Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân phần 1

Mục lục
số, σ − đại số các tập con của một tập cho trước
Đại số các tập con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vành Boole có đơn vị hay dại số các tập con (ngắn gọn đại
Vành Boole và đại số sinh bởi một họ Ω các tập con . . . .
Nửa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
σ − vành, σ − đại số (σ − vành có đơn vị) . . . . . . . . .
σ − vành và σ − đại số sinh bởi một họ Q . . . . . . . . . .
σ − đại số sinh bởi topo trong một không gian topo . . . .
1.7.1 Các tập Borel và σ − đại số Borel . . . . . . . . . .
1.7.2 Trường hợp R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 σ − vành sinh bởi các tập compact . . . . . . . . . . . . .
1.9 Lớp đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Lớp đơn điệu sinh bởi Q ∈ P(E) . . . . . . . . . . .

1 Đại
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
6
6
6
7
8
9
9
9
9
10
10
10
10

2 Độ đo dương
2.1 Đại cương về độ đo dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Hàm tập cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Độ đo dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Tính chất của độ đo dương . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Op´
erations sur les mesures positives . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Độ đo chính quy (trên một không gian topo) . . . . . . .
2.2 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Độ đo ngoài liên kết với độ đo µ . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Tập hợp T − đo được (theo nghĩa Caratheodory) . . . .
2.2.4 Thác triển (Nới rộng) một độ đo . . . . . . . . . . . . .
2.3 Độ đo đầy đủ. Bổ sung một độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Tập hợp µ − bỏ qua được (µ − không) . . . . . . . . . .
2.3.2 Độ đo đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Bổ sung một độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Trở lại vấn đề đã đặt ra . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Ứng dụng cơ bản: Độ đo Lebesgue và Lebesgue Stieltjes
2.4 Thác triển cơ bản của một độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

11
11
11
13
15
18
19
20
21
21
22
24

26
26
26
27
28
29
31
32

1

. .
số)
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .


MỤC LỤC

2

3 Không gian đo được. Ánh xạ và hàm số đo được
3.1 Không gian đo được. Ánh xạ đo được . . . . . . . . . . .
3.1.1 Không gian đo được . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Ánh xạ đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Tích các không gian đo được, khả xác xuất . . . .
3.2 Hàm đo được (giá trị thực) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Xấp xỉ một hàm đo được bằng các hàm bậc thang
3.2.3 Hàm µ − đo được. Ghi chú . . . . . . . . . . . . .
3.3 Thuật ngữ của lý thuyết xác xuất . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Biến cố và biến cố ngẫu nhiên . . . . . . . . . . .
3.3.2 Luật xác xuất (hay phân phối xác xuất) . . . . .
3.4 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Tích phân (hàm dương)
4.1 Tích phân trên của một hàm dương . . .
4.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Tính chất trực tiếp . . . . . . . .
4.2 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . .
4.3 Trở lại khái niệm tích phân trên . . . . .
4.3.1 Tồn tại và duy nhất . . . . . . .
4.3.2 Chứng minh mới về sự tồn tại của
theo quan điểm giải tích hàm) . .
4.4 Bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . .

. .
. .
. .
. .

. .
. .
. .
đo
. .
. .
. .
. .
. .

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
được
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

34
34
34
34
35
35
37
39

39
42
42
42
42
42

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
dựng
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.

44
44
44
46
52
54

54

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
(Trong
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.

59
59
59
59
60
62
63

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

64
64
64
65
66
69

69
69
70
70
70
70
70
71

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
tích phân trên (hay là xây

. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .

5 Tích phân Lebesgue trừu tượng. Hàm khả tích
5.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Hàm nhận giá trị trong C . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng
trường hợp độ đo Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Nhắc lại tích phân Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Hàm f ∗ và f∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số . . . . . . . . . .
5.5 Một ví dụ áp dụng: Phép biến đổi Fourier của hàm một biến . . .
5.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Tính chất trực tiếp của fˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Mở rộng cho trường hợp hàm định nghĩa µ − hkn . . . . . . . . .
5.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Tích phân của một hàm đo được định nghĩa µ − hkn . . .
5.7 Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. 55
. 57


MỤC LỤC

3

6 Các không gian Lebesgue Lp và Lp (1 ≤ p ≤ ∞)
6.1 Nửa chuẩn tổng quát Np . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Ghi chú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Định lý Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Các tính chất trực tiếp . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Quan hệ giữa hội tụ theo trung bình với hội tụ
6.3.4 Trường hợp L2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Các không gian L∞ và L∞ . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Nửa chuẩn N∞ . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Các không gian L∞ và L∞ . . . . . . . . . . .
6.4.3 Tính chất của L∞ . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Xấp xỉ trong Lp . Định lý trù mật. Tính khả ly . . . .
6.6 Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Quan hệ giữa các Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Trường hợp µ bị chặn . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Trường hợp µ không bị chặn . . . . . . . . . .
6.8 Bài tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
đều và
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

. .
. .
. .
. .
. .

. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
hội
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
tụ µ − hkn
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

73
73
73
76
76
76
77
77
78
80
81
81
81

82
83
84
84
84
85
85
85
87
88
88
89
89

7 Các dạng hội tụ
7.1 Hội tụ µ − hầu đều . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Định lý Egoroff . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Áp dụng: . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Trường hợp µ không bị chặn . . . . .
7.2 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Không gian metric của sự hội tụ theo
7.2.4 Hội tụ theo độ đo và µ − hầu đều . .
7.2.5 Hội tụ theo độ đo và µ − hầu đều . .
7.2.6 Hội tụ theo độ đo và hội tụ trong Lp
7.3 Bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
độ đo
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

92
92
92
92
93
93
93
93
94
94
95
96
96
96

8 Độ đo tích. Độ đo ảnh. Độ đo cảm sinh
8.1 Độ đo tích. Định nghĩa và tính chất . . . . .
8.1.1 Nhập môn . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Định nghĩa và tính chất của µ1 ⊗ µ2
8.2 Tích phân đối với độ đo tích . . . . . . . . .
8.3 Độ đo ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Tích phân đối với độ đo ảnh . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

99
99
99
99
102
103
103
104

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.


MỤC LỤC
8.4

4

Độ đo cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.4.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.4.2 Tích phân theo độ đo cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


Chương 1
Đại số, σ − đại số các tập con của
một tập cho trước
1.1

Đại số các tập con

Cho E là một tập hợp bất kỳ. Các phần tử của E còn gọi là điểm, ký hiệu bằng các
chữ nhỏ như: x, y, ..., a, b, c, ... hoặc w, .... x là phần tử thuộc E: x ∈ E. Các tập con của
E ký hiệu bằng các chữ in: A, B, C, ...X, Y, .... A ⊂ E := A là tập con của E. Mỗi phần
tử x của E cũng có thể coi là một tập con gồm một phần tử của E. Khi đó, ta ký hiệu
{x} ⊂ E.
Tập hợp tất cả mọi tập hợp con của E ký hiệu là P(E). Một tập hợp nào đó các
tập con của E còn gọi là một họ các tập con của E, thường ký hiệu bởi các chữ hoa:
A, B, C, F, ... Chúng là một tập con nào đó của P(E); A ⊂ P(E). Trên E luôn định nghĩa

các phép toán tập hợp thông thường.
Chương này chúng ta tập trung vào nghiên cứu, phân tích các tính chất của các họ
tập con A, B, ... của một tập hợp E cho trước. Trước mắt ta cố định E là một tập hợp
nào đó cho trước.
Định nghĩa 1.1. Vành Boole các tập con của một tập E nào đó là một tập hợp con C
của P(E) thỏa mãn các tính chất (các tiên đề sau):
(i) A, B ∈ C

⇒

A ∪ B ∈ C,

(ii) A, B ∈ C

⇒

A \ B ∈ C.

