trình truyền
thống là khá phức tạp, khó khăn, vì khi lập trình chúng ta phải quản lý các sự kiện theo
một mô hình nhiều sự kiện xảy ra đồng thời và chúng ta cũng phải xây dựng các hàm
ngẫu nhiên sinh các sự kiện.

Chính vì vậy, đã xuất hiện các công cụ và ngôn ngữ mô phỏng chuyên dụng như
GPSS (General Purpose Simulation System), Petri Nets, MatLab,…GPSS thuộc loại
ngôn ngữ lập trình hướng đối tượng, một ngôn ngữ mô phỏng các hệ thống phức tạp
rời rạc, được nhận định là hiệu quả nhất hiện nay. Các đối tượng của ngôn ngữ này
được sử dụng tương tự như các thành phần chuẩn của một hệ thống hàng đợi như là
các yêu cầu đầu vào, đầu ra, các thiết bị phục vụ, hàng đợi,… Với tập hợp đầy đủ các
thành phần như vậy, GPSS cho phép xây dựng các mô phỏng phức tạp trong khi vẫn
đảm bảo những thuật ngữ thông thường của hệ thống hàng đợi [1, tr.6].
Vấn đề nghiên cứu và ứng dụng ngôn ngữ mô phỏng GPSS rất phổ biến và phát
triển trên thế giới. Tuy nhiên, tại Việt Nam vấn đề này còn khá mới và chưa được ứng
dụng rộng rãi, nhất là ứng dụng trong lĩnh vực quản lý xuất nhập cảnh (XNC). Trên cơ
sở các nghiên cứu đã có, luận văn đã tập trung vào các mục tiêu và các vấn đề cần giải
quyết sau:


8

1.1. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu về các mô hình hàng đợi cũng như một số kiến
thức cơ bản trong “ Lý thuyết hàng đợi”, tìm hiểu công cụ mô phỏng hàng đợi là GPSS
World với mục tiêu chính là hiểu được các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng
đợi, một số mô hình hàng đợi cơ bản và phân phối xác suất quan trọng, nắm được công
cụ mô phỏng hàng đợi GPSS World và ngôn ngữ mô phỏng GPSS, để từ đó vận dụng
vào giải quyết các bài toán thực tế.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này tôi đã lựa chọn và phối hợp nhiều phương pháp nghiên cứu
khác nhau phù hợp với khả năng cũng như yêu cầu của đề tài, bao gồm các phương
pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp: nghiên cứu các tài liệu có liên quan tới vấn đề hệ
thống hàng đợi và công cụ mô phỏng hệ thống hàng đợi, phân tích để rút ra các vấn đề

cốt lõi, sau đó tổng hợp và xâu chuỗi lại để có cái nhìn tổng thể về vấn đề đang nghiên
cứu.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: tìm hiểu thực trạng sử dụng công cụ mô phỏng
hệ thống hàng đợi GPSS để giải quyết các bài toán thực tế hiện nay. Từ đó, đưa ra các
đánh giá hiệu quả của việc sử dụng công cụ này trong mô phỏng hệ thống hàng đợi.
- Phương pháp thực nghiệm: thực nghiệm nhằm xác định tính khả thi, hiệu quả của
công cụ mô phỏng, bằng cách cài đặt và chạy thực nghiệm công cụ mô phỏng trên bài
toán kiểm soát XNC tại sân bay quốc tế Nội Bài.
1.3. Kết quả đạt được
Từ việc nghiên cứu “ Lý thuyết hàng đợi” và công cụ mô phỏng hệ thống hàng
đợi GPSS World, luận văn đã tập trung làm rõ các thành phần cơ bản của một hệ thống
hàng đợi, một số mô hình hàng đợi cơ bản, một quy luật phân phối ngẫu nhiên quan
trọng; cơ sở lí thuyết, định nghĩa, cấu trúc của ngôn ngữ GPSS. Đồng thời vận dụng
các kiến thức lý thuyết có được vào việc giải quyết bài toán kiểm soát XNC tại sân bay
quốc tế Nội Bài thông qua công cụ mô phỏng GPSS World. Từ các kết quả thu được
đưa ra những phân tích đánh giá và các khuyến nghị về xây dựng hệ thống kiểm soát
XNC tại sân bay quốc tế Nội Bài để đạt được hiệu suất cao nhất và dự báo nhu cầu
phát triển trong tương lai để tính toán đầu tư xây dựng cơ sở hạ tầng, bổ sung trang
thiết bị và nhân lực đáp ứng yêu cầu công tác.