Ví dụ:
• P(E) là một Vành Boole (viết tắt là VB). {∅, E} cũng là một VB.
• Giả sử E có vô hạn phần tử; C là họ các tập con có hữu hạn phần tử của E; C là
một Vành Boole. (Chú ý là E ∈
/ C)
Hệ quả 1.1.

• ∅ ∈ C vì ∅ = A \ A ∈ C.

• A ∈ C, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C vì A ∩ B = A ∪ B \ ((A \ B) ∪ (B \ A)).THUỘC

c

1.2 Vành Boole có đơn vị hay dại số các tập con (ngắn gọn đại số)

6

• A ∈ C, B ∈ C ⇒ A B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∈ C.
Một cách tổng quát hợp của một số hữu hạn phần tử của C vẫn thuộc C. Ta nói là: hợp
hữu hạn, giao hữu hạn các phần tử của C vẫn thuộc C.

1.2

Vành Boole có đơn vị hay dại số các tập con (ngắn
gọn đại số)

Nếu C là một vành Boole các tập con của E và E ∈ C thì C gọi là vành Boole có đơn
vị hay đại số Boole.
Hệ quả 1.2. Nếu A ∈ C thì A = CA ∈ C.
Ví dụ:
• P(E) là một đại số.
• Tập hợp của các hợp hữu hạn của các khoảng là một vành Boole có đơn vị (đại số).
• Cho E = [α, β[⊂ R; tập hợp của các hợp hữu hạn các khoảng có dạng [a, b[⊂ [α, β[
là một đại số các tập con của [α, β[. Ngược lại tính chất trên không còn đúng cho
họ các khoảng mở (hoặc đóng).

1.3

Vành Boole và đại số sinh bởi một họ Ω các tập
con

Cho {Cj }j∈J là một họ bất kỳ các vành Boole. Khi đó ∩ Cj không rỗng và là một
j∈J

vành Boole. Tính chất tương tự cũng đúng cho đại số.
Định lý 1.1. Cho Ω là một họ các tập con của tập E: Ω ⊂ P(E). Trong số các vành
Boole chứa Ω tồn tại một vành Boole nhỏ nhất gọi là vành Boole sinh bởi Ω ký hiệu là
C(Ω).
Tính chất: Mỗi phần tử của C(Ω) được chứa trong một hợp hữu hạn các phần tử của Ω.
n

Chứng minh. Giả sử A ⊂ E và A ⊂ ∪ Op với Op ∈ Ω. Tập hợp tất cả các phần tử A
p=1

như thế là một vành Boole C . Vành này chứa các phần tử của Ω ⇒ C(Ω) ⊂ C . Vậy ta có
điều phải chứng minh.

1.4

Nửa vành

Nửa vành (Boole) các tập con của E là một họ A, A ⊂ P(E) thỏa mãn:
(i) A, B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A.


1.5 σ − vành, σ − đại số (σ − vành có đơn vị)

7

(ii) A, B ∈ A thì tồn tại một họ hữu hạn các phần tử của A, ký hiệu là {Aj }nj=1 , từng
cặp không giao nhau sao cho:

n

A \ B = ∪ Aj
j=1

Một nửa vành gọi là có đơn vị nếu nó chứa E.
Hệ quả 1.3.

• Một nửa vành ổn định dưới giao hữu hạn.

• Tập hợp các hợp hữu hạn các phần tử của A là một vành.
Ví dụ:
• Tập hợp các khoảng (theo nghĩa đại số). Id : tập hợp các khoảng nửa mở bên phải
[a, b[ và Ig : tập hợp các khoảng nửa mở bên trái ]a, b] là các nửa vành.
• Tập hợp các hình chữ nhật trong R2 , các hình hộp chữ nhật trong Rn : aj ≤ xj ≤ yj ,
j = 1, ..., n (có dấu bằng hay không) là nửa vành.
• Trong E × E , ta xét họ {A × A } trong đó A ∈ A, A ∈ A với A và A là các nửa
vành. Họ trên là một nửa vành mà ta ký hiệu là A ⊗ A . Tính chất này suy từ hai
hệ thức sau:
(A × A ) ∩ (B × B ) = (A ∩ B) × (A ∩ B )
A × A \ B × B = [(A \ B) × A ] ∪ [(A ∩ B) × (A \ B )]
Chú ý: Tính chất tương tự không còn đúng nếu xuất phát từ hai vành Boole C và
C và họ {A × A } không phải là một vành.
Định lý 1.2. Vành C(A) sinh bởi một nửa vành A là tập hợp các hợp hữu hạn của các
phần tử của A. C(A) trùng với tập các hợp hữu hạn các phần tử của A từng đôi không
giao nhau.

σ − vành, σ − đại số (σ − vành có đơn vị)

1.5

Định nghĩa 1.2. Một σ − vành là một vành S thỏa mãn tính chất (ii) mạnh hơn tính
chất (ii):
∞

(ii)’ An ∈ S, n ∈ N ⇒ ∪ An ∈ S.
1

Tức là: hợp đếm được thay cho hợp hữu hạn. Nếu S là một σ − vành và E ∈ S thì S được
gọi là σ − vành có đơn vị hoặc σ − đại số (hoặc một thể Borel, σ − trường).
Ví dụ:
• P(E), {∅, E}, mọi vành hữu hạn.
• Giả sử E là một tập hợp không đếm được. Họ các tập con của E đếm được hoặc có
phần bù đếm được là một σ − đại số.


1.6 σ − vành và σ − đại số sinh bởi một họ Q

8

Hệ quả 1.4. Mọi σ − vành ổn định (đóng) đối với giao đếm được.
Tính chất: Cho S là một vành (σ − vành, σ − đại số) trên E. E là một tập con của E.
Vết của S trên E là họ tập hợp có dạng: A ∩ E , A ∈ S.
Định lý 1.3. Vết của một vành S (σ − vành, σ − đại số) trên E (E ⊂ E) là một vành
S (σ − vành, σ − đại số) các tập con của E .
Ghi chú: Nếu E ∈ S thì S là một vành (σ − vành, σ − đại số) gồm các phần tử của S
nằm trong E .
Định lý 1.4. Nghịch ảnh của một vành (σ − vành, σ − đại số) là một vành (σ − vành,
σ − đại số).
Hệ quả 1.5. Định lý này áp dụng cho vết cho ta định lý 1.3, nếu lấy ánh xạ j là phép

nhúng canonique từ E vào E; ký hiệu j : E −→ E, x −→ j(x) = x; j −1 (A) = A ∩ E .
Định lý 1.5. Cho f là một ánh xạ từ E vào F . S là một σ − vành các tập con của E.
Khi đó, họ các tập con A của F sao cho f −1 (A) ∈ S là một σ − vành trên F .
Nói ngắn gọn: nếu nghịch ảnh của một họ nằm trong một σ − vành (hoặc trường hợp
riêng là một σ − vành) thì bản thân họ đó là một σ − vành. Chứng minh định lý này suy
∞

được từ tính chất của f −1 (A \ B) và f −1 (∪ An ).
1

Định lý 1.6. Họ các tập con của E (cục bộ -địa ...) trong một σ −vành là một σ −đại số.
B là họ các tập con của E cục bộ - địa ... trong một σ − vành S gồm các tập A có
dạng: A ∈ B ⇔ A ∩ B ∈ S, ∀B ∈ S.
∞

∞

1

1

Chứng minh. (∪ An ) ∩ B = ∪(An ∩ B); (A \ A ) ∩ B = A ∩ B \ A ∩ B. E ∩ B = B ∈ S ⇒
E ∈ B. Ký hiệu B = loc(S). Rõ ràng nếu S có đơn vị thì S ⊂ loc(S). Do đó S = loc(S).