9

1.4. Cấu trúc luận văn
Luận văn được trình bày trong năm chương, với nội dung chính của mỗi
chương như sau:
Chương 1 - Mở đầu
Giới thiệu về mục tiêu, phạm vi nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu, tóm lược các
kết quả đạt được.
Chương 2 - Tổng quan về lý thuyết hàng đợi

Chương này đưa ra cơ sở lý thuyết về hệ thống hàng đợi, bao gồm: Các yếu tố của hệ
thống phục vụ (dòng vào, dòng ra, hàng chờ, kênh phục vụ), luật Little, các quá trình
Markov và trạng thái của hệ thống, nghiên cứu một số mô hình hàng đợi cơ bản và
một số phân phối xác suất quan trọng.
Chương 3 – Nghiên cứu công cụ mô phỏng hệ thống hàng đợi
Nêu các hướng tiếp cận mô phỏng: lập trình truyền thống và các công cụ mô phỏng có
sẵn, trong đó tập trung vào công cụ GPSS World.
Chương 4 - Ứng dụng công cụ mô phỏng vào mô phỏng hệ thống hàng đợi thực tế
Ứng dụng công cụ mô phỏng GPSS World vào bài toán thực tế: Bài toán mô phỏng
hoạt động kiểm soát xuất nhập cảnh của cửa khẩu sân bay quốc tế Nội Bài. Từ bài toán
cụ thể đó phân tích, tính toán, tiến hành mô phỏng và đánh giá kết quả thu được.
Chương 5 - Kết luận
Tóm lược kết quả chính của luận văn và nêu định hướng phát triển trong thời gian tới.


10

Chương 2
TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI
Chương này tập trung vào tìm hiểu tổng quan về lý thuyết hệ thống hàng đợi:
giới thiệu về lý thuyết hàng đợi, vai trò và ứng dụng của lý thuyết hàng đợi, các yếu tố
của hệ thống hàng đợi bao gồm: dòng yêu cầu đầu vào, hàng chờ, kênh phục vụ, dòng
yêu cầu đầu ra, các thông số mô tả về hệ thống; công thức Kendall, luật Little, một số
mô hình hàng đợi cơ bản và một số phân phối xác suất quan trọng.
2.1. Vai trò của lý thuyết hàng đợi.
Lý thuyết hàng đợi chủ yếu được nhìn nhận như là một nhánh của lý thuyết xác
suất ứng dụng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như viễn thông, máy
tính, dịch vụ, sản xuất, kiểm soát XNC,... Lý thuyết hàng đợi còn được biết đến với
các tên gọi khác như lý thuyết giao thông, lý thuyết xếp hàng, lý thuyết giải quyết tắc
nghẽn, lý thuyết phục vụ đám đông hay lý thuyết của các hệ thống dịch vụ ngẫu nhiên

thống kê [4, tr.2].
Một hệ thống hàng đợi có thể mô tả như sau: một trung tâm dịch vụ và một lượng
khách hàng đến yêu cầu được phục vụ. Thông thường, trung tâm phục vụ có thể chỉ
phục vụ một giới hạn khách hàng, nếu có khách hàng mới đến và các dịch vụ đã sử
dụng hết, khách hàng này phải vào hàng đợi và đợi cho đến khi dịch vụ trở nên sẵn
sàng. Do đó, chúng ta có thể xác định 3 yếu tố chính của một trung tâm dịch vụ là:
lượng khách hàng, các thiết bị phục vụ và hàng đợi. Các trung tâm dịch vụ có thể được
bố trí theo mô hình mạng, một khách hàng có thể đi qua một vài trung tâm dịch vụ
theo một đường nào đó.
Lý thuyết hàng đợi tập trung trả lời các câu hỏi như: thời gian đợi trung bình
trong hàng đợi, thời gian phản hồi trung bình của hệ thống (thời gian trong hàng đợi
cộng với thời gian phục vụ), hiệu suất trung bình sử dụng các thiết bị phục vụ, phân bố
số lượng khách hàng trong hàng đợi và trong hệ thống,... Các thông số này thường
được tính toán bằng phương pháp thống kê, trong đó khoảng thời gian khách hàng đến
hay thời gian phục vụ được coi là các đại lượng ngẫu nhiên [10, tr.3-4].
2.2. Khái quát về hệ thống hàng đợi
Giới thiệu về các thành phần của hệ thống hàng đợi như đầu vào, đầu ra, kênh
phục vụ, nguyên tắc phục vụ, và các lý thuyết liên quan như hàm phân bố thời gian
đến và thời gian phục vụ, phục vụ ưu tiên, không ưu tiên. Đồng thời đưa ra một số kết
quả quan trọng của một số hàng đợi cơ bản.
2.2.1. Các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng đợi
Một hệ thống hàng đợi gồm các thành phần cơ bản [5, tr.30-4] sau:


11

-

Tiến trình vào, ra khỏi hệ thống
Phân phối thời gian phục vụ

Số các kênh phục vụ
Khả năng của hệ thống (trong hàng chờ và trong quá trình được phục vụ)
Qui mô (kích thước) khách hàng
Nguyên tắc phục vụ

6. Nguyên tắc phục vụ





1.Tiến trình vào



2. Phân phối thời gian
phục vụ












Tiến trình ra

3. Số các kênh phục vụ

5. Qui mô khách hàng
4. Khả năng của hệ
thống


Hình 2.1 Các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng đợi
Các khách hàng đến trung tâm dịch vụ theo một phân phối ngẫu nhiên. Khả năng
phục vụ của hệ thống có thể bao gồm một hay nhiều kênh phục vụ, mỗi một kênh có
thể phục vụ một khách hàng tại một thời điểm, thời gian phục vụ một khách hàng cũng
là ngẫu nhiên. Chúng ta giả sử:
 Quy mô khách hàng là vô hạn, khách hàng thứ n ký hiệu là Cn đến tại thời
điểm τn. Khoảng thời gian tn giữa hai khách hàng đến được định nghĩa là
tn= τn - τn-1 . Chúng ta giả sử khoảng thời gian tn là ngẫu nhiên độc lập,
nghĩa là chúng không phụ thuộc lẫn nhau và tất cả các tn đều phát sinh
theo cùng một phân phối với hàm phân phối là A(t) = Pr[tn ≤ t] và hàm
mật độ xác suất tương ứng là 𝑎 𝑡 =