1.6

σ − vành và σ − đại số sinh bởi một họ Q

Định nghĩa 1.3. Cho Q là một họ các tập con của E. Khi đó tồn tại một σ − vành
(σ − đại số) nhỏ nhất chứa Q gọi là σ − vành (σ − đại số) sinh bởi Q, ký hiệu là σ(Q).

Tính chất: Mỗi phần tử của σ(Q) được chứa trong một hợp đếm được các phần tử của
Q. Chứng minh tương tự như trong định lý 1.1
Định lý 1.7. Giả sử Q là một họ các tập con của F . f là một ánh xạ bất kỳ từ một tập
E vào F . Khi đó: f −1 (σ(Q)) = σ(f −1 (Q)).


1.7 σ − đại số sinh bởi topo trong một không gian topo

9

σ − đại số sinh bởi topo trong một không gian
topo

1.7
1.7.1

Các tập Borel và σ − đại số Borel

Cho (X, T) là một không gian topo, T là một họ các tập mở. Khi đó, σ − đại số sinh
bởi T được gọi là σ − đại số Borel của X. σ − vành này rõ ràng là có đơn vị vì X ∈ T. Ta
ký hiệu nó là BX (T) hoặc là BX nếu không sợ nhầm lẫn với topo khác trên X. Mọi phần
tử của BX (T) gọi là tập Borel của X.

1.7.2

Trường hợp R

Định lý 1.8. Cho I là tập hợp các khoảng của R (tương ứng: tập hợp các khoảng mở,
nửa mở, đóng; có dạng ] − ∞, b], ] − ∞, b[, ]a, +∞[, [a, +∞[). Khi đó BR (T) = σ(I) và
BR (T) = σ(I ∪ {−∞} ∪ {+∞}).

Chứng minh. Dựa trên chứng minh bao hàm thức đúp: I ⊂ σ(T) và T ⊂ σ(I).
Trường hợp các khoảng mở: I ⊂ T ⇒ σ(I) ⊂ BR . Ngược lại σ(I) chứa các hợp đếm
được các khoảng mở mà mọi tập mở của R là hợp đếm được của các khoảng mở
nào đó. Do đó T ⊂ σ(I) ⇒ σ(T) ⊂ σ(I). Suy ra BR = σ(I).
Trường hợp khác: Chẳng hạn I = Ip = {[a, b[} (mở bên phải). Do ]a, b[= ∪ [a + n1 , b[.
n∈N

Suy ra ]a, b[ ∈ σ(Ip ). Do đó T ∈ σ(Id ). Ta cũng có Ip ⊂ σ(T) vì
]a, b[ = ∩

n∈N

]a −

1
, b[
n

∈ σ(T)

Do đó Ip ⊂ σ(Id ) ⊂ σ(T). Kết luận: BR = σ(Ip ).
Các trường hợp khác chứng minh tương tự.

1.8

σ − vành sinh bởi các tập compact

Cho (X, T) là một không gian topo tách. Ký hiệu K(X) là tập hợp các tập compact
của X, còn σX (K) là σ − vành sinh bởi họ K. Ta có:
σX (K) ⊂ BX (T)

Vì BX chứa các tập đóng và mọi tập compact là tập đóng (trong một không gian topo
tách) ⇒ K ⊂ BX (T) ⇒ điều phải chứng minh.
Ta nói rằng một tập con A là σ − compact trong X nếu A được chứa trong một hợp
đếm được các tập compact.
Định lý 1.9. A ⊂ σX (K) khi và chỉ khi A ∈ BX (T) và A σ − compact trong X.


1.9 Lớp đơn điệu

1.9

10

Lớp đơn điệu

1.9.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.4. Một họ M các tập con của E gọi là lớp đơn điệu nếu nó ổn định đối
với hợp đếm được của dãy tăng hay giao đếm được của dãy giảm. Nói cách khác:

1.9.2

∞

An ∈ M; Ai ⊂ Ai+1

⇒ A = ∪ An ∈ M

An ∈ M; Ai+1 ⊂ Ai

⇒ A = ∩ Ai ∈ M

n=1
∞

i=1

Ví dụ

P(E) là một lớp đơn điệu. Mọi σ − vành là lớp đơn điệu.

Lớp đơn điệu sinh bởi Q ∈ P(E)

1.9.3

• Giao của một họ các lớp đơn điệu là một lớp đơn điệu.
• Q ⊂ P(E) là lớp đơn điệu.
Định nghĩa 1.5. Ta gọi lớp đơn điệu bé nhất chứa Q là lớp đơn điệu sinh bởi Q, ký hiệu
là M(Q).
Định lý 1.10. (Định lý cơ bản) Nếu C là một vành trên E thì ta có: σ(C) = M(C).
Hệ quả 1.6. Mọi lớp đơn điệu M chứa một vành C đều chứa σ − vành sinh bởi C.
• Trong một không gian metric σ − đại số Borel là một lớp đơn điệu sinh bởi các tập
mở (tương ứng đóng).
• f là một ánh xạ từ E vào F và Q là một tập con của P(E) thì ta có:
M[f −1 (Q)] = f −1 [M(Q)]
Bài tập chương 1
Bài 1. Cho Q là một tập con của P(E) sao cho: A, B ∈ Q ⇒ A ∪ B ∈ Q và A ∩ B ∈ Q.
Q có phải là một vành, hay nửa vành hay không?

Bài 2. Cho Q là một họ các tập con của E. Ta đặt:
(i) Họ C1 bao gồm ∅, E và các tập A ∈ P(E) sao cho A ∈ Q hoặc CA ∈ Q.
(ii) Họ C2 gồm các giao hữu hạn của các phần tử của C1 .
(iii) Họ C3 gồm các hợp hữu hạn của các phần tử của C2 từng đôi không giao nhau.
Chứng minh rằng C3 là vành đơn vị sinh bởi Q.


Chương 2
Độ đo dương
2.1

Đại cương về độ đo dương

2.1.1

Hàm tập cộng tính

Định nghĩa 2.1. Một hàm tập cộng tính trên một vành C là một ánh xạ µ từ C vào một
tập F có trang bị một phép toán cộng (chẳng hạn nhóm, không gian vector, ...). Ánh xạ
này thỏa mãn tiên đề:
µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)

nếu A ∩ B = ∅

Trong thực hành: F = R+ , R, R, C.
Hệ quả 2.1. Khi F = R+ . Mọi hàm tập cộng tính trên vành C nhận giá trị trong R+ có
các tính chất sau:
(i) µ(∅) = 0 trừ khi µ(A) = ∞ với mọi A ∈ C. (Ta sẽ giả thiết µ(∅) = 0 để tránh
trường hợp riêng µ(A) = ∞, ∀A ∈ C)
(ii) (Tính đơn điệu) Nếu A ⊂ B thì µ(A) ≤ µ(B).

(iii) Nếu A ⊂ B và µ(A) < ∞ thì µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
(iv) Với mọi hợp hữu hạn các phần tử từng đôi không giao nhau thuộc C:
n

n

µ( ∪ Aj ) =
j=1

µ(Aj )

(cộng tính hữu hạn)

j=1

Với mọi hợp hữu hạn các phần tử của C:
n

n

µ( ∪ Aj ) ≤
j=1

Chứng minh.

µ(Aj )

(cộng tính dưới)

j=1

(i) µ(A ∪ ∅) = µ(A) + µ(∅) = µ(A) ⇒ µ(∅) = 0 nếu tồn tại A ∈ C sao

cho µ(A) < ∞.