𝑑𝐴 𝑡
𝑑𝑡

 Thời gian phục vụ cho khách hàng Cn là xn cũng là ngẫu nhiên độc lập với
hàm phân phối là B(t) và hàm mật độ xác suất tương ứng b(t).
Các hệ thống hàng đợi không chỉ khác nhau về phân phối xác suất đến và thời
gian phục vụ mà còn có thể khác nhau ở số lượng kênh phục vụ, kích thước hàng đợi
(hữu hạn hay vô hạn), nguyên tắc phục vụ,... Một số nguyên tắc phục vụ phổ biến bao
gồm: FIFO/FCFS (First In First Out/First Come First Served - đến trước phục vụ

12

trước), LIFO/LCFS (Last in First Out/Last Come First Served - đến sau phục vụ
trước), SIRO (Service In Random Order - phục vụ theo thứ tự ngẫu nhiên), PNPN
(Priority service - phục vụ theo thứ tự ưu tiên), PS (Processor Sharing – chia sẻ bộ xử
lý), Round Robin (phục vụ quay vòng),...[10, tr.4-5]
2.2.2. Các tham số đặc trưng của một hệ thống hàng đợi
Các tham số đặc trưng trong hệ thống hàng đợi được tóm tắt trong bảng 2.1 dưới đây:
Bảng 2.1. Các tham số đặc trưng trong hệ thống hàng đợi
STT Ký hiệu
Mô tả
1

Cn

Khách hàng thứ n vào hệ thống

2

τn

Thời điểm đến của khách hàng thứ n (Cn)

3

tn

Khoảng thời gian giữa khách hàng Cn-1 và Cn (tn= τn - τn-1 )

4

𝑡

5

Wn

Thời gian chờ trong hàng đợi của khách hàng thứ n

Sn

Thời gian hệ thống (thời gian chờ + thời gian phục vụ) của khách
hàng thứ n

6

𝑡 ≜ lim 𝑡𝑛
𝑛→∞

Sn=Wn+ 𝓍 n
7
An(t)

Hàm phân phối xác suất thời gian giữa hai khách hàng liên tiếp
(PDF - probability density function)
( An(t)=P[tn≤t] )

8
A(t)

Giới hạn hàm phân phối xác suất 𝑃 𝑡 ≤ 𝑡 = 𝐴 𝑡
Kí hiệu: An(t)A(t)

9

B(𝓍)

Phân phối thời gian phục vụ

10

𝛼 𝑡

Số khách hàng đến trong khoảng thời gian (0,t)

11

𝛿 𝑡

Số khách hàng ra khỏi hệ thống trong khoảng thời gian (0,t)

12

N(t)

Số khách hàng ở trong hệ thống tại thời điểm t
𝑁 𝑡 = 𝛼 𝑡 − 𝛿(𝑡)

13

Nq(t)

Số khách hàng trong hàng đợi tại thời điểm t


13

14

T

Tổng thời gian phục vụ của toàn bộ hệ thống

15

λ

Tốc độ đến (arrival rate) của khách hàng

16

µ

Tốc độ phục vụ

17

𝑥

thời gian trung bình sử dụng dịch vụ

18

Hệ số sử dụng hệ thống
ρ

19

pK

𝜆𝑥 𝑛ế𝑢 𝑐ó 1 𝑘ê𝑛𝑕 𝑝𝑕ụ𝑐 𝑣ụ
𝜌 = 𝜆𝑥
𝑛ế𝑢 𝑐ó 𝑚 𝑘ê𝑛𝑕 𝑝𝑕ụ𝑐 𝑣ụ
𝑚
xác suất có K khách hàng trong hệ thống

2.2.3. Kí hiệu Kendall A / B / m / K / n / D
David George Kendall (15/01/1918 – 23/10/2007) là nhà toán học và thống kê
học người Anh. Ông là người đầu tiên đưa ra ký hiệu dùng để mô tả các thành phần cơ
bản của một hàng đợi [9, tr.14] có dạng: A / B / m / K / n / D.
Ý nghĩa của các ký hiệu trong mô tả Kendall được trình bày trong bảng 2.2.
STT Ký hiệu

Bảng 2.2: Các thành phần trong kí hiệu Kendall
Ý nghĩa

1

A

Kí hiệu cho A(t) - hàm phân phối thời gian của các lần đến liên tiếp.

2

B

Kí hiệu cho B(𝓍) - hàm phân phối thời gian phục vụ.

3

m

Số lượng kênh phục vụ.

4

K

Dung lượng của hệ thống, là số khách hàng lớn nhất có mặt trong hệ
thống, bao gồm cả số khách hàng đang được phục vụ.

5

n

Kích thước khách hàng (population size).

6

D

Nguyên tắc phục vụ. Nếu trong ký hiệu không nêu tham số này thì
ngầm định nguyên tắc phục vụ là FIFO.