2.1 Đại cương về độ đo dương

12

(ii) B = A∪(B\A) ⇒ µ(B) = µ(A)+µ(B\A) mà µ(B\A) ≥ 0 nên suy ra µ(B) ≥ µ(A).
Ngoài ra nếu µ(A) < ∞ thì ta có:
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A)

⇒ (iii)

• Cộng tính hữu hạn: hiển nhiên

(iv)

n

n−1

j=1

j=1

• Cộng tính dưới: do ∪ Aj = A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ . . . ∪ (An \ ∪ Aj ). Chúng từng
đôi không giao nhau nên ta có:

n

n−1

j=1

j=1

µ( ∪ Aj ) = µ(A1 ) + µ(A2 \ A1 ) + . . . + µ(An \ ∪ Aj )
≤ µ(A1 ) + µ(A2 ) + . . . + µ(An )
n

n

j=1

j=1

Suy ra µ( ∪ Aj ) ≤

µ(Aj ). Nếu một trong các µ(Aj ) vô hạn thì kết quả là

tầm thường.

Ví dụ:
1. Trên P(E), µ : P(E) −→ Z ∪ {∞} định nghĩa bởi:
µ(A) =

card(A)
∞

nếu card(A) < ∞
trong các trường hợp còn lại

Hàm cộng tính này được gọi là độ đo đếm.
2. Cho E = [α, β[. Tập hợp C là tập hợp của các hợp hữu hạn của các khoảng có dạng
[a, b[ ⊂ [α, β[. C là một đại số. (sinh bởi nửa vành {[a.b[}). Ta biết rằng mọi phần
tử của C là một hợp hữu hạn các khoảng [ak , bk [ rời nhau. Giả sử Φ là một hàm
không giảm trên [α, β[ nhận giá trị thực. Ta đặt:
µΦ ([a, b[) = Φ(b) − Φ(a)
Giả sử A ∈ C:
n

A = ∪ [ak , bk [,
k=1

a1 ≤ b1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ ... ≤ an ≤ bn

n

[Φ(bk ) − Φ(ak )]. Ta có thể kiểm tra được rằng nếu A có

Ta định nghĩa: µΦ (A) =
k=1

thể phân tích một cách khác thì µΦ (A) không phụ thuộc vào sự phân tích của A.
Khi đó: µΦ là một hàm cộng tính trên C nhận giá trị trong R+ .


2.1 Đại cương về độ đo dương

2.1.2

13

Độ đo dương

Định nghĩa 2.2. Một hàm tập định nghĩa trên một vành C, nhận giá trị trong một
không gian topo có trang bị phép toán cộng F được gọi là σ − cộng tính (hay cộng tính
đếm được) trên C nếu thỏa mãn tiên đề:
∞

∞

µ( ∪ An ) =
n=1

µ(An )
n=1

với mọi dãy {An } các phần tử của C, từng đôi không giao nhau: Ai ∩ Aj = ∅ nếu i = j và
∞

∪ An ∈ C. Trong trường hợp µ nhận giá trị trong R+ , µ gọi là độ đo dương.

n=1

Tùy theo miền giá trị, ta công nhận các thuật ngữ sau đây:
• Độ đo thực: µ nhận giá trị trong R.
• Độ đo phức: µ nhận giá trị trong C.

• Độ đo dương hữu hạn: µ nhận giá trị trong R+ .
• Độ đo có dấu hay độ đo thực tổng quát: µ nhận giá trị trong R và nhận nhiều nhất
một giá trị +∞ hoặc −∞.
• Một độ đo thực hoặc phức gọi là giới nội hay bị chặn khi và chỉ khi tồn tại M > 0
sao cho ∀A ∈ C: |µ(A)| ≤ M .
• Một độ đo dương được gọi là σ − hữu hạn khi và chỉ khi ∀A ∈ C, tồn tại {An },
An ∈ C sao cho:
∞

A ⊂ ∪ An

µ(An ) < ∞ ∀n ∈ N.

với

n=1

Ghi chú: Chứng minh được rằng mọi độ đo thực hoặc phức trên một σ − vành nhất thiết
bị chặn.
Nghiên cứu về độ đo nhận giá trị vector, nói chung: µ : A −→ µ(A) ∈ X; X là không
gian vector topo (tách) không đề cập trong giáo trình này.
Hệ quả 2.2. Các kết quả trong 2.1.1 vẫn đúng cho F = R+ , ở đây ta có thêm tính
σ − cộng tính dưới:
∞

∞

µ(∪ An ) ≤
1

µ(An )
n=1

∞

∞

1

1

Chứng minh. Bằng cách viết ∪ An = ∪ Bn , Bn từng đôi không giao nhau.
Ví dụ: Độ đo định nghĩa bởi khối lượng:
Cho C vành của các tập con hữu hạn của một tập E bất kỳ (σ(C) là họ các tập đếm
được). α là một hàm: α : E −→ R+ . Ta đặt:
µ(A) =

α(x)
x∈A

∀A ∈ C


2.1 Đại cương về độ đo dương

14

µ là một độ đo dương trên C. Ta nói rằng độ đo này được định nghĩa bởi các khối
lượng α(x) đặt tại các điểm của E. Nếu α làm cho các họ {α(x)}x∈E khả tổng, khi đó
α(x) < ∞, ∀A ∈ P(E) thì µ là một độ đo bị chặn trên P(E).

x∈A

Độ đo Dirac: Trên P(E), ta xét độ đo Dirac δx0 định nghĩa bởi:
nếu x0 ∈ A
nếu x0 ∈
/A

1
0

δx0 (A) =

Độ đo Borel-Stieltjes: Ta xét lại ví dụ 2 ở mục 2.1.1. Khi C là đại số sinh bởi họ nửa
vành {[a, b[} trên [α, β[ và độ đo xây dựng từ một hàm Φ không giảm trên [α, β[ nhận giá
trị thực:
µΦ ([a, b[) = Φ(b) − Φ(a)
Ta đã chứng minh µΦ là một hàm tập cộng tính trên C, nhận giá trị trong R+ . Ta hãy
tìm điều kiện để µΦ trở thành một độ đo dương (tức là σ − cộng tính).
Điều kiện cần: Ta viết:
[a, b[ = a, b −

η
2

∞

∪ b−

k=1

η
η
, b − k+1
k
2
2

(với η < 2(b − a)). Ta sẽ có:
µΦ ([a, b[) = Φ(b) − Φ(a) do µΦ σ -cộng tính nên có dấu bằng
∞

=Φ b−

η
η
η
− Φ(a) +
Φ b − k+1 − Φ b − k
2
2
2
k=1

Nghĩa là: Φ(b) − Φ(a) = lim Φ b −
k→∞

η
2k+1

− Φ(a). Như vậy: Φ(b− ) = Φ(b) khi và chỉ khi

Φ liên tục trái.
∞

Điều kiện trên là đủ: Để chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ với [a, b[ = ∪ In , In = [an , bn [
n=1

từng đôi không giao nhau ta có:
∞

µ([a, b[) =

µ(In )
n=1

với mọi phân đoạn In . Với mọi n cố định, ta có thể sắp thứ tự các khoảng I1 , I2 , ..., In sao
cho a1 ≤ b1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ ... ≤ an ≤ bn (thay đổi thứ tự nếu cần). Khi đó
n

µ(Ip ) = Φ(bn ) − Φ(an ) + . . . + Φ(b1 ) − Φ(a1 )
p=1
∞

n

µ(Ip ) ≤ Φ(b) − Φ(a) = µ([a, b[). Ngược lại, ta chứng tỏ: µ([a.b[) ≤

Suy ra:
p=1

µ(In ).
n=1

Ta thay [a, b[ bằng compact [a, b ] với b < b sao cho:
Φ(b ) ≥ Φ(b) −

ε
2

do Φ liên tục trái và đơn điệu


2.1 Đại cương về độ đo dương

15

và thay các khoảng nửa mở In = [an , bn [ bởi các khoảng mở In =]an , bn [ với an < an và
∞
ε
Φ(an ) > Φ(an ) − n+1 . Suy ra [a, b ] ⊂ ∪ In . Vì [a, b ] là một tập compact nên ta có thể
n=1
2
trích một họ hữu hạn các tập mở từ phủ mở {In } của [a, b ]. Với họ phủ mở hữu hạn này,
ta có thể bỏ đi các khoảng nằm trong một khoảng khác. Ta có thể sắp thứ tự các đầu
mút các khoảng và ta có:
bnp −1 > anp

Φ(anp ) ≤ Φ(bnp −1 )

trong đó

Khi đó:

m

Φ(b ) − Φ(a) ≤

Φ(bnp ) − Φ(anp )
p=1

Khi đó:

∞

m

Φ(b) − Φ(a) ≤

Φ(bnp ) − Φ(anp ) +
p=1

n=1

ε
2n+1

+

ε
2

∞

Suy ra: Φ(b) − Φ(a) ≤

µ(In ) + ε. Vậy ta có điều phải chứng minh.
n=1

Độ đo cảm sinh và độ đo co
Giả sử A ∈ C, vết của C trên A là họ CA các phần tử của C nằm trong A. Độ đo cảm
sinh µA là hạn chế của µ trên vành CA .
Độ đo co µ(A) được định nghĩa như sau: ∀B ∈ C, B −→ µ(A) (B) = µ(A ∩ B) với A ∈ C
cố định. Rõ ràng nếu B ⊂ A (tức là nếu B ∈ CA ) ta có:
µA (B) = µ(A) (B)
nhưng µ(A) định nghĩa trên C chứ không phải trên CA như µA .

2.1.3

Tính chất của độ đo dương

Định lý 2.1. (liên tục dưới và liên tục trên bởi các dãy đơn điệu)
∞

(i) Với mọi dãy {An } tăng: An ⊂ An+1 , An ∈ C, ∪ An ∈ C ta có:
1

∞

∞

µ( ∪ An ) = lim µ(An ) = sup µ(An )
n=1

n→∞

(ký hiệu lim An = ∪ An )
1

n
∞

(ii) Với mọi dãy {An } giảm: An ⊃ An+1 , An ∈ C, ∩ An ∈ C ta có:
1

∞

∞

µ( ∩ An ) = lim µ(An ) = inf µ(An )
n=1

n→∞

(ký hiệu lim An = ∩ An )

n

1

nếu tồn tại n0 sao cho µ(An0 ) < ∞.

∞

(iii) Trường hợp (ii) với ∩ An = ∅. Khi đó:
1

∞

µ(∩ An ) = lim µ(An ) = inf µ(An ) = 0
1

n→∞

n


2.1 Đại cương về độ đo dương

16

Chứng minh. Ta biến đổi {An } thành một dãy các phần tử không giao nhau thuộc C.
∞

∞

1

1

(i) B1 = A1 , B2 = A2 \ A1 , ..., Bn = An \ An−1 . Khi đó ∪ An = ∪ Bp , Bp ∈ C. Vì các
Bp rời nhau từng đôi, ta có:

∞

∞

µ(∪ Bp ) =
1

n
n→∞

1

n

µ(Bp ) = lim µ(∪ Bp ) = lim µ(An ) ⇒ dpcm

µ(Bp ) = lim

n→∞

1

1

n→∞

(ii) Giả sử n0 : µ(An0 ) < ∞. Ta dẫn về trường hợp (i) bằng cách đặt:
Bn = An0 − An

≥ n0

với n

(1)

⇒ {Bn } là một dãy tăng các phần tử của C và ∪Bn = ∪(An0 \ An ) = An0 \ ∩ An .
n≥n0

Ta suy ra:
∞

∞

n=n0

n=n0

µ( ∪ Bn ) = µ(An0 ) − µ( ∩ An )

(2)

∞

vì µ( ∩ An ) ≤ µ(An ) ≤ µ(An0 ) < ∞. Từ (i), ta có:
n=n0

∞

µ( ∪

n=n0 +1

Bn ) = sup µ(Bn ) = lim µ(An )

(3)

n→∞

n

Một mặt theo (1): lim µ(Bn ) = µ(An0 ) − lim µ(An ) hay sup µ(Bn ) = µ(An0 ) −
n→∞

inf µ(An ). Mặt khác theo đẳng thức (2), ta có hai công thức như trên với ∪ Bn
n

n≥n0

và ∩ An bằng cách thay tương ứng Bn và An , tính đến đẳng thức (3) và µ(An0 )
n≥n0

hữu hạn.
(iii) Trường hợp riêng của (ii): µ(∅) = 0 và ∅ ∈ C.

Ghi chú: Giả sử A ∈ C, A được gọi là giới hạn của dãy {An }, An ∈ C theo nghĩa {An } là
∞
dãy tăng: An ⊂ An+1 thì A = lim An = ∪ An . Kết quả (i) có thể viết: µ(A) = lim µ(An )
n→∞

1

n→∞

nếu {An } là dãy tăng và hội tụ đến A khi n → ∞ nên ta dùng thuật ngữ liên tục "dưới"
hay "từ dưới". Kết quả tương tự cho kết quả (ii) và ta nói liên tục trên hay từ trên ({An }
∞
là dãy giảm, A = lim An = ∩ An ).
n→∞

1

Định nghĩa 2.3. Cho {an }∞
1 là một dãy số. Ta định nghĩa:
lim inf an = lim an = sup inf (an )
k

n≥k

lim sup an = lim an = inf sup(an )
k n≥k

Định nghĩa 2.4. Đối với dãy tập hợp {An } ta có định nghĩa:
∞

lim An = ∩ ∪ An
k=1 n≥k
∞

lim An = ∪ ∩ An
k=1 n≥k

(chú ý { ∪ An }k là dãy giảm theo k)
n≥k

(chú ý { ∩ An }k là dãy tăng theo k)
n≥k

Nếu lim An = lim An , ta nói dãy {An } hội tụ.


2.1 Đại cương về độ đo dương

17

Một quan hệ giữa hai khái niệm đối với dãy số và dãy tập hợp được cho bởi:

ở đây 1A (x) =

1
0

1lim

An (x)

= lim 1An (x)

1lim

An (x)

= lim 1An (x)

nếu x ∈ A
.
nếu x ∈
/A

Ghi chú: Điều kiện tồn tại n0 sao cho µ(An0 ) < ∞ là không thể thiếu. Xem ví dụ
sau: µ là độ đo đếm. Đặt An = {m| m ∈ N, m ≥ n}, ta có µ(An ) = +∞ với mọi n nhưng
∩An = ∅ và µ(∩An ) = 0.
Định lý 2.2. (Định lý đảo của định lý 2.1)
(j) Mọi hàm tập cộng tính nhận giá trị trong R+ thỏa mãn (i) là một độ đo dương.
(jj) Mọi hàm tập cộng tính hữu hạn thỏa mãn (ii) hoặc (iii) là một độ đo dương.
Chứng minh.

n

n

1

1

n

(j) Đặt ∪ An = ∪ Bn với Bn = ∪ Ap . µ(∪ Ap ) =
n

n

µ(Ap ) vì µ cộng tính
1

∞

hữu hạn và các Ap từng đôi không giao nhau. Vì dãy {Bn } tăng và ∪ Bn ∈ C, ta có,
1

theo giả thiết (i):
n

∞

µ( ∪ Bn ) = lim µ(Bn ) = lim
n=1

∞

µ(Ap )

n→∞

p=1

∞

tức là: µ( ∪ An ) =
n=1

n→∞

µ(An ).
1
∞

(jj) Giả sử µ hữu hạn và ta sử dụng giả thiết (iii). Giả sử A = ∪ An , A ∈ C, An ∈ C
1

từng đôi không giao nhau suy ra:
n

n

µ ∪ Ap =
1

µ(Ap )
p=1

Hơn nữa:
n

n

1

1

µ A − ∪ Ap = µ(A) − µ ∪ Ap

vì µ hữu hạn.