-

Thông thường A và B có thể nhận các giá trị là [5, tr.30-9]:
M (phân phối mũ, viết tắt của Markovian hoặc là Memoryless)
D (phân phối đều, viết tắt của Deterministic)
Ek (phân phối Erlangian với k pha, viết tắt của Erlang-k)
G (phân phối chung, viết tắt của General)
Hk (phân phối siêu mũ, viết tắt của Hyperexponential).


14

Sau đây là bảng các hàm phân phối xác suất của A và B [10, tr.5]
Bảng 2.3: Một số hàm phân phối xác suất trong ký hiệu Kendall
STT

Viết
tắt

Hàm phân phối

1

M

A(t )  1  e t , và a(t )  e t , với λ>0

Ek

At   1  e kt 

(kt ) j
, k ≥ 1 là pha, µ>0
j!
j 0

k 1

2

k

3

Hk

A(t )   q j (1  e

 jt

)

j 1

Trong đó: μj >0, qj>0, j∈{1..k},

𝑘
𝑗 =1 𝑞𝑗

=1

Chúng ta thường quan tâm đến các giải pháp để đạt được trạng thái cân bằng
(steady state), nghĩa là sau một thời gian hoạt động lâu dài, hệ thống có xu hướng đạt
đến một trạng thái cân bằng, ví dụ như phân phối khách hàng của hệ thống không thay
đổi. Điều này phân biệt rõ với trạng thái nhất thời (transient state), trạng thái có được
khi chúng ta khảo sát phản hồi của hệ thống với các sự kiện khác nhau trong một
khoảng thời gian ngắn [10, tr.5-6].
Ví dụ về một số hàng đợi: M/M/1 là hàng đợi có phân phối đến Poisson, thời
gian phục vụ hàm mũ, 1 kênh phục vụ; M/G/m là hàng đợi có m kênh phục vụ, phân
phối đến Poisson và thời gian phục vụ phân phối chung; M/M/r/K/n là hàng đợi có
giới hạn số khách hàng đến là n, thời gian đến và thời gian phục vụ hàm mũ, có r kênh
phục vụ và kích thước hệ thống là K; M/M/7/50/2000/FIFO là hàng đợi có phân phối
đến và thời gian phục vụ phân phối hàm mũ, có 7 kênh phục vụ, dung lượng của hệ
thống là 50 (7 đang được phục vụ và 43 trong hàng đợi), hệ thống phục vụ được tối đa
là 2000 yêu cầu, nguyên tắc phục vụ là FIFO.
2.2.4. Luật Little
Thời gian chờ đợi trung bình và số khách hàng trung bình trong một hệ thống
dịch vụ là các số liệu quan trọng đối với một người quản lý để làm căn cứ đưa ra các
quyết định điều chỉnh hệ thống sao cho đạt hiệu quả cao nhất. Luật Little (John
D.C.Little là nhà nghiên cứu tại Viện công nghệ Massachusetts, Mỹ) đưa ra mối liên
hệ giữa hai số liệu này với tốc độ trung bình khách hàng đến hệ thống.
Luật Little [6, tr.2] được phát biểu như sau: “Trong điều kiện trạng thái cân
bằng, số lượng trung bình khách hàng trong một hệ thống hàng đợi bằng với tốc độ

15

trung bình khách hàng đến nhân với thời gian trung bình mà một khách hàng sử dụng
trong hệ thống”.
Ký hiệu:
- 𝑁 là số khách hàng trung bình trong hệ thống
- 𝑇 là thời gian chờ đợi trung bình của một khách hàng, và
- λ là số lượng trung bình khách hàng đến hệ thống trong một đơn vị thời gian.
Ta có công thức của Luật Little như sau: 𝑁 = 𝜆𝑇, trong đó, điều kiện dừng là: λNgoài ra, khi giả thiết rằng: 𝑁 = 𝐸 𝑁 (với N là một biến ngẫu nhiên thể hiện số
lượng khách hàng trong hệ thống) và tương tự với 𝑇 = 𝐸 𝑇 , chúng ta có một hình
thức khác của Luật Little: E[N]=E[T]
Một hình thức tương tự khác của Luật Little liên quan đến số lượng trung bình
của khách hàng trong hàng đợi (không phải trong hệ thống), ký hiệu là 𝑁𝑞 (số lượng
khách hàng trong hàng đợi ký hiệu là Nq), với thời gian đợi trung bình 𝑊 (khoảng thời
gian giữa thời điểm khách hàng đến và thời điểm bắt đầu được phục vụ.
Trong trường hợp này Luật Little là: Nq = λW
Hoặc trong sự mô tả giá trị trung bình: E[Nq]=E[W]

[10, tr.8]