Khi đó:
n

n

1

p=1

µ(A) = µ ∪ Ap + µ ∩ (A − Ap )
n

Đặt Bn = ∩(A − Ap ); {Bn } là một dãy giảm các phần tử của C. Ta có:
1

∞

∞

∞

1

1

1

∩ Bn = ∩(A − Ap ) = A − ∪ Ap = ∅

Từ đó sử dụng (iii), ta có: lim µ(Bn ) = µ(∅) = 0. Như vậy:
n→∞

∞

n

∞

µ ∪ An = lim µ ∪ Ap =
1

n→∞

1

µ(Ap )
1


2.1 Đại cương về độ đo dương

18

Đọc thêm
Định lý 2.3. (Tổng quát định lý 2.1) Nếu µ là một độ đo dương, ta có các kết quả sau:
(i) µ(lim An ) ≤ lim µ(An )
(ii) Nếu tồn tại n0 sao cho µ( ∪ An ) < ∞. Khi đó:

n≥n0

µ(lim An ) ≥ lim µ(An )
(iii) Nếu dãy {An } hội tụ dưới điều kiện (ii) ở trên, ta có:
lim µ(An ) = µ( lim An )

n→∞

n→∞

∞

∞

Chứng minh. Ta dùng định nghĩa: lim An = ∪ ∩ An = ∪ Bk , {Bk } ↑ từ đó theo định
k=1 n≥k

k=1

lý 2.1:
∞

µ( ∪ Bk ) = sup µ(Bk )
k=1

k

nhưng µ(Bk ) ≤ µ(An ), ∀n ≥ k, từ đó:
µ(Bk ) ≤ inf µ(An )
n≥k

⇒

µ(lim An ) ≤ lim µ(An )

Đối với (ii), ta dùng định nghĩa rồi dùng (ii) của định lý 2.1. Cuối cùng: lim An = lim An .
Suy ra
lim µ(An ) ≤ µ(lim An ) = µ(lim An ) ≤ lim µ(An ) ⇒ µ(lim An ) = lim µ(An )

2.1.4

Op´
erations sur les mesures positives

Propri´
et´
es imm´
ediates: Nếu {µj }nj=1 là một họ độ đo dương, khi đó:
n

µ=

aj ≥ 0

aj µ j ,
j=1

cũng là một độ đo dương.
Trường hợp riêng: Tập hợp các độ đo dương là một nón lồi: µ1 , µ2 là độ đo dương ⇒
αµ1 + (1 − α)µ2 là độ đo dương với α ∈ [0, 1].

Định lý 2.4. Giới hạn của một họ tăng các độ đo dương là một độ đo dương.
Chứng minh. Giả sử j ∈ J (tập hợp các chỉ số có thứ tự J ∈ R+ ) và {µj }, j ∈ J là một
họ tăng các độ đo theo nghĩa:
j≤k

⇒

µj ≤ µk

⇔

µj (A) ≤ µk (A),

∀A ∈ C.

Khi đó: µ = sup µj định nghĩa bởi µ(A) = sup µj (A), ∀A ∈ C là một độ đo. Ta kiểm
j∈J

tra được:

j∈J


2.1 Đại cương về độ đo dương

19

• µ(∅) = 0 vì µ(∅) = sup µj (∅) = 0.
j∈J

• µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B). Thật vậy µ(A ∪ B) = sup(µj (A) + µj (B)). Sau đó do họ
j∈J

tăng, ta có:
sup(µj (A) + µj (B)) = sup µj (A) + sup µj (B) = µ(A) + µ(B)
j

j∈J

j

nếu mọi sup là hữu hạn. Còn nếu có một sup vô hạn thì kết quả dễ.
• µ liên tục đối với dãy tăng:
∞

∞

µ(∪ An ) = sup µj ∪ An = sup sup µj (An )
1

1

j

n

j

⇒ điều phải chứng minh

= sup sup µj (An ) = sup µ(An )
n

n

j

Định lý 2.5. Tổng của một họ khả tổng các độ đo dương là một độ đo dương.
Chứng minh. Giả sử I là một tập hợp bất kỳ, J ⊂ I, card J < ∞. Khi đó µJ =

µj là
j∈J

một độ đo dương và {J} là một họ loc trên, họ µJ là một họ tăng:
J ⊂J

⇒

µJ ≤ µJ

và J1 và J2 ⊂ J1 ∪ J2 ⇒ µJj ≤ µJ1 ∪J2 ; rồi sử dụng các tính chất của chương trước.
Ghi chú: Điều kiện tăng đòi hỏi ở mục 2.1.2 là cần. Nếu không thỏa mãn ta không thể có
tính chất đó.

2.1.5

Độ đo chính quy (trên một không gian topo)

Định nghĩa 2.5. Một hàm tập cộng tính µ trên một vành C của một không gian topo X
nhận giá trị trong R+ gọi là chính quy nếu thỏa mãn các tính chất: ∀ε > 0, ∀A ∈ C, ∃K ∈

C, ∃F ∈ C với K compact tương đối sao cho:
◦

K ⊂ A ⊂ F,

µ(A \ K) < ε,

µ(F \ A) < ε

Ví dụ: Các độ đo µΦ là chính quy.
Định lý 2.6. Nếu µ là một hàm tập cộng tính nhận giá trị trong R+ , định nghĩa trên
một vành C và chính quy thì µ là một độ đo dương (tức là σ − cộng tính).
Chứng minh. Giống như chứng minh khi nghiên cứu µΦ . Ta cần chứng minh µ là σ −
cộng tính.
Một mặt:
p

∞

1

1

µ(∪ An ) ≤ µ(∪ An )
p

∞

µ(An ) ≤ µ(∪ An )
1

1


2.2 Độ đo ngoài

20

∞

∞

µ(An ) ≤ µ(∪ An ).

Suy ra:

1

1

∞

Mặt khác: Với mọi ε > 0 tồn tại K với K compact sao cho: K ∈ C, K ⊂ ∪ An ,
1
◦
n
ε
µ(∪ An − K) < . Hơn nữa có thể chọn một dãy {Fn } sao cho: Fn ∈ C, An ⊂ Fn với
1
2

◦
ε
µ(Fn − An ) < n+1
2
◦

Họ {Fn } lập thành một phủ mở của K compact. Ta có thể trích từ đó một phủ mở hữu
hạn của K:
m

m ◦

1

1

∪ Fn ⊃ ∪ Fn ⊃ K ⊃ K
Khi đó:
∞

∞

1

1

µ(∪ An ) = µ(K) + µ(∪ An − K) ≤ µ(K) +

ε
2

Suy ra:
m

∞

µ(∪ An ) ≤
1

µ(Fn ) +
1

ε
≤
2

m

m

ε

µ(An ) +
1

n=1

2n+1

+

∞
ε
⇒ µ(∪ An ) ≤
1
2

m

µ(An ) + ε
1

∞

∞

Từ đó suy ra: µ(∪ An ) ≤
1

µ(An ).
1

Ghi chú: Một định nghĩa đặc thù có thể hình thành từ khái niệm tập chính quy trong
và chính quy ngoài đối với vành Borel BX (T).
S là một vành chứa BX (T). Ta nói rằng A ∈ S chính quy ngoài khi và chỉ khi:
µ(A) =

inf

A⊂O; O∈C

µ(O)

(T là họ các tập mở).

A ∈ S chính quy trong khi và chỉ khi:
µ(A) =

sup

µ(K);

µ(K) < ∞

(K là họ các tập compact)

K⊂A; K∈K

µ được gọi là chính quy trên S nếu mọi phần tử của S vừa chính quy trong vừa chính
quy ngoài.
Kiểm tra được rằng nếu µ(A) hữu hạn, tồn tại O và K sao cho K ⊂ A ⊂ O và:
µ(A − K) < ε,

µ(O − A) < ε

(Trong chương 10 dùng các tính chất này để nghiên cứu quan hệ giữa độ đo Radon và độ
đo dương).

2.2

Độ đo ngoài

Đặt vấn đề: Cho trước một độ đo dương µ trên một vành C, ta có thể nới rộng độ
đo này lên σ − vành sinh bởi C hay không?
Câu trả lời: Có, thậm chí có thể thác triển mọi độ đo dương lên một σ − vành chứa
σ(C) (phương pháp chứng minh dùng độ đo ngoài của Caratheodory).


2.2 Độ đo ngoài

2.2.1

21

Độ đo ngoài

Định nghĩa 2.6. Cho E là một tập hợp nào đó. Độ đo ngoài T trên P(E) là một ánh
xạ từ P(E) vào R+ thỏa mãn các tiên đề:
(i) T(∅) = 0.
(ii) A ⊂ B ⇒ T(A) ≤ T(B), với mọi A, B ∈ P(E) (tính đơn điệu tăng).
∞

∞

1

1

(iii) T(∪ An ) ≤

T(An ), ∀{An } ⊂ P(E) (σ − cộng tính dưới).

Dễ thấy một độ đo ngoài cộng tính là một độ đo dương. Vì một mặt:
∞

∞

T(∪ An ) ≤

T(An )

1

1

p

∞

1

1

p

∞

T(An ) ≤ T(∪ An ). Suy ra

Mặt khác theo (ii), T(∪ An ) ≤ T(∪ An ). Do đó:

1

1

∞

∞

T(An ) ≤ T(∪ An )
1

1

nếu {An } từng đôi không giao nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.

2.2.2

Độ đo ngoài liên kết với độ đo µ

Định lý 2.7. Giả sử µ là một độ đo dương trên một vành C các tập con của E, ta định
nghĩa ánh xạ µ∗ : P(E) → R+ bởi:
∞

µ∗ (A) = inf

µ(Bn ),

∀A ∈ P(E)

(1)

1
∞

cận dưới đúng được lấy trên mọi dãy {Bn }, Bn ∈ C sao cho A ⊂ ∪ Bn ; và µ∗ (A) = +∞
1

nếu không tồn tại một phủ như thế. Khi đó µ∗ là một độ đo ngoài mà hạn chế trên C là
µ.
Ghi chú:

Dưới đây chứng minh với giả thiết (1). Trong trường hợp µ∗ (A) = +∞

chứng minh dễ (trường hợp này không xảy ra nếu vành C có đơn vị vì ta có A ⊂ E,
E ∈ C).
CM trước hết:

µ∗ = µ trên C. A ∈ C ⇒ µ∗ (A) ≤ µ(A). Ngược lại cho {Bn } ⊂ C;

∞

n−1

∞

∞

∞

n=1

1

n=1

1

1

A ⊂ ∪ Bn . Đặt A1 = B1 , An = Bn − ∪ Bj , A ⊂ ∪ Bn , Bn ∈ C. Khi đó ∪ Bn = ∪ An
và các An từng đôi rời nhau nên:
∞

∞

µ(A ∩ An ) ≤

µ(A) =
1

µ(Bn )
1

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ta chứng minh rằng µ là một độ đo ngoài:

⇒

µ(A) ≤ µ∗ (A)

2.2 Độ đo ngoài

22

(i) µ∗ (∅) = µ(∅) = 0 vì ∅ ∈ C.
∞

(ii) A ∈ P(E), B ∈ P(E), A ⊂ B ⇒ µ∗ (A) ≤ µ∗ (B). ∀ε > 0, ∃{Bj }∞
j=1 ∈ C, B ⊂ ∪ Bj
1

và
µ(Bj ) ≤ µ∗ (B) + ε
j
∞

Nhưng A ⊂ ∪ Bj ⇒ µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) + ε với mọi ε > 0.
1

∞

(iii) Giả sử {Aj }∞
j=1 ∈ C. Với mỗi Aj , với mọi ε > 0 tồn tại một phủ đếm được ∪ Bj,k
k=1

với:

∞

ε
µ(Bj,k ) ≤ µ∗ (Aj ) + ,
2
k=1

∀ε > 0

mà ∪ ∪ Bj,k ⊃ ∪ Aj . Do đó:
j k

j

∞

µ∗ (∪ Aj ) <
j

µ∗ (Aj ) +

µ(Bj,k ) <
j

j=1

k

ε
2j

Suy ra:
µ∗ (∪ Aj ) ≤
j

2.2.3

µ∗ (Aj ) + ε,

∀ε > 0.

j

Tập hợp T − đo được (theo nghĩa Caratheodory)

Định nghĩa 2.7. Cho E là một tập nào đó và T là một độ đo ngoài trên P(E). Một tập
A ∈ P(E) gọi là T − đo được khi và chỉ khi:
T(X) = T(A ∩ X) + T(Ac ∩ X),

∀X ∈ P(E).

(1)

Ghi chú: T(E) = T(A) + T(Ac ) nếu A là T − đo được.
Định lý 2.8. (Caratheodory) Cho T là một độ đo ngoài trên P(E). Các tập T −đo được
của E lập thành một σ − đại số B0 mà trên đó T là một độ đo.
Chứng minh.

(i) ∅ và E ∈ B0 (dễ thấy).

(ii) A ∈ B0 ⇒ Ac ∈ B0 vì biểu thức trong định nghĩa 2.7 đối xứng với hai tập này.

(iii) A ∈ B0 , B ∈ B0 . Ta chứng minh A ∩ B ∈ B0 . Vì A ∈ B0 , ta có:
T((A ∩ B)c ∩ X) = T(A ∩ (A ∩ B)c ∩ X) + T(Ac ∩ (A ∩ B)c ∩ X)
Suy ra:
T((A ∩ B)c ∩ X) = T(A ∩ B c ∩ X) + T(Ac ∩ X)
Suy ra:
T((A ∩ B)c ∩ X) + T(A ∩ B ∩ X) = T(A ∩ B c ∩ X) + T(A ∩ B ∩ X) + T(Ac ∩ X)


2.2 Độ đo ngoài

23

Do B ∈ B0 , ta có thể viết:
T(A ∩ B c ∩ X) + T(A ∩ B ∩ X) = T(A ∩ X)
Do đó:
T((A ∩ B)c ∩ X) + T(A ∩ B ∩ X) = T(X)
Suy ra A ∩ B ∈ B0 ⇒ B0 là một đại số.
(iv) Ta viết hệ thức (1) với (A ∪ B) ∩ X thay cho X. Ta có:
T((A ∪ B) ∩ X) = T(A ∩ X) + T(B ∩ X),

với A ∩ B = ∅

Từ đó với phép lặp, ta suy ra:
n

n

T (∪ Ap ) ∩ X =

T(Ap ∩ X),

1

với Ai ∩ Aj = ∅; i = j

(1)

p=1
n

Cho {An }∞
1 ⊂ B0 , Ai ∩ Aj = ∅; i = j ⇒ ∪ Ap ∈ B0 . Khi đó:
1

n

n

1

1

T(X) = T (∪ Ap ) ∩ X + T (∪ Ap )c ∩ X ,

∀X ∈ P(E)

Suy ra:
n

n

T(Ap ∩ X) + T (∪ Ap )c ∩ X

T(X) ≥

1

p=1

Theo (1) và tính chất (i) của độ đo ngoài suy ra:
∞

∞

T(Ap ∩ X) + T (∪ Ap )c ∩ X ≤ T(X)
1

1

Suy ra:
∞

∞

1

1

∞

T(X) ≤ T (∪ Ap ) ∩ X + T (∪ Ap ) ∩ X ≤

∞

T(Ap ∩ X) + T (∪ Ap )c ∩ X ≤ T(X)

c

1

1

(2)
Vậy ta suy ra:
∞

∞

1

1

T(X) = T (∪ Ap ) ∩ X + T (∪ Ap )c ∩ X
∞

Suy ra ∪ Ap ∈ B0 . Vậy B0 là một σ − đại số.
1

(v) T là một độ đo trên B0 . Các bất dẳng thức (2) là đẳng thức, suy ra:
∞

T(X) =

∞

T(Ap ∩ X) + T (∪ Ap )c ∩ X ,
1

1

∀X ∈ P(E).