Mối quan hệ giữa 3 đại lượng trong Luật Little là rất đơn giản và phổ quát.
Chúng ta chỉ yêu cầu tính dừng của hệ thống dưới các quá trình ngẫu nhiên thống kê
nào đó mà không yêu cầu gì khác. Công thức không chỉ ra số lượng kênh phục vụ, mỗi
một kênh phục vụ có hàng chờ riêng hay chỉ có một hàng chờ cho tất cả các kênh,
phân phối thời gian phục vụ và thời gian đến là gì, nguyên tắc phục vụ ra sao,...
Do Luật Little là rất đơn giản và phổ quát nên có nhiều ưu điểm. Lý do là ta có
thể dễ dàng dự tính được hai trong ba thông số, còn thông số thứ 3 thì khó khăn hơn,
tuy nhiên ta có thể tính được nhờ Luật Little. Luật Little được áp dụng trong nhiều môi
trường bao gồm các ngành công nghiệp sản xuất và dịch vụ cũng như trong việc đưa ra

các quyết định cá nhân hàng ngày [6, tr.4].
2.3. Một số phân phối xác suất quan trọng
Chúng ta xem xét một số phân phối xác suất quan trọng trong lý thuyết hàng đợi
[4, tr. 34-72]
2.3.1. Phân phối Bernoulli
Một biến X có phân phối Bernoulli nếu nó có hai khả năng xảy ra, đó là X=1 và
X=0, xảy ra với xác suất P{X=1}=p và P{X=0}=q, trong đó p+q=1. Xác suất này
thường dùng để mô tả việc tung đồng xu, với X=1 khi xảy ra mặt sấp. Biến Bernoulli
có hàm sinh xác suất là q + pz, giá trị trung bình p và phương sai pq.


16

2.3.2. Phân phối nhị thức
Phân phối nhị thức thể hiện số lần thành công trong n lần thử Bernoulli, theo
định nghĩa là một chuỗi liên tiếp n lần thử độc lập, với mỗi lần thử có xác suất thành
công là p và thất bại là q=1-p. Nếu gọi Sn là số lần thành công trong n lần thử
Bernoulli thì Sn có thể được biểu diễn bởi công thức Sn=X1 + ... + Xn, trong đó Xj là
biến Bernoulli có giá trị Xj=1 nếu phép thử thứ j thành công và Xj=0 nếu thất bại. Bởi
vì các {Xj} là độc lập với nhau, có phân bố ngẫu nhiên giống nhau với hàm sinh là q +
pz, nên Sn có hàm sinh (q + pz)n. Triển khai hàm sinh cho ta Sn có phân phối nhị thức:
𝑃 𝑆𝑛 = 𝑘 =

𝑛 𝑘
𝑝 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘
𝑘

(k=0,1,...n)

(2.1)

Công thức (2.1) có thể được suy trực tiếp từ lý thuyết xác suất: Vì các phép thử là
độc lập với nhau với xác suất thành công của mỗi phép thử là p, nên chuỗi k phép thử
𝑛
𝑛!
thành công và n-k phép thử thất bại có xác suất là pk(1-p)n-k. Có
=
cách để
𝑘!(𝑛−𝑘)!
𝑘
lựa chọn k vị trí thành công trong chuỗi k lần thành công và n-k lần thất bại. Do đó có tất
𝑛
cả
chuỗi khác nhau của k lần thành công và n-k lần thất bại, và đó chính là công
𝑘
thức (2.1).
Biến ngẫu nhiên Sn với xác suất (2.1) có giá trị trung bình np và phương sai npq,
được suy trực tiếp từ khái niệm Sn là tổng của n biến Bernoulli giống nhau và độc lập với
nhau.
2.3.3. Phân phối đa thức
Giả sử chúng ta có chuỗi n phép thử độc lập, nhưng mỗi phép thử có r ≥ 2 khả
năng xảy ra. Do đó, tại phép thử thứ j có r khả năng xảy ra với các xác suất tương ứng là
p1, ..., pr (trong đó p1+ ...+ pr=1). Ký hiệu Ni là số lần kết quả thứ i xảy ra trong n lần
thử. Xác suất tổng hợp để trong n phép thử thì phép thử thứ i xảy ra ki lần, với k1+ ...+
kr=n, là:
𝑃 𝑁1 = 𝑘1 , … , 𝑁𝑟 = 𝑘𝑟 =

𝑛!

𝑝

𝑘 1 !…𝑘 𝑟 ! 1

𝑘1

… 𝑝𝑟 𝑘 𝑟

(2.2)

Đẳng thức (2.2) mô tả phân phối đa thức, là một phân phối nhiều chiều, và các
hàm sinh phân phối có thể định nghĩa dưới góc độ tương tự thể hiện cho các phân phối
nhiều chiều. Chú ý rằng khi r=2 thì đẳng thức (2.2) chính là phân phối nhị thức.
2.3.4. Phân phối Poisson
Với phân phối hàm mũ chúng ta chủ yếu đề cập đến thời gian phục vụ. Tổng quát
hơn, chúng ta quan tâm đến các thời điểm khách hàng đến, giả sử rằng khoảng cách giữa


17

các thời điểm đến thành công của khách hàng là độc lập, đồng nhất phân phối theo hàm
mũ. Gọi các thời điểm này là T1, T2,… và giả sử biến ngẫu nhiên Xj=Tj – Tj-1 (j=1,2,…;
T0=0) có phân phối hàm mũ
𝑋𝑗 > 𝑡 = 𝑒 −λt

(j=1,2,…)

(2.3)

Chúng ta có câu hỏi: Nếu khoảng cách (độ dài thời gian) Xj=Tj – Tj-1 giữa các thời
điểm thành công được phân bố độc lập theo công thức (2.3), thì số các điểm phát sinh
trong một khoảng thời gian cố định tuân theo phân phối gì?

Ký hiệu N(t) là số các điểm phát sinh trong khoảng thời gian (0,t), với
P{N(t)=j}=Pj(t). Nếu khoảng thời gian giữa các lần đến thành công là độc lập và có
phân phối hàm mũ (2.3), thì xác xuất để có ít nhất phát sinh một điểm trong khoảng thời
gian (t, t+h) là 1 − 𝑒 −𝜆𝑕 = 𝜆𝑕 + 𝑜(𝑕) khi h→0. Và xác suất để chính xác có một điểm
phát sinh trong khoảng thời gian (t,t+h) là
𝑕
0

𝑒 −𝜆(𝑕−𝑥) 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 𝜆𝑕𝑒 −𝜆𝑕 = 𝜆𝑕 + 𝑜(𝑕)

(h→0)

Do đó, xác suất để có 2 điểm hoặc nhiều hơn phát sinh trong khoảng thời gian
(t,t+h) là 1 − 𝑒 −𝜆𝑕 − 𝜆𝑕𝑒 −𝜆𝑕 = 𝑜(𝑕) khi h→0.
Vì thế, N(t) thỏa mãn định luật sinh nguyên thủy với λj=λ (j=0,1,2,…):
𝑃𝑗 𝑡 =

(𝜆𝑡 )𝑗
𝑗!

𝑒 −𝜆𝑡

(j=0,1,…)

(2.4)

Hàm phân phối xác suất trong công thức (2.4) thể hiện phân phối Poisson phổ
biến. N(t) có hàm sinh theo công thức sau:
𝑔 𝑧 = 𝑒 −𝜆𝑡 (1−𝑧)
Với giá trị trung bình và phương sai E(N(t))=V(N(t))=λt

Phân phối Poisson thường được sử dụng để mô tả quá trình đến của hệ thống hàng
đợi. Đó là, công thức (2.3) thể hiện phân phối thời gian giữa các lần đến của khách hàng,
và công thức (2.4) thể hiện phân phối số khách hàng đến trong một khoảng thời gian t cố
định.
2.3.5. Phân phối Erlangian (Gamma)
Chúng ta vẫn quan tâm đến các thời điểm khách hàng đến, giả sử rằng khoảng
cách giữa các thời điểm đến thành công của khách hàng là độc lập, đồng nhất phân phối
theo hàm mũ. Gọi các thời điểm này là T1, T2,… và giả sử biến ngẫu nhiên Xj=Tj – Tj-1


18

(j=1,2,…; T0=0) có phân phối hàm mũ 𝑃 𝑋𝑗 > 𝑡 = 𝑒 −𝜆𝑡 (j=1,2,…) [và do đó số các
điểm phát sinh trong khoảng thời gian (0,t) có phân phối Poisson với giá trị trung bình
λt]. Chúng ta muốn tìm phân phối của khoảng n điểm liên tiếp, đó là, phân phối của tổng
Sn=X1+…+Xn của n biến ngẫu nhiên độc lập, đồng nhất phân phối theo hàm mũ.
Bởi vì Sn là tổng của n khoảng thời gian giữa các lần đến phát sinh theo quá trình
{N(t), t≥0}, có được vì {Sn≤x} và {N(x)≥n} là tương đương, nên:
∞

𝑃 𝑆𝑛 ≤ 𝑥 = 𝑃 𝑁(𝑥) ≥ 𝑛 =
𝑗 =𝑛

(𝜆𝑥)𝑗 −𝜆𝑥
𝑒
𝑗!

Trong đó đẳng thức thứ 2 tuân theo giả thiết rằng {N(t),t≥0} là một quá trình
Poisson. Do đó, nếu ta ký hiệu F(x) = P{Sn≤x} thì ta có:
𝐹 𝑥 =1−

𝑗

𝑛−1 (𝜆𝑥 )
𝑗 =0 𝑗 !

𝑒 −𝜆𝑥

(x≥0)

(2.5)

Hàm được định nghĩa trong công thức (2.5) gọi là phân phối Erlangian có n mức
(n=1,2,…). Các biến thành phần X1, X2,… đôi khi được coi là các pha (phases) hay các
giai đoạn (stages), và do đó F(x) thường được gọi là hàm phân phối Erlangian n-phase
hay n-stage. Hàm mật độ là:
𝑓 𝑥 =

(𝜆𝑥 )𝑛 −1
𝑛−1 !

𝑒 −𝜆𝑥 𝜆

(λ>0, x≥0)

(2.6)

Hình 2.2. Đồ thị hàm mật độ Erlang có n mức, với n=1,2,…10.