∞

Đặt X = ∪ Ap , suy ra:
1

∞

∞

T(∪ Ap ) =
1

∞

T(Ap ) + T(∅) =
1

T(Ap )

1


2.2 Độ đo ngoài

2.2.4

24

Thác triển (Nới rộng) một độ đo

Định lý 2.9. (Hahn) Mọi độ đo dương trên một vành C có thể thác triển thành một độ
đo dương lên σ − vành sinh bởi C: σ(C). Nếu µ là một độ đo σ − hữu hạn thì độ đo thác
triển là duy nhất và cũng là σ − hữu hạn.
Định nghĩa 2.8. µ là độ đo trên C. Ta nói µ là độ đo thác triển của µ lên σ(C) nếu µ
là độ đo trên σ(C) và µ(A) = µ (A), với mọi A ∈ C. Ký hiệu: µ

C

= µ.

Chứng minh. Theo định lý 2.7, ta có thể thác triển µ thành một độ đo ngoài, ký hiệu là µ∗
lên P(E). Sau đó sử dụng định lý Caratheodory cho µ∗ , ta biết rằng các tập µ∗ − đo được
lập thành một σ − đại số B0 mà trên đó µ∗ là một độ đo. Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh
B0 chứa C. Cho A ∈ C và B ∈ P(E). Khi đó giả sử ∀ε > 0, tồn tại dãy {An }∞
1 , An ∈ C
∞

sao cho: B ⊂ ∪ An với
1

∞

µ(An ) ≤ µ∗ (B) + ε

(1)

n=1

⇒ {A ∩ An } lập thành một phủ mở của A ∩ B và {Ac ∩ An } phủ Ac ∩ B. Suy ra:
∞

∞

µ∗ (Ac ∩ An )

µ∗ (A ∩ An ) +

µ∗ (B) ≤ µ∗ (A ∩ B) + µ∗ (Ac ∩ B) ≤

n=1

n=1

nhưng
∞

∞
∗

∞
∗

µ (A ∩ An ) +

c

µ (A ∩ An ) =

1

1

∞

µ(A ∩ An ) +
1

∞
c

µ(A ∩ An ) =
1

µ(An )
1

Vì µ∗ = µ là một độ đo trên C và A ∩ An , Ac ∩ An ∈ C. Suy ra:
µ∗ (B) ≤ µ∗ (A ∩ B) + µ∗ (Ac ∩ B) ≤ µ∗ (B) + ε,

∀ε > 0

Theo (1) suy ra:
µ∗ (B) = µ∗ (A ∩ B) + µ∗ (Ac ∩ B)

(2)

Nếu µ∗ (B) = +∞. Khi đó ít nhất một trong hai số µ∗ (A ∩ B) và µ∗ (Ac ∩ B) là vô hạn
nên đẳng thức (2) vẫn đúng với mọi B ∈ P(E). Suy ra: A ∈ B0 và C ⊂ B0 .

∞

Nếu µ là σ − hữu hạn thì thác triển là σ − hữu hạn. A ⊂ σ(C), suy ra A ⊂ ∪ An ,
1

An ∈ C. Nhưng µ là σ − hữu hạn, suy ra tồn tại dãy {An,m }, An,m ∈ C, µ(An,m ) < ∞ sao
∞

cho: An ⊂ ∪ An,m . Suy ra
m=1

∞

∞

A ⊂ ∪ ∪ An,m ,
n=1 m=1

µ(An,m ) < ∞

Do đó nếu µ1 là một thác triển của µ, ta có thể suy ra ∀A ∈ σ(C); tồn tại {Bp },
∞

Bp ∈ C sao cho: A ⊂ ∪ Bp , µ1 (Bp ) < ∞.
1

Tính duy nhất của thác triển khi µ là σ − hữu hạn. Trước hết giả sử µ hữu hạn.
Nếu µ1 và µ2 là hai độ đo hữu hạn trên một σ − vành. Tập hợp các phần tử A sao cho


2.2 Độ đo ngoài

25

µ1 (A) = µ2 (A) là một lớp đơn điệu (theo định lý 2.1). Bây giờ giả sử µ1 và µ2 là hai thác
triển của µ định nghĩa trên C. Theo định nghĩa:
µ1 (A) = µ2 (A) = µ(A),

∀A ∈ C.

Suy ra: C ⊂ M, với M là lớp đơn điệu gồm các tập A sao cho: µ1 (A) = µ2 (A). Từ đó
σ(C) ⊂ M (Bổ đề về các lớp đơn điệu). Khi đó µ1 (A) = µ2 (A) với mọi A ∈ σ(C).
Bây giờ giả sử µ là σ − hữu hạn, còn µ1 và µ2 là hai thác triển của µ. A ∈ σ(C) ⇒
∞

A ⊂ ∪ Bn , µ(Bn ) < ∞, Bn ∈ C. Ta có thể giả thiết các {Bn } từng đôi không giao nhau.
1

∞

Khi đó A = ∪ An với An = A ∩ Bn . Cho µ1,n là độ đo co của µ1 bởi Bn . Từ định nghĩa
1

µ1,n (A) = µ1 (An ) = µ1 (A ∩ Bn )
µ1,n là một độ đo hữu hạn trên σ(C) vì:
µ1,n (Bn ) = µ1 (Bn ) = µ(Bn ) < ∞
Tương tự, độ đo co của µ2 trên Bn là một độ đo co hữu hạn trên σ(C). Theo kết quả
trên, hai độ đo này trùng nhau trên C: µ1,n = µ2,n . Suy ra:

1

∞

∞

∞

∞

µ1 (A) = µ1 (∪ An ) =

µ2,n (An ) = µ2 (A)

µ1,n (An ) =

µ1 (An ) =

1

1

1

Suy ra µ1 (A) = µ2 (A), ∀A ∈ σ(C).
Hệ quả 2.3. Giả sử C là một vành trên E, còn µ là một độ đo dương giới nội trên C.
Khi đó, µ được thác triển thành một độ đo µ giới nội trên σ(C) và ta có:
sup µ(B) = sup µ(A)
A∈C

B∈σ(C)

Chứng minh. Ta luôn có:
sup µ(B) ≥ sup µ(A)
A∈C

B∈σ(C)

vì
sup µ(B) ≥ sup µ(B) = sup µ(A)
B∈C

B∈σ(C)

A∈C
∞

Ta cũng có bất đẳng thức ngược: B ∈ σ(C) ⇒ B ⊂ ∪ An , {An } là dãy tăng, An ∈ C.
1

Suy ra:

∞

µ(B) ≤ µ(∪ An ) = sup µ(An ) ≤ sup µ(A)
1

n

A∈C

Ghi chú:
• Theo chứng minh của định lý, ta thấy µ có thể thác triển lên σ − đại số sinh bởi
C ∪ {E}, nằm trong B0 .