19

Các mật độ đã được đơn giản hóa để có đơn vị trung bình bằng cách lấy λ=n.
Hàm phân phối n-phase, với n là số nguyên dương là một trường hợp đặc biệt của
phân phối gamma, có hàm mật độ
𝑓 𝑥 =

(𝜆𝑥 )𝑝 −1
ᴦ(𝑝)

𝜆𝑒 −𝜆𝑥

(p>0, λ>0, x≥0)

Phân phối gamma có thể coi là trường hợp tổng quát của phân phối Erlanggian pphase, khi mà số phase p không yêu cầu phải là số nguyên nữa.
2.4. Một số mô hình hàng đợi cơ bản
Các hệ thống hàng đợi có thể phân loại theo số lượng của các nguồn yêu cầu
được phục vụ là hữu hạn hay vô hạn, theo phân phối xác suất của quá trình đến và quá
trình phục vụ, theo số lượng kênh phục vụ, theo nguyên tắc phục vụ,... Có thể kể đến
một số mô hình hệ thống hàng đợi cơ bản sau:
2.4.1. Hệ thống hàng đợi cổ điển M/M/1
Đây là hệ thống hàng đợi nổi tiếng và đơn giản nhất, có thể được mô tả hệ thống
như sau:
- Thời gian giữa các lần đến liên tiếp tuân theo luật phân phối mũ, với tham số 
- Thời gian phục vụ tuân theo luật phân phối mũ, với tham số µ.
- Hệ thống chỉ có một kênh phục vụ đơn và sử dụng nguyên tắc phục vụ FIFO.
- Hàng đợi có kích thước vô hạn.
Hệ thống hàng đợi M/M/1 được mô hình hóa trong hình 2.3
Hàng đợi (queue)
Khách đến

Khách ra

nguyên tắc
Server

tốc độ µ

phục vụ

tốc độ 
W thời gian đợi

ρ hệ số sử dụng
𝓍 thời gian phục vụ

Hình 2.3. Mô hình hàng đợi M/M/1
Trạng thái của hệ thống được đặc trưng bởi số khách hàng trong hệ thống. Hệ
thống M/M/1 là một hệ thống sinh/tử nguyên thủy, nghĩa là tại một thời điểm thì chỉ
phát sinh tối đa một sự kiện, hoặc là một khách hàng mới đến hoặc là một khách hàng
được phục vụ xong. Điều tạo ra sự đơn giản của hệ thống M/M/1 là tốc độ đến và tốc
độ phục vụ không phụ thuộc trạng thái. Sơ đồ tốc độ chuyển đổi trạng thái thể hiện
trong hình 2.3:


20

λ

λ

0

λ

1

μ

2

k-1

…

k

μ

…

μ

Hình 2.4. Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/1
2.4.1.1 Các xác suất trạng thái dừng
Gọi Pk(t) là xác suất có k khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t.
Kí hiệu xác suất trạng thái dừng mà hệ thống ở trong trạng thái k (k∈ N) là pk
𝑝𝑘 = lim𝑡→∞ 𝑃𝑘 (𝑡)
Điều kiện dừng của hệ thống hàng đợi M/M/1 là: <µ
Từ các phương trình trạng thái dừng, suy ra các xác suất trạng thái dừng của chuỗi
M/M/1 như sau [10, tr.11]:

𝑝0 = 1 −
𝑝𝑘 =

𝜆
𝜇

𝜆 𝑘
𝜇

𝑝0

2.4.1.2 Một số thông số đo hiệu suất
Để có thể đánh giá được hiệu suất hoạt động của hệ thống hàng đợi, chúng ta cần
quan tâm đến một số các thông số như:
 Hệ số sử dụng
Hệ số sử dụng đưa ra tỉ lệ thời gian mà các kênh phục vụ bận. Trong hàng đợi
M/M/1 thì hệ số sử dụng là xác suất trạng thái dừng mà trong suốt trạng thái dừng đó
hệ thống không rỗng: ρ:=1-p0
 Số khách hàng trung bình trong hệ thống
Chúng ta sử dụng công thức

∞
𝑘
𝑘=0 𝑘𝑥

=

𝑥
(1−𝑥)2

với |x|<1 thì giá trị trung bình

khách hàng trong hệ thống là:
𝑁=𝐸 𝑁 =

∞
𝑘=0 𝑘𝑝𝑘

= 𝑝0

∞
𝑘
𝑘=0 𝑘𝜌

= 1−𝜌

𝜌
1−𝜌 2

=

𝜌
(1−𝜌 )

(2.7)


21

 Thời gian đáp ứng trung bình

Thời gian đáp ứng trung bình T là thời gian trung bình một khách hàng chi phí
trong hệ thống, tức là thời gian chờ đợi trong hàng đợi cộng với thời gian được phục
vụ. Áp dụng luật Little’s có:

𝑇=

𝑁
𝜆

=

1/𝜇
1−𝜌

=

1

(2.8)

𝜇 −𝜆

2.4.2. Hệ thống hàng đợi M/M/m
Hàng đợi M/M/m (m>1) có các phân phối thời gian đến giữa hai khách hàng liên
tiếp và phân phối thời gian phục vụ giống với hàng đợi M/M/1, tuy nhiên có m kênh
phục vụ trong hệ thống và kích thước hàng đợi là vô hạn. Cũng giống như hàng đợi
M/M/1, trạng thái hệ thống được đặc trưng bởi số khách hàng trong hệ thống. Hệ
thống M/M/m cũng là hệ thống sinh/tử nguyên thủy.
Hệ thống hàng đợi M/M/m được mô hình hóa trong hình 2.5
λ/m

Server 1

Hàng đợi (queue)
nguyên tắc

Khách đến

λ/m
…

phục vụ

tốc độ 

Khách ra

Server 2

λ/m

thời gian đợi W

Server m

Hình 2.5. Mô hình hệ thống M/M/m
Sơ đồ tốc độ chuyển đổi trạng thái thể hiện trong hình 2.6

0

1

μ

λ

λ

λ

λ

2

2μ

m-1

3μ

λ

λ

(m-1)μ

m

mμ

mμ

Hình 2.6. Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/m.
Hệ thống có:
-

Tốc độ khách hàng đến λk=λ, k=0,1,2,…

-

Tốc độ phục vụ 𝜇𝑘 = 𝑚𝑖𝑛[𝑘𝜇, 𝑚𝜇] =

𝑘𝜇 𝑣ớ𝑖 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚
𝑚𝜇 𝑣ớ𝑖 𝑚 < 𝑘


22

-

λ

Điều kiện dừng 𝜌 =

𝑚𝜇

<1

2.4.2.1. Các xác suất trạng thái dừng
𝑚 −1

𝑝0 =
𝑘=0

(𝑚𝜌)𝑘
𝑚𝜌 𝑚
1
+(
)(
)
𝑘!
𝑚!
1−𝜌

(𝑚𝜌)𝑘
𝑝0
𝑘!
𝑝𝑘 =
𝜌𝑘 𝑚𝑚
𝑝0
𝑚!

−1

(2.9)

𝑣ớ𝑖 𝑘 ≤ 𝑚
(2.10)
𝑣ớ𝑖 𝑘 > 𝑚

Xác suất khách hàng đến phải vào hàng đợi là:

∞

𝑃 đợ𝑖 =

∞

𝑝𝑘 =
𝑘=𝑚

𝑘=𝑚

(𝑚𝜌)𝑘 1
𝑝0
𝑚! 𝑚𝑘−𝑚

(2.11)

Do đó:
(
𝑃 đợ𝑖 =

𝑚𝜌 𝑘
𝑚!
𝑘

𝑚 −1 (𝑚𝜌 )
𝑘=1
𝑘!

)(

+(

1
1−𝜌

)

𝑚𝜌 𝑘
𝑚!

)(

1
1−𝜌

)

Nó thường được kí hiệu là Erlangs C Formula, viết tắt là C(m,𝛒)
2.4.2.2. Đơn vị đo hiệu suất
Số khách hàng trung bình trong hệ thống
∞

𝑁=𝐸 𝑁 =
𝑘=0

(𝑚𝜌)𝑚
𝑝0
𝑘𝑝𝑘 = 𝑚𝜌 + 𝜌
𝑚! (1 − 𝜌)2

(2.12)

2.4.3. Hệ thống hàng đợi M/M/1/K
Bây giờ chúng ta xem xét trường hợp hệ thống hàng đợi có khả năng lưu trữ hữu
hạn. Chúng ta giả định hệ thống có thể phục vụ nhiều nhất K khách hàng (bao gồm cả
khách hàng trong hàng đợi và khách hàng đang được phục vụ). Nếu có khách hàng
mới đến, khi hệ thống đang có ít hơn K khách hàng thì khách hàng đó sẽ được phép
vào hệ thống, ngược lại khách hàng đó sẽ bị từ chối, phải rời khỏi hệ thống và không
bao giờ quay trở lại. Trạng thái này gọi là trạng thái đóng. Điều này là cần thiết vì nếu
trong trường hợp ngược lại, khách hàng đó tiếp tục đợi bên ngoài hệ thống cho đến khi
có chỗ trống thì tiến trình đến không còn tuân theo luật Markov nữa. Cũng giống như
hàng đợi M/M/1, trạng thái hệ thống được đặc trưng bởi số khách hàng trong hệ thống


23

và cũng là hệ thống sinh/tử nguyên thủy. Hệ thống này phù hợp hơn để mô phỏng các
“hệ thống thực” vì không gian bộ đệm luôn giới hạn.
Hệ thống hàng đợi M/M/1/K được mô hình hóa trong hình 2.7
Hàng đợi (queue)
Khách đến

Khách ra

nguyên tắc
Server

K-1 vị trí

tốc độ µ

phục vụ

tốc độ 
thời gian đợi W

ρ hệ số sử dụng
𝓍 thời gian phục vụ

Hình 2.7. Mô hình hệ thống M/M/1/K
Sơ đồ tốc độ chuyển đổi trạng thái thể hiện trong hình 2.8
λ

λ
0

1

μ

λ
2

…

k-2

λ
k-1

μ

k

μ

μ

Hình 2.8. Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/1/K.
Tốc độ vào hệ thống của khách hàng thứ k là 𝜆𝑘 =

𝜆
0

𝑘<𝐾
𝑘≥𝐾

Tốc độ phục vụ khách hàng thứ k là
𝜇𝑘 = 𝜇

𝑘 = 1,2, … , 𝐾

2.4.3.1. Các xác suất trạng thái dừng
Một lần nữa có thể sử dụng kỹ thuật dựa trên đánh giá của các phương trình
luồng để đi đến xác suất trạng thái ổn định pk. Tuy nhiên, vì số lượng khách hàng trong
hệ thống bị giới hạn, tiến trình đến là phụ thuộc trạng thái: nếu có ít hơn K khách hàng
trong hệ thống thì tốc độ đến là λ, ngược lại tốc độ đến là 0. Xác suất trạng thái dừng
[10, tr.16] được xác định bởi:
𝑝0 =

1−𝜌
1 − 𝜌𝐾+1

𝑝𝑘 = 𝑝0 𝜌𝑘